M(1), Construcción de una 2-forma diferencial para las órbitas

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1 Construcción de una 2-forma diferencial ara las órbitas Pensamiento Actual. Universidad de Costa Rica. Volumen 11 - No , 2011 ISSN Construcción coadjuntas de de una los2-forma gruos diferencial M1, SO3, ara R las yhórbitas 3 coadjuntas de los gruos M1, SO3, R yh 3 22 de abril de 2013 Héctor Mauricio Barrantes González 1 y Norman F. Noguera Salgado 2 Recibido: 5 de mayo de 2012 / Arobado: 27 de setiembre de 2012 Norman Noguera. norman.noguera@ucr.ac.cr Norman Héctor Barrantes Noguera. hector.barrantes@ucr.ac.cr norman.noguera@ucr.ac.cr Héctor Barrantes Resumen Resumen hector.barrantes@ucr.ac.cr En este artículo se resenta la construcción de Resumen una 2-forma diferencial ara las órbitas coadjuntas del gruo afín M1, el Gruo Ortogonal Esecial SO3, R y el Gruo de Heisemberg H 3. Se arte del En este hecho artículo de que se el resenta lector conoce la construcción algunos concetos de una 2-forma como variedad diferencial diferencial, ara las órbitas forma diferencial, coadjuntas gruo del gruo de Lie, afín álgebra M1, el de Gruo Lie y Ortogonal acción coadjunta. Esecial SO3, R y el Gruo de Heisemberg H 3. Se arte Abstract No obstante, se reseña brevemente cada uno de del estos hecho concetos. de que el lector conoce algunos concetos como variedad diferencial, forma diferencial, gruo de Lie, álgebra de Lie y acción coadjunta. No obstante, se reseña brevemente cada uno de estos concetos. Abstract This aer resents the construction of a 2-differential Abstract form for the coadjoint orbits of the affine grou M1, the Secial Orthogonal Grou SO3, R and the Heisenberg grou H 3. We assume This that the aer reader resents knows the concets construction such as of a differentiable 2-differential manifold, form for differential the coadjoint forms, orbits Lie of grou, the affine Lie grou algebra M1, and coadjoint the Secial action. Orthogonal However, Grou we briefly SO3, review R and each the of Heisenberg these concets. grou H 3. We assume that the reader knows concets such as differentiable manifold, differential forms, Lie grou, Lie algebra and coadjoint action. However, we briefly review each of these concets. 1. Introducción 1. Introducción 22 de abril de 2013 En este artículo se resenta la construcción de una 2-forma diferencial ara las órbitas coadjuntas del gruo afín M1, el Gruo Ortogonal Esecial SO3,R y el Gruo de Heisemberg H3. Se arte del hecho de que el lector conoce algunos concetos como variedad diferencial, forma diferencial, gruo de Lie, álgebra de Lie y acción coadjunta. No obstante, se reseña brevemente cada uno de estos concetos. Palabras clave: Variedad Simléctica; forma diferencial; gruo de lie; álgebra de lie; gruo afín; gruo ortogonal esecial, gruo de Heisenberg, órbita coadjunta This aer resents the construction of a 2-differential form for the coadjoint orbits of the affine grou M 1, the Secial Orthogonal Grou SO 3, R and the Heisenberg grou H3. We assume that the reader knows concets such as differentiable manifold, differential forms, Lie grou, Lie algebra and coadjoint action. However, we briefly review each of these concets. Key Words: Simlectic Manifold; Differential form; Lie Grou; Lie Algebra; affine grou; Secial Orthogonal Grou; Heisenberg grou; Coadjoint Orbit. Las variedades simlécticas son una herramienta matemática imortante en física. Dos de las alicaciones de las variedades simlécticas en esta rama son, or ejemlo, la descrición de la Las mecánica variedades clásica simlécticas de un sistema son físico una herramienta dado y el roceso matemática de cuantización. imortante Es en decir, física. describir Dos de las un alicaciones sistema físico de de las forma variedades cuántica simlécticas a artir de su en descrición esta rama son, clásica. or ejemlo, la descrición de la mecánica Es or esta clásica razón de que un dichas sistema variedades físico dado son y comúnmente el roceso de utilizadas cuantización. en las Es investigaciones decir, describir de un la sistema físico de forma cuántica a artir de su descrición clásica. Es or esta razón que dichas variedades son comúnmente 1 utilizadas en las investigaciones de la 1 Docente de la Sección de Matemática, Deartamento de Ciencias Naturales, Universidad de Costa Rica, Sede de Occidente. *Actualmente realiza estudios de osgrado en el Centro de Investigación en Matemática CIMAT, Guanajuato, México. hector.barrantes@ucr.ac.cr 2 Profesor en la carrera de Enseñanza de la Matemática. Deartamento de Ciencias Naturales, Universidad de Costa Rica, Sede de Occidente. norman.noguera@ucr.ac.cr 1

2 66 Pensamiento Actual. Volumen 11 - No , Universidad de Costa Rica física teórica. Como veremos más adelante, una variedad simléctica es una variedad de dimensión ar junto con una 2-forma diferencial ω cerrada y no degenerada. Es osible obtener ejemlos de variedades simlécticas a artir de lasórbitas coadjuntas de un unto del dual álgebra de Lie. Las siguientes áginas roorcionan los cálculos de la 2-forma diferencial de algunas órbitas coadjuntas, dotando así a dichos conjuntos de una estructura de variedad simléctica. Es imortante recalcar que tales cálculos se llevan a cabo de forma exlícita y detallada, mediante la utilización de herramientas básicas del álgebra lineal y el cálculo diferencial. 2. Preliminares Antes de dar inicio con los cálculos, se lleva a cabo un breve recorrido or algunos concetos que se utilizan a lo largo del artículo. La rimera definición que se muestra es la de variedad diferencial, uesto que como mencionamos anteriormente lo que se buscan son ejemlos de variedades simlécticas. Una variedad diferencial M es un esacio toológico Hausdorff y segundo numerable, que osee una clase de equivalencia de atlas comatibles. La estructura que roorciona la característica de ser una variedad simléctica a una variedad diferencial es una 2-forma diferencial. Una k-forma diferencial sobre una variedad diferenciable M es una función ω : XM XM C M } {{ } k veces que es C M k-lineal y alternante. Uniendo los concetos resentados anteriormente odemos definir una variedad simléctica como una variedad diferencial de dimensión ar. Además, dicha variedad debe estar acomañada de una 2-forma ω diferencial cerrada y no degenerada. Escribimos M,ω ara denotar la variedad simléctica. Ahora introduciremos algunos concetos que ermiten definir ejemlos de variedades simlécticas. Un gruo de Lie G, es un gruo que es a la vez una variedad diferencial, en donde la oeración F g, h g h, definida a artir del roducto de gruo, y la oeración inversión ig g 1 son funciones suaves. 2

3 Construcción de una 2-forma diferencial ara las órbitas coadjuntas de los gruos M1, SO 3.R y H 3 67 El siguiente conceto que ocuaremos es el de álgebra de Lie. Un álgebra de Lie g es un esacio vectorial dotado de otra oeración, diferente de las dos oeraciones de esacio vectorial, y de un corchete [, ] sobre g g que satisface las roiedades de bilinealidad, antisimetría y la identidad de Jacobi. Otro conceto que necesitaremos ara obtener ejemlos de variedades simlécticas es el de acción de un gruo sobre una variedad. Partimos de un gruo de Lie G y de una variedad diferencial M. Una acción de G sobre M, es una alicación suave: θ : G M M θg, g, que satisface las siguientes condiciones: 1. Si e es el elemento neutro de G y M, entonces θe,. 2. Si g 1,g 2 G y M, entonces θg 1,θg 2, θg 1 g 2,. Un ejemlo imortante de acción de un gruo sobre una variedad es la acción coadjunta. Ésta es una acción de un gruo de Lie sobre el dual de su álgebra de Lie g, que también es un esacio vectorial. Dicha acción está dada or: CoAd: G g g CoAdg, f f Adg 1. Un subconjunto de M, que se obtiene de la acción θ, es la órbita de un unto M, denotada O, O {g g G} {q M g G, q g }. De articular interés es la órbita de la acción coadjunta llamada Órbita Coadjunta, uesto que dichos conjuntos son variedades simlécticas, hecho que se establece en el siguiente teorema. Teorema 2.1. Sea G un gruo de Lie y sea g su álgebra de Lie. Considere la acción coadjunta de G sobre g CoAd: G g g CoAdg, f f Adg 1 Si f g entonces la órbita coadjunta de f O f {CoAdg, f g G} es una variedad simléctica. 3

4 68 Pensamiento Actual. Volumen 11 - No , Universidad de Costa Rica La rueba de este teorema, véase [6] o [4], roorciona la manera en cómo se define la 2-forma diferencial corresondiente a las órbitas coanjuntas de un unto del dual álgebra de Lie. El objetivo de este artículo es mostrar la construcción de la 2-forma diferencial ara algunos ejemlos de órbitas coadjuntas. 3. Cálculo de la 2-forma de una órbita coadjunta forma diferencial del Gruo Afín M1 Consideremos el conjunto: { a b } M1 0 1 a, b R,a>0 con la oeración: a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 a 1 b 2 + b G con esta oeración es un gruo de Lie llamado gruo afín 1 Su álgebra de Lie está dada or: { } m n g m, n R, con el corchete definido or: [, ]: g g g [X, Y ]XY Y X. La órbita coadjunta corresondiente a un unto q x, y g,y >0 es: O + q {x, y R 2 y>0} La órbita coadjunta corresondiente a un unto q x, y g,y <0 es: O q {x, y R 2 y<0} La órbita coadjunta corresondiente a un unto q x, 0 g,y <0esx, 0, es decir, los untos de la forma x, 0 son invariantes bajo la acción coadjunta Véase [1]. Determinaremos cómo actúa un funcional f g sobre los elementos de g. Una base ara el álgebra de Lie es: 1 Como es usual en geometría diferencial, usamos notación de sueríndices ara denotar las coordenadas locales de una variedad, que en este caso corresonden a las entradas de los elementos de M1. 4

5 Construcción de una 2-forma diferencial ara las órbitas coadjuntas de los gruos M1, SO 3.R y H 3 69 { } 1 1 B,. m n Es decir, si X g, X, odemos escribir 1 1 X m + n. Para la base B existe una base dual de g, B {f 1,f 2 }, tal que 2 m n m n f 1 m y f 2 n. En este caso si f g, es decir f : g R es lineal, odemos escribir: f c 1 f 1 + c 2 f 2, donde las constantes c 1,c 2 satisfacen c 1 f y c 2 f que: f f f 1 + f f 2 m n Así, si X g, f actúa sobre X como sigue: [ ] m n f c 1 m + c 2 n.. De lo anterior se tiene Usando el conjunto {1} como una base ara R, se obtiene que la matriz que reresenta al funcional f : g R está dada or: c 1 c 2. Observe que ésto último define un isomorfismo entre g y R 2. El álgebra de Lie g actúa sobre su dual g or medio de la acción: θ : g g g θx, f X f f adx 2 Esta condición se debe a la definición de base dual. Una descrición sobre bases duales uede encontrarla en [5]. 5

6 70 Pensamiento Actual. Volumen 11 - No , Universidad de Costa Rica donde X, Y g, f g y la alicación adx es la transformación lineal adx Y [X, Y ]. Vamos a calcular la matriz de la transformación lineal: adx en la base B: 1 0 m n m n adx m 0 m n 0 n 0 1 n, 0 1 m n m n adx 0 m 0 1 m. Luego, la matriz de la transformación adx está dada or: adx. n m m n Suonga que la matriz de f g es: x y y X exresa: θ : g g g θx, f X f f adx g, la acción g sobre g se Así, la matriz que reresenta al funcional f adx está dado or: X f f adx g x y n m yn ym. 1 6

7 Construcción de una 2-forma diferencial ara las órbitas coadjuntas de los gruos M1, SO 3.R y H 3 71 Observe que si O q g odemos asociarle la matriz: 1. 2 Al calcular el esacio tangente de O q en el unto tenemos: T O q O {X X g}. Así, si v, u son vectores en T O q, odemos escribir v V y u U, donde U, V g con u1 u 2 v1 v 2 U y V. Luego, la 2-forma que roorciona la estructura simléctica de la órbita coadjunta O q está definida or: ωu, v [U, V ]. Vamos a calcular la exresión local de ω en las coordenadas locales x 1,x 2 de la variedad diferencial O q. Suonga que u, v T O q. Observe que or la definición de los vectores u y v, al ser funcionales y de acuerdo con la ecuación 1 les corresonden las matrices: 2 u 2 2 u 1 y 2 v 2 2 v 1 resectivamente. Puesto que, una base ara T O q está dada or: { } x 1,, x 2 tomamos: v a 1 x 1 + b 1 x 2 a 1,b 1 2 u 2, 2 u 1 2 v a 2 x 1 + b 2 x 2 a 2,b 2 2 v 2, 2 v 1. 3 En este caso utilizamos la identificación de los funcionales u y v con elementos de R 2. De 2 y 3 se tienen las siguientes relaciones: Entonces: u 2 a1 2 ; u 1 b1 2, v 2 a2 2, v 1 b2 2. 7

8 72 Pensamiento Actual. Volumen 11 - No , Universidad de Costa Rica ωu, v [U, V ] u1 u 2 v1 v 2 v1 v 2 u1 u 2 0 u1 v 2 u 2 v 1 2 u 1 v 2 u 2 v 1, actúa sobre elementos de g. b 2 1 a2 2 a1 2 b a1 b 2 a 2 b 1 1 a 1 b 1 2 a 2 b 2 dx 1 a 1 x 1 + b 1 x 2 dx 1 a 2 x 1 + b 2 x 2 1 dx 1 u dx 2 u 2 dx 1 v dx 2 v dx 2 dx 2 a 1 a 2 x 1 + b 1 x 1 + b 2 x 2 x dx1 dx 2 u v. Por lo tanto, la forma local de ω está dada or: ω 1 x 2 dx1 dx forma diferencial del Gruo Esecial Ortogonal G SO3, R El conjunto de matrices 3 3: SO3 {A Gl3, R A t A I 3 ; det A 1}, es un gruo de Lie junto con la multilicación usual de matrices. Este gruo es llamado Gruo Ortogonal Esecial Real. Su álgebra de Lie está dada or: so3, R {A Mn, R A A t }. 8

9 Construcción de una 2-forma diferencial ara las órbitas coadjuntas de los gruos M1, SO 3.R y H 3 73 Las órbitas coadjuntas de un unto q so3, R R 3 son esferas: O q { R 3 r}. El álgebra de Lie so3, R actúa sobre su dual so3, R or medio de la acción: θ : so3, R so3, R so3, R θx, f X f f adx donde adxy [X, Y ]. De lo anterior se tiene que la 2-forma ω en un unto de la órbita coadjunta O q está dada or: ωu, V [U, V ]., donde U y V son camos vectoriales en so3, R. Ahora determinaremos la exresión local de la 2-forma ω ara una carta local U, φ de la órbita O q. El esacio tangente a O q en O q está dado or: T O q {v R 3 v 0}. Sean u, v T O f, entonces: u U adu donde U, V so3, R. v V adv Escribimos U y V en términos de sus comonentes: 0 u 3 u 2 U u 3 0 u 1 Un cálculo directo muestra que si X transformación lineal: 0 v 3 v 2, V v 3 0 v 1. u 2 u 1 0 v 2 v c b c 0 a b a 0 adx : so3, R so3, R adxy [X, Y ] so3, R, entonces la matriz de la en la base: B 0 1, ,

10 74 Pensamiento Actual. Volumen 11 - No , Universidad de Costa Rica de so3, R está dada or: Es decir: 0 u 3 u 2 adu u 3 0 u 1 u 2 u c b adx c 0 a. b a 0, adv 0 v 3 v 2 v 3 0 v 1. v 2 v 1 0 Recordemos que la órbita coadjunta está contenida en el esacio dual del álgebra de Lie so3, R. Entonces el unto es un funcional lineal, : so3, R R. Si es la matriz que reresenta al funcional O q so3, R, odemos encontrar las matrices que reresentan a los funcionales adu y adv. A s í, de igual forma: u adu v adv 0 u 3 u u 3 0 u 1 u 2 u v 3 v v 3 0 v 1 v 2 v 1 0 Como u T O q entonces u se uede escribir en la forma: u 1 u u 1, 1, u u 2, 0, 1, 1 ues: { } 2 3, 1, 0, 1, 0, 1 1, es una base del lano tangente a la esfera O q en el unto. Similarmente: v 1 v v 1, 1, v v 2, 0, u 2 2 u 3 1 u 3 3 u 1 2 u 1 1 u 2 3 v 2 2 v 3 1 v 3 3 v 1. 2 v 1 1 v 2 Consideremos la carta local U, φ de O f, donde U {s 1,s 2,s 3 O q s 1 > 0} y φ: U R 2 φs 1,s 2,s 3 s 2,s 3. Sean x 1,x 2 las coordenadas locales de O q, entonces: { } x 1, x 2 10

11 Construcción de una 2-forma diferencial ara las órbitas coadjuntas de los gruos M1, SO 3.R y H 3 75 es una base de T O q. Si a 1,b 1 ya 2,b 2 son las coordenadas de u y v se tiene: u a 1 x 1 + b 1 x 2, v a 2 x 1 + b 2 x 2 ero: u a 1,b 1 1 u 3 3 u 1, 2 u 1 1 u 2 v a 2,b 2 1 v 3 3 v 1, 2 v 1 1 v 2 de donde: { a 1 1 u 3 3 u 1 b 1 2 u 1 1 u 2 Evaluemos ahora la 2-forma ω en los vectores u, v: { a 2 1 v 3 3 v 1 b 2 2 v 1 1 v 2. ωu, v [U, V ] UV VU 0 u 2 v 1 v 2 u 1 u 3 v 1 v 3 u 1 u 1 v 2 v 1 u 2 0 u 3 v 2 v 3 u 2 v 3 u 1 u 3 v 1 v 3 u 2 u 3 v Como es un funcional en so3, R, si {f 1,f 2,f 3 } es una base de so3, R tal que f 1 1 1, f 2 0 1, f y definimos los valores de sobre la base B de la forma: , 0 2, entonces se uede escribir como combinación lineal de la base dual de so3, R, luego se tiene: f f f c b Si X c 0 a so3, R entonces actúa sobre los elementos de so3, R de la b a 0 siguiente forma: 11

12 76 Pensamiento Actual. Volumen 11 - No , Universidad de Costa Rica y de acuerdo con las ecuaciones de 4 se tiene: X 1 a + 2 b + 3 c X 1 a + 2 b + 3 c 1 v 3 u 2 u 3 v u 3 v 1 v 3 u u 1 v 2 v 1 u 2 1 v 3 u 2 1 u 3 v u 3 v 1 2 v 3 u u 1 v 2 3 v 1 u 2 2 u 3 v 1 1 u 3 v u 1 v 2 2 u 1 v v 3 u 2 3 v 1 u u 3 v u 3 v u 1v u 1 v u 1 v v 3 u u 1v v 1 u 2 1 a 1b 1 2 a 2 b 1 1 a 1 b 1 1 a 2 b 2 dx 1 a 1 x 1 + b 1 dx 1 a 2 x 1 + b 2 1 dx 1 u dx 2 u 1 dx 1 v dx 2 v x 2 x 2 dx 2 a 1 x 1 + b 1 dx 2 a 2 x 1 + b 2 x 2 x dx1 dx 2 u, v. Si q 1,q 2 son las coordenadas locales corresondientes al unto 1, 2, 3 O f se tiene que 1 r 2 q 1 2 q 2 2. De donde la exresión local de la forma ω está dada or: ω 1 r2 x 1 2 x 2 2 dx1 dx 2. 2-Forma diferencial del gruo de Heisenberg H 3 Considere el Gruo de Heisenberg de dimensión 3: H 3 {a, b, c a, b, c R} con el roducto: a 1,b 1,c 1 a 2,b 2,c 2 a 1 + a 2,b 1 + b 2,c 1 + c a 1b 2 a 2 b 1 12

13 Construcción de una 2-forma diferencial ara las órbitas coadjuntas de los gruos M1, SO 3.R y H 3 77 H 3 con este roducto es un gruo de Lie. El álgebra de Lie de este gruo es h 3 R 3 con el roducto cruz usual. El dual del álgebra de Lie está dada or: h 3 R 3. Las órbitas corresondientes a los untos de la forma x, y, 0 en h 3 son untos de la misma forma. La órbita coadjunta de un unto q x, y, z h 3 es un lano cuya ecuación es z z 0, donde z 0 es fijo Veáse [1]. Es decir: O q {x, y, z z z 0 }. El álgebra de Lie h 3 R 3 actúa sobre su dual or medio de la acción: donde: θ : h 3 h 3 h 3 θx, f X f f adx adx : h 3 h 3 adxy [X, Y ]X Y. Primero calculamos la matriz de adx en la base canónica {e 1,e 2,e 3 } de R 3, donde: Tenemos que: e 1 1, 0, 0 e 2 0, 1, 0 e 3 0, 0, 1. adxe 1 0,z, y adxe 2 z,0,x adxe 3 y, x, 0 or lo tanto la matriz de adx está dada or: 0 z y adx z 0 x. y x 0 Calculamos ahora θx, f. Sea f a, b, c yx x, y, z. Entonces: θx, f X f f adx 0 z y a, b, c z 0 x y x 0 bz cy, cx az, ay bx cy bz, az cx, bx ay. 13

14 78 Pensamiento Actual. Volumen 11 - No , Universidad de Costa Rica Sea 1, 2,z 0 un unto en la órbita O q. Sean u, v T O q, entonces u U y v V, donde U u 1,u 2,u 3,V v 1,v 2,v 3. Es decir: u U adu u 2 z 0 2 u 3,u 3 1 z 0 u 1, 2 u 1 1 u 2 v V adv v 2 z 0 2 v 3,v 3 1 z 0 v 1, 2 v 1 1 v 2. Recordemos que O q es una variedad diferencial. En este caso es de dimensión 2, uesto que es un lano en R 3. Por lo tanto, T O q es un esacio vectorial de dimensión 2. Sean x 1,x 2 las coordenadas locales de O q. Entonces el conjunto { } x 1, x 2 es una base de T O q. Dado que u, v T O q entonces se tiene: u a 1 x 1 + b 1 x 2 a 1,b 1 análogamente: Hacemos la identificación: { a 1 u 2 z 0 2 u 3 b 1 v 2 z 0 2 v 3, v a 2 x 1 + b 2 x 2 a 2,b 2 { a 2 u 3 1 z 0 u 1 b 2 v 3 1 z 0 v 1, { 2 u 1 1 u v 1 1 v 2 0. Calculamos ahora la 2-forma diferencial ωu, v corresondiente a la órbita coadjunta O q ωu, v [U, V ] U V 1, 2,z 0 u 2 v 3 u 3 v 2,u 3 v 1 u 1 v 3,u 1 v 2 u 2 v 1 1 u 2 v 3 u 3 v u 3 v 1 u 1 v 3 +z 0 u 1 v 2 u 2 v 1 1 a 1 b 2 a 2 b 1 z 0 1 a 1 b 1 z 0 a 2 b 2 dx 1 dx 1 a 1 a 2 x 1 + b 1 x 2 x 1 + b 2 x 2 dx 2 a 1 x 1 + b 1 dx 2 a 2 x 2 x 1 + b 2 x 2 1 z 0 dx 1 dx 2 u, v. 14

15 Construcción de una 2-forma diferencial ara las órbitas coadjuntas de los gruos M1, SO 3.R y H 3 79 De lo anterior se tiene que la 2-forma diferencial ω de la órbita coadjunta O q está dada or ω 1 z 0 dx 1 dx Conclusión A continuación resumimos los resultados obtenidos de los cálculos de la exresión local de la 2- forma diferencial corresondiente a las órbitas coadjuntas de los gruos de Lie M1, SO3, R y H 3. Gruo de Lie Órbita Coadjunta 2-Forma Diferencial M1 {x, y R 2 x R, y>0} ω 1 dx 1 dx 2. x 2 SO3, R { R 3 r} ω 1 r 2 x 1 2 x 2 dx1 dx 2 2 H 3 O q {x, y, z z z 0 } ω 1 z 0 dx 1 dx 2. 15

16 80 Pensamiento Actual. Volumen 11 - No , Universidad de Costa Rica Referencias [1] Ávila, Juan F. H Gruos de Lie y Orbitas Coadjuntas Cuantizables. Tesis ara otar al grado de Licenciatura. Universidad de Costa Rica. Ciudad Universitaria Rodrigo Facio. [2] Bombal, Fernando La ciencia en el siglo XX: Seminario Oratova de Historia de la Ciencia, Consejería de Educación del Gobierno de Canarias Enero. [3] De Guzmán, Miguel Matemáticas y Sociedad. Acortando distancias. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 34, [4] Barrantes Héctor, Noguera Norman Alicaciones Básidas de las variedades simlécticas en física, Tesis de Licenciatura, Costa Rica. Universidad de Costa Rica. [5] Hoffman, Kenneth Álgebra Lineal. México: Editorial Prentice-Hall. [6] Kirillov, A. A Elements of the Theory of Reresentation. New York: Sringer-Verlag. Berlin Heidelberg. [7] Isham, Chris J Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. London: Imerial College Press. S. A. [8] Wallach, N.R Symlectic Geometry and fourier analysis. Math.Sci. Press, Brookline. 16