Palabras-Clave: Análisis hidráulicos, régimen transitorio, modelo elástico.

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1 MODLO HIT. ÁLISIS D TSITOIOS HIDÁULIOS SISTMS OMPLJOS MDIT MODLO LÁSTIO. Pedro L. Iglesas ey ; Vcete S. Fuertes Mquel ; Joaquí Izquerdo Sebastá esume el resete artículo se aborda ua formulacó alteratva de las ecuacoes corresodetes a los feómeos trastoros e coduccoes. uado u modelo e régme dámdo se aalza medate modelo elástco es ecesaro latear toda ua sere de codcoes de cotoro. l lateameto de cada ua de ellas or searado requere ua gra catdad de formulacó matemátca y u mortate desarrollo comutacoal. l método descrto e este artículo retede geeralzar la formulacó de las dferetes codcoes de cotoro de u sstema hdráulco cuado se aalza u feómeo dámco elástco. l resultado es u método flexble, caaz de adatarse a las dferetes codcoes de cotoro reales y al msmo temo comacto, or lo que o es ecesaro el desarrollo de ua gra catdad de códgo ara realzar modfcacoes o amlacoes e el msmo. l artículo toma como uto de artda u estudo revo de Izquerdo e Iglesas (997), que costtuye la base del modelo DYGTS váldo úcamete ara sstemas smles. el artículo se aborda la geeralzacó ara sstemas comleos, y la formulacó obteda costtuye el úcleo del modelo hit desarrollado or el Gruo Mecáca de Fludos de la Uversdad Poltécca de Valeca. bstract I the reset aer a alteratve formulato of the equatos for traset aalyss heomea coductos s udertake. Whe a dyamc model s aalyzed by meas of model elastc s ecessary to reset all a cotour codtos seres. The behavour of each oe of them by searated requres a large quatty of mathematcal formulato ad a mortat comutatoal develomet. The method descrbed geeralze the formulato of the dfferet cotour codtos of a hydraulc system whe s aalyzed wth the elastc model. The result s a caable, flexble method of beg adated to the dfferet real codtos of cotour ad at same tme, for whch s ot ecessary the develomet of a large quatty of code to carry out modfcatos or elargemets. The aer takes lke ot of dearture a ror study of Izquerdo ad Iglesas (997), that costtutes the base of the model oe DYGTS vald oly for smle systems. I the artcle the geeralzato for comlex systems s udertake, ad the formulato obtaed costtutes the ucleus of the model oe hit develoed by the Gruo Mecáca de Fludos of the Uversdad Poltécca de Valeca. Palabras-lave: álss hdráulcos, régme trastoro, modelo elástco. Gruo Mecáca de Fludos Uversdad Poltécca de Valeca amo de Vera s/ 46 Valeca saña. Teléfoo: , Fax: mal:

2 ITODUIÓ l obetvo del resete trabao es resetar u modelo comutacoal geeral ara el aálss de sstemas hdráulcos a resó e régme trastoro medate el modelo elástco. l desarrollo toma como uto de artda el método de las característcas. U modelo geeral o debe ser u trabao de modelzacó esecífco ara cada sstema, so u lateameto más flexble adatable a cada caso artcular. Por ello, el modelo debe dsoer de certa orgazacó y dstrbucó adecuada de la formacó. lguos modelos revos so etre otros SUG, cuyo desarrollo uede segurse e Wood y Fuk (988a) o e Wood y Fuk (988b) o SIMULDO, cuyos fudametos uede segurse e oelle (983) y cuyo desarrollo comutacoal se descrbe e Luvzotto (995). La estructura de estos modelos se basa e u módulo rcal que, e fucó de cada uo de los tos de elemetos, voca a ua u fucó desarrollada ara la resolucó de las ecuacoes. ste lateameto más clásco reseta alguas vetaas dudables. U desarrollo esecífco de las ecuacoes característcas de cada uo de los tos de elemeto ermte resolver el roblema de forma efcete y adatarse a las artculardades que reseta el comortameto de cada uo de estos elemetos. La exsteca de rutas esecífcas fraccoa e roblemas dvduales la resolucó de u roblema más comleo: el aálss de trastoros hdráulcos. Las caacdades del modelo se reduce, bao este lateameto, a dsoer de u couto lo más amlo osble de rutas esecífcas de resolucó. Juto a las vetaas dcadas, coexste també alguos coveetes: l desarrollo de rutas esecífcas orga que alguos elemetos que uede aalzarse de forma global se resuelva de forma aslada e dvdualzada. umeta así la catdad de códgo ecesara e el desarrollo del modelo a cambo de dsmur la comledad del msmo. De hecho el desarrollo de uevas rutas corresodetes a uevos elemetos suoe u gra esfuerzo, or cuato gra arte del códgo debe reescrbrse de uevo. smsmo el desarrollo de rutas esecífcas ara cada to de elemeto dsmuye el carácter modular del modelo desarrollado, ta característco de los modelos comutacoales actuales. deftva, esta falta de estructura modular dfculta la utlzacó de las rutas desarrolladas ara amlacoes y meoras del modelo. U lateameto alteratvo se aborda e u estudo revo (Iglesas e Izquerdo, 997) ara el caso de sstemas smles, y que costtuye el fudameto del modelo deomado DYGTS (Gruo Mecáca de Fludos, 998). La dea geeral de este trabao es exteder los resultados al caso de sstemas comleos co más de ua coduccó y u cofguracó e geeral mallada. Ideedetemete de la forma e la que se orgace las ecuacoes del modelo el sstema debe quedar reresetado hdráulcamete medate u couto de udos y elemetos (Fgura ). ao la deomacó de elemetos queda cludas asocacoes de comoetes y subsstemas que se modelza medate u determado couto de ecuacoes.

3 lemeto Tubería lemeto Válvula udo Deósto lemeto co omba y Válvula de etecó (t) udo osumo udo co lemeto e Paralelo (P) Fgura. eresetacó de u sstema medate "udos" y "elemetos". U udo es u uto del sstema e el cuales se tee u coocmeto be del caudal extraído, be de la resó. ualquer comoete del sstema uede ser cosderado u elemeto y estos queda físcamete coectados etre s a través de los udos. Los elemetos uede corresoder a tuberías, dsostvos hdromecácos (bombas, válvulas), elemetos de roteccó (calderes, taques udreccoales,...), etc. el aálss del sstema el modelo comutacoal debe reroducr el comortameto hdráulco de cada elemeto. També debe cosderar la teraccó etre los udos extremos de cada uo de los elemetos. deftva, el modelo comutacoal debe dstgur etre aquellos elemetos coectados a u úco udo y los elemetos defdos etre dos udos. GLIZIÓ D L ODIIÓ D OTOO D LMTOS OTDOS U UDO. Formulacó del roblema de u udo de cosumo. Sea u udo del e el cual cofluye coduccoes (Fgura ). Para caracterzar el comortameto de las coduccoes coectadas e el udo es ecesaro emlear las rectas característcas de cada ua de ellas, tal como se defe e el Iglesas e Izquerdo (997) ara el caso de sstemas smles. La formulacó de la recta característca deede de s la coduccó es cdete o salete del udo. UDO (t) (t) t Fgura. squema de u udo de cosumo. Para las coduccoes cdete e el udo (subídce e la Fgura ), el udo aalzado es el udo fal. La ecuacó corresodete es la recta característca ostva (+): a H,,,, e ()

4 dode y H so resectvamete el caudal y la altura ezométrca e el uto de la coduccó que se ue co el udo, metras que y a so los arámetros que defe ua recta característca ostva y deede de arámetros de la coduccó y valores coocdos del state ateror. La exresó ateror es válda ara las e coduccoes que cocurre e el udo. álogamete, ara las coduccoes que sale del udo (subídce ) debe emlearse la recta característca egatva (-), ya que el udo se cosdera cal de cada ua de ellas. La exresó de recta característca egatva es + a H,,,, S () dode y H tee el msmo sgfcado que y H, co la dfereca de que se ecuetra referdos a coduccoes que se ha defdo como saletes del udo. smsmo y a so las costates que defe la recta característca egatva. La resolucó de la codcó de cotoro e el udo suoe obteer e el state de temo aalzado el valor de la altura ezométrca e el msmo. Desrecado la érdda de carga e el udo, los valores de las dferetes alturas H y H defdas e () y () se cosdera guales etre sí e guales al valor de la altura ezométrca e el udo H. lcado la ecuacó de cotudad e el udo, co u crtero de sgos ostvo los caudales que sale del udo, y defedo uas costates equvaletes de las rectas característcas de acuerdo a las exresoes a P + S a T a S T + S (3) se obtee + + P H (4) La exresó ateror es la ecuacó característca del udo, que ermte obteer la altura ezométrca H e cada state a artr de la demada (t) coocda e cada state. odcó de cotoro de los elemetos coectados a udos. Ua geeralzacó de la formulacó de la codcó de cotoro de u udo rovee del hecho de que co frecueca exste elemetos coectados e aralelo (P) al sstema. Se trata de dsostvos, be de cotrol, be de regulacó que troduce o extrae caudal del sstema a través del udo al que se ecuetra coectados. o es obetvo del resete trabao la descrcó e detalle de las característcas de cada uo de los elemetos que uede coectarse e u udo. Los detalles acerca del ael de alguos de los dsostvos de roteccó uede segurse e la referecas cláscas (haudhry, 987; Wyle y Streeter, 993; lmeda y oelle; 99). U efoque couto mostrado la descrcó de cada uo de los elemetos y las ecuacoes que defe su comortameto uede segurse e Iglesas et al (995) o be e Iglesas ().

5 l obetvo lateado e este mometo es desarrollar la formulacó de la codcó de cotoro de uo de estos elemetos de roteccó, obteédose falmete ua formulacó que resultará geeral ara todos ellos. Para ello se cosdera u elemeto e aralelo (P) coectado a u determado udo de ua red de dstrbucó (Fgura ) e la cual cofluye T coduccoes ( cdete e el udo y S saletes del msmo). el udo també exste ua demada de caudal (t), varable a lo largo del temo, coocda a la hora de abordar el cálculo. lemeto de Proteccó H (t) z S L t z z Fgura. odcó de cotoro de u lemeto de Proteccó e u udo. Fgura 3. alderí coectado a u UDO de la red. l lateameto de la formulacó geeral de la codcó de cotoro, se basa e admtr que el elemeto coectado al udo (Fgura ) es u calderí de are comrmdo (Fgura 3). uque el lateameto de la formulacó se realce ara u calderí, el resultado obtedo resulta gualmete váldo ara el resto de los elemetos de u sstema hdráulco (Iglesas, ). Ua de las ecuacoes fudametales e el comortameto del calderí es la ecuacó de cotudad alcada al msmo, que tegrada medate la regla del traeco relacoa el vel z de agua y el caudal aortado al sstema a través de la seccó trasversal z z ( + ) (5) Otra de las ecuacoes fudametales e la modelacó del calderí es la ecuacó de la eergía etre el uto de descarga (e este caso el are comrmdo que exste e la arte sueror del calderí, uto de la Fgura 3) y el uto de coexó co la coduccó rcal (uto de la Fgura 3). γ + z γ + z ( + ) t L t g t d dt (6) dode y z so resectvamete la resó y cota de cada uo de los utos dcados, es el coefcete de érddas e la coexó del elemeto co la coduccó de logtud L t, seccó t y coefcete de érddas t, y es el caudal aortado desde el calderí al sstema. las ecuacó (6) el rmero de los térmos es recsamete la altura ezométrca H e el udo de coexó del elemeto de roteccó co el sstema, que es uo de los obetvos a la hora de latear la codcó de cotoro. l lateameto geeral de la codcó de cotoro, que retede abordarse desde u uto de vsta geeral, se oreta e rmera staca a determar el caudal que aorta el elemeto al

6 sstema. stablecedo u lateameto smlar al realzado cuado se formulaba la codcó de cotoro de u udo de cosumo se obtee ua relacó etre el caudal del P y la altura H e el udo H P + (7) dode los coefcetes, y tee ua defcó absolutamete détca a la desarrollada co aterordad al formular la codcó de cotoro de u udo de coexó. La evolucó del comortameto del are e teror del calderí se modelza medate la evolucó oltróca del msmo, defda como * ( ) (8) dode * es la resó absoluta del are e el teror del calderí, es el volume total del calderí y el volume de agua cotedo e el msmo, es el exoete oltróco de la evolucó del gas y es u valor costate coocdo al co del trastoro. osderado esta evolucó del are e tegrado la ecuacó de la eergía e seguda aroxmacó la exresó (7) uede escrbrse como ( + ) (9) Las costates,, 3, 4 y tee ua defcó dferete deededo de s e la exresó (6) se cosdera desrecables o o tato la erca como las érddas e el tramo de coexó etre el P y el udo. smsmo dchas costates característcas admte ua defcó alteratva e el caso de que el dsostvo de roteccó o sea u calderí so cualquer otro dsostvo de roteccó, tal como se verfca e Iglesas (). GLIZIÓ D L ODIIÓ D OTOO D U LMTO OTDO T DOS UDOS. La formulacó geeralzada de la codcó de cotoro de u elemeto se obtee medate u lateameto smlar al realzado e la geeralzacó de la codcó de cotoro de u elemeto coectado a u udo. ste lateameto arte del estudo del elemeto más comleo. Posterormete se geeralza las ecuacoes obtedas smlfcádose éstas ara cada uo de los elemetos del sstema. l elemeto que se ha cosderado como más comleo y que costtuye la base de la formulacó desarrollada es ua estacó de rebombeo termedo e u sstema (Fgura 4). Dcha stalacó está costtuda or ua bomba, válvula de retecó y ua válvula, be de regulacó, be automátca. smsmo se dsoe de sedos calderes de are comrmdo stalados ates y desués del couto bomba-válvulas y de u by-ass que comuca la asracó co la mulsó a través de ua coduccó co ua certa ressteca hdráulca. Dcho by-ass ermaecerá cerrado semre que la resó e el udo aguas abao del udo sea sueror a la resó aguas arrba, abrédose e caso cotraro.

7 P P oexó del udo aguas arrba co el sstema e omba V Válvula e oexó del udo aguas abao co el sstema y-ass Fgura 4. squema del elemeto de geeral ara formular la codcó de cotoro geeralzada. l desarrollo del sstema de ecuacoes ermte formular la codcó de cotoro reresetada e la fgura ateror tee dos etaas. rmer lugar es ecesaro geeralzar el comortameto de u udo como extremo de u elemeto. segudo lugar, debe latearse el sstema de ecuacoes ara la resolucó de la codcó de cotoro. Geeralzacó de la formulacó de u udo ara codcoes de cotoro comleas. la formulacó de la codcó de cotoro de u udo se geeralza el comortameto de S coduccoes, be saletes, be cdetes e el msmo, medate el emleo de uos coefcetes característcos equvaletes tales como los defdos e (3). l resultado es la exresó (4) que reresete la relacó etre el caudal que desde las líeas etra al udo y la altura ezométrca e el msmo. el caso de abordar el aálss de codcoes de cotoro comleas, tales como las reresetadas e la Fgura 5, debe alcarse la geeralzacó ateror a los dos udos extremos del elemeto aalzado. odcó de otoro co dos udos (guas arrba y guas abao) (t) (t) Fgura 5. Geeralzacó del comortameto de u couto de tuberías como udo cal o fal de u elemeto. Se trata ues de reducr el couto de coduccoes coectadas a los udos y de la Fgura 5 e ua úca coduccó equvalete (Fgura 6). Ua vez realzada esta smlfcacó e lateameto a realzar es el msmo que se aborda e Iglesas e Izquerdo (997) ara el caso de sstemas smles.

8 Fgura 6. Smlfcacó de los udos e ua codcó de cotoro comlea. Para el udo de la Fgura 5 (cuya demada es ), la alcacó de la ecuacó de cotudad, cosderado tuberías cdetes e el udo y S tuberías saletes del msmo, se escrbe: P H () dode arámetro y so resectvamete los arámetros equvaletes de la recta característca. l vee defdo or P S () metras que el arámetro vee defdo or (3), eteddo que el sumatoro se extede a la totaldad de coduccoes que cofluye e el udo, sea de saletes o cdetes. U lateameto totalmete aálogo uede escrbrse ara el udo obteédose + H () dode el arámetr equvalete de la recta característca vee dado or S + (3) metras que el arámetro cofluye e el udo. vee defdo or la alcacó de (3) al caso de las coduccoes de Por tato la resolucó de la codcó de cotoro de u elemeto como el de la Fgura 5, se aborda medate la resolucó smultaea de las ecuacoes () y, uto co las ecuacoes roas que modelza el comortameto del elemetos defdo etre los udos y de la Fgura 6. l desarrollo de estas ecuacoes se aborda a cotuacó. cuacoes ara modelzar el comortameto de la bomba. Las ecuacoes relacoadas co el comortameto de la bomba, ara el caso de sstemas smles so las msmas que se deduce e Iglesas e Izquerdo (997) ara el caso de sstemas smles. sí ues la ecuacó de la eergía lateada etre los dos udos extremos y del elemeto se escrbe

9 H α + WH ( θ) + U (4) metras que la ecuacó de erca alcada a la osble bomba resete e el elemeto es ( θ ) + α + α + I W (5) dode las varables rcales del sstema de ecuacoes so la velocdad de gro reducda de la bomba α y el caudal que atravesa el elemeto. es el coefcete de érddas de lo que e lo sucesvo se deomará el elemeto cetral (). Dcho es el couto de elemetos resstetes que uede estar coectados etre los utos y. Los coefcetes y rereseta la versa del coefcete característco de las coduccoes equvaletes stuadas resectvamete aguas arrba y aguas abao del elemeto aalzado. smsmo e las exresoes (4) y (5) cotee las costates U, y I que deede del modo de fucoameto de la bomba e cada state. lcacó de la ecuacó de erca a dferetes modos de fucoameto. el caso geeral de cosderar la ecuacó de erca alcada al caso e que se roduce la arada de u gruo de bombeo los coefcetes y I adota las exresoes Iw (6) M I Iw β α β α M (7) dode I es la erca del gruo motor bomba; w la velocdad de gro e régme ermaete; M el ar sumstrado or la bomba e régme; el cremeto de temo de cálculo; y α y β resectvamete los valores de la velocdad de gro reducda y el ar reducdo e el state ateror de cálculo. o obstate, la exresó obteda de la ecuacó de erca ermte modelzar otros comortametos de u gruo de bombeo dferetes al de arada del msmo. cuacó de erca ara ua bomba e fucoameto ormal. el caso de que ua bomba se ecuetra fucoado ormalmete a su velocdad de gro omal la exresó que debe adotar la ecuacó de erca es α que corresode a defr los arámetros característcos de la ecuacó (5) de la forma y I -, uto co el hecho de aular el térmo corresodete a la curva admesoal de ares W(θ). cuacó de erca ara ua bomba varado su velocdad de gro. e caso de ua bomba accoada medate u motor eléctrco que tee coectado u varador de frecueca, medate la accó de éste es osble cotrolar e todo mometo la velocdad de gro de la bomba, de forma que uede cosderarse que ésta se modelza medate ua exresó que

10 geércamete se rereseta como α (t). Para que la ecuacó de erca ermta obteer como resultado ua varacó de la velocdad de acuerdo a α (t) los valores de los arámetros de la ecuacó (5) debe ser y I -α (t). smsmo, al gual que ocurría e el fucoameto ormal de la bomba grado a su velocdad omal de gro el térmo corresodete a la curva admesoal de ares de la bomba debe aularse. cuacó característca del P. La tercera de las ecuacoes que tervee e la geeralzacó de la codcó de cotoro de u elemeto es lo que deomaremos la ecuacó característca del lemeto de Proteccó o lemeto e Paralelo (P). Se trata de ua exresó que relacoa la altura e el uto de coexó del P co el lemeto etral co el caudal e que el P aorta al sstema. l rocedmeto ara la determacó de esta relacó o ecuacó característca del P es absolutamete smlar al emleado ara geeralzar la formulacó de la codcó de cotoro de u elemeto de roteccó coectado a u udo. La úca dfereca estrba e que e el caso del P de u elemeto o se trata de u udo aslado so de u udo que teraccoa e su resolucó co el elemeto al que erteece. De esta forma la resolucó de la altura ezométrca e el udo y el caudal que aorta el P o so deedetes de la resolucó del caudal que está trasegado el elemeto, y or tato la resolucó debe abordarse coutamete co éste. osdérese la codcó de cotoro recogda como la más comlea de u elemeto (ver Fgura 7) costtuda or el couto bomba, válvula de regulacó, válvula de retecó co sedos calderes coectados tato aguas arrba como aguas abao del elemeto. la deduccó de la ecuacó característca corresodete el P se emlea la msma otacó que se utlzó ara el caso de la deduccó de la formulacó geeralzada de la codcó de cotoro de u elemeto coectado a u udo. o obstate, como uede verse e la Fgura 7 a las varables emleadas se les ha añaddo u subídce ó a f de detfcar s se refere al P stuado aguas arrba del elemeto o be al P stuado aguas abao del elemeto. H H z z z z z z L t z z oexó del udo aguas arrba co el sstema e L t e oexó del udo aguas abao co el sstema y-ass Fgura 7. alderes coectados e los extremos de u LMTO. cualquer caso, a cotuacó se eumera el sgfcado de cada ua de las varables ara el caso del P, teedo e cueta que ara el caso del P la sgfcacó sería la msma ero referda éste. Dcha descrcó de las varables es:

11 : s el uto de la suerfce lbre de agua del P. el caso del calderí reresetado e la fgura se trata del are comrmdo cotedo e el msmo, ero e la mesa mayoría de elemetos de roteccó se trata de la resó atmosférca a la cual se ecuetra coectados los elemetos. : s el uto de coexó del P co el elemeto modelzado. la mayoría de los casos este uto cocde co el uto defdo como udo aguas arrba del elemeto, y deotado como uto. Ta solo so utos dferetes e el caso de que se cosdere u tramo rígdo etre ambos utos. z : s el osble vel de agua e el P, e este caso e el calderí. el caso de que o se trate de u elemeto de roteccó co acumulacó de agua resulta ua varable trascedete e el roceso de modelzacó. z : s la sobreelevacó que tee la base del calderí resecto del uto. Se trata de ua varable ara recoger la dfereca de cotas que uede exstr etre el elemeto de roteccó del P y el uto de coexó de éste co el elemeto. H : s la altura geométrca que tee el calderí. : s la seccó trasversal del elemeto de roteccó. s ua varable que aarece tato el calderes como e chmeeas de equlbro y taques udreccoales. Dcha seccó trasversal debe ser uforme ara la totaldad de las alturas o veles de agua e el dsostvo de roteccó. L t : s la logtud del tramo rígdo de coduccó coectado etre el dsostvo de roteccó y el uto. Se admte e la modelzacó realzada que etre el elemeto de roteccó y el elemeto modelzado uede exstr ua coduccó de la cual uede ser mortates tato sus érddas como su erca. Por ello dcha coduccó, de logtud L t tee otros arámetros como su coefcete de érddas t y la seccó trasversal t de la msma. Ua vez defdas las varables que tervee e la modelzacó del P, el lateameto de comortameto de éste se realza e base a alcar la ecuacó de la eergía etre el uto y el uto Lt g d dt + z + z γ t γ (8) la exresó ateror es el coefcete de érddas geerado or el elemeto de roteccó, y el resto de varables ha sdo defdas ya co aterordad. La exresó altura ezométrca e el udo es fucó del caudal que, de acuerdo al lateameto geeralzado de las rectas característcas de las coduccoes, que cocurre e el udo uede exresarse de la forma γ + z P H (9) La exresó (8) cosdera tato las érddas como la erca e el tramo de coecó del P co el. efectos de smlfcar la formulacó se admte desrecable el tramo de coexó etre el

12 P y el. De hecho ta solo es ecesaro determar el valor de la resó y la cota del uto. stos valores se determaro ya cuado se realzó la geeralzacó del comortameto de u elemeto de roteccó e u udo, or lo que aquí se recoge ta solo los resultados allí obtedos. Utlzado estos resultados revos la ecuacó característca del P e fucó de los caudales, y, teedo e cueta la relacó -, uede escrbrse como ( ) ( ) () ( µ + ( )) La exresó () es sumamete aáloga a la exresó (9) que cotemlaba de forma geeral el comortameto de cualquer elemeto de roteccó coectado a u udo. este caso, al gual que ocurría co la exresó (9) se defe ua sere de costates característcas del P a f de que la exresó quede de forma más seclla. Dchas costates so µ P + Z z + Z + + z H atm () La defcó de estos coefcetes característcos 3 ermte la modelzar las dferetes codcoes de cotoro, al gual que ocurría co la exresó (9). cuacó característca del P. La ecuacó característca del P que determa el comortameto de dcho elemeto de roteccó detro de la formulacó geeral de la codcó de cotoro de u elemeto reseta ua aalogía total co la exresó desarrollada ara el P. De hecho, e el caso de realzar ua deduccó de dcha exresó los asos y rocedmetos a segur sería los msmos que los realzados ara el caso del P. Dada la aalogía exstete etre ambos ecuacoes característcas a cotuacó se recoge ta solo la formulacó fal ara el P. Dcha exresó característca es ( ) ( ) () ( µ + ( ) ) que es la ecuacó equvalete a la exresó () desarrollada ara el P. la exresó ateror las úcas dferecas resecto de la exresó () uede ecotrarse e los sguetes utos: Las dferetes varables y arámetros que tervee e la ecuacó y que se refere a las característcas del P lleva e subídce, e lugar del subídce que llevaba e la exresó () referda al P. La exresó queda e térmos del caudal que sale del elemeto y del caudal aortado or el P al elemeto. lugar de emlear la geeralzacó de las rectas característcas corresodete al udo aguas arrba de u elemeto se emlea la geeralzacó ara el udo aguas abao, que relacoa la altura ezométrca e el udo aguas abao del elemeto co el caudal que sale del msmo.

13 Sobre la exresó obteda se ha defdo ua sere de coefcetes característcas del P de forma aáloga a la defcó realzada e P. Dchos coefcetes so: µ Z + Z z + + z H atm (3) L SISTM OMPLTO D UIOS. OLUSIOS. los aartados aterores se ha lateado las ecuacoes que de forma geeral tervee e la modelzacó del comortameto de u elemeto como el reresetado e la Fgura 7. l sstema de ecuacoes que ermte modelzar el comortameto del elemeto es el costtudo or las ecuacoes (4), (5), () y () que de forma geeral uede exresarse α + ( α + ) W( θ) ( ) ( ) ( α + ) WH( θ) + + ( µ + ( )) ( µ + ( ) ) ( ) 43 + ( ) (4) la exresó ateror se ha defdo ua sere de costates característcas del sstema de ecuacoes co el msmo crtero co que se defero las costates característcas del P () y del P (3). stas corresode al lateameto de la ecuacó de la eergía etre el udo de etrada y el de salda y al lateameto de la ecuacó de erca e el gruo de bombeo. Las costates defdas so 3 λ V 6 H P U + (5) l aálss del sstema de ecuacoes lateado se uede extraer ua sere de coclusoes: La varable rcal corresodete al caudal que crcula or el elemeto cetral artca e todas las ecuacoes F. Su mortaca uede etederse de aalzar el comortameto del resto de elemetos descrtos co aterordad: tato ara coduccoes como ara udos el caudal que crcula or los msmos resulta mrescdble e u aálss adecuado del sstema. La varable rcal α corresodete a la velocdad de gro reducda de la bomba ta solo artca e las dos rmeras ecuacoes (F y F ). las ecuacoes F 3 y F 4 la velocdad de

14 gro reducda o artca, or cuato estas últmas hace refereca úcamete a los elemetos de roteccó y dcho arámetro (α) o tee relacó algua co el comortameto de dchos elemetos. ada uo de los elemetos de roteccó (P y P) dsoe de ua ecuacó característca, lo que orga que exsta sedas ecuacoes que ta solo deede del caudal del elemeto cetral y del caudal ó deededo del elemeto de roteccó de que se trata. Para la resolucó del sstema de ecuacoes lateado e (4) se emlea u método to ewto que requere e su emleo las dervadas de las fucoes F calculadas e los aartados aterores. l método emleado es u método habtual e la resolucó de sstemas de ecuacoes o leales, s embargo, e el caso resete debe teerse e cueta que el sstema de resolucó debe cotemlar ua sere de característcas adcoales. S be el sstema de ecuacoes desarrollado cotee cuatro ecuacoes y cuatro cógtas, hay que teer la recaucó de verfcar que dcho sstema ermte resolver be elemetos sumamete comleos e los que la totaldad de los elemetos se ecuetra resetes, be sstemas e los cuales ta solo se ecuetra resete uo de los elemetos. Por ello es ecesaro examar el sstema obtedo ara el caso e que los elemetos de roteccó o se ecuetre e el elemeto, y verfcar que e dchas crcustacas las ecuacoes F 3 y F 4 o coduce a ua solucó trval que mda la covergeca del método. De hecho este roblema se detectó e u estudo revo desarrollado or Izquerdo et al (996) y que se solucoó añadedo al sstema de ecuacoes térmos adcoales ara solucoar estos roblemas. el caso de la formulacó geeralzada, ua extraolacó de la desarrollada or Iglesas e Izquerdo (997), o es ecesaro desarrollar o añadr térmo alguo. sí, e el caso de que los elemetos de roteccó P y P o se ecuetre e el sstema, los valores de los coefcetes debe ser: (6) que suoe las gualdades, evdetes e el caso de que o exsta los elemetos de roteccó P y P. Por tato, co los valores adecuados de los coefcetes característcos del sstema de ecuacoes o se obtee roblema alguo e la resolucó medate el método de ewto. l gual que debe teerse e cueta e la resuesta del sstema de ecuacoes la osbldad de que los elemetos de roteccó o se ecuetre dsobles, debe cotemlarse el msmo efecto ara el resto de elemetos. sí, la auseca o o de la válvula de retecó o de la válvula stalada e el lemeto etral o suoe roblema alguo, or cuato o altera sgfcatvamete la ecuacó F más allá de la cosderacó o o de las érddas que estos elemetos troduce. o obstate, algo dferete ocurre e el caso de la bomba. el caso de que el elemeto cetral cosderado e el bloque o cotega ua bomba es ecesaro teer e cueta alguas cosderacoes adcoales: rmer lugar debe verfcarse el adecuado comortameto de la ecuacó F que es la exresó dervada de la alcacó de la ecuacó de erca a la bomba. este caso (auseca de bomba) los valores que debe adotar los coefcetes característcos de la ecuacó F so ; 6, que coduce a la ecuacó trval α. S duda e el caso de que o exsta

15 bomba la reseca de la velocdad de gro reducda de la bomba α como ua de las cuatro varables rcales del sstema de ecuacoes (4) resulta ecesaro, s be se matee detro de la formulacó geeralzada, al gual que ocurre co los caudales y e el caso e que o exste el corresodete elemeto (P o P resectvamete). el caso de que el lemeto etral o dsoga de bomba hay que obteer ua solucó acerca del comortameto de las fucoes WH(θ) y W(θ) ya que o se dsoe de u valor de las curvas admesoales, al o exstr la bomba e el elemeto. sto se solucoa e la costruccó de las fucoes que determa los valores de las fucoes WH(θ) y W(θ), que devuelve u valor e estas crcustacas. De esta forma se solucoa de forma umérca los casos e los que la bomba o está resete como arte del elemeto aalzado. deftva, co la adecuada utlzacó de los coefcetes característcos del sstema de ecuacoes (4) se resuelve la codcó de cotoro corresodete a cualquera de los elemetos de u sstema hdráulco. l sstema de ecuacoes lateado costtuye la base sobre la cual se ha costrudo el modelo hit, desarrollado or el Gruo Mecáca de Fludos de la Uversdad Poltécca de Valeca, y cuyos detalles comutacoales y de orgazacó uede segurse e Iglesas (). FIS ILIOGÁFIS LMID,.. Y OLL,. (99). Flud Trasets Pe etworks. omutatoal Mechacs Publcatos. lsever led Scece. Southamto, U.. HUDHY, M. H. (987) led hydraulc trasets. d. Vo ostrad ehold omay, ew York (U.S..). GUPO MÁI D FLUIDOS (998). DYGTS.. Dseño y aálss de gole de arete e tubería smle. Maual de usuaro. d. Gruo Mecáca de Fludos, UPV. IGLSIS, P. L., FUTS, V.S. Y DU, M. (995). Sstemas de roteccó drecta. Trastoros y osclacoes e sstemas hdráulcos a resó. d. breu, Guarga e Izquerdo. Valeca (saña), IGLSIS, P.L. IZUIDO, J. (997). Geeralzacó de las codcoes de cotoro de elemetos e el aálss de trastoros e sstemas comleos. ales del 4º cogreso latoamercao de Fludomecáca. Itaubá (rasl), 997. IGLSIS, P.L. (). Modelo geeral de aálss de redes hdráulcas a resó e régme trastoro. Tess doctoral. Valeca (saña). PP (937). omlete haracterstcs of etrfugal Pums ad ther use the Predcto of Traset ehavour. SM, Vol.59, OLL,. (983). Trasetes hdraulcos em stalacoes de codutos forçados. Tess doctoral. Sao Paulo (rasl). LUVIZZOTO,. (995). otrole oeracoal de redes de abastecmeto de agua auxlado or comutador. Tess resetada e la scola Poltécca da Uversdade de Sao Paulo (rasl). WOOD, D.J. Y FU, J.. (988a). SUG 5.. omuter aalyss of traset flow e etworks cludg surge cotrol devces. User s Maual. vl geerg Software eter. Deartmet of vl geerg, Uversty of etucky. Lexgto, etucky (US). WOOD, D.J. Y FU, J.. (988b). Mcrocomuter aalyss of traset flow e etworks. Proceedgs of the Iteratoal Symosum comuter modellg of water dstrbuto systems. Lexgto, etucky (US) WYLI,.. D STT V. L. (993). Flud Trasets Systems. Pretce Hall. glewood lffs. ew York.

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