GRAVITACIÓN I: LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Transcripción

1 8 0 GRVICIÓ I: LEY DE L GRVICIÓ UIVERSL j Sigue pcticndo Indic sobe l tyectoi de un plnet con óbit elíptic lededo del Sol, que ocup uno de los focos, los puntos de áxi y íni elocidd Rzon l espuest b t b F Si ls egiones sobeds de l figu son bids po el dio ecto del plnet en tiepos igules, de cuedo con l segund ley de Keple sus áes tbién seán igules Ls distncis y bb son ecoids po el plnet en tiepos igules Coo l distnci bb es yo que l, l elocidd del plnet seá eno en el pie cso Po tnto, el punto de áxi elocidd es el ás cecno l Sol (felio) y el de íni elocidd, el ás lejdo (peihelio) lededo del Sol gin dos plnets cuyos peiodos de eolución son,66 0 dís y 4, 0 dís espectiente Si el dio de l óbit del pieo es,49 0, l óbit del segundo es ) l is; b) eno; c) yo Si denoinos los dos plnets y, l tece ley de Keple plicd bos es Despejndo el dio del segun- do plnet, obteneos t Y sustituyendo los dtos, (4, 0 dís) (, 49 0 ) 7,7 0 (,66 0 dís) Este esultdo es yo que el dio del pie plnet Po tnto, l espuest coect es l c) L ie gi lededo del Sol en un óbit cicul, de dio,5 0, y d un uelt cd ño Clcul l elocidd de tslción de l ie Si l ie descibe un óbit cicul, su elocidd seá π El peiodo, en segundos, es ño 65 dís/ño 4 h/dí 60 in/h 60 s/in, s Po tnto, l elocidd de tslción es π,5 0 s 6, ,98 /s 4 El 9 de octube de 006 se lnzó un nueo stélite de l fili eteost, el etop- Este stélite tiene un s de 4085 kg y descibe un óbit pol (óbit que ps po los polos y es pependicul l plno del ecudo) un ltu de 800 k sobe l supeficie de l ie Clcule qué elocidd obit Dtos: 5, kg; R 6400 k; G 6,67 0 kg El dio de l óbit del stélite es R + h L elocidd es 6 584,45 /s 4 6,67 0 kg 5,98 0 kg L Lun se encuent un distnci edi de k de l ie y su peiodo de tslción lededo de nuesto plnet es de 7 dís y 6 hos Deteine zondente l s de l ie G 6,67 0 kg El peiodo de l Lun expesdo en segundos es 7 dís 6 hos 7 dís/h 4 h/dí 60 in/h 60 s/in hos 60 in/h 60 s/in,5 0 6 s 4 π ( ) 6 G 6,67 0 kg (,5 0 s) 4 6,07 0 kg 6 Plutón ecoe un óbit elíptic en tono l Sol situándose un distnci p 4,4 0 en el punto ás póxio (peihelio) y 7,4 0 en el punto ás lejdo (felio) En cuál de esos dos puntos seá yo l elocidd de Plutón? Rzon tu espuest Plutón,7 0 kg Coo Plutón ecoe un óbit elíptic po l fuez de tcción del Sol y dich fuez es centl, el oento ngul seá constnte en todos los puntos de l óbit En el peihelio y en el felio, se cupliá que el ódulo del oento ngul es el iso, L p L, es deci, Plutón p Plutón Si despejos l elocidd en el peihelio y sustituios los loes, 7,4 0,68 4, 4 0 p p Po tnto, l elocidd en el peihelio es,68 eces yo que en el felio

2 GRVICIÓ I: LEY DE L GRVICIÓ UIVERSL 0 9 j ctiiddes popuests En l tbl pecen los dtos de los cuto stélites de Júpite descubietos po Glileo ) Copueb con esos dtos si cuplen l tece ley de Keple b) En cso fitio, coincide el lo de l constnte de l ley de Keple con el obtenido p el Siste Sol? Stélite Peiodo obitl (dís) Rdio edio de l óbit (k) Ío,77 4, 0 5 Euop,55 6,7 0 5 Gníedes 7,5, Clisto 6,69, ) Si plicos l tece Ley de Keple y clculos, p cd stélite, /, obteneos: Stélite Peiodo obitl (dís) Rdio edio de l óbit (k) / (dís /k ) Ío,77 4, 0 5 4,7 0 7 Euop,55 6, ,7 0 7 Gníedes 7,5, ,7 0 7 Clisto 6,69, ,9 0 7 Los esultdos nteioes indicn que se cuple l tece ley de Keple p los cuto stélites de Júpite b) El lo de l constnte de l tece ley de Keple es, en este cso, 4,7 0 7 dís /k P los plnets del Siste Sol se obtuo (e ejeplo 8 del libo del luno), s / dí /k Po tnto, los loes no coinciden Un stélite eliz un óbit cicul de dio 756 k en tono l ie en un tiepo de 4 hos Qué dio tendí l óbit de un stélite cuyo peiodo se dí? Cóo se lln este tipo de stélites? El peiodo del segundo stélite expesdo en hos es dí 4 hos Si sustituios los dtos en l expesión de l tece ley de Keple p los dos stélites, obteneos (4 h) (4 h) Po tnto, ( 756 k) 49,4 k Los stélites cuyo peiodo es dí se lln geoestcionios Supongos que l s de l Lun disinuye, po ejeplo, l itd de su lo el Justifique si eíos «lun llen» ás fecuenteente, enos fecuenteente, o coo ho Según l tece ley de Keple, el peiodo de l Lun y el dio de su óbit están elciondos po l expesión, donde es l s de l ie El peiodo de l Lun no depende de su s Po tnto, si l s de l Lun disinuye, el peiodo no cbií y l «lun llen» se eí con l is fecuenci 4 En el exteio del siste sol se detect un nueo plnet cuy distnci l Sol es el doble del dio de l óbit de eptuno Suponiendo que ecoe un óbit cicul, cuánto tiepo tdá en d l uelt l Sol? Dtos: El peiodo de eptuno en su óbit lededo del Sol es (eptuno) 5, 0 9 s Despejndo el peiodo del plnet en l expesión de l tece ley de Keple (5, 0 ) ( ) y sustituyendo los dtos, se tiene: 9 P P (5, 0 ) ( ) 9 P P El lo del seá P, s 5 En un pie poxición l elción de distncis l Sol de los 4 pieos plnets del siste sol es uy siple Suponiendo que ls óbits son cicules y llndo R l dio de l óbit de ecuio, los dios obitles de los deás plnets son: Venus, R; l ie, R y te, 4R L tece ley de Keple p el oiiento plnetio dice que el peiodo de eolución de un plnet es popocionl l cubo de su distnci l Sol: C Conociendo el peiodo de l ie, detein: ) los peiodos de los deás plnets (expesdos en dís teestes) b) l constnte de popocionlidd C y, po últio, c) cóo cbiín esos peiodos si l s del Sol fue cuto eces yo? ) L tece ley de Keple coespondiente ecuio, Venus, l ie y te se puede escibi coo e V e V P clcul el peiodo de ecuio con efeenci l peiodo e de l ie, utilizos l tece Ley de Keple Si e (65 dís) sustituios los dtos, teneos R ( R) Y de hí, el peiodo de ecuio, e 70,4 dís Si sustituios los dtos de Venus y l ie en l tece ley de Keple, se tiene V (65 dís) Po tnto, ( R) ( R) V 98,68 dís e

3 0 0 GRVICIÓ I: LEY DE L GRVICIÓ UIVERSL Opendo de fo seejnte p te obteneos 56,95 dís b) P ecuio, po ejeplo, podeos escibi C Sustituyendo el peiodo de ecuio, esult (70,4 dís) CR e e (70,4 dís) 4 9,66 Po tnto, C dís R R c) L constnte de popocionlidd C de l tece ley de Keple es Si l s del Sol fue cuto eces yo, C Sol seí cuto eces eno Coo se cuple que C, el cuddo de los peiodos de los plnets seí tbién cuto eces eno Po tnto, los peiodos seán dos eces enoes 6 L elción ente los dios edios de ls óbits de te y l ie en tono l Sol es R /R,5 Clcul el peiodo de l óbit de te en tono l Sol (dución del «ño cino») L tece ley de Keple plicd te y l ie se puede escibi coo R R De l elción R /R,5, se obtiene que R,5 R Po ot pte, el peiodo de l ie es ño Sustituyendo en l tece ley de Keple, obteneos R R (, 5 ) ( ño) Po tnto,,89 ños 7 L figu uest tes óbits de plnets que gin lededo de un estell de fo que sus óbits tienen el iso seieje yo peo difeente excenticidd Qué elción existe ente sus peiodos obitles? L tece ley de Keple elcion el peiodo de un plnet y el seieje yo de su óbit po edio de l expesión C Si ls óbits de los tes plnets tienen el iso lo p el seieje yo, sus peiodos tbién seán igules 8 Clcul l fuez de tcción gittoi que ejece: ) un coche de 500 kg sobe un peson de 80 kg situd,5 de distnci b) el Sol sobe l ie s del Sol,99 0 kg; s de l ie 5, kg; distnci edi ente el Sol y l ie,50 0 G 6,67 0 /kg ) Si sustituios los loes ddos en l expesión de l ley de l gitción, obteneos 6,67 0 kg 500 kg 80 kg F (,5 ) 6 5,9 0 b) De fo nálog, el lo de l fuez que hce el Sol sobe l ie seá: F 0 4 6,67 0 kg,99 0 kg 5,98 0 kg (,50 0 ),5 0 Los esultdos nteioes indicn que ls fuezs gittois solo tienen un lo pecible ente objetos de un s uy gnde 9 Se coloc un cuepo de 00 kg en un punto ente el Sol y l ie Clcul qué distnci del Sol debe situse p que l fuez que ejece el Sol sobe él se 0 5 eces yo que l que hce l ie G 6,67 0 kg ; 5, kg; S, kg; distnci Sol-ie,50 0 L situción plnted se puede esquetiz coo se indic en l figu Sol x F F L fuez que hce el Sol sobe el cuepo es F Sol,50 0 x ie L fuez ejecid po l ie sobe el cuepo es, de fo nálog, F ie Peo F 0 5 F, es deci, ; 0 Sol ie Sol ie 0 4,99 0 kg 5,98 0 kg x (,50 0 x) Resoliendo l ecución nteio obteneos que x 9,7 0 0 y x, 0 El pie esultdo coesponde un punto situdo ente l ie y el Sol Y el segundo uno que se encuent l deech de l ie

4 GRVICIÓ I: LEY DE L GRVICIÓ UIVERSL 0 0 Dos ss igules, 0 kg, ocupn posiciones fijs sepds un distnci de, según indic l figu Un tece s, 0, kg, se suelt desde el eposo en un punto equidistnte de ls dos ss nteioes y un distnci de de l líne que ls une ( ) Si no ctún ás que ls cciones gittois ente ests ss, deteine: ) L fuez ejecid (ódulo, diección y sentido) sobe l s en l posición b) Ls celeciones de l s en ls posiciones y Dto: Constnte de Gitción Uniesl G 6,67 0 kg ) P clcul l fuez que ejece l s de l deech sobe í situeos un siste de coodends en l posición ocupd po El ecto de posición es, de cuedo con l figu, y u x i + j El ecto unitio iene ddo po i + j u 0,7i + 0,7 j L fuez que ( ) + ( ) ejece l s sobe seá F u 6,67 0 kg 0 kg 0, kg + ( 0,7 i 0,7 j ) (,4 ) 9,5 0 i 9,5 0 j Dd l distibución siétic de ls ss,, l fuez que ejeceá l situd l izquied del punto se- á F 9,5 0 i 9,5 0 j L fuez totl sobe es F F + F (9,5 0 i 9,5 0 j ) + + ( 9,5 0 i 9,5 0 j ) 0,9 0 j b) L celeción sobe cundo se encuent en el punto es 0 F,9 0 j 0 9,55 0 j /s 0, kg P clcul l celeción de cundo está situd en el punto necesitos sbe peiente l fuez que ctú sobe ell L s situd l deech del punto ejece un fuez hoizontl y hci l deech L s, que se encuent l izquied del punto, hce un fuez igul que l nteio, peo diigid hci l izquied L esultnte de ls dos seá ceo Po tnto, l celeción sobe cundo está en el punto seá ceo Clcul l elocidd l que obit un stélite tificil situdo en un óbit que dist 000 k de l supeficie teeste Dtos: R 6 70 k, 5, kg, G 6,7 0 /kg El dio de l óbit del stélite tificil es R + h Sustituyendo los dtos en l expesión de l elocidd obitl, obteneos R + h ,7 /s 4 6,7 0 /kg 5,98 0 kg Dos stélites, y, gin lededo de un plnet siguiendo óbits cicules de dios 0 8 y espectiente Clcul l elción ente sus elociddes (tngenciles) espectis L elocidd del stélite seá 8 y l del 8 /s 0 /s 8 0 L elción ente ls elociddes seá Dos stélites bsolutente idénticos ecoen óbits lededo de l ie Cuál de los dos se oeá yo elocidd, el de yo o el de eno dio obitl Rzon l espuest teáticente L elocidd obitl de un stélite iene dd po donde es el dio de l óbit Po tnto, seá yo l elocidd del stélite cuyo dio obitl se eno 4 Un de ls luns de Júpite, Ío, descibe un óbit de dio edio 4, 0 8 y un peiodo de,5 0 5 s ) Clcul el dio edio de ot de ls luns de Júpite, Clixto, cuyo peiodo es de, s b) Sbiendo que G 6,67 0 /kg, obtene l s de Júpite

5 0 GRVICIÓ I: LEY DE L GRVICIÓ UIVERSL ) Po l tece ley de Keple plicd Ío y Clixto, se tiene I C que I C Sustituyendo los dtos: (,5 0 s) (, 44 0 s) 8 (4, 0 ) C 5 6 Despejndo C se obtiene, b) P clcul l s de Júpite podeos utiliz los dtos de culquie de los dos stélites Si toos los de Ío, teneos 8 4 π (4, 0 ) 5 G 6,67 0 kg (,5 0 s) 7,90 0 kg 5 ) L Lun se encuent un distnci edi de k de l ie y su peiodo de tslción lededo de nuesto plnet es de 7 dís y 6 hos Deteine zondente l s de l ie b) Si el dio obitl de l Lun fue k, cuál seí su peiodo obitl? G 6,67 0 kg ) El peiodo de tslción de l Lun expesdo en segundos es 7 dís 6 hos Expesdo en segundos seá 7 dís 4 h/dí 60 in/h 60 s/in + 6 hos 60 in/h 60 s/in,5 0 6 s Si sustituios en l expesión que d l s de l ie 4 π ( ) 6 G 6,67 0 kg (,5 0 s) 4 6,06 0 kg b) Si el dio obitl í, tbién lo há el peiodo de cuedo con l tece ley de Keple Sustituyendo los dtos qued: (,5 0 s) ( ) ( ) 6 Y de hí, 8,8 0 5 s 7 Considee un óbit elíptic lededo de un estell L distnci desde l estell hst el punto ás lejno de l óbit, lldo posto, es, eces l distnci l punto ás cecno de l óbit, lldo peisto Si l elocidd de un cuepo en est óbit es de 5 k/s en el peisto, cuál es su elocidd en el posto? Rzone l espuest En todos los puntos de l óbit elíptic del cuepo en tono l estell, el oento ngul del cuepo tiene el iso lo Si se conside el posto y el peisto, el ódulo del oento ngul en los dos puntos seá el iso Po ot pte, en esos puntos el ecto de posición y l elocidd instntáne son pependicules Po tnto, se cuple que L L p ; sen 90º p sen 90º Coo, p, si sustituios los dtos, teneos, p 5 p Po tnto, 0,8 k/s 8 Explic po qué los coets que obitn elípticente lededo del Sol tienen ás elocidd cundo se encuentn cec que cundo se encuentn lejos del Sol, considendo el cácte de fuez centl de l fuez gittoi L fuez gittoi es un fuez centl Po tnto, se conse el oento ngul de culquie cuepo que sig un óbit elíptic en tono oto bjo l cción de l fuez gittoi Si se epesent po p el punto de l óbit del coet ás cecno l Sol (peihelio) y po, el ás lejno (felio) se puede escibi p esos dos puntos que L L p En esos dos puntos se cuple que el ecto de posición y l elocidd son pependicules Po tnto, sen 90º p sen 90º Siplificndo qued, p En el peihelio se cuple p < Po tnto, y de cuedo con l expesión p, se deduce que > 6 Un cuepo de 6 kg tiene un elocidd de 8 i + 5 k /s Clcul el oento ngul con especto un punto O si l posición iene dd po el ecto i j + k El oento ngul L seá i j k L 6 6( 0i + j + 6 k) 60i j + 96 k kg /s