Lo que nos interesa en el análisis de varianza de una vía es extender el test t para dos muestras independientes, para comparar más de dos muestras.

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1 Capítulo : Comparacó de varo tratameto o grupo Mucha preguta de vetgacó e educacó, pcología, egoco, dutra ceca aturale tee que ver co la comparacó de varo grupo o tratameto. Ya etudamo como comparar dfereca etre do tratameto cuado la poblacoe o depedete, ahora o terea comparar má de do poblacoe. La preguta de teré del vetgador erá exte dfereca gfcatva etre la meda de lo tratameto? S comprueba que exte dfereca gfcatva, etoce le tereará aber cuále de la poblacoe o tratameto comparado o dferete? Prmero ecetamo aber cómo cotetar la preguta geeral. El procedmeto para determar exte dfereca gfcatva etre vara poblacoe o grupo e llama Aál de Varaza, o vamo a referr a él uado la letra ANOVA por Aal of Varace, e glé. ANOVA e u ombre geérco e ua para ua varedad mea de modelo de comparacó de meda, també coocdo como deño de expermeto. Por ahora ólo hablaremo del ANOVA mple, de u factor, o de ua vía (oe wa ANOVA), que e refere a la comparacó de meda de do o má tratameto. Vamo a llamar factor a ua varable cualtatva que uaremo para degar a lo grupo o tratameto a comparar. Lo vele del factor erá el úmero de tratameto o grupo. El aál de varaza e mlar al aál de regreó e realdad lo do perteece a la gra famla de lo modelo leale. Lo modelo leale e caracterza por vetgar la relacó etre ua varable repueta cuattatva ua o má varable explcatora. S embargo el aál de varaza dfere del aál de regreó e que e el ANOVA la varable explcatora o cualtatva o factore. Lo que o terea e el aál de varaza de ua vía e exteder el tet t para do muetra depedete, para comparar má de do muetra. ANOVA de ua vía Cao : U médco quere comparar la efectvdad de tre tratameto para reducr el coleterol de pacete co alto vele de coleterol aguíeo. Se aga aleatoramete 6 dvduo a lo tre tratameto ( e cada uo) e regtra la reduccó de coleterol de cada pacete. Cao : Ua ecóloga etá tereada e comparar la cocetracó de cadmo e río. Recolecta muetra de agua ( muetra e cada río) mde la cocetracó de cadmo. Eto do cao tee mltude. E ambo teemo ua varable repueta cuattatva (reduccó del coleterol, cocetracó de cadmo) medda e vara udade (peroa muetra de agua). Eperamo que la repueta ea Normal e ambo cao. Queremo comparar vara poblacoe, tre tratameto e el cao río e el cao. El cao e u expermeto e el cual lo pacete o agado aleatoramete a lo tratameto. E el cao e u etudo obervacoal mplemete e toma muetra de dtto río. E ambo cao podemo uar el ANOVA para aalzar lo dato. E el cao uaremo u aál de varaza de u factor co vele. E el cao uaremo u aál de varaza de u factor co vele. TOMATES Porqué la plata de tomate crece co dferete tamaño? U tomatero quere comparar el efecto de tre fertlzate (A, B C) e el crecmeto de u plata de tomate. Seleccoó plata de tomate de ua emaa la plató e dferete macetero. Agó aleatoramete lo fertlzate e lo admtró a la plata por día. La fgura muetra la altura de la plata (e cm). Qué ocurró co la altura de eta plata? La plata de tomate o toda de la mma varedad de la mma edad. Ademá recbero el mmo cudado. Qué razoe ha para que la plata crezca a dferete altura? E dearrollo de ete tema de etudo e debe prcpalmete al trabajo de Sr Roald Fher, cua cotrbucoe a la etadítca, dede 9 hata 96, tuvero ua gra flueca e toda la etadítca modera.

2 Altura (cm) Fertlzate Dato: Fertlzate A B C De qué maera podríamo comparar eto tre tratameto? La repueta atural ería comparar cada par de tratameto o grupo co ua prueba t para muetra depedete. S embargo, o e correcto hacer prueba t de Studet etre todo lo pare poble de meda a que e altera el vel de gfcacó fjado para cada ua de la prueba. Epecífcamete, aumeta la probabldad de ecotrar dfereca dode o exte, e decr aumeta el Error Tpo I. Por ejemplo, teemo tratameto el úmero poble de pare de prueba ería!. E el cao de lo tomate teemo! prueba. El tet de ANOVA permte el etudo multáeo 6!!!! de la dfereca co u vel fjo de gfcacó. Problema de comparacoe múltple S teemo grupo o tratameto, ecetamo hacer 6 tet de hpóte: : µ µ : µ µ : µ µ : µ µ : µ µ : µ µ α, α, α, : µ µ : µ µ : µ µ : µ µ : µ µ : µ µ α, α, α, A medda que aumeta el úmero de grupo, o podemo garatzar que e matega el vel de gfcacó. Para olucoar ete problema e que hacemo prmero ua preguta global depededo del reultado egumo vetgado pare de grupo.

3 Comparado meda medate ANOVA: Se tee muetra aleatora depedete N ( µ,σ ) N ( µ,σ ) N ( µ,σ ) m.a.. m.a.. tamaño tamaño... m.a.. tamaño Poblacó Poblacó Poblacó Teemo ua muetra aleatora mple de obervacoe de ua poblacó N ( µ,σ ). obervacoe de ua poblacó ( µ,σ ) Teemo ua muetra aleatora mple de... Teemo ua muetra aleatora mple de La muetra aleatora o depedete ua de otra. N. obervacoe de ua poblacó ( µ,σ ) N. Nota: La devacó etádar poblacoal de cada grupo e gual a σ (homocedatcdad). IPOTESIS GLOBAL Uaremo µ para repreetar la meda del grupo, etoce etaremo tereado e docmar la guete hpóte: Grafcamete podemo repreetar eta hpóte: : µ µ... µ : al meo do meda o o guale o: la meda poblacoale o guale Normal : al meo ua meda e dferete Normal Normal σ σ σ µ µ µ µ µ µ µ TOMATES cotuacó póte de teré: Co u vel de gfcacó α, : µ µ µ : al meodo medao o guale.

4 Dato: Notacó e la muetra: N Meda Devacó típca A..6 B..9 C 6.. Total Fuete de varacó El aál de varaza e defe como ua técca e la que la varabldad de u cojuto de dato e dvde e varo compoete cada uo de ello e aoca a ua fuete epecífca de varacó, de maera que durate el aál e poble ecotrar la magtud co la que cotrbue cada ua de ea fuete e la varacó total. El ombre ANOVA e porque para comparar la meda de lo grupo o tratameto ecetamo detfcar la dtta fuete de varabldad. La varabldad de la varable repueta, refereca a gú factor que la pudera etar afectado, e cooce como varabldad total. La varabldad de la varable repueta que e atrbue a factore epecífco e cooce como varabldad explcada. Mde la varabldad etre lo dferete grupo. La varabldad de la varable repueta de la udade (expermetale) detro de cada vel del factor e cooce como varabldad o-explcada. Se deprede que: Varabldad total varabldad explcada + varabldad o explcada E el ejemplo de lo tomate dtga la fuete de varacó. Para docmar la hpóte global acerca de la meda uaremo el tet etadítco F. Ete tet cotrata la varabldad etre lo grupo co la varabldad que erá atural detro de lo grupo. F varabldad ENTRE la meda muetrale varabldad DENTRO de la muetra Peemo Cao A: S la meda muetrale o exactamete guale, cuál erá el umerador del tet F? Cae B: S la meda muetrale o mu dtta etre lo grupo, como erá la varabldad etre comparada co el cao A? Qué valore puede teer el etadítco F? F puede er egatvo? Qué tpo de valore de F erá a favor de la hpóte alteratva?

5 Meda cuadrátca El tet etadítco del ANOVA e la razó etre do medda de varacó de lo dato muetrale. El tet etadítco F compara la varacó etre lo promedo de lo grupo co la varacó atural detro de lo grupo. Formalmete eta do medda de varacó e llama meda cuadrátca, aí e el umerador tedemo la meda cuadrátca etre lo grupo (MCE) e el deomador la meda cuadrátca detro de lo grupo (MCD). varabldad ENTRE la meda muetrale F varabldad DENTRO de la muetra La do medda de varabldad e ANOVA, MCE MCD tee la mma forma. Suma de cuadrado (SC) Meda cuadrátca Grado de lbertad (gl) MCE MCD Etre má grade ea la varacó etre la meda muetrale comparada co la varacó atural detro de la muetra, maor evdeca a favor de dfereca etre la meda poblacoale. E vta de que ólo valore grade del tet etadítco o rve para rechazar la hpóte ula, lo tet F de ANOVA o ulaterale (de ua cola) co la dreccó del extremo haca la derecha. El valor p erá la probabldad de obervar u tet etadítco ta o má grade. Dtrbucó F de Fher Bajo el tet etadítco F que e calcula e el ANOVA tee ua dtrbucó F de Fher co (-, -) grado de lbertad. Caracterítca: La dtrbucó e egada a la derecha Su valore o potvo, empeza e cero e extede hata fto La curva de la dtrbucó queda defda por lo grado de lbertad del umerador del deomador GRAFICOS Se muetra do gráfco de caja. Cada uo repreeta el reultado de acar muetra aleatora depedete de tre poblacoe ormale. E cuál de lo do gráfco cree uted que podemo rechazar la hpóte ula : µ µ µ? Repueta Repueta Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo

6 Cómo calculamo F Cuado teemo ua muetra aleatora de ua poblacó co varaza decoocda σ, vamo a etmar eta varaza co la varaza muetral. La varaza muetral e calcula tomado la uma de lo cuadrado de la devacoe a la meda dvdedo por lo grado de lbertad (-). E ete cao cada muetra aleatora, ua por cada poblacoe, tee u meda muetral u varaza muetral repreetado por:,,...,,,...,. I Varacó ENTRE grupo: Bajo la hpóte ula, la meda poblacoale o guale. S la hpóte ula fuera certa, ería razoable promedar toda la obervacoe para teer ua etmacó de la meda de la poblacó. La meda muetral comú ería: + + L + La meda cuadrátca ENTRE lo grupo o meda cuadrátca de lo tratameto e calcula como: dode la uma de cuadrado ENTRE (SCE) e calcula como: SCE SCE MCE ( ) + ( ) + L + ( ) ( ) ( tamaño muetra grupo)( meda muetral grupo meda muetral cojuta) grupo grupo Varacó DENTRO de lo grupo: Uo de lo upueto de ANOVA e que la poblacoe tee la mma varaza. Cada ua de la varaza muetrale e u etmador de la varaza comú σ, depedete de la hpóte ula e certa. Lo grado de lbertad de cada varaza muetral e,. La MCD eecalmete comba la varaza muetrale para obteer u etmador de σ. La meda cuadrátca detro, e també llamada la meda cuadrátca del error. El deomador del etadítco F e: MCD SCD dode la uma de cuadrado DENTRO de lo grupo e calcula: SCD ( ) + ( ) + + ( ) ( ) L ( tamaño muetral grupo -)( varaza muetral grupo) grupo Note que eta catdad e ua exteó de la etmacó combada de la varaza empleada para la prueba t de muetra: grupo ( ) + ( ) + K + ( ) p + + L + Mdedo la varacó TOTAL: E ANOVA de ua vía, la varaza total de toda la obervacoe eta dada por la uma de cuadrado total, SCT, que mde la varacó de cada obervacó a la meda muetral de toda la obervacoe. SCT ( j ) ( obervacó - meda muetral) obervacoe obervacoe 6

7 La varacó total puede er partcoada etre la do fuete de varacó etre detro. La relacó etre la uma de cuadrado e: SCT SCE + SCD. S e tee do de la uma de cuadrado, e obtee la tercera fáclmete. Tabla ANOVA Todo eto e reume e la tabla de Aál de Varaza, e que e preeta la fuete de varacó, lo grado de lbertad, la uma de cuadrado la meda cuadrátca correpodete: TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA gl Fuete de varacó Grado de lbertad SC Suma de Cuadrado MC Meda cuadrátca F Etre tratameto SCE ( ) SCE F MCE MCD Detro de tratameto SCD ( ) SCD Total SCT ( j ) Salda SPSS para ANOVA TOMATES Suma de cuadrado gl Meda cuadrátca F Sg. Iter-grupo Itra-grupo Total Realce lo cálculo para docmar la hpote de teré del tomatero. Compruebe u reultado co tabla alda del SPSS. - Compruebe la relacó etre la uma de cuadrado la de lo grado de lbertad. - Ecrba u cocluó para el tomatero. 7

8 Revó de upueto de ANOVA: Lo upueto del ANOVA o exactamete lo mmo que lo de la prueba t para comparar do grupo.. lo grupo o tratameto o depedete etre í, por ejemplo e u deño expermetal, lo tratameto o agado a grupo de peroa agado al azar. Ete upueto e parte del deño expermetal, o e cao de que el etudo ea obervacoe e verfca e lo dato.. La dtrbucó de lo reduo e Normal. E la práctca, eto mplca u problema ólo e codera que la poblacoe tee dtrbucoe marcadamete amétrca e dreccoe opueta. E geeral, la falta de ormaldad de lo reduo o tee gra efecto e el vel de gfcaca del tet F (e dce que la prueba F e etadítcamete robuta). E otro capítulo hablaremo de ua alteratva de aál cuado lo reduo o o ormale que e llama etadítca o paramétrca. E SPSS o obteemo drectamete lo reduo del ANOVA. Como alteratva vamo a verfcar el upueto de Normaldad uado la varable repueta e vez de lo reduo. Se verfca ormaldad hacedo gráfco tet de hpóte. Para lo reduo (repueta) de cada tratameto cotrua u htograma o tallo--hoja verfque que o exta u ego proucado. Para tamaño de grupo pequeño, eto gráfco erá de poca utldad. SPSS realza do tet etadítco para verfcar ormaldad, el tet de Kolmogorov-Smrov el tet de Shapro-Wl. El tet de Kolmogorov-Smrov e u tet cláco coocdo. El tet de Shapro-Wl e má uevo recomedado para tamaño muetrale maore a. E todo cao, e epera que la cocluoe co cualquera de lo do tet ea la mma. La hpóte erá: : lo reduo proveete del : lo reduo proveete del tratameto o ormale tratameto NO o ormale Por lo tato el valor p del correpodete tet e maor que, aceptamo la hpóte ula coclumo que e cumple el upueto de Normaldad. Note que e ete cao epecal la hpóte de teré e la hpóte ula.. La varaza de cada ua de la dtrbucoe e la mma (homocedatcdad). El upueto de homogeedad de varaza e verfca co el tet de Levee, tal como vmo para el cao de comparar do grupo. póte Tet Etadítco Dtrbucó bajo o σ σ L σ : :al meo ua varaza dfere F F de Fher co grado de lbertad (-, -) S el valor p del tet e maor que, etoce aceptamo la hpóte ula decmo que e cumple el upueto de homocedatcdad. S el valor p fuera meor de, etoce o e cumple el upueto de homogeedad de varaza. E ete cao a o podremo uar el tet F de ANOVA para comparar la meda o tratameto. Exte u tet de comparacó de meda que toma e cueta ete problema e llama el tet de Welch. E el lbro de op & op & Gla aparece ua dcuó detallada obre la verfcacó de upueto pag

9 Salda SPSS para ANOVA TOMATES (cotuacó). Gráfco Q-Q ormal de Altura e cm. Para FERTIL A. Gráfco Q-Q ormal de Altura e cm. Para FERTIL B.... Normal eperado Normal eperado Valor obervado Valor obervado. Gráfco Q-Q ormal de Altura e cm. Para FERTIL C.. Normal eperado Valor obervado Prueba de ormaldad para lo tomate co SPSS ALTURA FERTILIZ Kolmogorov-Smrov(a) Shapro-Wl A Etadítco gl Sg. Etadítco gl Sg. A..(*).9. B..(*) C.7.(*).96.8 * Ete e u límte feror de la gfcacó verdadera. a Correccó de la gfcacó de Lllefor Prueba de homogeedad de varaza co SPSS Etadítco de Levee gl gl Sg... Prueba robuta de gualdad de la meda Etadítco(a) gl gl Sg. Welch a Dtrbudo e F atótcamete. 9

10 Comparacoe múltple E el ANOVA etamo tratado de comparar varo promedo poblacoale, e decr etamo hacedo comparacoe múltple. El procedmeto o dca que prmero hacemo u tet global para aber exte dfereca e al meo uo lo promedo. S la repueta e egatva (e decr aceptamo la hpóte de que la meda o guale) o e ecearo, útl, egur hacedo comparacoe. Pero lo dato o etadítcamete gfcatvo, etoce la preguta guete e: cuále meda o grupo dfere? El llamado problema de comparacoe múltple e debe a que cuado teemo má de do grupo a comparar, aumeta el úmero de pare de comparacoe el vel de gfcacó α etablecdo a o e, o maor. Exte cotrovera e ete tema, pero la revta de correte prcpal e geeral requere el uo de método de comparacoe múltple al hacer u ANOVA e u publcacoe. Exte dferete método de comparacoe múltple, prmero lo má mple ería realzar tet t para cada par de meda, eto e cooce como cotrate "etá permtdo" cuado la comparacoe a realzar ha do pre-plaeada e el deño o protocolo del etudo. S embargo, a pear de poder jutfcar como pre-plaeada o a- pror, lo llamado método pot-hoc o lo má eguro. Lo método de comparacoe múltple o pot-hoc o permte comparar la meda co u vel de gfcacó global de α,. E ete curo revaremo lo cotrate (a-pror) el método de Tue (pot-hoc), SPSS realza mucho otro método que pudera er útle que gue la mma floofía de Tue. Cotrate Realzar cotrate e equvalete a realzar tet t para comparar meda de todo lo poble pare de combacoe: t MCD j ( + ) j Dode MCD e la meda cuadrátca detro o la etmacó de la varaza poblacoal. E SPSS teemo que dcar cuale o lo pare a comparar dcádole cuale o lo coefcete de lo cotrate. Cada cotrate tee que umar cero: Coefcete de lo cotrate Fertlzate Cotrate A B C µ µ µ, e decr µ µ El cotrate equvale a docmar la hpóte: + : : µ + µ µ : µ + µ µ El cotrate equvale a docmar la hpóte: El cotrate equvale a docmar la hpóte: : : µ µ : µ µ, e decr, e decr

11 Prueba para lo cotrate ALTURA Aumedo gualdad de varaza Cotrate Valor del cotrate Error típco t gl Sg. (blateral) Tet de Tue El tet de Tue e batate coocdo aceptado e la lteratura. La prueba etadítca que utlza el método de Tue e la etadítca de rago etudetzado, q, dode q j MCD q ~ q(, ) Exte tabla para la etadítca de rago etudetzado pero o la vamo a ecetar, uaremo lo reultado de SPSS. Comparacoe múltple SD de Tue (I) Fertlzate A Itervalo de cofaza al 9% (J) Fertlzate Dfereca de meda (I-J) Error típco Sg. Límte feror Límte uperor B -8.(*) C B A 8.(*) C 6.8(*) C A B -6.8(*) * La dfereca etre la meda e gfcatva al vel.. Notar que el error etádar e el mmo, lo que camba e la dtrbucó que etamo uado como refereca, por lo tato camba el valor- p. Subcojuto homogéeo SD de Tue(a) Fertlzate N Subcojuto para alfa. A. C 6. B. Sg..7. Se muetra la meda para lo grupo e lo ubcojuto homogéeo. a Ua el tamaño muetral de la meda armóca.. Ua maera de preetar lo reultado e co el gráfco que muetra la meda de cada grupo u tervalo de 9% de cofaza: Nota fal: - El método de Tue e ca empre bueo - S e tee mucho tratameto poca plafcacó (mucha preguta) Scheffe e el má eguro, pero má exgete - S e tee u grupo cotrol co el cual e quere comprar lo tratameto, exte la prueba de Duet

12 Pao e ANOVA de u factor:. Decrbr lo grupo verfcar lo upueto, e recomeda ua decrpcó umérca (promedo error etádar) decrpcó gráfca (box) Decrpcó gráfca de efecto de lo fertlzate e la altura de lo tomate ALTURA N Fertlzate A B C 9% IC ALTURA N Fertlzate A B C. Aál de lo upueto: Normaldad omocedatcdad - Normaldad: Tet de Kolmogorov-Smrov Shapro-Wl - omocedatcdad: Tet de Levee a) S o e obtee ormaldad, e puede traformar lo dato o uar método o paramétrco (otro capítulo). b) S o e obtee homogeedad de varaza: e puede traformar lo dato o uar método o paramétrco o realzar el Tet de Welch (para comparar la meda). Tabla de ANOVA a) S F grade, valor p meor a, etoce: Tet de comparacoe múltple b) S valor p maor a, quere decr que o ha dfereca etadítcamete gfcatva etre lo promedo por lo tato o ha má preguta. Ver Aro & Aro capítulo

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