CUADERNO DE EJERCICIO DE MATEMÁTICAS CURSO PROPEDEÚTICO

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1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN Escuela Preparatoria Diurna CAMPUS II CUADERNO DE EJERCICIO DE MATEMÁTICAS CURSO PROPEDEÚTICO AritméticA álgebra Presentado por: Academia de Matemáticas Cd. del Carmen, Campeche, de Agosto 0.

2 Aritmética Que son los Números Naturales? Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, se llama cardinal de dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {,,,,, 0,,, } El cero, a veces, se eclue del conjunto de los números naturales. Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: º (primero), º (segundo),, 6º (decimoseto), Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, a que las tareas de contar de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Entre los números naturales están definidas las operaciones adición multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas. Propiedades de la adición de Números Naturales La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa elemento neutro..- Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (7 + ) + = + = ( + ) = = 6

3 Los resultados coinciden, es decir, (7 + ) + = 7 + ( + ).-Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a + b = b + a En particular, para los números 7, se verifica que: 7 + = + 7 Gracias a las propiedades asociativa conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis sin tener en cuenta el orden..- Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a + 0 = a Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro distributivo del producto respecto de la suma..-asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a b) c = a (b c) Por ejemplo: ( ) = = 0 ( ) = 0 = 0 Los resultados coinciden, es decir, ( ) = ( ).- Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

4 a b = b a Por ejemplo: 8 = 8 = 0.-Elemento neutro El es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a = a.- Distributiva del producto respecto de la suma Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: a (b + c) = a b + a c Por ejemplo: ( + 8) = = + 8 = + 0 = Los resultados coinciden, es decir, ( + 8) = + 8 Propiedades de la Sustracción de Números Naturales La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es maor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos. Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 6 ovejas los lobos se comen ovejas cuántas ovejas tenemos? Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - =. Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) sustraendo (las o vejas que se comieron los lobos).

5 Propiedades de la resta: La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a) Propiedades de la División de Números Naturales La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas. Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) resto (lo que sobra). Si el resto es cero la división se llama eacta en caso contrario ineacta. Propiedades de la división La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a. Ejercicios Números enteros (Z). Conjunto de todos los números positivos negativos, incluendo el cero. Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z = {, -, -0,, -, -, -0,,,, 0,, }

6 Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo ). Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa a que es igual al propio a si es positivo o cero, a -a si es negativo. Es decir: si a > 0, a = a ; por ejemplo, = ; si a < 0, a = -a ; por ejemplo, - = -(-) =. El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo. Las operaciones suma, resta multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor. Suma de Números Enteros Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo: Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos: 7 + = 8: -7 - = -8 Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo el otro negativo, se restan sus valores absolutos se le pone el signo del maor: 7 + (-) = 7 - = -7 + = - (7 - ) = - + (-) = 0 La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: a + b = b + a 6

7 Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a + 0 = a Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto a, a + (-a) = 0 Multiplicación de Números Enteros Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos se sintetiza del siguiente modo: + + = = = = + La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa: (a b) c = a (b c) Conmutativa: a b = b a Elemento neutro: el es el elemento neutro de la multiplicación, a = a Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a (b + c) = a b + a c 7

8 Resta de Números Enteros Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo: a - b = a + (-b) Por ejemplo: - (-) = + = = (-) + (-) = -7 Los números enteros son un conjunto de números que inclue a los números naturales distintos de cero (,,,...), los negativos de los números naturales (...,,, ) al cero, 0. Los enteros negativos, como ó (se leen "menos uno", "menos tres", etc.), son menores que todos los enteros positivos (,,...) que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos negativos, a veces también se escribe un signo "más" delante de los positivos: +, +, etc. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra = {...,,,, 0, +, +, +,...}, Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo: 78 son números enteros. /9 no son números enteros Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado. Los números enteros etienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero ha 00 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá = 0 alumnos menos; pero también puede decirse que ha aumentado en = 0 alumnos. También ha ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 888 metros (por encima del nivel del mar, por el contrario, la orilla del Mar Muerto está metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede epresar como m. 8

9 Los números enteros positivos negativos, son el resultado natural de las operaciones suma resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad. El nombre de enteros se justifica porque estos números a positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas). No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia Cardano los hubiesen a advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos a era conocida previamente por los matemáticos de la India. Aplicación en contabilidad Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta epresión venía del hecho que lo que ho llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 0 podía representar un balance positivo de 0 sueldos, mientras que escrito con tinta roja podía representar, sueldos, es decir, una deuda neta de sueldos. Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como: =? Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, ha situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias pérdidas: Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 000 pesos al día siguiente pierde 000, el hombre ganó en total = $ 000. Sin embargo, si el primer día gana 00 al siguiente pierde 000, se dice que perdió en total = $ 00. La epresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron maores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden epresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total = + $ 000 en el segundo ganó en total = $ 00. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa. Números con signo Los números naturales,,,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos () delante se obtienen los números negativos: Un número entero negativo es un número natural como,,, etc. precedido de un signo menos,. Por ejemplo,,, etcétera. Se leen "menos ", "menos ", "menos ",... Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante se les llama números positivos. Un número entero positivo es un número natural como,,,... precedido de un signo más. 9

10 «+». El cero no es positivo ni negativo, puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, a que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados "enteros". Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en "negrita de pizarra" como : La recta numérica Artículo principal: Recta numérica Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica: Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto maor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto: El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales " ". Ejemplo. + =, =, 0 = 0. El orden de los números enteros puede resumirse en: El orden de los números enteros se define como: Dados dos números enteros de signos distintos, +a b, el negativo es menor que el positivo: b < +a. Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es el de menor valor absoluto, si el signo común es "+", o el de maor valor absoluto, si el signo común es " " El cero, 0, es menor que todos los positivos maor que todos los negativos. Ejemplo. + > 6, + < +7, < 9, 0 > 6 0

11 Operaciones con números enteros Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales. Suma En esta figura, el valor absoluto el signo de un número se representan por el tamaño del círculo su color. En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo el valor absoluto del resultado. Para sumar dos números enteros, se determina el signo el valor absoluto del resultado del siguiente modo: Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos. Si ambos sumandos tienen distinto signo: El signo del resultado es el signo del sumando con maor valor absoluto. El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el maor valor absoluto el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos. Ejemplo. (+) + ( ) = +8, (+7) + (+6) = +, ( ) + (+9) =, ( ) + ( 8) = 6 La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales: La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b c, las sumas (a + b) + c a + (b + c) son iguales. Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a b, las sumas a + b b + a son iguales. Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

12 Ejemplo.. Propiedad asociativa: [ ( ) + (+) ] + (+) = (+) + (+) = (+) ( ) + [ (+) + (+) ] = ( ) + (+7) = (+). Propiedad conmutativa: (+9) + ( 7) = 8 ( 7) + (+9) = 8 Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales: Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, eiste otro entero a, que sumado al primero resulta en cero: a + ( a) = 0. Resta La resta de números enteros es mu sencilla, a que ahora es un caso particular de la suma. La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo. Ejemplo. (+0) ( ) = (+0) + (+) = +, ( 7) (+6) = ( 7) + ( 6) =, ( ) ( 8) = ( ) + (+8) = +, (+) (+9) = (+) + ( 9) = 7 Multiplicación La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo valor absoluto del resultado. En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto el signo del resultado de la siguiente manera: El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. El signo es "+" si los signos de los factores son iguales, " " si son distintos. Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos: Regla de los signos (+) (+)=(+) Más por más igual a más. (+) ( )=( ) Más por menos igual a menos.

13 ( ) (+)=( ) Menos por más igual a menos. ( ) ( )=(+) Menos por menos igual a más. Ejemplo. (+) ( 6) =, (+) (+) = +, ( 7) (+8) = 6, ( 9) ( ) = +8. La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales: La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades: Ejemplo. Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b c, los productos (a b) c a (b c) son iguales. Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a b, los productos a b b a son iguales. Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por : a = a.. Propiedad asociativa: [ ( 7) (+) ] (+) = ( 8) (+) = 0 ( 7) [ (+) (+) ] = ( 7) (+0) = 0. Propiedad conmutativa: ( 6) (+9) = (+9) ( 6) = La suma multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva: Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b c, el producto a (b + c) la suma de productos (a b) + (a c) son idénticos. Ejemplo. ( 7) [ ( ) + (+) ] = ( 7) (+) =

14 Ejercicios. Resuelve el siguiente crucigrama. HORIZONTALES VERTICALES

15 NÚMERO RACIONAL En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, no al pensamiento o actitud racional. Representación gráfica de las fracciones cuo divisor es. En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más senos. Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,7 es la representación decimal del número racional /. El número decimal infinito periódico 0,... es la representación decimal del número racional /). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo a = b, cuando a b son números enteros (con «a» distinto de cero). El conjunto de los números racionales se denota por, que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números inclue a los números enteros es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí número racional son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios. Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales eiste otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

16 Construcción de los números racionales Consideremos las parejas de números enteros donde. denota a. A se le llama numerador a se le llama denominador Al conjunto de estos números se le denota por. Es decir Definición de suma multiplicación en Q Se define la suma Se define la multiplicación Relaciones de equivalencia orden en Q Fracción aparente que es equivalente a dos. Se define la equivalencia cuando Los racionales positivos son todos los tales que Los racionales negativos son todos los tales que Se define el orden cuando Notación 6

17 Los números de tipo son denotados por Las sumas de tipo son denotadas por denota a Todo número se denota simplemente por. Unicidad de un racional Un número racional sólo puede provenir de una única fracción irreducible. Propiedades de los números racionales El conjunto de los números racionales con la suma multiplicación definida de esta manera forman un Cuerpo. Propiedades de la suma multiplicación La suma en Q es conmutativa, esto es: La suma en Q es asociativa, esto es: La multiplicación en Q es asociativa, esto es: La multiplicación se distribue en la suma, esto es 7

18 Eistencia de neutros e inversos Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales se le denota por 0. Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los racionales se le denota por. Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que Cada número racional: con ecepción de 0 tiene un inverso multiplicativo tal que Equivalencias notables en Q si, a b 0, a b 0. Los números enteros en Q Si p es un número entero entonces eiste el número que equivale a p mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define Otras notaciones de números en Q Fracciones mitas 8

19 Cada número racional se puede epresar de forma única como donde A es un entero no negativo, es decir es un racional irreducible no negativo menor que uno. Se epresa como u es una unidad. Es decir La notación es mu sencilla, las reglas son denota a denota a Por ejemplo El conjunto de los números decimales en Q Un número decimal es un número racional de la forma denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir Epresión Racional de un número decimal: el número a en base 0 con un punto a n lugares del etremo derecho, por ejemplo se denota como.78 Representación decimal de los números racionales Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cua epresión sólo puede ser de tres tipos: Eacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo: 9

20 Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo: Periódica mita: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo: En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo eisten un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo: Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede epresarse en fracción de la siguiente manera: Artículo principal: Número periódico Decimales eactos o finitos: Se escribe en el numerador la epresión decimal sin la coma (como un número entero), en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo: Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, la parte anterior al periodo; como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo: Decimales periódicos mitos: Tendrá como numerador la diferencia entre a b, donde a es el número escrito sin la coma, b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo otros tantos "0" 0

21 como cifras decimales no periódicas haa. Ejemplo: Sea el número entonces, por lo que el número buscado será -,,,,, etc. Ejercicios. Completa la tabla siguiente. a b c a b a b c a b c a b c Operaciones con números fraccionarios a) Simplificación de fracciones.

22 ) de 8 ) de ) de 6 ) de 7 6) de 7 7) de de 0) 8 de ) de ) de 6 8 b) Suma de fracciones de igual denominador. Se suman los numeradores esta suma se parte por el denominador común. Se simplifica el resultado se halla los enteros si los ha. Ejercicios. ) ) ) ) ) 6) c) Suma de fracciones de distinto denominador. Se simplifican los quebrados dados si es posible. Después de ser irreducibles se red ucen al mínimo común denominador se procede como en el caso anterior. Ejercicios.

23 ) ) ) ) 8 ) 6) 7) 7 8) ) ) ) 6 ) ) 0 ) ) 8 6) ) ) ) 9 0) 6 ) 6 d) Resta de fracciones de igual denominador. Se restan los numeradores esta diferencia se parte por el denominador común. Se simplifica el resultado se halla los enteros si los ha. Ejercicios. ) ) )

24 7 ) ) 7 6) e) Resta de fracciones de distinto denominador. Se simplifican los quebrados si es posible. Una vez irreducibles, se reducen al mínimo común denominador se restan como en el caso anterior. Ejercicios. ) 8 7 ) ) 6 8 ) 6 ) 6 6) 0 7) 6 8) 9) 8 0) 6 ) 8 6 ) 8 7 f) Multiplicación de fracciones

25 Para realizar esta operación se multiplican los numeradores los denominadores. En caso de que eistan fracciones mitas, se deben convertir a fracciones impropias posteriormente realizar los productos. El resultado se simplifica se halla los enteros si los ha. ) ) ) ) 6 ) 8 7 6) 8 7) 9 8) 7 8 9) 7 6 0) ) 7 7 ) 9 ) ) ) g) División de fracciones. Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el producto es el numerador de la fracción resultante.. Se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, el producto es el denominador de la fracción resultante.. Se simplifica el resultado se hallan los enteros si los ha.

26 Ejercicios. ) ) ) ) 7) ) 6) 8) 9) 0) 9 ) 8 ) 9 7 ) ) ) h) Operaciones combinadas de fracciones. ) ) 0 ) : 8 6 ) 7 ( ) ) ( ) 0 6) ( ) 6 7) ( ) 8) 8 8 ( ) 9) 7 0) ) 7 ) 8 ) ) ) 6

27 7 i) Fracciones complejas. ) = ) = ) + ) + 6 ) ) ) 7 8) 9) 8

28 Todo número racional puede epresarse como un decimal cuos dígitos forman un modelo repetitivo. Un decimal representa un número racional si sólo si la sucesión de d ígitos forma un modelo repetitivo. Números reales (R) Conjunto de todos los números enteros, racionales e irracionales. 8

29 Multiplicación. Es la representación de la suma de una misma cantidad varias veces Una multiplicación se representa con los símbolos,, o ( ). Ejercicios. Resuelve las siguientes multiplicaciones, a completando, en la línea, lo que falta para que se cumpla la igualdad. ) = 8 ) = 7 ) 9 = 7 ) 8 = ) = 6) = 0 7) 7 = 8 8) 9 = 9) 7 = 6 0) = 0 ) = ) 8 = Suma resta con signos de agrupación Ejercicios: Resuelve las siguientes operaciones: ) 8 7 ( ) ) 7 (8 ) ( ) 9

30 ) ( ) ( ) (7 ) ) - (-9 +7) ) ( ) 6) 7 ( ) 7) 8 - ( -6 +) 8) (-0 + ) (- 6) 9) (-8 6 ) (0 +) 0) 6 ( 8) Multiplicación con signo de agrupación Ejercicios: Resuelve las siguientes operaciones. ) (7 ) + ( ) + 8 ) ( ) + (8 ) + ( ) ) { [ ( 7)]} ) 8 { [ ( )] } ) { [ ( ( ) + (7 ))] + } - 6) 6 [ ( )] {7 [ (7 )]} Jerarquía de operaciones Indica el orden en el que se deben realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia raíz, así como los signos de agrupación. De esta forma se garantiza que se obtendrá el resultado correcto. 0

31 Orden de las operaciones orden: Dada una epresión que involucre diferentes operaciones, se realizan en el siguiente ) Potencias raíces: Si se tiene la potencia o la raíz de una suma o resta, estas operaciones se resuelven primero. ) Multiplicaciones divisiones: Se empieza a resolver de izquierda a derecha. ) Sumas restas: También se resuelven de izquierda a derecha. Ejercicios. ) 6 7 = ) = ) 9 = ) 6 = ) ( ) ( ) = 6) ( 6 ) 8 = 7) = 8) = Números primos primo. Un número primo sólo es divisible entre sí mismo la unidad. El, por definición, no es entre 7 ). Ejemplo: 7 es número primo porque sólo es divisible entre sí mismo la unidad (se puede dividir

32 Número compuesto (no primo) Es aquel que además de ser divisible por sí mismo por la unidad lo es por otro factor. Ejemplo: (por otro factor). 9 es un número compuesto porque es divisible entre 9 (por sí mismo), (la unidad) Ejercicios. Señala con una, a los números primos compuestos de acuerdo al renglón que le pertenece. Número Primo Compuesto Descomposición de un número en factores primos Descomponer un número en sus factores primos es convertirlo en un producto indicado de factores primos. 0 = 7 0 = 7 Ejercicios: Descomponer las siguientes cantidades en sus factores primos. ) 7 ) 96 ) ) 76 ) 9

33 6) 0 7) 80 8) 0 9) 67 0) 76 Máimo Común Divisor (MCD) El máimo común divisor de dos o más números es el maor número que los divide a todos eactamente. Ejemplo: Hallar el MCD de 8. El MCD de 8, es: 6 Ejercicios. Halla el MCD de las siguientes cantidades. ) 0 ) 0 6 ) 8 ) 8 ) 6), 6 9 7) 7, 8) 8, 7 6 9), 6 7 0) 0, Mínimo Común Múltiplo (MCM) El Mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que contiene un número eacto de veces a cada uno de ellos. Ejemplo: Hallar el MCM de 8.

34 El MCM de 8 es: =7 Ejercicios. Halla el MCM de las siguientes cantidades. ) 0 ) 0 6 ) 8 ) 8 ) 6), 6 9 7) 7, 8) 8, 7 6 9), 6 7 0) 0, Razones proporciones. Razón o relación: Es el cociente entre dos cantidades, donde el numerador recibe el nombre de antecedente el denominador de consecuente. Ejemplos: ) En la razón 7, 7 es el antecedente es el consecuente. ) En la razón (se lee es a ), es el antecedente es el consecuente. Ejemplo. Proporción: Es la igualdad entre dos razones.

35 8 o :6::8:6, se lee: es a 6 como 8 es a son los etremos, 6 8 son los medios. Al simplificar la fracción se obtiene ½, la razón de proporcionalidad. En una proporción el producto de los etremos es igual al producto de los medios: Ejercicios. En las proporciones siguientes determina el valor que debe tener la letra (incógnita) en cada caso. ) ) n 6 9 ) c 7 ) b 6 ) a 7 8 6) 0 7) 8 a 6 8) 9 c 9) 0) ) ) 7 a 9 n m Ejercicios de aplicación de las razones proporciones. ) Media docena de huevos cuesta 80 pesos, cuánto costarán docenas de huevos?

36 ) Un grupo formado por 9 obreros puede hacer una obra en 6 días. Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en días? ) Un grupo de obreros emplea días, trabajando horas diarias, para efectuar una obra. Si hubiera trabajado horas más cada día, cuántos días habría tardado en acabar la obra? ) Un caminante recorre 9 km en 0 minutos. Cuánto tiempo tardará en recorrer 7 km? Regla de tres simple. Es la operación que se utiliza para encontrar el cuarto término en una operación. A la parte que contiene los datos conocidos se le llama supuesto a la que contiene el dato no conocido se le llama pregunta. a) Regla de tres simple directa. Ejemplo: Se utiliza cuando las cantidades son directamente proporcionales. Si discos compactos cuestan $ 600. Cuánto costarán 8? Planteamiento Supuesto: discos cuestan $ 600. Pregunta: 8 discos cuestan. Procedimientos Se forma la proporción Se realiza la multiplicación de manera cruzada. Se despeja. = 0, Se divide: =

37 Solución: Por lo tanto, 8 discos compactos cuestan $ 900. Observaciones: Si usted se da cuenta en este ejercicio las cantidades son directamente proporcionales, a que al aumentar el número de discos el precio también se incrementa. b) Regla de tres simple inversa. Se utiliza cuando las cantidades son inversamente proporcionales. Ejemplo Se ha planeado que una barda sea construida por hombres en 8 días; sin embargo, sólo se logró contratar a hombres, en cuántos días la construirán? Procedimientos Planteamiento Supuesto: hombres construen la barda en 8 días. Pregunta: hombres la construirán en días. Se forma la proporción. 8 Se invierte cualquiera de las razones. 8 Se realiza la multiplicación de manera cruzada. Se despeja. = Se divide: = 6. 7

38 Solución: Por lo tanto, hombres construen la barda en 6 días. Observaciones: Si usted se da cuenta en este ejercicio, las cantidades son inversamente proporcionales, a que al disminuir el número de hombres, los contratados tardarán más días en construirla. Ejercicios. ) El precio de latas de aceite es de $8, cuántas latas se podrán comprar con $,0? ) Liam escucha la radio durante 0 minutos, lapso en el que ha 7 minutos de anuncios comerciales; si escucha la radio durante 0 minutos, cuántos minutos de anuncio escuchará? ) Durante 70 días de trabajo Ana ganó $, 00. cuánto ganaría si trabajara días más? ) Una llave abierta 6 horas diarias durante 7 días arrojó 6, 0 litros de agua, cuántos litros arrojará durante días si se abre horas diarias? ) Un automóvil gasta 9 litros de gasolina cada 0 Km. Si quedan en el depósito 6 litros, cuántos kilómetros podrá recorrer? 6) En un libro de 80 páginas cada una tiene líneas, cuántas páginas tendrá el mismo libro si en cada una se colocan 0 líneas? 7) Una bodega se llena con, 00 sacos de 6 Kg. de papas cada uno otra de la misma capacidad se llena con sacos de Kg. cuántos sacos caben en la segunda bodega? 8) Si hombres hacen una obra de construcción en 60 días, cuánto tiempo emplearan 0 hombres para realizar la misma obra? 8

39 9) Si hombres terminan un trabajo en 6 días, cuántos más deben añadirse a los primeros para concluir el mismo trabajo en 8 días? 0) Si se llenan frascos con capacidad para 0 gramos, con mermelada de fresa, cuántos frascos de 00 gramos se pueden llenar con la misma cantidad de mermelada? 9

40 NÚMERO IRRACIONAL En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser epresado como una fracción diferente de cero donde esta fracción es irreducible., donde m n son enteros, con n Notación No eiste una notación universal para indicarlos, como que no es generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los Naturales ( ), los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( ) los Complejos ( ), por un lado, que la es tan apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión. Fuera de ello,, es la denotación del conjunto por definición. Clasificación Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aún quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden epresarse mediante el cociente de dos enteros se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda epresión en números decimales es solo una aproimación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional, es solo una aproimación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas. Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproimadamente igual a, en 7 decimales, o bien es igual a, donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta que jamás terminaríamos de escribir. 0

41 Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:. π (Número "pi",...): razón entre la longitud de una circunferencia su diámetro.. e (Número "e",78...):. Φ (Número "áureo",680...): Los números irracionales se clasifican en dos tipos:.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si "" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no eactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica = 0, por lo que es un número irracional algebraico..- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas eponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes: 0, , Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia a que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden epresarse mediante radicales. Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biección con el conjunto de los números naturales. Por etensión, los números reales tampoco son contables a que incluen el conjunto de los irracionales

42 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Recordemos que en secundaria preparatoria se inclue en los programas de matemáticas procedimientos para sumar fracciones o números racionales, para multiplicar dividir polinomios, para resolver ecuaciones lineales cuadráticas, para factorizar epresiones algebraicas, por mencionar algunos. En cada uno de estos temas se utilizan números reales. La idea fundamental en esta sección es la de poder resumir todas las propiedades algebraicas de los números reales que hemos utilizado o que se puedan utilizar. La pregunta es: Qué propiedades elementales bastarán para concluir a partir de ellas todas las demás propiedades que se cumplen en álgebra elemental? Qué tanto las podemos resumir? puesto que si hiciéramos una lista con todas las propiedades que sabemos que se cumplen fácilmente pasarían de cien. La siguiente es una lista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizar completamente las propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, de aquí se pueden deducir las demás propiedades. Los números reales son un conjunto R con dos operaciones binarias + * el cual satisface los siguientes aiomas. Aioma Cerradura Si a b están en R entonces a+b a*b son números determinados en forma única que están también en R. Aioma Propiedad Conmutativa (Suma Multiplicación) Si a b están en R entonces a+b = b+a a*b = b*a. Aioma Propiedad Asociativa. (Suma Multiplicación) Si a, b c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c a*(b*c) = (a*b)*c Aioma Propiedad Distributiva Si a, b c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac Aioma Eistencia de Elementos neutros.

43 R contiene dos números distintos 0 tales que a+0 = a, a* = a para a que pertenece a los reales. Aioma 6 Elementos inversos Si a está en R entonces eiste un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R a es diferente de 0 entonces eiste un elemento /a en R tal que a*(/a) =. [+ El inverso multiplicativo de a también se representa por {$ a^{ } $} El primer aioma garantiza que la suma la multiplicación son operaciones binarias en los números reales. Los aiomas al indican la forma de manipular algebraicamente las dos operaciones. El aioma establece la eistencia de dos elementos distintos 0. Y el último aioma indica la eistencia de los elementos inverso por lo que los números reales forman un campo, nótese que en la segunda parte de este último aioma se supone diferente de cero el número a. También es fácil ver que combinando el aioma con los aiomas 6 tenemos: 0 + a = 0.a = a (-a) + a = 0 (/a)*a = Como es costumbre en álgebra, el producto a*b se representará simplemente por ab, también se puede utilizar un punto a.b Es importante aclarar que estas propiedades de campo son el resultado de muchos años de trabajo de la humanidad para poder llegar a resumir la característica algebraica de los números. En general el álgebra estudia estructuras básicas como grupos, anillos, dominios integrales, espacios vectoriales, campos, etc. que es una clasificación de acuerdo a las propiedades que satisfacen. De las mencionadas un campo es la estructura más completa, que es precisamente la estructura de los números reales. Aparentemente, después de ver los aiomas se pensaría que faltan propiedades pues no se ha mencionado la resta ni la división, faltan potencias raíces, muchas otras cosas. Cómo es posible que con estas propiedades lo demás se cumpla automáticamente? Efectivamente, faltan las ideas de resta, división, potencias, raíces otras más. Pero éstas son una consecuencia de las anteriores; podemos construirlas en base a los seis aiomas lo único que faltaría es dar la definición comprobar que es posible hacerlo.

44 Una manera sencilla de recordar los aiomas básicos es agrupando en lees básicas. Ver Propiedades Básicas. Como a habíamos mencionado a partir de estos aiomas podemos demostrar todas las propiedades algebraicas que conocemos de los números, como un ejemplo veremos que (-a)b = - ab. Ejemplo.. Comprobar (-a)b = -ab usando los aiomas. Demostración: (-a)b = (-a)b + 0 aioma = (-a)b + [ab + (-;ab)] aioma 6 = [(-a)b +ab] + (-ab) aioma = [(-a)+a]b + (-ab) aioma = 0.b + (-ab) aioma 6 = [0.b + 0] + (-ab) aioma = {0.b + [ab+(-ab)]} + (-ab) aioma 6 = [(0.b + ab) + (-ab)] + (-ab) aioma = [(0+a).b + (-ab)] + (-ab) aioma = [ab + (-ab)] + (-ab) aioma = 0 + (-ab) aioma 6 = (-ab) + 0 aioma = -ab aioma Cada una de las propiedades algebraicas se podría demostrar de esta forma, sin embargo una demostración a partir de los aiomas sería demasiado etensa repetitiva de muchas propiedades. Por ejemplo si a tuviéramos la propiedad de que a.0 = 0 nos ahorraríamos seis pasos en el procedimiento anterior. En realidad es conveniente comprobar algunas propiedades

45 básicas sencillas de justificar utilizarlas para la demostración de otras más complicadas. Empezaremos por unas de las propiedades más útiles hasta llegar a comprobar reglas importantes de manejo de epresiones algebraicas. Teorema. Propiedades de álgebra elemental. Si a, b, c son números reales entonces: i. a+b = b+a => b = c le de simplificación para la suma ii. (-a) es único; Posibilidad de la sustracción iii. -(-a) = a iv. -(a+b) = -a + (-b) v. ab = ac, a =/ 0 => b = c vi. es único vii. ( ) = a

46 ALGEBRA Término o Monomio Es una epresión algebraica, la que une a los números a las variables con solo la operación multiplicación..a (el numero esta multiplicando a la incógnita) Términos semejantes: Se denominan términos semejantes de una epresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal. Reducir términos semejantes Consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal (incógnitas eponentes) que les es común. Regla de signos para sumas restas Signos iguales se suman Positivos + a + 8 a = + a (la incógnita se conserva) Negativos b b = 7b (se suman los coeficientes el signo se conserva ) Signos diferentes se restan El signo que va a predominar va ser el del numero maor a + 8 a = b b = Ejercicios. Reduce los términos semejantes ) 7a - 8b + c - 7a + a - 6b - 8a + b = 6

47 ) = ) a - 6b + c - 8b + 7a + c + b + a- 7c - 6a - c = ) m - 7n + m - 7n + n + n - 8p - n + 8p = ) p - 7q + p - p - q + 8p - q + r + p + r = 6) a + b - a - b - 7a + 6b - 8a - b = 7) 7a -,8 b + c - 7,a + a - 6,b - 8a + b = 8) 8a +, b - 7,a + 6, b + 9a -,b + 7b - a = 7

48 9) m - n + m - 7n + n + n - p - n + 8p = 0) a + b - a - b - 7a + 6b - 8a b = Ejercicios. Sumar los siguientes polinomios ). 9 ; ; 6 ). m m n; m nmn ; m m n mn ; m n mn ). ab ac bc ; acbcab; ab bcac 8 8

49 9 ). 6 ; ; mp a b c mp a b c a mp ). ; 7 6 ; Uso de paréntesis en la resta: Recuerda que los paréntesis se usan para agrupar términos separar operaciones.

50 Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él. Ejemplos: ) a a ) + (6 + ) cambia cambia reduce reduce Resuelve las siguientes operaciones ) 0 ( 8) ) 8 6 (7 6 ) ) ( ) ) a b ab 9ab (6a b ab 9ab) ) 6) m mn 9n mn 9n 7) 8 0

51 8) 7 mn n m n m mn n m mn n m mn 9) 7 0) Sumas restas combinadas Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan: Si es positivo, se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.

52 Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él. ) 6 9 ) z z = ) c d a d c a ) u t t w w u = ) 9 7 6) a a a a a a a a a 7) 8 7 m m m m m m m 8) 9 9 8

53 9) ) b a b a b a b a b a MULTIPLICACIONES : Regla de signos para multiplicaciones Positivos ( los números se multiplican los eponentes

54 se suman ) Signos iguales dan positivo ( a ) (8 a ) = Negativos ( b ) ( b) = 0b ( a) ( a) a = a Signos diferentes dan negativo ( a ) ( 8 a ) = ( b ) ( b )= Multiplicación de monomio por monomios Ejercicios. ) b ab a = ) z z z = ) a ab a b = ) (8rs t)(-6r s) = ) (6)(-)(-6) = 6) ( ) = ) r(r - rs + s) = 8) -a b (a b - a b + a b - b ) = 9) a a b a b = 0) a a m =

55 ) a a m = ) a b a = ) m 7 n n = a b a = ) ) 6 z por z = 6) 7 por = 9 8 7) a b ab a b 8) c 8c c 6 = 9) (a + 8b) (a - b) + a(a 7b) = 0) 0 6( ) + ( + ) = Multiplicación de binomios por binomio: Eiste varias formas de multiplicar binomios esta es una de las mas usada: ) Epresión algebraica: a b a 7b

56 ) Separas los términos de el primer paréntesis a -b multiplicas cada uno al segundo paréntesis. aa 7b 6a ab ba 7b ) Resulta: 6a ab 9ab + b 9ab +b ) Reduces términos semejantes: 6a ab + b Ejercicios. Efectúa las siguientes multiplicaciones ) ( + ) ( +) ) por ) e 0 por e ) por ) 6) a a a 7) a b b 8a 8) a a a b 9) ( a b b )( b a b) 0) a ab b por a b División entre monomios Regla de signos para divisiones Positivos ( los números se dividen los eponentes se restan ) 6

57 Al dividir signos iguales dan positivo 6 a a = a 6 a Negativos b b = b b = Al dividir signos diferentes a dan negativo a = b b = ) ) m n p 6 9 m np ) a a a ) 6 m n p m np ) 0 6) a b a b a b a b 7) a a a 8) a a b ab a 9) a b 0) 7 0ab ab ab Uso de paréntesis: En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos separar operaciones. Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan: 7

58 a) Si es positivo, se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él. b) Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él. Nota Si en una epresión algebraica eisten paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar desde el interior. Ejemplo. m 7mn n m mn n ) Como se podrá observar el paréntesis está dentro de un corche este a su vez está dentro de una llave; primero se elimina el paréntesis multiplicando por menos a todos los términos que están en el interior del paréntesis. ) Se reduce términos semejantes, si los ha. m 7mn n m mn n m 7mn n m mn ) Ahora se va a suprimir el corchete, sin cambiar de signos a los términos que están dentro de este, a que el signo que está a lado del corchete es positivo. m 7mn n m mn ) Se reduce términos semejantes, si los ha. m mn n m ) Y por último se va a suprimir la llave, cambiando de signos a los términos que están dentro de éste, a que el signo que está a lado del corchete es negativo. m 6) Se reduce términos semejantes, si los ha. mn n m m mn n Ejercicios. 8

59 9 Elimina los signos de agrupación reduce términos semejantes ) = ) ( +7) ( +6 ++) = ) ( 6 +) + ( -)- ) b a b a a ) m n m n m n m n m )

60 60 7) c b c c b a 8) s r t r s r 9) c a b a c b a c b a 9 0) 6 6 c b a c a b a

61 6 ) p q p q p 7 8 ) ) b a 6 9 ) 0 ) q p q p p q p Valoración de epresiones algebraicas

62 Valorar una epresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos resolver las operaciones indicadas en la epresión para determinar su valor final. Ejemplo: Valoremos la epresión: 8 9, considerando = ; = 9 ()( ) 8()( 9( ) 9 ( ) 8() 0 ) 6 Acomodando los resultados = Reduciendo. = - 7. Ejercicios Calcula el valor numérico de las epresiones algebraicas siguientes, considerando: Epresión algebraica Reemplazar :a = ; b =; c= ; d= ; f = 0 Resultado a bc d ) ) ab bc d ) 6 a f ) a b c d 6

63 ) ( a b) ( c d) 6) c b a 7) ( b c) Sustitución despeje Ejercicios. ) Si p + q = -6 q =, entonces el valor de p es: ) Si m + n = n = -, entonces el valor de m es: ) Si a = - a + b =, entonces el valor de b es: ) Si n m n = -6, entonces el valor de m es: ) Si q = -r, r = s s = 9, entonces el valor de q es: LENGUAJE ALGEBRAICO: Eprese cada una de las siguientes oraciones o frases en sımbolos algebraicos. 6

64 Enunciado Representación matemática Representación matemática Un numero El doble de un numero El doble de un numero, aumentado en La mitas, de un numero aumentado en El triple de un numero, disminuido en 7 La tercera parte, de un numero aumentado en Lo que tiene Omar es igual a lo que tiene Silvana Omar tiene el doble que Silvana Carlos tiene dos veces lo que tiene Diana es tres veces es tres veces mas que La suma de tres números La suma de tres números consecutivos La suma de tres números pares consecutivos La suma de los cuadrados de tres números El cuadrado de la suma de tres números El cubo del doble de un numero El doble del cubo de un numero 6

65 A ecede a B en Tres menos dos veces un numero cualquiera. Propiedades de las ecuaciones: El aioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros. Es decir Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste. Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. Transponer términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Consideremos la ecuación - = + 6 lo que se debe hacer es sumar una misma cantidad a las dos partes + = contraria se elimina se suma esto se ha mecanizado es cuando decimos que pasa con la operación - = + 6 el dos pasa sumando = la pasa = 8 el numero que multiplica la pasa así que = ) + =. ) + = 9. ) w = w +. ) 0 - = 6 ) + 6 = ) 8 + =

66 7) 9 = ) 6 = ) =. 0) 7 ) c a 9 ) ) ) r 9 ) 8 w b t 7) 6) 8) 6 b 0 0) a ) n 0 9) a 66