Juegos finitos n-personales como juegos de negociación

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1 Juegos ftos -persoales como uegos de egocacó A.M.Mármol L.Moro V. Rubales Departameto de Ecoomía Aplcada III. Uversdad de Sevlla. Avd. Ramó Caal.. 0-Sevlla. Resume Los uegos -persoales ftos so ua extesó de los uegos bmatrcales al caso de ugadores. Tradcoalmete eos uegos se trata desde el puto de va o cooperatvo pero e muchas ocasoes puede resultar útl aalzar las posbldades de cooperacó etre los ugadores para obteer solucoes de coseso que meore el resultado que puede asegurarse los ugadores dvdualmete. E ee trabao aalzamos los uegos -persoales ftos como uegos de egocacó. Cosderamos ua extesó de los valores maxm de u uego bpersoal para eablecer el puto de desacuerdo como el pago que cada ugador puede garatzarse depedetemete de los demás ugadores. Ua vez determado dcho puto obteemos la solucó de Kala-Smorodsk la solucó gualtara. Los resultados se lura co u eemplo. Palabras clave: Juegos ftos uegos de egocacó solucoes α-maxm. Abract N-perso fte games are the exteso of bmatrx games to the case of plaers. These games are usuall aalzed as ocooperatve games but certa cotexts t ca be useful to explore the possbltes of cooperato amog plaers to reach a cosesus soluto. I ths paper we aalze -perso fte games as bargag games. We cosder a exteso of the cocept of maxm values order to eablsh the dsagreemet pot ad preset a lear programmg procedure to obta the Kala- Smorodsk ad the egaltara solutos. Fall we dscuss a example to llurate the results. Kewords: Fte games bargag games α-maxm solutos.

2 . Itroduccó. Los uegos -persoales ftos e forma ormal se ha eudado usualmete desde la óptca de la teoría de uegos o cooperatvos sedo el equlbro de Nash (Nash 90a) el cocepto de solucó más mportate para ee tpo de uegos. S embargo auque todo uego fto posee al meos u equlbro de Nash ea solucó preseta dfcultades co respecto al úmero de putos de equlbro co respecto a la forma que tales equlbros podría ear relacoados co el hecho de que el resultado que proporcoa el puto de equlbro pueda o ser Pareto-óptmo. Eas debldades del equlbro de Nash sugere ua posbldad de cooperacó etre los ugadores de forma que se garatce u resultado meor que el que pueda obteer de forma depedete. E ee trabao aalzamos los uegos -persoales ftos escalares como uegos de egocacó e los que el espaco de todos los posbles resultados se obtee co la covexfcacó del espaco de pagos del uego fto medate erategas mxtas coutas. Eas erategas o sólo permte geerar cualquer pago del espaco so que també puede utlzarse para meorar el resultado e relacó co u puto de desacuerdo o cooperatvo que se determa como los pagos que puede asegurarse los ugadores s actúa ulateralmete. E la lteratura sobre uegos de egocacó se ha propueo dferetes coceptos de solucó. Etre las solucoes cláscas que se ha plateado eá la solucó de Nash (Nash 90b) que asga el puto del couto de pagos posbles que maxmza el producto de las utldades obtedas desde el puto de desacuerdo. Ha sdo també mu eudada la famla de solucoes proporcoales (Kala 9) deomadas també α-gualtaras que asga el puto maxmal factble para el cual las gaacas de utldad de todos los agetes desde el puto de desacuerdo so proporcoales. Casos partculares so la solucó de Kala-Smorodsk (Kala Smorodsk 9) que cosdera el puto cuas utldades so proporcoales a las expectatvas más optmas de los agetes la solucó gualtara que proporcoa las msmas gaacas de utldad a todos los agetes. El cocepto de solucó que cosderamos e ee trabao para resolver el uego de egocacó ducdo por el uego fto se basa e la aplcacó del crtero maxm dado lugar a la famla de solucoes α-maxm (Mármol et al. 00) que proporcoa u resultado factble que maxmza el mímo de las gaacas de utldad poderadas obtedas por cada ugador. Bao certas codcoes e ea famla se clue las solucoes cláscas de Kala-Smorodsk la gualtara e geeral proporcoa resultados que doma a los de éas. El trabao eá orgazado de la sguete forma: e la seccó presetamos el uego fto -persoal escalar. La seccó se dedca a la formulacó del uego de egocacó asocado al uego fto -persoal a su resolucó. E la seccó presetamos u eemplo de uego fto que os permte lurar el aálss que propoemos. El trabao falza co ua seccó dedcada a las coclusoes.. Juegos ftos -persoales Los uegos -persoales ftos e forma ormal so ua extesó de los uegos bmatrcales al caso de ugadores. Auque o es posble represetar matrcalmete eos uegos sí podemos eablecer ua formulacó precsa para descrbrlos.

3 U uego -persoal fto vee dado por el couto de ugadores N {... } dode cada ugador N tee u úmero fto de alteratvas o erategas puras r. Para N sea { r E e... e } el couto de erategas puras del ugador. Cuado cada ugador elge su eratega pura e el resultado del uego es u vector -dmesoal ( a... a ) dode la compoete -ésma represeta el pago obtedo por el ugador. Deotaremos por Y al espaco de erategas mxtas para el ugador Y { R r r / 0... r } Las erategas mxtas de los ugadores so drbucoes de probabldad sobre el couto de sus erategas puras. S los ugadores o coopera cada ugador elge ua eratega de su espaco de erategas mxtas Y la fucó de pagos se defe e el producto cartesao de los espacos de erategas mxtas de los ugadores r r Y R. U vector R se represeta como... ) dode r (... vectoral multleal f ( ). La fucó de pagos e el uego o cooperatvo es ua fucó f : Y R que puede escrbrse como r r r r... (... ) a a... S se supoe la cooperacó etre los ugadores ha que cosderar las erategas coutas que puede formarse a través de dcha cooperacó. Así el uego tee r R represetarse como erategas puras coutas. El couto de dchas erategas puede E E {( e... e ) e E r } Aálogamete ha que exteder la defcó de eratega mxta al ámbto de eos uegos para troducr el cocepto de eratega mxta couta como ua drbucó de probabldad sobre el couto de las erategas puras coutas. Así metras que e u uego o cooperatvo las erategas mxtas so drbucoes de probabldad de los ugadores elegdas depedetemete e u uego cooperatvo las erategas mxtas coutas so drbucoes de probabldad elegdas coutamete. El espaco de decsó couto de los ugadores e u uego -persoal fto cooperatvo es k Y { R... R R k k 0 } Cada compoete de Y {... r } represeta la probabldad de que los ugadores ela la eratega pura couta ( e... e ).

4 La fucó de pagos del uego cooperatvo defda e el espaco de erategas C mxtas coutas es ua fucó vectoral leal f : Y R que puede escrbrse como r r C f ( ) a... a Cosderado erategas mxtas coutas se cosgue la covexfcacó del couto de pagos del uego -persoal fto a que puede geerarse cualquer combacó covexa de vectores de pagos obtedos medate erategas puras. Eo es debdo a que el espaco de erategas mxtas coutas es compacto covexo la C fucó f es leal por lo que el couto de pagos es u poledro cuos vértces so los pagos correspodetes a las erategas puras coutas de los ugadores. La regó de pagos del uego -persoal cooperatvo eá formada por las combacoes covexas de los pagos asocados a las erategas puras.. El uego de egocacó. U uego de egocacó -persoal se descrbe usualmete por u couto de agetes N {... } u par ( S d) dode S R es el couto de todos los posbles resultados del uego d es el puto de desacuerdo que represeta el pago que los agetes obtedrá e caso de o llegar a u acuerdo. Ua solucó para u uego de egocacó especfca u pago que los ugadores aceptaría bao certos supueos de racoaldad. Asocado a u uego fto -persoal defmos u uego de egocacó ( S d) dode S se correspode co la regó de pagos del uego cooperatvo eo es C S f (Y ). La obtecó del puto de desacuerdo para ee uego de egocacó se descrbe a cotuacó... Putos de desacuerdo Ua forma atural de eablecer el puto de desacuerdo e u uego de egocacó cose e determar los pagos que puede asegurarse los ugadores s actúa ulateralmete s teer e cueta la actuacó de los demás. S se trata de u uego bmatrcal eos pagos so los valores maxm del uego. E el caso de ugadores propoemos obteer u vel de segurdad d para cada ugador... para lo que extedemos el cocepto de los valores maxm de u uego de ugadores. Defcó. El valor maxm para u ugador N e u uego fto -persoal es el máxmo pago que puede obteer cuado los reates ugadores coopera etre sí para mmzar su pago. A cotuacó demoramos que el valor maxm de los ugadores e u uego fto -persoal se obtee resolvedo uegos bpersoales de suma ula.

5 Dado el ugador N cosderamos el couto de ugadores N \ { } como u úco ugador que uega cotra el ugador. El espaco de erategas puras para el ugador N \ { } es E E el espaco de erategas mxtas para el ugador N \ { } es dode q r Y { R q q / 0 k... q k es el úmero de erategas puras del ugador N \ { }. La fucó de pagos del uego bpersoal de suma ula de ugadores { N \ { } } es ua fucó bleal f : Y Y R dada por f k ( ) A( ) dode la matrz de pagos A () es de orde r q El elemeto s } vee dada por a A( ) ( ). s... r t... q a represeta el pago para el ugador cuado elge su eratega pura e E el ugador N \ { } elge su eratega pura en { } E sedo a a para s t ( ). A partr de los elemetos de la matrz A () podemos expresar la fucó de pagos como t... f ( ) A( ) r q s t s t a Proposcó. E u uego fto -persoal el valor maxm del ugador valor del uego bpersoal de suma ula de matrz A (). N es el Demoracó: Para determar el valormaxm para el ugador para cada eratega el ugador calcula el peor pago que puede cosegur Y v ( ) cosdera el meor de eos valores Y r q m f ( ) m Y Y s t max v ( ) max Y r q Y s t Por el teorema mmax ( vo Neuma 9) ee valor exe cocde co el valor del uego de suma ula de matrz A (). Por tato para determar el puto de desacuerdo e u uego de egocacó asocado al uego -persoal fto ha que obteer el valor de uegos bpersoales de m s t s a t a

6 suma ula. El puto de desacuerdo es d d... d ) dode N d max v ( ) max m A( ). Y. Solucoes Y Y ( Para resolver el uego de egocacó que duce el uego fto -persoal cosderamos ua famla de solucoes basada e la aplcacó del crtero maxm las solucoes α-maxm. Bao certas codcoes e ea famla se clue las solucoes cláscas de Kala-Smorodsk la gualtara e geeral proporcoa resultados más favorables para los ugadores que éas. A cotuacó descrbmos ea famla de solucoes presetamos los resultados que permte obteerlas. Sea α R : α α > 0... cosderemos α para cada x S sea ~ x d x.... x~ represeta las gaacas de utldad para el α ugador desde el puto de desacuerdo poderadas co pesos. El vector de gaacas de utldad poderadas lo deotamos por ~ x ( ~ x... ~ x ). Para cada x S sea z x) m{ ~ x } que represeta la meor gaaca de ( utldad poderada que proporcoa el resultado x. Aplcar el crtero maxm para obteer la solucó del uego (Sd) bao la hpótess de que las gaacas de utldad pueda ear poderadas por dtos pesos cose e hallar u resultado factble que maxmce el mímo de las gaacas de utldad poderadas obtedas por cada ugador. Defcó. El puto x S es ua solucó α-maxm del uego (Sd) co α s z( x) z( ) S. Es decr x es ua solucó α-maxm s la míma gaaca de utldad poderada que geera es máxma. Obsérvese que la míma gaaca puede alcazarse e dferetes putos factbles de S. Bao determadas codcoes sobre el couto de pagos dado α la solucó α-maxm es úca todos los agetes obtee la míma gaaca de utldad poderada. Las solucoes α-maxm verfca la propedad de Pareto-optmaldad débl. Además para cada α ua de ellas es Pareto-óptma (véase Mármol otros 00). Ua mportate vetaa que preseta las solucoes α-maxm frete a otras solucoes de egocacó es la posbldad de calcularlas medate téccas de optmzacó matemátca e u amplo rago de problemas. De la defcó ateror se deduce que las solucoes α-maxm so solucoes del problema de optmzacó α

7 max s. a. x d m... α x S x d Ee problema es equvalete al problema que deotamos (PM(α)) max s. a. z x d α x S x d z... Así el couto de solucoes α-maxm de u uego de egocacó (Sd) puede obteerse a partr de las solucoes del problema (PM(α)). La resolucó de ee problema se smplfca cosderablemete cuado el uego de egocacó es leal es decr cuado el couto de pagos S es polédrco a que se puede utlzar las téccas de la programacó leal para obteer las solucoes de egocacó. Ea es la uacó que se preseta e el uego de egocacó que duce u uego -persoal fto cuo couto de pagos es u poledro f C (Y ) como se ha eablecdo e la seccó.. Eemplo. U grupo agroalmetaro comercalza tres tpos de productos que eá geoados por tres departametos dtos co capacdad de decsó sobre su polítca publctara. Cada departameto puede emtr e televsó dos tpos de aucos que cde sobre aspectos dtos de sus respectvos productos. La publcdad de cada producto repercute drectamete e las vetas de los otros. Se ha realzado eudos sobre el efecto e las vetas de las dtas combacoes de aucos de los departametos de la empresa obteédose los resultados que se represeta e la sguete tabla. e e e e e e e ( ) ( ) e ( ) ( ) e ( ) ( ) e ( ) ( 0 ) Es decr s los tres departametos utlza su prmer auco se produce u aumeto e las vetas del prmer producto de u.m. de u.m. e el segudo producto de u.m. e las vetas del tercer producto. Cada departameto desea maxmzar los efectos de la publcdad sobre sus productos por lo que eá dspueo a egocar co los otros departametos para determar las combacoes de aucos más adecuadas.

8 Ea uacó puede modelarse como u uego de tres ugadores que se correspode co los tres departametos cada uo de ellos co dos erategas que cose e emtr uo u otro auco. La cooperacó etre los ugadores garatza que los resultados que obtega meorará los que obtedría s cada uo ellos actuara ulateralmete. Ua uacó de ee tpo puede represetarse medate u uego de egocacó que como demoramos e ee trabao permte aalzar proporcoar solucoes para eos modelos. S aalzamos ee uego como u uego cooperatvo el couto de erategas puras coutas es } ) {( E e e e e E E el couto de pagos del uego de egocacó asocado es u poledro cuos vértces so los pagos correspodetes a las erategas puras coutas es decr...} 0 { P x S dode... P P so los vectores de pagos de la matrz ateror. Para determar el puto de desacuerdo ) ( d d d d calculamos el pago que cada ugador puede garatzarse depedetemete de los otros ugadores. Para ello resolvemos uegos bpersoales de suma ula el puto de desacuerdo para el ugador d se obtee como el valor del uego bpersoal de suma ula matrz A() que e ee caso so () 0 () ) ( A A A Eas matrces represeta los pagos que obtee los ugadores co sus erategas puras frete a las erategas puras coutas de los otros ugadores. Resolvedo los uegos de suma ula correspodetes se obtee d d d. Cosderamos e prmer lugar ua solucó equtatva que maxmza el vel mímo de aumeto e las vetas. Se correspode co la solucó α-maxm para α (). El problema leal (PM(α)) que proporcoa la solucó es: max z z z a s z

9 Al resolver ee problema obteemos u úco puto del couto de pagos S (.9.9.9). Ea solucó es la solucó de gaaca gualtara co respecto al puto de desacuerdo meorado las vetas garatzadas de los tres departametos e.9 u.m. Además es Pareto-óptma e el setdo de que o exe otro puto factble tal que meore a todos los ugadores co ua meora ercta al meos para alguo de ellos. Ea solucó se obtee co la eratega mxta couta ( ) es decr ee pago se obtee cuado los departametos elge las erategas puras coutas ( e e e ) ( e e e )( e e e ) co probabldades respectvamete. Alteratvamete la msma solucó se obtee co las erategas puras coutas ( e e e ) ( e e e )( e e e ). Obsérvese que el pago asocado a las erategas puras coutas ( e e e ) ( e e e ) es el msmo. U cocepto de solucó alteratva que tee e cueta los valores más optmas que puede alcazar los departametos es la solucó de Kala- Smorodsk. El puto deal del uego I I I ) se defe como ( I I ( S d) max{ x / x S x d}. E ee caso I I. I. La solucó α-maxm correspodete a la solucó de Kala-Smorodsk se obtee para α I d es el puto del espaco de pagos (...). Ea solucó es úca Pareto-óptma por lo que cocde co la de Kala-Smorodsk se alcaza cuado los ugadores elge las erategas puras coutas ( e e e ) ( e e e )( e e e ) co probabldades respectvamete. Obsérvese que el hecho de teer como refereca el puto deal hace que la solucó de coseso se desplace haca putos que proporcoa aumetos de vetas maores a los departametos co valores optmas más elevados.. Coclusoes E ee trabao se poe de mafeo que la cooperacó etre los agetes e los uegos ftos -persoales permte tratar eos uegos como problemas de egocacó. Los dos putos esecales so la determacó de los putos de desacuerdo la posbldad de realzar el cálculo efectvo de las solucoes de coseso. Co respecto al puto de desacuerdo se propoe ua extesó del cocepto de valor maxm que se obtee medate la resolucó de uegos bpersoales de suma ula. Co respecto al aspecto computacoal del cálculo de las solucoes la eructura polédrca del couto de pagos factbles del uego de egocacó que duce el uego fto el hecho de que los putos extremos sea coocdos permte la obtecó de las solucoes α-maxm medate la resolucó de problemas leales.. Referecas Kala E. (9). Proportoal solutos to bargag uatos: terpersoal utlt comparsos. Ecoometrca pp -0. Kala E. Smorodsk M. (9). Other solutos to Nash's bargag problem. Ecoometrca pp -.

10 Mármol A.M. Moro L. Rubales V. (00). Solucoes maxm e uegos de egocacó -persoales. X Joradas ASEPUMA Madrd. Nash J.F. (90a). Equlbrum pots -perso games. Proceedg of Natoal Academc of Scece of the USA pp -9. Nash J.F. (90b). The bargag problem. Ecoometrca pp -. Vo Neuma J. (9). Zur theore der gesellschaftsspele. Mathematsche Aale 00 pp 9-0. Notas U puto x S es déblmete Pareto-óptmo s o exe x' S x' > x.... U puto x S es Pareto-óptmo s o exe x' S x x x' x....

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