ALGUNAS DEMOSTRACIONES DE FÍSICA

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1 ALGUNAS DEMOSTACONES DE FÍSCA NDCE. Coodenadas de la velocidad y de la aceleación. Ley del péndulo simple 4 3. Estudio de un muelle 5 4. Composición de movimientos vibatoios amónicos 6 5. ntefeencia de ondas 7 6. Ondas estacionaias 8 7. Enegía tansmitida po una onda 9 8. Deducción de la ley de gavitación univesal a pati de las leyes de keple 9. Campo gavitatoio y electico.. Teoema de gauss 5. Campo eléctico ceado po una esfea y una placa unifomemente cagadas 6. Vaiación de la intensidad del campo gavitatoio teeste 7 3. Vaiación del potencial gavitatoio teeste 8 4. Campo y potencial ceado po un dipolo electico 9 5. Campo y potencial ceado po un hilo cagado ectilineo e indefinido 6. Fuentes de campo magnético 7. Aplicación del campo magnético: El Ciclotón 8. Aplicación del campo magnético: El Espectógafo De Masas nducción electomagnética. autoinducción. inducción mutua 6. El pisma óptico 8. El dioptio esféico 9. Métodos de medida de la velocidad de la luz 3 3. Física nuclea 3 4. Física cuántica Filosofía de la teoía cuántica Movimiento elativo 37 Jesús Millán Cespo 3 de mazo de 8 No sabemos lo que queemos, peo somos esponsables de lo que somos. (FLÓSOFO FANCÉS)

2 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - /4. COODENADAS DE LA VELOCDAD Y DE LA ACELEACÓN Velocidad Componentes catesianas de la velocidad: Componentes intínsecas de la velocidad: tangente a la tayectoia. d v v v u + v x x y u y d d ds v v ut y la velocidad es siempe ds dv d Aceleación a dv dv x y Componentes catesianas de la aceleación: a ax u x + a y u y u x + u y dv d( vut ) dv dut Componentes intínsecas de la aceleación: a ut + v () u t es un vecto unitaio de módulo constante po lo que es pependicula a su deivada tempoal. du Como u t t dut. Si deivamos esta expesión ut se compueba que un dut dut ds dut Po oto lado v ds ds Y du t ds dϕ y esto poque ds ρ du t sen( dϕ) dϕ ds ρ sen( dϕ) ρ dϕ y la expesión () queda: a dv El ime témino es la aceleación tangencial u v + ρ t u n módulo de la velocidad. El segundo témino la aceleación nomal vaiaciones de la diección de la velocidad. dv a t ut y epesenta las vaiaciones del v a un y epesenta las ρ

3 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 3/4 Tanto la velocidad como la aceleación son magnitudes vectoiales. Utilizando el cálculo vectoial vamos a demosta que en cualquie movimiento se cumplen las siguientes elaciones: a a u + a t t n u n Siendo a v a t y v a v a n y que el adio de cuvatua de flexión es: v ρ v 3 a v En el pime caso, la aceleación tangencial es la poyección de la aceleación sobe la diección tangente. a t a u t a v v Po oto lado, si θ es el ángulo que foma ut y a. a ut a sen θ y como a n a sen θ Y entonces se cumple que: a n a u t a v v Nos queda demosta cuanto vale el adio de flexión: v a v a n ρ v luego ρ v 3 a v 3

4 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 4/4. LEY DEL PÉNDULO SMPLE La única fueza que actúa es el peso que se puede descompone en su componente nomal y tangencial. La componente nomal se ve contaestada po la tensión del hilo y la componente tangencial es la que va a da luga a la aceleación del movimiento. F T m g senα aco senα α adio Teniendo en cuenta esta apoximación paa ángulos muy pequeños y la expesión de la fueza ecupeadoa: F F T T m g k x x l x m g k x k l m g l De acuedo con la ley de Newton: FT x a g m l Lo que demuesta que el movimiento pendula, paa pequeñas oscilaciones tiene una aceleación popocional y de sentido contaio al desplazamiento y po tanto es un mas. T PT Teniendo en cuenta que k m w Pn P m g l mω de donde T π l g Péndulo si α es mayo Existe una ecuación algo más compleja que nos da el valo del peiodo en función del ángulo. l T π ( + α ) g 6 4

5 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 5/4 3. ESTUDO DE UN MUELLE Cuando un muelle esté en equilibio, sobe él actúa el peso del cuepo (y el muelle), que actúan hacia abajo y la eacción del muelle. Si sepaamos hacia abajo una pequeña distancia x de la posición de equilibio, el muelle ejece una fueza ecupeadoa en sentido contaio de modo que cuando soltemos solo actuaá esta fueza. F F k x m a Dado que la fueza esponsable del movimiento es la de la Ley de Hooke daa luga a un movimiento amónico simple de aceleación: a ω x De este modo: k x m a k x m ω x k m ω Sustituyendo ω π se obtiene el peiodo de oscilación de un esote: T T π m k El peiodo del esote seá mayo cuanto mayo sea la masa, oscilaá más lentamente y seá meno cuanto mayo sea la constante ecupeadoa. 5

6 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 6/4 4. COMPOSCÓN DE MOVMENTOS VBATOOS AMÓNCOS Se pueden da los siguientes casos: a) Composición de movimientos vibatoios amónicos de la misma diección y del mismo peiodo (o fecuencia). b) Composición de movimientos vibatoios amónicos de la misma diección y peiodos difeentes (o fecuencias). En este caso la amplitud estaá modulada. c) Composición de movimientos vibatoios amónicos pependiculaes y del mismo peiodo (o fecuencia). d) Composición de movimientos vibatoios amónicos pependiculaes y peiodos difeentes (o fecuencias). En este caso como ω ω la difeencia de fase ϕ no es constante y va vaiando. Se obtienen cuvas muy vaiadas, según la elación de los peiodos de los movimientos componentes y de la difeencia de fase inicial dando luga a las cuvas de Lissajous. Como ejemplo compongamos dos movimientos pependiculaes tales como: Donde ω π/6 ad/s ω 3 ω y ϕ π/4 ad Dibuja la gáfica paa ω 3/ ω y ϕ π/6 ad 6

7 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 7/4 5. NTEFEENCA DE ONDAS Dos ondas intefieen cuando coinciden en un mismo punto. La petubación esultante es igual a la suma de las petubaciones que poduciía cada una po sepaado. El caso más inteesante es cuando coinciden ondas amónicas coheentes (de igual amplitud y fecuencia). y y A cos( wt kx ) A cos( wt kx ) y y + y A cos( wt kx ) + A cos( wt kx ) wt kx + wt kx wt kx wt + kx y A cos cos x x x + x y A cos k cos wt k x + x x y A cos wt k donde A A cos k * ecuedese : A + B A B cos A + cos B cos cos * x ntefeencia constuctiva, valoes máximos. - Se poduciá cuando A sea máxima e igual a A x cos k x x k x nπ x x nλ ntefeencia destuctiva, valoes mínimos: - Se poduciá cuando A sea mínima e igual a x cos k x x k x π (n ) x x λ (n ) 7

8 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 8/4 6. ONDAS ESTACONAAS Al contaio que una onda viajea, una onda estacionaia se encuenta confinada en un espacio limitado. En este espacio coinciden la onda indicente y la eflejada, que viaja en diección contaia fomando uma onda estacionaia. ECUACÓN DE ONDAS ESTACONAAS: A + B A B cos A cos B sen sen * y y + y Acos( wt kx) Acos( wt + kx) wt kx + wt + kx wt kx wt kx y Asen sen y Asen( kx) sen( wt) Asen( kx) sen( wt) A sen( wt) En cuedas: Debe apaece un nodo en los extemos (sen(kx) en x y x L) ojo fecuencia fundamental, azul pime amónico y vede segundo amónico. λ L n o λ L n f v λ n L v n L F η EN TUBOS ABETOS: Debe apaece un viente en cada extemo (sen (kx+π/) en x y x L) λ L n v f λ nv L o λ L n EN TUBOS ceados: Debe apaece un viente en el extemo abieto y un nodo en el ceado. (sen (kx) en x y sen (kx) en x L) λ L (n + ) 4 v (n + ) v f λ 4L o λ 4L n + 8

9 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 9/4 7. ENEGÍA TANSMTDA PO UNA ONDA Tansmisión de enegía po una onda amónica En un movimiento ondulatoio lo que ealmente se popaga, no es la mateia sino un estado de movimiento. Po tanto una onda tasmite momento y enegía. Cada patícula del medio que viba tiene la enegía del oscilado amónico: E mω A La enegía que tanspota la onda en la unidad de tiempo,-la potencia- es igual a la enegía de todas las patículas contenidas en la coona esféica de espeso d. Esta potencia no se acumula y va cuzando el medio de un punto a una distancia del foco a oto a distancia. La misma enegía, a medida que se popaga la onda, se epate en cada fente de ondas ente mayo númeo de patículas. Este fenómeno ecibe el nombe de atenuación. La enegía que llega al fente, a una distancia del foco en la unidad de tiempo debe se la misma que llegue la fente, a una distancia : dm A de ω P 4π d ρ ω A 4 dmω A π d ρ ω A La fecuencia de vibación es constante y si el medio es homogéneo e isótopo la velocidad de popagación también es constante. 4 π v ρ ω A 4π v ρ ω A Entonces A A La atenuación es la disminución de la amplitud con la distancia al foco. ntensidad de una onda Paa caacteiza la apidez con que se popaga la enegía, se define la intensidad de onda como la cantidad de enegía que ataviesa la unidad de supeficie pependicula a la diección de popagación en la unidad de tiempo. E S t La intensidad iá disminuyendo, a medida que nos alejamos del foco y la supeficie aumenta. P P S 4π P P S 4π P S A Entonces A La intensidad es popocional al cuadado de la amplitud e invesamente popocional al cuadado de la distancia. 9

10 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - /4 Absoción de enegía po el medio Expeimentalmente se compueba que la disminución eal de la intensidad, y de la amplitud, de una onda es mayo que la teóicamente calculada poque pate de la enegía es absobida po el medio, al no se éste pefectamente elástico. La absoción de las ondas es popocional a la intensidad incidente y al espeso que ataviesa. d α Donde α es un coeficiente de popocionalidad que depende del medio y de la fecuencia de la onda, llamado coeficiente de absoción. Sepaando vaiables e integando: d d d α dx α dx α d ln α d Entonces e dx Expesión conocida como ley de absoción, que indica que la intensidad disminuye exponencialmente con el espeso del medio absobente.

11 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - /4 8. DEDUCCÓN DE LA LEY DE GAVTACÓN UNVESAL A PAT DE LAS LEYES DE KEPLE Supuestos: - El Sol y los planetas son masas puntuales. - El sistema de efeencia tiene como oigen de coodenadas el Sol. - Solo se considea la inteacción gavitatoia con el Sol (no las de los demás planetas). - Los planetas desciben óbitas ciculaes cuya a c v / Si se cumple la ª ley de Keple: la velocidad aeola es constante. A A s s v t v t v v Esto implica un movimiento cicula unifome cuyo peiodo de evolución seá: π T v S A Sol A S v 4π y cuya aceleación centípeta es: a c T 4π a T a T Paa dos planetas que gian en tono al Sol tenemos: de donde 4π a T a T Aplicando la tecea ley de Keple: Los peiodos al cuadado son popocionales a los semiejes mayoes al cubo. 3 T 3 T Sustituyendo ahoa encontamos que las aceleaciones a las que está sometido cada planeta a son invesamente popocionales al cuadado de las distancias al Sol:, paa a cualquie planeta la aceleación es: a k y la fueza que actúa sobe el planeta seá: k F m De acuedo con el pincipio de acción y eacción, el Sol se veá sometido a una fueza igual y de sentido contaio. k k k k F m M de donde el poducto mk Mk y si llamamos a G M m tenemos la fueza de inteacción ente el planeta y el Sol seá: Mm F G

12 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - /4 9. CAMPO GAVTATOO Y ELECTCO. CAMPO, gavitatoio o eléctico, asociado a masas o cagas, es la egión del espacio donde se manifiestan sus efectos a tavés de la inteacción gavitatoia o eléctica. Popiedades asociadas al campo: a) Desde un enfoque dinámico: ntensidad de campo gavitatoio ( g ) o eléctico ( E ): Son vectoes. b) Desde un enfoque enegético: Potencial de gavitatoio ( V g ) o eléctico ( V E ): Son escalaes. CAMPO GAVTATOO CAMPO ELÉCTCO nteacción gavitatoia: Ley de Newton: m m' Nm F G u G 6,67 kg - Es univesal, no depende del medio y no es apantallable. ntensidad de campo en un punto: Es la fueza ejecida sobe la unidad de masa colocada en ese punto. F m u gav g g G m' - m: es la masa que cea el campo. - : vecto de posición del punto. - El signo (-) indica que g es contaio a u. - La expesión es válida paa masa puntual, o punto exteno a una coteza esféica o esfea sólida. - La intensidad de campo en un punto inteio de una coteza esféica es nulo M T de una esfea sólida g G 3 T Fueza sobe una masa m colocada en un punto del campo donde la intensidad es g : F m' g m se moveá siempe en el sentido de g. Hacia la masa que cea el campo. Es una fueza atactiva. Campo en un punto debido a vaias fuezas: g T g + + g g3 nteacción gavitatoia: Ley de Coulomb: q q' k u k F 4πε - No es univesal, depende del medio y si es apantallable. ntensidad de campo en un punto: Es la fueza ejecida sobe la unidad de caga colocada en ese punto. F q' q eléc E E G - q: es la caga que cea el campo. - Si q> entonces E tiene el sentido que u, Sale de q. - Si q< entonces E es opuesto a u. Enta en q. - : vecto de posición del punto. - El signo (-) indica que g es contaio a u. - La expesión es válida paa masa puntual, o punto exteno a una coteza esféica o esfea sólida cagadas. Fueza sobe una masa q colocada en un punto del campo donde la intensidad es E : F q' E q se moveá siempe en el sentido de E si q > y en sentido contaio si q <. Campo en un punto debido a vaias fuezas: u E T E + + E E3 Se suman vectoialmente. Se suman vectoialmente. El Campo gavitatoio teeste: g G M - Vaiación con la altitud (paa h<<): h g' g T - Vaiación con la latitud φ: g neta g ω T cos ϕ ω: es la velocidad angula de otación de la tiea. T T

13 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 3/4 Tabajo y enegía potencial gavitatoia: W ΔEp W Ep Ep - Al aceca m desde hasta P, a una distancia de m: m m' W Fd G d Gm m' m m' W G Es positivo, las masas se acecan espontáneamente. - Enegía potencial gavitatoia: Su hacemos Ep m m' Ep W Ep G - Enegía potencial de vaias masas: Ep Ep + + Ep3 + Ep4 + Ep3 + Ep4 Ep34 Se calculan todas las Ep coespondientes a todos los paes de masas (sin epeti). Potencial gavitatoio en un punto a distancia : Es la enegía potencial po unidad de masa m colocada en ese punto. Ep m V g V g G m' - Potencial en un punto debido a vaias masas. V V + + V V3 m m V G + m + -Movimiento de masas en un campo gavitatoio: Si ente dos punto (inicial) y (final), existe una difeencia de potencial, la masa m se moveá, siendo: W Ep Ep W m' V V Las masas se mueven de mayo a meno potencial y como a su vez: W ΔEc Ec Ec m' ( V V ) y v v + ( V V ) Que es la vaiación de velocidad cuando una masa m se mueve ente dos puntos de difeente potencial. ( ) 3 3 Tabajo y enegía potencial eléctica: W ΔEp W Ep Ep - Al aceca q desde hasta P, a una distancia de q: q q' W Fd k d kq q' q q' W k Es positivo, cuando las cagas son de distinto signo. Se acecan espontáneamente. Es negativo, cuando las cagas son de igual signo. No se acecan. - Enegía potencial eléctica: Su hacemos Ep q q' Ep W Ep k Si las q son de igual signo Ep> y si son de distinto signo Ep<. - Enegía potencial de vaias masas: Ep Ep + Ep3 + Ep4 + Ep3 + Ep4 + Ep34 Se calculan todas las Ep coespondientes a todos los paes de cagas (sin epeti). Se coloca cada caga con su signo. Potencial eléctico en un punto a distancia : Es la enegía potencial po unidad de caga q colocada en ese punto. Ep q V V k q' La caga se coloca con su signo, q> V> y q< V<. - Potencial en un punto debido a vaias masas. V V + + V V3 q q V k + q + -Movimiento de cagas en un campo eléctico: Si ente dos punto (inicial) y (final), existe una difeencia de potencial, la caga q se moveá, siendo: 3 3 W q' ( V V ) W Ep Ep Las q< se mueven de meno a mayo V espontáneamente, y las q> se mueven de mayo a meno V. A su vez: Ec W ΔEc Ec q' ( V V ) y v v + ( V V ) Que es la vaiación de velocidad cuando una caga q se mueve ente dos puntos de difeente potencial. 3

14 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 4/4 elación ente intensidad y potencial: dv g d dv g d Si el campo g es constante (ej. movimientos en la supeficie de la tiea) ( ) g h V V g d g Siendo h el desplazamiento en la diección del campo. Movimiento de masas en campos gavitatoios constantes: Como W m' ( V V ) W m' g h Como W ΔEc Ec Ec m' g h m ' v m' v m' gh v v + g h - Velocidad obital: A pati de F gav Fcent M m' v G m' v o G M elación ente intensidad y potencial: dv E d dv E d Si el campo E es constante (ej. movimientos ente placas planas y paalelas) ( ) E d V V E d E Siendo d el desplazamiento en la diección del campo. Movimiento de cagas en campos elécticos constantes: Como W q' ( V V ) W q' E d Como W ΔEc Ec Ec q' E d m ' v m' v q' E d q' Ed v v + m La velocidad duante el movimiento depende de la elación q /m, así como de E y d Movimiento de cagas que entan pependiculamente al campo (expeimento de Thomson). - Tabajo o enegía paa que m abandone un campo gavitatoio:(ej. El teeste) M m' W G Enegía de amae e la enegía po unidad de masa, la enegía de ligadua al campo teeste W/m - Velocidad de escape: Es la que coesponde a una Ec W paa que m escape abandone el campo gavitatoio: m' v M m' G - Enegía de una obita: E óbita Ec+Ep o Ec m' v m' G M G M m' Ep po tanto: E Óbita G M v e G M m' G M m' G M m' - En diección x, hoizontal no hay fueza alguna (mu): x v t - En diección y, vetical hay una fueza Fq E que poduce una aceleación aq E/m. Po tanto en el eje y: q E y a t t que eliminando el tiempo m q E x q E x y m v m v Flujo eléctico y Teoema de Gauss - Flujo eléctico: númeo de líneas de fueza que ataviesan una supeficie. Φ E S E S cosα - Teoema de Gauss: que eadiciona el flujo Φ a tavés de una supeficie ceada con la caga neta enceada en su inteio. Q Φ ε G M m' E Óbita 4

15 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 5/4. TEOEMA DE GAUSS Flujo de líneas de campo a tavés de una supeficie Supongamos una lluvia seena. Las tayectoias de las gotas de agua al cae nos siven de imagen de las líneas de fueza del campo gavitatoio. La tayectoia de cada gota epesenta pues, una línea de fueza. De qué depende el númeo de gotas que llegan a una baldosa de la supeficie? - De la supeficie de la baldosa - de la intensidad de la lluvia o númeo de gotas que caen. - De la posición de la baldosa. Basándonos en este símil se puede defini una nueva magnitud llamada flujo de líneas de campo a tavés de una supeficie como el númeo de líneas de campo que la ataviesan. Φ Φ E G E S cos α g S cos α Como vemos se puede expesa como el poducto escala de dos vectoes y si el campo no es unifome seá peciso acudi al cálculo integal. ecueda que el flujo seá positivo si las líneas salen de una supeficie ceada, mientas que seá negativo si entan. Supeficie gaussiana: Es una supeficie que enciea un sistema de cagas o masas de manea que en cualquie punto de ella el campo es constante y pependicula a la supeficie, además el cálculo de la supeficie debe se evaluable. Flujo de una caga o masa puntual: Φ Φ s s E d S g d S s s g S Esto se puede genealiza paa un sistema de cagas o masas. Φ Φ Q E ds k E G m g ds G s E S Q ds k 4 π s El flujo total de un campo eléctico a tavés de una supeficie ceada es igual al cociente ente la suma algebaica de las cagas contenidas en el volumen limitado po ella y la pemitividad del vacío. El flujo total de un campo gavitatoio que ataviesa una supeficie ceada es igual al poducto de la masa enceada dento del volumen limitado po la supeficie multiplicada po 4π veces la constante de gavitación. Aplicaciones del teoema de Gauss: La ley de Coulomb solo pemite calcula el campo paa cagas puntuales. En el caso de una distibución continua de cagas y cuando los cuepos pesentan algún tipo de simetía, a pati del Teoema de Gauss podemos calcula el campo eléctico. gualmente paa el campo magnético. Φ Φ m ds G 4 π E G E d S g d S Q 4 π k Q ε 4 π G m 5

16 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 6/4. CAMPO ELÉCTCO CEADO PO UNA ESFEA Y UNA PLACA UNFOMEMENTE CAGADAS Campo ceado po una esfea unifomemente cagada. Supongamos una esfea unifomemente cagada (no puede se conductoa), y queemos halla la intensidad de campo en un punto A, a una distancia del cento de la esfea. Tazamos po el punto A una supeficie esféica gaussiana (el campo en cualquie punto de ella es constante y nomal a la supeficie). Aplicando el teoema de Gauss: s Q Q E d S E ds ε ε E 4 π ε Q O k s E 4 π Q ε A E esultado idéntico que paa una caga puntual. Campo ceado po un plano unifomemente cagado. La supeficie gaussiana elegida en este caso es la de un paalelepípedo. Aplicando el teoema de Gauss: s Q E d S ε E ds caa sup eio + E E s ds caa inf eio Q ds ε + E ds caas lateales Q ε E E E Como po las caas lateales no hay flujo, la tecea integal es nula. E E E Q E s + E s ε E Q S ε σ ε 6

17 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 7/4. VAACÓN DE LA NTENSDAD DEL CAMPO GAVTATOO TEESTE Vaiación de la gavedad con la altitud (>) Paa halla el valo de la gavedad a una distancia +h, aplicamos el teoema de Gauss tomando una supeficie gaussiana de adio. g g d s 4 π G M g ds 4 π G M s s GM g 4 π 4 π G M g g Vaiación de la gavedad con la apoximación al cento de la Tiea (<) A Paa halla g en un punto A situado a una distancia -h del cento de la Tiea, se toma la supeficie esféica de adio y se aplica el teoema de Gauss. s g d s 4 π G m g ds 4 π G m m v ρ M V ρ 4 / 3 4 / 3 3 π ρ 3 π ρ Gm GM g 3 3 g s m M 3 3 g 4 π 4 π G m g A epesentación gáfica de la vaiación de la aceleación de la gavedad con la distancia al cento de la Tiea 7

18 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 8/4 3. VAACÓN DEL POTENCAL GAVTATOO TEESTE Se pate de la elación existente ente el potencial y la intensidad de campo gavitatoio: dv g d Vaiación del Potencial con la altitud (>) dv g d dv g d M dv G d GM V + C Condiciones de contono Cuando entonces V + C C V GM Vaiación del potencial con la apoximación al cento de la Tiea (<) dv g d dv g d M dv G d 3 GM V + C 3 Condiciones de contono M Cuando entonces V G M GM 3GM G + C C 3 GM V ( ) 3 3 epesentación gáfica de la vaiación de la aceleación de la gavedad con la distancia al cento de la Tiea 8

19 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 9/4 4. CAMPO Y POTENCAL CEADO PO UN DPOLO ELECTCO Dipolo: Dos cagas +q y q sepaadas una distancia a. En un punto P del eje y P V V + V a V k a q + y + k a q + y E E cos α E k a q + y q a Si y >> a V y E k 3 y a a + y k q a 3 ( a + y ) En un punto P del eje x V V + V a E P E V q q q a k + k k x a x + a x a E E E ) i ( q a x E 4k ( x a ) también dv E d x q a q a Si x >> a V k y E 4 k 3 x x 9

20 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - /4 5. CAMPO Y POTENCAL CEADO PO UN HLO CAGADO ECTLNEO E NDEFNDO A pati de la definición de campo eléctico q dq u ; o de foma difeencial de k E k u El campo ceado en un punto a una distancia del conducto indefinido tiene la diección de, peo solo su componente en el eje y se anula y E Ex. dq La densidad lineal de caga es λ. Y consideando la geometía del poblema: dl sec θ; l tg θ; dl sec θ dθ;. E 4 π ε o λ E π ε o + λ dl cosθ 4 π ε + π / cosθ dθ o + π / λ sec θ dθ cosθ sec θ dl l E x θ E λ E π Paa halla el potencial eléctico utilizamos la elación λ π ε o d V dv A pati del teoema de Gauss ε o λ V π ε d V E d o ln La supeficie S gaussiana es un cilindo que envuelve el conducto. - Es una supeficie evaluable, (podemos esolve la integal) - El E es siempe pependicula a la supeficie. - El campo es constante en todos los puntos de la supeficie, (el E sale de la integal). Aplicando el teoema de Gauss E s Q ds ε Q E π L ε Q E π L ε λ π ε l E S

21 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - /4 6. FUENTES DE CAMPO MAGNÉTCO Así como los campos elécticos son ceados po cagas, los campos magnéticos son ceados po cagas en movimiento o coientes elécticas. Campo ceado po un elemento de coiente Ley de Biot Savat. Dada una coiente eléctica, cada elemento de coiente d l, cea un elemento de campo en un punto d B, (vecto inducción magnética) que es diectamente popocional a la intensidad de coiente que cicula po el conducto, invesamente popocional al cuadado de la distancia del elemento de coiente al punto consideado y cuyo sentido viene dado po el poducto vectoial d l u ). ( d B k' ( dl u A) Campo ceado po un conducto ectilíneo e indefinido. ) B sen α sen φ cos β tg β k' l d sustituyen do ( dl u ) d cos β l d tg β dl senα k' obsevando la figua se compueba d cos β : dβ dl d cos β dl l O α u φ β d P db B B cos k' d k' d [ sen β ] β dβ d cos β cos β π / k' μ d π d π / k' d cos β dβ Y se compueba que solo depende de la intensidad de la coiente y de la distancia a la que se encuente el punto. B) Campo ceado po una coiente cicula en su cento. B π k' ( dl u ) k' dl C π k' μ C) Campo ceado po una bobina cicula en su cento. db Una bobina son N espias sin extensión. B N π k' μ N du dl

22 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - /4 7. APLCACÓN DEL CAMPO MAGNÉTCO: EL CCLOTÓN El ciclotón es un aceleado de patículas cicula que, mediante la aplicación combinada de un campo eléctico oscilante y oto magnético consigue acelea los iones haciéndolos gia en óbitas de adio y enegía cecientes. Supongamos el siguiente poblema: En un deteminado CCLOTÓN, los potones (m p,676-7 kg), desciben una cicunfeencia de,4 m de adio poco antes de emege. La fecuencia del potencial alteno ente las DES es de 7 Hz. Despeciando los efectos elativistas, calcula: a) El campo magnético utilizado. b) La velocidad de los potones cuando salen del aceleado. c) La enegía de los potones en J y en MeV. d) El númeo mínimo de vueltas completas de los potones si el máximo del potencial ente las DES es de. V. e) Lo mismo paa un 4 + deuteón de masa,4 uma.y paa una patícula α ( He ) de masa 4,3 uma. (Dato: uma,66-7 kg) Descipción del Ciclotón El ciclotón consta de dos conductoes huecos en foma de D, que han sido montados siméticamente y sepaados una pequeña distancia en una cámaa de vacío. Se encuentan a su vez dento de un fuete campo magnético pependicula. En la figua se ha dibujado la planta y el alzado. Simultáneamente se aplica un campo eléctico de alta fecuencia, que suminista enegía a las Des. Cuado se intoduce una patícula cagada en su cento, se veá aceleada hacia la D cagada de signo contaio, una vez dento de la D, queda potegida de las fuezas elécticas ya que el campo eléctico en el inteio de un conducto es nulo (jaula de Faaday). En cambio el campo magnético obliga a la patícula a ealiza una semicicunfeencia de adio mv/qb. En el inteio la velocidad no cambia, y cuando a ealizado media cicunfeencia cambia el signo del potencial eléctico de las Des. Justo en este momento, cuando sale de la D, se veá aceleada hacia la ota D, entando a una velocidad mayo y descibiendo una semicicunfeencia mayo. Sin embago el tiempo que tada en ealiza cada semiciclo es el mismo. La patícula cagada se mueve cada vez más depisa ealizando cicunfeencias cada vez más amplias hasta que llega al extemo donde se encontaá con una placa deflectoa que diige la patícula hacia un blanco deteminado.

23 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 3/4 Ecuaciones del ciclotón adio de la patícula: Fecuencia del oscilado eléctico: v m v q v B m q B m ω m π f q B f q B q B m π A esta fecuencia se le denomina fecuencia de esonancia. La enegía cinética que adquieen las patículas aceleadas depende de su velocidad y po tanto del adio del ciclotón,. Ec mv q B m esolvamos ahoa el poblema: a) Conocida la elación q/m de la patícula aceleada, paa cada fecuencia caacteística del ciclotón es peciso modifica B hasta cumpli la condición de esonancia. q B m f B π f, 657 T m π q b) La velocidad cuando los potones salen del aceleado coesponde con el adio máximo. q B 7 v v,54 m / s m c) la enegía cinética, seá la que coesponde a esta velocidad 3 Ec mv Ec 5,85 J 3, 33 MeV d) Cada media vuelta la patícula es aceleada, y el campo eléctico ealiza un tabajo eléctico que se conviete en enegía cinética. 3 W q V Ec n q V 5,85 n 8 vueltas Paa el caso del deuteón y de la patícula alfa. Patícula m q B π f m q q B v m Ec mv Ec n qv Potón H Deuteón + Patícula α, H +,5-8 Kg,657 T,5 7 m/s 3,33 MeV 8 vueltas,9-8 Kg,3 T,5 7 m/s 6,6 MeV 65 vueltas 4 + He,77-8 kg,35 T,5 7 m/s 3, MeV 64 vueltas Compaa los esultados de las distintas patículas. 3

24 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 4/4 8. APLCACÓN DEL CAMPO MAGNÉTCO: EL ESPECTÓGAFO DE MASAS. Una de las aplicaciones más impotantes de las fuezas elécticas y magnéticas que actúan sobe patículas, es la deteminación de masas isotópicas de los elementos. En los espectógafos se acelean los isótopos cagados en un campo eléctico, hasta adquii una deteminada enegía. Después se intoducen en un espacio en el que existe un campo magnético pependicula a la velocidad de los iones y, éstos se sepaan según sus masas. Midiendo los adios de las tayectoias descitas, podemos detemina su masa (si conocemos su caga). Supongamos el siguiente poblema: En un espectómeto de masas se ioniza Mg, aceleando luego los iones con una d.d.p. de V. Si el campo magnético pependicula, existente en el semicículo es de, T, se pide: a) Los adios de las tayectoias descitas po los iones Mg, Mg, y Mg con una caga +e, así como las distancias ente las líneas fomadas po los isótopos sobe la placa fotogáfica. Supón que las masas atómicas de los isótopos son, en uma, iguales a sus númeos másicos. b) En ota situación, con una d.d.p. de 3 V un ion desconocido con caga +e, descibe una óbita semicicula de 3,67 cm de adio cuál seá su masa? De qué iones puede tatase? Datos q e,6-9 C, N A 6,3 3 mol - a) El esquema de un espectógafo de masas como el descito, puede se el siguiente: El campo magnético B en el semicículo del espectógafo, es Cámaa de ionización pependicula al plano dibujado y hacia aiba. El campo eléctico E ente las placas del condensado plano dibujado, acelea los iones que, E entaán en el semicículo con una deteminada velocidad que dependeá de la difeencia de potencial ente las placas y de las caacteística de caga y de masa de cada patícula. Si llamamos V a la difeencia de B potencial ente la placa positiva y la negativa, el tabajo ealizado po las fuezas del campo eléctico se habá convetido en enegía cinética de los iones, así, podemos escibi: mv vemos, depende de la elación q/m de cada patícula. qv de donde, la velocidad adquiida po cada ión seá: m qv v que, como Aunque la velocidad es distinta paa cada ión, siempe que su caga sea la misma, llegaán al campo magnético con la misma enegía. Una vez entan en el campo magnético, sobe dichos iones apaece una fueza magnética, pependicula a v y a B po lo que actuaá como centípeta, cambiando la diección de v peo no su módulo. La tayectoia descita debe se pues una semicicunfeencia hasta incidi en la placa fotogáfica del espectoscopio. 4

25 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 5/4 ( v B ) v F m q como v y B son pependiculaes, Fm seá centípeta: F m q v B m mv siendo el adio de la semicicunfeencia descita. Este adio seá: y, utilizando el qb mv valo de velocidad obtenido anteiomente: qb Como vemos, el adio del semicículo que desciben los iones depende de: la elación m/q de las patículas, del potencial aceleado y, del campo magnético. Si la caga de las patículas es la misma, el adio sólo dependeá de la masa de las patículas, dado que las caacteísticas del espectógafo en cuanto a valoes de V y B, son constantes. En nuesto caso conceto, paa detemina la distancia ente las líneas fomadas po los tes isótopos del Mg sobe la placa fotogáfica, calculaemos los adios de las tayectoias descitas po cada ión (los tes tipos Caso A de iones tienen caga +e). m mv N A qb Conocidos los adios de las 4 + Mg 3, kg,5 m,5 cm tayectoias descitas, las distancias 5 + ente las líneas obtenidas en la placa Mg 4,58-6 kg,39 m,39 cm 6 + fotogáfica seán: Mg 4,368-6 kg,6 m,6 cm Distancia ente las dos pimeas líneas: (,39 -,5),48 centímetos Distancia ente las dos últimas líneas : (,6,39 ),44 centímetos b) En este caso, se plantea utiliza el espectógafo de masas paa detemina la masa de un ión desconocido, sabiendo el adio de la tayectoia descita en unas deteminadas condiciones. Se supone que, la caga de dicho ión es +e. Como la d.d.p. se ha elevado a 3 V, y el campo magnético lo suponemos constante e igual a, T, de las expesiones utilizadas anteiomente deducimos: mv qb De entonces m, kg. Pasando la masa a unidades de qb V masa atómicas: m, ,3 6,54 u, podía se pues un átomo de + 6 C con una caga positiva. En todos las casos anteioes, si los iones tienen dos cagas positivas, los adios de las tayectoias descitas seán los mismos valoes obtenidos anteiomente divididos po. 5

26 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 6/4 9. NDUCCÓN ELECTOMAGNÉTCA. AUTONDUCCÓN. NDUCCÓN MUTUA nducción electomagnética es el fenómeno po el que apaecen coientes elécticas en un cicuito cuando vaía el flujo magnético que lo ataviesa. Este fenómeno viene deteminado po la ley de Faaday, que hace efeencia al valo de la coiente inducida, y la ley de Lenz, que hace efeencia al sentido de esta coiente que se opone a la vaiación de flujo. d ξ N Φ Autoinducción: Son coientes inducidas en el popio cicuito al vaia la intensidad de la coiente que cicula po él. La vaiación de flujo en este caso es debida a la vaiación de la intensidad de coiente lo que va a genea una fueza electomotiz y una intensidad en sentido contaio en el cicuito. dφ d k ξ dφ N kn d L d de donde L NΦ Don de L es una caacteística del cicuito que se llama coeficiente de autoinducción y se mide en henios. Paa un solenoide el flujo magnético es Φ B S, y el campo magnético de un solenoide es N B μ μ N S, de donde se obtiene que el coeficiente de autoinducción es L. L L Un caso inteesante son las extacoientes de ciee y apetua en un cicuito: Todo cicuito tiene una pate esistiva, que epesentamos po una esistencia, y una pate inductiva, que epesentamos po una bobina. Supongamos un cicuito abieto, que ceamos, y duante el estado tansitoio, la intensidad que cicula po él iá en aumento. Paalelamente apaeceá una fem inducida que se opone a este aumento. Si aplicamos la Ley de Ohm genealizada, tenemos: ε ε + ε Y sustituyendo el valo de la fem inducida d d ε L que sepaando vaiables tenemos ε L ε ε t L ln t de donde se obtiene e L El témino exponencial coesponde a la extacoiente de ciee. t cuya solución es : 6

27 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 7/4 Supongamos ahoa un cicuito ceado, que abimos, y duante el estado tansitoio, la intensidad que ciculaba po él iá disminuyendo. Paalelamente apaeceá una fem inducida que se opone a esta disminución. Si aplicamos la Ley de Ohm genealizada, tenemos: ε ε Y sustituyendo el valo de la fem inducida d L que sepaando vaiables tenemos ε ln( ) t de donde se obtiene e L Que coesponde a la extacoiente de apetua. d L t L t cuya solución es : Aquí se epesentan la coiente de apetua en colo vede y la extacoiente de ciee en colo ojo. La inducción mutua se poduce cuando la vaiación de intensidad de coiente en un cicuito que lleva asociada una vaiación de flujo induce en un cicuito póximo a él una fueza electomotiz. Al pime cicuito lo llamamos pimaio y al segundo secundaio y el flujo magnético se tansmite a tavés de un bloque de mateial feomagnético La pincipal aplicación son los tansfomadoes. Un tansfomado solo funciona con coiente altena. La vaiación de intensidad poduce una vaiación de flujo que seá el mismo en ambas bobinas, poque están unidas po el mismo núcleo. dφ ε N dφ ε N ε ε N N Si patimos del supuesto que el tansfomado no tiene pédidas de enegía. La potencia de entada en el pimaio seá igual a la potencia de salida en el secundaio. ε ε ε ε N N 7

28 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 8/4. EL PSMA ÓPTCO Ecuaciones del pisma: sen i n sen sen i n sen ϕ + δ i + i ϕ () () (3) (4) d δ Hay un ayo paticula en el que la desviación es mínima y se cumple po tanto que. d i Deivando (4): d δ d i d δ d i + si d i d i d i d i d i d i (5) Difeenciando las ecuaciones (), () y (3): cos i d i n cos d cos i d i n cos d d + d (6) (7) (8) Dividiendo la ecuación (7) ente la (6) y sustituyendo el valo dado en la ecuación (5): cos cosi cos cosi Ecuación que paa ángulos infeioes a π/ solo tiene como solución: i i y. Se cumple igualmente que el ayo dento del pisma es paalelo a la base. De este modo la desviación mínima es: δ min i ϕ y se cumple paa un ángulo de incidencia i δ + ϕ min Esta ecuación, una vez deteminado expeimentalmente el ángulo de desviación mínima, nos pemite detemina el índice de efacción del pisma, sustituyendo en la expesión (). δ ϕ sen + min n ϕ sen 8

29 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 9/4. EL DOPTO ESFÉCO Es una supeficie, plana o cuva, que sepaa dos medios de difeente índice de efacción. Convenio de signos. Las distancias, puntos y ángulos, elativas al objeto se denominan con letas minúsculas, mayúsculas y letas giegas. Las elativas a las imágenes con apóstofe. La luz incide de izquieda a deecha Las magnitudes lineales: se toma un eje de coodenadas con oigen en el cento del sistema óptico O, siendo el eje de abscisas el eje óptico AA. Paa los ángulos que van del ayo al eje óptico, se utiliza el gio contaio a las agujas del eloj como positivo, peo los ángulos de incidencia y efacción con la nomal se considean positivos si tienen el gio de las agujas del eloj. Aplicando las leyes de la eflexión en la supeficie del dioptío, y teniendo en cuenta los citeios de la óptica paaxial (si el ángulo es muy pequeño senα tgα α). n sen iˆ n' sen iˆ' n tg iˆ n' tg iˆ' n iˆ n' iˆ' iˆ ˆ α + ˆ ϕ ˆ ϕ ˆ β + iˆ' y teniendo en cuenta el citeio de signos: iˆ ˆ α + ˆ ϕ. ˆ ϕ ˆ β + iˆ n ( ˆ ϕ ˆ) α n' ( ˆ ϕ ˆ) β n h h n' s h h s' Y simplificando y odenando tenemos: n' n n' n s' s la ecuación del dioptío esféico. Paa el dioptío plano solamente hay que considea y tenemos: Y paa un espejo esféico había que considea que n-n y entonces: Finalmente paa un espejo plano y se tiene: s s' n ' s' n s + s' s 9

30 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 3/4. MÉTODOS DE MEDDA DE LA VELOCDAD DE LA LUZ a) Método de öme (675) J El satélite o de Júpite está en una óbita coplanaia con la tiea y queda eclipsado en cada evolución alededo de Júpite, lo que supone envia señales peiódicas a la Tiea. T Sol Óbita de la Tiea T J Satélite o Los eclipses de o duan algo más en la posición T que en la posición T. Este etaso pemite medi la velocidad de la luz: c ( - )/Δt b) Método de Fizeau (849) Óbita de la Júpite M manantial luminoso L, L, L 3 y L 4 Lentes convegentes E Espejo semiplateado E Espejo plano ueda dentada O Obsevado L4 E L L3 E O d L M La luz en su ecoido se puede enconta con un diente de la ueda o un hueco. Si se hace gia la ueda lentamente, la luz encuenta hueco tanto a la ida como a la vuelta; se va aumentado la velocidad de otación hasta que el obsevado no ecibe luz, lo que indica que en el tiempo empleado po la luz en i de a E y egeso un diente ha sido sustituido po el diente que le sigue. Conociendo la distancia E, el númeo de dientes de la ueda y el númeo de evoluciones de la misma se calcula la velocidad de la luz. 3

31 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 3/4 Ejemplo: La distancia ente los espejos en el dispositivo de Fizeau paa medi la velocidad de la luz es de km. La ueda dentada es de 5 mm de adio y 5 dientes. Cuál ha de se la velocidad con que debe gia la ueda paa que la luz que pasa po un hueco egese po el siguiente? Dato c 3 5 km/s Solución: 3 ps c) Método de Michelson (96) O E E E M El método de Fizeau fue pefeccionado po Foucault, sustituyendo la ueda dentada po un espejo plano giatoio. Michelson pefecciono aún más este dispositivo, sustituyendo el espejo plano po oto octogonal. Po este método se llego a obtene un valo de la velocidad de la luz c, m/s. 3

32 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 3/4 3. FÍSCA NUCLEA Fuezas nucleaes: atactivas, muy intensas, de muy coto alcance, p-p, p-n, n-n. Estabilidad nuclea: Diagama nº de neutones fente a nº de potones. Enegía de enlace: es el defecto de masa nuclea convetido en enegía de estabilización. Δ E Δm c en J E Δm( u) 93 en MeV H Bequeel (895) obsevó que el sulfato de uanilo poducía fluoescencia al incidi sobe él una adiación, peo no había elación ente la intensidad y la fluoescencia obtenida; peo el fenómeno ea popocional a la cantidad de uanio. Posteiomente los esposos Cuie obsevaon el mismo fenómeno al sepaa el adio de la pechblenda. E. uthefod estudió la adiación emitida descubiendo tes tipos distintos de adiación: 4 + adiación α (positiva): α ó He E7,7 MeV y v,9 7 m/s adiación β (negativa): β ó e E3, MeV y v,97 8 m/s adiación γ (neuta): γ ó hν, adiación de alta enegía. La adiactividad es la tansfomación de unos átomos en otos po emisión de adiación α o β de los átomos iniciales dn Ley de desintegación adiactiva: dn λ N λ N λ t N N e Peiodo de semidesintegación: es el tiempo paa que una muesta adiactiva disminuya su,693 masa o su númeo de átomos a la mitad (t cuando NN /). T λ Vida media: es la suma de todos los tiempos de existencia de todos los átomos dividida po el λ t númeo de átomos. τ t dn λ λ τ t N t e N N λ Unidad adiactiva (S): el bequeel; Bq desintegación/s. Tansfomaciones adiactivas: A A - Tansfomación α: 4 4 Z X Z Y + α + Q + γ A A - Tasfomación β: X Y + β + ν + Q hν Z Z + + N N Seies adiactivas: A 4n: 9ThK 8 Pb ; T /,4 años A 4n+: 93 NpK 8 Pb ; T /,4 6 años (es la seie atificial) A 4n+: 9U K 8 Pb ; T / 4,5 9 años A 4n+3: 9U K 8 Pb ; T / 7,8 8 años También hay otos elementos que no petenecen a ninguna seie: H ; H; Be;... dn N t λ ln N N λ t 4 6C 3

33 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 33/4 4. FÍSCA CUÁNTCA Planteamientos iniciales: La adiación electomagnética: Toda caga aceleada emite adiación electomagnética, esto implica que el modelo de uthefod no es estable. La adiación del cuepo nego. Hipótesis de Planck: Cada oscilado puede absobe o emiti enegía de adiación en una cantidad popocional a su fecuencia: E hν. Ley de Wien: La longitud de onda, paa la cual la intensidad de adiación emitida es máxima, disminuye al aumenta la tempeatua: 3 λ máx T,9 m K Ley de Stefan-Boltzman: La enegía total emitida po un cuepo nego, po unidad de supeficie y de tiempo, o intensidad de adiación, a una tempeatua deteminada, es diectamente popocional a la cuata potencia de su tempeatua: total 4 8 σ T σ 5,67 w m K 4 El efecto fotoeléctico. Teoía de Einstein. Emisión de electones po las supeficies metálicas cuando se iluminan con luz de fecuencia adecuada. - Paa cada metal existe una fecuencia mínima umbal. - Solo cuando ν > ν umbal, la coiente es popocional a la luminosa. - La Ec de los electones aumenta al hacelo la fecuencia de la luz incidente, peo es independiente de la intensidad luminosa. Enegía del fotón Tabajo de extacción + Enegía cinética del electón Espectos atómicos. Ecuación de ydbeg. h ν W extacción + mv k m 7 n > n,9677 λ n n Modelo atómico de Boh. Postulados. - El electón gia en tono al núcleo en óbitas estables y sin emiti enegía. - El electón no puede gia en cualquie óbita, solo en aquella en que el momento angula sea un múltiplo enteo de h/π. - Cuando un electón cambia de obita emite o absobe un cuanto de luz: E -E hν 33

34 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 34/4 Pincipios de la Mecánica Cuántica La mecánica cuántica, en su fomulación ondulatoia, tiene como base física de patida el pincipio de dualidad onda-copúsculo de De Boglie y el pincipio de incetidumbe de Heisembeg, a pate, de la hipótesis de Planck. Pincipio de dualidad onda copúsculo de De Boglie De Boglie fue capaz de uni la teoía copuscula de la luz (defendida po Newton) y la teoía ondulatoia de al luz (defendida po Huygens). Si la luz está fomada po copúsculos, estos estaán caacteizados po un momento lineal y una enegía que según la teoía de la elatividad de Eistein valdá: E pc, peo si la luz es c una onda estaá caacteizada po una longitud de onda y su enegía valdá: E h. gualando ambas expesiones: λ h p, ecuación que nos da la elación enta las magnitudes caacteísticas λ y p. La luz pesenta de este modo una doble natualeza, cietos fenómenos tienen una explicación ondulatoia y otos tienen una explicación copuscula. De Boglie genealizó este esultado a todo tipo de patículas: Todas las patículas lleva asociada una onda electomagnética, cuya longitud de onda viene dada po la expesión: λ Pincipio de incetidumbe de Heisembeg Es imposible ealiza ninguna medida sin inteacciona con el sistema con lo que no medimos el sistema sino el sistema petubado. Es imposible obseva un objeto más pequeño que la longitud de onda de la luz utilizada y paa objetos atómicos la enegía de esta adiación es muy elevada. Esto llevó a Heisembeg a enuncia su famoso postulado: Es imposible conoce simultáneamente y con exactitud la posición y la cantidad de movimiento de una patícula, de modo que el poducto de sus impecisiones es siempe mayo que una cantidad. h Δ x Δp π Esta limitación no es instumental, sino físicamente eal e intínseca al hecho de medi. Postulados de la Mecánica Cuántica. Postulado Cualquie estado de un sistema dinámico de N patículas puede se descito po una función de onda que depende de las 3N coodenadas espaciales y del tiempo: Ψ Ψ( x, y, z, x, y, z, x3, y3, z3, t) () Peo esta función de onda debe se una función aceptable: a) Unifome (Ψ no podá pesenta más de un valo paa un mismo conjunto de coodenadas), b) Continua, así como sus deivadas y c) De cuadado integable. La función de onda que descibe un sistema de N patículas coesponde a una amplitud y, po consiguiente, po analogía con la teoía de la luz, el cuadado de la función de onda que 34 h mv λ

35 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 35/4 descibe un sistema micoscópico en un punto abitaio en el espacio seá popocional a la pobabilidad de enconta estas N patículas en aquel punto del espacio. Matemáticamente, esto se puede expesa po: * Ψ Ψ dv Ψ dv (3) Postulado A cada obsevable (magnitud física de un sistema) le coesponde un opeado que se constuye mediante unas deteminadas eglas y que aplicado sobe la función de onda Ψ, nos pemite calcula el obsevable. Así se definen los siguientes opeadoes: - El tiempo y las coodenadas pemanecen invaiables. - El momento lineal en coodenadas catesianas se obtiene a pati del opeado difeencial: h i ih (4) π q q - El opeado hamiltoniano elacionado con la enegía. E( p, q) ( px + p y + pz ) + V ( x, y, z) m h H V x y z m + + x y z + (,, ) h H + V m El esultado de aplica un opeado sobe la función de onda poduce los valoes popios del opeado o autovaloes asociados a las funciones popias o autofunciones del opeado. A Ψ aψ Postulado La medida de un obsevable cualquiea asociado a un opeado A solo puede da como esultado uno de los valoes popio de A. Po ejemplo, en el caso del hamiltoniano asociado a la enegía del sistema: La solución de la ecuación: HΨ EΨ nos pemite halla los valoes popios de la enegía asociado a las funciones popias del sistema. m Ψ + ( E V ) Ψ h Postulado V Si se conoce la función de onda Ψ en cualquie instante, su valo en oto tiempo cualquiea es solución de la ecuación difeencial: h HΨ Ψ i t que epesenta la ecuación de Schödinge dependiente del tiempo. Postulado V Se tata del pincipio de Exclusión de Pauli 35

36 º BACHLLEATO-Física Depatamento de Física y Química - 36/4 5. FLOSOFÍA DE LA TEOÍA CUÁNTCA A pesa de que existe un acuedo ente todos los físicos, de que la teoía cuántica funciona en el sentido de que pedice esultados que concuedan en foma excelente con el expeimento, existe una contovesia cada vez mayo en cuanto a sus fundamentos filosóficos. Neils Boh ha sido el pincipal aquitecto de la intepetación actual de la mecánica cuántica, conocida como la intepetación de Copenhague. Su enfoque ha sido apoyado po la gan mayoía de los físicos teóicos de hoy. Sin embago, un gupo numeoso de físicos, no todos de acuedo ente sí, han cuestionado la intepetación de Copenhague. El pincipal cítico de esta intepetación fue Albet Einstein. Los debates Einstein-Boh constituyen una pate fascinante de la histoia de la física. Boh consideaba que había podido enfenta todos los etos que inventó Einstein a manea de expeimentos de pizaón que tenían po objeto efuta el pincipio de incetidumbe. Finalmente, Einstein aceptó que la teoía poseía consistencia lógica y su concodancia con los hechos expeimentales, peo pemaneció fime hasta el final, sin convencese de que ello epesentaa la ealidad física última y dijo: Dios no juega a los dados con el univeso, efiiéndose a que la mecánica cuántica abandonaba los eventos individuales y la causalidad esticta, en favo de una intepetación fundamentalmente estadística. Heisenbeg ha afimado el punto de vista comúnmente aceptado en foma conceta: No hemos supuesto que la teoía cuántica, en foma opuesta a la teoía clásica, sea esencialmente una teoía estadística, en el sentido de que de los datos exactos sólo se puedan obtene conclusiones estadísticas En la fomulación de la ley causal, a sabe, si sabemos el pesente exactamente podemos pedeci el futuo, no es la conclusión sino la pemisa la que es falsa. No podemos sabe, como cuestión de pincipio, el pesente en todos sus detalles. Ente los cíticos del punto de vista de Boh-Heisenbeg de una indeteminación fundamental en la física, está Louis de Boglie. En un pólogo a un libo de David Bohm, joven colega de Einstein cuyos intentos de una teoía nueva evivieon el inteés po eexamina las bases filosóficas de la teoía cuántica, de Boglie escibe: azonablemente podemos acepta que la actitud adoptada, po más de 3 años, po físicos teóicos cuánticos es, al menos en apaiencia, la contapate exacta de la infomación del mundo atómico que nos ha dado la expeimentación. Al nivel de investigación que se tiene actualmente en micofísica, es cieto que los métodos de medición, no nos pemiten detemina simultáneamente todas las cantidades que seia necesaias paa obtene una visión de los copúsculos de tipo clásico (esto se puede deduci del pincipio de incetidumbe de Heisenbeg) y que las petubaciones intoducidas po la medición, que son imposibles de elimina, en geneal nos impiden pedeci el esultado que poducián y pemiten sólo pedicciones estadísticas. Po lo tanto, la constucción de fómulas puamente pobabilísticas, que todos los teóicos usan actualmente, fue completamente justificada. Sin embago, la mayoía de ellos, muchas veces bajo la influencia de ideas peconcebidas deivadas de la doctina positivista, han pensado que podían i más allá y afima que el caácte incieto e incompleto del conocimiento que la expeimentación, en su estado actual, nos povee de lo que ealmente ocue en micofísica, es el esultado de una indeteminación eal de los estados físicos y su evolución. Tal extapolación de ninguna manea paece se justificada. Es posible que en el futuo, examinando a un nivel más pofundo la ealidad física, seamos capaces de intepeta las leyes de pobabilidad y física cuántica como los esultados estadísticos del desaollo de vaiables completamente deteminadas que actualmente se encuentan ocultas a nosotos. Puede se que los podeosos medios que empezamos a usa paa ompe la estuctua nuclea y paa que apaezcan nuevas patículas, nos den algún día un conocimiento diecto que actualmente no tenemos a este nivel más pofundo. Tata de impedi todo intento de i más allá del punto de vista actual sobe la física cuántica, podía se muy peligoso paa el pogeso de la ciencia y además seía contaio a las lecciones que podemos apende de la histoia de la ciencia. En efecto, esto nos enseña que el estado actual de nuesto conocimiento es siempe povisional y que deben existi, más allá de lo que actualmente se conoce, inmensas egiones nuevas que descubi. (Tomado de Causality and Chance in Moden Physics po David Bohm, 957 D. Bohm; eimpeso con pemiso de D. Van Nostand Co.). El estudiante debeá nota aquí la aceptación de que la mecánica cuántica es coecta al nivel atómico y nuclea. La búsqueda de un nivel más pofundo, donde la mecánica cuántica podía se supeada, es motivada mucho más po la objeción a su indeteminismo filosófico, que po otas consideaciones. De acuedo con Einstein, La ceencia en un mundo exteno independiente del sujeto que lo pecibe es la base de toda la ciencia natual. Sin embago, la mecánica cuántica considea las inteacciones ente objeto y obsevado como la ealidad última. Utiliza el lenguaje de las elaciones físicas y pocesos en luga del de las cualidades y popiedades físicas. echaza, po insignificante e inútil, el concepto de que detás del univeso de nuesta pecepción se encuente oculto un mundo objetivo gobenado po la causalidad; en cambio, se confina a la descipción de las elaciones ente pecepciones. De todas maneas, existen muchos que ehúsan deja de atibui popiedades objetivas a las patículas elementales, po ejemplo, y tabaja con el conocimiento subjetivo aceca de ellas, lo cual motiva su investigación po una teoía nueva. De acuedo con de Boglie, tal investigación es en el inteés de la ciencia. Que lo anteio lleve a una nueva teoía que en algún campo actualmente inexploado contadiga a la mecánica cuántica y altee también sus fundamentos filosóficos, nadie lo sabe. 36