CONTRIBUCIÓN AL ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA SEMÁNTICA DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS ELEMENTALES

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1 UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA DEPARTAMENT DE DIDÀCTICA DE LA MATEMÀTICA I DE LES CIÈNCIES EXPERIMENTALS CONTRIBUCIÓN AL ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA SEMÁNTICA DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS ELEMENTALES Màster de Recerca en Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències Experimentals Angela Castro Inostroza Tutoras: Núria Gorgorió y Montserrat Prat 7 de Julio de 2013 i

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3 UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA DEPARTAMENT DE DIDÀCTICA DE LA MATEMÀTICA I DE LES CIÈNCIES EXPERIMENTALS CONTRIBUCIÓN AL ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA SEMÁNTICA DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS ELEMENTALES Màster de Recerca en Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències Experimentals Angela Castro Inostroza Tutoras: Núria Gorgorió y Montserrat Prat 7 de Julio de 2013 i

4 ÍNDICE DE CONTENIDOS Introducción Planteamiento del problema... Error! Marcador no definido. 2. Marco teórico Formación del profesorado de primaria en matemáticas La importancia de la resolución de problemas Estructura semántica, variable sintáctica y contenido semántico Problemas directos y no directos Marco metodológico Paradigma y enfoque de la investigación Contexto y participantes Instrumentos de recolección de datos Instrumento para el análisis de los datos Elaboración del instrumento Análisis y Resultados Análisis y resultados para la primera parte del cuestionario Resultados para la segunda parte del cuestionario Pregunta 1: utilizar faltar y resolver con una suma Pregunta 2: utilizar añadir y resolver con una resta Pregunta 3: utilizar menos y resolver con una suma Pregunta 4: utilizar más y resolver con una resta Conclusiones Bibliografía

5 Introducción Al dictar durante dos años consecutivos la asignatura Aprendizaje Matemático y Curriculum, se observó que los estudiantes de segundo año del grado de Educación Primaria de nuestra Universidad, tienen una visión limitada acerca de cómo plantear problemas de sumas y restas con una única operación (Prat y Gorgorió, sin publicar). Estos basan la formulación de sus problemas de suma y resta en el uso de indicios verbales y utilizan las estructuras más sencillas de resolver. A partir de esto, no resulta curioso que al pedir a los alumnos que redacten un problema de suma o de resta, la gran mayoría de los problemas que proponen sean del tipo: Esta mañana me he comido 5 manzanas. Durante la tarde me como 3 más. Cuántas manzanas me he comido en total? o Si tengo 3 ordenadores y mi madre me regala 1 más, Cuántos ordenadores tendré? Esta realidad nos lleva a reflexionar pues se espera que los futuros maestros sean capaces de desarrollar en sus alumnos una competencia matemática en resolución de problemas, que puedan resolver situaciones problemáticas de la vida real cuya solución no se obtenga de manera inmediata, ni a través del uso de estrategias superficiales. Desde este punto de vista, consideramos necesario preparar a los futuros maestros para plantear en las aulas problemas que constituyan un reto para sus alumnos, cuya solución no se limite al uso de estrategias superficiales y que promuevan una verdadera compresión matemática de las situaciones. En particular nos centramos en los problemas de suma y resta con una operación, denominados también problemas aritméticos elementales (Puig y Cerdán, 1988). Sin embargo para ayudar a los futuros maestros a plantear problemas desafiantes, que involucren mucho más que el uso de estrategias superficiales, se requiere por una parte, estudiar las estructuras semánticas y comprender su naturaleza para poder actuar sobre ellas. Por otro lado, desarrollar e implementar a partir de este conocimiento, una secuencia de formación sobre pensamiento aditivo que movilice el conocimiento de los estudiantes, teniendo como referencia el análisis de estas estructuras. El trabajo que presentamos es la primera parte de este proceso, y tiene como objetivo analizar la naturaleza de la estructura semántica de los problemas aritméticos elementales. Para ello, partimos de la propuesta de Orrantia, González y Vicente (2005), según la cual el grado de dificultad que presenta el enunciado de un problema depende esencialmente de su estructura semántica. Sin embargo, al ir profundizando 3

6 en nuestro estudio, vimos que, además del tipo de estructura semántica, en el análisis debíamos también considerar el lugar que ocupa la cantidad desconocida y los indicios verbales presentes en el enunciado, como elementos que inciden en la dificultad de un problema. A partir de ello también nos apoyamos en los trabajos de Puig y Cerdán (1988), Maza (1991) y Cañadas y Castro (2011), entre otros, y analizamos y clasificamos estos problemas considerando su estructura semántica, variable sintáctica y contenido semántico. En este documento, presentamos el análisis de los problemas aritméticos elementales planteados por 128 estudiantes de segundo año del Grado de Educación Primaria (curso ), que aún no han cursado la asignatura Aprendizaje Matemático y Currículum, en la cual se estudia de manera específica el pensamiento aditivo. Identificando que tipo de estructuras aditivas son las que están más presentes en los enunciados que proponen los alumnos y determinando su naturaleza; además, analizamos qué piensan sobre el planteamiento de este tipo de problemas. Queremos aclarar que es nuestra intención, para un trabajo posterior, implementar una secuencia de formación para ampliar el uso de estructuras aditivas en las aulas de Primaria. Este es el motivo que nos llevó a elegir estudiantes del Grado de Educación Primaria, puesto que son estos alumnos a los que aplicaremos la secuencia de formación. La única restricción es que los alumnos no deben haber cursado aún la asignatura Aprendizaje Matemático y Currículum.

7 1. Planteamiento del Problema En el trascurso de los últimos años las propuestas de reforma para la enseñanza de las matemáticas han destacado la importancia de que los profesores reflexionen sobre la forma en la que los alumnos aprenden los contenidos y las características del discurso matemático que se genera en el aula, ya que se desea promover el desarrollo de una verdadera comprensión de las matemáticas que involucre más que un conocimiento y dominio procedimental. Sin embargo esta concepción implica la necesidad de que los futuros profesores aprendan a analizar cuál es el papel que desempeñan los problemas matemáticos y como gestionar la interacción docente cuando los alumnos se enfrentan con dichos problemas (Llinares, 2006). Al respecto, evaluaciones internacionales como PISA, definen una forma de competencia matemática que exige un conocimiento que va más allá del dominio de las técnicas matemáticas que tradicionalmente se enseñan en la escuela (Castro, 2007), demandando la capacidad de los alumnos para resolver e interpretar situaciones problemáticas del mundo real en las que su solución no se obtiene de manera inmediata (Orrantia, González, y Vicente, 2005.). Esta evaluación se sustenta en el dominio de la alfabetización matemática, que hace referencia a las capacidades que los alumnos deben desarrollar para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemáticos en diferentes contextos, visión que señala a las matemáticas como un proceso que proporciona respuestas a los problemas (Rico, 2006). Cabe destacar que a pesar de que PISA evalúa sólo a estudiantes de 15 años, se considera que el desarrollo de las competencias matemáticas tiene que ser un objetivo educativo de toda la enseñanza obligatoria, por lo que los maestros de primaria también han de trabajar en este sentido, ya que los estudiantes de magisterio que no poseen en grado suficiente las competencias matemáticas, ni las actitudes positivas hacia ésta señaladas en PISA, evidencian posibles dificultades para dirigir un proceso de aprendizaje matemático eficaz en sus alumnos (Castro, 2007). Esta concepción sobre la enseñanza de las matemáticas ha promovido el desarrollo de diferentes investigaciones sobre formación inicial en estudiantes de magisterio. Algunas de estos estudios se han centrado en analizar en que grado los futuros maestros adquieren las competencias necesarias para la enseñanza de las 5

8 matemáticas y otros en el tipo de conocimiento matemático que desarrollan (Rico, 2006; Castro, 2007; Rico y Díez, 2011). En particular se ha observado que existe una visión limitada acerca del pensamiento aditivo que poseen los estudiantes de magisterio, como es el caso del planteamiento de los problemas de suma y resta que proponen. Estos basan la formulación de sus problemas en el uso de palabras clave como añadir o juntar para la suma, o quitar y perder en el caso de la resta (Prat y Gorgorió, sin publicar), lo que se contradice con la concepción de las matemáticas que deben promoverse bajo el enfoque PISA. Al respecto Orrantia (2006), señala que las operaciones básicas deberían estar al servicio de la resolución de problemas y no utilizar los problemas sólo como una forma para ejercitarlas, como se hace tradicionalmente, en las que el alumno aprendía a sumar y resolvía un gran número de problemas de suma con el objetivo de ejercitar la operación hasta llegar a automatizarla. Bajo este contexto se podría suponer que la dificultad que presentan los alumnos en la resolución de problemas podría atribuirse a la utilización de estrategias inadecuadas, promovidas por falta de instrucción o porque no se crean las condiciones necesarias para su uso (Orrantia, 2006). Como consecuencia, muchos alumnos no basan su proceso de resolución en la compresión del enunciado, sino que lo hacen a través del uso de estrategias superficiales como la búsqueda de palabras claves en el enunciado del problema (Verscheffel y De Corte, 1997). Sin embargo el uso de este tipo de estrategias es promovido por el gran número de problemas rutinarios que comúnmente se plantean a los alumnos, los que coinciden con los problemas más sencillos de resolver desde el punto de vista de su estructura semántica propuestos en los libros de texto (Orrantia, et al., 2005) y cuya solución puede ser obtenida al utilizar este tipo de estrategias (Orrantia, 2006.). En consecuencia, con lo anterior se podría señalar que el tipo de problemas que enfrentan los alumnos condiciona el tipo de estrategias y conocimientos que se promueven (Orrantia, et al., 2005). Se han realizado diferentes investigaciones que analizan la influencia de variables superficiales del problema (el número de palabras o la complejidad sintáctica entre otras). Diversos autores han abordado el tema analizando de manera particular la estructura semántica que poseen los problemas de suma y resta con una operación, destacando la influencia directa que tiene esta estructura en la dificultad del problema (Riley, Greeno y Heller, 1983; Puig y Cerdán, 1988; Maza, 1991; Orrantia, 2003, 2006; y Orrantia, et al., 2005; Cañadas y Castro, 2011). Esto ha originado que se distingan diferentes tipos de categorías para los

9 problemas de suma y resta con una operación, considerando las relaciones que se establecen entre los elementos que aparecen en el enunciado, y el orden en que estos se presentan. En base a esta problemática y a la importancia que los futuros maestros planteen problemas desafiantes, cuya solución no se limite al uso de estrategias superficiales, este estudio se centra en el análisis de la estructura semántica de los problemas aritméticos elementales que proponen los alumnos encuestados, así como el uso que le dan a los indicios verbales. Considerando no sólo la relación entre los elementos que aparecen en el enunciado, si no también el lugar que ocupa la incógnita, el orden en que aparecen los datos y el uso de los indicios verbales. A raíz de esto, surge la pregunta de este trabajo de investigación: Cuál es la naturaleza de las estructuras semánticas de los problemas aritméticos elementales que proponen los alumnos del Grado de Educación Primaria, antes de cursar la asignatura Aprendizaje Matemático y Currículum? OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL Analizar la estructura semántica de los problemas aritméticos elementales que proponen los alumnos del Grado de Educación Primaria, antes de cursar la asignatura Aprendizaje Matemático y Currículum. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Analizar la estructura semántica de los problemas aritméticos elementales considerando el orden en el que aparecen los datos en el enunciado, el lugar que ocupa la cantidad desconocida y el uso de indicios verbales. Identificar la estructura semántica de los problemas aritméticos elementales que plantean los alumnos del grado de educación primaria, que aún no han cursado a asignatura Aprendizaje Matemático y Currículum, determinando el uso que le dan a los indicios verbales. 7

10 2. Marco teórico 2.1- Formación del profesorado de primaria en matemáticas Llinares (2012), señala que la identificación y caracterización del conocimiento matemático necesario que deben adquirir los maestros en formación para la enseñanza de las matemáticas, ha sido una preocupación constante para los formadores de maestros. Este autor sostiene que en el transcurso de los años esta preocupación inicial ha evolucionado hacia el desarrollo de reflexiones sobre las características de las tareas que deben considerarse dentro de estos procesos de formación, construidas en base al análisis de la práctica de enseñar matemáticas y lo que significa ser competente en este tipo de situaciones. Así las propuestas sobre reformas para la enseñanza de las matemáticas han destacado la importancia de que los profesores consideren la manera en la que los alumnos aprenden los contenidos matemáticos y el tipo de discurso matemático que se genera en el aula. Sin embargo para que esto sea posible los futuros maestros deben ser capaces de promover discusiones enriquecedoras a través del uso de problemas matemáticos, por lo que los programas de formación deben promover su capacidad de observar, analizar e interpretar lo que sucede en la clase de matemática (Llinares, 2006). Gutiérrez, Gómez y Rico (2012), presentan una aproximación metodológica que pretende utilizar para describir el conocimiento de didáctica de la matemática que manifestaron los futuros profesores de primaria en el área de numeración. Este trabajo forma parte de un estudio internacional comparativo sobre los planes de formación inicial, y los conocimientos que los futuros profesores de primaria y secundaria debieran conseguir durante su preparación como profesores de matemáticas (TEDS- M, Teacher Education Study in Mathematics). Estos autores señalan que inicialmente sólo han estudiado la formación inicial del profesorado español, y el informe que han elaborado ya se encuentra en fase de edición para ser publicado. Al respecto Castro (2007), sostiene que los futuros maestros deben promover el desarrollo de las competencias y destrezas matemáticas básicas que necesitan adquirir los alumnos para ser ciudadanos del siglo XXI, competencias que son medidas por evaluaciones internacionales como PISA. Si bien este tipo de evaluación es aplicada a estudiantes de 15 años, se considera que el desarrollo de las

11 competencias matemáticas tiene que ser un objetivo educativo de toda la enseñanza obligatoria, por lo que los profesores de primaria también han de enfocar su trabajo en este sentido. Bajo esta temática Castro (2007), realizó un estudio sobre evaluación de las competencias matemáticas bajo el enfoque PISA en estudiantes de magisterio. En este estudio se relevó que los estudiantes de magisterio poseen un perfil bajo de rendimiento en las competencias matemáticas evaluadas. Este autor señala que la mayoría de estos alumnos de magisterio, no superan significativamente el porcentaje de aciertos que obtienen los alumnos de 15 años en tareas matemáticas al estilo PISA, ya que a pesar de que los maestros en formación tienen un mayor rendimiento en tareas de resolución, este disminuye considerablemente cuando las tareas exigen competencias de conexiones y reflexión. La situación planteada por Castro (2007.) resulta preocupante, pues se espera que los futuros maestros ayuden a sus alumnos a adoptar actitudes y estrategias que sean eficaces para su aprendizaje. Además, se espera que los profesores intervengan sobre la manera en la que los alumnos afrontan las situaciones problemáticas, no limitándose sólo a su instrucción. Ante este escenario cabe preguntarse cómo podrán promover los futuros maestros el desarrollo de competencias matemáticas que ellos no poseen? Al respecto Castro (2007) sostiene que los estudiantes de magisterio que no poseen en grado suficiente las competencias matemáticas, ni las actitudes positivas identificadas en PISA, evidencian las posibles dificultades que tendrán para dirigir un proceso de aprendizaje encaminado al dominio funcional de las matemáticas. Llinares (2006), señala que es conveniente para un maestro que deberá gestionar situaciones de enseñanza-aprendizaje de contenidos matemáticos, a grupos de alumnos diversos y en contextos escolares particulares, aprender a analizar estas situaciones para ser capaz de identificar el conocimiento que es necesario y decidir cómo usarlo para tomar decisiones adecuadas. Por todo ello se requiere que los programas de formación apoyen el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes de magisterio durante el tiempo que aprenden a ser maestros (Castro, 2007) y que promuevan una visión del aprendizaje de las matemáticas que implique más que la reproducción de conceptos y el uso de procedimientos algorítmicos, promoviendo el hacer matemáticas a través de problemas desafiantes para los alumnos, en los que su solución no resulte obvia o no se obtenga de manera inmediata. 9

12 2.2 - La importancia de la resolución de problemas Orrantia et al., (2005), señala se es reconoce que la utilidad práctica de las matemáticas queda reflejada a través de la resolución de situaciones problemáticas verbales, ya que permite que los alumnos desarrollen las habilidades sobre cuándo y cómo aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones de la vida cotidiana. Sin embargo es importante señalar qué tipo de situaciones son las que permiten desarrollar estas capacidades y en particular que entenderemos por problema. Puig (1996), señala que la diversidad de significados que adquiere el término problema proviene de la variedad de disciplinas que lo examinan, así como de la forma en que lo hacen y el posicionamiento que adoptan al respecto. Así pues, desde una perspectiva más psicológica el término problema hace referencia a una situación en que se le pide a un sujeto que ejecute una tarea a la que no se había enfrentado previamente y en la que las instrucciones proporcionadas no especifiquen por completo su solución. En el ámbito de la educación matemática, este autor define un problema de matemática escolar como una tarea de contenido matemático, cuyo enunciado es significativo para el alumno al que se ha planteado, qué este desea abordar, y para la cual no se ha producido sentido (p.31). En el presente trabajo utilizaremos la concepción de problema planteada por Orrantia et al., (op.cit.), pues en esta definición se ha basado la secuencia de formación que se tiene como objetivo analizar. Por tanto consideraremos un problema como una descripción verbal de una situación problemática en la que se plantean una o más preguntas que se pueden responder tras la aplicación de operaciones aritméticas a los datos que aparecen en el texto del problema. En este sentido un problema debe incluir el uso de palabras para describir la situación y referirse a un contexto existente que sea significativo o imaginable. Sin embargo esta definición no incluye ninguna consideración del nivel de dificultad implicado en la tarea, por lo que este autor la complementa señalando que un verdadero problema depende de la relación entre los conceptos, habilidades y conocimientos necesarios para generar una respuesta satisfactoria de quien debe resolverlo. Respecto a qué consiste la resolución de problemas, Orrantia (2003) señala que existen diferentes aproximaciones que intentan explicarlo, pero que en términos generales se considera la resolución de un problema como un proceso que comienza con un texto lingüístico y termina con una operación que da paso a una solución numérica, en la que se pueden distinguir dos procedimientos para efectuar esta

13 resolución. Así este autor sostiene que el primero de estos procedimientos constituye un elaborado proceso en el que intervienen distintos componentes y en el que la representación del problema resulta la base para su resolución. El texto verbal se transporta a una representación interna abstracta en la que se almacenan las distintas proposiciones, sus relaciones y la situación cualitativa descrita en el enunciado y en base a ésta, se selecciona una operación aritmética o una estrategia de conteo informal a ejecutar para encontrar el elemento desconocido. Finalmente se puede reactivar la representación inicial del problema, sustituyendo el elemento desconocido por el resultado encontrado y se llevan a cabo una serie de acciones para comprobar la exactitud de la solución obtenida. Por el contrario, en el segundo procedimiento llamado método de la palabra clave, computar primero y pensar después, entre otros,se utilizan indicios o palabras claves que se trasponen directamente al modelo matemático, sin construir una representación cualitativa de la situación del problema. Nesher (2000), sostiene que el hecho de que los textos de los problemas de enunciado verbal estén sobrecargados de números de forma artificial, resalta el rol especial que se les da a los objetos para ser manipulados numéricamente, sin recordar el propósito que estos tienen en sus determinados contextos. Además esta autora destaca que como consecuencia de presentar a los alumnos problemas de enunciado verbal de forma artificial, en los que se utiliza un especializado y limitado vocabulario, se promueve la utilización de cualquier indicio verbal del texto como un indicador de la operación matemática que debe utilizarse. En consecuencia, muchos alumnos basan su proceso de resolución en la búsqueda de estos indicios verbales, que en muchos casos son promovidos por los maestros en su intento por ayudar a los niños a pasar del enunciado verbal al lenguaje matemático, sugiriéndoles apoyarse en el significado de indicios verbales para encontrar la operación matemática más precisa. En particular para el caso de los problemas de suma y resta, los alumnos que utilizan el modelo de la palabra clave como método de resolución, identifican palabras como ganar, perder, gastar, más que, entre otras; para luego asociarlas con las operaciones de suma o resta a realizar (Orrantia, 2003). Orrantia, et al. (2005.), señalan que el uso de este tipo de estrategias superficiales tienen en común un estilo impulsivo y precipitado, que manifiestan los alumnos al enfrentarse a situaciones problemáticas sin leer cuidadosamente el problema, lo que no les permite acceder a una representación de la situación en base al enunciado. Estos autores sostienen que estas situaciones pueden ser promovidas por las prácticas de enseñanza y los materiales curriculares. Señalan, que un ejemplo de ésto son los problemas de suma y resta que aparecen en los libros de texto, que tienden a 11

14 ser formulados y agrupados de modo que el uso de estrategias superficiales puede conducir a una ejecución correcta del problema, por lo que el uso de este tipo de estrategias resultan efectivas para resolverlos, pero llevan al fracaso cuando los problemas precisan hacer algo más que seleccionar los datos y buscar alguna palabra que permita llegar a una operación. Por tanto, concordamos con Orrantia, et al., (2005) que para resolver un problema se requiere desencadenar una serie de estrategias que permitan crear una representación de éste, siendo un proceso en el que interactúan diferentes tipos de conocimientos (lingüísticos, del mundo y matemáticos), pero en los que su representación estará mediatizada por la estructura semántica del problema. Por esto, se considera que dentro de las variables del problema, esta estructura tiene una gran relevancia, pues posee una influencia directa sobre el grado de dificultad de la situación que se plantea Estructura semántica, variable sintáctica y contenido semántico En el apartado anterior se ha destacado la importancia de que los alumnos desarrollen la competencia de resolución de problemas y que el tipo de problemas al que se enfrenten sean situaciones desafiantes, cuya solución no se obtenga de manera inmediata, ni a través del uso de estrategias superficiales. Sin embargo, como señalan Orrantia, et al., (2005), la utilidad práctica de la resolución de problemas se ve contrastada con las dificultades que presentan muchos alumnos en el proceso de resolución. Estos autores consideran que esta discrepancia puede ser atribuida a diferentes factores, entre los que identifican las heurísticas que los alumnos utilizan, el conocimiento conceptual necesario para resolver cierto tipo de situaciones y las variables propias del problema. Destacan que las heurísticas y los conocimientos conceptuales se ven afectados por el grado de dificultad que presentan los problemas, el cual depende esencialmente de su estructura semántica, por lo que el tipo de problemas al que se somete comúnmente a los alumnos determinará el tipo de estrategias y conocimientos que se promoverán. En función de su estructura semántica podemos hablar de distintos tipos de problemas dependiendo de las relaciones que se establecen entre los elementos que aparecen en el enunciado. La clasificación de Vergnaud (1982) de los problemas de estructura aditiva es posiblemente una de las primeras en el campo. Posteriormente son muchos

15 los autores que han propuesto esquemas de clasificación para los problemas de suma y resta con una operación. Riley, Greeno y Heller (1983), Puig y Cerdán (1988), Maza (1991), Carpenter, Fennema, Loef, Levi y Empso (1999), Orrantia (2003 y 2006), Orrantia, et al. (2005) y Cañadas y Castro (2011) son algunos de los que han publicado en relación al tema. Esencialmente, la mayoría de los autores diferencian tres categorías básicas que corresponden a los tres tipos de problemas a los que los alumnos se enfrentan frecuentemente en el aula: cambio, combinación y comparación. Puig y Cerdán (1988), Orrantia (2003), Orrantia, et al., (2005) y Cañadas y Castro (2011), entre otros, definen los problemas de cambio como aquellos que parten de una cantidad inicial a la que se le añade o se le quita algo para obtener una nueva cantidad mayor o menor que la inicial. Mientras que los problemas de combinación y comparación parten de dos cantidades iniciales que se combinan o comparan para producir una tercera cantidad. Estos autores coinciden en que, con el trascurso de los años, a estas tres categorías básicas se le ha agregado una cuarta, llamada de igualación, resultante de una combinación de las categorías de cambio y comparación, en la que la relación de comparación entre las dos cantidades no se expresa de forma estática. Así pues, en función de su estructura semántica, tenemos problemas de cambio, comparación, combinación e igualación. Si además de la relaciones entre las palabras, se tiene en cuenta la variable sintáctica, es decir, el orden de los términos en el enunciado, podemos identificar 20 tipos de problemas de suma y resta, de los cuales hay 6 de cambio, 6 de comparación, 2 de combinación y 6 de igualación, en función del lugar que ocupe la incógnita. En la categoría de los problemas de cambio encontramos 6 tipos de problemas, en función de si lo que se desconoce es la cantidad inicial, el cambio o el resultado, o si se le añade o quita algo. De la misma forma, en los problemas de comparación, lo que se desconoce puede ser la cantidad de referencia, el comprando o la diferencia, a partir de lo cual encontramos 6 tipos de problemas de comparación. De manera similar ocurre con los problemas de igualación. En los problemas combinación lo que se desconoce podría ser una de las partes de las cantidades iniciales o el todo, por lo que se suelen dar solamente 2 tipos de situaciones, en las que se pregunta por el todo o por una de las cantidades iniciales, ya que se considera que no existe ninguna diferencia conceptual entre las partes. Así un caso de problema con estructura de cambio 5 (aumento con incógnita en la cantidad inicial) propuesto en Orrantia, et al., (2005), correspondería a: Juan tiene 13

16 algunas canicas. En una partida gana 5 canicas. Ahora Juan tiene 8 canicas. Cuántas canicas tenía?. Para el caso de un problema con estructura de comparación 1 (aumento con incógnita en la diferencia), estos autores proponen problemas de la forma: Juan tiene 5 canicas. Pedro tiene 8 canicas. Cuántas canicas tiene Pedro más que Juan? Los problemas con estructura de igualación 4 (disminución con incógnita en el comparando) son de la forma: Juan tiene 5 canicas. Si Pedro tuviera 3 canicas menos tendría las mismas que Juan Cuántas canicas tiene Pedro?. Finalmente para el caso de las estructuras de combinación, encontraríamos problemas de combinación 2 (con incógnita en una parte) como: Juan y Pedro tienen 8 canicas entre los dos. Cuántas canicas tiene Pedro (o Juan)?. Sin embargo para analizar la complejidad de los problemas aritméticos verbales elementales es necesario hacerlo no sólo desde el punto de vista de qué tipo de estructura semántica presentan, sino teniendo en cuenta también su contenido semántico y su variable sintáctica. Sólo de esta forma es posible tener la información acerca del nivel de comprensión que se requiere para entender el enunciado y las estrategias que deben ponerse en marcha para su correcta resolución entendida, en el sentido de Puig (1996), como conjunto de acciones del resolutor durante el proceso, independientemente de si conducen a una solución. Al respecto Puig y Cerdán (1988) introducen la idea de variable sintáctica como cualquier característica del problema que tiene que ver con el orden y las relaciones de las palabras y símbolos (p.32) presentes en el enunciado. Señalan que es importante tener en cuenta si el orden de presentación de los datos en el enunciado se corresponde o no con el orden en que éstos han de ser considerados al efectuar la operación requerida. Estos mismos autores se refieren al contenido semántico entendido como el vocabulario matemático y las palabras clave (p.34) presentes en el problema. Desde el punto de vista del contenido semántico, es importante considerar el papel de las palabras clave. Nesher (2000) señala que los problemas de enunciado verbal en los que se utiliza un vocabulario especializado y limitado, promueven la utilización de indicios verbales como indicadores de la operación matemática que debe utilizarse, usando, por ejemplo juntar para la suma, o perder para la resta. Según Puig y Cerdán (1988), las palabras clave determinan al menos parcialmente, la elección de la operación o influyen en ella. Estas palabras son cruciales a la hora de establecer la conexión existente entre la incógnita y los datos (p. 94).

17 Señalar la existencia de listados de palabras claves como por ejemplo el elaborado por el Grupo de EGB de la APMA en el año 1987, para la adición y la substracción, citado en Puig y Cerdán (1988, p. 95). Figura 1: Lista de verbos que son palabras claves establecidas por Grupo EGB de la APMA (1987) Problemas directos y no directos Si bien la dificultad que encuentran los niños para resolver problemas de estructura aditiva está relacionada con su estructura semántica (Vergnaud, 1982), el lugar que ocupa la incógnita y los indicios verbales presentes en el enunciado, parecen tener al menos tanta relevancia como la propia estructura. Así, en base a la cantidad desconocida, Orrantia (2006) y Orrantia, et al., (2005), distinguen entre dos tipos de problemas, los que presentan un lenguaje consistente y los que tienen un lenguaje inconsistente o conflictivo. Según estos autores, los problemas llamados consistentes corresponden a situaciones que pueden resolverse construyendo un modelo secuencial de la situación con la información que presenta el texto del problema. Por otra parte, los problemas llamados inconsistentes son los considerados más difíciles de resolver, ya que necesitan de un nivel más alto de competencias. Este tipo de problemas requiere que los alumnos reconozcan los tres conjuntos que aparecen en el enunciado del problema, situación inicial, cambio y situación final. Para resolver con éxito este tipo de problemas, los alumnos deben entender la naturaleza recíproca entre la suma y la resta, y las relaciones parte-todo que se establecen en cualquier triada numérica dado que no aparecen explícitamente en el problema. Por tanto, teniendo en cuenta tanto los trabajos de Orrantia et al. (2005) como los de Puig y Cerdán (1988), consideraremos no sólo la estructura semántica de los enunciados, sino también la variable sintáctica y el contenido semántico. Por ello, en nuestro estudio nos referimos a problemas directos, que definimos como aquellos que cumplen las siguientes condiciones: 15

18 1. el orden de presentación de los datos del problema coincide con el orden en el que estos datos deben ser considerados para resolver el problema (variable sintáctica); 2. las operaciones que deben realizarse se deducen de forma inmediata del enunciado, a partir de indicios verbales o palabras clave (contenido semántico). Un ejemplo de problema directo de comparación sería Juan tiene 8 canicas. Pedro tiene 5 canicas menos que Juan. Cuántas canicas tiene Pedro?. En este caso, se cumplen las dos condiciones, puesto que el orden de los datos (1) es el conveniente para realizar la operación que señala el indicio verbal (2). A la vez, consideraremos que un problema es no directo, cuando no se cumple una o ninguna de las dos condiciones establecidas. Un ejemplo podría ser He perdido 5 canicas. Si tenía 8 canicas antes de empezar el juego, cuántas canicas tengo ahora?. Es un problema de cambio no directo, dado que cumple la condición (2), puesto que el indicio verbal perder coincide con la operación a realizar, pero no cumple la condición (1), ya que el orden de presentación de los datos no coincide con el orden que debe utilizarse para resolver el problema. De acuerdo con Orrantia et al., (2005) los conocimientos que se necesitan para resolver problemas directos no involucran más que el uso de ciertas formas de relaciones numéricas, que integradas con los principios básicos del conteo, permiten el desarrollo de estrategias que resultan apropiadas para enfrentarlos y, por ello, son los más fáciles de resolver. Por otra parte, los problemas no directos exigen que el resolutor reconozca la situación final y establezca relaciones semánticas que proyecten la información textual del enunciado, en un esquema parte-todo, para identificar qué cantidad actúa como todo y cuáles son las otras dos que lo conforman. Por ello son más difíciles de resolver, dado que requiere que los alumnos entiendan la naturaleza recíproca entre la suma y la resta, y las relaciones parte-todo que se establecen en cualquier triada numérica. En particular, Orrantia et al., (2005) señalan que en los libros de texto de primaria los problemas más comunes corresponden con los más fáciles de resolver desde el punto de vista de su estructura semántica. Así los problemas más comunes son las estructuras de cambio aumento-disminución con incógnita en la cantidad final; y de combinación con incógnita en el todo, mientras que los problemas que involucran las otras categorías de cambio son casi inexistentes. Del mismo modo, los problemas de comparación son muy escasos, y al igual que ocurre con los de igualación, casi la totalidad de problemas de igualación son de aumento con incógnita en la igualación y,

19 en menor medida, del tipo igualación disminución con incógnita en la igualación; las demás categorías son inexistentes. Por tanto la tendencia generalizada de considerar los problemas aritméticos como un ejercicio de resolver operaciones, no estaría promoviendo la resolución de problemas desafiantes para los alumnos. No ayuda a los alumnos a desarrollar una verdadera competencia matemática en resolución de problemas, sino que estarían fomentando que los problemas que se promuevan en el futuro estén centrados en la práctica de las operaciones aritméticas que están aprendiendo. En consecuencia, los problemas no directos a los que se enfrentan los alumnos son muy escasos y los más numerosos son los más sencillos de resolver desde el punto de vista de su estructura semántica. 17

20 3. Marco metodológico 3.1- Paradigma y enfoque de la investigación Esta investigación es una investigación cualitativa interpretativa de carácter exploratorio. Los estudios exploratorios se efectúan cuando el objetivo a examinar es un tema o un problema que no ha sido abordado anteriormente o no ha sido lo suficientemente estudiado. Estos estudios sirven para familiarizarse con fenómenos relativamente desconocidos, permitiendo indagar sobre temas y aéreas desde nuevas perspectivas o ampliar las existentes (Hernández, Fernández y Baptista, 2007). También son utilizados para obtener un primer conocimiento de la situación donde se piensa realizar una investigación posterior (Latorre, Del Rincón y Arnal, 1996). Desde este punto de vista y con el objetivo de analizar la estructura semántica de los problemas aritméticos elementales que plantean los alumnos del Grado de Educación Primaria, que aún no han cursado la asignatura Aprendizaje Matemático y Currículum. Y, con la intención de implementar posteriormente una secuencia de formación que nos permita actuar sobre las estructuras aditivas que ahora son objetivo de nuestro estudio, consideramos un enfoque de investigación exploratorio bajo una perspectiva interpretativa Contexto y participantes En esta investigación participan 128 alumnos de segundo año del Grado de Educación Primaria que aún no han cursado la asignatura Aprendizaje Matemático y Currículum. Hemos escogido esta muestra pues necesitamos alumnos que no hayan cursado ninguna asignatura de Didáctica de las Matemáticas, en las que se trabaje de manera específica el pensamiento aditivo. Estos alumnos, en el momento de ser entrevistados tienen el mismo conocimiento acerca del pensamiento aditivo que pueden tener sus compañeros de otras titulaciones en las cuales no se incluye como parte de su formación este contenido. No obstante, hemos escogido específicamente estudiantes de magisterio, ya que serán los alumnos del Grado de Educación Primaria los destinatarios de la secuencia de formación que implementaremos en un estudio posterior, la cual pretende ampliar el uso de estas estructuras en su práctica docente futura.

21 3.3- Instrumentos de recolección de datos Para recoger los datos elaboramos y aplicamos un cuestionario en que los alumnos deben plantear problemas distintos entre sí de suma y resta con una operación, y responder algunas preguntas de pensamiento aditivo. Nuestro primer objetivo fue identificar el tipo de estructura semántica que utilizan los alumnos de segundo año del Grado de Educación Primaria (curso ), en el planteamiento de problemas aritméticos elementales, y corroborar si estas coincidían con los resultados empíricos identificados en los alumnos de segundo curso de los años académicos y ; con el objetivo de corroborar la existencia de las limitaciones en la formulación de problemas de pensamiento aditivo observadas. Para ello elaboramos y aplicamos un cuestionario con los alumnos que aún no han cursado la asignatura Aprendizaje Matemático y Currículum. El cuestionario se compone de dos partes. En la primera se pide a los alumnos elaborar 3 problemas de suma y de resta que sean distintos entre sí. La primera parte se recoge antes de entregar a los alumnos la segunda parte del cuestionario. En la segunda parte se formulan preguntas sobre pensamiento aditivo del tipo: Es posible redactar el enunciado de un problema que contenga el verbo faltar y se resuelva con una suma? Por qué? Redacta un problema de este tipo, entre otras Instrumento para el análisis de los datos Elaboración del instrumento Con la intención de elaborar un instrumento que nos permita determinar el tipo de estructura semántica de los problemas de suma y resta, analizamos las relaciones que se establecen entre los elementos que aparecen en el enunciado, el lugar que ocupa la incógnita y los indicios verbales, de los problemas propuestos en cada una de las 20 categorías que surgen como clasificación para los problemas de suma y resta con una operación (Puig y Cerdán 1988, Orrantia, 2003, 2006; Orrantia, et al., 2005; Cañadas y Castro, 2011), y las categorías básicas propuestas en investigaciones anteriores (Riley, Greeno y Heller, 1983; y Maza, 1991). A partir de esto, elaboramos un esquema que nos permitiese observar las relaciones que se establecen entre las cantidades involucradas en los 20 tipos de categorías utilizadas para clasificar los problemas de suma y resta con una operación. 1 Las preguntas del cuestionario disponibles en el apartado Análisis y Resultados. 19

22 Para poder mostrar el proceso seguido en la elaboración del instrumento de una manera más clara para el lector, iremos mostrando, los distintos avances usando sólo parte del instrumento, en concreto los problemas de comparación. El primer instrumento de análisis que elaboramos estaba planteado a partir de las 4 las estructuras básicas propuestas en la literatura: cambio, comparación, igualación y combinación. Y dentro de cada una de estas categorías, situamos diferentes tipos de subestructuras o subcategorias, que surgían a partir de las relaciones que se establecen entre las cantidades que intervienen en los problemas, y tomando como premisa que una de las cantidades siempre es desconocida. Con lo cual nos obteníamos los 20 tipos de estructuras semánticas señalados en la literatura. Cuadro1: Extracto del primer cuadro de categorías de las estructuras semánticas en los problemas de suma y resta con una operación. Problemas de comparación: Parten de dos cantidades iniciales independientes una de la otra que se comparan para producir una tercera cantidad. Cantidades Estructura Inicial 1 (menor) Inicial 2 (mayor) Cuanto mayor es Cuanto menor es Comparación 1 Conocida Conocida Desconocida - Comparación 2 Conocida Conocida - Desconocida Comparación 3 Conocida Desconocida Conocida - Comparación 4 Desconocida Conocida - Conocida Comparación 5 Desconocida Conocida Conocida - Comparación 6 Conocida Desconocida - Conocida Al ir profundizando en nuestro estudio, observamos que tanto el lugar que ocupa la cantidad desconocida como los indicios verbales presentes en el enunciado inciden en el nivel de dificultad del problema. Esto nos pareció tan interesante o más, que la propia clasificación de las estructuras semánticas y decidimos incluir una segunda categoría en la tabla referida al grado de dificultad que presenta el problema considerando no sólo la estructura semántica, sino también la variable sintáctica y el contenido semántico. Basándonos en los trabajos de Puig y Cerdán (1988), y Orrantia, et al., (2005), propusimos una definición para clasificar este tipo de problemas en base al nivel de comprensión que se requiere para entender el enunciado y las estrategias que deben ponerse en marcha para su correcta resolución. Establecimos qué tipo de problemas consideraríamos directos y no directos, y seguidamente clasificamos los 20 tipos de problemas de nuestra primera tabla, añadiendo si correspondían a problemas directos o no directos.

23 Cuadro 2: Extracto del segundo cuadro de categorías de las estructuras semánticas en los problemas de suma y resta con una operación. Problemas de comparación: Parten de dos cantidades iniciales independientes una de la otra que se comparan para producir una tercera cantidad. Cantidades Estructura Inicial 1 Inicial 2 Cuanto Cuanto Tipo (menor) (mayor) mayor es menor es Comparación 1 Conocida Conocida Desconocida - No directo Comparación 2 Conocida Conocida - Desconocida Directo Comparación 3 Conocida Desconocida Conocida - Directo Comparación 4 Desconocida Conocida - Conocida Directo Comparación 5 Desconocida Conocida Conocida - No directo Comparación 6 Conocida Desconocida - Conocida No directo Para comprobar esta clasificación, planteamos problemas para cada una de las estructuras semánticas que habíamos fijado. Esto nos permitió observar que debíamos reestructurar el orden de algunas de las subcategorías que habíamos establecido, agrupándolas según el lugar que ocupaba la cantidad desconocida. Por ejemplo, en los problemas de comparación 1 y 2, la incógnita estaba en la diferencia, pero para las categorías de comparación 3 y 6, la incógnita estaba en el comparando; mientras que en los de comparación 4 y 5 estaba en el referente, por lo que decidimos reagruparlas siguiendo estos criterios. Este proceso lo replicamos en las demás categorías. Buscando la relación entre los 20 tipos de estructuras semánticas, y los problemas directos y no directos, observamos que dependiendo del lugar que ocupa la cantidad desconocida y los indicios verbales presentes en el enunciado, hay categorías que siempre originan problemas de un único tipo (directo o no directo), mientras que otras generan enunciados de ambos tipos. Este proceso de reflexión nos llevó a decir que: La estructura que sólo origina problemas de tipo directo es la de combinación con incógnita en el todo. Las estructuras que siempre originan problemas de tipo no directo, son las categorías de cambio aumento con incógnita en el cambio (3) 2, cambio aumentodisminución con incógnita en la cantidad inicial (5 y 6), comparación aumento con incógnita en la diferencia (1), comparación aumento-disminución con incógnita en 2 Entre paréntesis utilizamos la notación dada por Orrantia, et al., (2005). En este caso, correspondería a cambio3. 21

24 el referente (5 y 6), y la estructura de igualación aumento-disminución con incógnita en el comparando (3 y 4). Las estructuras en las que encontramos problemas de tipo directo y no directo, son las estructuras de cambio aumento-disminución con incógnita en la cantidad final (1 y 2), cambio disminución con incógnita en el cambio (4), las de comparación disminución con incógnita en la diferencia (2), comparación aumento-disminución con incógnita en el comparando (3 y 4), las de igualación aumento-disminución con incógnita en la igualación (1 y 2), igualación aumento disminución con incógnita en el referente (5 y 6), y las de combinación con incógnita en una parte del todo (2). Llegado a este punto, decidimos reemplazar el cuadro que presentaba de una manera estática las relaciones entre las cantidades que intervenían en los diferentes tipos de estructuras y la clasificación del tipo problemas que se generan, por dos cuadros. Por una parte, incluimos en un primer cuadro un esquema sobre las relaciones que se establecen entre las cantidades involucradas en los 20 tipos de problemas de suma y resta con una operación (ver Cuadro 3). Cuadro 3: Categorías de las estructuras semánticas en los problemas de suma y resta con una operación.

25 * Fuente: Elaboración propia a partir de los trabajos de Riley, Greeno y Heller (1983); Puig y Cerdán, 1988; Maza (1991); Orrantia (2003 y 2006); Orrantia, et al., (2005); y Cañadas y Castro (2011). Seguidamente, a partir de las relaciones que se establecen entre los elementos del enunciado, el orden de los términos en este, y considerando el vocabulario y uso de palabras clave, vimos la necesidad de clasificar las 20 categorías para los problemas 23

26 de suma y resta de una operación, en función de si los consideramos problemas directos o no directos, lo que a su vez nos llevó a determinar y elaborar nuestras categorías de análisis (ver Cuadro 4). Recordamos que, como ya dijimos en el marco teórico, en nuestro estudio nos referimos a problemas directos, cuando cumplen las siguientes dos condiciones: Condición 1: El orden de presentación de los datos del problema coincide con el orden en el que estos datos deben ser considerados para resolver el problema (variable sintáctica) Condición 2: Las operaciones que deben realizarse se deducen de forma inmediata del enunciado, a partir de indicios verbales o palabras clave (contenido semántico).

27 Cuadro 4: Clasificación de las estructuras semánticas en los problemas de suma y resta con una operación analizando su variable sintáctica y contenido semántico. 25

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29 27

30 Del cuadro 4, podemos observar que el ejemplo del primer problema con estructura de cambio 3, cumple la condición 1, pues el orden de los datos que aparecen en el enunciado coincide con el que debe considerarse para su resolución. Sin embargo, no cumple la condición 2, pues la palabra ganar no implica una suma. Por lo tanto, la resolución de este problema requiere una comprensión más profunda del enunciado y el uso de una estrategia superficial llevaría al alumno a una solución equivocada al utilizar el indicio verbal ganar como una suma de 3 y 8; y no en el sentido del problema que implica una resta, lo que lo trasforma en un problema no directo. En el caso del primer problema con estructura de igualación 6, observamos que cumple ambas condiciones. Así pues, el orden en que aparecen los datos en el enunciado corresponde con que el orden a considerar para resolver el problema, además la palabra menos es un indicio verbal de la operación a realizar que es una resta. Para resolver este tipo de problemas no es necesaria una comprensión profunda del enunciado, ya que el orden de los datos del enunciado y los indicios verbales, permiten obtener una solución correcta, convirtiendo en un problema directo. Es importante destacar que los problemas más fáciles de las categorías de combinación, cambio y comparación, se pueden resolver sin tener una comprensión profunda del enunciando, utilizando estrategias superficiales como el uso de palabras clave mediante una traslación directa y secuencial de los datos que parecen en el enunciado; no siendo necesaria la representación de la situación problemática. Sin embargo el uso de este tipo de estrategias no es efectivo para el caso de los problemas no directos, ya que no es posible obtener directamente del enunciado un modelo adecuado de la situación, ni es posible recurrir a una estrategia de traslación directa para encontrar la solución correcta.

31 4. Análisis y Resultados Como hemos argumentando anteriormente, dependiendo del lugar que ocupa la incógnita y del tipo de indicios verbales, podemos plantear problemas que demandan una compresión profunda del enunciado para obtener una solución y otros en que no es necesario. Esto motivó nuestro interés por analizar los problemas aritméticos verbales elementales desde el punto de vista de estructura semántica, variable sintácticos y contenidos semánticos, dado que nos interesa determinar el tipo de comprensión que se requiere para entender el enunciado y las estrategias que deben ponerse en marcha para su correcta resolución Análisis y resultados para la primera parte del cuestionario En una primera etapa analizamos el tipo de estructura semántica que utilizan los alumnos de segundo año del Grado de Educación Primaria (curso ), en el planteamiento de problemas aritméticos verbales elementales, con el propósito de corroborar si estas coincidían con los resultados empíricos identificados en los alumnos de los cursos , y Para ello aplicamos un cuestionario a 128 estudiantes de este curso, antes de recibir la asignatura Aprendizaje Matemático y Curriculum, la primera en sus estudios relacionada con la didáctica de las matemáticas. Pedimos a los alumnos plantear 3 problemas de suma distintos entre sí y 3 problemas de resta también distintos entre sí, con la intención de ver si proponían enunciados más allá de los relacionados con el cambio. Preparamos una tabla Excel, que nos permitiera realizar un primer análisis sobre qué tipo de estructura semántica presentan y si corresponden a problemas directos o no. En la tabla incluimos un apartado otros, para los problemas que no son exclusivamente de suma ni de resta (problemas planteados por los alumnos con sumas y restas, multiplicativos o que involucran más de una operación). 29