CUADERNILLO DE MATEMÁTICA

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1 MICROSOFT CUADERNILLO DE MATEMÁTICA 1 A y 1 B - SECUNDARIA Prof. Diana Santovito 2020 NOMBRE Y APELLIDO:

2 ÍNDICE Programa de contenidos.. 3 Objetivos por unidad... 4 Criterios de evaluación UNIDAD N 1: Números Naturales o Operaciones con números naturales... 6 o Potenciación y sus propiedades.. 9 o Radicación y sus propiedades. 12 o Cálculos combinados.. 12 UNIDAD N 2: Divisibilidad o Múltiplos y divisores o Números primos y compuestos o Criterios de divisibilidad. 15 o Factorización o Mcm y dcm. 17 UNIDAD N 3: Expresiones algebraicas o Análisis de expresiones numéricas. 19 o Letras como variables o Lenguaje simbólico. 22 o Ecuaciones UNIDAD N 4: Ángulos o Sistemas sexagesimales o Clasificación de ángulos UNIDAD N 5: Triángulos o Circunferencia o Clasificación de triángulos o Construcciones o Ángulos interiores y exteriores de un triángulo UNIDAD N 6: Cuadriláteros o Clasificación de cuadriláteros o Unidades de medida o Perímetro y área de una figura o Perímetro y área de una circunferencia o Teorema de Pitágoras o Ángulos interiores de un cuadriláteros

3 PROGRAMA DE CONTENIDOS Unidad 1 Números naturales Conjunto numérico de los números Naturales: características y propiedades (conmutativa, asociativa y distributiva de la suma, resta, multiplicación y división). Potenciación: relación con la multiplicación, base, exponente natural y propiedades de potencias de igual base. Radicación: relación con la potenciación, índice, radicando y propiedades. Cálculos combinados. Unidad 2 Divisibilidad Múltiplos de un número natural. Relación entre la multiplicación y la obtención de los múltiplos de un número. Relación entre los factores de un número y la división. Divisibilidad y resto de la división. Criterios de divisibilidad. Números primos y compuestos. Factorización de un número. Múltiplo común mayor y divisor común menor. Unidad 3 Expresiones algebraicas Problemas tendientes a encontrar comportamientos generales en secuencias numéricas. Lenguaje coloquial y simbólico. Situaciones problemáticas. Ecuaciones con y sin aplicación de la propiedad distributiva. Unidad 4 Ángulos Sistemas sexagesimales. Concepto y clasificación de ángulos según su amplitud (agudo, recto, obtuso, nulo, llano, completo, convexo y cóncavo) y según la posición relativa entre dos de ellos (consecutivos, complementarios, suplementarios, adyacentes y opuestos por el vértice). Operaciones en el sistema sexagesimal. Unidad 5 Triángulos Circunferencia, definición y elementos. Triángulos, definición y elementos característicos. Clasificación según sus lados y según sus ángulos. Construcción de triángulos en GeoGebra. Propiedad triangular. Ángulos internos y externos de un triángulo. Unidad 6 Cuadriláteros Clasificación de cuadriláteros: paralelogramos (Cuadrado, rectángulo, rombo, paralelogramos) y no paralelogramos (trapecios y romboides). Perímetro y área de figuras geométricas (triángulos, paralelogramos, círculo y circunferencia). Unidades de medida. Teorema de Pitágoras. Elementos, propiedades de cuadriláteros (de lados y ángulos). 3

4 OBJETIVOS DE APRENDIZAJE POR UNIDAD Unidad 1 Conocer las propiedades de las operaciones como recurso para facilitar los cálculos. Calcular potencias y raíces a partir de problemas que le den un sentido a dichas operaciones. Explorar y analizar las propiedades que se cumplen en la potenciación y radicación. Resolver cálculos que involucren las operaciones estudiadas y sus propiedades; teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones. Unidad 2 Estudiar y analizar la relación entre las propiedades de la multiplicación y la obtención de múltiplos y divisores de un número. Utilizar los criterios de divisibilidad para anticipar los divisores de un número. Descomponer números a través de factores primos establecer relaciones entre los divisores del mismo. Resolver problemas que involucren situaciones de reparto y encuentros entre varios números a partir sus múltiplos y divisores. Unidad 3 Generalizar propiedades de los números y las operaciones incorporando el lenguaje algebraico para formularlas. Producir y evaluar expresiones algebraicas, leer información de ellas. Diferenciar variables de incógnitas. Resolver ecuaciones lineales con y sin aplicación de la propiedad distributiva. Unidad 4 Recuperar y profundizar nociones y relaciones aprendidas en la primaria sobre las unidades de tiempo y medida de ángulos. Clasificar los distintos ángulos y establecer relaciones entre los mismos. Operar en el sistema sexagesimal. Unidad 5 Clasificar triángulos a partir de sus lados y ángulos. Incorporar la computadora al trabajo matemático, en particular, el programa Geogebra. Construir triángulos con el programa Geogebra. Analizar las relaciones entre los lados de un triángulo para asi poder formular y utilizar la propiedad triangular. Analizar las propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo. Unidad 6 Analizar diferentes cuadriláteros para caracterizarlos y clasificarlos. Calcular áreas y perímetros de triángulos, paralelogramos, trapecio, romboides y círculos dadas ciertas condiciones. Analizar las propiedades de los ángulos interiores de un cuadrilátero. Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular medidas de lados de un triángulo rectángulo. 4

5 CRITERIOS DE EVALUACIÓN Para determinar acreditaciones en función a los procesos de aprendizaje esperables del estudiante, se han integrado e interrelacionado capacidades, con el fin de producir un campo de evaluación factible, en el cual el/la alumno/a deberá: Resolver problemas en situaciones intra o extramatemáticas. Plantear y resolver situaciones problemáticas, donde intervienen los contenidos y procedimientos señalados en las unidades temáticas. Extraer conclusiones de los datos recabados y organizarlos adecuadamente descubriendo las propiedades que de allí se desprenden. Utilizar e interpretar diferentes fuentes de información. Utilizar el lenguaje matemático para comunicar las ideas de forma oral y escrita. Reconocer los conceptos aprendidos en diferentes situaciones planteadas. Observar y establecer relaciones, comparaciones y clasificaciones en las diferentes unidades temáticas. Trabajar en forma individual y grupal, reconociendo las ventajas del intercambio de ideas y la unificación de criterios. Desempeñar y desarrollar una actitud responsable en el seguimiento de la materia. Crear, implementar y argumentar las propias estrategias de resolución. Cumplir con los objetivos de aprendizaje. Instrumentos de evaluación Observación directa en el aula. Participación activa del o la estudiante en la clase, trabajo colaborativo y asistencia. Evaluaciones escritas y orales, trabajos prácticos, carpeta, informes, guías de ejercicios e investigaciones individuales y grupales presentados en tiempo y forma. Las actividades mencionadas anteriormente llevarán una nota que se promediará, al final de cada trimestre, y darán por resultado la nota de desempeño de la o el estudiante. En caso de ausentismo a un trabajo práctico o evaluación escrita, la nota correspondiente será Ausente, salvo que se justifique la falta. En esos casos el docente pautará cuándo evaluar según no afecte la planificación anual. Las tareas enviadas a realizar en las casas o las tareas que se trabajen en las clases, deberán realizarse en su debido momento, de lo contrario cada incumplimiento de la tarea influirá en la nota final de cada trimestre. Recuperación de contenidos Los contenidos no alcanzados/aprendidos deberán recuperarse al final de cada trimestre en una evaluación escrita que se realizará próxima al cierre de cada trimestre. Todos/as los/as estudiantes tendrán derecho a acceder a dicha evaluación. Nombre y apellido del alumno/a:... Hemos sido notificados de los contenidos y criterios de evaluación del área de Matemática, 1er. Año. Firma del familiar a cargo.. Firma del estudiante 5

6 UNIDAD Nº1: NÚMEROS NATURALES Los números naturales son aquellos que utilizamos para contar y forman un conjunto que se representa por el símbolo N. N = Este conjunto tiene las siguientes características: Tiene un primer elemento: el 0 (algunos consideran que el primer elemento es el 1, es una cuestión de convención). No tiene último elemento: siempre podemos sumar 1 y obtener el siguiente de un número natural. Por lo tanto no existe un número natural más grande que todos los demás. En matemática, se dice que el conjunto N es infinito (que no tiene fin). Entre dos números naturales consecutivos no existe otro. Recordamos algunos nombres: Operaciones con números naturales 15 Sumando 35 Minuendo 3 Factor Dividendo 12 4 Divisor + 20 Sumando - 10 Sustraendo x 2 Factor Resto 0 3 Cociente 35 Suma 20 Diferencia 6 Producto Propiedades de las operaciones Operación Propiedad Propiedad Conmutativa Suma Multiplicación Resta División La suma la propiedad conmutativa. Si se cambia el orden de los sumandos, el resultado Por ejemplo: La multiplicación la propiedad conmutativa. Si se cambia el orden de los factores, el resultado Por ejemplo: La resta la propiedad conmutativa. Si se cambia el orden del minuendo y del sustraendo, el resultado Por ejemplo: La división la propiedad conmutativa. Si se cambia el orden de los números que dividen, el resultado Por ejemplo: 6

7 Operación Propiedad Propiedad Asociativa Suma Multiplicación Resta División La suma la propiedad asociativa. Si se suman tres o más números agrupados de forma diferente el resultado Por ejemplo: La multiplicación la propiedad asociativa. Si se multiplican tres o más números agrupados de forma diferente el resultado Por ejemplo: La resta la propiedad asociativa. Si se restan tres o más números agrupados de forma diferente el resultado Por ejemplo: La división la propiedad asociativa. Si se dividen tres o más números agrupados de forma diferente el resultado Por ejemplo: 1) a. Resolver la siguiente cuenta 12 x 11. b. Indicar cuáles de las siguientes cuentas tienen el mismo resultado que la cuenta anterior. 11 x x x x ) Sin hacer la cuenta, justificar si los siguientes cálculos tienen el mismo resultado. a. 32 x 5 y 30 x x b. 23 x 14 y 23 x x ) Juana resolvió de la siguiente forma: a. Analizar el procedimiento anterior. b. Resolver las siguientes divisiones utilizando la misma estrategia que Juana. = = 7

8 Operación Propiedad Propiedad Distributiva Multiplicación La multiplicación la propiedad distributiva. En un producto uno de los factores descomponer, en una suma, y multiplicar cada uno de los sumando por el factor restante. Si se descompone uno de los factores en una resta, la propiedad distributiva en la multiplicación. Por ejemplo: División La división la propiedad distributiva si se descompone el dividendo en sumas y restas y se distribuye el divisor. La división la propiedad distributiva si se descompone el divisor en sumas y restas y se distribuye el dividendo. Por ejemplo: 4) Resolver a partir de descomponer uno de los factores, en el caso de la multiplicación, y el dividendo en el caso de la división. a =.. d. 255 : 5 = b =.. e. 636 : 6 = c =.. f. 960 : 8 =.. 5) Completar con = o según corresponda. En la carpeta, explicar las respuestas. a. 3 + ( ) d. ( ) : : 5 b. (20 +40) e. 120 : ( ). 120 : : 40 c. ( ) : 6. 6 : : 6 f. (165 90) : : : 15 6) Observar las siguientes igualdades y explicar si se utilizaron las propiedades correctamente en cada caso. a = e. 4. (7. 2) = b. (20-10) : 2 = 20 : 2-10 : 2 f. 4. (80-5) = c. ( ). 4 = g. 30 : (5-3) = 30 : 5-30 :3 d. 176 : (4 : 2) = (176 : 4) : h =

9 7) En un supermercado, las gaseosas se venden en paquetes de 8 botellas. Si el encargado apila los paquetes en 8 pisos y en cada pido pone 8 paquetes, Cuántas botellas se pueden almacenar? 8) Un edificio tiene 6 pisos. Cada piso tiene 6 departamentos. Cada departamento tiene 6 ventanas. De cada una cuelgan 6 macetas. Cada maceta tiene 6 petunias plantadas. Cuántas petunias hay en todas las ventanas del edificio? Escribir todas las cuentas que se realizaron. 9) Completar los siguientes cuadros. a. Calcular los cuadrados de los primeros 12 números naturales. Número Potencia b. Calcular los cubos de los primeros 12 números naturales. Número Potencia 10) A qué es igual?. Cada vez que se le suma uno al exponente al resultado hay que.. Cada vez que se le resta uno al exponente al resultado hay que.. Todo número elevado a la 0 es.. y todo número elevado a la 1 es ) Completar con, o =, según corresponda: a.. b.. c.. d.. e.. f.. g.. h.. 9

10 Propiedades de la Potenciación Comprobar y escribir = o en los espacios en blanco. La potenciación es distributiva... respecto de la suma?. respecto de la resta?... La potencia es distributiva respecto de la y la La potencia no es distributiva respecto de la y la 12) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y luego escribir en la carpeta una justificación a. =.. d. =.. b. =.. e... c. =.. f... 13) Resolver las siguientes potencias a. = b. = c. = d. = 14) Cuáles de los cálculos anteriores dan el mismo resultado que?... Propiedades de la potenciación Para multiplicar dos potencias de igual base, se escribe la misma base y se los exponentes. Para dividir dos potencias de igual base, se escribe la misma base y se los exponentes. Para calcular la potencia de otra potencia, se escribe la misma base y se los exponentes. Ejemplos 10

11 15) Sin resolver las potencias, cuáles de estos cálculos da el mismo resultado que? Cómo se dan cuenta? a. = b. = c. d. = e. 16) Resolver aplicando las propiedades de la potencia. a.. b.. c.. d. e. f.. g.... h.. i.. 17) En una cocina hay dos paredes cuadradas donde se van a colocar cerámicas. a. En una pared entran 7 cerámicas por fila. Cuántas se necesitan para cubrir esa pared?... b. Para la otra pared está previsto utilizar 64 cerámicas sin que se corte ninguna. Cuántas van a utilizarse por fila?... 18) Resolver las siguientes situaciones problemáticas: a. Un patio es cuadrado y tiene 144 mosaicos del mismo tamaño. Cuántos hay sobre cada borde? Cómo se puede comprobarlo?... b. Qué número pensó cada chico? 11

12 19) Completar entre qué dos números enteros se encuentran las siguientes raíces. a. c. b. d. Propiedades de la radicación Comprobar y escribir = o en los espacios en blanco. La radicación es distributiva... respecto de la suma?. respecto de la resta?... La radicación es distributiva respecto de la y la La radicación no es distributiva respecto de la y la 20) Resolver aplicando propiedades, cuando sea posible: a. b... c... d. e.. f.. 21) Resolver los siguientes cálculos combinados. a. e. b. f. c. ( + ) : + g. = d. + h. 12

13 UNIDAD Nº2: DIVISIBILIDAD 1) En un circo, los malabaristas tienen 48 bastones y quieren acomodarlos en cajas de modo que todas tengan la misma cantidad. Una forma que pensaron es armar 6 cajas con 8 bastones cada una. a. Hay otras maneras posibles? Escribir todas. b. Escribir todas las formas posibles que tienen los payasos para ubicar 32 pelotas en bolsas de igual cantidad. 2) Los magos llevan 17 varitas mágicas. Pueden ubicarlas en más de una caja de manera que todas tengan la misma cantidad? (las cajas deben tener más de una varita) Por qué? 3) En el circo también hay 45 disfraces de payasos para ubicar en cajas de igual número. Pueden armar 4 cajas sin que sobre algún disfraz? Y, 9? Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por cualquier otro número natural = 20, entonces, 20 es múltiplo de 4 y de = 27, entonces, 27 es múltiplo de 9 y de 3. El cero es múltiplo de todos los números porque... Un divisor es un número que divide exactamente a otro. 6 es divisor de 18, porque 18: 6 = 3. Por lo tanto, 18 es divisible por 6 y por 3. 7 es divisor de 35, porque 35: 7 = 5. lo tanto, 35 es divisible por 7 y por 5. 4) Para un juego, el profe de Educación Física necesita armar equipos con igual cantidad de miembros. Indicar en qué casos podrá hacerlo y mostrar ejemplos. Cantidad de personas Se puede? Ejemplos equipos de 4 o 13

14 Un número es primo cuando tiene exactamente.. Por ejemplo,.. Un número es compuesto cuando tiene... Por ejemplo,.. 5) El 1 es número primo? Por qué? Y el 0? La criba de Eratóstenes Para obtener números primos, Eratóstenes, que fue un griego que vivió entre el 284 y el 294 antes de Cristo, ideó una construcción que hoy conocemos como la criba de Eratóstenes. Consideremos una lista de los números naturales desde el 2 hasta el Seguir las siguientes instrucciones: El 2 es primo, se debe rodearlo y tachar todos los demás múltiplos de 2. El 3 es primo, se debe rodearlo y tachar todos los demás múltiplos de 3, y así sucesivamente. Al final, quedarán sin tachar todos los números primos menores que ) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Escribir una justificación en la carpeta. a. Todos los números primos son impares..... b. Todos los números impares son primos

15 Estudiar una situación significa pensar, analizar, hacerse preguntas, probar soluciones y, a veces, detenerse y volver a empezar por otro camino. Para justificar que una afirmación es falsa, basta con dar un ejemplo en el que esta no se cumple. Se llama contraejemplo. Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad sirven para saber, sin hacer la división, cuándo un número es divisible por otro. Un número es divisible por: Ejemplo 2, cuando es par. 3, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. 5, cuando termina en cero o cinco. 6, cuando es divisible por 2 y 3 a la vez 9, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. 10, cuando termina en cero. 12, cuando es a la vez divisible por 3 y por 4. 15, cuando es a la vez divisible por 3 y por 5. 7) Aplicar los criterios de divisibilidad y escribir una cruz en las casillas que correspondan. Es divisible por ) Ordenar las tarjetas para formar un número de 4 cifras que sea. a. Múltiplo de 5, pero no de 10: b. Múltiplo de 6: c. Divisible por 2, pero no por 4:

16 9) Con las cifras 0, 2, 4 y 7 escribir un número que cumpla con las siguientes condiciones. Si no es posible, justificar. a. Un número de cuatro cifras distintas que sea múltiplo de 5. b. Un número de cuatro cifras distintas que sea divisible por 4. c. Un número de cuatro cifras distintas que sea múltiplo de 3. 10) Encontrar en cada caso todos los valores de a y b para que el número de cinco cifras cumpla lo pedido. a. Que 2a34b sea divisible por 5 y 3.. b. Que 63a4b sea divisible por 4 y 9.. Factorización Un número compuesto se puede descomponer de manera única en factores primos. A la descomposición se la denomina factorización. Para factorizar un número, se pueden utilizar los siguientes esquemas: Para encontrar todos los divisores de un número, se puede realizar el siguiente procedimiento. 70 = Se factoriza el número = = =35 2. Se calculan todos los productos posibles de sus factores primos. Divisores de 70:1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; Todo número es divisible por 1 y por sí mismo. 11) En la carpeta, factorizar los siguientes números y exprésenlos como una multiplicación: a. 165 =. f =. b. 280 =. g =. c. 390 =. h =. d. 600 =. i =. e. 720 =. 12) Tres agencias de turismo realizan viajes a Mar del Plata. Una sale cada 3 días, otra cada 5 y la última cada 10. Cada cuántos días coincidirán las salidas?... 16

17 El múltiplo común menor (mcm) entre dos o más números es el menor de los múltiplos que esos números tienen en común, sin tener en cuenta el 0. Algunos múltiplos de 4 son: 0, 4, 8, 12, 1, 20, 24, Algunos múltiplos de 6 son:0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 12 es el múltiplo menor que tienen en común. mcm Para hallar el mcm entre dos o más números el primer paso es factorizar los números y luego se eligen los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Por ejemplo: y, entonces mcm 13) Calcular el MCM. a. (25 ; 30) = c. (25; 50; 120) = e. (9 ; 27 ; 30) = g. (10 ; 12; 20) = b. (14 ; 42 ) = d. (48 ; 60) = f. (7 ; 8) = 14) Una editorial decide donar a distintas bibliotecas 12 libros de aventura, 16 de cuentos y 8 de ciencias. Si deben armar cajas con igual cantidad de libros y del mismo género, poniendo el mayor número posible de libros, y sin que sobren. Cuántos libros habrá en cada caja? Cuántas cajas se necesitarán?... El divisor común mayor (dcm) entre dos o más números es el mayor de los divisores que tienen en común esos números. Los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Para hallar el dcm entre dos o más números el primer paso es factorizar los números y luego se eligen los factores comunes con su menor exponente. Por ejmplo: 6 es el mayor de lo s divisores que tiene en común dcm y, entonces dcm 15) Calcular el DCM. a. (25 ; 30) = c. (25; 50; 120) = e. (9 ; 27 ; 30) = g. (10 ; 12; 20) = b. (14 ; 42 ) = d. (48 ; 60) = f. (7 ; 8) = 16) Resolver, en la carpeta, las siguientes situaciones: a. A partir del momento en que se enciende, un robot de juguete da un paso cada 8 segundos. Toca una sirena cada 5 segundos y prende sus luces cada 10 segundos. Cada cuántos segundos hace las tres cosas simultáneamente? b. En una fábrica de alimentos balanceados para animales se han preparado 50 kilos de trocitos para perros, 30 kilos de alimentos para cachorros y 40 kilos para gatos. Se debe en- 17

18 vasar en bolsas iguales la mayor cantidad de kilos posibles, colocando la misma cantidad de cada uno. Cuántos kg de cada uno se deben poner en cada bolsa? Cuántas bolsas podrá armar? c. La abuela de Camila debe tomar varios medicamentos durante el día: la pastilla rosa cada 8 horas, la verde cada 4 horas y la celeste cada 3. Si comienza tomándolas todas juntas, Cada cuántas horas deberá volver a tomar las 3 al mismo tiempo? d. Maru preparó 96 masitas de chocolate, 108 de limón y 20 de coco. Quiere ponerlas en platos de tal manera que en todos haya la misma cantidad de masitas, pero del mismo tipo. Cuál es el mayor número de masitas que puede contener cada plato? Cuántos platos podrá armar? e. Anabela tiene 54 muñecas y su hermana Paola 36. cuál es la mayor cantidad de muñecas que puede guardar cada una en sus cajas para que en todas haya la misma cantidad? Cuántas cajas va a tener cada una? f. Luís va a ver a su abuela cada 12 días, y Ana cada 15 días. Hoy han coincidido los dos. En cuántos días volverán a coincidir? g. Patricia quiere comenzar a vender bombones. Con lo que aprendió en su taller de chocolatería, hizo 32 bombones de chocolate con leche, 24 de chocolate blanco y 28 rellenos. Cuántos paquetes con la misma cantidad de bombones de cada tipo puede hacer? Cuántos bombones de chocolate blanco y rellenos va a haber en cada paquete? h. Tres personas están haciendo gimnasia en una plaza. Una da vuelta caminando, otra trotando y otra corriendo. La primera tarda 10 minuto en dar una vuelta, la segunda tarda 6 minutos y la tercera 2 minutos. Si comenzaron a la misma hora y en el mismo lugar cada cuánto tiempo se vuelven a encontrar el punto de partida? i. En el colegio de Julieta, la profesora de Inglés toma una evaluación cada 15 días, la de Matemática cada 20 días y la de Lengua cada 30 días. Después de cuántos días de comenzar las clases tendrán por primera vez las tres evaluaciones juntas? j. Una de las unidades del grupo scout necesita preparar cintas para una de las pruebas del campamento. Si tienen dos cordeles, uno azul de 94 cm y otro marrón de 64 cm. Cuál es el mayor tamaño en que pueden cortar las cintas de ambos cordeles, para que sean todas iguales? Cuántas cintas de cada color van a tener? k. Sandra preparó 96 empanadas de carne, 72 de atún y 48 de humita. Cuál es el mayor número de empanadas que puede poner en cada bandeja, para que tengan todas las mismas cantidades y cada una sea de un solo gusto? Cuántas bandejas va a necesitar? 18

19 UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1) Decidir, sin hacer las multiplicaciones, si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Explicar las decisiones. a. 21 x 28 es múltiplo de 21:..... b. 21 x 28 es múltiplo de 4:... c. 21 x 28 es múltiplo de 7:... 2) Decidir, sin resolver las cuentas, cuál de estos cálculos dan un resultado que es múltiplo de 4. Explicar en la carpeta cómo se dieron cuenta. a. 4 x b c. 12 x d. 8 x ) Completar cuando sea posible los cálculos para que el resultado sea un múltiplo de 9. Explicar la elección sin realizar las cuentas de dividir. Si no es posible, explicar por qué. a. 15 x + 81 b. 9 x La suma de dos múltiplos de un mismo número es.. Si en una multiplicación uno de los factores es múltiplo de un número, el producto... 4) En grupos y sin hacer las cuentas, decidir si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Explicar las decisiones: a. 2 x da como resultado un número par:. b. 7 x da como resultado un múltiplo de 2:.. c. 15 x da como resultado un número impar:.. d. 27 x da como resultado un múltiplo de 2:

20 5) Sin hacer la cuenta, decidir si estos cálculos dan múltiplos de 5. Justificar: a. 134 x b. 134 x c. 134 x d. 134 x ) Para cada cálculo de la actividad anterior, escribir el menor número que hay que sumarle para obtener un múltiplo de ) Ana pensó un número, lo multiplicó por 10 y le sumó 26. Qué número debe sumar a este cálculo para estar segura de que el resultado dé un múltiplo de 5 aunque cambien el número que pensó? Explicar cómo decidieron lo que tiene que sumar ) Si es posible, completar cada cuenta con un número para que la afirmación sea verdadera. En cada caso analizar si hay una única posibilidad y, si hay más, explicar cuáles son todos los números que podrías escribir. a. 7. da como resultado un número par. b. 6. da como resultado un número impar. c da como resultado un número impar. Letras como variables 9) Responder las siguientes preguntas: a. Es cierto que si en 16 x 15 + a se reemplaza la letra a por el número 44, el resultado es múltiplo de 4?... 20

21 b. Con qué otros números podrían reemplazar la letra a para que el resultado de 16 x 15 + a sea múltiplo de 4?... 10) Resolver las siguientes consignas en la carpeta: a. Si es posible asignar valores a b para que 3. b sea múltiplo de 3. Cuáles son todos los valores que cumplen con esta condición? b. Si es posible asignar valores a c para que 3. c sea múltiplo de 5. Cuáles son todos los valores que cumplen con esta condición? c. Si es posible asignar valores a d para que 3. d sea múltiplo de 6. Cuáles son todos los valores que cumplen con esta condición? 11) En la carpeta, analizar y resolver las siguientes situaciones: a. Juana dice que con la expresión 2. t obtiene números pares para cualquier valor de la variable t. Estás de acuerdo? Justificar. b. Enrique dice que con la expresión 2. k + 1 obtiene números impares para cualquier valor de la variable k. Estás de acuerdo? Justificar. c. Pablo dice que con la expresión 2. s + 4 obtiene múltiplos de 4 para cualquier valor de la variable s. Estás de acuerdo? Justificar. d. Sofía dice que con la expresión 3. m + 1 obtiene múltiplos de 3 para cualquier valor de la variable m. Estás de acuerdo? Justificar. *Importante: si se quiere estudiar la validez de una afirmación en la que intervienen expresiones con variables, se pueden dar tres situaciones excluyentes (si pasa una no pueden pasar las otras): Que sea verdadera para cualquier valor de la variable, Que sea verdadera para algunos valores de la variable y para otros no, y Que ningún valor de la variable sirva para lograr que la afirmación sea verdadera (es decir que sea falsa para todos los valores). 12) Estudiar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar. a. 6. r da como resultado un número par para cualquier valor de r. b. 4. w + 1 da como resultado un número par para algún valor de w. 21

22 13) En parejas, estudiar la expresión 6. p + 3. Escribir, para cada afirmación, si esta es válida para todo valor que tome la variable p, para ningún valor de p o para algunos valores de p. Explicar las decisiones. a. 6. p + 3 es múltiplo de 2 para.... b. 6. p + 3 es un número impar para.... c. 6. p + 3 es divisible por 3 para d. 6. p + 3 es divisible por 6 para ) En cada caso, escribir una expresión con una variable para formar una afirmación verdadera. a... da un número par para cualquier valor de la variable. b... da un número impar para cualquier valor de la variable. c... da un múltiplo de 4 para cualquier valor de la variable. d... da un múltiplo de 7 para cualquier valor de la variable. Lenguaje simbólico 15) Para averiguar la edad de la profesora, ella les propuso a sus alumnos el siguiente enunciado: El doble de mi edad, aumentado en 10, da por resultado 60. Cómo se podrá calcular la edad de la profesora?.... El lenguaje en palabras, que puede ser oral o escrito, se denomina lenguaje coloquial. La matemática utiliza un lenguaje particular denominado lenguaje simbólico o lenguaje matemático. 16) Considerar que a es la edad de Agustín y expresar en lenguaje coloquial las siguientes oraciones. a. La edad que tenía Agustín el año pasado.. b. La edad que tendrá el año que viene.. c. La edad que tendrá dentro de 15 años.. d. La cantidad de años que faltan para que tenga 50 años.. 22

23 17) Pensar cómo se expresarán en lenguaje simbólico las siguientes expresiones: a. Un número:.. b. El doble de un número:.. c. El triple de un número:.. d. El anterior de un número:.. e. El siguiente de un número:.. f. La mitad de un número:.. g. La tercera parte de un número:.. h. El anterior del doble de un número:.. i. El doble del anterior de un número:.. j. La diferencia entre un número y cuatro:.. k. La suma de dos números consecutivos:.. 18) Unir con flechas cada enunciado con la expresión simbólica correspondiente: La diferencia entre un número y 4 El cuádruple de un número La cuarta parte de un número La suma entre un número y su cuarta parte El siguiente de la cuarta parte de un número La cuarta parte del siguiente de un número La diferencia entre un número y su cuarta parte El cociente entre un número y su cuarta parte 19) Para debatir en grupos. Marcar con una x la opción correcta: 23

24 20) Responder: Ecuaciones a. Si es posible asignale un valor a x para que la expresión x + 10 sea igual a 15. Cuántos posible valores se pueden pensar? b. Si es posible asignale un valor a x para que la expresión 2x + 12 sea igual a 28. c. Si es posible asignale un valor a x para que la expresión 5x - 9 sea igual a 31. Una ecuación es una igualdad en la que hay por lo menos un valor desconocido denominado incógnita. La ecuación está resuelta cuando se encuentra ese valor desconocido, que llamamos solución de la ecuación. Cuando se resuelve una ecuación, deshacemos los pasos u operaciones que afectan a la incógnita con la operación inversa: Se suma o resta un mismo número a ambos miembros de la igualdad. Se multiplica o divide por un mismo número a ambos miembros de la igualdad. 21) Resolver y verificar las siguientes ecuaciones: a. e. b. f. c. g. d. 22) Completar el siguiente cuadro de 2 maneras diferentes, cuando sea posible: Ecuación Aplicando propiedad distributiva Sin aplicar propiedad distributiva 24

25 ( 23) Resolver, en la carpeta, las siguientes situaciones planteando previamente una ecuación: a. El doble de un número, aumentado en 3 unidades, da por resultado 7 Cuál es el número? b. Si al triple de un número le sumo la mitad de 10, obtengo como resultado 20. De qué número se trata? c. La resta entre la tercera parte de un número y 4, es igual a 11. Cuál es dicho número? d. Si a un número lo aumento en 2 unidades y al resultado lo multiplico por 3, se obtiene 18. Qué número es? 24) Resolver las siguientes ecuaciones aplicando propiedades. a. b. c. 25

26 d. e. f. 25) Plantear la ecuación para calcular el peso de cada lata de tomate (sabiendo que cada lata t tiene el mismo peso). 26) Resolver las siguientes situaciones: a. El doble de la edad de Mariana es igual a la mitad de cincuenta y seis. Cuál es la edad de Mariana? b. El precio de tres kilogramos de helado es igual a cuatro veces cuarenta y cinco. Cuánto cuesta el kilo de helado? c. El peso de Luca aumentado en seis es igual a cuatro veces cuarenta y cinco. Cuántos kilogramos pesa Lucas? d. La cuarta parte de lo vendido en el puesto de panchos es igual al doble de ciento ocho. Cuánto se vendió en total? 26

27 UNIDAD N 4: SISTEMA SEXAGESIMAL Y ÁNGULOS 1) Responder las siguientes preguntas: a. Cuántas horas dura el movimiento de rotación de la Tierra?. b. Cuántos minutos dura el movimiento de rotación de la Tierra?. c. En una semana, Cuántas horas en total tarda la tierra en hacer los movimientos de rotación?. d. Cuántos segundos hay entre el mediodía y la medianoche?. 2) Durante dos días, en la prehistoria, un hombre salió a cazar para poder alimentarse. El primer día tardó 4h 15 min en poder cazar lo suficiente para alimentar a su grupo, y al día siguiente estuvo cazando durante 2h 50 min. a. Cuánto tiempo le dedicó a la caza entre los dos días?. b. Cuánto tiempo de diferencia tuvo entre el primer y segundo día?. c. Si el tercer día tardó 1h 40 min, Cuánto tiempo de diferencia tuvo entre el segundo y tercer día?. 3) Paula camina todas las mañanas desde su casa hasta la escuela y tarda 12 minutos y medio. Si durante un día, realizan dos veces dicho recorrido. Cuánto tiempo por semana tardan en ir y volver a la escuela?... 4) Matías vive a 12 minutos y medio de colectivo de la escuela. Cuánto tiempo viaja por semana ida y vuelta?... 5) Resolver, en la carpeta, los siguientes problemas: a. Claudia está entrenando para correr una maratón. Antes del almuerzo corrió 1h 35 52, y luego del almuerzo corrió 2h Cuánto corrió en total? b. Al día siguiente Claudia corrió 5h 5 30, Cuánto tiempo más corrió que el primer día? c. Los próximos 4 días Claudia corrió exactamente lo mismo que el día 2. Cuánto corrió en total esas últimas 96 horas? d. Finalmente el 7 día corrió la mitad que el 1er día. Cuánto tiempo corrió? 27

28 Los sistemas de unidad donde las mismas van de 60 en 60 (horas, minutos y segundos) se llaman sistemas sexagesimales. El tiempo y los ángulos se miden en estos sistemas, en el primer caso 60 segundos es igual a 1 minuto, y 60 minutos es igual a 1 hora; y en el segundo, 60 segundos es igual a 1 minuto, y 60 minutos es igual a 1 grado. De este modo, 80 minutos de tiempo corresponden a 1 hora y 20 minutos, mientras que 80 minutos en ángulos corresponden a 1 20 (1 grado y 20 minutos). Ángulos Definición de ángulo: Clasificación de ángulos según su amplitud A los ángulos los podremos nombrar con la letra del alfabeto griego o con las del nuestro:. 28

29 Algunas letras del alfabeto griego: Nombre de letra Minúsculas Nombre de letra Minúsculas Alfa Lambda Beta Mu Gamma Pi Delta Ro Épsilon Sigma Theta Fi Kappa Omega 6) Observar la figura y clasificar cada uno de los ángulos. 7) Realizar las siguientes sumas: a = b = 8) Resolver las siguientes situaciones: a. Sabiendo que, Cuánto debería medir para que juntos midan 90? b. Sabiendo que, Cuánto debería medir para que juntos midan 180? 29

30 Cuando dos ángulos suman 90 se denominan ángulos Cuando dos ángulos suman 180 se denominan ángulos 9) Considerar los siguientes ángulos y responder: a. Son complementarios los ángulos? Justificar. b. Son complementarios los ángulos Justificar. c. El ángulo es suplementario con. Cuánto mide? d. El ángulo es suplementario con. Cuánto mide? 10) Hallar el complemento de los siguientes ángulos: 11) Hallar el suplemento de los siguientes ángulos: 12) Indicar V o F y justificar la respuesta: a. El complemento de un ángulo agudo es otro ángulo agudo. b. El suplemento de un ángulo agudo es otro ángulo agudo. c. Dos ángulos suplementarios pueden tener la misma amplitud. d. El suplemento de un ángulo obtuso es un ángulo agudo. e. El complemento de un ángulo recto es un ángulo nulo. 13) Indicar V o F y justificar la respuesta: a. Si 2 ángulos son complementarios y ninguno es recto, entonces ambos son agudos. b. Si 2 ángulos son suplementarios, ambos pueden ser obtusos. c. 2 ángulos con el mismo complemento, pueden tener distintas amplitudes. d. Si 2 ángulos suplementarios son iguales, cada uno de ellos es recto. 30

31 14) Plantear las ecuaciones, resolver e indicar el valor de cada ángulo: 15) Indicar con una cruz los pares de ángulos, que tienen en común un vértice y también un lado: Ángulos consecutivos Dos ángulos son consecutivos cuando comparten un vértice y un lado: Ángulos adyacentes Dos ángulos son adyacentes cando son consecutivos y suplementarios. Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen el vértice en común y sus lados son semirrectas opuestas. En el gráfico y son opuestos, y también lo son y. 31

32 16) Sabiendo que, calcular la amplitud de los tres ángulos restantes de la figura y completar la siguiente oración. porque es.. a., porque es.. a. y porque es.. a... Qué característica tienen los pares de ángulos que son opuestos por el vértice? ) Indicar si las siguientes afirmaciones se cumplen: a veces, siempre o nunca. Justificar en la carpeta. a. Los ángulos adyacentes son suplementarios. b. Los ángulos suplementarios son adyacentes. c. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. d. Los ángulos adyacentes son opuestos por el vértice. e. Los ángulos consecutivos son complementarios. 18) Considerar que y a. El triple de. b. El doble de. c. La mitad de. d. La tercera parte de. 19) Hallar el valor de los ángulos marcados en cada una de las siguientes figuras: 32

33 20) Calcular la medida de los ángulos que faltan medir. Justificar. a. d. b. e. ; c. f. 21) Plantear las ecuaciones, resolver e indicar el valor de cada ángulo: 33

34 UNIDAD Nº5: TRIÁNGULOS 1) En una sala de un museo se exhibe una obra de gran valor. La sala es rectangular y la obra se encuentra en el centro de la misma, como se muestra en el dibujo. Se instalan cámaras de seguridad a una cierta distancia de ella. En el dibujo está marcada con C una de las cámaras. a. Marcar en el dibujo otros puntos en los que se pueden ubicar otras de las cámaras. Qué figura forman todos los puntos que cumplen con esta condición?... b. Ubicar dos puntos que indiquen cámaras que se hallen a mayor distancia que las anteriores. c. Sombrear la zona de los puntos que estén a menor o igual distancia de O que C. Qué nombre recibe la figura formada? Circunferencia Definición:.. Elementos de una circunferencia Los segmentos con extremos en el centro y en cualquier punto de la circunferencia se llaman radios. Los segmentos que unen dos puntos de la circunferencia y pasan por el centro se llaman diámetros. Una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma se llama arco. Un círculo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia e interiores a la misma. - Marcar dos puntos a y b sobre la circunferencia. Estos puntos determinan dos arcos (marcarlos con colores distintos) - Ubicar dos puntos interiores a cada uno de esos arcos y escribí sus nombres: 34

35 Triángulos Un triángulo es una figura geométrica que tiene tres lados. Los puntos donde se unen los lados se denominan vértices y para nombrarlos se les asigna una letra del alfabeto. ACB Lados: Los triángulos se pueden clasificar según las características de sus lados o de sus ángulos. Entre todos completamos el siguiente cuadro. Figura Según sus lados Nombre Equilátero Isósceles Escaleno Características Todos sus lados son iguales Tiene al menos dos lados iguales Todos sus lados son distintos Figura Según sus ángulos Nombre Rectángulo Acutángulo Obtusángulo Características Tiene un ángulo recto Tiene sus tres ángulos agudos Tiene un ángulo obtuso 2) a. Realizar el siguiente instructivo en Geogebra: - Trazar un segmento AB de 7 cm. - Trazar una circunferencia con centro A y radio de 5 cm. - Trazar una circunferencia de centro B y radio 3 cm b. Si se unen los puntos A y B con uno de los puntos en que se cortan ambas circunferencias, queda determinado un triángulo. Cómo se puede saber, sin medir, cuál es la longitud de cada uno de los lados de ese triángulo??

36 3) Construir los siguientes triángulos en GeoGebra. a. Con lados 4 cm, 6 cm y 8 cm. b. Con lados 5 cm, 5 cm y 5 cm. c. Con lados 6 cm, 4 cm y 4 cm 4) En la carpeta, realizar un instructivo detallando los pasos que se deben seguir para construir un triángulo utilizando la aplicación GeoGebra. 5) Utilizando GeoGebra, construir los siguientes triángulos: - 3 cm, 4 cm y 5 cm. - 4 cm, 5 cm y 10 cm. - 5 cm, 7 cm y 5 cm. - 8 cm, 3 cm y 5 cm. a. Siempre es posible armar una figura con forma de triángulo? Por qué?... Propiedad 1:.... 6) Verificar, con la propiedad triangular, con cuáles de estos segmentos es posible construir un triángulo y con cuáles no. LADO LADO LADO SÍ/NO. Justificar 5 cm 5 cm 4 cm 7 cm 3,5 cm 12 cm 4,5 cm 7,5 cm 2 cm 6 cm 3 cm 2,5 cm Propiedad 2:.. 36

37 7) Calcular la amplitud de los ángulos que faltan en los siguientes triángulos: Ángulo exterior: El ángulo, es el ángulo exterior de, si son adyacentes. Entonces 180. Para trazarlo debemos prolongar uno de los lados del ángulo interior. Propiedad 3: En todo triángulo, a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. Es decir, si un triángulo tiene dos lados iguales también tiene dos ángulos iguales. Si, entonces. 8) Utilizar las propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo para calcular la amplitud de los ángulos de los siguientes triángulos: 37

38 9) Cuánto miden los ángulos interiores de un triángulo equilátero? Explicar ) Calcular la medida de los ángulos exteriores del siguiente triángulo sabiendo que sus ángulos interiores miden: 38

39 Propiedad 4:.. 11) Clasificar los siguientes triángulos según sus lados y sus ángulos. 12) En la carpeta, indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar cada respuesta. a. No se puede construir un triángulo cuyos ángulos interiores midan 77, 24 y 90. b. Se puede construir un triángulo con dos ángulos obtusos. c. Se puede construir un triángulo con dos ángulos rectos. d. Se puede construir un triángulo rectángulo que sea equilátero. e. Se puede construir un triángulo con tres ángulos iguales. f. Un triángulo cuyos dos de sus ángulos midan 47 y 43 es un triángulo rectángulo. g. Es posible construir un triángulo cuyos ángulos exteriores mida, y h. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo siempre miden 45 cada uno. 13) Completar con siempre, a veces o nunca y luego justificar, en la carpeta, cada respuesta. a. Un triángulo isósceles es equilátero.. b. Un triángulo equilátero es isósceles... c. Un triángulo rectángulo es isósceles... d. Un triángulo obtusángulo es rectángulo.. e. Un triángulo rectángulo es escaleno.. f. Un triángulo rectángulo es equilátero.. 14) Calcular la medida de los ángulos faltantes. a. Datos: d. Datos: =2 +30 =

40 b. Datos: e. Datos: c. Datos: d. Datos: 40

41 UNIDAD Nº6: ÁREA Y PERÍMETRO CUADRILÁTEROS Un cuadrilátero es una figura plana cerrada de cuatro lados. Se pueden clasificar en dos grupos: 1. Paralelogramos: paralelogramo, rectángulo, rombo y cuadrado. Rectángulo Paralelogramo que tiene cuatro ángulos rectos (miden 90 ). Paralelogramo Cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos Rombo Paralelogramo que tiene cuatro lados iguales. Cuadrado Paralelogramo que es rombo y rectángulo a la vez. Es decir, tiene cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales. 2. No paralelogramos: Trapecios y trapezoides Trapecio isósceles Trapecio cuyos lados no paralelos miden lo mismo. Trapecios Cuadrilátero que tiene un solo par de lados opuesto paralelos, llamados bases. Trapecio rectángulo Trapecio que tiene dos ángulos rectos. Trapezoides Cuadrilátero que no tiene pares de lados paralelos Romboide Trapezoide que tiene dos pares de lados consecutivos iguales. 41

42 1) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar en la carpeta. a. Un cuadrado es un rombo. d. Un cuadrado es un rombo. b. Un rombo es n cuadrado. e. Un rectángulo es un cuadrado. c. Un rectángulo es un trapecio. f. Un rombo es un romboide. Perímetro y área 2) Francisco quiere bordear su campo con forma rectangular de 5 kilómetros de largo y 4 kilómetros de ancho con una cerca por la que pasarán dos líneas del alambre. Cuánto alambre necesita? 3) Pedro quiere plantar flores en una porción del patio de su casa. Elige un sector cuadrado de 3 metros de lado y decide bordearlo con una cerca metálica para que sus animales no se coman las plantas. Cuántos metros de cerca metálica necesita?.. El perímetro de una figura es la medida de la longitud total de su contorno. El Sistema Métrico Legal Argentino (Simela) es el sistema de unidades de medida vigente en Argentina. La unidad de longitud es el metro. Ejemplo. Km Hm Dam M Dm Cm Mm ,3 Atención: Multiplicar un número natural por 10 es equivalente a... Multiplicar un número decimal por 10 es equivalente a Dividir un número natural, que posee un 0, por 10 es equivalente a.. Dividir un número natural, que no posee un 0, por 10 es equivalente a.... Dividir un número decimal por 10 es equivalente a

43 4) Expresar las siguientes medidas en las unidades indicadas. a. 3,5 km =.. m e. 145 mm =.. dm b. 38 mm =.. cm f cm =.. hm c mm =.. dam g. 1 m =.. cm d. 145,5 cm =.. dam h. 1 km =.. m 5) Marquen con una X las equivalencias correctas. Corrijan los casos donde no colocaron una cruz. a. 30 m = 300 mm d. 6,32 dam = 632 dm b m = 100 km e. 0,08 hm = 0,8 km c. 50 km = dam f. 153,9 cm = 0,01539 hm El área de una figura es la medida de la superficie que ocupa. Fórmulas para calcular áreas l h h b b Cuadrado: Rectángulo: Triángulo: h h b b Romboide y rombo: Trapecio: Paralelogramo: La altura es un segmento perpendicular a un lado que alcanza el vértice opuesto Generalmente la altura de una figura se simboliza con la letra h, la base con la letra b, la diagonal con la letra d y el lado con la letra l. 43

44 Diagonales La diagonal de un cuadrilátero es un segmento que une dos vértices no consecutivos. Cada cuadrilátero tiene dos diagonales. En todos los paralelogramos sus diagonales se cortan mutuamente en su punto medio. En un rectángulo sus diagonales son iguales y se cortan mutuamente en su punto medio. En un rombo sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. En un cuadrado sus diagonales son iguales, perpendiculares y se cortan mutuamente en su punto medio. Los romboides tienen dos diagonales de las cuales la mayor corta a la menor perpendicularmente en su punto medio. Atención: Tengan en cuenta que las figuras no tienen medidas reales. Son figuras de análisis y nos sirven para pensar, pero no las podemos medir. 6) Calcular las áreas de estas figuras y expresar el resultado en metros. 1,5 dm 32 cm 200 cm 6 m 1,5 dam 40 mm 20 dm 4 cm 30 m 0,7dm 0,5 dm 3 hm 1,2 dm 7,5 hm 7) Resolver los siguientes problemas. a. El papá de Diego le pidió que le ayudara a calcular el área de una de las paredes de su pieza, pues necesitaba cambiar el papel mural. El papá le dice: Hijo, la pared es cuadrada y mide 5m. Diego realiza el cálculo para obtener el área y piensa: La pared es un cua- 44

45 drado; por lo tanto, su área la obtengo al multiplicar 4m por 5m. Papá, el área de la pared es 20! Indicar si el procedimiento que realizó Diego es correcto o no. Justificar. b. La habitación de Juan es rectangular y tiene 12 de área. Qué medidas puede tener la habitación? Son las únicas posibles? Explicar. c. Paula quiere poner una alfombra rectangular de 50 cm de ancho por 80 cm de largo. Qué parte del piso ocupará la alfombra? d. i. Leo y Analía heredaron un terreno rectangular de 12 m de frente y 32 m de fondo Cuánto mide su superficie? ii. Destinaran un sector rectangular del terreno, para plantas aromáticas, de 2 m de ancho que ocupará 6. Qué largo tendrá? iii. Van a rodear por completo el sector de las plantas aromáticas con un alambre tejido para que los animales no rompan las plantas Alcanza con los 11 metros que Leo tiene en un rollo? Cuánto falta o cuánto sobre? Perímetro de una circunferencia 8) Dibujar en GeoGebra las circunferencias con los radios pedidos, medir su perímetro y completar la tabla. Radio de la circunferencia 1,5 3 3,5 4,5 Diámetro de la circunferencia Perímetro ( Perímetro ) : (medida del diámetro) Perímetro de una circunferencia: 9) Calcular el perímetro de las siguientes circunferencias. 6 cm 5,5 cm 4 cm 6 cm 45

46 Área de un círculo 10) Natalia quiere calcular el área que ocupa un círculo. Para eso comienza a descomponer el círculo en figuras: a. Completar la frase de Natalia: Si se sigue dividiendo el círculo en partes más chiquitas, la figura que obtengo se parece cada vez más a un. b. Qué relación hay entre los lados de la figura y el círculo original? Área de un círculo: 11) Calcular el área de los siguientes cuatro círculos. 20 cm 16 cm 7 cm 5 cm 46

47 12) Recorta las piezas que figuran en el pie de la página. Trabajar sobre la figura formada por el triángulo rectángulo y los tres cuadrados dibujados sobre sus lados. Comprobar que el cuadrado recortado es igual al cuadrado I y que las 4 piezas restantes cubren exactamente el cuadrado II. Después con las 5 piezas cubrir el cuadrado III y completar la igualdad. I III II Área del cuadrado = Área del cuadrado + Área del cuadrado.. =. + Teorema de Pitágoras... En nombre de este teorema fue elegido en honor a Pitágoras de Samos, filósofo y matemático griego, impulsor de la escuela pitagórica en el siglo VI a.c y gracias a la ayuda de los pitagóricos, aquellos que pertenecían a la escuela, consiguió el descubrimiento de lo que hoy en día conocemos como el Teorema de Pitágoras. Este teorema ha sido atribuido según diferentes fuentes de la propia Grecia a Pitágoras, como ha trascendido hasta nuestros días. Sin embargo, existen evidencias de que era conocido por antiguas civilizaciones como en Babilonia, Egipto, India o China. Por lo que se sabe, estas 47

48 civilizaciones conocían y manejaban triángulos concretos que verificaban el teorema pero le debemos a Pitágoras el teorema en toda su generalidad - para todos los triángulos rectángulos - y también su demostración, sabemos que algo es verdad porque se ha demostrado matemáticamente, y así ocurre con el Teorema de Pitágoras. En matemática se llama teorema a una propiedad que puede ser justificada basándose en otras propiedades ya aceptadas y que se hizo conocida por sus aplicaciones frecuentes. 13) Sobre cada lado de los triángulos rectángulos se construyeron cuadrados. Con los datos dados en las figuras, calcular el área del cuadrado que falta. 14) Calcular la longitud de los lados faltantes de cada uno de los siguientes rectángulos. B B a. b. 6 cm A 8 cm 4 cm C A 3 cm C c. E d. E D 24 cm 12 cm 15 cm 26 cm D F F 48

49 H e. f. G 25 cm 13 cm 20 cm I G 5 cm I H 15) Hallar, en cada caso, lo que se indica a continuación. a. Una letra N se ha construido con tres listones de madera; los listones verticales son 20 cm y están separado 15 cm. Cuánto mide el listón diagonal? b. Hallar la medida, en centímetros, de la altura de un rectángulo, cuya base mide 35 cm y su diagonal 37 cm: c. Una escalera de 15 metros se apoya en una pared vertical, de modo que el pie de la escalera se encuentra a 9 metros de esa pared. Calcular la altura en metros, que alcanza la escalera sobre la pared. 49

50 Ángulos interiores de un cuadrilátero 16) Seguir las siguientes instrucciones. a. Trazar la diagonal BD del cuadrilátero ABCD. Qué figuras quedaron determinadas?... b. Nombrar y a los dos ángulos que componen el ángulo B. c. Nombrar y a los dos ángulos que componen el ángulo D. En el triángulo, En el triángulo, En el cuadrilátero, La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es.. 17) Calcular la medida de los ángulos que faltan en cada cuadrilátero. 50