Transferencia de Masa ª

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1 Transferencia de Masa ª

2 # Transporte de masa cuando el coeficiente de transferencia de masa como función de la composición del medio un ejemplo. # Condición límite convectiva; analogía en el trasporte de energía y masa; # Modelos de coeficiente de transferencias de masa para interfase fluida (largo alcance).

3 Ejemplo Transporte de un soluto a través de un fluido cuando el coeficiente de difusión es función de la composición del medio 1 Transporte de un material de interés a, como se indica en la figura: a sale de la parte baja (difusor, sólido que se disuelve) y se transporta a través medio m; en la parte superior de m, a es arrastrado por la corriente de aire que circula el la parte superior del recipiente, por lo tanto la concentración de a en esa posición es constante: C a.= C a en z = L. Se considera además que el coeficiente de difusión es una función lineal de la fracción molar de a : D D 1 x am am x a Preguntas a) Obtener el perfil de la composición de a en el seno del fluido, en términos de la fracción molar de a: x a (z); b) Obtener el modelo del flux molar, N ax en términos de x a y de x avg, donde: x avg x a 1 Plawsky, J. L., Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Inc., 1 x al

4 4

5 Solución Modelo (restricciones) para el líquido: 1.- Estado estacionario;.- Transporte unidireccional (z); 3.- La concentración molar total C t es constante; 4.- Contra-difusión equimolar: N a = N m 5.- Sistema isotérmico. Para obtener el perfil de a, se debe resolver el balance de masa (molar) que satisfaga la restricciones establecidas: d N a dca como: Na Dam vc como: C... constante a a xact Ct dxa Na DamCt vct x como: vc a t Na Nm dxa dx Na DamCt xa Na Nm pero: Na Nm Na DamCt d como: Dam Dam 1 xxa y Na d dxa d dxa DamCt 1 xxa 1 xxa a

6 d dxa Como: 1 xxa dxa 1 xxa 1 x xa xa 1z... (p) Las condiciones límite, necesarias para evaluar κ 1 y κ son: x z ; x z L a a a al Sustituyendo las condiciones límite en la ecuación (p), se tiene: x x x x x L L L L L x x x 1 x al a x 1 al a x avg x avg xal xa donde: x xal xa... xavg x xa xa Sustituyendo κ 1 y κ en (p), se obtiene la ecuación que describe el perfil de a: x x x x x 1 x z L x a a a a x avg

7 como: dxa como: Na DamCt 1 xxa x x x x x 1 x z L x a a a a x avg d x d x xa xa xa xa 1 xxavg z L dxa x dxa x dxa x x 1 x 1 x 1 x L L a x avg x a x avg N a x N D C 1 x L a am t x avg D C 1 x am t x avg Na L x L D C 1 x am t x avg = x fuerza motríz resistencia

8 Revisión de conceptos básicos: Balance general ecuación de conservación la ecuación mas importante del curso [entrada] [salida] + [generación] = [acumulación] Ejemplos: * conocimientos * impuestos Condiciones límite cotar el sistema lo que ocurre ahí no siempre se define mediante constantes Dos tipos condiciones límite que son importantes: 1) Valores conocidos de las variables del proceso: C = C en z = ) Se conoce el flux de la (o las) propiedades conservativa(s) que se transportan; en este curso se consideran CL en las cuales no hay ni acumulación ni reacción (*). Transporte por Convección algunos comentarios # Transporte por convección implica el transporte de la propiedad conservativa con un fluido que se mueve (transporta con él a la propiedad conservativa). # Condiciones limite convectivas (CLC), son las que prevalecen en la interfase que separa a un fluido (el que transporta la propiedad conservativa de interés PC) y otra fase que puede estar: i) fija, como un sólido; o ii) en movimiento, como un segundo fluido que es inmiscible con aquel que transporta la PC. # En estos sistemas, el elemento de control (aquella región pequeña en donde se analiza el proceso) incluye explícitamente a la interfase. # El espesor de la interfase es pequeño comparado con las otras dimensiones del sistema, y no tiene capacidad de acumular ni de hacer reaccionar a la PC (*). 1 Plawsky, J. L., Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Inc., 1

9 Condición límite convectiva Sea el caso de un fluido (el cual transporta un propiedad conservativa de interés PC) que fluye en la vecindad de un sólido, como se muestra en la siguiente figura: En la interfase se debe cumplir: # Lejos del sólido, el fluido se mueve con una velocidad constante, y la PC también tiene un valor constante, la cual está representada por ϑ ϑ representa velocidad, temperatura, concentración Hay una región (arbitrariamente definida) que se define como la interfase entre el sólido y el fluido; a través de dicha interfase ocurre el flux de la PC. [flux difusivo del sólido] = [flux convectivo del fluido] flux difusivo en el sólido: " w w d dx w W d es el coeficiente de difusión en el sólido; es el gradiente de evaluado en dx w w

10 Condición limite convectiva Sea el caso de un fluido (el cual transporta un propiedad conservativa de interés PC) que fluye en la vecindad de un sólido, como se muestra en la siguiente figura: # Lejos del sólido, el fluido se mueve con una velocidad constante, y la PC también tiene un valor constante, la cual está representada por ϑ ϑ representa velocidad, temperatura, concentración Hay una región (arbitrariamente definida) que se define como la interfase entre el sólido y el fluido; a través de dicha interfase ocurre el flux de la PC. En la interfase se debe cumplir: [flux difusivo del sólido] = [flux convectivo del fluido] Para representar el flux convectivo (del fluido), se utiliza la aproximación de largo alcance: el gradiente representa el cociente de dos diferencias: gradiente convectivo en el fluido d dx x x f f " f el flux convectivo en el fluido es: f f f f

11 En la interfase no hay reacción ni acumulación, por lo tanto, el flux que sale del sólido debe ser igual al flux que pasa a través de la interfase (continuidad) : [flux difusivo del solido] = [flux convectivo del fluido] d " " w f w dx w El término ς es el coeficiente convectivo de transferencia; se obtiene empíricamente; contiene el conocimiento (ignorancia) que se tenga de los materiales implicados, de las condiciones del flujo del fluido que transporta la PC, y de las características de la interfase. esta ecuación se le conoce como la condición limite convectiva CLC; en ella esta implícito el hecho de que no se conoce el valor de ϑ en la interfase; sin embargo, esto no limita la utilidad de la CLC, ya que describe la continuidad que transporte que debe haber en la interfase, complementa al modelo y permite la descripción del sistema. Por otro lado, las características de la interfase no se conocen con precisión porque dependen de las del fluido (distribución de la velocidad, características del mojado de la pared, etcétera). Esto explica porque la CLC puede implicar los procesos de transporte de momentum y el de alguna otra propiedad conservativa (energía, masa, carga), y en esos casos se deben resolver simultáneamente los balances de las propiedades conservativas que estén acopladas. Por la dificultad que ello implica, en ingeniería se utilizan los números adimensionales, para tener una idea de los coeficientes de transporte convectivo (de largo alcance).

12 Condición límite convectiva CLC dentro del fluido en términos adimensionales: " d como: f w dx Considerando las siguientes variables adimensionales: x S S x f d d S f f f dx w d f f d w ds d Para energía: T S T Para masa: S C C T f T C C ds hf d f ds kgf Sh d D m f ds d Nu ds f w

13 Coeficiente globale de transporte de masa k g y de energía h hat T H r C,T k a C C r C,T g S S S S S S La forma de calcular k g y h depende del modelo que se utilice para describir las características de la interfase y el modo en el que ocurre el transporte de dichas propiedades conservativas. Modelo de la película estancada (ya se presentó) Considerando un sistema interfase/intrafase, isotérmico: en la vecindad (el umbral) de la interfase y la intrafase debe cumplirse que el flux de reactivo que sale de la interfase debe ser igual al flux de reactivo que entra en la intrafase. Suponiendo que en la interfase el transporte de reactivo obedece la ley de enfriamiento de Newton, y que en la intrafase el transporte del reactivo es únicamente por difusión (no hay convección efectiva), se tiene: Interfase C T C S T δ dc kg C CS D dy y

14 Fenomenológicamente, los coeficientes globales de transferencia de masa k g y energía h se definen como el flux difusivo de la propiedad conservativa dividida por la fuerza motriz correspondiente: k g flux difusivo de masa y flux difusivo de calor C C T T S S h Para explicar un poco la dependencia de k g, considerar que en la película está estancada (u=v=) y es isotérmica (T=constante); además, debido a que el transporte de masa ocurre solamente en la dirección y; la ecuación de conservación de masa se simplifica de la siguiente manera: Interfase C T δ u v D x y x y C C C C con: C C en y y C C en y S C dc D a y dy C S T C CS C CS y

15 y como: C CS C CS dc dy y C C S Comparando esta última ecuación con la que establece la continuidad que debe haber en la interfase sólido/fluido (el flux de reactivo que sale de la interfase debe ser igual al flux de reactivo que entra en la intrafase): dc D k C C dy y g S dc D dy y D C C S por lo tanto: k g D Cualitativamente, esta igualdad confirma que el coeficiente convectivo (de largo alcance) de transferencia de masa k g es un coeficiente de transporte. Sin embargo, este modelo tiene la incertidumbre que implica la evaluación del espesor de la película estancada δ.

16 Enfoque Semiempírico: Transporte Molecular; Superficie Renovada. [1] Este modelo de transporte se basa en suponer que el transporte turbulento de la(s) propieda(es) conservativa(s) ocurre mediante remolinos que se mueven de un lado del sistema a otro. Transporte de calor antecedente Considere el caso con las siguientes características: 1. El sistema esta compuesto por una pared fija que se encuentra a una temperatura relativamente alta (T=T w );. Debido a la turbulencia que priva en el fluido que está en contacto con la pared, llegan a la pared caliente remolinos de un fluido que tienen una temperatura (T b ) menor que la de dicha pared (T b <T w ); 3. Cada remolino se mantiene en contacto con la pared un tiempo relativamente corto, pero lo suficiente para que ocurra la transferencia de una cantidad finita de calor (en este caso), y luego cada remolino es removido por otro, con lo cual se transfiere calor a nivel molecular y en régimen turbulento entre la pared y el fluido. 4. Conociendo (balanceando) la cantidad de calor que transporta un remolino y contabilizando (de alguna manera) la contribución de todos los remolinos que entran en contacto con la pared, se estima la cantidad total de calor transferida de la pared al fluido. [1]: Introduction to transport phenomena, W. J. Thomson, Prentice Hall,, Caps. 7,9 1.

17 Transporte Turbulento-Molecular. Modelo de la Superficie Renovada. Modelo Pared fija que tiene una temperatura relativamente alta (T=T w ); debido a la turbulencia que priva en el fluido, llegan a ella remolinos de un fluido que tienen una temperatura (T b ) menor que la de la pared (T b <T w ); Cada remolino se mantiene en contacto con la pared un tiempo relativamente corto, pero lo suficiente para que ocurra la transferencia molecular de una cantidad finita de calor.

18 Modelos para la transferencia de masa en la interfase Teoría de penetración (Higbie, 1935) Pretende tomar en cuenta la inestabilidad que existe en la interfase de sistemas fluido-fluido (no lo pueden hacer los modelos anteriores). Se plantea el caso de un sistema gas-líquido. El modelo consiste en considerar que se tiene un líquido B, en el cual hay paquetes de fluido que se ponen en contacto con un gas, durante el tiempo suficiente como para que ocurra el transporte de la especie de interés (hacia ó desde la fase gas); después de lo cual dichos paquetes se mueven hacia el seno del líquido, y son reemplazados por otros. En este sentido, este modelo supone la difusión del soluto en condiciones de estado no-estacionario en una cierta zona de líquido, que para facilitar el manejo matemático se considera que tiene un espesor infinito. Líquido,B Gas,

19 El modelo matemático tiene las siguientes restricciones: 1) Transporte por difusión; ) Unidireccional: x; 3) Estado no-estacionario; 4) Isotérmico 5) Espesor de la capa de líquido es infinito: x= Por lo tanto el modelo queda: C d C = DB t dx Con las siguientes condiciones límite: C x cuando: t La solución es de la forma 1 : C x cuando: t C x cuando: t i C C x =1-erf C C 4tD i B 1 Hines. L., Mass Transfer Fundamentals and pplications, Prentice Hall, bramowits, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 197.

20 Como el transporte es únicamente por difusión, el flux de esta dado por: N = D x= B C x C 1 x i x td 4tD B B x= C C x como: 1- erf Ci C 4tD B C C exp... (*) Por lo tanto, el flux de que entra (o sale) instantáneamente del paquete líquido es: C 1 N D x B DB Ci C exp x x td 4tD B B 1 D B x= i N = C C t (*) Hines. L., Mass Transfer Fundamentals and pplications, Prentice Hall, bramowits, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 197.

21 DB Como: N = C x= i C t Por otro lado, el flux promedio de que se transporta en el tiempo t s, que el paquete líquido está en contacto con la fase gas, se obtiene aplicando el concepto de valor medio: 1 N = N dt t s B N = Ci C 1 Ci C prom t t prom s 1 ts D dt 4D B s t ts Por otro lado: k g C C S D dx Por lo tanto, de acuerdo con la teoría de penetración de Higbie, la cual considera que los paquetes de líquido que entran en contacto con el gas permiten la transferencia del soluto y tienen un tiempo de contacto t s, que es constante (el mismo para todos), el coeficiente global de transporte convectivo k g es: k g 4D t Este modelo de k g es diferente del que predice la película estancada: B s 1 dc k g D

22 Teoría de renovación en la superficie (Danckwerts, 1951) Objetivo: mejorar la teoría de penetración de Higbie. El modelo de Danckwerts considera que los paquetes de líquido tienen un de tiempo de contacto que puede describirse con una función de distribución τ(t), en lugar de uno constante t s, como se considera en la teoría de penetración de Higbie. Por lo tanto, el flux promedio de se calcula con una función de la forma: 1 4D B i prom 1/ ts t t N C C dt Se pueden proponer diferentes funciones para τ(t); Danckwerts propuso una que implica que la rapidez con la que desaparecen los paquetes de cierta edad es de primer orden con respecto al número de elementos que tiene esa edad: d dt t S Donde S es la rapidez de renovación de remolinos en la superficie, y es igual al recíproco del tiempo de exposición de dichos elementos. d t Sdt K exp St

23 Para evaluar la constante de integración K se aprovecha que τ(t) es una cantidad fraccional, por lo cual debe cumplir con: como: como: como: t K exp St K exp( St )d St 1 K S S t dt 1 K exp( St )dt 1 1 D B S exp i prom 1 t t S exp S hora, aplicando esta función de distribución de tiempos de contacto a la expresión de flux molar promedio se tiene: S N C C dt

24 Como: k c 1 D B S exp i prom 1 t S N C C dt Resolviendo la integral se tiene el flux promedio de de acuerdo con el modelo que propone Danckwerts: S es un parámetro empírico. SD 1 B 1 N C C SD prom i B al compararla con: N k C C ' c i k c D 1 Este modelo es diferente que los de la película estancada y de la teoría de penetración de Higbie, que son respectivamente: 1 D 4D B kg kg ts B

25 Transferencia de Masa Fin de ª

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