Bifurcaciones de órbitas periódicas

Transcripción

1 Bifurcaciones de órbitas periódicas Pablo Aguirre Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María Valparaíso, Chile Sistemas Dinámicos MAT 341

2 Introducción Sea L 0 una órbita periodica aislada del sistema ẋ = f (x; α), x R n, α R, para α = 0. Sea P α la aplicación de retorno de Poincaré para α pequeño: P α : Σ Σ, donde Σ es una sección transversal local a L 0. Recordemos que el mapeo P α es suave y localmente invertible para α pequeño. Por simplicidad, fijemos n = 3 y consideremos las principales bifurcaciones del ciclo L 0 : Estas bifurcaciones vendrán dadas por bifurcaciones de puntos fijos de P α.

3 1.- Bifurcación Silla-Nodo de órbitas periódicas P α : Σ R 3 Σ, Supongamos que para α = 0, L 0 tiene un multiplicador simple µ 1 = 1. Por simplicidad, asumamos que 0 < µ 2 < 1. Entonces, P α sufre una bifurcación Silla-Nodo en el punto fijo asociado a L 0 en α = 0. Esto implica la colisión y desaparición de dos puntos fijos de P α a medida que α pasa por cero. Pero cada punto fijo representa una órbita periódica del campo vectorial. De esta forma, se tiene el siguiente diagrama de bifurcación...

4 Diagrama de Bifurcación Silla-Nodo α < 0: 1 ciclo (hip) estable L 1 y un ciclo (hip) silla L 2. α = 0: 1 ciclo (no-hip) L 0. α > 0: No hay órbitas periódicas. [Figure: Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer.]

5 2.- Bifurcación Period-Doubling de órbitas periódicas P α : Σ R 3 Σ, Supongamos que para α = 0, L 0 tiene un multiplicador simple µ 1 = 1. Por simplicidad, asumamos que 1 < µ 2 < 0. Entonces, P α sufre una bifurcación Flip en el punto fijo asociado a L 0 en α = 0. Un ciclo de período 2 aparece en P α, y el punto fijo cambia su estabilidad a medida que α pasa por cero. De esta forma, se tiene el siguiente diagrama de bifurcación...

6 Diagrama de Bifurcación Period-Doubling supercrítica (Duplicación de Período) α < 0: 1 ciclo (hip) estable L 0 de período T. α = 0: 1 ciclo (no-hip) L 0 de período T.. α > 0: 2 ciclos hiperbólicos. L 0 silla de período T. L 1 estable de período 2T. El escenario de bifurcación exacto (i.e. súper, o subcrítica) queda determinado por los coeficientes de la Forma Normal de la bifurcación Flip de P α en α = 0. [Figure: Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer.]

7 3.- Bifurcación de Toro (Neimark-Sacker) P α : Σ R 3 Σ, Supongamos que para α = 0, los dos multiplicadores de L 0 son complejos-conjugados (y simples) y están sobre el círculo unitario: µ 1,2 = e ±iθ. Entonces, P α sufre una bifurcación Neimark-Sacker en el punto fijo asociado a L 0 en α = 0. Una curva invariante cerrada se bifurca desde el punto fijo de P α, y el punto fijo cambia su estabilidad a medida que α pasa por cero. De esta forma, se tiene el siguiente diagrama de bifurcación...

8 Diagrama de Bifurcación Toro supercrítica (Neimark-Sacker) α < 0: 1 ciclo (hip) estable L 0. α = 0: 1 ciclo (no-hip) L 0. α > 0: 1 ciclo (hip) L 0 inestable + toro invariante T 2 atractor. El escenario de bifurcación exacto (i.e. súper, o subcrítica) queda determinado por los coeficientes de la Forma Normal de P α en α = 0. La estructura de órbitas en T 2 está determinada por la restricción de P α a la curva cerrada invariante en Σ. Genéricamente, existen ciclos de períodos largos y de diferentes tipos de estabilidad contenidos en T 2. [Figure: Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer.]

9 Ejercicios 1. Haga un bosquejo del diagrama de bifurcación period-doubling y retratos de fase representativos en el caso en que P α pasa por una bifurcación Flip subcrítica en α = Haga un bosquejo del diagrama de bifurcación de toro y retratos de fase representativos en el caso en que P α pasa por una bifurcación Neimark-Sacker subcrítica en α = Para las tres bifurcaciones vistas, determine las dimensiones de las variedades estable e inestable de cada ciclo hiperbólico (i.e. α 0). Incluya los casos supercrítico y subcrítico, si corresponde. [Figure: Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer.]

10 Bibliografía Yu. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer, J. Guckenheimer and P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, V. I. Arnol d, V. S. Afrajmovich, Yu. Il yashenko and L. P. Shil nikov, Bifurcation Theory, In V. I. Arnol d (ed.), Dynamical Systems V. Bifurcation Theory and Catastrophe Theory, Encyclopedia of Mathematical Sciences Volume 5, Springer, 1993, pp