Programación Lineal Continua/ Investigación Operativa. EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 1

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1 EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 1 1. Una empresa que fabrica vehículos quiere determinar un plan de producción semanal. Esta empresa dispone de 5 fábricas que producen distintos elementos del vehículo (motor, carrocería, acabado básico, medio y de lujo). Estos elementos posteriormente se ensamblan para producir tres versiones distintas de vehículos (básica, media y de lujo). A continuación se indican las capacidades de producción en cada fábrica (en horas por semana), los tiempos de fabricación en función de la fábrica y la versión (en horas por semana y vehículo) y el beneficio neto que la empresa obtiene por cada versión de vehículo que vende (en euros). Tiempos por versión: Fábrica capacidad Básica Media Lujo Motor Carrocería Acabado básico 96 2 Acabado medio Acabado lujo 40 2 Beneficio Identifica el objetivo del decisor y las variables de decisión y plantea el modelo adecuado para determinar un plan de producción semanal óptimo. Solución: Las variables de decisión son x 1 : número de vehículos en versión básica fabricados, x 2 : número de vehículos en versión media fabricados, y x 3 : número de vehículos en versión lujo fabricados. El modelo es maximizar 840x x x 3 sujeto a 3x 1 + 2x 2 + x x 1 + 2x 2 + 3x x x x 3 40 x 0. La solución óptima consiste en producir 20 coches en versión básica, 30 en versión media y ninguno en versión de lujo, obteniéndose un beneficio de euros. Ver Hoja1.xls 2. Una compañía fabrica impresoras láser y tinta. La demanda de ambos tipos de impresoras supera la capacidad de producción. La compañía está interesada en desarrollar una política de producción óptima. Cada impresora de inyección de tinta necesita 1 hora para su fabricación y 2 horas para su control de calidad, mientras que una láser necesita 1.5 horas de trabajo y 1 hora de control de calidad. Se dispone de 200 horas semanales para la fabricación y de 175 horas para llevar a cabo el control de calidad. Los beneficios netos de venta de las impresoras son de 20 euros/unidad para las de tinta y de 30 euros/unidad para las láser. Formular y resolver un problema de programación lineal que permita a la compañía decidir el plan de producción que más le interesa cuando: a) Quiere minimizar el número total de impresoras producidas, garantizándose un beneficio semanal de al menos 4000 euros. b) Quiere obtener el máximo beneficio posible, sin importarle el número de impresoras producidas. Para el segundo caso, estudiar si la cantidad de tiempo disponible para la producción y control de calidad se puede reducir sin afectar al beneficio máximo obtenido. Solución: Ver solución entregable 1

2 3. RM produce dos tipos de pinturas, de interiores y de exteriores, a partir de dos materiales básicos, A y B. Las cantidades, expresadas en toneladas, de cada producto necesarias para producir una tonelada de cada una de estas pinturas vienen dadas por: Exterior Interior Materia A 1 2 Materia B 2 1 La venta en el mercado de pintura para interiores da un beneficio de 2000 unidades monetarias por tonelada, mientras que la venta de pintura para exteriores da un beneficio de 3000 u.m. por tonelada. Después de realizar un estudio de mercado se conoce que la demanda de pintura para interiores nunca excede a la demanda de pintura para exteriores en más de 1 tonelada. Por otro lado, el proceso productivo tiene una limitación díaria de 2 toneladas de pintura para interiores. La compañía de pinturas RM quiere determinar los niveles óptimos de producción de cada tipo de pintura cuando dispone de 6 toneladas de materia A y 8 toneladas de materia B al día. El problema al que se enfrenta RM es distribuir los recursos de que dispone, 6 toneladas de materia A y 8 toneladas de materia B al día, entre las actividades a realizar, producción de pintura para interiores y producción de pintura para exteriores, de manera que los beneficios que obtenga con la venta de su producción en el mercado sean máximos y se satisfagan, además, las restricciones impuestas por las limitaciones técnicas del proceso productivo y las impuestas por las características del mercado. Plantea un problema de Programación Lineal para ayudar a RM a tomar una decisión. Solución: Ver solución entregable 1 4. Una empresa elabora un cierto alimento refinando diferentes tipos de aceite y mezclándolos. Los tipos de aceite se clasifican en dos categorías: vegetales (VEG1 y VEG2) y no vegetales (OIL1, OIL2 y OIL3). Dependiendo del tipo de aceite, vegetal o no vegetal, se requieren diferentes líneas de producción para el refino del aceite. Así, en un mes, la máxima cantidad de cada uno de ellos que puede refinarse es de 200 toneladas de aceite vegetal y 250 de no vegetal. Se puede asumir que el coste de refino es nulo y que durante el proceso no se producen pérdidas de peso. Por otro lado, existen restricciones tecnológicas que imponen cotas (inferior y superior) a la dureza del producto final, de 3 y 6 unidades respectivamente. Se puede asumir que la dureza se mezcla linealmente; la dureza (por tonelada) de cada uno de los aceites, así como su coste (por tonelada) de producción, son los que aparecen en la siguiente tabla VEG1 VEG2 OIL1 OIL2 OIL3 Coste Dureza Cada tonelada de producto final se vende a un precio de 150 u.m. Plantear y resolver el problema de programación lineal continua al que se enfrenta la empresa para determinar cómo ha de hacer su producción de manera que obtenga el mayor beneficio neto posible. Solución: Para determinar cómo ha de hacer su producción de manera que obtenga el mayor beneficio neto posible, la empresa debe resolver el siguiente problema de programación lineal continua: máx 150y 110x 1 120x 2 130x 3 110x 4 115x 5 s.a. 8,8x 1 + 6,1x 2 + 2,0x 3 + 4,2x 4 + 5,0115x 5 3y 0 dureza límite inf. 8,8x 1 + 6,1x 2 + 2,0x 3 + 4,2x 4 + 5,0115x 5 6y 0 dureza límite sup. x 1 + x capacidad refino aceite veg. x 3 + x 4 + x capacidad refino aceite no veg. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 y = 0 balance x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, y 0

3 donde y representa la cantidad de alimento final producido y x i, i = 1,...,5, la cantidad de aceite de tipo i que contiene la mezcla. La solución óptima es x 1 = 159,2593, x 2 = 40,7407, x 3 = 0, x 4 = 250, x 5 = 0 con una producción total de y = 450 toneladas y un beneficio de Ver Hoja1.xls 5. Una empresa produce filtros para monitores de ordenador formando tres capas, una intermedia de calidad A y otras dos exteriores de calidad B que envuelven a la anterior. Ambas calidades se consiguen con diferentes mezclas de fibra de vidrio y resina de las que el fabricante dispone por semana de 700 y 900 toneladas, respectivamente. La empresa tiene 4 plantas de producción que utilizan diferentes procedimientos de fabricación, que difieren en la cantidad de cada materia prima que necesitan para realizar una operación y en el número de capas de cada tipo (calidad A, calidad B) que se producen con cada operación. La siguiente tabla recoge las características de los 4 procedimientos: Ton. requeridas Capas producidas por operación por operación Planta Vidrio Resina Tipo A Tipo B Teniendo en cuenta que las operaciones se pueden llevar a cabo parcialmente, formular un modelo de programación lineal continua para determinar el número de operaciones a realizar en cada planta de manera que se maximice el número de filtros fabricados. Solución: Las decisiones que se deben tomar son cuántas operaciones se realizan en cada una de las plantas: x i, i = 1,...,4. Como las operaciones se pueden llevar a cabo parcialmente, entonces x i 0, para todo i = 1,...,4. En tal caso, el número de capas de calidad A que se producen es: y el número de capas de calidad B es: 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4 5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + 4x 4 Para contar cuántos filtros para monitores se pueden producir hay que tener en cuenta que si, por ejemplo, producimos 7 capas de calidad A y 20 de calidad B, entonces podremos montar 7 = mín{7, 10} filtros. Por tanto, la función objetivo a maximizar es: mín{2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4, 1 2 (5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + 4x 4 )} Añadiendo las restricciones dadas por la cantidad de fibra de vidrio y de resina de que se dispone, el problema que se debe plantear la empresa es: máx mín{2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4, 1 2 (5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + 4x 4 )} s.a. 15x x x x límite fibra vidrio 19x x x x límite resina x 1, x 2, x 3, x 4 0

4 Para linealizar el problema anterior hay que añadir una variable adicional z = mín{2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4, 1 2 (5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + 4x 4 )}. El problema queda entonces como sigue: máx s.a. z 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4 z 0 límite capas calidad A 1 2 (5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + 4x 4 ) z 0 límite capas calidad B 15x x x x límite fibra vidrio 19x x x x límite resina x 1, x 2, x 3, x 4 0 La solución óptima es x 1 = 0, x 2 = 40, x 3 = 6,6666, x 4 = 0, lo que permite producir filtros para monitores. Ver Hoja1.xls 6. Resolver geométricamente los siguientes problemas de PL indicando en todos ellos cuál es el conjunto de soluciones factibles y distinguiendo los casos de no existencia de solución y solución óptima no acotada: (1) Max 2x 1 + x 2 (2) Max 3x 1 + 2x 2 s.a. x 1 + 2x 2 3 s.a. x 1 + x 2 1 2x 1 x 2 3 x 1 2 x 1 2 x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0 x 1, x 2 0 (3) Máx x 1 + x 2 (4) Máx 3x 1 + 2x 2 s.a. x 1 + x 2 1 s.a. x 1 x 2 1 x 1 2 x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0 x 1, x 2 0 Solución: La región factible del problema 1 es: No hay ningún punto que verifique las restricciones simultáneamente. Problema NO Factible. La solución del problema 2 es:

5 3x 1 + 2x 2 = 8 (2, 1) La única solución es el punto x T = (2, 1). La solución del problema 3 es: x 1 + x 2 = 3 (1, 2) (2, 1) Son solución todos los puntos de la forma: ( ) ( ) 2 1 λ + (1 λ) 1 2 con λ [0, 1]. La solución del problema 4 es: 3x 1 + 2x 2 = 16 3x 1 + 2x 2 = 8 El problema tiene solución no acotada. 7. Resolver geométricamente los siguientes problemas de PL indicando en todos ellos cuál es el conjunto de

6 soluciones factibles y distinguiendo los casos de no existencia de solución y solución óptima no acotada: (a) Máx 2x 1 + x 2 (b) Mín 3x 1 + x 2 (c) Máx x 1 + x 2 s.a. x 1 + 2x 2 4 s.a. x 1 + 2x 2 4 s.a. 2x 1 + x 2 1 7x 1 + 2x x 1 + 2x 2 15 x 2 2 x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0 x 1 + x 2 3 x 1 cualquiera, x 2 0 x 1, x 2 0 (d) Máx 3x 1 + 2x 2 (e) Mín 3x 1 + 4x 2 s.a. 2x 1 3x 2 6 s.a. 2x 1 + 3x 2 6 4x 1 + 5x x 1 + 5x 2 15 x 1, x 2 0 x 1, x Expresar los siguientes problemas en forma estándar: (a) Máx 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 (b) Mín x 1 + 2x 2 + 3x 3 (c) Máx x 1 x 2 + 2x 3 s.a. x 1 + x 2 x 3 5 s.a. 2 x 1 + x 2 3 s.a. 2x 1 + 3x 2 4 Solución: (a) 6x 1 + 7x 2 9x x 1 + x 3 5 x 1 x 3 2 x 1 + x 2 + 4x 3 = 10 x 1, x 2, x 3 0 x 1 + 2x 2 = 1 x 1, x 2 0, x 3 cualquiera x 1, x 2 cualesquiera, x 3 0 Mín 2x 1 3x 2 5x x 3 s.a x 1 x 2 + x + 3 x 3 + s 1 = 5 6x 1 + 7x 2 9x x 3 + s 2 = 4 x 1 + x 2 + 4x + 3 4x 3 = 10 x 1, x 2, x + 3, x 3, s 1, s 2 0 (b) (c) donde x 3 = x + 3 x 3. Mín x 1 + 2x 2 + 3x 3 s.a x 1 + x 2 s 1 = 2 x 1 + x 2 + s 2 = 3 x 1 + x 3 s 3 = 4 x 1 + x 3 + s 4 = 5 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3, s 4 0 Mín x x 1 + x+ 2 x 2 2x 3 s.a 2x + 1 2x 1 + 3x+ 2 3x 2 + s 1 = 4 x + 1 x 1 x 3 s 2 = 2 x + 1 x 1 + 2x+ 2 2x 2 = 1 x + 1, x 1, x+ 2, x 2, x 3, s 1, s 2 0 donde x 1 = x + 1 x 1 y x 2 = x + 2 x 2.

7 9. Dado el PL: Maximizar 3x 1 + x 2 s.a x 1 + x 2 20 x 1 + 2x x 1 + x 2 30 x 1, x 2 0 a) Expresa el PL en forma estándar. b) Determina todas las soluciones básicas y clasifícalas en Factibles y No Factibles. Alguna de las SBF obtenidas es degenerada (alguna variable básica toma el valor 0)? Si la respuesta es afirmativa, qué más puedes decir sobre esa solución? c) Sustituir en la función objetivo las SBF encontradas y determinar cuál es la mejor. Comprobar gráficamente que la solución obtenida es la óptima. d) Muestra cómo las soluciones básicas no factibles están representadas en el espacio de la solución gráfica. Solución: El problema en forma estándar es: Maximizar 3x 1 + x 2 s.a x 1 + x 2 + s 1 = 20 x 1 + 2x 2 + s 2 = 30 2x 1 + x 2 + s 3 = 30 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 = 0 La matriz de restricciones A, el vector b del lado derecho y el vector de costes c del problema en forma estándar son: A = , b = , c = Para determinar todas las soluciones básicas tenemos que buscar todas las bases de IR 3 que se pueden formar con los vectores columna de la matriz A: Por ejemplo, tomando como base B 1 = (a 1,a 2,a 3 ), se tiene que V B = {x 1, x 2, s 1 }, V NB = {s 2, s 3 }, x B = = 10 ( 10 0 y x N = 0)

8 Haciendo lo mismo con el resto de posibles bases: B 1 = (a 1,a 2,a 3 ) x 1 = (10, 10, 0, 0, 0) t SBF B 2 = (a 1,a 2,a 4 ) x 2 = (10, 10, 0, 0, 0) t SBF B 3 = (a 1,a 2,a 5 ) x 3 = (10, 10, 0, 0, 0) t SBF B 4 = (a 1,a 3,a 4 ) x 4 = (15, 0, 5, 15, 0) t SBF B 5 = (a 1,a 3,a 5 ) x 5 = (30, 0, 10, 0, 30) t SB No Factible B 6 = (a 1,a 4,a 5 ) x 6 = (20, 0, 0, 10, 10) t SB No Factible B 7 = (a 2,a 3,a 4 ) x 7 = (0, 30, 10, 30, 0) t SB No Factible B 8 = (a 2,a 3,a 5 ) x 8 = (0, 15, 5, 0, 15) t SBF B 9 = (a 2,a 4,a 5 ) x 8 = (0, 20, 0, 10, 10) t SB No Factible B 10 = (a 3,a 4,a 5 ) x 4 = (0, 0, 20, 30, 30) t SBF Gráficamente, x 2 20 x 8 = (0, 15) 10 x 1 = x 2 = x 3 = (10, 10) x 10 = (0, 0) 10 x 4 = (15, 0) 20 x 1 Los puntos extremos x 4,x 8 y x 10 corresponden a bases únicas, B 4,B 8 y B 10 ; mientras que el punto extremo x = (10, 10, 0, 0, 0) t, que es degenerado, corresponde a tres bases diferentes: B 1,B 2 y B 3. Esto es debido a que este punto extremo (10, 10, 0, 0, 0) t está definido únicamente por dos variables x 1, x 2 positivas, que son básicas. La tercera variable básica es 0 y puede ser cualquiera de las otras tres variables, s 1, s 2 ó s 3. (10, 10, 0, 0, 0) t está en la intersección de las tres restricciones y, por tanto, las variables de holgura correspondientes son 0.

9 Sustituyendo en la función objetivo los 4 puntos extremos encontrados, se tiene que: x 1 = (10, 10, 0, 0, 0) t z = 40 x 4 = (15, 0, 5, 15, 0) t z = 45 x 8 = (0, 15, 5, 0, 15) t z = 15 x 4 = (0, 0, 20, 30, 30) t z = 0 Por tanto, el óptimo se alcanza en x 4 = (15, 0, 5, 15, 0) t, como se puede comprobar gráficamente. Las soluciones básicas no factibles se obtienen como puntos de corte de las restricciones con los ejes fuera del conjunto factible.

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