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1 Materia Introducción a la Informática Unidad 1 Sistema de Numeración Ejercitación Prof. Alejandro Bompensieri

2 Introducción a la Informática - CPU Ejercitación Sistemas de Numeración 1. Pasar a base 10 los siguientes números escritos en la base que se indican: a) A1B32(16 b) 652(8 c) 134(5 d) 2112(3 e) 1242(6 f) (2 2. Pasar a la base que se pide los siguientes números decimales a) 264 a 2 b) 289 a 7 c) 175 a 4 d) 645 a 5 e) 322 a 2 f) 468 a 3 g) 124 a 6 3. Pasar a bases 8 y 2 los siguientes números en hexadecimal a) BB34 b) 1BA23 c) 3124 d) e) 5F13 f) 1124 g) A1BC5 h) 259A 4. Pasar de base hexadecimal a 8 los siguientes números binarios a) A4352 b) 12B56 c)44681 d) 1B1C2 e) 6589 f) g) F4A3 5. Realizar las conversiones entre bases que se piden a) 32568(H a 8 b) 574(6 a 7 c) 5542(7 a 2 d) 2654(8 a H e) 111 (3 a 4 f) 2431(5 a H 6. Pasar a binario los siguientes números escritos en las bases que se indican: a) 56,34(10 b) FA21,22C(16 c) 110,101(8 d) 25,32(10 e) A12,B32(16 f) 101,001(8 g) 12,23(10 h) 134,A22(16 i) 21,12(8 7. Escribir los siguientes números decimales en F=8,2, con bit de signo: a) 53 b) 89 c) Los siguientes números están escritos en F=6,2, con bit de signo. Indicar qué números decimales representan y cuáles son los números máximo y mínimo en este formato: a) b) c) d) e) } 9. Realizar la siguiente operación en F=8, 2, con bit de signo: Realizar las siguientes sumas en hexadecimal A223 BC A5 + A3B2 11. Realizar las siguientes multiplicaciones en hexadecimal 1A B2 x A4 x 1B x 24 Página 2 de 2

3 Materia: Introducción a la Informática Unidad 1: Sistema de Numeración Prof. Alejandro Bompensieri

4 SISTEMA DE NUMERACIÓN Sistema egipcio Sistema babilónico Sistema romano inicial Sistema maya Sistema chino Sistema indio Sistema árabe Sistema español inicial Sistema italiano Sistema actual EVOLUCIÓN Int. a la Informática CPU 2

5 PROPÓSITO Intentar conservar los datos numéricos en forma de escritura Grecia (inicialmente) Roma (posteriormente) Sistema indoarábigo Int. a la Informática CPU 3

6 Int. a la Informática CPU 4

7 DEFINICIÓN Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades. Se caracteriza por su base Sistema posicional Int. a la Informática CPU 5

8 SISTEMA DECIMAL Proviene del sistema numérico indoarábigo. Sistema posicional Conjunto de símbolos cuyo significado o valor depende de su posición relativa al punto decimal. Base 10 Cifras o dígitos Int. a la Informática CPU 6

9 Teorema Fundamental de la Numeración (TFN) n Nº = Σ (dígito) i * (base) i I = -m base: 10 i : posición respecto a la coma m : número de dígitos a la derecha de la coma n : número de dígitos a la izquierda de la coma menos 1 dígito : Cada uno de los que componen el número Int. a la Informática CPU 7

10 Ejemplos 2006 (10 = 2 * * * * (10 = 4 * * * 10-2 Int. a la Informática CPU 8

11 Teorema Fundamental de la Numeración Relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración con la misma cantidad expresada en el sistema decimal. + X 2 * B 2 + X 1 * B 1 + X 0 * B 0 + X -1 *B -1 + X -2 * B -2 base Dígito de la cantidad Posición del dígito con respecto a la coma decimal Int. a la Informática CPU 9

12 EJEMPLO (3 = 2 * * * * RESULTADO = (10 Int. a la Informática CPU 10

13 EJERCICIOS 516 (7 = (2 = Int. a la Informática CPU 11

14 SISTEMA BINARIO Es el sistema utilizado internamente en los circuitos digitales que configuran al hardware Base 2 Posibles representaciones 0-1 Int. a la Informática CPU 12

15 Binary digit bit Ejemplo Int. a la Informática CPU 13

16 MÚLTIPLOS DEL BIT Nibble: conjunto de 4 bits (1010) Byte: conjunto de 8 bits ( ) Kilobyte: conjunto de 1024 bytes (1024 * 8 bits) Megabyte: conjunto de 1024 Kb ( * 8 bits) Gigabyte: conjunto de 1024 Mb ( * 8 bits) Terabyte: conjunto de 1024 Gb ( * 8 bits) 1024= es el múltiplo de 2 más próximo a =1024 Int. a la Informática CPU 14

17 TABLA DE EQUIVALENCIAS 1 nibble = 4 bits. 1 byte = 2 nibbles = 8 bits. 1 kilobyte = 1024 bytes = 1024 * 8 bits. 1 megabyte = Kb = * 8 bits. 1 gigabyte = 1024 Mb = * 8 bits. 1 terabyte = 1024 Gb = * 8 bits. Byte = es la unidad básica de medida de la información Int. a la Informática CPU 15

18 Ejemplos Qué nro. Decimal representa el binario ? (utilizar TFN) (2 = 1 * * * * * = 9.5 (10 Suponiendo una capacidad de 8 MB. Cómo puedo expresar su equivalente en bytes? y en bits? Capacidad = 8 * = bytes = bits Capacidad = bytes * 8 = bits Int. a la Informática CPU 16

19 Ejercicios Transformar los siguientes números binarios a números decimales: ( ( ( ( (2 Int. a la Informática CPU 17

20 SUMA BINARIA Semejante a sumar en el sistema decimal Se manejan sólo 2 dígitos (0 y 1) Si el resultado excede de los símbolos utilizados, se agrega el exceso o acarreo Tabla de sumar en el sistema binario Tabla del = 0 Tabla del = = =10 (0 con acarreo 1) Int. a la Informática CPU 18

21 Ejemplos Sumar los números binarios (36) y (18) Sumar los números binarios (25) y (19) Acarreos Int. a la Informática CPU 19

22 Ejercicios Sumar los siguientes números binarios (46) (14) (173) (279) 10.1 (2.5) (3.25) 1101 (13) (14) (12) Int. a la Informática CPU 20

23 RESTA BINARIA Similar a restar en el sistema decimal Si el sustraendo excede al minuendo, se sustrae una unidad del dígito más a la izquierda (si existe y vale 1) Este último se convierte en 0 y la unidad extraída equivale a 1 * 2 en el minuendo de resta parcial que se está realizando. Tabla de restar en el sistema binario Tabla del = 0 Tabla del = = no cabe = 0 Int. a la Informática CPU 21

24 Ejemplos Restar los números binarios (63) y (42) Restar los números binarios (60) y (42) Int. a la Informática CPU 22

25 Ejercicios Restar los siguientes números binarios (29) (7) (421) (232) (3.25) (2.5) Int. a la Informática CPU 23

26 MULTIPLICACIÓN BINARIA Similar a la multiplicación en el sistema decimal Salvo la suma final que se realiza en binario Tabla de multiplicar en el sistema binario Tabla del 0 0 * 0 = 0 Tabla del 1 1 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1 Int. a la Informática CPU 24

27 Ejemplo Multiplicar los números binarios (53) y 1101 (13) * * Int. a la Informática CPU 25

28 Ejercicios Multiplicar los siguientes números binarios (26) por (42) (63) por (42) Int. a la Informática CPU 26

29 DIVISIÓN BINARIA Similar a la división en el sistema decimal Salvo que las multiplicaciones y las restas se hacen en binario. Int. a la Informática CPU 27

30 Ejemplo Dividir los números binarios (34) y 110 (6) cociente (5) resto (4) Int. a la Informática CPU 28

31 Ejercicios Dividir los siguientes números binarios y comprobar el resultado (1026) y 11 (3) (1092) y (42) Int. a la Informática CPU 29

32 SISTEMA OCTAL Sistema posicional Base 8 Aritmética similar a la de los sistemas decimal y binario Posibles representaciones Int. a la Informática CPU 30

33 Ejemplo Qué número decimal representa el número octal 4701? Resolver utilizando TFN 4701 (8 = 4 * * * * 8 0 = = 2497 (10 Int. a la Informática CPU 31

34 SISTEMA HEXADECIMAL Sistema posicional Base 16 Aritmética similar a la de los sistemas decimal, binario y octal Posibles representaciones A B C D E F Int. a la Informática CPU 32

35 SISTEMA HEXADECIMAL Se asignan los siguientes valores absolutos (decimales) a los símbolos A, B, C, D, E, F Símbolo A B C D E F Valor absoluto Int. a la Informática CPU 33

36 Ejemplo Qué número decimal representa el número hexadecimal 2CA? Resolver utilizando TFN 2CA (16 = 2 * C * A * 16 0 = * * 16 0 = = 714 (10 Int. a la Informática CPU 34

37 CONVERSIONES ENTRE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Es la transformación de una determinada cantidad expresada en uno de los sistemas de numeración vistos, a su representación equivalente en otro de los sistemas de numeración vistos. Int. a la Informática CPU 35

38 CONVERSIONES Decimal a binario Binario a decimal Decimal a octal Octal a decimal Decimal a hexadecimal Hexadecimal a decimal Hexadecimal a binario Binario a hexadecimal Octal a binario Binario a octal Octal a hexadecimal Hexadecimal a octal Int. a la Informática CPU 36

39 Conversión decimal a binario Ejemplo: Convertir el decimal 10 a binario (10 = 1010 (2 Es el método que se utiliza para convertir números enteros decimales a su respectivo número entero en binario. Se trata de dividir sucesivamente el número decimal y los sucesivos cocientes entre 2, hasta que el cociente en una de las divisiones tome el valor 0. La unión de todos los restos obtenidos, escritos en orden inverso, nos proporciona el número inicial expresado en binario. Int. a la Informática CPU 37

40 Conversión binario a decimal Ejemplo: Convertir el binario a decimal (2 = 1 * * * * * *2 5 = = 43 (10 Es el método que aplica directamente el teorema fundamental de la numeración (TFN). Int. a la Informática CPU 38

41 Conversión hexadecimal a binario Ejemplo: Convertir el hexadecimal 2BC a binario. 2 B C Luego: 2BC (16 = (2 Para convertir un número hexadecimal a binario se sustituye cada dígito hexadecimal por su representación binaria con cuatro dígitos. (ver tabla). Int. a la Informática CPU 39

42 Conversión binario a hexadecimal Ejemplo: Convertir el binario a hexadecimal C Luego: (2 = 12C (16 Se debe realizar el proceso inverso al anterior. Se agrupan los dígitos binarios de 4 en 4 a partir del punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha, sustituyendo cada cuarteto por su correspondiente dígito hexadecimal. Int. a la Informática CPU 40

43 Ejercicios 15 (10 a binario 1994 (10 a binario 1101 (2 a decimal (2 a decimal (2 a decimal 7BA3 (16 a binario (2 a hexadecimal Int. a la Informática CPU 41

44 Representación de números enteros Las computadoras digitales utilizan 4 métodos para la representación interna de números enteros (positivos y negativos) Módulo y signo (MS) Complemento a 1 (C-1) Complemento a 2 (C-2) Exceso a 2 n-1 Int. a la Informática CPU 42

45 Módulo y signo (MS) En este sistema, el bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -. El resto de bits (n-1) representan el módulo del número. Int. a la Informática CPU 43

46 Módulo y signo (MS) Ejemplo: queremos representar los números 10 y 10. Disponemos de 8 bits, es decir, n = 8 Número Signo + Módulo luego Signo - Módulo Int. a la Informática CPU 44

47 Módulo y signo (MS) La ventaja de este sistema es poseer un rango simétrico (igual número de positivos y negativos). La desventaja es que posee dos representaciones para el número cero. Para n = 8 bits (+0) (-0) Int. a la Informática CPU 45

48 Complemento a 1 (C-1) En este sistema, también el bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -. El resto de bits (n-1) representan el módulo del número. El negativo de un número positivo se obtiene complementando todos sus dígitos (cambiar ceros por unos y viceversa) incluido el bit de signo. Int. a la Informática CPU 46

49 Complemento a 1 (C-1) Ejemplo: queremos representar los números 10 y 10. Disponemos de 8 bits, es decir, n = 8 Número Signo + Módulo Complemento del positivo Signo - Módulo Int. a la Informática CPU 47

50 Complemento a 1 (C-1) La ventaja de este sistema es poseer un rango simétrico (igual número de positivos y negativos). La desventaja es que posee dos representaciones para el número cero. Para n = 8 bits (+0) (-0) Int. a la Informática CPU 48

51 Complemento a 2 (C-2) En este sistema, también el bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -. El resto de bits (n-1) representan el módulo del número, igual que MS y C-1. El negativo de un número se obtiene en dos pasos. 1) Complemento a 1 2) Al resultado obtenido se le suma 1 en binario, despreciando el último acarreo si existe. Int. a la Informática CPU 49

52 Complemento a 2 (C-2) Ejemplo: queremos representar los números 10 y 10. Disponemos de 8 bits, es decir, n = 8 1º paso: Complemento Número 10 del positivo C Signo + Módulo Signo - 2º paso: Sumar 1 en binario 1 Módulo Int. a la Informática CPU 50

53 Complemento a 2 (C-2) La ventaja de este sistema es poseer una única representación para el número cero. El último acarreo se desprecia, por lo tanto, el 0 y el 0 tienen la misma representación en C-2. Int. a la Informática CPU 51

54 Exceso a 2 n-1 En este método la representación no utiliza ningún bit para el signo, con lo cual todos los bits representan un módulo o valor. Este valor se corresponde con el número representado más el exceso, que para n bits viene dado por 2 n-1. Int. a la Informática CPU 52

55 Materia Introducción a la Informática Unidad 1 Tablas de Valores de Verdad Prof. Alejandro Bompensieri

56 Tablas de Valores de Verdad Introducción a la Informática - CPU NEGACION (NOT) P P V F F V CONJUNCION (AND) P Q P^Q V V V V F F F V F F F F DISYUNCIÓN (OR) NAND P Q P Q V V F V F V F V V F F V NOR P Q P Q V V F V F F F V F F F V P Q P Q V V V V F V F V V F F F CONDICIONAL P Q P Q V V V V F F F V V F F V BICONDICIONAL (XNOR) P Q P Q V V V V F F F V F F F V DISYUNCION EXCLUSIVA (XOR) P Q P Q V V F V F V F V V F F F Página 2 de 2

57 Introducción a la Informática - CPU A B C D E F MÁS A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A A B C D E F B B C D E F A C C D E F A 1B D D E F A 1B 1C E E F A 1B 1C 1D F F # A 1B 1C 1D 1E A B C D E F POR A B C D E F A C E A 1C 1E C F B 1E A 2D C C C C A F E D C B C E 24 2A C E 54 5A E 15 1C 23 2A F 46 4C 54 5B B 24 2D 36 3F A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 14 1E C A 64 6E C 96 B 0 B C C E F 9A A5 C 0 C C C C A8 B4 D 0 D 1A E 5B F 9C A9 B6 C3 E 0 E 1C 2A E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1 Página 1 de 1

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