Instituto Tecnológico de Chihuahua II Departamento de Ciencias Básicas MATEMÁTICAS DISCRETAS

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1 Instituto Tecnológico de Chihuahua II Departamento de Ciencias Básicas MATEMÁTICAS DISCRETAS M.C. Elizabeth Vázquez González M.C. Griselda Armendáriz Borunda

2 PRESENTACIÓN Este texto está dirigido a ti, que estudias matemáticas discretas, ha sido diseñado buscando reducir tu trabajo de escritura durante las sesiones de clase, de manera que puedas dedicarte al razonamiento que requieren cada una de las actividades. Hablamos de reducirlo porque la idea no es eliminarlo, pues siempre tendrás necesidad de hacer anotaciones propias que te ayuden a integrar los nuevos conceptos a los que ya tienes Por esta razón, más que texto lo que te estamos presentando es un cuaderno de trabajo. El texto contiene conceptos básicos de lógica y relaciones que permiten dar fundamento al tema central del curso, la teoría de grafos, misma que da origen a la matemática discreta. Aunque la teoría de grafos nace en el siglo XVIII, es con la llegada de las computadoras que empieza su desarrollo; quizá sea ésta la razón (su juventud) por la que aún no hay acuerdo entre autores respecto a la nomenclatura empleada y a las definiciones de muchos de los conceptos involucrados en ella; hay, incluso, inconsistencias entre las distintas definiciones dadas por un mismo autor. Por otra parte, no hay en el mercado un texto que cumpla con la totalidad de los temas contenidos en el programa oficial de estudios, de esta materia, para la carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales del SNEST de manera que es difícil abordar el curso de modo consistente con los textos disponibles. A lo largo del texto se incluyen algoritmos que sirven de base para programar en la computadora tareas específicas cuyo fundamento matemático se analiza como parte del contenido del texto, algoritmos como multiplicación y división binaria, recorridos en árboles, búsqueda del camino más corto en grafos. Estos algoritmos se presentan acompañados de ejercicios propuestos y resueltos para facilitar la familiarización con ellos. Para la elaboración de este texto hemos partido de la teoría expuesta en diferentes libros con la idea de lograr una estructura consistente de los conceptos, de tal forma que una definición no se contraponga a otra y cada una de las definiciones abordadas sea lo más general posible. Hemos mantenido en mente el aspecto didáctico, ya que otro de nuestros objetivos es que conforme realices las actividades de análisis, reflexión y discusión propuestas fortalezcas las habilidades necesarias para el razonamiento matemático, la interpretación de textos matemáticos y, en general la apropiación de conceptos matemáticos. Para esto, muchas de las actividades que proponemos están diseñadas para que las realices en pequeños grupos o para que cotejes los resultados con tus compañeros y luego se discutan en grupo bajo la coordinación del profesor. Es conveniente aclarar que el tema de grafos es demasiado denso en definiciones y que no esperamos que las aprendas de memoria, sino que las interpretes adecuadamente y puedas manejarlas y relacionarlas en el contexto de un problema; ésta es la razón por la que hemos incluido un concentrado de las mismas al final del texto para que lo consultes en cualquier momento. Te recomendamos, como una tarea importante, hacer una lectura completa del tema en estudio, así como ir resolviendo los ejercicios de cada sección, pues esto te permitirá una mejor comprensión del mismo. Al final del texto encontrarás todas las respuestas a los ejercicios propuestos, también hemos incluido como pies de página las respuestas a las

3 preguntas de reflexión a lo largo del texto. Como un apoyo adicional se da al final de cada unidad una selección de ejercicios que abarcan todo el contenido de la misma con la finalidad de que puedas hacer un repaso general para que consolides los conceptos. Esperamos que este documento sea realmente útil para tu aprendizaje y te agradeceremos cualquier comentario que nos ayude a mejorarlo. M. C. Elizabeth Vázquez G. M. C. Griselda Armendáriz B. Depto. de Ciencias Básicas del I. T. Ch. II

4 ÍNDICE. SISTEMAS NUMÉRICOS.. Introducción.2. Clasificación de los números reales.3. Sistema decimal sistema binario 6.4. Sistema numérico binario 8.5. Conversión binario a decimal 0.6. Conversión decimal a binario.7. Adición binaria 4.8. Multiplicación binaria 6.9. Sustracción binaria 9.0 División binaria 2. Sistema hexadecimal 23.2 Conversión hexadecimal decimal 24.3 Conversión decimal hexadecimal 24.4 Interconversión hexadecimal binaria 25.5 Adición y sustracción hexadecimal 27.6 Complementos 29.7 Algoritmo de Booth para la multiplicación 37.8 Algoritmo para la división 39

5 . SISTEMAS NUMÉRICOS. Introducción Un sistema numérico posicional nos permite representar cantidades tan grandes, tan pequeñas y tan precisas como se necesite con un número finito de símbolos, llamados dígitos del sistema. Al número b de dígitos se le llama base. Como veremos, cualquier número puede representarse como una suma de potencias de la base b, en la cual cada potencia está multiplicada por uno de los dígitos. De manera que la potencia de la base b pondera al dígito de acuerdo con su posición, de aquí el nombre de sistema numérico posicional. El sistema numérico binario, el familiar sistema numérico decimal y el hexadecimal son ejemplos de sistemas de numeración posicional. Los sistemas numéricos posicionales son valiosos porque en ellos los números se construyen en forma sistemática, lo cual permite que la operatividad pueda hacerse en forma algorítmica y lo más importante, teniendo el algoritmo para realizar una operación en un sistema, su uso puede extenderse a cualquier otro sistema. En este capítulo estudiaremos el sistema binario y el sistema hexadecimal como ejemplos importantes para aprender a realizar operaciones aritméticas en cualquier sistema posicional de la misma manera que lo hacemos en el sistema decimal. Analizaremos estos dos sistemas (binario y hexadecimal) porque son los más importantes en el campo de la computación. Muchos de los componentes electrónicos de una computadora son de naturaleza biestable; es decir, pueden estar en cualquiera de dos estados (tales como encendido/apagado, o magnetizado en la dirección de las manecillas del reloj/ en dirección contraria). Estos dos estados posibles comúnmente se denotan por 0 y, que son los símbolos para los dígitos del sistema numérico binario. Aún más, una unidad individual de información se representa en la computadora por una secuencia de estos dígitos binarios (bits). Tales sucesiones de bits pueden ser consideradas como números binarios y muchas computadoras usan el sistema numérico binario no sólo para representar cantidades, sino para efectuar cálculos, usando la aritmética binaria. Para entender la aritmética binaria y aprender a operar con ella haremos paralelamente una revisión cuidadosa del sistema decimal, buscando que sea evidente la manera en que se hacen las operaciones aritméticas en este sistema. De esta forma extenderemos primero al sistema binario y luego a otros sistemas la operatividad que ya nos es familiar en el sistema decimal..2 Clasificación de los números reales Puesto que nuestro objeto de estudio son los números, comencemos por asentar algunas cuestiones importantes sobre ellos. El conjunto de los números reales ( R) puede ser expresado en distintos sistemas numéricos, nuestro estudio de estos números ha sido hecho hasta ahora en el sistema decimal. En este sistema un número real es una secuencia de los dígitos 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 con un punto decimal intercalado, por ejemplo A la parte colocada a la izquierda del punto se le llama parte entera y a la de la derecha expansión decimal.

6 Vistos así, los números reales pueden clasificarse en decimales periódicos y decimales no periódicos. Son decimales periódicos aquéllos cuya expansión decimal tiene un número finito de dígitos que se repite indefinidamente en forma idéntica (al conjunto de dígitos que se repite se le llama período), por ejemplo: (período: 4), (período: 3), (período: 325), (período: 0), (período: 0). Cuando el período de un decimal periódico es cero, como en los últimos dos ejemplos, no se acostumbra escribir los ceros; así escribimos 29.8 en lugar de y 3 en lugar de , aunque en este caso también la expansión decimal es infinita, como se omiten los ceros se acostumbra decir que el número tiene expansión decimal finita. Los decimales no periódicos son aquéllos con expansión decimal infinita en la que no existe un grupo de dígitos que se repita idéntica e indefinidamente, por ejemplo: , , , Además de clasificar a los números reales de la forma anterior (decimales periódicos y decimales no periódicos) existe otra manera de acuerdo con la forma en que históricamente se han ido construyendo. Los primeros en conceptualizarse fueron los números naturales, que además son los más simples, con ellos contamos nuestros discos, nuestros libros,...; al conjunto formado por estos números ({0,, 2, 3, 4, 5,...}) lo denotaremos con la letra N, de modo que N = {0,, 2, 3, 4, 5,...}. Si al conjunto de los naturales agregamos sus inversos aditivos, obtenemos los números enteros que denotaremos con Z, así Z = {..., -3, -2, -, 0,, 2, 3,...}. Observa que todo elemento de N es también un elemento de Z. Esto es N está contenido en Z (que se denota N Z). Cuando tratamos de medir las propiedades físicas de un objeto, como su longitud, peso o volumen, los enteros son inadecuados; están demasiado espaciados para que sea posible representar con ellos una magnitud con una aproximación suficientemente buena por lo que es importante considerar los números racionales, esto es, los números que pueden representarse como un cociente de dos enteros y que denotaremos con la letra Q, así Q = p p, q Z, q 0 q Nota que Z Q ya que por ejemplo 4 = =..., 7 = =..., 0 = = Hasta este punto tenemos, en esta clasificación, que N Z Q. Hemos hablado de los reales que se pueden escribir como un cociente de dos enteros, los racionales; sin embargo existen números reales, como 2,, e, 3, 8,..., que no se pueden expresar como un cociente de dos enteros, a este conjunto de números se le da el nombre de números irracionales y se le denota por I. Realiza las siguientes actividades para que veas la relación que hay entre las dos clasificaciones de los números reales que hemos mencionado. 2

7 Ejercicios.2a: ) Representa la relación que hay entre los conjuntos: N, Z, Q y R mediante diagramas de Venn. 2) Cómo clasificarías a los enteros, como decimales periódicos o como no periódicos? Por qué? 3) Es 5 2 un decimal periódico o no periódico? 4) Es 7 3 un decimal periódico o no periódico? 5) Podría decirse que Q está contenido en el conjunto de los decimales periódicos? Por qué? 6) Podrá expresarse como un cociente de dos enteros? 7) Podrá expresarse como un cociente de dos enteros? 8) Podría decirse que el conjunto de los decimales periódicos está contenido en Q? Por qué? 9) Complementa la representación que hiciste en el problema escribiendo decimales periódicos y decimales no periódicos donde corresponda. Si no sentiste seguridad al contestar alguna de las preguntas anteriores, regresa a ellas al finalizar esta sección. Para expresar un número racional q p en forma decimal basta con hacer la división q p en la que el dividendo es el numerador p y el divisor el denominador q. Además, sabemos que el número de residuos distintos posibles que se obtienen durante el proceso de hacer una división es igual al valor del divisor, por ejemplo para representar 8 en forma decimal, los 8 posibles residuos distintos al efectuar la división de entre 8 son: 0,, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. No podría obtenerse un número mayor que 7 como residuo porque esto significaría que el cociente fue mal estimado, debiendo ser un número mayor. Haz la división y observa que en este caso los residuos obtenidos son, 2, 4 y 0, en ese orden. Al momento de obtener cero como residuo, la división concluye, de manera que la representación decimal de 8 tiene expansión decimal finita, es decir 8 = 0.25 es un número decimal periódico con período cero (ya que los dígitos a la derecha de 5 son todos cero, por lo que podemos omitirlos). Lo mismo sucede con cualquier otro racional en el que al efectuar la división obtengamos residuo cero. El otro caso que puede presentarse es que jamás obtengamos un residuo cero, así el proceso de la división sería un proceso infinito; sin embargo como el número de residuos es finito (ya que los residuos son mayores o iguales que cero y menores que el divisor), en algún momento por lo menos uno tendrá que repetirse y si después de éste que se repite hay otros residuos éstos se repetirán también en el mismo orden, como consecuencia en el cociente 3

8 habrá también un grupo de dígitos que se repetirán en forma regular. Por ejemplo al querer 67 representar en forma decimal el número obtenemos esto: q o sea, el número = es un decimal periódico con período Ejercicios.2b: ) Da la representación decimal de los siguientes números: 375 a) 4 b) 7 c) 3 2) Si al efectuar la división de p entre q se obtienen todos los residuos posibles, puedes p concluir que la expansión decimal de es finita? q 3) Si al efectuar la división de p entre q no se obtienen todos los residuos posibles, p puedes concluir que la expansión decimal de es infinita? q Por lo que hemos visto podemos concluir que cualquier número racional es un decimal periódico. La pregunta que surge aquí y que te hicimos en el punto 8) del ejercicio anterior es cualquier decimal periódico podrá expresarse como un cociente de dos enteros?, la respuesta es sí. De hecho cuando el período es cero es muy fácil expresar al número como un cociente de dos enteros, por ejemplo: 0.3 =, 3.52 =. Sin embargo, es más 0 00 complejo expresar como un cociente de dos enteros un decimal periódico con período distinto de cero. Mostraremos un método para hacerlo expresando el número como cociente de dos enteros. Si hacemos X = entonces 0 X = (esto se hace para tener el período en la parte entera) 0 X X = (al efectuar la resta conseguimos un entero) 9 X = 8 4

9 X = 9 8 Por lo tanto = 9 8 Esto es, acabamos de expresar el número como un cociente de dos enteros. Ejercicios.2c: ) Siguiendo la misma idea, en cada inciso expresa el decimal periódico dado como un cociente de dos enteros a) b) c) d) e) f) g) Comentemos las soluciones de los incisos f) y g). Para expresar como un cociente de dos enteros el procedimiento es prácticamente el mismo. Hagamos X = ahora debemos multiplicar a X por 000 para conseguir tener el período en la parte entera 000 X = X = en este caso será necesario restar 0 X para quitar la parte fraccionaria 000 X 0 X = X = X = = = por lo que = En el caso de , podemos expresar el número como la suma de dos decimales periódicos, uno con período cero y el otro con período cinco = = = = = Hemos trabajado con dos clasificaciones de los números reales: R = Q I (los reales resultan de la unión de los racionales y los irracionales), donde Q I = (racionales e irracionales no tienen elementos en común) R = decimales periódicos decimales no periódicos, donde decimales periódicos decimales no periódicos = 5

10 También hemos comentado la relación entre estas dos clasificaciones, formalízala escribiendo en los espacios no periódico o periódico según corresponda: Los números racionales son los decimales y que los irracionales son los decimales 2. Hasta aquí hemos trabajado con la clasificación de los números reales, el siguiente acercamiento a ellos lo haremos desde una perspectiva geométrica con la idea de mostrar con más claridad lo que comentamos brevemente en la introducción, el por qué de llamar posicional al familiar sistema decimal..3 Sistema decimal - sistema binario Empecemos por construir los números enteros en el sistema decimal 0 9 -aquí se agotan los dígitos disponibles 0 -para poder continuar se recurre a otra posición. En esta nueva posición se comienza con el y conservando en la nueva posición al, se usan en la posición de la derecha todos los dígitos cuando de nuevo se agotan los dígitos en la posición de la derecha, se continúa, en 2 la posición de la izquierda, con el sucesor de, se usan, de nuevo, en la posición de la derecha todos los dígitos 29 -se continúa de la misma manera, hasta agotar los dígitos 99 -aquí se agotan los dígitos disponibles en estas dos posiciones, será necesario 00 recurrir a una nueva posición a la izquierda, iniciando de nuevo en esta posición 0 con el dígito. -se continua en la misma forma con la idea de agotar los dígitos de derecha a 09 izquierda Los enteros negativos, se construyen en la misma forma, pero les antecede el signo. Con este desarrollo se ve claro que nunca se agotarán las posiciones posibles, de manera que se podrán construir números tan grandes como se quiera. Como se dispone de diez dígitos, la necesidad de una segunda posición se presenta cuando estos diez dígitos se agotan, esto es, Periódicos 2 No periódicos 6

11 se requiere la nueva posición para construir el número 0, es el momento en el que pasamos de las unidades a las decenas; esta es la razón por la que a esta segunda posición se le llama posición de las decenas. La necesidad de una tercera posición, la de las centenas, se presenta después de 00 números, para construir el número 00, de una cuarta, la de las unidades de millar, después de los 000 y así sucesivamente. Por esta razón, cuando se tenga el mismo dígito en dos posiciones contiguas el valor del dígito de la izquierda es diez veces el valor del dígito de la derecha. Con esto se justifica el uso de la notación expandida con la que expresamos el número como una suma de potencias de 0. Por ejemplo, el número 2589 se expresa, en notación expandida, de la siguiente manera: 2589 = 2x x x0 + 9x0 0 Esta notación justifica el hecho de que el 2 sea llamado el dígito más significativo del número 2589 ya que, debido a su ponderación es el que representa más unidades. De esta manera también se dice que el 5 es más significativo que el 8 y que el 9 y el 8 más que el 9 en el Se acostumbra representar estos números en la recta numérica de la siguiente forma Figura En un número entero, la expansión decimal consta sólo de ceros (aunque en el inciso b del ejercicio anterior viste que es igual a , lo más común y conveniente es trabajar con la representación , más aún, escribiendo solamente ); un número no entero debe contener en su expansión decimal por lo menos un dígito distinto de cero. En la expansión decimal los dígitos tienen también un valor relativo a su posición. De la misma manera que en la parte entera, cuando se tenga el mismo dígito en dos posiciones contiguas el valor del dígito de la izquierda es diez veces el valor del dígito de la derecha. Debe tenerse presente que los dígitos a la derecha del punto decimal están representando el número de partes que se toman al subdividir al entero en múltiplos de 0. La primera posición representa cuántas partes se están tomando de las 0 en que se dividió al entero, por eso se le llama a ésta la posición de los décimos (/0); la segunda posición representa las partes que se toman de las 0 en que se subdivide una de las partes de la división anterior, es decir, cuántas de las cien partes en que se dividió al entero por eso se le llama a ésta la posición de los centésimos (/00), el mismo análisis se sigue para las demás posiciones. Así teniendo presente que = 0 0, = , etc., el número se expresa en notación expandida como = 3x0 + 2x x x0 4. De manera que, considerando los dos ejemplos anteriores, el número queda expresado en notación expandida de la siguiente manera = 9x x x0 + 7x x0 + 2x x x0 4 La representación geométrica de un número no entero está basada en las ideas abordadas en los párrafos anteriores. Ilustremos, con el número 3.627, cómo se hace dicha 7

12 representación. Comenzamos reconociendo que este número se encuentra entre el 3 y el 4. Para localizar la parte fraccionaria debemos dividir el intervalo [3,4] en 0 partes iguales; tomando 6 de estas partes, localizamos el 3.6. Dividimos ahora el intervalo [3.6, 3.7] también en 0 partes iguales; tomando 2 de estas partes, localizamos el Por último, dividimos el intervalo [3.62, 3.63] y tomando 7 de estas partes localizamos el número buscado: Este proceso puede visualizarse como se muestra en la figura Figura Sistema numérico binario Construyamos ahora los números enteros en el sistema binario aprovechando la reflexión que hicimos con el sistema decimal y teniendo presente que ahora sólo contamos con dos dígitos el 0 y el. Decimal-Binario 0 0 -aquí se agotan los dígitos disponibles 2 0 -recurrimos a otra posición comenzando con el. Conservando en la nueva 3 posición al, usamos en la posición de la derecha los dígitos disponibles Se hace necesario recurrir a una nueva posición a la izquierda Continuamos de la misma manera hasta agotar los dígitos barriendo las 6 0 posiciones de derecha a izquierda Observa que cuando se recurre a una nueva posición para representar un número X, los dígitos de la derecha que acompañan al de la nueva posición son sólo ceros. Para generar a los sucesores de X basta con continuar escribiendo los números que ya se tenían antes de X, pero antecedidos por el de la nueva posición. El proceso, que acabamos de seguir para 8

13 construir los números enteros en el sistema binario, es el mismo que seguimos para construirlos en el sistema decimal y sería también el mismo para cualquier otro sistema posicional. Escribe, en el sistema octal, los primeros 50 enteros empezando por el cero. Asocia a cada número el correspondiente en el sistema decimal. Al representar los números reales en el sistema binario, la recta numérica se ve de la siguiente manera: Figura Si quisiéramos representar en ella números binarios que no sean enteros, debemos tener presente que ahora partiremos el entero en dos partes cada vez, en lugar de diez como lo hicimos para el sistema decimal. Veamos esto representando el número 0.0. Comenzamos observando que este número se encuentra entre el 0 y el 0, ahora dividimos el intervalo [0, 0] en dos partes iguales; tomando una de estas dos partes localizamos el número 0.. Dividimos ahora el intervalo [0., 0] en dos partes iguales; tomando una de esas partes localizamos el 0.. Consideramos el intervalo [0., 0] y lo dividimos en dos partes iguales, de éstas no tomamos ninguna parte (porque el siguiente dígito en la parte fraccionaria es cero). Finalmente dividimos el intervalo [0.0, 0.] en dos partes iguales, tomamos una parte y con esto, localizamos el número 0.0. Este proceso se ilustra en la figura Figura 4 9

14 .5 Conversión binario a decimal La forma en que puede convertirse un número de un sistema a otro puede apreciarse más claramente si vemos la relación entre ambos sistemas desde el punto de vista geométrico. Particularicemos esto convirtiendo el número 0. del sistema binario al sistema decimal. Enumerando los primeros enteros binarios, nos damos cuenta que 0 2 = 5 (para que la igualdad sea correcta, es necesario colocar 2 como subíndice del número binario; en general cuando el contexto no aclara en qué sistema está expresado un número, se coloca la base del sistema como subíndice del número). Para determinar el valor, en el sistema decimal, que corresponde a la parte fraccionaria del número en binario mostraremos en la figura 5 la relación entre las particiones del intervalo donde se encuentra el número, hechas en el sistema binario y en el decimal. binario decimal = = 5.5 binario decimal = = 5.75 Figura Por lo tanto 0. 2 = = 5.75 Ejercicios.5a: ) Apoyándote en la recta numérica da el número en base 0 equivalente al número dado a) 0. 2 b) c) d) 0. 2 e) f) El mismo procedimiento que usamos para representar los números reales en el sistema decimal nos fue útil para representarlos en el sistema binario, salvo que en este último caso usamos potencias de 2 para asignar a un dígito el valor correcto de acuerdo con la posición que ocupa. Entonces la notación expandida en el sistema binario se expresa como una suma de potencias de 2, por ejemplo el número se representa como x2 5 + x x x x2 + x2 0 + x2 - + x x2-3 + x2-4. 0

15 Esta notación expandida es importante porque el valor que resulta de esta suma es el equivalente decimal del número binario, esto es = x2 5 + x x x x2 + x2 0 + x2 - + x x2-3 + x2-4 = = Observa que un cero es importante para posicionar al siguiente dígito, pero no contribuye a la suma total. El anterior es un método para escribir un número binario en su forma decimal, que puede simplificarse colocando sobre cada dígito del número la ponderación que le corresponde, de esta manera el equivalente decimal se obtiene sumando solamente las ponderaciones colocadas sobre dígitos uno. En la figura 6 se muestra cómo hacer esto Figura 6 La segunda fila puede ser omitida, aquí se escribió solamente para hacer el enlace con la notación expandida. Ejercicios.5b: ) Escribe el número dado en su forma decimal a) b) c) d) Conversión decimal a binario También es importante contar con un método para efectuar el proceso inverso al que acabamos de ver, esto es, determinar el equivalente binario de un número decimal. Mostraremos el método convirtiendo el número a su forma binaria. Para hacer la conversión es necesario trabajar separadamente la parte entera y la parte fraccionaria. Para transformar 3 en binario recordemos que cuando convertíamos un entero binario en decimal la ponderación para cada dígito se conseguía haciendo multiplicaciones sucesivas por 2, ahora tendremos que hacer divisiones sucesivas entre 2, en las que el cociente de una es el dividendo de la siguiente, la última división será la que tenga cociente cero. El equivalente binario del número se obtiene enlistando los residuos del último al primero

16 Así 3 = 0 2 esta igualdad se justifica con el algoritmo de la división 3 y la notación expandida como sigue: 3 = 6 x 2 + = (3 x 2 + 0) x 2 + = 3 x x 2 + = ( x 2 +) x x 2 + = x x x 2 + = x x x 2 + x 2 0 = 0 2 Se acostumbra abreviar las divisiones sucesivas poniendo los cocientes debajo del número y a la derecha de cada cociente el respectivo residuo residuos La flecha indica el orden en que son tomados los residuos para formar el equivalente binario Trabajemos ahora en la conversión de la parte fraccionaria. Para transformar en binario recordemos que cuando convertíamos una fracción binaria en decimal la ponderación para cada dígito se conseguía haciendo divisiones sucesivas por 2 (ya que la notación expandida de la parte fraccionaria se expresa en potencias negativas de 2). Ahora tendremos que hacer multiplicaciones sucesivas por 2. El multiplicando de la primera multiplicación es la parte fraccionaria del número a convertir y el multiplicando de cada una de las siguientes es el producto de la anterior, el cálculo termina cuando la parte fraccionaria del producto es cero (esto, si la parte fraccionaria del equivalente binario es finita; si no es así, el cálculo se prolonga tanto como dígitos se deseen). El equivalente binario del número se obtiene enlistando la parte entera, del primero al último, de los productos. parte entera x 2 = x 2 = x 2 = x 2 =.0 La flecha indica el orden en que son tomadas las partes enteras de los productos para formar el equivalente binario Así = esta igualdad se justifica con el proceso conocido como prueba de la multiplicación 4 y la notación expandida de la siguiente forma: 3 _cociente El dividendo es igual al cociente por el divisor divisor dividendo más el residuo, donde 0 residuo 0 4 multiplicando x multiplicador_ Producto El multiplicando es igual a producto entre el multiplicador 2

17 0.825 =.625 x 2 = ( ) x 2 = x x 2 = x 2 + [( ) x 2 ] x 2 = x + x x = x + x [( ) x ] x = x + x x x = x + x x 3 + ( x ) x = x + x x 3 + x = ( ) x = ( ) x = x 2 = x2 - + x x2-3 + x2-4 = Reuniendo los resultados de las dos conversiones anteriores, tenemos que = = = Para ahondar un poco más en el método de conversión, busquemos el equivalente binario de 34.6 residuos parte entera x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = Observa que, en este caso, el último de los productos, es igual al primero, por lo que los siguientes se repetirán de manera periódica, esto significa que el número binario es un número periódico con período distinto de cero. El proceso anterior puede abreviarse de esta manera 3

18 34.6 = Ejercicios.6: ) Escribe el número dado en su forma binaria a) b) 0.3 c) d) 0.43 e) Adición binaria Continuando con la estrategia de trabajar primero en el sistema decimal, sumemos 753 a 389 para retomar de forma consciente el algoritmo de la suma Como primer paso para efectuar una suma se colocan los sumandos de tal forma que queden alineadas unidades con unidades, decenas con decenas, etc. y empezamos contando cuántas unidades hay en total en este caso hay 2 unidades en total, como disponemos de un lugar para las unidades colocamos sólo el 2 para que nos sobren 0 unidades, que equivalen a una decena, misma que podemos contar con las decenas el total de las decenas es 4, en el lugar de las decenas dejamos 4 para que nos sobren 0, que equivalen a una centena, misma que contaremos con las centenas por último, como en total son centenas, dejamos una en ese lugar y las 0 restantes las colocamos como una unidad de millar, ya que 0 centenas equivalen a una unidad de millar. Extrapolemos este algoritmo al sistema binario, pero antes observemos que en una suma binaria solamente se suma, un cero o un uno en cada paso; cuando sumamos un cero no se altera la cantidad y cuando sumamos un uno el resultado es el siguiente número entero por lo que es necesario saber enumerar los números binarios con fluidez, es decir, dado un número binario saber cuál es el que le sigue (ver página 7). Ilustraremos la extrapolación del algoritmo de la suma del sistema decimal al binario sumando 2, 0 2, 0 2 y 0 2. Como primer paso, alineemos los sumandos y contemos cuántas unidades hay en total. 4

19 en este caso hay 2 unidades en total, como disponemos de un lugar para las unidades colocamos sólo el primer y nos sobran 0 2 =2 unidades que equivalen a unidad de la posición de la izquierda, de manera que esta unidad las sumamos con las otras que se encuentran en esa posición en esta segunda posición, de derecha a izquierda, hay 00 2 unidades en total, colocamos el primer 0 en esta posición y las 00 2 unidades restantes las sumamos como diez unidades en la siguiente posición, ya que 00 2 de la una posición equivalen a 0 2 unidades de la siguiente posición a la izquierda en esta tercera posición, hay 0 2 unidades, colocamos el en esta posición y las 00 2 unidades restantes las sumamos como 0 2 en la siguiente posición a la izquierda finalmente, el total de unidades en la cuarta posición es 2, dejamos el primer en esta posición y las 0 2 unidades que sobran las colocamos como una unidad de la siguiente posición a la izquierda. El algoritmo de la suma está basado en que un dígito en una posición es b veces más grande que el mismo dígito colocado en la posición contigua a la derecha. Recuerda que hemos llamado b a la base del sistema, es decir, al número de dígitos disponibles. Esto se cumple en la parte entera y en la parte fraccionaria de un número por lo que no hay cambio en el algoritmo de la suma si los números no son enteros, sólo es necesario cuidar que los puntos de todos los sumandos queden alineados, de esta forma coinciden cada una de las ponderaciones de todos los dígitos de los números por sumar. Por ejemplo,

20 Ejercicios.7: ) Realiza las siguientes sumas binarias a) b) c) d) e) Multiplicación binaria Reflexionemos primero sobre la forma en que multiplicamos en el sistema decimal. Cuando multiplicamos un número por un múltiplo de 0, lo que hacemos es cambiar la ponderación de cada uno de los dígitos del número, por ejemplo: 345 x 00 = (3 x x x 0 0 ) x 0 2 = 3 x x x 0 2 = 3 x x x x x 0 0 = Esto es, para multiplicar 345 x 00 basta agregar a 345 dos ceros a la derecha. En general, para multiplicar un número por un múltiplo de 0, basta agregar al número tantos ceros a la derecha como dígitos tenga el multiplicador. Para analizar el algoritmo de la multiplicación, multipliquemos 6342 por x 285 = 6343 ( ) = 6343 x x x 5 El producto 6343 x 200 se consigue multiplicando 6343 x 2 y el resultado por 00, esto es, tendremos que agregar dos ceros al resultado de 6343 x 2. De la misma forma, 6343 x 80 se consigue agregando un cero al resultado de 6343 x 8. Así, tenemos que: 6343 x x x Analicemos paso a paso cómo efectuamos la primera multiplicación: 6343 x 5 5 En este primer paso se multiplican 5 unidades del multiplicador por 3 unidades del multiplicando, dando por resultado 5 unidades; dejamos 5 en el lugar de las unidades y las 0 unidades restantes las sumamos, como una decena con lo que resulte de la siguiente multiplicación. 6

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