ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN

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1 ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores Dominio de y. Se trata de una irracional: que hagan negativo el radicando. Funciones lineales Funciones cuadráticas Transformación de funciones Funciones homográficas o hiperbólicas Ecuación ymn. m es la pendiente n es la ordenada del origen. Ecuación ya bc Casos: Logarítmicas (como en irracionales además del cero). Racionales (ecluir valores que anulen el denominador) m> y n> (corta a Y por encima del origen y forma con X ángulo agudo) m> y n< (corta a Y por debajo del origen y forma con X ángulo agudo) m< y n> (corta por encima y ángulo obtuso) m< y n< (corta por debajo y ángulo obtuso) - La gráfica es una parábola. - Vértice en el punto de absica b a - Corta eje X (cuando lo hace) en las soluciones de la ecuación de º grado asociada) - Corta al aje Y en (, c) - Si a> es cóncava - Si a< es convea Ecuación - yf()k es como f() desplazada k unidades hacia arriba. - y-f() es simétrica de f() respecto al eje X - y(a) es como f() desplazada a unidades hacia la izquierda o derecha según a sea ó -. - Yf(-) es simétrica de f() respecto al eje Y Ecuación: a b y c d - La gráfica es una hipérbola. - Tiene como asíntotas las rectas ya/c (horizontal) yd/c (vertical) - Si ad y c la hipérbola tiene por asíntotas los ejes X - (-)/() - Dom( y ),, ] [ [ [ m> m> n> n< m< m< n> n< a> a< Vemos las gráficas de y (trazo grueso) y la de y(-) (trazo fino) desplazada unidades a la derecha: Representar la función y : Sus asíntotas son -, y - Página de

2 Funciones a trozos Su dominio está dividido en varios intervalos en los que la ecuación de la función cambia Su forma es (en el dominio [a, d]: g( ) si a < b f ( ) h( ) si b < c i( ) si c < d Se representa cada tramo por separado sobre los mismos ejes, pudiendo los tramos de gráfica juntarse o no en los puntos de separación de los intervalos. Gráfica de: si < f ( ) si < Funciones en valor absoluto Su ecuación: y f() Se interpreta como una función definida en dos trozos así: f ( ) si f ( ) y f ( ) si f ( ) < Hay que resolver la inecuación: f ( ) para determinar los ites de cada trozo si Gráfica de y si < Donde el valor -/ sale de resolver la inecuación: Composición de funciones Las funciones: yf() yg() La función compuesta de ambas es: ( f g)( ) f g( ) [ ] Es decir se sustituye la en la función f por la función g(). Puede calcularse también: ( g f )( ) g f ( ) [ ] Donde ahora se sustituye la de g por la función f() La función compuesta ( g f )( ) de las funciones: f ( ) g( ) 4 Es: ( g f )( ) g [ f ( ) ] Función recíproca o inversa La función yf() La función recíproca de yf() se obtiene (caso de eistir), despejando en función de y e intercambiando las variables en el resultado. Se ha de cumplir que: ( f f )( ) ( f f )( ) I ( ) Donde la función i() llamada identidad es: I() Es decir, asocia a cada valor él mismo. Las gráficas de f() y f - () son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. D Inversa de y f ( ) 4 Despejamos en función de y : 4y 4y (4y ) 4y Cambiando ahora las variables: y f ( ) 4 Vemos que la composición es la identidad: 8 ( f f )( ) f f ( ) 8 Página de

3 Función eponencial La ecuación: y a a Con a - Pasan por (, ) y (, a) - Si a> es creciente - Si a< es decreciente. La gráfica de y es: 4, 4,,,, -4-4 Función logarítmica La ecuación: y log a - Es inversa de la eponencial - Pasa por (, ) y (a,) - Si a> es creciente - Si <a< es decreciente - Si dominio es IR La gráfica de,8,,4 y log es:, 4 -, Trigonométricas inversas Límite de una función en un punto. Límites por la izquierda y por la derecha. Cálculo práctico de ites yarc sen yarc cos c yarc tg función y punto en estudio función y punto. Si sen a, entonces arc sen a Si cos b entonces arc cos b Si tg c entonces arc tg c La gráfica de cualquiera de las funciones trigonométricas inversas es la simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante, de la gráfica de la función trigonométrica correspondiente Para calcular f ( ) se a escribe una sucesión de valores de que se acerque a a, se calcula la sucesión de los valores de f() y se comprueba si se acerca ésta última a algún valor real. Si se toma una sucesión de valores que crezca indefinidamente y la sucesión de f() tiende a l, escribimos: f ( ) l Si una sucesión de valores de tiende a a y la sucesión de f() crece indefinidamente, escribimos: f ( ) a Si la sucesión de valores de se aproima a a pero se mantiene siempre menor que a, escribimos (ite por la izquierda): f ( ) l a Si la sucesión de valores de se aproima a a pero se mantiene siempre mayor que a, escribimos (ite por la derecha): f ( ) l a -,4 Calcula: sen(arccos( )) senº O bien: La CNyS para que una función tenga ite cuando tiende a a es que los ites por la derecha y por la izquierda coinciden. Si una función es continua para calcular f ( ), en realidad calculamos f(a) Calcula a senº Calcula. Veamos las sucesiones: - -, -, -, Por tanto: Veamos ahora:,,, Por tanto: Calcula Sucesiones: Página de

4 Límites infinitos función y punto. Si aplicando el método anterior a una función a obtenemos ; a, se calculan los ites laterales. Calcula: 4 lim 4 lim lim 4 lim ( )( ) lim 4 ( )( ) Límites en el infinito función Si obtenemos / nos quedamos con los monomios de mayor grado de numerador y denominador Si obtenemos, en una función con radicales, multiplicamos y dividimos por el conjugado Si obtenemos, en funciones racionales, efectuamos la operación. Calcula: 4 9 Para tenemos Calcula: ( ) /. Dividiendo todo por : ( )( ) ( ) ( ) ( ) Calcula: ( ) ( ) 4 Casos de indeterminación /, / e función y punto. Para calcular ites en, cambiamos por y por Si aplicando el método anterior a una función racional obtenemos el valor /, factorizamos numerador y denominador, simplificamos los factores comunes y calculamos el ite de lo que resta. Calcula: ( ) ( ) ( ) ( ) Calcula: Haciendo 7 se obtiene / Factorizando el denominador: 7 7 ( )( 7) 7 Si la indeterminación / procede de funciones con radicales, multiplicamos y dividimos por el conjugado, simplificamos los factores comunes y calculamos el ite de lo que resta. Calcula: Haciendo se obtiene / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Página 4 de

5 Continuidad de una función Asíntotas La ecuación de la función Una función yf() es continua en el punto a si se cumplen las condiciones:. Eiste f(a). Eiste f ( ) a. Los dos valores anteriores coinciden. Si una función cumple: a) f ( a) y f ( ) pero ambos a valores son distintos, decimos que en a hay una discontinuidad evitable. b) Si los ites laterales en a eisten pero no coinciden y ambos son finitos, esto es: f ( ) f ( ) eiste en a a a una discontinuidad de salto finito. c) Si alguno de los ites laterales es infinito, hay discontinuidad de salto infinito. función -Sí f ( ) k, la recta yk es una función (funciones racionales) asíntota horizontal. -Si f ( ), la recta k es una k asíntota vertical -La recta ymn es una asíntota oblicua si se cumple que: f ( ) m [ ( ) ] n f m -Si eisten asíntotas horizontales no pueden eistir asíntotas oblicuas hacia el mismo lado. Si grado( P( ) ) grado ( Q( ) ) Las asíntotas verticales u oblicuas se obtienen efectuando la división P( ) r( ) f ( ) c( ) Q( ) Q( ) Si grado( P( ) ) grado ( Q( ) ) < la recta y (eje OX) es una asíntota horizontal Estudia la continuidad de la función: y Veamos qué valores de anulan el denominador: En y en la función no está definida y como además: En hay una discontinuidad de salto infinito. Sea ahora la función: si f ( ) si Como f() y f ( ) En hay una discontinuidad evitable Encuentra las asíntotas de la función: f ( ) 4 Como: f ( ) m n La recta y-7 es una asíntota oblicua. lim 4 lim 4 Como lim 4 lim 4 Las rectas y son asíntotas verticales. No eisten asíntotas horizontales Encuentra las asíntotas de la función: 4 f ( ) Como: 4 4 f ( ) ( 7) La recta y-7 es una asíntota oblicua. Encuentra las asíntotas de la función: f ( ) 4 grado P( ) < grado Q( ) Como ( ) ( ) y es una asíntota horizontal. Página de

6 función y asíntota Posición de la curva: Para las asíntotas verticales, se estudian los ites laterales Para las asíntotas horizontales y oblicuas se estudia el signo de f()-asíntota En el caso de funciones racionales, r( ) esto coincide con el signo de Q( ) 4 f ( ) ; A.V. en -: 4 f ( ) 4 f ( ) A.H. en y-7: < 4 4 ( 7) > si si función y asíntota Puntos de corte de curva y asíntota horizontal u oblicua : Para funciones racionales se obtienen igualando a cero el resto y despejando. r( ) 4 f ( ) 4 4 Y es una asíntota horizontal. Punto de corte de curva y asíntota: 4 4; y 4, ( ) Página de

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