El sistema decimal, es aquél en el que se combinan 10 cifras (o dígitos) del 0 al 9 para indicar una cantidad específica.

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1 5.2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN. DECIMAL El sistema decimal, es aquél en el que se combinan 10 cifras (o dígitos) del 0 al 9 para indicar una cantidad específica. La base de un sistema indica el número de caracteres o dígitos que se pueden utilizar para representar una cantidad. Luego la base del sistema decimal será el número 10. El número 10 esta compuesto por 2 dígitos; siendo el 1 las decenas y el 0 las unidades. La posición de cada dígito tiene un valor o peso, que determina la magnitud del número. En el sistema decimal estos pesos son potencias de 10 y el valor se puede indicar mediante un número llamado exponente, y que nos indica cuantas veces hay que multiplicar 10 por sí mismo para hallar el valor del peso. Por ejemplo en el número 4673, tenemos 3 unidades, 7 decenas, 6 centenas y 4 millares. Luego este número se puede escribir como: (4x10 3 )+(6x10 2 )+(7x10 1 )+(3x10 0 ) = = 4673 Al dígito que tiene menos peso se le denomina dígito menos significativo (en inglés LSD) y al dígito de mayor peso dígito más significativo (en inglés MSD). En el ejemplo anterior el LSD será el 3 y el MSD el 4. Qué determina el peso de cada dígito? a. el número de caracteres que se pueden utilizar para representar una cantidad. b. la magnitud del número. c. las veces que tenemos que dividir entre 10 para hallar el valor. d. el dígito menos significativo. Cuál es el dígito más significativo (en inglés MSD) del número 7893? a. el 7. b. el 8. c. el 9. d. el 3. Cómo se denomina a la posición de cada dígito? a. el dígito más significativo. b. base. c. peso. d. el dígito menos significativo. Pero cómo identificar la base de un sistema de numeración? Para evitar confusiones cuando se trabaja con unos y ceros, debemos identificar el sistema de numeración empleado. Ya que 101 significa ciento uno en base 10 (decimal) y cinco en base 2 (binario), existe una notación matemática que indica la base del sistema. Página 1

2 = y = 5 10 ; además este número se suele colocar entre paréntesis 101 (2) En qué base se encuentra el número 1010 (8)? a. binario. b. decimal. c. octal. d. hexadecimal. BINARIO Como su nombre indica, su base es 2 y es el sistema utilizado por todos los aparatos de cálculo digital. Los dos dígitos binarios (denominados bits que proviene del inglés binary digit) son el 0 y el 1. Un bit es la cantidad de información contenida en un dígito binario. Así 101 tiene 3 bits. Cada posición de un bit en un número binario tiene un peso específico, que es una potencia de 2. Así tendremos la siguiente tabla 5.2.1: Tabla Pesos en binario. Binario Peso Posición Luego para obtener la magnitud o peso 3 deberemos sumar los números con peso 1 y 2, así: = peso 3; el peso total coincide con el valor en decimal. En el sistema binario, el peso es: a. una potencia de 2. b. una potencia de 8. c. una potencia de 10. d. una potencia de 16. Tabla Sistema binario 4 bits. Decimal Binario Binario 4 bits Decimal Binario Binario 4 bits Página 2

3 Los números binarios compuestos por un número de bits adecuado constituyen una palabra ; la tabla anterior muestra palabras de 4 bits; al conjunto de 8 bits se le denomina byte. La longitud m es el número de bits de una palabra, mientras que el rango N es el número de estados particulares que pueden existir y (N 1) es el mayor número decimal que se puede representar; así tendremos que si una palara es de 4 bits: N=2 m N=2 4 N=16 será el número máximo de combinaciones como se ha visto en la tabla anterior y N 1= 15 el mayor número decimal que se puede representar (debido a que empezamos por el cero 0 ). Cuál es el mayor número decimal que se puede representar si la longitud del número de bits de una palabra es 3? a. 15 b. 7 c. 16 d. 8 Cuál es el número de estados particulares o combinaciones que pueden existir en una palabra? a. longitud. b. rango. c. byte. d. binary digit. Cuál es el número de estados particulares o combinaciones que pueden existir si la longitud del número de bits de una palabra es 2? a. 2. b. 1. c. 4. d. 8. Aunque los ordenadores se encuentran muy confortables trabajando con números binarios de 8, 16 e incluso 32 dígitos, los humanos encontramos inconvenientes a tal cantidad, así pues se nos ocurrió trabajar con otros sistemas (base 8, 16) para encontrar un compromiso de entendimiento entre máquina y hombre más adecuado. Veamos pues que otros sistemas se utilizan. OCTAL El sistema de octal es el que más se emplea para las señales de entrada y de salida (input output) en los sistemas digitales. Como su nombre indica, la base del sistema es el número 8 y el sistema de numeración va del 0 al 7. Así pues los números 8 y 9 no existen, luego se debe realizar una operación Página 3

4 matemática para obtener números superiores al 7, que consiste en arrastrar valores empleando un valor de posición o peso. La siguiente tabla (5.2.3) muestra los 10 primeros valores. Tabla Sistema octal decimal. Decimal Octal Pero, cómo se pasa del sistema octal al decimal? 146 (8) = (1x8 2 )+(4x8 1 )+(6x8 0 ) = (1x64)+(4x8)+(6x1) = 102 (10) Sabemos que la base es 8, así pues cada número se multiplica por la base elevada a su posición o peso, y la suma de todos es el resultado en base 10. Qué número en base octal, es equivalente al 12 en base decimal? a b. 14. c. 66. d. 10. De los siguientes sistemas cuales no utilizan los números 8 y 9? a. decimal y hexadecimal. b. hexadecimal y octal. c. octal y binario. d. binario y decimal. Y si necesitamos pasar de base octal a binario, se utilizará un método de sustitución aprovechando la relación natural entre los números en sistema octal y binario. Recordando que el número base 8 equivale a 2 3, vemos que cada dígito en octal se puede expresar mediante 3 dígitos en binario; como se muestra en la tabla (5.2.4). Tabla Sistema octal binario. Octal Binario Página 4

5 Vale, hasta ahora lo fácil, pero y si queremos pasar el número 45 (8) al código binario? Pues pasaremos cada dígito por sustitución directa en la tabla anterior y obtendremos que: 4 = 100; 5 = (8) = (2) Nota: se puede comprobar la equivalencia pasando ambos números al sistema decimal. 45 (8) = (4x8 1 )+(5x8 0 ) = = 37 (10) de octal a decimal. Binario Base con exponente (que es la posición) Resultado (2) = = 37 (10) de binario a decimal. Qué número en base octal, es equivalente al 110 en base binaria? a. 8. b. 6. c. 7. d. 3. Nota: El que seleccione la respuesta (a) que se repase todo otra vez. Qué número en base binaria, es equivalente al 11 en base octal? a b c d Qué número en base decimal, es equivalente a 14 (8)? a. 16. b. 9. c. 12. d HEXADECIMAL El sistema hexadecimal también se utiliza en las señales de entrada y de salida (input output) de los sistemas digitales. Como su nombre indica, la base del sistema es 16 y la numeración comprende los números del 0 al 9 y las letras de la A a la F, para representar los dígitos que van del 10 al 15. En la siguiente tabla (5.2.5) se muestra lo dicho y además se compara con el sistema binario, en donde se puede observar que cada digito del sistema hexadecimal equivale a 4 bits en binario. Página 5

6 Tabla Sistema hexadecimal (con los demás sistemas). Decimal Hexadecimal Binario Octal A B C D E F Para pasar de hexadecimal a decimal utilizaremos un proceso similar a como lo hacíamos para pasar de octal a decimal, daremos pesos a las posiciones de derecha a izquierda. 45 (16) = (4x16 1 )+(5x16 0 ) = = 69 (10) Un ejemplo más complicado puede ser: 12E (16) = (1x16 2 )+(2x16 1 )+(Ex16 0 ) = = 302 (10) Como hemos comentado para pasar de hexadecimal a binario se utilizan 4 dígitos, el resto es como en el caso de octal a binario. 2B5 (16) = (2) Qué número en base decimal, es equivalente a E (16)? a. 16. b. 12. c. 14. d CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS: Hemos pasado de varios sistemas (hex, oct, bin) a decimal empleando diversos métodos, pero si queremos pasar del sistema decimal a otros sistemas (hex, oct, bin), podemos emplear un método común, que consiste en realizar divisiones sucesivas por la base del sistema en cuestión. La siguiente tabla nos mostrará como: Tabla Pasar de decimal a otros sistemas. Página 6

7 Decimal/base binario Cociente Resto 30/ LSD 15/ / / /2 0 1 MSD Luego 30 (10) es (2) Decimal/base octal Cociente Resto 302/ LSD /8 0 4 MSD Luego 302 (10) es 456 (8) Decimal/base hexadecimal Cociente Resto 156/16 9 C LSD 9/ MSD Luego 156 (10) es 9C (16) De los siguientes sistemas cuales son los más utilizados en las señales de entrada y de salida (inputoutput) de los sistemas digitales? a. decimal y hexadecimal. b. hexadecimal y octal. c. octal y binario. d. binario y decimal. Qué número en base hexadecimal, es equivalente a 14 (10)? a. A. b. B. c. E. d. 1F. Página 7

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