ALGUNOS PROBLEMAS TIENEN SIETE VIDAS. Francisco Bellot Rosado

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1 ALGUNOS PROBLEMAS TIENEN SIETE VIDAS Francisco Bellot Rosado Una de las primeras tareas del Jurado Internacional de cualquier competición es tratar de descartar aquellos problemas de la lista corta (puesta a su disposición por el Comité selector de problemas de la competición) que son conocidos, por ejemplo por haber aparecido anteriormente en otro concurso. En algunos casos esto se consigue con cierta rapidez. En otros, como es el caso del bellísimo problema objeto de este artículo, el problema puede escapar a los filtros y repetirse; o aparecer modificado y no ser fácilmente detectado. Un problema de la Olimpiada rusa de 1971: los vasos de Shirshov. Se tienen tres jarros con agua, cada uno conteniendo un número entero de litros. Se permite echar en cada jarro tanta agua como ya contiene, procedente de otro de los jarros. Demostrar que repitiendo esta operación las veces necesarias, es posible vaciar por completo uno de los jarros. (Se supone que los jarros son suficientemente grandes: cada uno puede contener toda el agua disponible). En la recopilación de problemas de la Olimpiada rusa ( ) de Vassiliev y Egorov (Ed. Nauka, Moscú 1988), en ruso, se señala que se propuso en la 5ª Olimpiada de la URSS, celebrada en Riga, para la clase 9 (alumnos de 16 años), el primer día de competición. Por su parte, Titu Andreescu y Svetoslav Savchev, en su Mathematical Miniatures, MAA 2003, dan algunos detalles biográficos del proponente, Alexei Shirshov. Titulado en Lengua rusa y literatura, dio clase en una escuela rural. Movilizado durante la Segunda Guerra Mundial, sorprendentemente resultó atraído por las Matemáticas en aquellos años ( ). Volvió a la Universidad a los 30 años de edad, se graduó y doctoró en Matemáticas y sus resultados más importantes son de Álgebra. El problema del que hablamos tiene una solución realmente brillante, incluida en el libro ruso antes citado. Vamos a analizarla, partiendo de un ejemplo numérico para mayor sencillez. Es suficiente mostrar cómo obtener menos litros en uno de los jarros que los que contenga el menor número de litros, porque repitiendo el proceso alguno se vaciará.

2 Supongamos que los jarros contienen 3 <17<33 litros; en general serán 0 < a b c litros. Dividimos (con resto) 17 entre 3: Escribimos 5 en el sistema binario: 17 = 3x5 +2 b= a q+ r Es decir, 5 = = 5. Y a los exponentes los llamamos i = 0< i = 1< i = 2. Los 17 litros del jarro B pueden considerarse formados por porciones de ; 2 3 litros más otra con 2 =r litros. Falta una potencia de 2 multiplicada por 3: digamos 1 j 1 = 2 3 Esta porción que no está en B (superaría los 17 litros) está en C. Entonces, sucesivamente, vamos echando en A, tomándolas de B o de C, las porciones 2 3; j = 2 3 ;2 3; 1 (j 1 es lo que tomamos de C) de manera que en B quedará el resto r = 2 litros, con lo que el problema (en el caso numérico) queda resuelto: ahora en B hay menos de 3 litros. Continuando el proceso se forma una sucesión decreciente estrictamente de enteros positivos, que no puede prolongarse indefinidamente, y por lo tanto acabará terminando en 0 y uno de los jarros se vacía. Generalicemos: supongamos que los vasos A, B y C tienen, respectivamente, Ponemos 0 < a b c litros. b= a q+ r, con 0 r<a.

3 Ya que a b, entonces q > 0. Vamos a ver cómo se pueden echar q.a litros en A, con lo que en B quedarán r<a litros y el problema quedará resuelto. Escribimos en el sistema binario q: 0 1 q = 2 i + 2 i i n, con 0 i0 < i1 < < i n. Entonces el agua que hay en B puede considerarse formada por porciones de volúmenes i a,2 i a,,2 i n a (1) y una porción más, de volumen r. En general sucederá (como en el ejemplo numérico de introducción del problema) que algunos de los números 0,1,,n-1 faltan entre los exponentes i 0, i 1,, in 1. Llamemos j 1, j 2,, jk a los exponentes que faltan e imaginemos que las porciones de volúmenes j1 j2 j 2,2,,2 k (2) a a a están en el jarro más grande C. Entonces podemos echar todas las porciones (1) y (2) en A en su orden natural, a = a a a a, 2,2,2,,2 in cogiéndolas de B o de C, y obteniendo así consecutivamente en A 2,2,...,2 n 2 i + 1 a a a litros. Como consecuencia quedarán en B exactamente r litros y el problema queda resuelto. Lo único que nos falta por demostrar es que las cantidades (2) están efectivamente en C. Esto es verdad, porque incluso en el caso en que solamente 2 in a estuviera en la sucesión (1), necesitaríamos no más de 0 1 in ( in ) a = ( 2 1) litros en C. Esto es menor que b, y a su vez no es mayor que c. Aunque en la literatura han aparecido problemas titulados de los tres jarros, en general no se refieren al de Shirshov (v. por ejemplo, Geometry revisited, de Coxeter y Greitzer, MAA 1967). En la competición de invierno búlgara de 1989 se propuso una variante, y a

4 es posible que en otras competiciones de carácter regional o nacional se hayan propuesto también. Pero hay que esperar a 1993 para que el problema, con una formulación diferente, se propusiera en la famosa competición americana y canadiense William Lowell Putnam. Problema B6, Putnam 1993 Sea S un conjunto de tres enteros positivos, no necesariamente distintos. Demostrar que se puede transformar S en un conjunto que contiene al 0, mediante un número finito de aplicaciones de la siguiente regla: Seleccionamos dos de los tres enteros, digamos x e y, con x y, y los reemplazamos por 2x e y-x. El libro de Kiran Kedlaya, Bjorn Poonen y Ravi Vakil (The William Lowell Putnam Mathematical Competition , Problems, Solutions and Commentary), MAA, incluye tres soluciones del problema, de las que en la primera, atribuida a Garth Payne (uno de los participantes) se pasa de la terna (d, e, f) a (2d, e, f-d) y reiterándola se transforma (a, b, c) en (b, r, c ) con r el resto de la división de b por a. La segunda prueba el resultado por inducción fuerte en a + b + c, que es constante por aplicación de la regla, y razonando por contradicción, suponiendo que S no se puede transformar en un conjunto conteniendo al 0. La tercera, de Dylan Thurston (otro participante) es similar a la segunda. Un problema propuesto por Macedonia en la IMO 1994 En la Olimpiada Internacional de 1994 (HongKong), Macedonia propuso el siguiente problema: C-3 (Combinatoria) Pedro tiene tres cuentas en un banco, cada una con un número entero de dólares. Solamente se le permite transferir dinero de una cuenta a otra de manera que la cantidad de dinero en ésta última se duplique. a) Probar que Pedro siempre puede transferir su dinero a dos de las cuentas. b) Puede siempre transferir su dinero a una sola cuenta?

5 Ni el comité selector de problemas ni el Jurado Internacional apreciaron la semejanza del problema con el de Shirshov ni con el de la Competición Putnam del año anterior (y si alguno de los miembros lo apreció, no dijo nada). Fue elegido como problema 6, pero el primer día de competición llegó como observador (de Nueva Zelanda) Arkadi Slinko, que en cuanto lo vió advirtió al Jurado que era, c por b, el problema de Shirshov y citó la fuente del libro ruso de Vassiliev y Egorov: reunión extraordinaria del Jurado y el problema se cambió se podría decir que al Jurado lo salvó la campana. En 1987, en el Newsletter of the World Federation of National Mathematics Competitions, nr.6, el belga René Laumen publicó The Art of Borrowing Problems, artículo en el que analiza el problema de los enunciados que se alquilan de una competición a otra. Con la extensión actual de los resultados y problemas por Internet, ese peligro debería disminuir. Pero nunca se sabe Bibliografía [1]N.V. Vassiliev, A.A. Egorov: Problemas de la Olimpiada Matemática URSS (en ruso). Nauka, Moscú, [2] Svetoslav Savchev, Titu Andreescu: Mathematical Miniatures. MAA [3] Kiran S. Kedlaya, Bjorn Poonen, Ravi Vakil : The William Lowell Putnam Mathematical Competition Problems, Solutions and Commentary. MAA [4] Shortlisted Problems for the 35 th International Mathematical Olympiad. HongKong Mathematical Society, Valladolid, diciembre Francisco Bellot Rosado

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