2.1 ANÁLISIS DE RENTABILIDAD

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1 2 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Me inauguras el día con tus brazos Que me acogen, me salvan, me consuelan Del empuje del tiempo velocísimo Donde somos el mar y el navegante. Jorge Guillén. Más tiempo Se habla mucho de depositar confianza, pero nadie dice qué interés te pagan. Quino. Manolo, en...y yo digo 2.1 ANÁLISIS DE RENTABILIDAD En este capítulo se estudiará el problema que se plantea el decisor al enfrentarse con flujos de dinero que ocurren en diferentes períodos. Para cualquier persona es muy claro, intuitivamente, que el individuo tiene preferencia por consumir ahora y no posponer ese consumo; también es muy claro para cualquier individuo que se prefiere tener una suma de dinero hoy y no tener que esperar un cierto tiempo para poder contar con la misma cantidad de dinero ofrecida para hoy. Sobre esta base, se desarrolla lo que se conoce como matemáticas financieras, que bien podría llamarse aritmética financiera. Para el manejo de esta herramienta sólo es necesario aplicar las operaciones básicas de la aritmética, algo de sentido común y cierta capacidad de análisis de situaciones. En el estudio de este tema se pueden identificar tres niveles de comprensión: 1. Conceptual 2. Operativo o instrumental 3. Situacional El primer nivel se relaciona con el entendimiento de los conceptos básicos de interés, tasa de interés, equivalencia y reglas de decisión de métodos basados en los anteriores conceptos. El segundo nivel tiene que ver con el uso de fórmulas y funciones preestablecidas, las cuales, por lo

2 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 31 general, se encuentran en las hojas de cálculo electrónicas, como Excel, Lotus, Q-Pro 1, etcétera. Por último, está la comprensión situacional que tiene que ver con la descripción de la realidad que se desea analizar; por ejemplo, las cláusulas de un contrato o de un pagaré o la descripción de una situación que se desea cambiar y para lo cual se tienen alternativas de solución. La experiencia indica que muchos se desaniman ante la dificultad del tercer nivel de comprensión y asocian esa dificultad con el tema mismo, o sea los niveles de comprensión conceptual y operativa. El tercer nivel se domina con la práctica y con el ejercicio de enfrentarse a múltiples situaciones para analizarlas. Es cuestión de tiempo y de paciencia. 2.2 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA Uno de los fundamentos de la economía es la sicología. El comportamiento del individuo en relación con sus decisiones, comportamiento de consumo y ahorro, es el elemento básico del estudio de la ciencia económica. Por ejemplo, los individuos obtienen satisfacción al consumir por consumir lo más pronto posible, y puede cambiar consumo actual por consumo futuro, siempre que la utilidad o satisfacción que obtenga de este último sea al menos equivalente, no necesariamente igual a la del consumo actual. Este es uno de los temas fundamentales de la microeconomía. La gente tiene una preferencia subjetiva a consumir hoy; por lo tanto, la postergación de un consumo actual implica la exigencia de una mayor cantidad de consumo futuro, para alcanzar una satisfacción equivalente. Cuando esta necesidad compulsiva de consumir se inhibe, se produce una insatisfacción que de alguna manera debe compensarse; esa compensación la recibe el individuo al disponer de mayor capacidad de consumo en el futuro. Con ello se llega fácilmente a la conclusión que ya no se pueden sumar unidades monetarias de diferentes períodos, porque no son iguales. Cuando se introduce el concepto de inversión, o sea que un individuo ahorra o invierte 1 para obtener más de 1 al final de un período, se encuentra que invertirá hasta cuando el excedente que le paguen por su dinero, no sea menor que la que el individuo asigna al sacrificio de consumo actual, o sea, a la tasa a la cual está dispuesto a cambiar consumo actual por consumo futuro. Un modelo matemático que representa estas ideas, consiste en la siguiente ecuación: F= P + compensación por aplazar consumo (2.1) Donde: F = Suma futura poseída al final de n períodos. P = Suma de capital colocado en el instante 0. 1 Excel es una marca registrada por Microsoft; Lotus y Q-Pro son marcas registradas por IBM.

3 32 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Este modelo y los párrafos anteriores permiten introducir un concepto de mucha importancia: el de equivalencia. Se dice que dos sumas son equivalentes, aunque no iguales, cuando a la persona le es indiferente recibir una suma de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F) mayor al cabo de un período. En microeconomía esta situación se mide con la tasa marginal de sustitución en el consumo. Esta relación es la base de todo lo que se conoce como matemáticas financieras. Esta diferencia entre P y F responde por el valor que le asigna el individuo al sacrificio de consumo actual y al riesgo que percibe y asume al posponer el ingreso. El concepto de equivalencia implica que el valor del dinero depende del momento en que se considere, esto es, que un peso hoy, es diferente a un peso dentro de un mes o dentro de un año. 2.3 INTERÉS Y TASAS DE INTERÉS Al hablar de equivalencia se ha involucrado en forma implícita un monto de interés que se puede representar como una fracción de la suma en el período inicial (hoy) o como un porcentaje i%, en general, diferente de cero. El concepto de interés, sin ser intuitivo, está profundamente arraigado en la mentalidad de quienes viven en un sistema capitalista. Es un conocimiento nocional, producto de la socialización, por eso no es totalmente intuitivo, es intuición socializada. No se necesita formación académica para entender que cuando se recibe dinero en calidad de préstamo, es justo pagar una suma adicional al devolverlo. La aceptación de esta realidad económica es común a todos los estratos socioeconómicos. Para mostrar lo popular del concepto, se puede citar a la Enciclopedia Salvat Diccionario 2, que define interés así: Provecho, ganancia, utilidad [...]. Lucro producido por el capital [...]. El interés puede definirse, en una primera aproximación a su concepto, como el precio pagado en dinero, por el uso del dinero de otro. En economía, el interés se liga a los conceptos de capital, tiempo y riesgo; desde esta óptica puede ser considerado como la compensación que el poseedor del dinero recibe [...] por la cesión a otros [y] por la utilización durante un período [...] de un capital determinado, empleo que en sí mismo, es siempre arriesgado. En otras palabras, el interés, I, es la compensación que reciben los individuos, firmas o personas naturales, por el sacrificio en que incurren al ahorrar una suma P. El mercado le brinda al individuo (persona o firma) la posibilidad de invertir o la de recibir en préstamo; el hecho de que existan oportunidades de inversión o de financiación hace que exista el interés. Este fenómeno económico real, se mide con la tasa de interés, i, la cual, a su vez, se representa por un porcentaje. Este porcentaje se calcula dividiendo el interés I recibido o pagado por período, entre el monto inicial, P; de modo que la tasa de interés será: 2 Enciclopedia Salvat Diccionario, Salvat Editores, Barcelona, tomo 7, 1975, p

4 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 33 i = I P (2.2) Es decir, el interés es la compensación que reciben los individuos, firmas o personas naturales, por el sacrificio en que incurren al ahorrar. Retomando el concepto de equivalencia, el modelo que lo expresa se puede redefinir así: F= P + compensación por aplazar consumo F=P + Pi = P(1+i) (2.3) y se puede generalizar para cualquier número de períodos, n, así, ( i) n F = P 1+ o también, F P = 1+ ( i) n (2.4) (2.5) Esta expresión es fundamental en el análisis de los movimientos de dinero. A partir de esta fórmula se deducen todas las fórmulas de interés que se utilizan para hallar la equivalencia entre sumas de dinero en el tiempo; en realidad, no se necesitaría conocer más que esto. Las fórmulas ya mencionadas son derivaciones de la anterior, y su uso y deducción son nada más que buenos ejercicios de aritmética. Se dice, entonces, que P es el valor descontado o valor presente de una suma futura F. La tasa de interés que establece esta equivalencia se llama tasa de descuento (discount rate o hurdle rate, en inglés) o tasa de rentabilidad mínima aceptable; algunos autores prefieren utilizar el nombre de costo o tasa de oportunidad; más adelante se estudia este punto con detalle y se define la forma de determinarla. La tasa de descuento no debe confundirse con el porcentaje de descuento que puede recibir quien compra un producto o quien compra un título valor (bonos, por ejemplo) a descuento. La tasa de descuento se determina considerando el costo del dinero para el decisor; esto es, lo que paga por recibir dinero prestado, o lo que deja de ganar por el dinero que tiene. A este último costo se le denomina costo de oportunidad y aquí se utilizará el nombre de tasa de descuento. Esta tasa de interés es la que se utiliza para hacer cálculos que permiten evaluar la bondad de una inversión. Este tema se tratará con más detalle en el capítulo 5. EJEMPLO 1 Alguien entrega hoy una suma P por valor de a un amigo y al cabo de un año (n) éste le devuelve un valor F de Si esta persona no intentaba ganar dinero con el amigo, pero tampoco perder, por-

5 34 IGNACIO VÉLEZ PAREJA que la tenía depositada en una cuenta de ahorros que producía 30%, con el amigo se dice que es indiferente entre hoy y después de un año. O sea que estas dos sumas de dinero son equivalentes, porque al año se han recibido i x es decir 1.300, dado que la tasa de interés i% a la cual prestó, fue del 30% COMPONENTES DE LA TASA DE INTERÉS Se puede considerar que la magnitud de la tasa de interés corriente, o sea la que se encuentra en el mercado (la que usan los bancos o cualquier otra entidad financiera) tiene tres componentes o causas: la inflación, el riesgo y la tasa real de interés. Esta descomposición es muy útil para entender los capítulos 5, 6 y 7. En el capítulo 5, para entender el elemento riesgo en las diferentes tasas que allí se estudian; en el capítulo 6, para entender las proyecciones de los estados financieros, y en el capítulo 7, el análisis de proyectos en inflación LA INFLACIÓN El efecto de la inflación, más precisamente las expectativas de inflación, son un efecto propio de la economía, donde se presenta el problema de decidir entre alternativas de inversión. La inflación es una medida del aumento del nivel general de precios, medido a través de la canasta familiar; su efecto se nota en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda. Esto significa que cuando hay inflación cada vez se puede comprar menos con la misma cantidad de dinero. A mayor inflación, mayor tasa de interés. Para corroborar la relación entre inflación y tasa de interés corriente se puede citar a Bolten (1976, ), quien al analizar la relación entre algunos indicadores económicos y las tasas de interés y en particular con la inflación, dice, refiriéndose a los Estados Unidos: La relación entre la inflación y la tasa de interés parece ser más consistentemente confiable que la de los otros factores de la demanda estudiados hasta aquí, aunque las otras relaciones han sido útiles para construir todo el perfil del mercado. Entre mediados de 1965 y fines de 1966 las crecientes tasas de inflación [...] [estuvieron acompañadas] por tasas de interés crecientes [...] Cuando las tasas de inflación descendieron a fines de 1970, las tasas de interés disminuyeron de nuevo. El resurgimiento de la rápida inflación de principios a mediados de 1971 y el subsecuente amortiguamiento a fines de ese año se puede localizar en las tasas de interés, que también subieron y luego bajaron de manera notable. En 1973 y 1974 la históricamente elevada inflación dio lugar al rápido aumento de las tasas de interés.

6 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 35 La relación entre los factores de oferta y demanda y las tasas de interés, así como la confiabilidad de las relaciones esperadas durante el decenio , se resumen a continuación. Factor Relación esperada Confiabilidad Perspectivas de inflación Al aumentar el factor aumenta la tasa de interés Exacta el 75% de las veces generalmente con retraso Otra evidencia: La Fed pondera medio punto. La amenaza de inflación empuja las tasas de interés. Las últimas informaciones sobre inflación en Estados Unidos aumentan las posibilidades, si bien no la certeza, de que la Reserva Federal eleve nuevamente las tasas de interés en medio punto porcentual cuando sus autoridades se reúnan. [...] Distintos informes dados a conocer ayer por el gobierno mostraron fuertes alzas durante el primer trimestre, en uno de los índices de precios más importantes para los economistas y en los costos laborales 3. En Colombia, el efecto de la inflación como componente de las tasas de interés, se reconoce con la corrección monetaria de la Unidad de Poder Adquisitivo Constante, UPAC, hasta A partir del 2000 esto se reconoce con la Unidad de Valor Real UVR. Sin embargo, para 1998, la forma de calcular la corrección monetaria un porcentaje de la DTF (DTF es la tasa promedio de captación a 90 días de los bancos, corporaciones financieras, corporaciones de ahorro y vivienda y compañías de financiamiento comercial, divulgadas semanalmente por el Banco de la República) resultó a veces en una cifra absurda, puesto que la componente inflacionaria terminó siendo mayor que la misma inflación. Esta fue una de las causas de la crisis del sistema UPAC. Una rápida exploración a los valores de las tasas de interés libres de riesgo del mercado de algunos países, en la tabla 2.1, muestra la influencia de la inflación sobre la tasa de interés. 3 Schlesinger, Jacob M. en The Wall Street Journal. La Fed pondera medio punto, The Wall Street Journal Americas. El Tiempo, 26 de abril de 2000, p 12A.

7 36 IGNACIO VÉLEZ PAREJA TABLA 2.1 Tasas de inflación e interés de algunos países 1997 País Tasa de inflación anual % Tasa de interés anual % País Tasa de inflación anual % Tasa de interés anual % Alemania 1,6 5,41 Hungría* 18,7 20,11 Argentina* 0,9 7,00 India* 9,2 6,83 Australia 1,6 6,48 Indonesia* 5,0 12,63 Austria 2,0 5,58 Israel* 8,4 10,49 Bélgica 1,8 5,51 Italia 2,0 6,42 Brasil* 5,9 21,00 Japón 1,2 2,25 Canadá 1,8 5,80 Malasia* 2,2 8,12 Chile* 5,3 10,69 México* 20,4 17,70 China* 2,8 9,90 Polonia* 15,3 25,33 Colombia* 18,7 22,55 Portugal* 1,8 5,60 Corea del Sur* 4,0 12,05 Rep. Checa* 6,8 15,37 Dinamarca 2,2 5,89 Rusia* 14,5 36,00 España 2,1 6,01 Singapur* 1,6 4,34 Estados Unidos 2,6 6,05 Suecia 0,8 6,29 Filipinas* 4,8 12,00 Suiza 0,8 3,41 Francia 1,4 5,28 Suráfrica* 8,8 15,03 Gran Bretaña 2,7 6,96 Tailandia* 4,4 18,00 Grecia* 5,5 11,70 Taiwan* 1,8 6,80 Holanda 2,3 5,39 Turquía* 78,0 80,00 Hong Kong* 5,4 7,24 Venezuela* 43,5 20,93 Fuente: The Economist, 2 de agosto de 1997, p *Países clasificados como emergentes; tasa de interés: de corto plazo. Para los demás países, rendimientos de los bonos del gobierno. La relación que se presenta en la tabla 2.1 se aprecia en la gráfica 2.1. GRÁFICA 2.1 Tasa de interés frente a tasa de inflación Tasa de interés % Tasa de interés anual frente a inflación y = 0,8457 x + 5, R 2 = 0, Tasa de inflación % Debe distinguirse entre inflación, devaluación y depreciación, términos que muchas personas utilizan indistintamente. La inflación, como se dijo, tiene que ver con el cambio en el nivel general de precios de los artículos que componen una canasta de consumo (canasta familiar); la devaluación se refiere al precio de una divisa extranjera (en Colombia es el dólar de los Estados Unidos), y la depreciación es un concepto contable, que trata de medir, entre otras cosas, el desgaste de un bien debido a su uso. Tener en cuenta la inflación es muy importante cuando se trata de determinar los niveles de las tasas de interés futuras (capítulo 6) y evaluar inversiones en inflación (capítulo 7).

8 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS EL RIESGO El efecto del riesgo es intrínseco al negocio o inversión donde se coloca el dinero o capital; a mayor riesgo, mayor tasa de interés. El riesgo es producido por diversos factores: la inflación futura, la inestabilidad económica y política, la proliferación de normas que hacen inestable la situación de los inversionistas, la devaluación, etc. El elemento riesgo en la tasa de interés es muy importante en el reconocimiento de las tasas de interés que esperan obtener los inversionistas (capítulo 5), en la proyección de las tasas de interés cuando se estructura un proyecto o inversión futura (capítulo 6) y cuando se trata de evaluar el riesgo de una inversión TASA DE INTERÉS REAL El interés real o la productividad en su uso es un efecto intrínseco del capital, independiente de la existencia de inflación o riesgo. Refleja también la abundancia o escasez de dinero en el mercado (grado de liquidez del mercado) y la preferencia que tengan los ahorradores por la liquidez, o sea, la disponibilidad de dinero en efectivo para consumo. La relación de estos componentes para determinar la tasa de interés corriente, no es aditiva, sino multiplicativa, o sea que la tasa de interés corriente, se puede expresar así: i c = (1+i r )(1+i f )(1+i p )-1 (2.6) Donde: i c = Tasa de interés corriente i r = Tasa de interés real i f = Tasa de inflación i p = Componente de riesgo Hay quienes proponen, al analizar las consecuencias de la utilización del capital en términos de dinero, que se deben deflactar o reducir las consecuencias a unidades monetarias constantes. Al hacer esto y utilizar, además, una tasa no deflactada de interés se estará teniendo en cuenta dos veces el efecto de la inflación. Esto se estudia en detalle en otro capítulo. Obviamente, como se sugiere en el párrafo anterior, en una economía inflacionaria debe tenerse en cuenta el precio actual de los activos o capital comprometido. Se debe ser muy cuidadoso al establecer tasas de interés corriente, pues no se deben confundir con tasas de interés con subsidio, ni lo contrario, tasas de interés de usura o agio. Ejemplos de las primeras son los créditos de fomento; ejemplo de las segundas, las tasas de interés que muchas veces tienen que pagar las clases menos favorecidas y aun las pequeñas empresas y microempresas, el 5% al 7% mensual. Es posible encontrar situaciones coyunturales en las que la tasa de interés real es negativa, o sea que la tasa de interés corriente es menor que la inflación (véase la tabla 2.2). Esta noción de componentes es pertinente para descomponer, más que para componer la tasa de interés comercial, i c. Esto es, que a partir de una determinada tasa de interés comercial i c, conociendo una o dos componentes, se puede determinar la tercera. Por ejemplo, si se conoce la inflación, i f, y se tiene una tasa de interés libre de riesgo, se puede

9 38 IGNACIO VÉLEZ PAREJA determinar el interés real, i r ; si se conoce la componente inflacionaria, i f y la tasa de interés real, i r, se puede calcular la magnitud del riesgo, percibido por quien fijó la tasa de interés comercial. Sin embargo, cuando se hacen proyecciones para evaluar alternativas de inversión, es recomendable proyectar las componentes (inflación, tasa real y riesgo) para calcular el valor futuro de una tasa de interés. Un caso de composición de la tasa de interés, es el de las corporaciones de ahorro y vivienda en Colombia, que cobran y estipulan por separado la corrección monetaria (inflación i f ) y el interés real, i r; se puede considerar que debido a todos los mecanismos de protección codeudores, seguros, hipotecas estas tasas deberían ser libres de riesgo, i p. Por ejemplo, si se utilizan los datos de la tabla 2.1, se puede calcular el monto de la tasa de interés real en esos países, utilizando la siguiente expresión, que se deduce de la relación entre los componentes, recordando que i p =0, ( 1 + i )(1 + i ) 1 i (2.7) c = r f Entonces, i r = ( 1 + i ) c ( 1 + i ) f 1 (2.8) TABLA 2.2 Tasas de inflación e interés corriente y real de algunos países País Tasa de inflación anual % Tasa de interés anual % Tasa de interés real %** País Tasa de inflación anual % Tasa de interés anual % Tasa de interés real %** Alemania 1,6 5,41 3,75 Hungría* 18,7 20,11 1,19 Argentina* 0,9 7,00 6,05 India* 9,2 6,83-2,17 Australia 1,6 6,48 4,80 Indonesia* 5,0 12,63 7,27 Austria 2,0 5,58 3,51 Israel* 8,4 10,49 1,93 Bélgica 1,8 5,51 3,64 Italia 2,0 6,42 4,33 Brasil* 5,9 21,00 14,26 Japón 1,2 2,25 1,04 Canadá 1,8 5,80 3,93 Malasia* 2,2 8,12 5,79 Chile* 5,3 10,69 5,12 México* 20,4 17,70-2,24 China* 2,8 9,90 6,91 Polonia* 15,3 25,33 8,70 Colombia* 18,7 22,55 3,24 Portugal* 1,8 5,60 3,73 Corea del Sur* 4,0 12,05 7,74 República 6,8 15,37 8,02 Checa* Dinamarca 2,2 5,89 3,61 Rusia* 14,5 36,00 18,78 España 2,1 6,01 3,83 Singapur* 1,6 4,34 2,70 Estados Unidos 2,6 6,05 3,36 Suecia 0,8 6,29 5,45 Filipinas* 4,8 12,00 6,87 Suiza 0,8 3,41 2,59 Francia 1,4 5,28 3,83 Sudáfrica* 8,8 15,03 5,73 Gran Bretaña 2,7 6,96 4,15 Tailandia* 4,4 18,00 13,03 Grecia* 5,5 11,70 5,88 Taiwan* 1,8 6,80 4,91 Holanda 2,3 5,39 3,02 Turquía* 78,0 80,00 1,12 Hong Kong* 5,4 7,24 1,75 Venezuela* 43,5 20,93-15,73 Fuente: The Economist, 2 de agosto de 1997, p * Países clasificados como emergentes; tasa de interés: de corto plazo. Para los demás países, rendimientos de los bonos del gobierno. ** Cálculos del autor.

10 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 39 Según la tabla 2.2, las tasas reales se encuentran, en muchos casos, alrededor del 5%-7%; las variaciones pueden responder a situaciones de abundancia o escasez de dinero, o a medidas de control administrativo, por parte del gobierno. En una exploración a las tasas de interés libres de riesgo (títulos de tesorería del gobierno colombiano, TES) entre abril de 1995 y julio de 1999 se encuentra que la tasa de interés real no es constante. Una interpretación que se le puede dar a este hecho es que aun en las tasas de bonos libres de riesgo existe algún grado de éste, probablemente asociado a la inflación. Esto se puede apreciar en la siguiente tabla. TABLA 2.3 Comportamiento de la tasa real de interés en Colombia A 6 meses A 1 año A 2 años A 3 años Máximo 31,13% 26,30% 17,27% 12,97% Mínimo -5,26% 2,33% 7,29% 8,79% Promedio 10,39% 10,91% 9,79% 10,33% Desviación estándar 8,75% 6,80% 1,91% 1,40% Coeficiente de variación 1,19 1,61 5,12 7,39 Gráficamente, el comportamiento de las tasas, según los períodos de maduración de los bonos TES, se aprecia en la gráfica 2.2 GRÁFICA 2.2 Comportamiento de la tasa real Por otro lado, también se encontró que existe una alta correlación entre la tasa real y la tasa de inflación. Esto ratifica la idea de que las tasas reales, por su alta variación (véase gráfica 2.2) contienen algún grado de riesgo asociado a la inflación. La tasa de inflación que se utilizó en este análisis fue la correspondiente al Índice de Precios al Consumidor, IPC, con un año de anticipación, bajo el supuesto de que en las tasas de interés la inflación que queda involucrada es la expectativa de inflación.

11 40 IGNACIO VÉLEZ PAREJA CÓMO OPERA LA RELACIÓN ENTRE LOS COMPONENTES La interacción de los componentes de la tasa de interés se puede asimilar a lo que ocurre con la devaluación y las tasas de interés en países con devaluación. Supóngase que se cuenta con un millón de pesos, que el precio del dólar es hoy de 1.000, que se prevé una devaluación de 20% anual. Si se puede convertir un millón de pesos en dólares e invertirlo al 10% anual en los Estados Unidos, al regresar los dólares un año después, qué porcentaje se habrá obtenido en la transacción? Hoy Hoy + un año lo cual resulta en Se cambian a dólares al precio de 1.000/US lo cual resulta en US1.000 que invertidos a i dev =20% i dura =10% suma en dólares que se cambia a pesos al precio de 1.200/US se convierten en US1.100 Interés obtenido por el inversionista: 32%. Este ejemplo ilustra, por analogía, la idea anterior, ya que la relación entre interés en moneda blanda, i blanda, (tasa de interés en Colombia), tasa de interés en moneda dura, i dura, y devaluación, i dev, está dada por la siguiente expresión: i blanda ( 1+ i ) 1 = dura dev ( 1+ i ) (2.9) De esta expresión se puede deducir la tasa en moneda dura, cuando el proceso es inverso; cuando en el ejemplo se tienen dólares y se invierte en pesos. Estas expresiones se conocen como el efecto Fisher. En este caso, i blanda = 1,1x1,2 1 = 1,32 1= 32% 2.4 DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA El diagrama de flujo de caja libre consiste en un modelo gráfico que se utiliza para representar los ingresos y desembolsos de dinero a través del tiempo. Lo primero que se debe hacer es representar el eje del tiempo.

12 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS n EJEMPLO 2 Aquí cada número indica el final del período correspondiente. Así, el número cero indica el momento presente, o sea cuando el decisor se encuentra tomando una decisión; el número uno indica el final del período uno, etcétera. En este eje de tiempo, el período puede ser un día, un mes, un año o cualquier otra unidad de tiempo. Los desembolsos o egresos, convencionalmente se expresan con una flecha hacia abajo; los ingresos, con una flecha hacia arriba; al escribir un desembolso o egreso, en una hoja de cálculo, debe respetarse el signo, o sea, se debe escribir con signo menos. En la práctica se utiliza el nombre flujo de caja, para nombrar al flujo o pronóstico de efectivo o de fondos; este informe mide el nivel de liquidez, o sea, la disponibilidad de dinero al final de cada período. Sin embargo, aquí se utilizará el nombre flujo de caja libre para denominar los ingresos y egresos netos de un proyecto de inversión y al instrumento que permite medir la liquidez, se le denominará flujo de tesorería. Los desembolsos o egresos convencionalmente se expresan con una flecha hacia abajo EJEMPLO O sea que se efectúan desembolsos al final del instante cero (hoy) por 1.000, al final del período dos, por y al final del período seis por 500. Los ingresos, convencionalmente, se representan por flechas hacia arriba En este caso se indica que en el instante 0 (final del período, hoy) se reciben 1.000, en el tres, 1.500, y en el cinco, 600. De esta manera

13 42 IGNACIO VÉLEZ PAREJA se puede expresar en forma gráfica y sencilla una inversión de recursos en una fecha determinada y los ingresos o beneficios que produzca en otro período EJEMPLO Esto indica que una persona deposita y después de 5 meses recibe Una forma de comparar sumas de dinero en diferentes instantes consiste en reducirlas a sumas equivalentes. Para este fin se han desarrollado fórmulas, las cuales se presentan a continuación. 2.5 INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO La tasa de interés puede considerarse simple o compuesta. El interés simple ocurre cuando éste se genera únicamente sobre la suma inicial, a diferencia del interés compuesto, que genera intereses sobre la suma inicial y sobre aquellos intereses no pagados que ingresan o se suman al capital inicial. EJEMPLO pesos de hoy (P) prestados al interés simple del 2% mensual (i%), durante dos meses (n) producen x 0,02 más x 0,02 o sea 40 al final de dos meses (F=1.040); en cambio, esos mismos (P) prestados a interés compuesto (i%) producirán x 0,02 en el primer mes o sea, 20 y al final del segundo mes, producirán x 0,02 o sea, 40,40 (F=1.040,40). La tabla 2.4, que ilustra el valor acumulado de una suma de dinero invertida a interés simple y a interés compuesto, permite aclarar estas ideas. TABLA 2.4 Valor acumulado de una suma de dinero Mes Capital Tasa de interés simple 2% () Total Tasa de interés compuesto 2% () Total (1.020x0,02) 1.040, ,40+(1.040,40x0,02) 1.061, ,208+(1.061,208x0,02) 1.082,43

14 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 43 A partir de la tabla 2.3 y recordando la aritmética básica, se puede generalizar el comportamiento del interés compuesto, y en particular de la suma total, así: (1+i) n. El valor final de 1.082,43 que aparece en la esquina inferior derecha en la tabla anterior, es igual a x (1,02) 4. Cuando se estudió el concepto de equivalencia, se dijo que F=P(1+i), y que esto se puede generalizar, según lo que se concluye de este ejemplo, como F=P(1+i) n. En otras palabras, el monto del interés simple acumulado se calcula como P x i x n, y el monto del interés compuesto acumulado se calcula como P(1+i) n -P. Como se verá más adelante, la expresión (1+i) n establece la relación entre dos sumas de dinero: P en el instante 0, y F en el período n. Al trabajar con Excel, se hacen estas sugerencias útiles: dibujar el diagrama de flujo de caja libre y escribir en celdas los datos que entran en la función de Excel; y al utilizar el botón Pegar función de Excel 97 (Asistente de funciones en versiones anteriores), introducir las celdas y no los valores. 2.6 FÓRMULAS DE INTERÉS O FACTORES DE CONVERSIÓN El desarrollo metódico de estas fórmulas se conoce en la literatura con el nombre de matemáticas financieras. Aquí se trata de encontrar una variable entre cinco, dadas tres de ellas, de las cuales una es el número de períodos (n) o la tasa de interés (i). La condición es que se mantenga válida la equivalencia entre flujos de caja. Las variables son: n = Número de períodos que se analizan (año, mes, día, trimestre, semana, etcétera). Es claro que se trata de períodos iguales. Nombre como parámetro en la función de Excel nper. i = Tasa de interés, expresada en porcentaje por unidad de tiempo (año, mes, día, trimestre, semana, etcétera). Este interés debe ser estipulado por unidad de tiempo igual al período indicado en n. Se supone interés compuesto. Nombre como parámetro en la función de Excel, tasa. P = Suma presente, situada al final del instante cero. Nombre como parámetro en la función de Excel VA. F = Suma futura, situada al final del período n. En otros textos usan la letra S. Nombre como parámetro en la función de Excel VF. C= Cuota o pago uniforme, situada al final de todos los períodos entre el 1 y el n. En otros textos se llama A, de anualidad; aquí se prefiere nombrarla como cuota C, porque es más general. Nombre como parámetro en la función de Excel pago. Al escribir estas funciones en el texto, se remplazará el nombre del parámetro de la función en Excel, por los nombres que aquí se han indicado. Entre estas variables se pueden establecer relaciones cuando se cumplen ciertos patrones; de manera gráfica y resumida son así:

15 44 IGNACIO VÉLEZ PAREJA 1. Se puede transformar una suma de dinero presente P en el instante 0, en una suma de dinero mayor F en el período n y viceversa. 0 n 0 n P F 2. Se puede transformar una suma de dinero presente P en el instante 0, en una serie de cuotas uniformes C, que comienzan en el período 1 y terminan en el período n y viceversa. 0 n 0 1 n P C C C C C 3. Se puede transformar una suma de dinero futura F en el período n, en una serie de cuotas uniformes C, que comienzan en el período 1 y terminan en el período n y viceversa. 0 1 n 0 n C C C C C F Todas estas transformaciones se pueden hacer a partir de la relación ya conocida F=P(1+i) n y su recíproca P=F/(1+i) n. Las fórmulas para cada caso se describen, con ejemplos, en el Apéndice de matemáticas financieras, al final del capítulo. 2.7 RESUMEN DE FUNCIONES DE EXCEL =VF(i;n;;P) Convierte una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del instante 0, en una suma futura F al final del período n. =VA(i;n;;F) Convierte una suma futura F al final del período n en una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del instante 0. =VA(i;n;C) Convierte una serie uniforme de valor C, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n en una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del instante 0.

16 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 45 =PAGO(i;n;P) Convierte una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del instante 0, en una serie uniforme de valor C, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n. =VF(i;n;C) Convierte una serie uniforme de valor C, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n, en una suma futura F, al final del período n. =PAGO(i;n;;F) Convierte una suma futura de valor F, situada en el final del período n, en una serie uniforme de valor C, que se inicia en el final del período 1 y termina al final del período n. =TASA(nper;pago;va;vf;tipo;i semilla) =TIR(rango;i semilla) Calcula la tasa de interés que hace equivalentes unos flujos negativos a unos positivos. Responde a la pregunta a qué tasa de interés se invirtió un dinero que produjo determinado flujo de beneficios? Para la función TASA se le debe indicar los parámetros C, F, P, e i semilla. Para la función TIR se le debe indicar al programa una tasa de interés inicial (i semilla), con la cual inicia los cálculos y el rango donde aparecen todos los flujos que se desean analizar. =VNA(i;rango) Calcula el valor presente de un flujo de caja libre a la tasa de interés indicada y lo expresa en unidades monetarias del período inmediatamente anterior al que inicia el rango que se indicó en la fórmula. =nper(tasa;pago;va;vf;tipo;i semilla) Encuentra el número de períodos que se requieren para que una inversión se convierta en un determinado monto al final de esos períodos, o el número de cuotas que se requieren para pagar un préstamo con una cuota determinada o el número de depósitos iguales necesarios para obtener una cierta suma de dinero al final de los períodos calculados. En todos los casos se debe estipular una tasa de interés. En forma abreviada: Operación Patrón típico (a partir de P, F, C, nper y/o i%) Patrón no típico (irregular) A suma presente VA VNA A suma futura VF No hay A cuota uniforme PAGO No hay Tasa de interés TASA TIR Número de períodos NPER No hay Estos factores se encuentran en calculadoras financieras y otras hojas electrónicas, de manera que pueden obtenerse con gran precisión y rapidez. También se pueden utilizar tablas de factores de interés que se encuentran en los libros viejos de matemáticas financieras.

17 46 IGNACIO VÉLEZ PAREJA EJERCICIOS Resolver los siguientes ejemplos utilizando los siguientes valores de P, F, C, n e i para hallar lo que se pide en cada numeral. La solución está en el archivo MATFIN.XLS anunciado en la presentación y que es parte integral de este texto. P = n = 12 C = i = 3,00% F = Calcular el número de períodos, que se demora una inversión P para convertirse en un valor determinado F, a una tasa de interés i. 2. Calcule el valor futuro F, de una cuota uniforme C, a una tasa de interés i%, al final de n períodos. 3. Calcule la cuota uniforme C, equivalente a una suma presente P, en n períodos al i%. 4. Calcule el valor presente de una cuota uniforme durante n períodos, a la tasa de i%. 5. Calcule la tasa de interés i, que hace que una inversión hoy P se convierta en determinado valor F, al final de n períodos. 6. Calcule el número de cuotas C, que se requieren para obtener una suma determinada F, a una tasa de interés i%. 7. Calcule la tasa de interés i% que hace equivalentes los flujos positivos y los negativos. Año Flujo Calcule el valor presente del flujo de caja libre entre el año 1 y el 4 a una tasa de interés i%, según los datos anteriores. 2.8 TABLAS DE AMORTIZACIÓN Una tabla de amortización muestra cómo un pago de una deuda se divide entre interés y abono o amortización de la deuda; o, si así fuera, cómo un determinado esquema de abonos o amortizaciones conduce, al sumarle los intereses, a una cierta cuota o pago. Con una tabla de amortización se puede también determinar el saldo pendiente al final de cada período. Algo similar puede hacerse con una tabla de capitalización; la diferencia radica en que en lugar de amortizar (disminuir una deuda), se capitalizan los ahorros y los intereses que ellos producen y, por ende, se puede calcular el saldo acumulado del capital ahorrado con sus intereses.

18 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 47 Se pueden construir tablas de amortización con todos los esquemas de pago posibles. Tradicionalmente y con la ausencia de medios eficientes de cálculo, se han reducido las tablas de amortización a unos cuantos esquemas: cuotas uniformes o abonos uniformes como los mencionados en el ejercicio 3 y, si acaso, a esquemas con períodos de gracia (cuando se pagan sólo los intereses y no se hace la amortización de la deuda). Con la ayuda de las hojas de cálculo se pueden hacer esquemas tan variados que el límite lo impone la imaginación del usuario. Algunos ejemplos son las cuotas escalonadas que se promocionan para el pago de deudas de vivienda. El secreto para trabajar estos esquemas es hacer depender todas las cuotas futuras de la primera cuota y construir el modelo en función de esa primera cuota; hecho esto, hay que encontrar el valor de la primera cuota que haga cero el saldo final. Esto se puede lograr con una opción de Excel que está en Herramientas del menú y se llama Buscar objetivo. Escogida esta opción, aparece el siguiente cuadro de diálogo: En la casilla Definir la celda se indica la celda que nos interesa que tome cierto valor, por ejemplo, el saldo final. En la casilla con el valor, se indica el valor que se desea que tome la casilla anterior y en la casilla para cambiar la celda, se indica la celda que debe ser cambiada hasta cuando se obtenga el valor deseado. El análisis de las tablas de amortización se basa en la siguiente relación que siempre debe cumplirse: Cuota o pago = amortización o abono + intereses

19 48 IGNACIO VÉLEZ PAREJA En realidad hay dos clases de tablas de amortización: a) para las que se define el pago o cuota y b) para las que se define la amortización. En el primer caso, la amortización se calcula como el pago o cuota menos los intereses; en el segundo, la cuota se define como la amortización más los intereses. Lo más importante al construir la tabla de amortización es su estructura básica, así para casos con pago de interés vencido: CASO 1. CUANDO SE FIJA LA CUOTA O PAGO Saldo inicial Interés Abono Pago Saldo final Saldo final del período anterior Saldo inicial por tasa de interés Pago menos interés Definido a voluntad Saldo inicial menos abono EJEMPLO 6 Un préstamo de al 3% mensual pagadero en 12 meses con cuotas que se duplican cada dos meses. La primera aproximación podría ser: Mes Saldo inicial Interés Abono Pago Saldo final , ,00 30,00-25,00 5, , ,00 30,75-25,75 5, , ,75 31,52-21,52 10, , ,27 32,17-22,17 10, , ,44 32,83-12,83 20, , ,27 33,22-13,22 20, , ,49 33,61 6,39 40, , ,11 33,42 6,58 40, , ,53 33,23 46,77 80, , ,76 31,82 48,18 80, , ,58 30,38 129,62 160,00 882, ,96 26,49 133,51 160,00 749,44 En la hoja de cálculo hay que construir las fórmulas de la columna Pago de manera que indiquen que la segunda cuota es igual a la primera, la tercera es el doble de la segunda, la cuarta igual a la tercera y así sucesivamente.

20 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 49 Al hacer que el saldo sea cero con Buscar objetivo, el resultado obtenido será: Mes Saldo inicial Interés Abono Pago Saldo final , ,00 30,00-19,46 10, , ,46 30,58-20,04 10, , ,50 31,19-10,10 21, , ,61 31,49-10,41 21, , ,01 31,80 10,36 42, , ,65 31,49 10,67 42, , ,98 31,17 53,16 84,33 985, ,82 29,57 54,75 84,33 931, ,07 27,93 140,72 168,65 790, ,35 23,71 144,94 168,65 645, ,41 19,36 317,94 337,30 327, ,48 9,82 327,48 337,30 0,00 El mismo préstamo, pero con un solo pago al final se podría solucionar de la siguiente forma: Mes Saldo inicial Interés Abono Pago Saldo final , ,00 30,00-30, , ,00 30,90-30, , ,90 31,83-31, , ,73 32,78-32, , ,51 33,77-33, , ,27 34,78-34, , ,05 35,82-35, , ,87 36,90-36, , ,77 38,00-38, , ,77 39,14-39, , ,92 40,32-40, , ,23 41,53-39,53 2, ,76 Al hacer que el saldo sea cero con Buscar objetivo, el resultado obtenido será:

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