Nivel 1. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO Autor: [Liza Leonor Pinzón Cadena] Módulo - Ciencias Básicas

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1 Nivel 1 Módulo - Ciencias Básicas DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO Autor: [Liza Leonor Pinzón Cadena] Todos los derechos patrimoniales de esta obra han sido cedidos mediante acto administrativo registrado ante notario público a titulo de la Fundación Universitaria del Área Andina Bogotá, Colombia 2010.

2 Tabla de contenido CAPITULO OPERACIONES BASICAS INTRODUCCION: SISTEMAS DE NUMEROS NUMEROS NATURALES ADICIÓN NUMEROS ENTEROS SUSTRACIÓN MULTIPLICACIÓN NUMEROS RACIONALES OPERACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN MULTIPLIACIÓN DIVISIÓN NÚMERO IRRACIONALES NÚMEROS REALES REPRESENTACION GEOMETRICAMENTE NUEVAS OPERACIONES POTENCIACIÓN 9 Propiedades RADICACIÓN 10 Propiedades LOGARITMOS 10 Propiedades EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS FACTORIZACIÓN FACTORIZACION DE BINOMIOS 12 Factor Común 12 Binomios de la Forma FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 15 Cuadrado Perfecto 15 Cubo Perfecto ECUACIONES ECUACIONES ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE GRADO N ECUACIÓN CUADRATICA 18 Solución RAZONES TRONOMETRICAS TRIANGULO RECTANGULO LEY DE ANGULOS INTERNOS TEOREMA DE PITAGORAS RAZONES TRIGONOMETRICAS 19 {Página} -2

3 CAPITULO SISTEMAS NÚMERICOS SISTEMA DECIMAL SISTEMA BINARIO SISTEMA OCTAL SISTEMA HEXADECIMAL CONVERSIONES CONVERTIR UNA FRACCIÓN EN BASE N A BASE M OPERACIONES BÁSICAS SISTEMA DECIMAL SISTEMA BINARIO SISTEMA OCTAL SISTEMA HEXADECIMAL 31 Aplicaciones 33 CAPITULO LOGICA INTRODUCCIÓN PROPOSICIONES OPERADORES O CONECTIVOS LOGICOS TABLAS DE VERDAD DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS ARGUMENTOS VALIDOS Y NO VALIDOS TEORIA AXIOMATICO AXIOMAS LOGICOS FUNCIONES PROPOSICIONALES 40 CAPITULO ALGEBRA BOOLEANA INTRODUCCIÓN DEFINICION DEL ALGEBRA BOOLEANA POSTULADOS OPERACIONES SUMA PRODUCTO NEGACIÓN COMBINADA TEOREMAS MAS IMPORTANTES DEL ALGEBRA BOOLEANA PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE FUNCIONES BOOLEANAS 46 {Página} -3

4 Capitulo 1

5 1. OPERACIONES BASICAS: 1.1. INTRODUCCION: La actividad práctica de contar es anterior a la aparición de la escritura SISTEMA DE NUMEROS Con la aparición de la escritura, cada cultura creo diferentes símbolos, para representar palabras, cosas y numerales. La simbología fue mejorada, hasta obtener sistemas de numeración posicional cuyas representaciones mas adoptadas son el sistema decimal, sistema binario, sistema octal, y sistema hexadecimal. Debido al desarrollo de las actividades varias, como hacer intercambios comerciales, lo obligo a efectuar operaciones como la ADICIÓN, SUTRAC- CION, MULTIPLICACION, DIVISON, y en fin se obligo a simplificar los cálculos creando un sistema de propiedades para estas operaciones. El sistema de numeración usual para la representación de números naturales es el decimal, los avances tecnológico requiere otros sistemas de numeración como el binario, octal y el hexadecimal) NUMEROS NATURALES En principio, el hombre parte de la idea de los números naturales, que representaban partes enteras de las cosas con la que convivía o comerciaba. Una vez escogido el número 0 que simboliza la ausencia de una cantidad, se halla el sucesor de este y así sucesivamente, obteniendo: N= {0,1, 2, 3,4 } Una vez definido el conjunto, surge de manera natural como combinar sus elementos, así nace la primera operación ADICIÓN La operación de números naturales es una operación que hacemos entre números α, β que pertenecen a los números naturales, de modo tal que la adición de estos dos números sea por ende un numero natural α+β por ejemplo 7 es un numero natural y 3 es un numero natural, la adición de estos dos números produce un nuevo numero natural, 3+7 es 10. Como por ejemplo si debemos más de lo que tenemos como se expresaría? Esto respondía que los números naturales no eran lo suficiente para representar esta situación, por lo cual se vio la necesidad de ampliar el sistema de los números naturales incluyendo números negativos. {Página} -5

6 1.2.3 NUMEROS ENTEROS Este nuevo conjunto ampliado se denomina números enteros y se representan con la letra Z Z= {. (-3), (-2), (-1), 0, 1, 2, 3 } Con este nuevo conjunto podemos realizar la adición, como es el caso de (-3)+4=1 e introducir una nueva operación SUSTRACCIÓN Si los números α y β son números enteros, entonces α - β es un número entero, por ejemplo: 7-9=(-2) Pero si ambos números son negativos cómo se procede? FACIL! se debe tener en cuenta que si tenemos (- α) es igual a tener α es decir, (-3)-(-4)= (-3) MULTIPLICACIÓN Se define como la multiplicación n α= α+ α + α + α + α + α. + α n veces Por ejemplo: (-4)+ (-4) + (-4) + (-4) + (-4)= (-4) 5=-20 Para ejemplificar que signo queda después de efectuar esta operación se usa la siguiente tabla: x x NUMEROS RACIONALES Debido a que ya se están efectuando varias operaciones, el hombre se enfrento con un nuevo dilema, si compraban un bulto de sal entre 4 familias, cuánto le correspondía a cada uno? Para resolver esta nueva operación introdujeron un nuevo conjunto que abarca ahora a los números enteros. {Página} -6

7 Este nuevo sistema surge por la necesidad medir cantidades. El proceso de contar se hace insuficiente y se vuelve necesario subdividir la unidad en cierto número de partes iguales. Es decir sea α la unidad y sea β el numero de partes a dividirla, entonces esa cantidad se expresara como Hasta ahora se construyeron los números Naturales, posterior los números enteros y ahora los números racionales que son un conjunto más amplio de números: Este nuevo conjunto se denomina números racionales y se representan con la letra Q La manera de expresar las fracciones serian: o de forma decimal. Esta última forma adopta dos posibilidades: 1. Cifras decimales finitas 2. Cifras decimales infinitas nita Operaciones de dos Numeros Racionales Una vez definido el conjunto, surge la forma de cómo definir las operaciones en este sistema Adición o Sustración más o menos {Página} -7

8 Multiplicación: Division: NUMEROS IRRACIONALES Como se dijo anteriormente, existen dos formas de expresar las fracciones, en cifras finitas y en cifras decimales infinitas. Para el caso de cifras decimales infinitas hay dos formas además de verlas, una periódica y otra no periódica. El caso de un cifra decimal infinita, periódica es: El caso de un cifra decimal infinita no periódica es: π=3, Estos últimos números, los decimales infinitos no periódicos se conocen como NO RACIONALES, o números IRRACIONALES NUMEROS REALES El conjunto de números que puede representarse por expresiones decimales finitas o infinitas periódicas y con cifras decimales infinitas no periódicas, se llaman sistemas de números reales. {Página} -8

9 Es decir la unión entre números racionales y números no racionales (irracionales) se denominan, números reales Representación Geometricamente La representación de los números reales se hace usualmente por medio de los puntos de una recta, se elige un punto que representara al cero, luego a la derecha de él se ubicara el numero 1 y a la izquierda del cero el -1. IMAGEN: representar la recta El sistema de los números reales se nota (R, +,-,..<) y se simplificada con la letra R. De ahora en adelante todas las operaciones que vamos a realizar, se encuentran dentro de este sistema. Existe un conjunto mucho más grande, que contiene a los numero reales y se denomina COMPLEJOS, pero en este modulo no trabajaremos con ellos Nuevas Operaciones Potenciación: cualquier nú- Sea α un número real cualquiera y mero natural; definimos: Ejemplo ; 2 es la base, 3 es el exponente y 8 es la potencia y se lee como: 2 al cubo igual a 8 Propiedades 1. α 0 =1 3 0 =1 2. α n α m =α (n+m) 3. α n b n = (α b) n = (5 2) 3 = (10) 3 {Página} -9

10 4. 5. (αα m ) n =α (m n) (5 2 ) 3 =5 (2 3) = Si n es un numero par entonces (-α) n =α n (-7) 4 = Radicación cual- Sea α un numero natural mayor que cero y quier numero natural; definimos si α es positivo se denomina la raíz n- esima de a. Propiedades Logaritmos Para cualquier a y b números reales positivos distintos de 1, existe un único número real x tal que: (α x )=b, x se denomina logaritmo con base a de b y se nota x=log a b {Página} -10

11 2 x =8 significa que x=log 2 8=3 Es decir que el logaritmo busca el exponente. La forma de leer la expresión es: Logaritmo en base 2 de 8, igual a 3 Propiedades 1. log a M=log a N= si y solo si M=N log log a M log M a = 1 3. log 5 3 log 3 5= 1 4. log a M s = s log a M 5. log = 2 log 3 5 Para tener en cuenta Cuando aparezca la expresión: log 7 quiere decir log 10 7 y ln 3 quiere decir log e EXPRESIONES ALGEBRAICAS En los sistemas numéricos, se ha estudiado los diferentes conjuntos numéricos con sus operaciones. Si se combina adecuadamente los números con los signos de las operaciones y paréntesis se obtiene expresiones ordenadas como: Cuando estas expresiones numéricas se pueden escribir usando letras como variables se denominan expresiones algebraicas ejemplo: Estas expresiones pueden ser Enteras, Racionales, o Irracionales. {Página} -11

12 1.3.1 POLINOMIOS Las expresiones algebraicas son combinaciones de monomios. Se denomina como combinaciones las operaciones como la adición. - Monomios - Polinomio Se denomina coeficiente el numero que multiplica a la variable, por ejemplo 3 es coeficiente, variable es la x, y 5 es el exponente de la variable. 3x 5 Se debe tener en cuenta que si se desea combinar los polinomios o monomios, solo pueden hacerse cuando la variable con su exponente es la misma, es decir: 3x 5 + 4x 5 y 2 + (-4) x 5 = (-1) x 5 + 4x 5 y FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión es transformarla en otras equivalente en forma de producto. 4x - 2x 5 = 2x (2 - x 4 ) FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS: Factor común: El factor común es la aplicación de una de las propiedades de los números reales llamada, la propiedad distributiva. Ejemplo (ax+ay)=a(x+y) (14x 4 + 7x 3 y) = 7x 3 (2x + y) Binomios de la forma: a n ± b n - Diferencia de cuadrados: a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) {Página} -12

13 - Diferencia de cubos: a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab - b 2 ) Si n es mayor a 3 entonces la forma general es: a n - b m =(a-b)(a n-1 +a n-2 b+ +ab n-2 +b n-1 ) - Suma de cuadrados solo es exacta cuando n es impar y se deduce que: a n +b m =(a+b)(a n-1 -a n-2 b+ -ab n-2 +b n-1 ) 27x 3 +64y 9 = (3x) 3 +(4y 3 ) 3 = (3x+4y 3 ) ((3x) 2 -(3x)(4y 3 3 )+(4y ) 2 ) 27x 3 +64y 9 =(3x) 3 +(4y 3 ) 3 = (3x+4y 3 )(9x 2-12xy 3 +16y 6 )\ FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS: Si a es 1,x 2-3x+10 = Primero el signo del primer factor es el mismo signo del monomio bx (1x - _) y el signo del segundo factor es la multipicación de los signos de bx y c (1x - _) x 2-7x+10 =(1x-2)(1x-5), es decir 1 2 5=10 y ademas-2-5= -7 Ejemplo Si a es 1,x 2-3x + 10 = {Página} -13

14 Primero el signo del primer factor es el mismo signo del monomio bx (1x - ) y el signo del segundo factor es la multipicación de los signos de bx y c (1x- ) x 2-7x+10 =(1x-2)(1x-5), es decir 1 2 5=10 y ademas-2-5=-7 8 x 2-14x - 15 = Primero el signo del primer factor es el mismo signo del monomio bx. (1x- ) y el signo del segundo factor es la multipicación de los signos de bx y c (1x+ ) 14=m+n donde m n=a b y no necesriamente m=a y n=b -14=m+n=donde m n=(8-15)=(-20 6) y -20+6= x 2-14x -15 = Primero el signo del primer factor es el mismo signo del monomio bx (1x - ) y el signo del segundo factor es la multipicación de los signos de bx y c (1x + ) {Página} -14

15 14=m+n donde m n=a b y no necesriamente m=a y n=b -14=m+n=deonde m n=(8-15)=(-20 6) y-20+6= FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS: - Cuadrado perfecto de Binomios: (a±b)^2=a^2±2ab+b^3 - Cubo perfecto de Binomios: (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (a-b) 3 =a 3-3a 2 b+3ab 2 -b 3 Para Saber Más: ECUACIONES ECUACIONES: Cuando definimos dos polinomios P(x) y Q(x) son iguales, si tiene el mismo grado y sus coeficientes son iguales. 8 x 2-14x-15 = (2x - 5)(4x + 3) Si dados dos polinomios P(x) y Q(x) tal que ahora P(x) Q(x), Es posible que P(x) sea igual a Q(x) para algunos valores de x. {Página} -15

16 Q(x)=8x+3 y P(x)=2x-5, Q(x)=P(x) es decir 8x+3 = 2x-5 8x-2x=-5-3 6x=-8 esto quiere decir que P(x)=Q(x)cuando x ECUACIONES DE PRIMER GRADO: Si P(x) y Q(x) son polinomios de primer grado (el máximo número del exponente de la variable es 1), se denomina una ecuación de primer grado cuando encontramos una única raíz de solución, que garantiza que el polinomio P(x) y Q(x) tiene una única solución o raíz ECUACIONES DE GRADO n Sea P(x) un polinomio de grado n, con coeficientes enteros, si se determinan las raíces o soluciones de la ecuación, equivale a encontrar las soluciones de polinomio P(x), de ahí que la convenencia de igualar a cero una ecuación de grado n, para encontrar sus soluciones. {Página} -16

17 De modo tal que si tenemos la ecuación: 6x 2-15=x luego n=2 es decir que existe 2 raices o mejor dicho 2 soluciones Una manera de encontrar los valores de x es factorizando la expresión: Para solucionar esta ecuación debemos encontrar: Los valores de n y m tal que (6 (-15) )=(n (-m) )=(-m+n)=-1 Los valores de n y m son 9 y (-10) Las dos raíces de la ecuación 6x 2 - x - 15 son: En ocasiones no es tan fácil encontrar los valores n y m, para ello se usa la Ecuación Cuadrática. Una manera de encontrar ntra los valores de x es factorizan- ando la expresión: {Página} -17

18 Para solucionar esta ecuación debemos encontrar: Los valores de n y m tal que (6 (-15) )=(n (-m) )=(-m+n)=-1 Los valores de n y m son 9 y (-10) Las dos raíces de la ecuación 6x 2 - x - 15 son: ECUACIÓN CUADRATICA: ax 2 +bx+c = 0 Solución de la Ecuación Cuadratica es decir que las dos soluciones son: Encontrar las soluciones para la ecuación 6x 2 - x - 15 =0 Cuando la solución dentro de la raíz sea de la forma (-a), se dice que la raíz es compleja. {Página} -18

19 1.5. RAZONES TRIGONOMETRICAS TRIANGULO RECTANGULO El triangulo rectángulo, es un polígono interesante. Lleva su nombre debido a que posee un ángulo rectángulo es decir un ángulo de 90 grados. El lado opuesto al ángulo de 90 grados, es decir c, recibe el nombre de hipotenusa, y los otros lados reciben el nombre de cateto 1 y cateto LEY DE ANGULOS INTERNOS Todos los ángulos internos de cualquier triangulo, suman 180 grados. Para el caso de un ángulo rectángulo los ángulos restantes distintos del ángulo rectángulo, suman 90 grados TEOREMA DE PITAGORAS El teorema de Pitágoras, se resume en una grandiosa formula capaz de obtener el valor de alguno de los lados del triángulo por medio de una formula. En realidad esta fórmula solo puede usarse para triángulos rectángulos. La formula afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. H 2 = C C 2 2 La letra H corresponde a la Hipotenusa, la letra C 1 corresponde al cateto 1 y la letra C 2 corresponde al cateto RAZONES TRIGONOMETRICAS {Página} -19

20 Tenemos un triangulo rectángulo, con los valores a=1, b=1 A=45, hallar el valor de c, el valor de B. Posteriormente hallar el sen A, cos A, Tan A. {Página} -20

21 actividad+tarea Actividad para que el estudiante entregue: 1. Hallar el valor de x de la siguiente ecuación: 2. Hallar la hipotenusa del triangulo rectángulo, y posteriormente el valor de seno A, CosA, TanA. Desarrollo 1. {Página} -21

22 Debido a que es una ecuación cuadrática, tendremos 2 resultados o raíces. 2. Para desarrollar este ejercicio, primero debemos aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de x. {Página} -22

23 Para ello: El valor de x es 5, puesto que no podemos decir que un lado mide 5 unidades. Como ya tenemos los valores de los lados del triangulo, posteriormente encontraremos: las razones trigonométricas. Luego {Página} -23

24 Capitulo 2

25 2. SISTEMAS NUMERICOS Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de operación que permiten construir todos los números válidos del sistema. Los símbolos generalmente más usados son los números arábigos. Teorema Fundamental de Numeración Todo número n puede descomponerse de manera única en la forma poiinómica de la siguiente manera: n=a k B k +.+a 1 B 1 +a 0 B 0 Donde B es la base del sistema numérico y k es el número de los dígitos SISTEMA DECIMAL El sistema decimal representado como S_10, es un sistema de numeración en el que las cantidades o símbolos utilizando como base el número diez. Por lo tanto S 10 ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Un número en el sistema decimal, es la combinación de los símbolos del sistema y depende de su posición dentro del número. (527) 10 =5 (10 2 )+2 (10 1 )+7 (10 0 ) SISTEMA BINARIO El sistema binario representado como S_2es un sistema de numeración en el que los símbolos o números utilizando como base el numero 2. Por lo tanto S 2 ={0,1} Un numero en el sistema binario, es la combinación de los símbolos del sistema depende de su posición dentro del número. (110101) =1 ( )+1 (2 4 )+0 (2 3 )+1 (2 2 )+0 (2 1 )+1 (2 0 ) El sistema binario es muy usado en la computación, pues representa mayor número de información al tener menos símbolos: Bit: 0 ó 1 Cuarteto: Número formado por 4 bits Byte: 8 bits Kilobyte: 1024 bytes Megabyte: 1024 kilobytes Gigabyte: 1024 megabytes Un número en el sistema binario es por lo tanto una secuencia de bits {Página} -25

26 2.3. SISTEMA OCTAL El sistema binario representado como S 8 es un sistema de numeración en el que los simbolos o números utilizando como base el número 8. Por lo tanto S 8 ={0,1,3,4,5,6,7} Un numero en el sistema Octal, es la combinación de los símbolos del sistema depende de su posición dentro del número. (527) 8 = 5 (8 2 )+2 (8 1 )+7 (8 0 ) El sistema octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria SISTEMA HEXADECIMAL El sistema binario representado como S 16 es un sistema de numeración en el que los simbolos o números utilizando como base el número 16. Por lo tanto S 16 ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, donde A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15 Un numero en el Hexadecimal, es la combinación de los símbolos del sistema depende de su posición dentro del numero (3E0A)_ 16 =3 (16 3 ) + E (16 2 ) + 0 (16 1 ) + A (16 0 ) El sistema hexadecimal, a veces abreviado como hex, su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria CONVERSIONES Para pasar de una base cualquiera se debe pasar el número dado en una base, a la base decimal. Luego se pasa este número en base decimal a la base requerida por divisiones sucesivas (el divisor es la base requerida y los residuos serán las bases de los números). - Obtener una expresión en base 8 de (1001) 2 {Página} -26

27 La solución es expresar el número binario a base 10 (1001)_2=1 (2 3 )+0 (2 2 )+0 (2 1 )+1 (2 0 ) = = =9 Ahora: (9) 10 = (9) 16 - Obtener una expresión esió en base 2 de (53)_ 10 La solución es: Luego (53 10 =(110101) 2 TABLA DE LOS PRIMEROS 16 NÚMEROS Decimal Binario Octal Hexadecimal A B C D E F Convertir una Fracción en Base N A Base M El algoritmo usado para convertir un número N en base n a base m es: 1. Se convierte el número en base n a uno en base 10 utilizando la expansión polinomial. {Página} -27

28 2. Luego se aplica el método de multiplicación por la base. En cada línea la fracción se multiplica por m para obtener la línea siguiente: - Convertir (0.65) 8 a base 2 Primero se debe convertir (0.65) 8 a base =0, ,078125= Ahora se convierte ( ) 10 a base 2 0,8281 x 2 = 1,656 0,6563 x 2 = 1,313 0,3125 x 2 = 0,625 0,625 x 2 = 1,25 0,25 x 2 = 0,5 0,5 x 2 = 1 (0, ) 10 = (0,110101) OPERACIONES BÁSICAS SISTEMA DECIMAL Tabla de la suma en base 10: {Página} -28

29 Tabla de la multiplicación en base 10: X Ejemplo adición: Ejemplo producto: x Tabla de la suma en base 2: siempre nos llevamos 1 a la siguiente operación (acarreo) 0-1 = 1 (se transforma en 10-1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2-1 = 1) {Página} -29

30 SISTEMA BINARIO Tabla de la multiplicación en base 2: x Ejemplo adición: Ejemplo producto: x SISTEMA OCTAL Tabla de la suma en base 8: {Página} -30

31 Tabla de la multiplicación en base 8: x SISTEMA HEXADECIMAL Tabla de la suma en base 16: A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A A B C D E F B B C D E F A C C D E F A 1B D D E F A 1B 1C E E F A 1B 1C 1D F F A 1B 1C 1D 1E Tabla de la multiplicación en base 16: A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F {Página} -31

32 9 9 A B C D E F A A B C D E F B B C D E F A C C D E F A 1B D D E F A 1B 1C E E F A 1B 1C 1D F F A 1B 1C 1D 1E Ejemplo adición: A 8 3 F C C C D 0 B Ejemplo sustracción: A4FC9-DE8 Para poder realizar esta resta, el método usado se llama Complemento de la base 16. Para ello lo primero es igualar en cifras el valor del minuendo al sustraendo es decir: 00DE8 Después se resta el número más grande de la base 16; (F), en igual número de cifras con el nuevo valor encontrado, es decir: FFFFF-00DE8 F F F F F D E 8 F F Posteriormente para encontrar el valor COMPLEMENTO DE LA BASE 16, se deberá sumar 1 a la diferencia encontrado. F F F F Finalmente sumamos este valor al sustraendo: A 4 F C 9 + F F A 4 1 E 1 {Página} -32

33 2.7. APLICACIONES En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementaba el Álgebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés y conmutadores por primera vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés, la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales. 1 [Imagen 01]- El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en Una representación anterior, con 0 9 y u z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G [Imagen 02] {Página} -33

34 La utilización del sistema hexadecimal en los ordenadores, se debe a que un dígito hexadecimal representa a cuatro dígitos binarios (4 bits = 1 nibble), por tanto dos dígitos hexadecimales representaran a ocho dígitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad básica de almacenamiento de información. [Imagen 03]- {Página} -34

35 actividad+tarea Actividad para que el estudiante entregue: 1) Convertir el número decimal 3107 al sistema numérico con base 8. 2) Sí es un número del sistema con base 8, encuentre su equivalente en el sistema de base 16, base 2, base 10. 3) Cambie el número binario al sistema hexadecimal Desarrollo 1) Convertir el número decimal 3107 al sistema numérico con base 8. El número 3107 bajo base diez es igual a 6043 en base ocho. 2) Sí es un número del sistema con base 8, encuentre su equivalente en el sistema de base 16, base 2, base 10. El número bajo base ocho es igual a 5D1A en base dieciséis El número bajo base ocho es igual a en base dos. El número bajo base ocho es igual a en base diez. 3) Cambie el número binario al sistema hexadecimal Primero convirtamos el número en base 2 a base 10, el número bajo base dos es igual a 181 en base diez. Luego convertimos el número en base decimal, a base hexadecimal, el número 181 bajo base diez es igual a B5 en base dieciséis. {Página} -35

36 Capitulo 3

37 3. LOGICA 3.1. INTRODUCCIÓN Según agrupemos las palabras, daremos sentido y forma a las oraciones, a eso se le llama (sintaxis). Aun así en nuestro idioma, una misma agrupación de palabras, puede tener interpretaciones distintas. Para estudiar los elementos de la lógica proposicional, se estudiaran aquellas oraciones o enunciados que en teoría podamos afirmar como verdadero o falso PROPOSICIONES Los enunciados que tienen un contexto establecido, se le denominan proposiciones. Si tenemos un conjunto de proposiciones como: P={p,q,r,s,t.} Debido a que en teoría las proposiciones pueden ser afirmativas o negativas, se adopta un conjunto de dos valores de verdad, 1=verdadero; 0=falso V={0,1}, tal que cada proposición de nuestro conjunto P, se le asignara un valor de verdad del conjunto V. La manera de representarlo es: V(p)=1 si la proposicion p es verdadera V(p)=0 si la proposicion p es falsa 3.3. OPERADORES O CONECTIVOS LOGICOS Las expresiones y, o y NO permite combinar dos proposiciones, para obtener otra proposición. - La expresión Y, se denomina conjunción y se nota como ^ Trabajo y Estudio, p^q - La expresión O, se denomina disyunción y se nota V Trabajo o Estudio, pvq - La expresión NO, se denomina negación y se nota ~ No trabajo ~p - La expresión ENTONCES, se denomina condicional y se nota Trabajo entonces estudio p q - La expresión SI Y SOLO SI, se denomina bicondicional y se nota como Trabajo si y solo si estudio p q {Página} -37

38 3.4. TABLAS DE VERDAD DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS - Negación (~) P ~p Conjunción (^) - Disyunción ( V) - Condicional (p q ) P q p^q P q pvq P q p q Bicondicional ( p q ) P q p q {Página} -38

39 Ejemplo - Si el v(p)=1, v(q)=0, el valor de verdad resultante es : p^(q^~p) 1^(0 0) 1^1 1 - Hallar los valores posibles de verdad para la proposición: [(pvq)v(~q r)] p q r ~q pvq ~q r (pvq)v(~q r) Argumentos validos y no validos: Al verificar los valores de verdad de una proposición se tienen tres posibles valores, TAUTOLOGIA, CONTRA- DICCION e INDETERMINADA - Cuando las proposiciones resultantes de la tabla de verdad siempre da 1, se denomina TAUTOLOGIA o siempre VERDADERAS. P ~p pv~p Cuando las proposiciones resultantes de la tabla de verdad siempre da 0, se denomina CONTRADICCION o SIEMPRE ES FALSA. P ~p p^~p {Página} -39

40 - Cuando las proposiciones resultantes de la tabla de verdad dan 0 y 1, se denomina INDETERMINADA P q pvq TEORIA AXIOMATICO La teoría axiomática se define como las leyes encadenadas por DE- MOSTRACIONES LOGICAS. Un sistema LOGICO es un sistema formal, es decir es un sistema de símbolos con reglas, tal que se puede expresar y manipular por medio de formulas. Las leyes fundamentales, que no merecen demostración se denominan AXIOMAS. Si por medio de axiomas se deduce una nueva proposición, esta se denomina Teorema. Luego los Axiomas y los Teoremas son Tautologías en la Teoría AXIOMAS LOGICOS Si p se deduce de q y q se deduce de p; p y q son logicamente equivalentes y se nota como p q 1. p ~(~p) 2. (p Vq) (q V p) 3. ~(pvq) ~p^~q 4. ~(p^q) ~pv~q 5. (p q) (~pvq) Los dos últimos axiomas son conocidos como las LEYES DE MORGAN 3.6. FUNCIONES PROPOSICIONALES Una función proposicional es dado P(x) significa que al elemento x se le asigna la propiedad P. Si se desea conocer cuales elementos de un conjunto A hace que P(x) sea verdadero, depende de los cuantificadores, que transforman funciones proposicionales en usando expresiones como ALGUN(os), TO- DOS, y NINGUN {Página} -40