Institutos Tecnológicos. Academia de de sistemas y computación. Comité de consolidación de la carrera de. Licenciatura en Informática

Transcripción

1 1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: Matemáticas para computación Carrera: Licenciatura en Informática Clave de la asignatura: IFM Horas teoría-horas práctica-créditos HISTORIA DEL PROGRAMA Lugar y fecha de Participantes elaboración o revisión Instituto Tecnológico de Representantes de la Puebla del 8 al 12 academia de sistemas y septiembre computación de los Institutos Tecnológicos. Observaciones (cambios y justificación) Reunión nacional de evaluación curricular de la carrera de Licenciatura en Informática. Instituto Tecnológico de: Orizaba, Reynosa, Tlalnepantla, Zacatepec, Zitácuaro 13 septiembre al 28 de noviembre Instituto Tecnológico de Tepic 15 al 19 de marzo Academia de de sistemas y computación. Comité de consolidación de la carrera de Licenciatura en Informática. Análisis y enriquecimiento de las propuestas de los programas diseñados en la reunión nacional de evaluación. Definición de los programas de estudio de la carrera de Licenciatura en Informática. 3.- UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA a). Relación con otras asignaturas del plan de estudio Anteriores Posteriores Asignaturas Temas Asignaturas Temas Ninguna. Organización de computadoras. Software de sistemas. Compiladores. Ensamblador. Fundamentos de redes. b). Aportación de la asignatura al perfil del egresado Desarrolla habilidades y aptitudes de razonamiento lógico que le permiten identificar y resolver problemas en el tratamiento de la información.

2 4.- OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO Comprenderá los conceptos lógicos fundamentales y las estructuras formales necesarias para la representación y manejo de datos. 5.- TEMARIO Unidad Temas Subtemas 1 Sistemas de 1.1 Sistema decimal. numeración. 1.2 Sistema Binario, Octal y Hexadecimal. 1.3 Conversiones. 1.4 Operaciones básicas Lógica. Álgebra booleana. Relaciones. Grafos y árboles. 2.1 Introducción. 2.2 Proposiciones. 2.3 Tablas de verdad. 2.4 Inferencia lógica. 2.5 Equivalencia lógica. 2.6 Argumentos válidos y no válidos. 2.7 Demostraciones formales. 2.8 Predicados y sus valores de verdad. 2.9 Aplicaciones. 3.1 Introducción. 3.2 Expresiones booleanas. 3.3 Propiedades. 3.4 Optimización de expresiones booleanas. 3.5 Compuertas lógicas (como una aplicación). 4.1 Introducción. 4.2 Tipos de relaciones: reflexiva, simétrica, transitiva, de equivalencia 4.3 Clases de equivalencia. 4.4 Funciones. 5.1 Introducción. 5.2 Tipos de grafos Nodos Ramas y lazos Valencia Caminos Ramas paralelas Grafos simples, de similaridad, bipartidos y completos. 5.3 Representación matricial de grafos Ramas sucesivas de longitud n Ram Matriz adyacente e incidencia Caminos. 5.4 Isomorfismo.

3 Unidad Temas Subtemas 5.5 Problemas con grafos. 5.6 Árboles Propiedades de los árboles Tipos de árboles Bosques Árboles generadores Búsquedas. 5.7 Recorridos de árboles y notaciones polacas de expresiones. 5.8 Aplicaciones. 6 Introducción a los lenguajes formales. 6.1 Introducción. 6.2 Gramáticas y lenguajes formales Estructuras de las gramáticas Clasificación de las gramáticas (Chomsky) Representación de gramáticas. 6.3 Autómatas finitos Introducción Autómatas finitos deterministicos y no deterministicos. 6.4 Maquinas de estado finito y reconocimiento de expresiones regulares La máquina de Turing. 6.5 Aplicaciones. 6.- APRENDIZAJES REQUERIDOS Se sugiere que tenga conocimientos de conjuntos. 7.- SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Introducir cada unidad con algún problema concreto. Ver las aplicaciones a lo largo de todas las unidades. Enfatizar el impacto de los temas en el ámbito de la informática. Realizar investigación en diversas fuentes de información sobre temas afines. Propiciar el trabajo en equipo. 8.- SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN Examen teórico. Actividades de investigación. Participación en clase. Resolución de ejercicio. Desempeño individual y grupal.

4 9.- UNIDADES DE APRENDIZAJE UNIDAD 1.- Sistemas de numeración. Objetivo Educacional El estudiante comprenderá los sistemas de numeración. Actividades de aprendizaje 1.1 Resolver ejercicios propuestos por el maestro. 1.2 Resolver problemas extra clase de intercambio de una base numérica a otra. 1.3 Resolver problemas de operaciones básicas en las diferentes bases numéricas. Fuentes de Información 1, 3, 7 UNIDAD 2.- Lógica. Objetivo Educacional El estudiante comprenderá y solucionará problemas relacionados con la lógica. Actividades de aprendizaje 2.1 Resolver ejercicios propuestos por el maestro. 2.2 Desarrollar ejercicios de tablas de verdad. 2.3 Obtener algunas reglas de inferencia a partir de las tablas de verdad. 2.4 Comprobar las reglas de inferencia. 2.5 Determinar la consistencia de premisas dadas. 2.6 Elaborar demostraciones formales. Fuentes de Información 2, 4, 5, 6, 7, 10 UNIDAD 3.- Álgebra booleana. Objetivo Educacional Actividades de aprendizaje Fuentes de Información El estudiante comprenderá los conceptos así como las operaciones y propiedades del álgebra booleana. 3.1 Identificar las propiedades booleanas. 3.2 Resolver ejercicios de optimización de expresiones booleanas. 3.3 Utilizar las compuertas lógicas enfocadas a la solución de problemas. 1,3,7,10

5 UNIDAD 4.- Relaciones. Objetivo Educacional El estudiante comprenderá y resolverá problemas de relaciones y funciones. Actividades de aprendizaje 4.1 Identificar las propiedades que posee una relación expresada como conjunto de pares ordenados, como una expresión algebraica o de una forma verbal. 4.2 Dada una relación, identificar si es o no una equivalencia; de serlo detallar la partición que genera. 4.3 Realizar una identificación de funciones. 4.4 Hacer composiciones de dos o más funciones. 4.5 Realizar ejercicios de relaciones y funciones. Fuentes de Información 3,6,7 UNIDAD 5.- Grafos y árboles. Objetivo Educacional Actividades de aprendizaje Fuentes de Información El estudiante comprenderá y resolverá problemas de la teoría de grafos y árboles. 5.1 A partir de una relación, trazar su grafo y viceversa. 5.2 A partir de un grafo, construir su matriz y viceversa. 5.3 Determinar el isomorfismo de los grafos. 5.4 Identificar un grafo como plano o no plano. 5.5 Construir árboles. 5.6 Encontrar el árbol generador de un grafo a partir de su matriz. 5.7 Construir el árbol que represente a una expresión algebraica o algorítmica. 5.8 Convertir una expresión algorítmica a su notación polaca y viceversa. 3, 7

6 UNIDAD 6.- Introducción a los lenguajes formales. Objetivo Educacional El estudiante comprenderá los lenguajes y analizará los diagramas de autómatas así como la relación entre los lenguajes y diagramas. Actividades de aprendizaje 6.1 Distinguir entre conjuntos finitos e infinitos. 6.2 Investigar el concepto de una gramática. 6.3 Realizar comparaciones entre autómatas finitos y expresiones regulares. 6.4 Conocer los teoremas para el diseño de lenguajes. 6.5 Identificar los criterios de diseño del lenguaje. Fuentes de Información 7, 8, 9, 11

7 10. FUENTES DE INFORMACIÓN 1. Ross, Kenneth A.,Wright, Charles R. B. Matemáticas Discretas. Ed. rentice Hall. 2. Arnaz, José Antonio. Iniciación a la Lógica Simbólica. Ed. Trillas. 3. Johnsonbaugh, Richard. Matemáticas Discretas. Ed. Grupo Editorial Iberoamerica. 4. Suples, Patrick, Hill, Shirley. Primer Curso de Lógica Matemática. Ed. Reverté. 5. Colman, Bernard, Busby, Robert C. Estructuras de Matemáticas Discretas para Computadoras. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana. 6. Scheinderman, Edward R. Matemáticas Discretas. Ed. Thomson Editores. 7. Lipschutz, Seymour. Matemáticas para la Computación. Ed. Mc-Graw Hill. 8. Kelly, Dean. Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales. Ed. Prentice Hall. 9. García, Pedro; Pérez, Tomas; Ruiz, José; Segura, Encarna; Sempere, José M. Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales. Ed. Alfaomega. 10. Liu, C. L. Elementos de Matemáticas Discretas. Ed. Mc. Graw-Hill. 11. Moderna Enciclopedia Universal NAUTA. Referencias en Internet [12] [13] PRÁCTICAS Se sugiere que se introduzca algún lenguaje como MathCAD, MatLab o cualquier otro de este tipo.

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9 MATEMÁTICA Debido a la necesidad del hombre de conocer, dominar y sobrevivir en el mundo que le rodea, han surgido las ciencias, y entre ellas, la matemática. Los innumerables problemas relacionados con los números han hecho que la ciencia Matemática abarque un campo muy amplio de estudio, por ello se ha dividido en diversas ramas, y dentro de las más importantes están la Aritmética, el Algebra y la Geometría. El origen de la Aritmética es de época muy remota; algunos autores creen que nació en la India; esta rama de la matemática estudia la cantidad representada por los números, se ocupa del cálculo por medio de los números y expone las propiedades comunes a todos ellos. La Aritmética consta de dos partes; la primera la conforman las construcciones o formas de combinar los números; la otra parte se refiere a las comparaciones o manera de establecer sus relaciones. El Álgebra es la parte de las matemáticas que trata de la cantidad considerada en general, sirviéndose para representarla de letras u otros signos especiales. Esta rama de la Matemática no es de fácil definición. Históricamente, el Álgebra aparece vinculada con problemas numéricos cuya solución sólo se logra mediante determinadas combinaciones de las operaciones aritméticas. La fisonomía actual del Álgebra se adquiere cuando los problemas que resuelve cobran la más amplia generalización mediante la introducción de los símbolos operatorios y de las letras. En este sentido el Álgebra ha recorrido tres etapas: Álgebra retórica, en las cuestiones se resuelven con palabras, sin símbolos; Álgebra sincopada, en donde aparecen los primeros símbolos, en especial mediante abreviaturas de las palabras comunes; y Álgebra simbólica, cuando se introducen los símbolos y las letras. Precisamente con el uso sistemático de las letras, las cuestiones algebraicas se generalizan y la aritmética se universaliza. Se atribuye el origen de la Geometría a la necesidad de medir las tierras de labranza después de la crecida del río Nilo. Pero sin duda, no fue solamente la medida de la tierra el origen de los conocimientos geométricos: la necesidad de comparar las áreas y volúmenes de figuras simples, la construcción de canales y edificios; las figuras decorativas; los movimientos de los astros, han contribuido al nacimiento de esas reglas y propiedades geométricas. Se considera que Pitágoras fue quien transformó el estudio de la geometría en una enseñanza liberal, remontándose a los principios generales y estudiando los teoremas abstractamente con inteligencia pura. Desde entonces se acumularon los teoremas y las propiedades, se crearon métodos, se analizaron los fundamentos, se plantearon problemas, logrando que la geometría griega abarcara un vasto conjunto de conocimientos. El contenido de este trabajo ha sido desarrollado de forma didáctica, buscando que los temas analizados y el lenguaje empleado en las explicaciones sean de fácil comprensión para los alumnos. La estructura pedagógica de este documento es secuencial; los procedimientos de problemas y ejemplos se han desarrollado paso a paso. La inclusión de ejercicios y preguntas tiene como objetivo que los alumnos practiquen no sólo lo aprendido, sino que desarrollen su lógica basándose en los conocimientos presentados en el texto. Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 1

10 LA ARITMÉTICA Y SU OBJETO El concepto de número natural ha sufrido una serie de ampliaciones a través del desarrollo de la ciencia matemática, una de las cuales consiste en considerar al cero como un número que representaría la única propiedad común a todos los conjuntos nulos o carentes de elementos. Otras ampliaciones se refieren a los números fraccionarios y a los números irracionales. Una nueva ampliación nos lleva al concepto de número negativo, concepto que transforma todo el sistema de números naturales, fraccionarios e irracionales y que constituyen uno de los fundamentos del cálculo algebraico. Los números naturales, así como los fraccionarios e irracionales, reciben el nombre de números reales. Una considerable e importantísima ampliación del campo numérico tiene lugar con la introducción de los números no reales (complejos). Suele llamarse número entero (positivo o negativo) al número real que no es fraccionario ni irracional, de modo que los números naturales son los números enteros positivos. La Aritmética General tiene por objeto el estudio de los números (naturales o no), y la Aritmética Elemental como la ciencia matemática que tiene por objeto el estudio de los números reales positivos. x R: N enteros +; Q racionales ; I irracionales. Complejos no reales. y NUMERACIÓN La numeración es la parte de la aritmética que nos enseña a expresar y escribir los números, y puede ser hablada o escrita. La hablada enseña a expresar lso números, y la escrita enseña a escribir los números. SISTEMA DECIMAL Los números se forman por agregación de unidades, es decir, si a una unidad o número uno le agregamos otra unidad, resulta el número dos; si agregamos otra unidad más resulta el número tres, así sucesivamente, de lo que se deduce que la serie natural de los números no tiene fin, pues por grande que sea un número siempre podremos otro mayor agregándole otra unidad. Cifras o guarismo son los signos que representan los números. Las cifras que nosotros empleamos, llamadas arábigas porque fueron introducidas por los árabes en España, son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, donde el cero es la cifra no significativa o cifra auxiliar y los demás se llaman cifras significativas. El 0 representa los conjuntos nulos o carentes de elementos, por lo tanto el cero carece de valor absoluto y se escribe en el lugar correspondiente a un orden cuando en el número escrito no hay unidades de ese orden. La palabra cero proviene del árabe ziffero, que significa lugar vacío. El Número Dígito consta de una sola cifra (2,3, 7, 8, etc.) y el Número Polidígito consta de dos o más cifras (28, 526, etc). Un Sistema de Numeración es un conjunto de reglas que sirven para expresar y escribir los números, y la base de un sistema de numeración es el número de unidades de un orden que forman una unidad del orden inmediato superior. De este modo, en el Sistema Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 2

11 Decimal que usamos nosotros la base es 10 porque 10 unidades de primer orden forman una decena; diez decenas forman una centena, etc. Por otra parte, en el Sistema Duodecimal, que también usamos con frecuencia en la práctica, la base es 12, porque 12 unidades forman una docena y 12 docenas forman una gruesa. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Dentro de los sistemas de numeración rigen algunos principios fundamentales, y son los siguientes: 1. Un sistema de unidades de un orden cualquiera, igual a la base, forma una unidad del orden inmediato superior. Esto significa que en el sistema binario, de base 2, dos unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior; en el sistema duodecimal, 12 unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior, así sucesivamente. 2. Toda cifra a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayores a las que representa la anterior como unidades tenga la base. A esto se le conoce como el principio del valor relativo. Esto significa que en el número escrito como lo indica el subíndice, en el sistema quinario, el 2, escrito a la izquierda del 3, representa unidades cinco veces mayores a las que representa el 3; y el 1, escrito a la izquierda del 2, o sea veinticinco veces mayores a las que representa el 3. El número , el 4 está escrito a la izquierda del 3 representa unidades nueve veces mayores a las que representa el 3; el 5 representa unidades nueve veces mayores a las que representa el 4, o sea ochenta y un veces mayores a las que representa el 3; y el 6, escrito a la izquierda del 5 representa unidades nueve veces mayores a las que representa el 5, o sea ochenta y un veces mayores a las que representa el 4 y setecientas veintinueve veces mayores a las que representa el En todo sistema con tantas cifras como unidades tenga la base, contando el cero se pueden escribir todos los números. Esto significa que en el sistema binario o de base 2, con dos cifras que son el 0 y el 1, se pueden escribir todos los números; en el sistema ternario o de base 3, como la base tiene tres unidades, con tres cifras que son el 0, 1 y 2, se pueden escribir todos los números; en el sistema octal o de base 8, como la base tiene ocho unidades, con ocho cifras, que son el 0, el 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6 y el 7, se pueden escribir todos los números, etc. SISTEMA DECIMAL O DÉCUPLO El sistema decimal o décuplo que usamos nosotros tiene como base el número 10, lo que significa que diez unidades de un orden cualquiera constituyen una unidad del orden inmediato superior y viceversa (una unidad de un orden cualquiera está formado por diez unidades del orden inmediato inferior). Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 3

12 El principio fundamental o convenio de la numeración decimal hablada dice que diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior. La numeración decimal consta de órdenes y subórdenes como veremos más adelante. CLASES Y PERIODOS La reunión de tres órdenes, comenzando por las unidades simples, constituye una clase; de este modo, las unidades, decenas, y centenas forman la clase de las unidades; las unidades de millar, decenas de millar y centenas de millar forman la clase de los millares; las unidades de millón, decenas de millón y centenas de millón forman la clase de los millones; así sucesivamente. Por otro lado, la reunión de dos clases forman un período; la clase de las unidades y la clase de los millares forman el período de las unidades; la clase de los millones y la clase de los millares de millón forman el período de los millones. Así sucesivamente. ÓRDENES Si al número 1, que es la unidad de primer orden, le añadimos unidades (una a una) sucesivamente, formaremos los números dos, tres, cuatro, cinco, etc., hasta llegar a diez unidades, que forman una decena o una unidad del orden superior inmediato. Así, decena es la unidad de segundo orden y representa la reunión de diez unidades. Si a una decena le añadimos los nombres de los nueve primeros número obtendremos el once, doce, trece, etc., hasta llegar a veinte, o dos decenas; si así le añadimos nuevamente los nombres de los nueve primeros números formamos el veintiuno, veintidós, veintitrés, etc., hasta llegar a treinta, o tres decenas, y procediendo de modo semejante obtendremos el cuarenta o cuatro decenas, cincuenta o cinco decenas, etc., hasta llegar a cien o diez decenas, que forman una unidad del orden superior inmediato. Con esto, la centena es la unidad es la unidad de tercer orden y representa la reunión de tercer orden y representa la reunión de diez ventaneas o cien unidades. Si a la centena le añadimos los nombres de los noventa y nueve primeros números, iremos formando los números ciento uno, ciento dos, ciento tres, etc., hasta llegar a doscientos o dos centenas; de modo semejante obtendremos trescientos o tres centenas, cuatrocientos o cuatro centenas. Etc., hasta llegar a mil o diez centenas, que forman una unidad del orden superior inmediato. El millar es la unidad del cuarto orden y representa la reunión de diez centenas o mil unidades. Si al millar le añadimos los nombres de los novecientos noventa y nueve primeros números, iremos obteniendo los números sucesivos hasta llegar a dos mil o dos millares; tres mil o tres millares, etc. Hasta diez mil o diez millares, que forman una unidad del orden superior inmediato. La decena de millar es la unidad de quinto orden y representa la reunión de diez millares o diez mil unidades. Añadiendo a una decena de millar los nombres de los nueve mil novecientos noventa y nueve primeros números, formaremos el veinte mil o dos decenas de millar, etc., hasta llegar a diez decenas de millar, o cien mil, que constituyen una unidad del orden superior inmediato. SUBÓRDENES Así como la decena consta de diez unidades y la centena de diez decenas, podemos suponer que la unidad simple o de primer orden está dividida en diez partes iguales que reciben el nombre de décimas y constituyen el primer suborden; cada décima se divide en otras diez Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 4

13 partes iguales llamadas centésimas, formando el segundo suborden; cada centésima se divide en otras diez partes iguales llamadas milésimas, formando el tercer suborden; y así sucesivamente. EJERCICIOS 1. Cuántas unidades tiene una unidad de tercer orden; de cuarto orden; de quinto orden? 2. Cuántas décimas hay en una unidad; en una decena; en un millar? 3. Qué forman diez decenas; diez centenas de millar; diez millones? 4. Cuántas centésimas hay en una decena; cuántas milésimas en una centena; cuántas diezmilésimas en un millar? 5. Cuántos guarismos tiene un número cuya cifra de mayor orden representa decenas de centena; centenas de millar; millares de millón; billones? 6. Cuáles son las decenas de decenas; las centenas de las decenas; los millares de centena; los millones de millón? 7. Cuántos millares tiene un millón; cuántas decenas de millar tiene una decena de millar de millón; cuántos millones tiene un billón? 8. Qué orden representa la primera cifra de la izquierda de un número de 2 cifras; de 5 cifras; de 7 cifras? 9. Qué forman cien decenas de millar; mil centenas de millar; diez mil millones, un millón de millones? 10. Es la unidad de segundo orden y representa la reunión de diez unidades? OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Como ya lo estudiamos, en el sistema decimal la base es el 10. Pero si en lugar de 10 tomamos como base el número 2, 3, 4, 5, 6, etc., tendremos otros sistemas de numeración en los que se cumplirán principios semejantes a los establecidos para el sistema decimal. De tal forma, en el sistema de base 2 se comprobará que: 1) Dos unidades de un orden forman una del orden superior inmediato. 2) Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades dos veces mayores a las que representa ésta. 3) Con dos cifras se pueden escribir todos los números. Lo mismo aplica para los sistemas cuya base sea 3, 4, 5, 6, etc., con lo que se concluye que los sistemas de numeración se diferencian unos de otros por su base, y dado que podemos tomar como base cualquier número, la cantidad de sistemas resulta ilimitada. Nomenclatura Atendiendo a su base, los sistemas denominan de la manera siguiente; el de base 2, binario; el de base 3, ternario; el de base 4, cuaternario; el de base 5, quinario; el de base 6 senario; el de Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 5

14 base 7, septenario; el de base 8, octonario u octal; el de base 9 nonario; el de base 10 decimal o décuplo; de de base 11, undecimal; el de base 12, duodecimal; el de base 16, hexadecimal; etc. Notación Para indicar el sistema en que está escrito un número, se escribe abajo a su derecha un número pequeño que indica la base, el cual recibe el nombre de subíndice. Así 11 2 indica que este número está< escrito en el sistema binario; indica que está escrito en el sistema quinario y en el sistema duodecimal. Si un número no lleva subíndice, significa que está escrito en el sistema decimal. Valor relativo de las cifras de un número escrito en un sistema cualquiera Una vez que se conoce el lugar que ocupa una cifra y la base del sistema en que está escrito el número, hallaremos su valor relativo. 1) Valor relativo de las cifras del número La cifra 1 representa unidades de tercer orden, pero como la base es 4, cada unidad de tercer orden contiene 4 del segundo, y como cada unidad del segundo orden contiene 4 del primero, el valor relativo de la cifra 1 es 1 x 4 x 4 = 16 unidades del primer orden. La cifra 2, que representa unidades del segundo orden, contiene 2 x 4 = 8 unidades del primer orden, luego su valor relativo es 8. El valor relativo de la cifra 3 es 3 unidades del primer orden. 2) Valor relativo de las cifras del número Valor relativo de la cifra 2: 2 x 6 x 6 x 6 = 432 unidades del primer orden. Valor relativo de la cifra 3: 3 x 6 x 6 = 108 unidades del primer orden. Valor relativo de la cifra 4: 4 x 6 = 24 unidades del primer orden. EJERCICIOS 1. Encuentra el valor relativo de las siguientes cifras: 2. Señala cuántas unidades del primer orden contiene cada uno de los siguientes números: 3. Escribe el número que representa: 2 unidades del primer orden en el sistema binario; 3 en el ternario; 9 en el nonario. 4. Escribe el número que representa 8 unidades del primer orden en sistema cuaternario; 10 en el quinario; 12 en el senario; 18 en el nonario. 5. Escribe el número que representa 15 unidades del primer orden en el sistema quinario; 18 en el senario; 21 en el septenario; 45 en el de base Escribe el número que representa 9 unidades del primer orden en el sistema senario. Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 6

15 CONVERSIÓN DE UN NÚMERO ESCRITO EN UN SISTEMA A OTRO DISTINTO. Para convertir un número escrito en el sistema decimal a otro sistema distinto se divide el número y los sucesivos cocientes por la base del nuevo sistema, hasta llegar a un cociente menor que el divisor. El nuevo número se forma escribiendo de izquierda a derecha el último cociente y todos los residuos colocados a su derecha, de uno en uno, aunque sean ceros. Ejemplos: 1) Convertir 85 al sistema ternario (1) (1) 9 3 (0) 3 3 (0) 1 R. 85 = ) Convertir 3898 al sistema duodecimal (10) (0) (3) 2 R = 230A 12 Obsérvese que si el último cociente o alguno de los residuos es mayor que 9, se pone en su lugar la letra correspondiente. EJERCICIOS Compruebe que al convertir del sistema decimal los siguientes números a los sistemas indicados, se encuentran las respuestas siguientes: Número decimal Al sistema Respuesta 123 Binario R Ternario R Quinario R Base 7 R Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 7

16 1007 Base 8 R Base 9 R Base 12 R. 425B Base 20 R. F Base 30 R. FQF Base 32 R. 2KGF 32 CONVERSIÓN AL SISTEMA DECIMAL DE UN NÚMERO ESCRITO EN UN SISTEMA DIFERENTE. Para convertir un número escrito en un sistema distinto del decimal al sistema decimal, se multiplica la primera cifra de la izquierda del número dado por la base y con este producto se suma la cifra siguiente. El resultado se multiplica por la base y al producto se le suma la tercera cifra, y así sucesivamente hasta sumar la última cifra del número dado. Ejemplos: 1) convertir el número al sistema decimal. 1 x 2 = = 3 3 x 2 = = 7 7 x 2 = = x 2 = = 29 R = 29 2) Convertir el número 89AB3 12 al sistema decimal. 8 x 12 = = x 12 = = x 12 = = x 12 = = R. 89AB3 12 = Para convertir un número escrito en un sistema distinto del decimal a otro sistema que no sea el decimal, se reduce el número dado primero al sistema decimal y luego al que se quiere convertir. Ejemplo: Convertir el número al sistema base al decimal. 2 x 3 = = 8 8 x 3 = = x 3 = = 76 R = 76 Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 8

17 76 al de base (6) 10 7 (3) 1 R = EJERCICIOS Compruebe que al convertir al sistema decimal los siguientes números desde los sistemas indicados, se encuentran las respuestas siguientes: Número Respuesta R R R R R AB CDA EFA HEG ABCD Convertir al sistema indicado: Número Al sistema Respuesta Base 4 R Base 3 R B56 12 Base 5 R CD 15 Base 12 R. A C00B 18 Base 23 R. 5H AB4 14 Base 7 R Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 9

18 ABCD 20 Base 9 R EF4C 21 Base 22 R. CHG9 22 HF00C 25 Base 30 R. 8EIQ2 30 8A0D 24 Base 15 R. 2472A 15 Problemas: 1) De un lugar donde se emplea el sistema binario nos remiten 1101 bultos postales. Cómo escribiremos este número en México? R. 13 2) De México enviamos a un comerciante que utiliza el sistema duodecimal 5678 barriles de aceite. Cómo escribirá ese número dicho comerciante? R ) Pedimos 18 automóviles a un empresario que usa el sistema de base 18. Cómo escribe el número de automóviles que nos envía? R ) Un comerciante que emplea el sistema quinario pide 4320 sombreros a otro que emplea el sistema de base 13. Cómo escribirá este comerciante el número de sombreros que envía? R SISTEMAS DE NUMERACIÓN DECIMAL, BINARIO Y HEXADECIMAL Y SU RELACIÓN CON EL MUNDO DE LAS COMPUTADORAS Sabemos que los números que todos utilizamos comúnmente, del 0 al 9, conforman lo que se conoce como sistema decimal. Sus reglas y modos de empleo se aprenden en la infancia, por lo que, habitualmente, se utilizan de forma instintiva, sin casi necesidad de pensar. Hablando en términos de matemáticas, el sistema decimal no es el único de los posibles. De hecho, pueden imaginarse tantos sistemas de numeración distintos como se desee. Dentro de la informática, se manejan con asiduidad dos sistemas de numeración, diferentes del decimal, denominados binario y hexadecimal. En esta guía examinaremos brevemente estos dos sistemas de numeración especiales. Pero antes de exponer sus características, es conveniente detenerse un momento a pensar como funciona nuestro viejo sistema decimal. La razón para hacerlo es importante. Un sistema de numeración no es sino un convenio adoptado para poder representar diferentes cantidades. Pueden emplearse distintos sistemas, pero siempre se mantienen las mismas reglas subyacentes. Por lo tanto, una vez comprendido el funcionamiento de uno de ellos (que bien puede ser el decimal), es más sencillo enfrentarse con los restantes. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Se denomina así por estar constituido por diez símbolos o dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos se construyen todas las cifras que puedan necesitarse. Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 10