10. Electricidad. r 2

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1 10. Electricidad. Vamos a estudiar la fuerza electromagnética (incluye interacciones eléctricas y magnéticas) que viene definida en términos de los que se conoce como campo electromagnético (engloba el campo eléctrico y el campo magnético). Las interacciones electromagnéticas aparecen entre partículas que tienen carga eléctrica, propiedad tan fundamental como es la masa y que al igual que ésta define el campo gravitatorio las carga define un campo eléctrico. Similitudes y diferencias entre las fuerzas eléctricas y las gravitatorias: Semejanzas: Así como los objetos con masa son acelerados en un campo gravitatorio mediante fuerzas gravitatorias, partículas cargadas son también aceleradas en el seno de un campo eléctrico por la acción de fuerzas eléctricas. En una chispa o en un calambrazo al tocar un cable hay un movimiento de cargas o corriente eléctrica (flujos de partículas cargadas que va de un medio a otro en respuesta a fuerzas eléctricas). Los campos de fuerza que las definen son ambos conservativos hay una energía potencial y un potencial V = E p /A, donde A = q,m es la magnitud activa que genera el campo, y en ambos casos V 1 r Las fuerzas eléctrica y gravitatoria también tienen una forma similar: F 1 r 2 Diferencias: La fuerza gravitatoria es atractiva mientras que la fuerza eléctrica puede ser atractiva o repulsiva. La interacción eléctrica es mucho más intensa que la gravitatoria, pero a nivel macroscópico la materia es neutra: no aparecen fuerzas eléctricas (salvo que se rompa el balance de cargas positivas y negativas como en los rayos en una tormenta) el universo está gobernado a escala macroscópica por las fuerzas gravitatorias. La fuerza gravitatoria no depende del medio mientras que la eléctrica sí. 39

2 10.1 Cargas eléctricas, conductores y aislantes Los fenómenos eléctricos se conocen desde la antigua Grecia alrededor de año 600 B.C: al frotar ámbar con lana éste era capaz de atraer otros objetos pequeños. Hoy sabemos que al frotar el ámbar se carga eléctricamente. De hecho la palabra eléctrico viene del griego electron que significa ámbar. Los materiales de plástico o piel son materiales en los que se manifiestan los fenómenos electrostáticos: aparecen interecciones entre cargas eléctricas en reposo: barras de plástico cargadas al frotarlas con piel se repelen (de hecho se cargan con cargas negativas). barras de cristal cargadas al frotarlas con seda se repelen (de hecho se cargan con cargas positivas). una barra de plástico cargada se aproxima a una barra de cristal cargada ambas se atraen. Estos hechos experimentales mostraban la existencia de dos tipos de cargas diferentes: las que cargan una barra de plástico al frotarlo con piel y las que cargan una barra de cristal al frotarla con seda. Benjamin Franklin ( ) sugirió llamar a estos dos tipos cargas negativas y cargas positivas respectivamente Dos cargas positivas o dos negativas se repelen mútuamente y una carga positiva y otra negativa se atraen entre sí. Qué ocurre a nivel microscópico para que el plástico, el ámbar o el cristal se carguen? Los átomos están constituidos por los electrones, con carga negativa, los protones con carga positiva y los neutrones sin carga. Protones y neutrones a su vez por quarks que tienen cargas de ± 1 y 3 ±2 veces la carga del electrón. Protones 3 y neutrones están unidos de forma estable, mediante una interacción atractiva más intensa que la de repulsión entre cargas positivas, llamada fuerza nuclear fuerte y forman el núcleo está cargado positivamente. Los electrones (-) están unidos al núcleo () mediante fuerzas eléctricas atractivas de largo alcance. La fuerza nuclear fuerte tiene un rango menor y no se extiende más allá del núcleo. 40

3 La masa del electrón, protón y neutrón son m e = 9, (16) kg m p = 1,67262l71(29) kg m n = 1, (29) kg La carga del electrón es exactamente la misma y de signo contrario a la carga del protón y es: e = 1, (14) C En el S.I. la unidad de carga eléctrica se denomina culombio (símbolo C) y es la cantidad de carga que, a la distancia de 1 metro, ejerce sobre otra cantidad de carga igual, una fuerza de N. En un átomo neutro hay el mismo número de electrones que de protones, y la carga eléctrica neta es cero. En un átomo neutro el número de protones o electrones se llama número atómico. Si el átomo pierde uno o más electrones queda cargado positivamente y forma un ión positivo o catión. Si el átomo gana uno o más electrones queda cargado negativamente y se llama ión negativo o anión. El proceso de ganar o perder electrones se llama ionización. En un cuerpo macroscópico si el número de protones es igual al de electrones el cuerpo es eléctricamente neutro. Un cuerpo puede cargarse positivamente o negativamente perdiendo o ganando electrones. La carga neta de un cuerpo es del orden de veces la carga total positiva o negativa del cuerpo. Principio de conservación de la carga: La suma algebraica de todas las cargas de un sistema cerrado es constante En todo proceso de carga de un cuerpo la carga total se conserva, es decir la carga que gana el cuerpo la pierde otro que está en contacto con él (p.e. la barra de plástico que se frota con la piel, el plástico gana electrones que pierde la piel). La carga total de los dos sistemas se conserva. La carga no se crea ni se destruye, si no que se transfiere de un cuerpo a otro. La magnitud de carga de un electrón o de un protón es una unidad natural de carga. Cada cantidad observable de carga es un múltiplo entero de esta unidad básica la carga eléctrica está cuantizada (los quarks tienen carga menor que la del electrón pero no son observadas como cargas aisladas). 41

4 Conductores y aislantes Hay materiales que permiten el movimiento de la carga eléctrica en su seno (p.e. hilo de cobre) se llaman conductores. Otros materiales (como el nilon o la goma) no lo permiten aislantes o aisladores En general, los metales son buenos conductores y los no metales son aislantes. Los metales tienen valencia positiva y facilidad para perder electrones exteriores formando iones positivos (disoluciones). En estado sólido estos electrones externos se pueden desprender de cada átomo y moverse líbremente formando un gas de eléctrones en movimiento. En los aislantes no hay electrones libres. bola de medula de sauco hilo de cobre hilo de nilon barra de plastico cargada El dibujo anterior muestra una carga por contacto: las cargas positivas se mueven de la barra de plástico al hilo de cobre y de éste a la bola de médula de saúco. Hay también carga por inducción como se muestra en la figura, y las cargas así generadas se llaman cargas inducidas. 42

5 Lo que se mueven son los electrones que son cargas negativas. Debido a la repulsión entre las cargas negativas de la barra de plástico y los electrones de las esferas, éstos se mueven lo más lejos de la barra, es decir a la esfera de la derecha la de la izquierda queda cargada positivamente y la de la derecha negativamente Ley de Coulomb Comenzamos por el estudio de cargas eléctricas en reposo respecto un sist. de ref. (si las cargas están en movimiento aparecen otros efectos como son los efectos magnéticos que veremos después). Las interecciones entre cargas eléctricas en reposo se llaman interacciones electrostáticas (química, biología y tecnología) y están gobernadas por la llamada Ley de Coulomb. Coulomb, un físico francés, experimentando con cargas eléctricas, calculó la fuerza que se ejercían dichas cargas, y enunció la ley que lleva su nombre;: La fuerza que se ejercen dos cargas puntuales y en reposo q y q separadas una distancia r es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Dicha fuerza es de repulsión si las cargas son del mismo signo y de atracción si son de signo contrario. F u r q q F r u r F F q q r 43

6 En ambas situaciones F F = 0 (tercera ley de Newton). La fuerza que la carga q ejerce sobre la carga q es F = K qq r 2 u r (7) donde el versor u r tiene módulo unidad, dirección la recta que une las dos cargas y sentido hacia afuera. Notad que en esta expresión (7) hay que incluir en las variables q,q su signo, es decir que si la carga q es negativa y tiene un valor de, por ejemplo 1C, entonces se toma q = 1C. En la expresión de la ley de Coulomb la constante K depende del medio donde están las cargas y en el vacío y en el S.I. vale K Nm 2 /C 2. Se suele presentar K en la forma K = 1 4πǫ donde ǫ es la constante dieléctrica o permitividad del medio y que en el vacío vale ǫ 0 = 1 2 = 8, C 4πK 0 Nm 2 El valor de ǫ en un medio siempre es mayor que en el vacío ǫ 0 la fuerza que se ejercen dos cargas es máxima en el vacío. Se puede definir una nueva constante adimensional que se llama constante dieléctrica relativa o permitividad relativa definida como ǫ r = ǫ ǫ 0 Se puede comprobar que la permitividad del aire es aproximadamente igual a la del vacío. Si tenemos varias cargas puntuales q i, la fuerza neta de todas ellas ejercen sobre otra dada q será igual a la suma de las fuerzas individuales de cada una de ellas sobre ésta (principio de superposición): F = if i F i = K q iq u ri 2 i,r 44

7 10.3 Campo eléctrico: Ley de Gauss Una carga q en el espacio, modifica éste a su alrededor otra carga q cerca de la primera siente una fuerza F dada por la Ley de Coulomb q me define un campo de fuerzas que llamamos campo electrostático o campo eléctrico (también podríamos decir que es la carga q la que crea el campo y q la que lo siente). Se trata de un campo de fuerzas y por lo tanto es un campo vectorial E = E(x,y,z) E( r). Además es conservativo como veremos. En resumen podemos decir: Existe un campo eléctrico en un punto del espacio si actúa una fuerza de origen eléctrico sobre un cuerpo estacionario cargado situado en dicho punto Como ya vimos, se define el campo E en un punto como el cociente obtenido de dividir la fuerza eléctrica F, que actúa sobre una carga positiva q, sobre la magnitud de dicha carga E = F q (8) Si q es negativa E y F tienen signos opuestos. A E se le denomina a veces intensidad del campo eléctrico. En el S.I. su unidad es 1N/C. La definición (8) hay que modificarla cuando un conjunto de cargas o una distribución de cargas crea el campo (como un conductor cargado), pues la mera presencia de la carga q y la fuerza que ella hace sobre las cargas que generan el campo puede modificar dicha distribución de cargas. Es mejor usar la definición E = lím q 0 Si existe un campo eléctrico en el interior de un conductor se ejerce una fuerza sobre cada carga del mismo que hace que éstas se muevan produciendo una corriente eléctrica. Por el contrario si no hay corriente eléctrica en un conductor el campo eléctrico dentro del conductor debe ser nulo. Si la dirección y sentido de E es cte. en una región del espacio el campo es uniforme en dicha región. F q 45

8 De la definción de campo eléctrico creado por una carga puntual q se tiene E = 1 4πǫ 0 q r 2 u r Si lo que hay es una distribución de cargas q 1, q 2,... el campo resultante es la suma vectorial (principio de superposición) de los vectores campo E i creados separadamente por cada carga q i, es decir E = ie i E i = 1 q i 4πǫ 0 ri u 2 i,r Si la carga está distribuida uniformente por la superficie de un coductor finito, cada elemento superficial de carga dq (tal que q = dq) crea un campo infinitesimal d E = 1 4πǫ 0 dq r 2 u r de donde integrando sobre toda la superficie del conductor se tiene E = 1 dq 4πǫ 0 r 2 u r aqui la integral se extiende a unos límites tales que tenga en cuenta toda la carga del conductor. Notad que lo anterior es una identidad entre vectores tres identidades entre las componentes de los dos vectores. 46

9 Líneas de campo eléctrico El concepto de líneas de campo (o líneas de fuerza) fue introducido por Michael Faraday ( ). Ayudan a visualizar cómo va variando la dirección de E al cambiar de un punto a otro. Se trazan de forma que la dirección de E en cada punto del espacio es tangente a las líneas de campo en ese punto. Como la dirección de E puede variar de un punto a otro, las líneas de campo normalmente son curvas: E E E Indican las trayectorias que seguiría la unidad de carga positiva si se la abandona libremente, por lo que las líneas de campo salen de las cargas positivas y llegan a las cargas negativas: Para dos cargas juntas se tiene: 47

10 Las propiedades de las líneas de campo se pueden resumir en: El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de campo en cada punto. Las líneas de campo eléctrico son abiertas; salen siempre de las cargas positivas o del infinito y terminan en el infinito o en las cargas negativas. El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a dicha carga. La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo eléctrico en dicho punto. Las líneas de campo no pueden cortarse. De lo contrario en el punto de corte existirían dos vectores campo eléctrico distintos (con direcciones diferentes). A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas están igualmente espaciadas y son radiales, comportándose el sistema como una carga puntual. 48

11 Ley de Gauss La ley de Gauss 6 es muy importante en el estudio del campo electrostático (y en cualquier otro campo de fuerzas). El contenido de esta ley está relacionado con las líneas de campo. El campo eléctrico generado por una carga puntual positiva aislada está representado por líneas que parten en todas direcciones, de forma que el campo E tiene dirección radial y sentido hacia fuera de la carga. Sea una superficie S esférica de radio R (ver figura) rodeando la carga, y nos preguntamos por la densidad de líneas de campo que atraviesan una superficie elemental ds (que es perpendicular a las líneas de campo) y que es proporcional al campo en ese punto ds E ds E R R ds θ ds E R dn ds = c E = c 1 4πǫ 0 q R 2 6 K.F. Gauss ( ) fue un matemático y cientifico alemán que hizo numerosas contribuciones al campo de la física teórica y experimental y a las matemáticas. 49

12 donde c es una constante de proporcionalidad. El número total de líneas de campo que atraviesan la superficie S es (integrando sobre toda la superficie esférica) que no depende de R. N = c 1 4πǫ 0 q R 2S = c q ǫ 0 Sea ahora la carga rodeada de una superficie cerrada arbitraria S, y consideremos como antes un elemento de superficie ds, que ahora no es perpendicular a las líneas de campo. Sea d S el vector normal a la superficie ds, con d S = ds y sentido hacia fuerza de la superficie. Como E tiene dirección radial (dirección de las líneas de campo) la proyección del vector d S en dicha dirección es dscosθ d S es decir, es el módulo de un vector superficie proyección de ds sobre la esfera y por tanto perpendicular a las líneas de campo (como antes) dn ds = c E de donde dn = c E ds = c E dscosθ = c E d S θ es el ángulo que forman E y d S. Notad que también es lo mismo E ds = E dscosθ = E ds donde E es la proyección del campo eléctrico en la dirección perpendicular de la superficie arbitraria S, es decir en la dirección de d S. Integrando sobre toda la superficie cerrada y sabiendo que N = c q ǫ 0 se llega al resultado E d S = q ǫ 0 o Ley de Gauss para el campo electrostático. Se define el flujo eléctrico elemental a través de la superficie elemental ds como dφ = E d S = E dscosθ 50

13 y que por definición es proporcional al número de líneas de campo que atraviesan la superficie ds que es la proyección de ds perpendicular al campo E. El flujo total a través de la superficie cerrada es Φ = E ds que en virtud de la Ley de Gauss es Si q = 0 entonces E d S = 0 Φ = 0 Φ = q ǫ 0 Todo lo anterior se generaliza para varias cargas o para una distribución contínua de cargas y se cumple: E ds = 1 q i Q ǫ 0 ǫ 0 El flujo total Φ a través de la superficie cerrada que encierra la carga q es por tanto proporcional al número de líneas de campo que atraviesan la superficie en dirección hacia fuera y la carga neta q dentro de la superficie es proporcional a este número. Si E es perpendicular a todos los puntos de la superficie de área S y tiene la misma magnitud en todo ellos (es uniforme) entonces E y ds tienen la misma dirección por lo que E ds = EdS y se tiene E ds = EdS = ES i Si E es paralelo a todos los puntos de la superficie E d S por lo que E d S = 0 y la integral es cero. Si E = 0 en todos los puntos entonces la integral es cero La superficie de la que habla la ley de Gauss no tiene por qué ser una superficie física real como la de un cuerpo sólido sino que es una superficie imaginaria que podemos elegir a nuestra conveniencia según el caso particular que estemos estudiando y se llama superficie gaussiana. 51

14 En la integral el campo E es el campo total en cada punto de la superficie, originado en parte por la cargas que hay dentro de la superficie y en parte por las cargas fuera de la superficie. Si no hay cargas dentro de la superficie puede que el campo no sea nulo en la superficie pero siempre la integral E d S = 0 en virtud de la ley de Gauss. La ley de Gauss la carga en un conductor se localiza en la superficie exterior del mismo (EJERCICIO), es decir no puede haber carga neta en el interior de un conductor incluso si el conductor es hueco (tiene cavidades). La ley de Coulomb se puede derivar a partir de la Ley de Gauss (EJERCICIO) (EJERCICIO) Campo creado por una esfera conductora cargada de radio R (en dicha esfera el exceso de carga q se distribuye en la superficie de la esfera y el campo E fuera de la esfera tiene dirección radial). Demostrar que usando una esfera gaussiana de radio r > R se tiene E = 1 4πǫ 0 q r 2 u r de donde en la superficie de la esfera conductora el campo vale E = 1 4πǫ 0 q R 2 u r Campo eléctrico creado por un cable conductor delgado de longitud l 1 uniformemente cargado (EJER- CICIO): E = 1 λ 2πǫ 0 r u r con λ la carga por unidad de longitud del cable y r es el radio del cable. Qué ocurriría si l fuera pequeño? Campo creado por un lámina plana infinita de carga (EJERCICIO) con σ = q/s. Elijo como superficie gaussiana un cilindro p.e. de área suficientemente grande de base S. Las líneas de campo sólo atraviesan las bases del cilindro el flujo a través de la superficie lateral es cero 52

15 E S S E E d S = 2ES = σs ǫ 0 E = σ 2ǫ 0 u Campo creado por una placa plana conductora infinita cargada. La carga se distribuye en la superficie de la placa es como si tuviéramos dos láminas conductoras paralelas con la misma carga (ver dibujo): 53

16 E 1 E 2 E 1 E 2 E 2 S S S S E 1 el campo neto en las superficies externas es E = E 1 E 2 y en el interior de la placa es cero. Aplicando ahora la Ley de Gauss se obtiene: E = E 1 E 2 = σ u σ u = σ u 2ǫ 0 2ǫ 0 ǫ 0 Si las cargas en las dos láminas de la placa son de signo contrario tendríamos una situación opuesta a la anterior y ahora en el exterior de la placa el campo sería nulo y en el interior sería E = E 1 E 2 = σ ǫ 0 u u es perpendicular a la superficie pero el sentido va de la lámina cargada () a la lámina cargada (-). 54

17 10.4 Energía potencial y potencial eléctricos Energía potencial eléctrica Al igual que en Mecánica los conceptos de trabajo y energía tienen un papel fundamental en electricidad y magnetismo. Un campo eléctrico realiza un trabajo sobre una partícula cargada en movimiento que se puede expresar en términos de la energía potencial asociada al concepto de potencial eléctrico o simplemente potencial Vimos que el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve debido a fuerzas conservativas se podía expresar en términos de una función energía potencial si la partícula es desplazada de un punto A a otro B (para fuerzas conservativas el trabajo es igual para cualquier camino para ir de A a B) W B A = B A F d l = E p (A) E p (B) = E p Para el campo eléctrico, la fuerza que actúa sobre una partícula cargada, en el seno de un campo creado por otras cargas en reposo, es un campo de fuerzas conservativos como veremos y podemos aplicar el resultado anterior. Sea una carga q estática que crea el campo y otra carga q situada a una distacia r y que se puede mover en el seno de este campo. q ejerce sobre q una fuerza (ley de Coulomb) F = 1 4πǫ 0 qq r 2 u r El trabajo realizado por esta fuerza para llevar a la carga q de r A a r B será (ver dibujo): 55

18 F dr θ θ dl r B r A WA B = B F d l = r B 1 qq A r A 4πǫ 0 u r 2 r d l = qq rb 1 4πǫ 0 r A dlcosθ = qq rb dr r 2 4πǫ 0 r A r 2 ( ) = qq 1 4πǫ 0 r A 1 r B que sólo depende de la posición original y final y no del camino la fuerza eléctrica es conservativa. Igualando las dos últimas expresiones del trabajo sugiere definir la energía potencial eléctrica como E p ( r) = 1 qq 4πǫ 0 r definiendo un punto de referencia r B al que asignamos una energía potencial constante y que hacemos igual a cero. Para el campo eléctrico ese punto de referencia es el infinito que tendría trivialmente E p = 0. Fijado el punto de referencia en el infinito para el que E p = 0 se tiene E p ( r) = 1 4πǫ 0 qq r = W r 56

19 la energía potencial de una carga de prueba q en cualquier punto de un campo eléctrico es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica para llevar a la carga de prueba q desde el punto en cuestión a un nivel de referencia cero que usualmente se toma en el infinito. Principio de superposición: Si el campo que mueve q esta creado por varias cargas o por una distribución contínua de cargas el campo eléctrico total en un punto del espacio donde está q es la suma vectorial de los campos individuales creados por cada carga o elemento infinitesimal de la distribución de carga, y el trabajo total es la suma de los trabajos que cada fuerza eléctrica partícular ejerce sobre q la E p total es la suma de las energía potenciales asociadas a cada carga o elemento infinitesismal de la distribución de carga: E p ( r) = q 4πǫ 0 donde r i son los vectores distancia entre cada carga individual de la distribución y la carga q Potencial eléctrico Definimos la magnitud escalar potencial en un punto de un campo eléctrico y lo denotamos por V( r) como la energía potencial por unidad de carga q : i q i r i V( r) = E p( r) q = 1 4πǫ 0 q r V( r) no depende de la carga de prueba. Para muchas cargas o una distribución de cargas se tiene V( r) = 1 4πǫ 0 El potencial sólo depende de las cargas o distribución de cargas que crea el campo y de las coordenadas, es decir es V( r). Su unidad en el sistema internacional es 1J/C 1V(voltio). En función del trabajo tenemos WA B = E p(a) E p(b) q q q 57 i q i r i = V( r A ) V( r B ) V AB (9)

20 La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos r A y r B del campo eléctrico expresa el trabajo que tiene que hacer el campo para llevar la unidad de carga positiva desde r A a r B Si E = 0 V AB = 0 V A = V B = cte. B V AB = WB A = q A Si E d l E d l = 0 V AB = 0 V A = V B = cte Cálculo de diferencias de potencial F d q B l = A E d l Conductor esférico de radio R cargado: Como ya vimos para este caso { E = 1 q 4πǫ 0 u r 2 r para R r E = 0 para r < R que es el mismo que el creado por una carga puntual q cuando R r y cero en el interior del conductor de donde tomando como referencia de energía pontecial cero el infinito y siendo R finito se tiene { V = 1 q para R r 4πǫ 0 r V = cte = 1 q para r < R 4πǫ 0 R en el interior de la esfera V( r) = cte pues E = 0 en el interior por continuidad podemos poner que es igual al potencial que hay en la superficie de la esfera. Placas paralelas con cargas opuestas separadas una distancia l. Antes vimos para este caso que E en el exterior es cero y entre las placas es E = σ ǫ 0 u 58

21 El trabajo para llevar la unidad de carga de la placa positiva (A) a un punto del interior x es W x A = x A F d l pero en este sistema se tiene que F = F u y d l = dl u de donde WA x = F x = Eq x = σ q x ǫ 0 de donde es decir V Ax = V A V x = Wx A q = σ ǫ 0 x V x = V A σ ǫ 0 x y el potencial en la placa cargada negativamente es Superficies equipotenciales V B = V A σ ǫ 0 l V AB = σ ǫ 0 l = El Como V( r) depende de las coordenadas, la asociación de cada punto del campo con el valor que toma el potencial eléctrico en ese punto define un campo escalar, que podemos representar por las llamadas líneas o superficies equipotenciales : lugar geométrico del espacio que tiene el mismo valor del potencial eléctrico V( r). Para que el campo E pueda ser descrito por V( r) es necesario que a partir del valor de V( r) en cada punto deduzcamos el valor del campo eléctrico E en módulo, dirección y sentido y por tanto el valor de la fuerza eléctrica F = q E. Además podremos representar el campo eléctrico mediante las líneas de campo y también por las superficies equipotenciales. Vamos a ver cómo hacer esto: WA B = r B r A F d l = q r B r A E d l = Ep ( r A ) E p ( r B ) = q [V( r A ) V( r B )] rb r A E d l = V( ra ) V( r B ) r B r A dv dv = E d l 59

22 La ecuación anterior el trabajo elemental realizado por E sobre q para moverla entre dos puntos muy próximos es igual a menos la variación elemental de V( r) entre los mismos. Ejemplo: Si el campo muevela partícula tangencialmente a las líneas equipontenciales E E dl E V=cte dv = 0 E d l = E d l cosθ = 0 θ = 90 o Es decir el vector intensidad de campo E es en todo punto perpendicular a las superficies equipontenciales. Su sentido es el de los potenciales decrecientes. En el dibujo se respresentan las superficies equipotenciales en el campo creado por una carga positiva, y dos cargas del mismo signo y de distinto signo: 60

23 Gradiente del potencial Supongamos dos superficies equipotenciales muy próximas: dl gradv θ E V < V B A V B V A Hemos visto antes que dv = E d l = E d l cosθ si llamamos ds = d l se tiene trivialmente dv ds = E cosθ que se le conoce como derivada direccional e indica la derivada de la función potencial en la dirección que marca d l. Si ponemos el producto escalar en función de sus coordenadas y usando que d l = dx idy j dz k E = E x ie y j E z k dv = (E x dxe y dy E z dz) 61

24 Por definición de diferencial de una función V( r) = V(x,y,z) se tiene que de donde igualando se tiene introduciendo el vector gradiente dv = V V V dx dy x y z dz E x = V x E y = V y E z = V z grad = x i x k x k se tiene en particular para el campo eléctrico F = q E puede definirse mediante la función potencial eléctrico V( r) en la forma E = gradv( r) = V( r) Es decir el vector intensidad del campo E en un punto del campo eléctrico es igual a grad del potencial eléctrico V en ese punto. De esta forma podemos obtener E a partir de V( r), por lo que podemos describir el campo eléctrico mediante el potencial eléctrico y representarlo mediante superficies equipotenciales. Observaciones: Notad que el gradv( r) es perpendicular a las superficies equipotenciales y tiene el sentido de los potenciales crecientes. La dirección de los vectorese y gradv( r) es aquella en la cual el potencial varía más rápidamente por unidad de longitud. No confundir líneas de fuerza y superficies equipotenciales: 62

25 E E E Como E = F q y V = W B A /q = E p /q F/q = gradv( r) = 1 q gradep ( r) por lo que F = grade p ( r) Resultado que ya habiamos encontrado antes. Por lo tanto si el sistema está aislado F = Capacitores: Propiedades de los dieléctricos Dos materiales conductores cualesquiera separados por un material aislador forman un capacitor o condensador. Los dos conductores suelen tener cargas de igual magnitud pero de signo opuesto la carga neta es nula. El campo eléctrico en la región intermedia y por lo tanto la diferencia de potencial es proporcional a esta carga, que denotaremos por Q. Definimos la capacitancia C de un capacitor por la relación C = Q V AB 63

26 la unidad en el S.I. de capacitancia es 1C/V = 1F(faradio). Un capacitor se representa por el símbolo Si se dice que un capacitor tiene una carga Q > 0 significa que la carga del conductor de mayor potencial es Q y la del conductor de menor potencial es Q. El tipo de capacitor más frecuente es el de placas paralelas: V A V B Q E Q d Si las placas están lo suficientemente cerca el campo eléctrico en el interior es prácticamente uniforme. Según ya vimos cuando aplicamos la ley de Gauss para este sistema se tiene E = σ ǫ 0 u = Q ǫ 0 S u 64

27 donde S es la superficie de cada placa y Q la carga total en cada placa. Por otra parte como el campo eléctrico en el interior es uniforme se tiene (como vimos más arriba) de donde la capacitancia es V AB = B A E d l = Ed = Qd ǫ 0 S C = Q S = ǫ 0 V AB d como para un capacitor ǫ 0,S,d son constantes la capacitancia de un capacitor es constante independiente de la carga del capacitor Capacitores en serie y en paralelo En aplicaciones prácticas los condensadores se pueden conectar en serie o en paralelo. Capacitores en en serie. Si dos capacitores con capacitancias C 1 y C 2 están conectados así V AC V CB C 1 C 2 C Q Q Q Q Q Q V AB V AB de forma que en el dibujo de la izquierda V AC = Q C 1 V CB = Q C 2 65

28 pero como V AB = V AC V CB se llega a que ( 1 V AB = Q 1 ) C 1 C 2 En el dibujo de la derecha es V AB = Q C el capacitor equivalente tiene una capacitancia que verifica 1 C = 1 C 1 1 C 2 Este resultado es válido para cualquier número de capacitores en serie: 1 C = 1 C 1 1 C 2... Capacitores en paralelo como muestra la figura Q 2 Q 1 C 2 C 1 Q C V AB V AB tenemos que se cumple por un lado V AB = Q 1 C 1 = Q 2 C 2 = Q C 66

29 pero por otra parte V AB C = Q = Q 1 Q 2 = V AB C 1 V AB C 2 = V AB (C 1 C 2 ) de donde trivialmente C = C 1 C 2 y este resultado se puede generalizar a n capacitores en paralelo Energía de un capacitor cargado C = C 1 C 2... Cargar un capacitor consiste en transferir carga desde la placa con menor potencial hasta la placa con mayor, que requiere consumo de energía. Si inicialmente las placas están cargadas y vamos pasando una carga elemental dq de una placa a otra se tiene que la carga final Q y la diferencia de potencial V están relacionadas por Q = CV Si en un momento del proceso la carga trasferida es q y la diferencia de potencial es v = q/c el trabajo necesario para transferir la siguiente carga elemental dq es de donde integrando sobre todo el proceso tenemos W = 1 C Q 0 dw = vdq = q C dq qdq = Q2 2C = 1 2 CV 2 = 1 2 QV que no es más que la energía potencial almacenada en el capacitor cuando éste adquiere una carga Q. EJERCI- CIO: Demostrar que en términos de la intensidad del campo eléctrico la densidad de energía u = W/volumen almacenada en un capacitor cargado es u = 1 2 ǫ 0E 2 67

30 Efecto de un dielétrico: teoría molecular de las cargas inducidas. La mayor parte de los capacitores tienen entre sus placas un material sólido no conductor o dieléctrico. P.e. un capacitor típico estaría formado por dos tiras de chapa separadas por una tira de papel parafinado o plástico enrolladas formado un pequeño cilindro. Cualquier material dieléctrico sometido a un campo eléctrico suficientemente grande experimenta una rotura dieléctrica (rayo), o ionización parcial que permite la conducción a través de él. Muchos materiales aisladores toleran campos eléctricos más grandes que en el caso del aire. La capacitancia C de un capacitor es mayor cuando hay un dieléctrico entre las placas que cuando hay aire o el vacío (C 0 ). Experimentalmente se ve que si se introduce un material dieléctrico entre las placas de un capacitor con sólo aire entre ellas se produce un disminución de la diferencia de potencial entre placas, que vuelve a recuperarse cuando se quita otra vez el dieléctrico la carga es la misma en ambas situaciones. Por lo tanto aumenta de la capacitancia cuando hay un dieléctrico entre placas. En concreto se tiene que se llama constante dieléctrica del material. Sabemos que en un capacitor con vacío o aire K = C C 0 > 1 E 0 = V 0 d = σ ǫ 0 al meter un dieléctrico disminuye la diferencia de potencial V E disminuye y también la carga por unidad de área. Como no ha habido pérdida de carga por ningún sitio esta disminución sólo puede estar ocasionada por la aparición de cargas inducidas de signo opuesto a las de las dos placas es decir: 68

31 σ σ i σ i σ Si σ i es la carga inducida por unidad de área en las superficies del dieléctrico la carga neta superficial que contribuye al campo eléctrico en el interior del dieléctrico es (σ σ i ) y el campo eléctrico es pero E = V d = σ σ i ǫ 0 K = C C 0 = Q/V Q/V 0 = E 0 E = σ σ σ i es decir σ σ i = σ K E = σ Kǫ 0 el productro Kǫ 0 se llama permitividad del dieléctrico y se representa por ǫ el campo eléctrico dentro del dieléctrico es E = σ ǫ 69

32 En el caso de un conductor al tener las cargas libres y aplicar un campo eléctrico éste mueve las cargas libres del interior a la superficie del conductor. En un dieléctrico no hay cargas libres cómo pueden aparecer cargas inducidas? La respuesta a esta pregunta hay que buscarla a nivel molecular del material. Las moléculas puedes ser polares, es decir hay una distribución de asimétrica de cargas positivas y negativas constituyendo un dipolo eléctrico molecular, o no polares, cuando esto no ocurre. En presencia de un campo eléctrico las no polares se pueden también polarizar en los dos casos la presencia de un campo eléctrico hace que estos dipolos inducidos, debido a las fuerzas eléctricas se alineen en la dirección del campo apareciendo a su vez un campo inducido que se opone al campo. En las zonas superficiales del dieléctrico aparece un exceso de carga, negativa en un extremo y positiva en el otro σ Dado un dipolo eléctrico formado por dos cargas q y q separadas una distancia d se define el momento dipolar eléctrico y se representa por p al vector cuyo módulo es p = qd, su dirección es la recta que las une, y cuyo sentido va de la carga negativa a la positiva: σ 70

33 En presencia de un campo eléctrico uniforme se crea un par de fuerzas sobre el dipolo cuyo momento (momento dipolar eléctrico) es M = r F r F con módulo es M = dfsenθ con F = F = F = qe de donde se tiene que el momento dipolar eléctrico es M = qdesenθ = pesenθ o en notación vectorial M = p E 10.6 Corriente eléctrica, resistencia y fuerza electromotriz Cuando hay un flujo neto de carga a través de una superficie o sección perpendicular decimos que hay una corriente eléctrica a través de dicha sección. P.e. un conductor cargado en el seno de un campo eléctrico, de forma que las cargas del interior se mueven hacia la superficie quedando el interior libre de cargas con campo nulo y potencial constante se genera una corriente eléctrica transitoria. Para mantener una corriente 71

34 contínua debemos conservar alguna fuerza sobre las cargas móviles de un conductor, fuerza que puede proceder de un campo electrostático F = q E y que denominaremos fuerza de arrastre. El movimiento de una carga en un conductor es muy diferente del que que tendría una carga en el vacío, pues después de acelerarse puede chocar inelásticamente con partículas fijas en el conductor y tiene que volver a empezar a acelerarse. En promedio su movimiento es en la dirección de la fuerza de arrastre con una velocidad denominada velocidad de arrastre. Las colisiones inelásticas con partículas fijas originan transferencia de energía cinética de la carga a las partículas que aumenta la energía de vibración de éstas y un aumento de la temperatura del conductor si está aislado o una trasferencia de calor al entorno si no lo está Corriente eléctrica La corriente eléctrica a través de un área se define cuantitativamente como la carga neta que fluye a través de dicha área por unidad de tiempo. I av = Q t El flujo de carga por unidad de tiempo puede no ser constante es mejor definir la corriente instantánea Q I = lím t 0 t = dq dt que es una cantidad escalar. Su unidad en el S.I. es 1C/seg = 1A(amperio) en honor al físico francés André Marie Ampère ( ). Podemos expresar la corriente en función de la velocidad de arrastre (ver dibujo). Dado un conductor cilíndrico de sección S a través del cual fluyen cargas positivas hacia la derecha en presencia de un campo eléctrico E (que apunta hacia la derecha) en condiciones estacionarias en un volumen S v t habrá n partículas cargadas con carga q la carga neta que fluye en el cilindro en t es 72

35 E v v t de donde Q = nqvs t I = nqvs El resultado sería el mismo con cargas negativas moviéndose pero ahora éstas se moverían hacia la izquierda pues la fuerza del campo electrico es opuesta al campo E en este caso 7. En general un conductor puede contener un número cualesquiera de tipos de partículas cargadas con cargas q i, densidades n i y velocidades de arrastre v i de forma que la corriente total será I = S i n i q i v i La corriente por unidad de área transversal se llama densidad de corriente J J = I S = i n i q i v i y el vector densidad de corriente se define por la ecuación J = i n i q i v i 7 Cuando se habla del sentido de la corriente electrica se pone como convenio el del movimiento de las cargas positivas, aunque en realidad son los electrones, por tanto cargas negativas, los que se mueven en general, por ejemplo a través de un conductor. 73

36 La dirección de la velocidad de arrastre v de una carga positiva es la misma que la del campo eléctrico y la de una carga negativa es opuesta a él el vector J siempre tiene la misma dirección que el campo eléctrico. Cuando la intensidad de corriente eléctrica no depende del tiempo, es constante la corriente se dice corriente contínua (DC). Si depende del tiempo, se llama corriente alterna (AC) Resistividad y resistencia. La densidad de corriente eléctrica J en un conductor depende del campo eléctrico E y de la naturaleza del conductor. La dependencia de J con E puede ser bastante compleja pero para conductores metálicos puede ser proporcional es decir ρj = E que me define la resistividad ρ E/J es decir el campo eléctrico por unidad de densidad de corriente. Un conductor perfecto tendría resistividad nula y un aislador perfecto la tendrá infinita. Los metales tienen resistividades bajas y son los mejores conductores. Los semiconductores son una clase intermedia entre conductores y aisladores. El descubrimiento de que ρ es una constante para un conductor metálico a T = cte se debe a G.S. Ohm ( ) y se conoce como la ley de Ohm. Un material que verifica esta ley se denomina conductor óhmico o conductor lineal. Si no la verifica se llama conductor no lineal. La resistividad de todos los conductores aumenta con la temperatura ρ = ρ 0 [1α(T T 0 )] donde ρ 0 es la resistividad a la temperatura T 0 de referencia. La resistividad de un semiconductor disminuye con la temperatura. Dado que en general E y J son difíciles de medir es útil poner la relación E = ρj en términos de magnitudes más fácilmente medibles como la corriente total y la diferencia de potencial: I = JS V = El 74

37 de donde ρ = V/l I/S V = ρl S I la corriente total es directamente proporcional a la diferencia de potencial. A la cantidad ρl/s para un material dado se le llama su resistencia: R ρl S de donde tenemos V = RI que con frecuencia recibe el nombre de Ley de Ohm. La unidad SI de resistencia es 1Voltio/Amperio = 1Ohmio = 1Ω la unidad de resistividad es 1Ohmio metro. Como R es proporcional a la resistividad R varía con la temperatura para pequeñas variaciones de esta en la forma R = R 0 [1α(T T 0 )] En un caso particular de un circuito podemos tener resistencias en serie y en paralelo como ocurría en el caso de los capacitores. Resistencias en serie I a R 1 x R 2 b I V ax = R 1 I V xb = R 2 I pero V ab = V ax V xb = I(R 1 R 2 ) = IR R = R 1 R 2. Es decir el circuitos con dos resistencias en serie es equivalente a un circuito con una sólo cuyo valor es la suma de las dos. Esto se puede generalizar a n resistencias en serie Resistencias en paralelo R 1 a I R 2 I b 75

38 ( V ab = I 1 R 1 = I 2 R 2 pero I = I 1 I 2 = V ab R 1 V ab R 2 = V ab generalizar a n resistencias en paralelo Fuerza electromotriz ) 1 R 1 1 R 2 = V ab R 1 R = 1 R 1 1 R 2 y esto se puede Para que exista una corriente estacionaria en un circuito conductor, éste debe formar una malla cerrada o circuito completo, si no la carga se acumularía en los extremos del conductor, el campo eléctrico resultante variaría con el tiempo y la corriente no podría ser constante. Tal circuito no puede estar constituido sólo por una resistencia: la corriente en una resistencia necesita un campo eléctrico y un potencial asociado. Como el campo eléctrico realiza siempre un trabajo positivo sobre la carga y ésta se mueve siempre en la dirección del potencial decreciente tras una vuelta completa y regresar a su punto de partida volvería tener el mismo potencial. Esto no puede ser pues siempre se mueve en sentido de potenciales decrecientes debe haber una parte del circuito en la que la carga pase de un potencial menor a otro mayor. El influjo que hace mover la carga de un potencial menor a otro mayor se llama fuerza electromotriz. Todo circuito completo en el que haya una corriente estacionaria debe tener un dispositivo que proporcione la fuerza electromotriz (las baterías, los generadores, las células fotovoltaicas y los termopares) que reciben el nombre de generadores de fuerza electromotriz. También se le llama fuente o convertidor de energía. Dentro de estos dispositivos podemos describir una fuerza no electrostática F n que mueve las cargas hacia potenciales crecientes. Es como si hubiera un campo eléctrico adicional E n no electrostático tal que F n = q E n a E E n b en un circuito abierto como en la figura las cargas están en equilibrio E E n = 0. 76

39 Se llama fuerza electromotriz E al trabajo realizado por E n por unidad de carga cuando la carga se mueve de b hasta a. Cuando E = E n entonces V ab = E La unidad en el SI de E n es la misma que la de E esto es voltio por metro la unidad de fuerza electromotriz es la misma que la de potencial o de diferencia de potencial, es decir el voltio. La E no es exactamente una diferencia de potencial pues esta última representa el trabajo por unidad de carga de un campo electrostático. La E no depende de la intensidad de corriente, en la mayoría de los casos es constante y depende sólo alguna propiedad de la fuente. Si los terminales de la fuente estan conectadas por un cable de forma que hay un circuito cerrado a E E n b E E E la fuerza de arrastre sobre las cargas libres del cable se debe exclusivamente a E que crea una corriente en el cable de a a b las cargas en los terminales disminuyen ligeramente E en el interior se hace más pequeño que E n, rompiendo el equilibrio y las cargas positivas en el interior de la fuente son llevadas hacia el terminal positivo generando una corriente en el interior de b a a. El circuito se estabiliza de forma que la corriente es la misma en todas las secciones transversales. 77

40 Si la corriente pudiera circular por el interior de la fuente sin resistencia la carga que deja el terminal a sería reemplazada totalmente por el flujo a través del interior de la fuente de b a a, de forma que E en el interior no variaría y se tendría E = V ab = RI donde R es la resistencia del circuito externo. En realidad hay resistencia al movimiento de cargas en el interior de la fuente que producen una caída de potencial donde r es la resistencia interna de la fuente V ab = E Ir E Ir = IR I = E Rr Si los terminales de la fuente están conectados por un conductor de resistencia nula se dice que la fuente está en cortocircuito. En ese caso R = 0 y la corriente en cortocircuito es I c = E r En estas condiciones el voltaje entre terminales es V ab = E I c r = 0 el campo electrostático dentro de la fuente es nulo. Una fuente está totalmente descrita por una E y por su resistencia interna r. Podría ocurrir que el campo electrostático en el interior de la fuente fuera mayor que E n habría transferencia del terminal a al b. Esto ocurre p.e. en un alternador de un automóvil cuando va cargando la bateria el voltaje entre terminales es mayor que la E. Una fuente se representa por el símbolo V ab = E Ir 78

41 A la hora de estudiar los circuitos complejos con diferentes combinaciones y configuraciones geométricas de resistencias, capacitadores, baterías etc, son útiles las conocidas como Reglas de Kirchhoff. Antes de enunciarlas es conveniente definir lo que es un nudo y una malla en un circuito: Un nudo de un circuito es un punto donde se unen 3 o más líneas conductoras. Una malla es cualquier trayecto conductor cerrado. Las reglas de Kirchhoff son dos: Regla de los nudos: La suma algebraica de las corrientes que se dirigen a cualquier nudo es cero I = 0 que no es más que una expresión del principio de conservación de la carga eléctrica, que no puede acumularse en un nudo. La corriente que entra en un nudo tiene que ser exactamente igual a la que sale del nudo. Regla de las mallas: La suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier malla, incluidas las asociadas a fuerzas electromotrices y a los elementos resistivos, ha de ser igual a cero E IR = 0 que no es más que una expresión del principio de conservación de la energía: cuando una carga recorre una malla en un circuito la suma de las subidas de potencial en las fem de la malla debe ser igual a la suma de las caidas de potencial en los elementos resistivos Trabajo y potencia en circuitos eléctricos Consideremos una parte de un circuito que tiene una región como la de la figura: 79

42 V a Vb I a b I Sea V a V b = V ab. Al pasar la carga el campo eléctrico realiza trabajo sobre ella. En un intervalo de tiempo t pasa una cantidad de carga Q = I t y el trabajo realizado por el campo es W = V ab Q = V ab I t trabajo que es transferido en forma de energía al circuito. La cantidad de energía transferida por unidad de tiempo, es decir la potencia, es P = W = V ab I t Si el potencial en b es mayor que el de a V ab es negativo. La carga entonces gana energía potencial (a expensas de alguna otra forma de energía) y hay transferencia de energía eléctrica hacia fuera desde esta parte del circuito. En el caso de tener una resistencia pura en esta parte del circuito se tiene P = V ab I = RI 2 = V 2 En el caso de tener una fuente, podemos calcular la potencia de salida dela fuente R P = V ab I = (E Ir)I = EI I 2 r donde EI = trabajo realizado por unidad de tiempo realizado sobre las cargas por el agente que origina el campo no electrostático E n. El término I 2 r es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia interna. 80

43 Voltímetros y Amperímetros Ambos aparatos de medida se basen en el funcionamiento del Galvanómetro de Arsonval que es un dispositivo formado por un conductor por el que pasa una corriente y una aguja en el seno de un campo magnético. En ausencia de corriente la aguja apunta en la dirección del campo magnético producido por el imán. Cuando pasa una corriente por el conductor se crea un campo magnético (esto lo vamos a ver más adelante) que dependiendo del sentido de la misma crea un campo magnético que se opone o no al del imán y por tanto produce una atracción o repulsión del imán proporcional a la intensidad de dicha corriente que atraviesa el conductor. Esto permite graduar la desviación de la aguja para medir corriente. Si se cumple la ley de Ohm, el voltaje es proporcional a la corriente es posible graduar la desviación de la aguja del galvanómetro para medira voltajes. Los Voltímetros son aparatos basados en el galvanómetro que se utilizan para medir diferencias de potencial entre dos puntos de un circuito se conectan en paralelo al circuito. Los Amperímetros son aparatos que se utilizan para medir la corriente que fluye por un conductor de un circuito se conectan en serie con el conductor tienen que tener resistencia nula o muy pequeña.. 81

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