REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

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1 SUMA REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES (N) 1. Características: Axiomas de Giuseppe Peano (*): El 1 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor (el siguiente ) de n también es un número natural. El 1 no es el sucesor de ningún número natural. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática. (*) Exclusión del 0 como número natural. En su caso, si aceptáramos el 0 como natural, este sería el primer número natural PRODUCTO 2. Operaciones: Definición Aplicación Axiomas de Peano Suma reiterada de un factor (multiplicando) tantas veces como indica el otro factor Propiedad Asociativa El resultado, no depende de la agrupación de los sumandos: a + (b + c) = (a + b) + c El producto, no depende de la agrupación de los factores: a. (b. c) = Propiedad Conmutativa El resultado, no depende del orden de los sumandos: a + b = b + a El producto, no depende del orden de los factores: a. b = b. a Si aceptamos 0 como número natural, existe elemento nulo: el 0 a + 0 = 0 + a = a Existe elemento unidad: el 1 a. 1 = 1. a = a La suma de números naturales, siempre tiene solución en N, es decir: la suma de dos nºs naturales es un nº natural El producto de números naturales, siempre tiene solución en N Propiedad distributiva Permite transformar el producto de un número por una suma en una suma Repaso N, Z y Q Página 1

2 POTENCIA (multiplicador) a. b = a + a + a + a (b-veces) Producto de un número (base) por sí mismo tantas veces como indica otro (exponente) a ⁿ = a. a. a. a ( n-veces) (a. b). c de productos a. (b + c) = a. b + a. c La desaplicación, supone la extracción de factor común. Es decir: Si actuamos de derecha a izquierda, extraemos factor común Producto de potencias de la misma base: a ⁿ. a p = a n + p División o Cociente de potencias de la misma base: a n : a p = a n p Si se acepta 0 como natural: a o = 1 Potencia de un producto = Producto de las potencias: ( a. b) m = a m. b m Potencia de una división = división de las potencias: (a : b ) m = a m : b m Potencia de una potencia: (a m ) p = a m. p 3. Consideraciones varias: La suma es la operación básica y esencial en N: la potencia es una forma de producto; el producto es una forma de suma: 2 3 = = (2. 2). 2 = (2. 2) + (2. 2) = (2 + 2) + (2 + 2) = = 8 Jerarquía o prioridad operativa en una serie de operaciones combinadas: o Potencias o Productos o Sumas Repaso N, Z y Q Página 2

3 Esta prioridad sólo la altera el paréntesis o corchete. La serie incluida en el paréntesis o corchete, debe realizarse respetando siempre, también, la jerarquía en las operaciones. Aunque también se realizan cálculos con restas y divisiones con números naturales, ha de entenderse: La resta o sustracción en N, sólo es posible si el minuendo es mayor que el sustraendo, si no se considera 0 como número natural. En su caso, también es posible si ambos son iguales y aceptamos el 0 como número natural; es decir: a b = c, si a b. o Si a b, a b no tiene solución en N: el resultado no es un número natural. Esta limitación, fuerza la formación de los números enteros Z. La división en N, entendida como operación inversa al producto, sólo es división exacta si el dividendo es múltiplo del divisor. En efecto, m : p = n siempre que m = p. n, es decir el natural m (dividendo) es un múltiplo del natural p (divisor). Si esta condición no se cumple, no existe el cociente n como número natural. Esta limitación origina la formación de los números racionales Q. Si el dividendo no es múltiplo del divisor, se cumple que D = d. q + r (División entera) o Divisibilidad en N (múltiplos y divisores de un número natural): Un número a es múltiplo de otro b (también se dice que a es divisible por b) si b es un divisor de a (también se dice que el número b divide al número a). Es decir: a es múltiplo de b si existe un natural k tal que a = k. b. Por ejemplo, se dice que 8 es múltiplo de 2 porque 2 es un divisor de 8: el cociente de 8 entre 2 es un número natural ( 8 = 2. 4 ) Cualquier número natural tiene infinitos múltiplos. Si consideramos 0 como número natural, el 0 es múltiplo de cualquier número natural. Un número natural, tiene un número limitado de divisores. El natural 1, es divisor de todos los números naturales. Son números primos los que tienen sólo dos divisores: ellos mismos y la unidad. Son números compuestos todos los demás y se pueden expresar como producto de factores primos. El mínimo común múltiplo de varios números naturales (m.c.m.) es el múltiplo común más pequeño. Se obtiene multiplicando los factores primos comunes y los no comunes afectados con el mayor exponente, provenientes de la factorización correspondiente de cada número dado. Repaso N, Z y Q Página 3

4 El máximo común divisor de varios números naturales (m.c.d.) es el mayor de los divisores comunes. Se obtiene multiplicando los factores primos comunes afectados con el menor exponente, provenientes de la factorización correspondiente de cada número dado. También puede emplearse el Algoritmo de Euclides.(*) Son números primos entre sí aquellos cuyo m.c.d. es la unidad, es decir: el único divisor común que poseen es el 1. Al mismo tiempo, el m.c.m. de números primos entre sí es su producto. Para cualquier par de números naturales, a y b, se cumple que: m.c.m.(a y b). m.c.d.(a y b) = a. b (*) Algoritmo de Euclides para la obtención del m.c.d. de dos números (especialmente si son grandes ). Se basa en la siguiente propiedad: Si d es divisor común de p y q, y p > q, entonces d es divisor del resto de dividir p entre q. Ejemplo, queremos calcular el m.c.d. de 520 y 360. Siendo entonces 40 el m.c.d. de 520 y 360. Lo que hemos hecho es una serie de divisiones: la primera entre el mayor de los números y el menor. A continuación volvemos a dividir el menor entre el primer resto y así sucesivamente hasta lograr un resto que siendo después divisor haga la división exacta. Ese último divisor es el m.c.d. buscado. En caso de que se nos solicite el m.c.d. de tres números, primero se calcula el m.c.d. de los dos primeros y luego se repite el proceso con este m.c.d. y el tercer número. NÚMEROS ENTEROS (Z) 1. Características: A nivel práctico, lo más significativo es que se construyen a partir de los números naturales entendiendo que estos quedan incluidos en Z. Es por ello que se suele utilizar la expresión coloquial: los enteros positivos no requieren signo. Repaso N, Z y Q Página 4

5 Ojo, el número entero 0, carece de signo. Las operaciones en Z, se definen como una generalización de las operaciones en N. La operación suma en Z: Depende del signo de los sumandos: o Si tienen igual signo, se suman como los naturales y el resultado mantiene el mismo signo de los sumandos. o Si tienen distinto signo, se restan y el resultado presenta el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto (sin considerar el signo) Además de las propiedades que ya se aceptan en N, admite la existencia de un neutro: el elemento nulo, el entero 0 y otorga a cada número entero su opuesto: de a, su opuesto es a, de tal forma que la suma de ambos, se neutraliza, es decir: a + (-a) = 0. La aplicación consecutiva del concepto de opuesto, permite transformar la resta de dos enteros en la suma al primero de ellos del opuesto del segundo: a b = a + (-b). De este modo restar un número es sumar su opuesto. Con ello, la resta de números enteros siempre tiene solución en Z: la diferencia de dos números enteros es un número entero. La operación producto en Z: La diferencia respecto al producto de naturales, es la regla de los signos : factores de mismo signo, ofrecen un producto positivo; factores de distinto signo, tienen producto negativo. Mantiene las mismas propiedades que en N. Sólo cabe destacar que el elemento unidad es el 1. Respecto a la divisibilidad en Z, se mantienen los mismos argumentos que en N La potenciación en Z, tiene como situación nueva respecto a N que tanto la base como el exponente pueden ser números negativos. Si a 0, y el exponente m es positivo, resulta que la potencia puede desarrollarse según la definición: (-a) m = (-a). (-a). (-a).. (-a) [m veces]. Entonces el signo de la potencia (-a) m será positivo si el exponente m es par, y será negativo si el exponente m es impar. Sin embargo si el exponente m 0, se tiene: a - m = 1 a m, es decir: una potencia de exponente negativo es la inversa de la potencia pero con exponente positivo. Los demás casos de la potencia en Z son los mismos que en N y habrá que prestar atención al producto de enteros. Repaso N, Z y Q Página 5

6 OTRAS OPERACIONES: 1. La radicación. Expresión potencial de una raíz: = a 1/n y en general: p = a p/n Propiedades de la radicación (todas se obtienen por la expresión potencial de una raíz y dada la existencia de la raíz) La raíz de un producto, es el producto de las raíces: = (a. b) 1/n = a 1/n. b 1/n =. La raíz de una división o cociente, es la división o cociente de las raíces: = : La raíz n-sima de la raíz m-sima de un número es la raíz mn-sima de dicho número: = (a 1/m ) 1/n = a 1/m.n = La raíz de una potencia, es la potencia de la raíz: = (a p ) 1/n = a p/n = (a 1/n ) p = ( FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES CONCEPTO DE FRACCIÓN: Par de números naturales o enteros ordenados de la forma a/b tales que b 0 (a = numerador; b= denominador) Como parte de una unidad (para a y b números naturales): Si a < b, resulta una fracción propia, representa menos de la unidad. Ej.: 2/5 Si a > b, resulta una fracción impropia, representa más de una unidad. De aquí, los números mixtos: con parte entera y parte fraccionaria. Ej.: 5/2 = 2/2 + 2/2 + 1/2 = /2 = 2 + 1/2 = 2 ½ Como operador: [numerador: factor; denominador: divisor] Como cociente exacto entre dos números. Por ejemplo: el cociente más exacto posible de 2 entre 3, es 2/3. Así, se definen los números racionales Q. Fracciones equivalentes: aquellas que representan la misma cantidad de la misma unidad aunque tengan términos distintos una y otra. Ej.: 2/3 y 4/6. Propiedad fundamental: al multiplicar sus términos en cruz, obtenemos el mismo resultado:. <=> Formas de obtener fracciones equivalentes: Repaso N, Z y Q Página 6

7 a. Por amplificación: multiplicando sus términos por un mismo número. Se deduce que dada una fracción, esta tiene infinitas fracciones equivalentes a sí misma. b. Por simplificación: dividiendo sus términos por un mismo número, que será el m.c.d. de dichos términos. Este proceso concluye con la fracción irreducible, cuyos términos serán, evidentemente, primos entre sí. En sentido estricto, estas fracciones son los números racionales Q. Por tanto, un número racional se representa a sí mismo y a las infinitas fracciones que son equivalentes entre sí. Esta es la razón por la que podemos operar con las fracciones: las fracciones equivalentes entre sí, representan el mismo número racional. Con los números racionales, se solventa la limitación de la división de los números enteros. Operaciones: Suma (resta): imprescindible que tengan el mismo denominador, pues es imposible la suma de sumandos de distinta naturaleza : 2 quintos + 7 sextos =? Si los sumandos no tienen igual denominador, hay que reducir a común denominador: Por el procedimiento del cálculo del m.c.m. de los denominadores, que será el denominador común. En todo caso, se obtienen fracciones equivalentes a las inicialmente dadas, por amplificación, que representan a los mismos sumandos iniciales. Propiedades: asociativa, conmutativa, fracción nula [ 0/b ], fracciones opuestas. Multiplicación: Dadas dos o más fracciones, su producto es otra fracción cuyos términos son los productos de los términos de las fracciones factores. No es preciso que tengan el mismo denominador. Es decir: Propiedades: asociativa, conmutativa, fracción unidad (fracción con sus dos términos iguales), fracciones inversas. Si la comparamos con la suma (resta), también es distributiva respecto a la suma (resta) División: Dadas dos fracciones, su división consiste en multiplicar la fracción dividendo por la fracción inversa del divisor, lo que es posible por la aplicación consecutiva del concepto fracción inversa. Es obviamente posible por admitir el producto la existencia de fracción inversa y esta a su vez por la existencia de la fracción unidad. Tampoco es preciso que tengan el mismo denominador. Es decir: Repaso N, Z y Q Página 7

8 Potencia: La potencia en las fracciones es la potencia de una división o cociente, por tanto es también la división o cociente de las potencias: [ a/b ] n = a n / b n Raíz: La raíz de una fracción, es la raíz de una división o cociente, por tanto es también la división o cociente de las raíces: Fracciones decimales: Aquellas cuyo denominador es una potencia de 10. Es decir: el denominador de la fracción irreducible correspondiente sólo tiene potencias de 2 y de 5 a / 10 n = a / ( 2. 5 ) ⁿ = a / 2 ⁿ. 5 ⁿ (Representan a los números decimales exactos, los que tienen un número limitado de cifras decimales) Una aplicación práctica usual: el tanto por ciento de una cantidad: a % de b = de b, que se resuelve como una fracción operador. Repaso N, Z y Q Página 8

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