UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA INFORME FINAL TRABAJO DE INVESTIGACION

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL INFORME FINAL TRABAJO DE INVESTIGACION MODULO DE APOYO PARA EL CURSO ARQUITECTURA DE COMPUTADORAS EJECUTORES : INGº JORGE L. SANDOVAL RIVERA INGº PEDRO A. CRIOLLO GONZALES PIURA, febrero del 2009

2 INDICE pág Resumen... i Introducción... ii Esquema del contenido 1. REPRESENTACION DE DATOS Sistemas numéricos Decimal Binario Hexadecimal Representación de enteros Sin signo Con signo Representación de reales Con punto fijo Con punto flotante Otros códigos... 9 Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CIRCUITOS DE LOGICA DIGITAL Compuertas lógicas Álgebra booleana Minterminos y Maxterminos Simplificación por álgebra booleana Simplificación por mapa de Karnaugh Circuitos lógicos combinacionales Semisumador Sumador completo Sumador restador Flip-Flops Flip-Flop básico con compuertas NAND y NOR Flip-Flop SR sincronizado por reloj Flip-Flop D sincronizado por reloj Flip-Flop JK sincronizado por reloj Flip-Flop T sincronizado por reloj Circuitos lógicos secuenciales... 30

3 Ecuaciones de entrada de los Flip-flops Solución de ejercicios con Boole Circuitos combinacionales circuitos secuenciales Simulación de circuitos con Electronics WorkBench Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos COMPONENTES DIGITALES Registros Registro simple Registro de carga paralela Registro de corrimiento Registro de corrimiento con carga paralela Contadores Contadores asíncronos o de propagación Contadores sincrónicos Decodificadores - Codificadores Decodificadores Codificadores Multiplexores y Demultiplexores Multiplexores Demultiplexores Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos ORGANIZACIÓN Y DISEÑO BASICO DE COMPUTADORAS Qué es una computadora? Organización básica Funcionamiento Los registros Los registros de la computadora básica El BUS común Transferencia entre el BUS, los registros y la memoria El código de instrucción Instrucciones que hacen referencia a memoria Instrucciones que hacen referencia a registro Instrucciones de entrada y salida La unidad de control... 82

4 4.7. Ciclo de instrucción Búsqueda Decodificación Tipo de instrucción Ejecutar instrucción Interrupciones La ALU Diseño lógico de la computadora básica Diseño físico de la computadora básica Los flip-flops de apoyo El acumulador Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Bibliografía...110

5 RESUMEN Es común en los docentes universitarios, al preparar sus clases, tomar 2 o más libros texto y hacer un resumen con cada uno de ellos que luego usará para impartir su clase. Justamente es lo que pretende realizar el presente trabajo, tomando como base el libro Arquitectura de Computadoras de MORRIS MANO M. y otros textos como por ejemplo Sistemas Digitales, Principios y Aplicaciones de TOCCI, Ronald y Diseño Digital Principios y Practicas de WAKERLY, John F. seleccionar lo mejor de cada uno de ellos y hacer un resumen, explicando con mayor detalle las áreas que lo requieran o se consideren necesarias, resolviendo algunos ejercicios y planteando otros. El módulo se divide en cuatro capitulos: El primer capitulo Representación de datos trata de la forma como se almacenan y representa los datos numérico (reales, enteros: positivos y negativos) en un sistema digital. Además se estudian los 3 sistemas de numeración más importantes: el binario, el decimal y el hexadecimal El segundo capitulo Circuitos de lógica digital estudia los circuitos diseñados a partir de compuertas lógicas y su representación por medio de expresiones lógicas, estos son: Circuitos combinatorios y circuitos secuenciales. Haciendo uso del álgebra booleana y de mapas de Karnaugh se realiza la simplificación de estos circuitos de forma manual, pero también se explica como usar herramientas de software como el WorkBench para el diseño y simulación de circuitos y Boole para el análisis y simplificación de circuitos combinatorios y secuenciales El tercer capitulo Componentes digitales estudia el diseño de los componentes que se pueden construir a partir de los circuitos combinatorios y secuenciales estudiados en el capitulo anterior tales como: sumadores, contadores, registros, multiplexores, codificadores, etc. El cuarto capitulo Organización y diseño básico de computadoras describe la estructura de la computadora básica como por ejemplo el tamaño de la memoria, cantidad y longitud de los registros, instrucciones que serán reconocidas, etc. También se estudia el diseño de circuitos que permitan generar las señales apropiadas entre los componentes digitales mencionados para que éstos realicen las tareas para lo que fueron diseñados

6 INTRODUCCION En la ciencia, la tecnología, la administración y, de hecho, muchos otros campos de la actividad humana, constantemente se manejan cantidades. Estas se miden, registran, manipulan aritméticamente, observan o se utilizan en muchos sistemas físicos. Existen básicamente dos maneras de representar el valor numérico de las cantidades: la analógica y la digital. Las cantidades analógicas tienen la característica de poder variar gradualmente sobre un intervalo continuo de valores como en el caso de un velocímetro. La posición angular de la aguja representa el valor de la velocidad del automóvil y sigue cualquier cambio que ocurra conforme el automóvil acelere o frene. Mientras que las cantidades digitales varían en etapas discretas (paso a paso), como por ejemplo un reloj digital, el cual no cambia continuamente sino por etapas (uno por minuto o por segundo) a pesar que el tiempo transcurre en forma continúa. Para manipular la información representada en forma digital se utilizan los sistemas digitales. Un sistema digital es una combinación de dispositivos diseñado para manipular información representada en forma digital, es decir, que sólo puede tomar valores discretos. Esta información digital por lo general se representa en forma binaria y ésta, a su vez, por medio de cualquier dispositivo que solamente tenga dos estados de operación como por ejemplo un interruptor: abierto y cerrado. Esta característica de los circuitos digitales (lógicos) permite utilizar el álgebra booleana como herramienta para el análisis y diseño de sistemas digitales. El álgebra booleana tiene tres operaciones básicas AND, OR y NOT llamadas también operaciones lógicas. Mediante diodos, transistores y resistencias, conectados entre sí, se puede construir compuertas lógicas cuyas salidas son el resultado de una operación lógica básica. Partiendo de las compuertas lógicas AND, OR y NOT, se pueden diseñar circuitos cuyas salidas depende sólo de sus entradas (circuitos combinatorios) y circuitos cuyas salidas dependen tanto de las entradas como del estado (conjunto de entradas pasadas) que se encuentre el circuito (circuitos secuenciales). Ejemplo de circuitos combinatorios tenemos los sumadores completos de un bit, los cuales agrupados en 8, 16 o 32 elementos se obtienen sumadores de 8, 16 o 32 bits.

7 De igual manera se puede diseñar restadores, multiplicadores, divisores, etc. Todos estos circuitos unidos apropiadamente permitirán diseñar, por ejemplo, una Unidad Aritmética Lógica (ALU), que es una de las partes básicas de un procesador. Así también el diseño de codificadores, decodificadores y multiplexores que permiten conmutar las señales digitales entre los diferentes componentes de una computadora con el procesador. Por otro lado, uniendo adecuadamente compuertas NAND o NOR se puede formar un FLIP-FLOP que es la unidad básica de almacenamiento. Uniendo Flip-Flops y circuitos combinatorios se puede diseñar registros, contadores, unidad de memoria y otros componentes de apoyo del procesador. Para finalizar, todos los componentes mencionados unidos mediante circuitos lógicos, los cuales les proveeran de las señlales de control apropiadas para que éstos tranfieran y procesen la información, ya sea un codigo de instrucción o un dato.

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9 I REPRESENTACION DE DATOS 1.1. Sistemas numéricos Si bien es cierto que una computadora puede realizar una serie de tareas complejas, la verdad es que lo único que comprende es 0 y 1. Estos 0 y 1 agrupados adecuadamente (bajo un formato) pueden representar diferentes tipos de información binaria para el procesador tales como datos, código ejecutable, caracteres, señales de control, etc. Como resulta obvio pensar, el sistema de numeración que puede traducir directamente la computadora es el BINARIO, pero éste resulta muy difícil de comprender y manipular por los seres humanos ya que la mayoría estamos acostumbrados a usar el sistema de numeración DECIMAL. Otro de los inconvenientes de trabajar con el sistema binario es la documentación, ya que para expresar cualquier número en binario se necesitará mucho más espacio que si se utilizara, por ejemplo, el sistema decimal o, mejor aun, el sistema HEXADECIMAL. Estos tres tipos de sistemas de numeración pertenecen a los sistemas numéricos de base o raíz r (r=2 para binario, r=10 para decimal y r=16 para hexadecimal), también se les conoce como sistemas posicionales debido a que cada digito tiene un valor basado en su posición relativo al digito menos significativo (el que se encuentra más a la derecha). Para determinar el valor que representa un número de base r en el sistema decimal se puede utilizar la siguiente formula: N = e 1 i= f d * i r i Donde: r es la base o raíz del número d i es un dígito de la posición i del número f es la cantidad de dígitos de la parte fraccionaria e es la cantidad de dígitos de la parte entera En términos generales, cualquier número es simplemente la suma de los productos de cada digito y su valor posicional. Ejemplo: Cuál es el valor de (5 en el sistema decimal? Como se aprecia r=5, f=4 y e=2. El número sería: d 1 d 0. d -1 d -2 d -3 d -4 y el valor en decimal: N = 3* * * * * *5-4 N = 3*5 + 1*1 + 2/5 + 0/25 + 4/ /625 N = ,0016 N = Ahora, para convertir un numero del sistema decimal al sistema de base r, primero se toma la parte entera y se divide entre la raíz r, el residuo de esta división se convertirá en el digito menos significativo de la parte entera. Luego se divide el cociente resultado de la división anterior entre la raíz r, el residuo será el siguiente digito, se vuelve a dividir el último cociente entre la raíz r y así sucesivamente se repite esta operación hasta que el cociente sea 0. El número se formará tomando el 1

10 último residuo como el digito más significativo y el primer residuo obtenido como el digito menos significativo. Para convertir la parte fraccionaria, se coge sólo la parte fraccionaria (tomando cero como parte entera) y se multiplica por la raíz r. La parte entera del resultado de la multiplicación será el primer digito de la nueva parte fraccionaria. Luego se elimina la parte entera (se hace 0) y se repite la operación anterior tantas veces como dígitos se desea obtener. Si en algún momento el resultado de la multiplicación es 1 significará que se ha obtenido el valor exacto en el sistema de base r, en caso contrario, todos los dígitos obtenidos hasta ese instante sólo son una aproximación al valor real. Ejemplo: Convertir al sistema de base 7 Tomamos la parte entera 82 y la dividimos entre la raíz r=7 82/7 cociente 11, residuo 5 (digito menos significativo) Dividimos el ultimo cociente entre la raíz 11/7 cociente 1, residuo 4 1/7 cociente 0, residuo 1 (digito más significativo) Por lo tanto la parte entera será: 145 Ahora tomamos la parte fraccionaria y la multiplicamos por la raíz 0.573*7 = será el 1er digito, luego eliminamos la parte entera *7 = será el 2do digito *7 = será el 3er digito *7 = será el 4to digito, eliminar la parte entera *7 = será el 5to digito y así sucesivamente Una aproximación a es ( Decimal La base 10 es importante debido a que se usa en la vida diaria. Este sistema se compone de 10 numerales o símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; al utilizar estos símbolos como dígitos de un numero podemos expresar cualquier cantidad. El sistema decimal evolucionó en forma natural a partir del hecho de que el ser humano tiene 10 dedos. Incluso, la palabra digito significa dedo en latín. En el sistema digital se comienza a contar con el 0 en la posición de las unidades y se toma cada símbolo (digito) en progresión hasta llegar al 9, luego se incrementa en 1 la segunda posición (decenas) y volvemos a empezar con 0 en las unidades. Este proceso continúa hasta llegar a 99 y se suma 1 en la tercera posición (centenas) y se empieza con 0 en las 2 posiciones anteriores. Se repite este proceso mientras se desee Binario En el sistema binario sólo hay 2 símbolos o valores de dígitos: 0 y 1. Sin embargo, con un conjunto de estos símbolos se puede representar cualquier cantidad denotada en cualquier sistema de numeración. Al trabajar con números binarios, generalmente se está restringido a utilizar una cantidad específica de dígitos (bits). Esta restricción se basa en los circuitos utilizados para representar estos números binarios. 2

11 Al tener, este sistema sólo los dígitos 0 y 1, cualquier número que se desee representar se debe de hacer con una combinación de éstos. El conteo en binario inicia con 0, al sumarle 1 (0+1) nos dará 1. Si luego le sumamos 1 (1 + 1) nos dará 0 (porque no existe el digito 2) más 1 de acarreo es decir 10 en total, que es la representación de 2. Nuevamente sumamos 1 (10 + 1) resultará 11 (representación de 3) y al sumarle 1 (11+1) nos dará 100 (4 en binario) y así sucesivamente. Numeración del 0 al 15 en decimal, binario y binario con 4 bits Dec Bin Bin 4 bits Dec Bin Bin 4 bits Como se aprecia, el conteo empieza con 0 en las unidades luego se incrementa en 1 y después en 1 más, pero como no existe el digito 2 en binario, para representar éste, se suma en 1 el siguiente digito obteniendo 2 en binario (10). Se incrementa en uno las unidades y se repite esto hasta que todos los dígitos son 1s. Las cantidades binarias pueden representarse por medio de cualquier dispositivo que solamente tenga dos estados de operación o posibles condiciones. Por ejemplo, un interruptor sólo tiene dos estados: abierto o cerrado. Arbitrariamente podemos hacer que un interruptor abierto represente el 0 binario y que uno cerrado represente el 1 binario. Una hoja con perforaciones sería otro ejemplo, donde una perforación será un 1 binario y la ausencia de ella es un 0 binario. Así, podemos seguir mencionando otros ejemplos como un foco eléctrico (encendido-apagado), una fotocelda (iluminada u oscura), el transistor (cortado o saturado), una cinta magnética (magnetizada o desmagnetizada), etc. En los sistemas electrónicos digitales, la representación binaria se hace por medio de voltajes (o corrientes) que están presentes en las entradas o salidas de los diversos circuitos. Por lo general, el 0 y el 1 binarios se representan con dos niveles de voltaje nominal, 0V para representar el 0 binario y +5V para el 1 binario, aunque para ser más exactos esta representación se hace por medio de intervalos de voltaje: el intervalo entre 0 y 0.8V representa un 0 y cualquiera entre 2 y 5V representa un Hexadecimal Este sistema de numeración está conformado por los 10 dígitos del sistema decimal (0-9) y 6 dígitos más, como por ejemplo el DIGITO DIEZ (10) o el DIGITO TRECE (13), pero para evitar confusiones cuando se 3

12 presenten los dígitos 1 y 0 o 3 juntos, se ha convenido representarlos por las letra A y D respectivamente. Entonces, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15. Este sistema proporciona representaciones breves que son convenientes para números con múltiples bits en un sistema digital. Ejemplo: La representación del entero en binario de 16 bits es , es decir que se necesitan 16 dígitos, mientras que en hexadecimal es 5D16 (5D16h) siendo necesario sólo 4 dígitos. Debido a que su base es potencia de 2 (16=2 4 ) 4 dígitos binarios pueden representarse con un solo digito hexadecimal, tal como se aprecia a continuación Dígitos Binarios 5 D 1 6 Dígitos Hexadecimales 1.2. Representación de enteros Un detalle muy importante en la representación de enteros es la cantidad de bits que se van a emplear, ya que de ello va a depender el rango de valores que se pueden representar. Ejemplo: Un número de 4 bits implicará que se tiene 4 dígitos binarios y como cada uno de ellos puede tomar el valor de 0 o 1 significará que se pueden formar 2 4 combinaciones diferentes y que cada una de ellas puede representar un valor. Por lo tanto, con 4 bits se puede representar 16 valores diferentes que podrían estar comprendidos (rango) entre 0 y 15 o entre -8 y 7 o cualquier convención que se establezca Sin signo En este tipo de notación sólo se van a representar enteros positivos (sin signo). El menor valor a representar será el 0 y el mayor valor dependerá de la cantidad de bits a emplear. Si N es la cantidad de bits a emplear, 2 N -1 será el mayor valor que se podrá denotar, así por ejemplo, con 4 bits el mayor valor será 15 (2 4 =16); con 8 bits, 255 (2 8 =256) y con 16 bits hasta (2 16 =65536). En todos los casos, el valor es uno menos debido a que se tiene en cuenta el 0 como primer valor a representar. Ejemplo: Para representar el entero 1837 se necesitan por lo menos 11 bits, ya que este entero en binario es La representación de este valor en un formato de 16 bits será y en forma abreviada (hexadecimal) será 072Dh Con signo Aquí se tiene en cuenta los valores negativos y por ende, que la cantidad a representar de valores positivos sea igual a la cantidad de valores negativos. Los dos sistemas más usados para representar un número con signo son: 4

13 a) Bit de signo.- Se utiliza el bit más significativo (el que se encuentra más a la izquierda) para representar el signo del número: 0 para indicar que el número es positivo y 1 para indicar que es negativo. Esto trae como consecuencia que, si se utiliza N bits para representar el número sólo se podrán emplear N-1 bits (2 N-1 valores diferentes) ya que 1 bit se usará para el signo y por lo tanto el rango de valores a representar disminuirá a la mitad: una mitad será para representar valores positivos y la otra mitad los valores negativos. Ejemplo: El entero en 16 bits será igual que pero estableciendo en 1 el bit más significativo es decir: y en forma abreviada 872Dh. Con 16 bits se podrá denotar desde a ( ) es decir desde = FFFFh a = 7FFFh. Una de las desventajas de este sistema es la doble representación del 0, ya que se puede denotar como (+0) y como (-0). Además, no permite realizar las operaciones aritméticas directamente. Ejemplo: Restar 86 y 24 en 8 bits 86 = y 24= = , luego 86+ = = = -110 Como se aprecia el resultado es -110 cuando debió ser 62. En la actualidad este sistema se emplea únicamente para la codificación de números con punto flotante. b) Complemento a 2.- El complemento a r de un numero N de un sistema de base r es r n -N, donde n es la cantidad de dígitos de N y el complemento a (r-1) es (r n -1)-N. Ejemplo: Hallar el complemento a 10 de =608 Ejemplo: Hallar el complemento a 9 de =607 Es decir, que el complemento a r de N es igual al complemento a (r-1) de N, más 1. Ahora si a un número X le restamos Y entonces: X-Y = X-Y+r n -r n = X+(r n Y)-r n = X+C Y(r) -r n Donde C Y(r) es el complemento a r de Y. 5

14 Ejemplo: Hallar (en el sistema decimal) Como se observa, r=10 y n=3, entonces: = = = 235. El restarle 10 3 es equivalente a simplemente eliminar el digito más significativo al resultado (por desbordamiento) En el sistema binario, X-Y = X+C Y(2) -2 n y como C N(r) = C N(r-1) +1, entonces: X-Y = X+(C Y(1) +1)-2 n. Donde C Y(1) es el complemento a 1 de Y, pero el complemento a 1 de un numero en binario es simplemente el cambio de 0s por 1s y 1s por 0s. Por lo tanto, en binario, la diferencia de X y Y se puede resumir en: Sumar a X, Y complementado, es decir, convertir los 1s en 0s y los 0s en 1s, luego sumarle 1 y finalmente eliminar el digito más significativo. Ejemplo: Restar (r=2, n=8 bits) 179= = = = Luego: 179 = = pero al eliminar el bits más significativo queda = Representación de reales Para poder representar números con parte fraccionaria se deben tener en cuenta tres cosas: como representar la parte entera, la parte decimal y el punto decimal. Existen dos notaciones: Con punto fijo En esta notación se establece una determinada cantidad de bits para la parte entera y otra para la parte fraccionaria. El punto quedará arbitrariamente fijado entre estos bits. Por ejemplo el número en binario es aproximadamente , si el formato que se va a usar es de 8 bits y el punto se fija en la mitad, entonces la representación sería: (3Ah), donde los dígitos en negrita son la parte entera. Si para representar este mismo número se fijara el punto decimal después de los 2 bits más significativos la representación sería: (E9h). Como se comprenderá, al observar los números 3Ah y E9h (o en binario) no hay forma de determinar la posición del punto decimal a no ser que previamente se haya establecido o acordado esta. Por lo general la posición del punto se establece durante el diseño del hardware y queda fijo a ella. El inconveniente de esta notación es que la precisión queda fija, por ejemplo en el primer caso solo se tienen 4 bits para representar la parte fraccionaria, mientras que en el segundo caso se tienen 6 bits, con lo que se obtiene mayor precisión (3Ah= =3.625 ; E9h= = ). Por otro lado, si la parte entera en el número a representar fuera mayor o igual que 4 este no podría ser denotado usando la fijación del punto decimal del segundo caso porque se necesitaría más de 2 bits para representar estos 6

15 valores. Por lo tanto, al permanecer el punto fijo, en algunos casos se necesitaran más bits en la parte fraccionaria (correr el punto hacia la izquierda) y en otros en la parte entera (correr el punto hacia la derecha) Con punto flotante El inconveniente del punto fijo es resuelto con un punto flotante, es decir, un punto que pueda ser corrido hacia la izquierda o hacia la derecha según sea necesario. El proceso se inicia convirtiendo el número al sistema de numeración binario y luego se normaliza. La normalización consiste en correr el punto hacia la izquierda o hacia la derecha de tal forma que el 1 que se encuentre más hacia la izquierda quede posicionado a la izquierda del punto. El valor resultante se multiplica por 2 N donde N es la cantidad de posiciones que se ha corrido el punto. N es positivo si el punto se corre hacia la derecha y negativo en caso contrario. Ejemplo: Convertir al formato de punto flotante de 32 bits. Primero hay que convertirlo a binario. Utilizar el método de multiplicaciones sucesivas por 2, para convertir la parte decimal, es muy largo y tedioso, así que usaremos multiplicaciones por 16 y lo que obtendremos son los dígitos en hexadecimal, los cuales son sencillos de pasar a binario. 37 en binario es , ahora vamos a la parte decimal *16 = *16 = *16 = *16 = E *16 = *16 = *16 = *16 = *16 = 5, *16 = *16 = B *16 = D *16 = 3, El número en binario será: y normalizado: x 2 5 El formato para representar números con parte fraccionaria esta conformado por 1 bit S para el signo y el resto de bits se distribuye entre la característica C y la mantisa M. La característica es la representación del exponente E en exceso a 2 N-1-1, donde N es la cantidad de bits que tiene la característica. NUM = (-1) S * 1.M * 2 E donde E = C-2 N

16 Existen dos formatos básicos: a) Formato de precisión simple (32 bits), que consta de: 1 bit para el signo (S) 8 bits para la característica (C) y 23 bits para la mantisa (M) La secuencia de bits del número será la siguiente: S = 0, debido a que el número es positivo. C = E+2 N-1-1 = = = 132 = (2 M = que son los 23 dígitos que se encuentran a la derecha del punto del numero normalizado. Por lo tanto, la representación del valor más próximo a en 32 bits es: = 4215D638h. Para hallar su valor en decimal, se toma el número normalizado pero sólo con los 23 dígitos a la derecha del punto (mantisa) y se corre el punto hacia la derecha para convertirlo en entero, esto significa que el punto tendrá que desplazarse 23 posiciones a la derecha y por ende tendrá que restarse esta cantidad al exponente. Luego el entero se pasa a decimal y se divide entre 2 elevado al nuevo exponente: x 2 5, convertido a entero queda: x D638h x 2-18 = x 2-18 = / / = 37, b) Formato de precisión doble (64 bits) 1 bit para signo (S) 11 bits para la característica (C) 52 bits para la mantisa (M) La secuencia de bits del número será el siguiente: S = 0, debido a que el número es positivo. C = E+2 N-1-1 = = = 1028 = (b M = que son los 52 dígitos a la derecha del punto La representación del valor más próximo a en 64 bits es: 404ABAC710CB295Eh (muy extenso para representarlo en binario) Su valor en decimal es: x x BAC710CB295Eh x 2-47 = x / 2 47 = / (mayor precisión) 8

17 Una vez obtenida las respectivas representaciones de los valores con parte fraccionaria, hay que evaluar el ERROR de precisión. Hay 2 tipos de error: por DEFECTO y por EXCESO. El primero se da cuando la representación obtenida es menor que el valor real y la segunda cuando es mayor, obviamente se deberá elegir aquella que tenga menor error. En el caso del formato de 32 bits, podemos apreciar que el digito 24 del numero normalizado (después del punto) es 1 por lo que procedemos a redondear (aumentar en 1 la mantisa) lo cual nos dará 95D639h x 2-18 = 37, Esta representación, aunque genera un error por exceso, es la más cercana al valor real. Con el formato de 64 bits ocurre algo semejante. El bit 53 del numero normalizado también es 1, por lo que se procede a redondear con lo que se obtiene 12BAC710CB295Fh x 2-47 = 37, que como se aprecia es bastante próximo a Otros códigos En ocasiones, se utilizan otros códigos binarios para números decimales y caracteres alfanuméricos. Las computadoras digitales también emplean otros códigos binarios para aplicaciones especiales. Veamos algunos de ellos: Código Gray Es la representación de un conjunto de valores de tal manera que los dígitos que lo conforman (binario) cambia sólo uno de ellos conforme avanza de un valor al siguiente. Por ejemplo, 3 en binario de cuatro bits es 0011 y 4 es 0100 como se aprecia, para pasar de 3 a 4, tres bits cambian su estado, lo cual podría producir uno o más estados intermedios, si los tres bits no cambiasen simultáneamente, esto no ocurre en código Gray. Para formar una tabla de números en código Gray de N bits se debe seguir las siguientes reglas: a) Un código Gray de 1 bit tiene dos palabras código: 0 y 1. b) Las primeros 2 N palabras de N+1 bits son iguales a las palabras de N bits precedidas por un 0. c) Las ultimas 2 N palabras de N+1 bits son iguales a las palabras de N bits escritas en orden inverso y precedidas por un 1. Ejemplo: N=1 0 1 N= N=

18 Para convertir binario a Gray se deben seguir los siguientes pasos: a) Los bits de un código Gray de N bits se numeran de derecha a izquierda de 0 a N-1. b) El bit i es 0 si el bit i e i+1 de la palabra en binario son iguales y 1 en caso contrario. Ejemplo: Convertir 1011 a código Gray Como el bit 0 y 1 son iguales, el bit 0 será: 0 Como el bit 1 y 2 son diferentes, el bit 1 será: 1 Como el bit 2 y 3 son diferentes, el bit 2 será: 1 Como el bit 3 y 4 (se asume 0) son diferentes, el bit 3 será: 1 Por lo tanto 1011 en código Gray es BCD Decimal codificado en binario, pertenece a los sistemas de numeración no posicionales y utiliza una asignación directa del equivalente binario del digito decimal. Cada digito decimal se codifica por 4 dígitos binarios, pero como con 4 bits se pueden representar hasta 16 valores, las 6 últimas combinaciones (después del 9) que no se usan no tienen ningún valor cuando se utiliza BCD. Ejemplo: Codificar 5 en BCD = 0101 (igual que en binario) Ejemplo: Codificar 173 en BCD 1 = 0001, 7=0111 y 3=0011 Por lo tanto 175 en BCD será: ASCII Muchas aplicaciones requieren el manejo de datos que no solo están formados por números sino también por letras del alfabeto y por ciertos caracteres especiales. Un conjunto de caracteres alfanuméricos incluye los 10 dígitos decimales, las 26 letras del alfabeto y otros caracteres como $, +, -, etc. Por lo que se necesitan 6 bits para codificarlos. Pero si además se incluyen letras mayúsculas o minúsculas entonces se necesitarían 7 bits, con lo que se puede codificar hasta 128 caracteres. Este conjunto de códigos ha sido estandarizado y tiene el nombre de ASCII (Código estándar americano para intercambio de información) y en la actualidad ha sido extendido a 8 bits, es decir, 256 caracteres. 10

19 1.5. Ejercicios Resueltos a) Cual es el menor entero negativo y el mayor entero positivo que se puede almacenar en un formato de 10 bits donde también se representarán números negativos usando complemento a 2 El menor entero positivo será: = -2 9 = -512 El mayor entero positivo será: = = 511 b) Convertir 8503 a base /13 cociente 654, residuo 1 (digito menos significativo) 654/13 cociente 50, residuo 4 50/13 cociente 3, residuo 11 3/13 cociente 0, residuo 3 (digito más significativo) Por lo tanto 8503 en base 13 será: 3B41 c) Convertir a base 16 Primero la parte entera 46/16 cociente 2, residuo 14 = E 2/16 cociente 0, residuo 2 = 2 46 en base 16 es 2E Ahora la parte fraccionaria 0.483*16 = *16 = B 0.648*16 = A 0.368*16 = *16 = E Una aproximación a es 2E.7BA5E (16 d) Si el resultado anterior se almacena en una variable del tipo real de precisión simple (32 bits) Cuál es la secuencia de bits en este formato? =2E.7BA5 (16 = Normalizado: x 2 5 Por lo tanto: S = 0 (por ser positivo) C = E+2 N-1-1 = = 132 = (2 (N= bits de la caracter.=8) M = (sólo 23 bits), pero como el bit 24 es 1, hay que redondear a (+1) Uniendo todos los bits: Abreviado: 4239E98h e) Cual es el valor real almacenado en la variable del ejercicio anterior? El número anterior normalizado a 23 bits y redondeado es: x 2 5 Convertido a entero: x Convertido a hexadecimal B9EE98 x 2-18 Convertido a decimal x 2-18 = 46,

20 f) Si A, B y C son variables enteras sin signo de 8 bits que contienen los valores 203, 151 y 0 respectivamente. Determine el valor de C luego de hacer la siguiente operación C=A+B A = 203 = B = 151 = = Como se observa el resultado es 354, pero se necesitan 9 bits para poder representarlo y la variable C solo tiene 8 bits, por lo que sólo se tomarán los 8 bits menos significativos (el bits más significativo se desborda). Por lo tanto C = = 98 g) Si A, B y C son variables enteras con signo de 16 bits que contienen los valores 28391, y 0 respectivamente. Determine el valor de C luego de hacer la siguiente operación C=A+B A = = B = = = Aparentemente el resultado es (incluso no hay desbordamiento), pero al ser C una variable entera con signo y como el bit más significativo del resultado es 1 inmediatamente nos lleva a pensar que el resultado es negativo, por lo que procedemos a hallar su complemento a 2 para determinar su verdadero valor. C = (0s a 1s y 1s a 0s) 1 (sumamos 1) = Pero como se ha complementado, entonces: C = Aunque parezca increíble, el sumar dos números positivos puede dar como resultado un número negativo. h) Convertir a código Gray 158 (8 bits) Primero convertimos 158 a binario de 8 bits esto es: Analizando los bits de derecha a izquierda tenemos: en codigo Gray es = 209 i) Codifique en binario 2837 (BCD) 2=0010, 8=1000, 3=0011 y 7= en BCD es

21 Propuestos a) Cual es el menor entero negativo y el mayor entero positivo que se puede almacenar en un formato de enteros con signo de 8 bits. b) Se desea representar sólo enteros positivos con 12 bits, Cuál es el mayor entero que se puede representar? c) Convertir a base 7. d) Convertir a base 12 e) Determine la secuencia de bits para la representación de en un formato de 32 bits. f) Determine el verdadero valor (en decimal) almacenado en el ejercicio anterior. g) Determine la secuencia de bits para la representación de en un formato de 32 bits. h) Determine el verdadero valor (en decimal) almacenado en el ejercicio anterior. i) Si A, B y C son variables enteras con signo de 16 bits que contienen los valores , 6932 y 0 respectivamente. Determine el valor de C luego de hacer la siguiente operación C=A-B. j) Si A, B y C son variables enteras sin signo de 10 bits que contienen los valores 372, 998 y 0 respectivamente. Determine el valor de C luego de hacer la siguiente operación C=A+B. k) Convertir a código Gray 826 (10 bits). l) Codifique en binario 8037 (BCD) 13

22 II CIRCUITOS DE LOGICA DIGITAL 2.1. Compuertas lógicas. Las compuertas lógicas son bloques de hardware que producen señales de 0 o 1 cuando los requerimientos lógicos de entrada son satisfechos. Esta característica permite utilizar el álgebra booleana como herramienta para el análisis y diseño de circuitos lógicos digitales. Cada compuerta tiene un símbolo gráfico distinto y su funcionamiento puede describirse por medio de una expresión algebraica. La relación de entrada/salida de las variables binarias para cada compuerta puede representarse en forma tabular por una tabla de verdad. Los nombres, símbolos, tablas de verdad y funciones algebraicas de las siete compuertas lógicas se listan en la figura 2.1 C=A B A B C C=A+B A B C C=A A C C=(A+B) A B C C=(A B) A B C C=A B A B C C=(A B) A B C Figura 2.1 Compuertas lógicas digitales Las compuertas lógicas pueden combinarse para producir circuitos lógicos Álgebra booleana El álgebra booleana difiere de forma significativa del álgebra en que las constantes y variables booleanas sólo pueden tener, en diferentes ocasiones, dos valores posibles: 0 o 1. Las tres operaciones lógicas básicas son AND, OR y complemento. Una función booleana puede expresarse algebraicamente con variables binarias, símbolos de operadores lógicos, paréntesis y signos de igualdad. Para un valor dado de las variables, la función sólo puede ser 0 o 1. La relación entre una función y sus variables binarias se pueden representar en una tabla de verdad, donde se lista las 2 N combinaciones de las N variables binarias y, también, mediante un diagrama lógico. 14

23 Ejemplo: F = A (B+C) A, B, C y F, por ser variables booleanas sólo puede ser 0 o 1. En la figura 2.2 se muestra la tabla de verdad con todas las posibles combinaciones de A, B y C, así como el diagrama lógico para la función F A B C F Figura 2.2 Tabla de verdad y diagrama lógico para F = A (B+C) La tabla de verdad la podemos interpretar de la siguiente manera: Cuando las entradas A, B y C son 0, la salida F es 0 que es lo que se obtiene al reemplazar A, B y C en la función. F= A (B+C) = 0 (0+0) = 0 0 = 0 1 = 0 Ahora si A=1, B=0 y C=0, F tomará el valor de: F= A (B+C) = 1 (0+0) = 1 0 = 1 1 = 1 Así, se va probando con todas las posibles combinaciones de las entradas A, B y C (2 3 =8 combinaciones) y se van obteniendo los valores de la salida F. Existen un conjunto de reglas que se pueden usar para simplificar expresiones lógicas, es decir, para reducir el número de términos de una expresión. Al hacer esto, la expresión reducida generará un circuito lógico menos complejo que el de la expresión original. Las identidades se listan a continuación: 1) A+0=A 2) A+1=1 3) A+A=A 4) A+A =1 5) A+B=B+A 6) A+(B+C)=(A+B)+C 7) A (B+C)=AB+AC 8) (A+B) =A B 9) A 0=0 10) A 1=A 11) A A=A 12) A A =0 13) A B=B A 14) A (B C)=(A B) C 15) A+B C=(A+B) (A+C) 16) (A B) =A + B 17) (A ) =A 15

24 Las identidades 8) y 16) se conocen como los teoremas de DeMorgan y se pueden generalizar de la siguiente manera: (A+B+C+D+E+ ) = A B C D E (ABCDE ) = A +B +C +D +E 2.3. Mintérminos y Maxtérminos La representación más básica de una función lógica es la tabla de verdad, pero la información contenida en ella puede también expresarse en forma algebraica mediante una suma canónica o un producto canónico. La suma canónica de una función lógica es la suma de los productos lógicos de las variables correspondientes a las líneas de la tabla de verdad para las que la función produce una salida de 1. Cuando en la columna de la variable hay un 1 se toma la variable y cuando hay un 0 se toma su complemento. El producto canónico de una función lógica es un producto de las sumas lógicas de las variables correspondientes a las combinaciones de entradas para las que la función produce una salida de 0. En este caso, cuando en la columna de la variable hay un 0 se toma la variable y cuando hay un 1 se toma su complemento. Por ejemplo, dada la función lógica de la tabla siguiente: Línea X Y Z F Las líneas donde F es 1 son: 0, 3, 4 6 y 7 y el producto lógico de la fila: 0 es X Y Z en la columna X es 0, en Y es 0 y en Z es 0 3 es X YZ en la columna X es 0, en Y es 1 y en Z es 1 4 es XY Z en la columna X es 1, en Y es 0 y en Z es 0 6 es XYZ en la columna X es 1, en Y es 1 y en Z es 0 7 es XYZ en la columna X es 1, en Y es 1 y en Z es 1 Por consiguiente la suma canónica de la función es: F = xyz (0,3,4,6,7) = X Y Z + X YZ + XY Z + XYZ + XYZ Para el producto canónico se tiene que: Las líneas donde F es 0 son: 1, 2 y 5 y la suma lógica de la fila: 1 es X+Y+Z en la columna X es 0, en Y es 0 y en Z es 1 2 es X+Y +Z en la columna X es 0, en Y es 1 y en Z es 0 5 es X +Y+Z en la columna X es 1, en Y es 0 y en Z es 1 F = xyz(1,2,5) = (X+Y+Z )(X+Y +Z)(X +Y+Z ) 16

25 2.4. Simplificación por Álgebra Booleana Manipulando una expresión booleana, de acuerdo con las reglas del álgebra booleana, se puede obtener una expresión más simple, una expresión que requiera menos compuertas lógicas. Ejemplo: Simplificar F = XY Z + XY Z Figura 2.3 Diagrama lógico de F = XY Z + XY Z Si hacemos que: A = XY entonces tenemos: F = AZ + AZ si aplicamos la identidad 7) queda: F = A(Z + Z ) aplicando la identidad 4) Z + Z = 1 F = A 1 por la identidad 10) F = A regresando el valor original F = XY La tabla de verdad (del diagrama original y el simplificado) y el diagrama lógico simplificado se muestran en la figura 2.4 X Y Z F Figura 2.4 Tabla de verdad y Diagrama lógico y para F = XY Por lo tanto las expresiones booleanas: XY Z + XY Z y XY son equivalentes, esto implica que ambas expresiones tienen la misma tabla de verdad a pesar que sus diagramas lógicos son diferentes. Nótese que mientras en el diagrama lógico original se requieren 7 compuertas lógicas (2 NOT, 4 AND y 1 OR) en el diagrama simplificado solo se necesitan 2 compuertas (1 NOT y 1 AND). Pero lo que debe quedar bien claro es que ambos diagramas tienen la misma tabla de verdad, es decir, que si a ambos diagramas se les aplica las mismas entradas, éstos generarán las mismas salidas. 17

26 Ejemplo: Simplificar F = (A + B)(A + B) Figura 2.5 Diagrama lógico F = (A +B)(A +B) F = (A + B)(A + B) F = (A + B)A + (A + B)B F = A A + BA + A B + BB por la identidad 7) o como, simplemente, el producto de 2 binomios Aplicando la 12) A A=0 y por la 11) BB=B queda F = 0 + BA + A B + B por la 13) BA=AB F = 0 + AB + A B + B por la 7) F = 0 + (A + A )B + B por la 4) F = 0 + 1B + B por la 10) F = 0 + B + B por la 3) F = 0 + B por la 1) F = B Con esto queda demostrado que (A + B)(A + B) puede ser reemplazado por simplemente B, es decir, que la salida F sólo y únicamente depende de la variable de entrada B y no se toma en cuenta, para nada, el valor que pueda tomar la variable A, esto también se puede apreciar en la tabla de verdad y el diagrama simplificado de la expresión original de la figura 2.6 A B F Figura 2.6 Tabla de verdad y Diagrama lógico y para F = B En este caso se puede ver como queda simplificada una expresión booleana al máximo. Cabe recalcar, una vez más, que la tabla de verdad que se muestra en la figura 2.6 satisface las condiciones de salida para ambos diagramas lógicos (el original y el simplificado) 18

27 Ejemplo: Simplificar F = ((A + C)(B + D )) Figura 2.7 Diagrama lógico de F = ((A +C)(B+D )) Hacemos que X=A +C y Y=B+D y sustituimos en F F = (XY) por la 16) F = X + Y restableciendo valores F = (A + C) + (B + D ) por la 8) F = AC + B D Figura 2.8 Diagrama lógico de F = AC + B D La tabla de verdad que satisface las condiciones de salida de los dos diagramas lógicos es la siguiente: A B C D F A B C D F Figura 2.9 Tabla de verdad de F = AC + B D En este caso, como se observará en los diagramas, no se ha simplificado mucho la expresión, pero se ha obtenido un equivalente con mayor presencia de compuertas AND. 19

28 2.5. Simplificación por mapa de Karnaugh. Si bien es cierto que una expresión booleana se puede simplificar mediante las relaciones básicas del álgebra booleana, en algunas ocasiones esto se puede complicar debido a que no esta definido una serie de pasos sucesivos a realizar en el proceso de simplificación. Existe un método grafico que proporciona un procedimiento sencillo y directo para simplificar las expresiones booleanas y se denomina Mapa de Karnaugh. El Mapa de Karnaugh se puede utilizar para resolver problemas con cualquier número de variables de entrada, su utilidad práctica se limita a seis variables, con una cantidad mayor será necesario el empleo de una computadora. El método consiste en agrupar 2 o más términos de una suma canónica en los cuales exista un cambio mínimo de bits (código Gray) entre las variables que los conforman. Por ejemplo la suma canónica ABC + ABC (111 y 110, respectivamente), puede simplificarse a AB(C+C ) = AB La idea es hacer un mapa colocando juntas las líneas cuyos valores en binario tengan un cambio mínimo de sus bits. Por ejemplo la línea 0 (0000) con las líneas 1, 2, 4 y 8 (0001, 0010, 0100 y 1000, respectivamente). La línea 2 (0010) con las líneas 0, 3, 6 y 10 (0000, 0011, 0110 y 1010) La línea 5 (0101) con las líneas 1, 4, 7 y 13 (0001, 0100, 0111 y 1101) La línea 15 (1111) con las líneas 7, 11, 13 y 14 (0001, 0100, 0111 y 1101) Siguiendo esta regla un mapa de 16 líneas (4 variables) seria el siguiente: 0 (0000) 4 (0100) 12 (1100) 8 (1000) 1 (0001) 5 (0101) 13 (1101) 9 (1001) 3 (0011) 7 (0111) 15 (1111) 11 (1011) 2 (0010) 6 (0110) 14 (1110) 10 (1010) Figura 2.10 Mapa de Karnaugh para 4 variables Como se observa la línea 0 tiene adyacentes a las líneas 1 y 4 pero no a las líneas 2 y 8. Igual ocurre con la línea 2 que tiene adyacentes a las líneas 3 y 6 pero no a las líneas 0 y 10. Este inconveniente se resuelve copiando la tabla alrededor de la tabla original como se muestra en la figura 2.10 Una vez que se tiene el mapa se forman grupos de 2, 4, 8, 16, etc. líneas adyacentes cuya función de salida es 1. Esto significa que se pueden agrupar de: 2 términos: Las líneas (0,1), (0,4), (0,2), (0,8); (5,1), (5,7), (5,4), (5,13); (11,9), (11,3), (11,10), (11,15), etc. 4 términos: Las líneas (0,1,3,2), (0,4,12,8), (0,1,4,5), (0,2,8,10); (1,5,13,9), (1,3,9,11), (1,3,5,7); (6,4,14,12), (6,2,14,10), (6,7,15,14), etc. 8 términos: Las líneas (0,1,3,2,4,5,7,6), (0,4,12,8,1,5,13,9), (0,4,12,8,2,6,14,10), (0,1,3,2,8,9,11,10), etc. No hay que olvidar que solo se agruparán las líneas cuya función de salida es 1 20

29 Por ejemplo para la siguiente suma canónica ABC (0,1,2,3,4,5,9,10) que se corresponde con la siguiente tabla: A B C D F A B C D F Figura 2.11 Tabla de verdad de ABC (0,1,2,3,4,5,9,10) La expresión sin simplificar será: F = A B C D + A B C D + A B CD + A B CD + A BC D + A BC D + AB C D+ AB CD El mapa de karnaugh, quedará así: A B 00 A B 01 AB 11 AB 10 C D C D CD CD Figura 2.12 Mapa de Karnauhg de ABC (0,1,2,3,4,5,9,10) Los números en la esquina superior derecha de las celdas se corresponden con los números de línea y los números en el centro son los valores que toma la función de salida en esa línea. En los bordes superior e izquierdo, aparecen los valores que pueden tomar las variables lógicas. Por ejemplo, la intersección de la fila A B y la columna C D definen el término A BC D (0101, línea 5). Otro detalle a tener en cuenta es el orden o secuencia que tienen los elementos de los bordes, así, A B, A B, AB y AB se corresponden con 00, 01, 11 y 10 (código Gray para 0, 1, 2 y 3), de igual manera ocurre con el borde superior. A continuación se procederá a agrupar. Cuanto mayor número de elementos tenga el grupo, mayor será la simplificación Las líneas 0, 1, 3 y 2 forman el grupo 1. Las líneas 0, 1, 4 y 5 forman el grupo 2. Las líneas 1 y 9 forman el grupo 3 y, finalmente, Las líneas 2 y 10 el grupo de 4. 21

30 No importa que se tomen líneas que pertenecen a algún grupo para formar otro grupo. Ahora pasaremos a simplificar. La regla de simplificación es sencilla: QUEDARÁN SOLO AQUELLAS VARIABLES LÓGICAS PARA LAS QUE NO APARECE SU COMPLEMENTO EN EL GRUPO En el grupo 1 (A B C D + A B C D + A B CD + A B CD ) quedará: A B En el grupo 2 (A B C D + A B C D + A BC D + A BC D) quedará: A C En el grupo 3 (A B C D + AB C D) quedará: B C D En el grupo 4 (A B CD + AB CD ) quedará: B CD Por ultimo, se unen las reducciones mediante un operador OR (+) quedando: F = A B + A C + B C D + B CD Condición no importa En algunos casos se va a dar que, ciertas entradas nunca van a ocurrir, por lo que no estarán definidos los correspondientes valores para la función de salida. Esto se conoce como condición NO IMPORTA, es decir, que no importa si la función de salida toma el valor de 0 o 1, por lo que se puede establecer un valor arbitrario para la función de salida de tal manera que permita simplificar aún más la expresión. Ejemplo: Diseñar un detector de dígitos BCD primos. Como sabemos, los dígitos BCD son del 0 al 9 (0000 a 1001) y están conformados por 4 bits. Por consiguiente, los dígitos BCD primos son: 1, 2, 3, 5 y 7. La tabla de verdad para esta función será: A B C D F A B C D F ? ? ? ? ? ? Figura 2.13 Tabla de verdad para detector de números primos En la tabla, ABCD representan los 4 dígitos del código BCD. Nótese que desde la línea 10 hasta la 15, la función de salida tiene el valor? debido a que esos valores no están definidos para el código BCD, en otras palabras, si las entradas es un código BCD, estas entradas (10-15) nunca ocurrirán. 22

31 Ahora construiremos el mapa de Karnaugh tal como se muestra en la figura Nótese las líneas del 10 al 15, los? significa que pueden tomar el valor de 0 o 1 según nos convenga. A B 00 A B 01 AB 11 AB 10 C D ? 0 8 C D ? 9 0 CD ? 11? CD ? 10? Figura 2.14 Mapa de Karnauhg de números primos BCD Hay un grupo que está completamente definido, que es el grupo conformado por las líneas 1, 3, 5 y 7, el problema es, con qué líneas agrupar la línea 2. Un primer intento sería agrupar la línea 2 con la línea 3, con lo que se forma un grupo de 2 líneas. Un segundo intento es hacer 1 la línea 10 y agruparla con la línea 2, también sería un grupo de 2 líneas. Un tercer intento, es hacer 1 las líneas 11 y 10 y agruparlas con las líneas 3 y 2 (grupo de 4) con lo que obtendríamos una mayor simplificación. Al parecer esto sería lo óptimo, por lo que la función quedará: F = A D + B C Esto también significa que la función de salida del resto de líneas (12, 13, 14 y 15) debemos asignarle el valor de Circuitos lógicos combinacionales. Es un grupo de compuertas lógicas conectadas de una manera específica, definiendo de esta forma un circuito con un conjunto de entradas y salidas binarias. La característica principal de un circuito combinacional es que los valores binarios de las salidas dependen o están en función, sólo y únicamente, de una combinación binaria de entradas. N variables de entrada A B Circuito Combinacional F 1 F 2 M variables de salida Figura 2.15 Diagrama de bloque de un circuito combinacional F M Un circuito combinacional puede describirse mediante una tabla de verdad que muestre la relación binaria entre las N variables de entrada y las M variables de salida. 23

32 Semisumador. Es el circuito combinacional más simple y realiza la suma aritmética de dos dígitos binarios. Se denomina semisumador porque las entradas están conformadas por sólo los dos dígitos binarios a sumar y como salidas, tiene el resultado de la suma y el acarreo generado. A B S C Figura 2.16 Tabla de verdad y circuito combinacional de un semisumador De la tabla podemos obtener las siguientes funciones lógicas S = A B+AB y C = AB, pero A B+AB = A B por lo que el circuito quedaría: Figura 2.17 Circuito combinacional simplificado de un semisumador Sumador completo. Este circuito combinatorio tiene como entradas los dos dígitos binarios a sumar (A, B) y además un acarreo inicial (K), es decir, tres entradas. Como salidas, el resultado de la suma (S) y el acarreo generado o de salida (C). A B K S C Figura 2.18 Tabla de verdad y circuito combinacional de un sumador completo De la tabla de la figura 2.18 se obtienen las funciones: S = A B K+ABK +A BK +AB K = (A B +AB)K+(A B+AB )K S = (A B) K+(A B)K = (A B) K C = A BK+AB K+ABK +ABK = (A B+AB )K+AB(K +K) C = (A B)K+AB 24

33 Sumador restador. Los circuitos anteriores pueden tratarse como cajas negras, donde solo sepamos las salidas que se van a obtener al ingresar entradas determinadas, por ejemplo el diagrama de bloque para el sumador completo seria el siguiente: Figura 2.19 Diagrama de bloque de un sumador completo Donde A y B son las entradas de los dígitos binarios a sumar, Ci es el acarreo de entrada, es la salida de la suma de los bits de entrada y Co el acarreo de salida. Se pueden usar estos circuitos simples para diseñar circuitos cambinacionales más complejos como por ejemplo un sumador de 4 bits tal como se muestra en la figura siguiente: Figura 2.20 Diagrama de un Sumador de 4 bits En el diagrama de la figura 2.20 hay 4 sumadores completos. K es el acarreo de entrada, A3, A2, A1 y A0 son los 4 bits del numero A, al igual que B3, B2, B1 y B0 del numero B. El acarreo de salida C o de cada sumador se conecta al acarreo de entrada C i del siguiente bloque sumador. S3, S2, S1 y S0 es un número de 4 bits resultado de la suma de A y B. Finalmente C contiene el acarreo de salida resultado de la suma de los números de 4 bits A y B. De igual forma su puede diseñar un sumador de 8, 16 o 32 bits o, en todo caso, usando 2 sumadores de 4 bits se puede construir un sumador de 8 bits, con 4 uno de 16 y así sucesivamente. Figura 2.21 Diagrama de un Sumador de 8 bits usando sumadores de 4 bits 25

34 La figura 2.21 muestra un sumador de 8 bits diseñado con 2 sumadores de 4 bits y estos a su vez se han diseñado usando sumadores completos de un bit. Usando la misma lógica se puede diseñar un restador, pero mejor aun, pasemos a hablar de un circuito que realice ambas operaciones: un sumador-restador. Primero recordemos que una resta binaria (A-B) es igual que una suma pero complementando a 2 el segundo operando (A+C 2 (B)), es decir que: 10 2 = 10 + C 2 (2) En binario con 4 bits sería: = C 2 (0010) = ( ) Por consiguiente necesitamos diseñar un circuito tal, que cuando la operación sea una suma el segundo operando B se mantenga igual pero, si la operación es una resta se complemente (cambiar 1s por 0s y 0s por 1s y sumarle 1). Una vez tratado el segundo operando se realiza una simple suma. Una entrada adicional (M) nos puede indicar si la operación a realizar es una suma (0) o una resta (1). Si M=0, entonces el digito B i debe quedar igual (sumar), caso contrario el digito B i debe ser complementado (restar). Si miramos la tabla de verdad generada, donde B es la entrada al sumador, (figura 2.22) lo que obtenemos es una operación XOR. M B i B Figura 2.22 Tabla de verdad de la operación Por lo tanto, mediante una operación XOR podemos, si fuera una resta, complementar los 0s y los 1s del segundo operando; pero al hacer esto sólo estamos hallando el complemento a 1, falta sumarle 1 para que se convierta en el complemento a 2. Esto se logra conectando la entrada M al acarreo de entrada (sumar 1), tal como se aprecia en la figura

35 Figura 2.23 Diagrama de un Sumador-Restador de 4 bits 2.7. Flip-flops Es una celda binaria capaz de almacenar un bit de información. Tiene 2 salidas, una para el valor normal y una para el valor complementado del bit almacenado en él. La diferencia entre los diversos tipos de flip-flops está en el número de entradas que posean y la manera en la cual las entradas afectan el estado binario. Comúnmente los flip-flops reciben el nombre de registros Flip Flop Básico con compuertas NAND y NOR El circuito Flip-Flop más elemental que se puede construir es con 2 compuertas NAND como muestra la figura 2.24 R S Q 0 0 Q=Q = Sin Cambio Figura 2.24 Flip-flop básico NAND y su tabla d verdad Resumen del flip-flop básico con compuertas NAND 1. R=S=1: Esta condición no tiene efecto alguno sobre el estado de salida. Las salidas Q y Q permanecerán en el estado en el que se encontraban antes de presentarse esta condición de entrada. 2. R=0, S=1: Este estado siempre ocasionará que la salida pase al estado Q=1, donde permanecerá aun después de que R=1. 3. R=1, S=0: Esto siempre producirá el estado Q=0, donde la salida permanecerá aun después de que S=1. 4. R=S=0: Esta condición intenta iniciar y borrar el registro básico en forma simultanea y produce Q=Q =1. No debe utilizarse. La figura 2.25 muestra el diagrama de estados del flip-flop, donde los círculos son los estados del flip-flop (salida Q) y las flechas las transiciones que permiten pasar de un estado a otro. Los valores 00, 01, 10 y 11 son los valores que pueden tomar las entradas RS cuando el flip-flop se encuentre en alguno de sus 2 estados (0 o 1). Como se aprecia la salida Q o estado al que pasaría, esta en función de las entradas R, S y del estado actual en el que se encuentre el flip-flop. Por ejemplo, si el flip-flop se encuentra en el estado 0 y RS=11 la salida Q es 0, pero si se encontrara en el estado 1, la salida Q sería Figura 2.25 Diagrama de estados del flip-flop NAND 27

36 Otra alternativa de flip-flop básico es la mostrada en la figura 2.26, construido con 2 compuertas NOR R S Q 0 0 Sin cambio Q=Q =0 Figura 2.26 Registro básico NOR y su tabla d verdad Resumen del flip-flop básico con compuertas NOR 1. R=S=0: Esta condición no tiene efecto alguno sobre el estado de salida. Las salidas Q y Q permanecerán en el estado en el que se encontraban antes de presentarse esta condición de entrada. 2. R=0, S=1: Este estado siempre ocasionará que la salida pase al estado Q=1, donde permanecerá aun después de que R=1. 3. R=1, S=0: Esto siempre producirá el estado Q=0, donde la salida permanecerá aun después de que S=1. 4. R=S=1: Esta condición intenta iniciar y borrar el registro básico en forma simultanea y produce Q=Q =0. No debe utilizarse Figura 2.25 Diagrama de estados del flip-flop NOR 11 Al modificar el valor de una de las entradas del fli-flop, la salida Q cambia inmediatamente, por lo que podemos considerar estas entradas como asíncronas. Pero por lo general es necesario que las salidas se sincronicen con una señal maestra conocida como señal del Reloj. Esto se logra agregando un par de compuertas AND, con lo que ahora obtenemos un flip-flop con entradas síncronas, lo que implica que las salidas no se actualizaran mientras la señal de reloj no sea 1. 28

37 Figura 2.25 Diagrama de un flip-flop con entradas síncronas Flip-flop SR sincronizado por reloj S R CLK Q 0 0 Q anterior Figura 2.26 Símbolo grafico, Tabla característica y excitación de un FF RS Ecuación característica: Q = S + R Q Q 0 Q 1 S R Flip-flop D sincronizado por reloj Figura 2.27 Símbolo grafico, Tabla característica y excitación de un FF D Ecuación característica: Q = D D CLK Q Q 0 Q 1 D Flip-flop JK sincronizado por reloj J K CLK Q 0 0 Q anterior Q Figura 2.28 Símbolo grafico, Tabla característica y excitación de un FF JK Ecuación característica: Q = JQ + K Q Q 0 Q 1 J K Flip-flop T sincronizado por reloj T T CLK Q 0 Q anterior 1 Q Figura 2.29 Símbolo grafico, Tabla característica y excitación de un FF T Ecuación característica: Q = Q T Q 0 Q 1 T

38 2.8. Circuitos lógicos secuenciales. Es un conjunto de compuertas lógicas (circuito combinacional) y flip-flops interconectados entre si. La característica principal de un circuito secuencial es que los valores binarios de las salidas no sólo dependen de sus entradas actuales sino también de la secuencia de entradas previas Ecuaciones de entrada de los flip-flops La figura 2.30 muestra un circuito secuencial conformado por 2 flip-flops D y algunas compuertas lógicas. Figura 2.30 Diagrama de un circuito secuencial con FF D En un flip-flop tipo D la ecuación característica es Q=D (nótese que Q será A en el primer flip-flop y B en el segundo), es decir A=D A y B=D B. Por lo tanto D A será igual a la salida del circuito conformado por las compuertas 1, 2 y 3, es decir: A=D A =Ax+xB y D B a la salida de la compuerta 4, B=D B =A x. La salida y será igual al resultado de las compuertas 5, 6, 7 y 8; entonces: y=ax +Bx. Esto significa que el nuevo valor de A dependerá del actual valor de A, B y x, mientras que el valor de B estará en función de B y A. Lo siguiente será construir la tabla de estados del circuito usando las expresiones halladas. Estado actual Entrada Estado nuevo Salida A B x A B y

39 Figura 2.31 Tabla de estados Por ejemplo si los valores actuales de las variables A, B y x son 0, 1 y 1 respectivamente y los reemplazamos en las expresiones halladas, obtendremos los nuevos valores de A y B: A = Ax+xB = = = 1 B = A x = 1 1 = 1 y = Ax +Bx = = = 0 Ahora, a partir de la tabla de estados, construiremos el diagrama de estados Como tenemos 2 (N) Flip-flops y cada uno de ellos puede tener 2 estados posibles, esto significa que el circuito secuencial tendrá 4 (2 N ) estados (AB) en total 00, 01, 10 y 11. Cuando el estado actual (AB) es 00 y x es 0, el estado siguiente es 00 y la salida y=0, pero si x=1 el siguiente estado es 01 y la salida y=0. Si el estado actual es 11 y x=0 el siguiente estado es 00 y la salida y=1, pero si x=1 el estado siguiente es 10 y la salida y=0. Si continuamos con este razonamiento, obtendremos el siguiente diagrama: 0/0 1/0 00 0/1 10 0/1 1/0 0/1 1/ /0 Figura 2.31 Diagrama de estados Los números que aparecen en el numerador son las entradas, mientras los denominadores son las salidas. Ahora analicemos un circuito secuencial con flip-flops tipo JK. Figura 2.32 Diagrama de circuito secuencial con FF JK Las ecuaciones de entrada son: J A =x, K A =x, J B =z, K B =z, z=(x+a)b y la ecuación característica para estos flip-flops es Q=JQ +K Q que para este caso sería: A=J A A +K A A y B=J B B +K B B 31

40 Estado actual Entrada = x = x Salida Estado nuevo = z = z (x+a)b = JQ +K Q A B x J A K A z J B K B A B Figura 2.33 Tabla de estados Por ejemplo si A, B y x valen 1, 0 y 0, respectivamente, entonces: J A = x = 0 K A = x = 0 z = (x+a)b = (0+1)1 = 1 J B = z = 1 K B = z = 1 A = J A A +K A A = = 1 B = J B B +K B B = = 1 Todo esto queda resumido en el diagrama de estados siguiente 0/0 0/ /1 1/0 1/0 1/ /0 0/1 Figura 2.34 Diagrama de estados Hasta ahora hemos partido del diagrama de un circuito secuencial para determinar el comportamiento de éste, pero también se puede dar el caso contrario, es decir, que a partir del comportamiento del circuito secuencial determinar o diseñar dicho circuito. Por ejemplo: Dado el diagrama de estados de la figura 2.35 diseñar un circuito secuencial haciendo uso de flip-flops tipo JK 0/0 00 1/0 11 0/1 1/1 1/1 0/ /0 0/0 32

41 Figura 2.35 Diagrama de estados En este tipo de problemas conocemos el estado actual (Q 0 ) y el estado nuevo (Q 1 ) al que pasaría el circuito secuencial al generarse una entrada x. En este caso haremos uso de la tabla de excitación del FF JK, la cual nos permite saber que valores deben tener las entradas J y K para poder pasar de Q 0 a Q 1 Estado actual Q 0 Entrada Estado nuevo Q 1 FF-A FF-B Salida A B x A B J A K A J B K B z Figura 2.35 Tabla de estados Por ejemplo, si el estado actual del FF A es 0, para que pueda pasar al estado 0 (se queda en el mismo estado), la entrada J (J A ) debe ser 0 y K (K A ) debe ser (entrada no importa), según la tabla de excitación. Para el caso del FF B, si su estado actual es 1, para que pueda pasar al estado 1 (se queda en el mismo estado), la entrada J (J B ) debe ser (entrada no importa) y K (K B ) debe ser 0. Continuando con este razonamiento se completa la tabla y luego se procede a determinar J A, K A, J B y K B en función de A, B y x, es decir, que se toma a A, B (estado actual), x como entradas y a J A, K A, J B y K B como funciones de salida. Obviamente el método más práctico para todos estos casos es: El mapa de Karnaugh. J A X X A B A B AB AB K A X X A B A B AB AB J B X X A B A B AB AB K B X X A B A B AB AB Figura 2.36 Mapas de Karnaugh para J A, K A, J B y K B De los mapas de Karnaugh podemos determinar que: J A = Bx K A = Bx J B = x K B = x 33

42 Del mismo modo se puede determinar z = Bx + B x = B x Con todas estas expresiones procedemos a diseñar el circuito secuencial tal como se muestra en la figura 2.37 Figura 2.37 Diagrama del circuito secuencial 2.9. Solución de ejercicios con Boole Boole es un programa que permite diseñar y analizar circuitos combinacionales y secuenciales. Este software es de libre uso y puede ser descargado de la siguiente página: Una vez descargado y descomprimido se ejecuta Boole.exe y aparece una ventana con 2 botones: Sistema combinacional y Sistema secuencial. Autómatas Circuitos combinacionales. Seleccionado el botón Sistema combinacional aparecerá la ventana mostrada en la figura

43 Figura 2.38 Ventana de Sistema combinacional de Boole Primero debemos darle un nombre al sistema (Ejercicio1) y luego establecer la cantidad de variables de entrada (3) y salida (1). Se puede establecer un nombre para las variables de entrada (X, Y, Z) y de salida o dejarlos con sus valores por defecto A, B, C y F respectivamente. Ahora elegimos el botón Tabla de verdad manual para ingresar los valores de la tabla de verdad del circuito. La ventana que aparecerá es la mostrada en la figura Figura 2.39 Ventana para el llenado de la tabla de verdad El botón Condiciones libres llenara de X la función de salida F, mientras que el botón Ceros de ceros y Unos de unos. Obvio! Bastara con hacer clic, una o varias veces, en cualquiera de las celdas de la función F para que cambie a 0, 1 o X Una vez llenada la tabla hacemos clic en Evaluar y luego en Salir, para regresar a la ventana anterior en donde haremos clic en el botón Expr. SOP simplificada donde aparecerá la siguiente ventana: 35

44 Figura 2.40 Ventana de Expresión SOP simplificada En ella se observa las expresiones lógicas simplificadas de las funciones (F:1, F:2, ) y 4 botones: Veitch-Karnough, que permite ver el mapa de Karnaugh de la función con las agrupaciones de líneas que se han empleado para la simplificación Figura 2.41 Ventana de mapa de Karnaugh Nand/Nor que muestra una ventana con expresiones lógicas de F, pero empleando solo operadores Nand o Nor Visualizar circuito que muestra una ventana con el diagrama del circuito simplificado, como se muestra en la figura 2.42 Figura 2.42 Ventana de diagrama del circuito 36

45 Circuitos secuenciales. Al seleccionar el botón Sistema secuencial. Autómatas aparecerá la ventana de la figura 2.43 Figura 2.43 Ventana de Sistema Secuencial Al seleccionar la opción Nuevo del menú Archivo aparecerá la ventana de la figura 2.44 que nos permitirá elegir el tipo de autómata con el que se desea trabajar: Moore y Mealy (en el tipo Mealy tenemos que ingresar el valor de la transición y el valor de la salida por cada flecha, mientras que en el Moore ingresamos la transición en cada flecha y la salida en cada círculo). Así también, se establece la cantidad de entradas y salidas y sus nombres respectivos. Figura 2.44 Ventana de Sistema Secuencial El ejemplo a desarrollar es el autómata de la figura 2.31 y el tipo de autómata, Mealy. Una vez establecido la cantidad de variables y sus nombres se hace clic en Aceptar para que aparezca la ventana de la figura 2.44 donde se procederá a dibujar el autómata. Hay que reconocer que la interfaz grafica para dibujar el autómata es un poco dura, pero con un poco de práctica se logrará dominarla. Primero dibujaremos los estados, 4 en este caso. Para ello se hace clic en el botón círculo de la ventana Barra (barra de herramientas) y luego hacemos clic en el fondo blanco tantas veces como estados deseemos. Para dibujar las transiciones, seleccionamos el botón flecha derecha de la ventana Barra y luego hacemos clic en el estado inicial y luego en el 37

46 estado final los cuales quedarán unidos mediante una flecha. Esta operación deberá repetirse tantas veces como transiciones tenga el autómata. Figura 2.45 Ventana donde se dibuja el Autómata Para hacer cualquier modificación respecto a la posición de los estados, se debe seleccionar primero la flecha tipo puntero de mouse y luego arrastrar el elemento a mover (círculo o flecha). Así mismo se puede también establecer los valores de las entradas y salidas; haciendo doble clic sobre cualquier flecha, aparecerá una ventana donde se ingresará la entrada y salida respectivamente Para visualizar el circuito abrimos el menú Ver circuito y podemos elegir la opción Con flip-flops D Figura 2.46 Circuito secuencial con Flip-Flop tipo D 38

47 O la opción Con flip-flops JK Figura 2.47 Circuito secuencial con Flip-Flop tipo JK Otra opción interesante es Simulación interactiva del menú Resultados donde se podrá simular las transiciones de los estados al tomar un valor determinado la entrada x cada vez que se haga clic en el botón CLK Figura 2.48 Ventana de simulación interactiva 39

48 2.10. Simulación de circuitos con Electronics WorkBench Electronics Workbench (EWB) o Banco de Trabajo de Electrónica, es un programa para diseñar y simular circuitos electrónicos y lógicos, desarrollado por INTERACTIVE IMAGE TECHNOLOGIES LTD. El programa tiene una interfaz gráfica con el usuario que lo hace muy intuitivo, cómodo de usar y rápido de trabajar, razón por la cual no vamos a describir, con detalle, como hacer los circuitos sino, mas bien, las herramientas a usar para simular nuestros circuitos. Activar simulación Figura 2.50 Ventana principalde WorkBench La figura 2.50 muestra la ventana principal del WorkBench v5.12, junto con algunas cajas de herramientas que se van a emplear en el diseño y simulación de circuitos digitales. Para iniciar el diseño de un circuito, se hace clic en el botón respectivo de la barra de herramientas, para que aparezca la caja de herramientas con la que deseamos trabajar (Logic Gates - Compuertas Lógicas, por ejemplo). A continuación seleccionamos el elemento de la caja de herramientas que queremos agregar y lo arrastramos hacia el área de trabajo (ventana de fondo blanco), esta operación la repetimos tantas veces como elementos deseemos. Todos los elementos tienen una o más salidas, las cuales al señalarlas con el puntero del mouse aparece un círculo negro sobre ellas, lo cual indica que podemos iniciar la operación de conexión con otros componentes. Al arrastrar y llegar a la salida (entrada) de otro componente, también aparecerá un círculo negro, con lo cual podemos finalizar la conexión. Al finalizar este proceso veremos una línea que conecta ambos componentes y así sucesivamente se puede repetir esta operación con el resto de elementos. La figura 2.51 muestra un circuito terminado. Como se aprecia es el diagrama de un sumador completo de un bit (figura 2.18) al cual se le han agregado una batería 40

49 de 5v, 3 switch (A, B y C), 2 probadores (rojo y azul) para poder hacer la simulación. Figura 2.51 Circuito de un sumador completo de un bit La batería se usa para simular los 0s y 1s digitales (0V. y 5V.) y los switch para conmutar las entradas a 0V. o 5V. (0 o 1). Para establecer las propiedades de los componentes basta con hacer doble clic sobre ellos y elegir la ficha respectiva donde se establecerán los valores deseados. Por ejemplo, hacer doble clic sobre batería, elegir la ficha Value y establecemos el valor de 5V, para los switch, también, elegimos la ficha Value y establecemos la tecla (A, B y C respectivamente) con la cual conmutará el switch. Para iniciar la simulación hacer clic en el botón 0/1 que se encuentra en la esquina superior derecha de la ventana. Bastará con presionar A, B o C para conmutar las entradas para las compuertas. Cada vez que la salida sea 1, los probadores se encenderán con el color respectivo. El ejemplo anterior es sólo para iniciarnos en el proceso de simulación pero lo mas apropiado es utilizar el Generador de Palabras (Word Generador) tal como se muestra en la figura siguiente: Figura 2.52 Circuito del sumador completo con el generador de palabras Un Generador de Palabras es un instrumento que permite generar palabras de 16 bits y hacer que sus salidas contengan estos valores. Al conectar las salidas del Generador de Palabras a las entradas de los diferentes componentes podemos estudiar el comportamiento del circuito, o mejor dicho las salidas de éste, frente a un conjunto de valores de entrada. El Generador de Palabras es el 5to botón (Word Generador) de la caja de herramientas Instruments (Instrumentos) y al hacer doble clic sobre él aparecerá la ventana de la figura 2.53, con la cual podemos configurarlo. 41

50 Figura 2.53 Ventana de configuración del Generador de Palabras En la parte izquierda hay una lista donde se puede ingresar las palabras en hexadecimal (4 dígitos) que deseamos generar. Esto también lo podemos hacer ubicándonos primero en la posición dentro de la lista donde deseamos insertar la palabra y luego en la parte inferior derecha (Binary) escribir el valor en binario (16 dígitos). En el área Address se puede ver: Edit.- Muestra el valor de la palabra a generar, ingresada o editada. Current.- Cuando se esta simulando, muestra el valor actual que se está generando o que esta presente en las salidas del generador. Initial.- Muestra o establece la dirección de la primera palabra a generar. Final.- Muestra o establece la dirección de la última palabra a generar. En Frecuency se establece la frecuencia con la que se generaran las palabras. Para la simulación es recomendable 1 Hz, pero se puede cambiar a khz o MHz Finalmente en la parte superior derecha se encuentran 4 botones que permiten establecer el ciclo de generación de las palabras Cycle.- Permite generar las palabras en forma cíclica, es decir que una vez que se genero la última, continúa con la primera y así sucesivamente. Burst.- Una vez generada la última palabra se detiene. Step.- En esta modalidad, cada vez que se desee generar una palabra se tiene que hacer clic en este botón. Breakpoint.- Sirve para crear puntos de parada, es decir que, cuando se vaya a generar cierta palabra establecida como Breakpoint el simulador se detiene. Para ello sólo basta seleccionar la palabra y hacer clic en este botón Pattern.- Muestra una ventana que permite establecer la forma como se llenará la lista de palabras: Clear buffer: Limpia la lista de palabras (la llena de ceros). Open: Carga la lista de palabras desde un archivo texto. Save: Graba en un archivo texto la lista de palabras. Up counter: Carga la lista de palabras desde el 0000 hasta el 03FF. Down counter: Carga la lista de palabras desde el 03FF hasta el Shift right: Carga la lista de palabras con potencias de 2 (decrecientes). Shift left: Carga la lista de palabras con potencias de 2 (crecientes). 42

51 Otro instrumento interesante es el Convertidor Lógico (Logic Converter). Es el 7mo botón de la caja de herramientas Instruments. Este instrumento permite generar la tabla de verdad, la expresión booleana original y simplificada a partir de un circuito. También permite crear una tabla de verdad y a partir de ella las expresiones booleanas correspondientes así como el circuito respectivo. La figura 2.54 muestra las conexiones que se deben realizar para evaluar la salida F del circuito de la figura 2.3. Figura 2.54 Conexión del Convertidor Lógico Igual que el caso anterior, hacer doble clic sobre el Convertidor Lógico para que aparezca la ventana de la figura 2.55 que es donde se visualizan los resultados Figura 2.54 Ventana del Convertidor Lógico Con el primer botón, se generará la tabla de verdad con los respectivos valores de la función de salida Con el segundo botón se obtiene la expresión booleana tomada directamente de la tabla, sin simplificar (maxtérminos). Con el tercer botón se obtiene la expresión booleana simplificada También se puede trabajar sin tener un circuito, generando una tabla de verdad o ingresando una expresión booleana. En el primer caso, se hace clic sobre las variables que se van a usar (A, B, C, H) y en forma automática se va generando la tabla de verdad. Luego hay que ubicarse sobre los valores que aparecen a la derecha (función de salida) y establecer los nuevos. Ahora ya podemos hacer uso del segundo, tercero, quinto y sexto botón. 43

52 En el segundo caso se ingresa una expresión booleana en el rectángulo blanco de la parte inferior de la ventana, con lo que luego se podrá hacer uso de los botones cuarto, quinto y sexto Con el cuarto botón, dada una expresión booleana, se obtiene la tabla de verdad a partir de dicha expresión. Con el quinto botón, a partir de una expresión booleana, se obtiene el circuito o diagrama. Con el sexto botón se obtiene el diagrama pero compuesto por sólo compuertas NAND Ahora veamos un circuito secuencial. Al diagrama de la figura 2.37 se le ha agregado una batería y witch, para simular los valores de la entrada X. Algo semejante se pudo haber usado para generar la señal de reloj (CLK) que se encarga de sincronizar los flip-flops, pero en su lugar es mejor usar un Generador de Señales (Function Generator) tal como se puede ver en la figura 2.55 Figura 2.55 Circuito con Generador de Señales El Generador de Señales, es un instrumento que se usa para generar 3 tipos de señales u ondas: Sinusoidal, triangular y cuadrada Haciendo doble clic en el Generador de Señales aparecerá una ventana que permitirá establecer la configuración de éste. Aquí se puede seleccionar el tipo de señal, frecuencia, amplitud, ciclo útil y desplazamiento. Ver figura 2.56 Figura 2.56 Generador de Señales 44

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