PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

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1 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO CONVOCATORIA: Juio MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder (como máximo) a cuatro de las cico pregutas. - Cada ua de las pregutas tiee ua putuació máxima de Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora y la tabla de distribució ormal. PRUEBA A 1.- E los años 6, la estatura de los españoles varoes que hacía el Servicio Militar se distribuía segú ua ormal de media 17 cms., co ua desviació típica de 9 cms. E la actualidad se ha realizado u muestreo a 36 adultos varoes dado ua media de 172 cms. Se pide: a) Podemos afirmar, co ua cofiaza del 95%, que esa diferecia es debida al azar? Se os platea u cotraste de hipótesis uilateral de la forma: H : µ = µ H : µ = 17 H1 : µ µ H1 : µ > 17 σ Para este cotraste, la regió de rechazo es R.R.= µ + zα, Si x RR.. rechazamos la hipótesis ula y e caso cotrario la aceptamos. Datos del problema: x = 172; = 36; µ = 17; σ = 9; α =, 5; z = 1.64,5 RR 9.. = , = ( , ) , o rechazamos la hipótesis ula, es decir, aceptamos que Como ( ) µ = 17. La resolució de este cotraste se podía haber hecho de forma equivalete utilizado el x µ estadístico de prueba, z = y ver si cae e la regió de rechazo que para este σ z α, = 1.64,. estadístico e este cotraste es: R.R.=( ) ( ) z 1, decir, aceptamos que µ = 17. = = = ; como 1.33 ( 1.64, ), o rechazamos la hipótesis ula, es

2 b) Qué se puede decir si esa media se ha calculado utilizado ua muestra de 9 jóvees?. x = 172; = 9; µ = 17; σ = 9; α =, 5; z = 1.64,5 El estadístico de prueba sigue siedo, R.R.=( z α, ) = ( 1.64, ) z decir, aceptamos que µ > 17. z x µ σ = = = ; como 6.67 ( 1.64, ) = y la regió de rechazo es:, rechazamos la hipótesis ula, es

3 2.- El peso de las 1 vacas de ua gaadería se distribuye segú ua ormal de media 6 kilogramos y ua desviació típica de 5 kilos. Se pide: a) Cuátas vacas pesa más de 57 kilos? X = Peso de ua vaca ; X N 6, 5 ( ) La probabilidad de que ua vaca pese más de 57 kilos es: X P( X > 57) = P > = P( Z >.6) = 1 P( Z >.6) = 5 5 = =.7257 Quiere decir esto que el 72.57% de las vacas pesa más de 57 kilos, es decir, uas 73 vacas de las 1 de la gaadería pesa más de 57 kilos. b) Cuátas pesa meos de 75 kilos? La probabilidad de que ua vaca pese etre 5 y 7 kilos es: X P( X < 75) = P = P( Z < 3) = 1 P( Z > 3) = 5 5 = 1.14 =.9986 Quiere decir esto que el 99.86% de las vacas pesa meos de 75 kilos, es decir, las 1 de la gaadería pesa meos de 75 kilos. c) Cuátas pesa etre 5 y 7 kilos? La probabilidad de que ua vaca pese etre 5 y 7 kilos es: 5 6 X P( 5 < X < 7) = P < < = P( 2 < Z < 2) = = 1 2 P Z > 2 = =.9544 ( ) Quiere decir esto que el 95.44% de las vacas pesa etre 5 y 7 kilos, es decir, uas 96 vacas de las 1 de la gaadería pesa etre 5 y 7 kilos.

4 3.- Ua agecia de viajes orgaiza ua excursió. El precio del viaje es de 1. pesetas, si reúe 3 o meos persoas. Si supera los 3 excursioistas hace ua rebaja de 1 pesetas a cada uo de los viajeros. Se pide: a) Halla la fució que da el precio de la excursió depediedo del úmero de persoas. Represétala gráficamete. 1 si x 3 precio( x) = 99 si x > 3 b) Calcula la fució que da el igreso total que obtiee la agecia e fució del úmero de viajeros. Represétala gráficamete. 1x si x 3 igresos( x) = 99x si x > 3

5 4.- El precio de u artículo (e miles de pesetas), que ha estado 8 años e el mercado, se expresa e fució del tiempo t (e años) segú la siguiete fució: 2 3t + 4 si t 2 Pt () = 5t 21 si 2 < t 8 2 Se pide: a) Represetar la fució precio e el itervalo dado. b) Estudiar el crecimieto y decrecimieto de la fució precio. Hayamos la primera derivada de ( ) Pt 6t si t 2 P'( t) = 5 si 2 < t 8 2 Es positiva e el itervalo (,2) y por tato Px ( ) es creciete e ese itervalo, por otra parte, P'( x ) es egativa e el itervalo (2,8) y por tato Px ( ) es decreciete e ese itervalo. c) Cuál fue el precio máximo que alcazó el artículo?. Cuádo? 2 El precio máximo lo alcazó al segudo año y fue P (2) = = 16. Obsérvese que la fució es cotiua e x = 2 ya que los límites laterales coicide, y además que a la derecha de 2 es creciete y que a la izquierda es decreciete, por tato es u máximo.

6 5.- Tres estudiates desea regalar ua calculadora gráfica de 8.6 pesetas a u amigo. Decide reuir esa catidad de la siguiete forma: Pedro aporta el triple de lo que aporta los otros dos jutos. Jua aporta tres pesetas por cada dos que aporta José. Se pide: a) Platea el sistema de ecuacioes lieales del problema. P+ Ju+ Jo = 86 P = 3( Ju+ Jo) 3 Ju = Jo 2 b) Resuelve el sistema por cualquier método que coozcas. P + Ju + Jo = 86 P + Ju + Jo = 86 P + Ju + Jo = 86 P 3Ju 3Jo = 4Ju 4Jo = 86 4Ju+ 4Jo = 86 2Ju 3Jo = 2Ju 3Jo 2Ju 3Jo = = P + Ju + Jo = 86 P + Ju + Jo = 86 P = 645 2Ju + 2Jo = 43 2Ju + 2Jo = 43 Ju = 129 2Ju 3Jo = 5Jo = 43 Jo = 86

7 PRUEBA B 1.- Para ua operació de compraveta de u Supermercado se tiee, etre otras, la siguiete iformació. Los vededores afirma que la caja media por cliete es de 75 pesetas por operació, co distribució ormal. La empresa compradora efectuó u muestreo de tamaño 36 que dio u gasto medio de 722 pesetas y ua desviació típica de 56 pesetas. Se pide: a) Para u ivel de sigificació del 5%, idicar si el muestreo es represetativo, e esayo bilateral de la població de idica los vededores. Se os platea u cotraste de hipótesis Bilateral de la forma: H : µ = µ H : µ = 75 H1 : µ µ H1 : µ 75 σ Para este cotraste, la regió de aceptació es R.A.= µ zα /2, µ + zα /2 Si x RA.. aceptamos la hipótesis ula y e caso cotrario la rechazamos. σ Datos del problema: x = 722; = 36; µ = 75; σ = 56; α =, 5; α/ 2 =, 25; z = 1.96,25 RA = , = ( 731.7, 768.3) Como 722 ( 731.7, 768.3) o aceptamos la hipótesis ula, es decir, rechazamos que µ = 75. La resolució de este cotraste se podía haber hecho de forma equivalete utilizado el x µ estadístico de prueba, z = y ver si cae e la regió de rechazo que para este test σ z, z = 1.96, bilateral es: R.R.=( ) ( ) α /2 α / z decir, rechazamos que µ = 75. = = = ; como 3 ( 1.96, 1.96), o aceptamos la hipótesis ula, es b) E el supuesto de que las 75 pesetas sea el valor míimo de gasto de los clietes, comprobar la validez de la muestra e esayo uilateral co el mismo ivel. Se os platea u cotraste de hipótesis uilateral de la forma: H : µ µ H : µ 75 H1 : µ < µ H1 : µ < 75 x = 722; = 36; µ = 75; σ = 56; α =, 5; z,5 = 1.64 Para este cotraste uilateral la regió de rechazo es σ 56 RR.. = µ + zα, =, = (, 734.7) 36 Como 722 (, 734.7) rechazamos la hipótesis ula, es decir, rechazamos que µ = 75.

8 2.- E ua muestra aleatoria de 3 votates, 18 se mostraro favorables al partido A. a) Estimar e % y co u ivel de cofiaza del 99%, etre qué límites se ecuetra la proporció de votates al partido A. Se os pide hallar u itervalo de cofiaza al 99% para la proporció de votates del partido A ˆ( 1 ˆ) ˆ( 1 ˆ) Este itervalo es ˆ p p z p ˆ /2, p z p p α + α /2 Datos del problema: 18 = 3; pˆ = =, 6; α =, 1; zα /2 = z,5 = 2,58 3.6(1.6).6(1.6) , = (.527,.672) 3 3 b) Co u ivel de cofiaza del 95%, cuál debe ser el tamaño de la muestra para que se realice ua estimació co u error meor o igual a,5?. Datos del apartado: p =.6; E =.5; α =.5 α/ 2 =.25 zα /2 = z.25 = 1.96 El máximo error que se comete, co u ivel de cofiaza del 95 % es: pˆ(1 pˆ) zα /2 < E.6(1.6) 1.96 < < < (.255) 2 <.24 <.65 >

9 3.- Ua empresa dedicada a la fabricació de lumiosos publicitarios aucia que, como máximo, hay u 1% de lumiosos defectuosos. Se seleccioa ua muestra de 1 rótulos publicitarios y se observa que aparece 3 defectuosos. Se pide: a) Co u ivel de sigificació del 5%, podemos aceptar la hipótesis del fabricate? Se os platea u cotraste de hipótesis uilateral de la forma: H : p p H : p,1 H1 : p > p H1 : p >,1 Para este cotraste la regió de rechazo es p( 1 p) R.R.= p + zα, Si pˆ RR.. rechazamos la hipótesis ula y e caso cotrario la aceptamos. Datos del problema: 3 = 1; pˆ = =, 3; p =, 1; α =, 5; z,5 = 1, 64 1,1( 1,1) RR.. =, , = (,26, ) 1 Como,3 (.26, ) rechazamos la hipótesis ula, es decir, o aceptamos que p,1. La resolució de este cotraste se podía haber hecho de forma equivalete utilizado el estadístico de prueba, z = p p p(1 p) y ver si cae e la regió de rechazo ( z α, ) = ( 1,64, ). z =,3,1, 1(1, 1) = 2.1; como 2,1 ( 1,64, ), rechazamos la hipótesis ula, es 1 decir, o aceptamos la hipótesis ula, p,1. b) Y co u ivel de cofiaza del 99%? La regió de rechazo para el estadístico de prueba es: ( zα, ) = ( z,1, ) = ( 2,33, ). el estadístico de prueba vale 2,1 2,1 2,33,, o rechazamos la z =, y como ( ) hipótesis ula, es decir, aceptamos que p.1

10 4.- E u día desapacible, la temperatura (T) e grados cetígrados varió co el tiempo t 2 (e horas) segú la fució Tt () = t -9t+ 8 para t 12. Se pide: a) Qué temperatura hacía a la dos de la mañaa? 2 Nos pide calcular T ( 2) = = 6grados b) Cuál fue la temperatura máxima? A qué hora se produjo? Calcular T'( t) = 2t 9 y T''( t ) = 2 >, como la derivada seguda es positiva quiere decir que T o tiee igú máximo e el iterior del itervalo (,12). Por tato Hay que evaluar la fució e los extremos del itervalo y ver e que puto de ellos se alcaza el máximo. T () = 8 T (12) = 44 La temperatura máxima se alcazó a las 12 horas y se alcazaro 44 grados. c) A qué hora hubo ua temperatura de cero grados? 2 t = 1 Hay que resolver la ecuació Tt () = t 9t+ 8= t = 8 d) Cuál fue el itervalo de variació de la temperatura desde las 6 a las 12 horas? T (6) = 1 La temperatura varió de 1 a 44 grados T (12) = 44

11 5.- La Cosejería de Saidad del Gobiero de Caarias dispoe de 3 médicos, 48 efermeras y 24 milloes de pesetas para costruir cetros asisteciales e los barrios de Guaarteme y Escaleritas. Los requerimietos de cada cetro viee dados por la siguiete tabla: Zoas Médicos Efermeras Milloes Guaarteme Escaleritas Si la autoridades cosidera prioritario prestar ateció saitaria al mayor úmero de persoas y, además, si e cada cetro de Guaarteme se proporcioa asistecia a 15 persoas (de media) y cada cetro de Escaleritas puede ateder a 6 persoas de media, cuátos cetros hay que poer e cada barrio? Se trata de maximizar la fució, umero de pacietes co asistecia médica. Esta fució es: f ( xy, ) = 15x+ 6y Co las siguietes restriccioes presupuestarias, de persoal y de o egatividad de las variables : Milloes 3x+ 1y 24 Médicos 3x+ 2y 3 Efermeras 3x+ 4y 48 x ; y Teemos pues que: Max f ( x, y) = 15x + 6y sa.. : 3x+ 1y 24 3x+ 2y 3 3x+ 4y 48 x ; y 3x+ 1y 24 3x+ 4y 48 3x+ 2y 3 15x+ 6y =

12 Los putos extremos de la regió factible so: (,12), (4,9), (6,6) y (8,) Evaluamos la fució objetivo e estos putos y se obtiee: f f f f ( ) ( ) ( ) ( ),12 = 72 4,9 = 114 6,6 = 126 8, = 12 Por lo tato el máximo úmero de cuidadaos co asistecia médica se tiee cuado se hace 6 cetros e Guaarteme y 6 e Escaleritas.

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