D.1.- Considere el movimiento de una partícula de masa m bajo la acción de una fuerza central del tipo. n ˆ

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1 Cuso Mecánica (FI-1A), Listado de ejecicios. Edito: P. Aceituno 34 Escuela de Ingenieía. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Univesidad de Chile. D: FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTOS PLANETARIOS D.1.- Considee el movimiento de una patícula de masa m bajo la acción de una fueza cental del tipo v F = c c>0 a) detemine el peíodo paa pequeñas oscilaciones en tono a la óbita cicula. b) cuál es el adio de esa óbita? c) demueste que las óbitas son estables paa n >-3 n ˆ D..- Una patícula de masa m se mueve bajo la acción de un campo de fueza definido como La velocidad de la patícula es atacción. k F = 3 v = v + ˆ 0 1 ˆ v θˆ, cuando se encuenta a una distancia o del cento de a) calcule la enegía potencial asociada a F b) calcule la apidez de la patícula en función de su distancia al cento de atacción. c) calcule el ángulo ente la velocidad y el adio vecto cuando = o / (Pob. D.) O o θ θ D.3.- Una patícula de masa m es ataida hacia un punto fijo con una fueza que en componentes esféicas está definida como: 6 0 F ) = 1Eo ( 13 donde E o y o son constantes positivas. Si esta es la única fueza que actúa sobe la patícula, detemine: a) apidez mínima que debe tene la patícula cuando se encuenta a una distancia = o del punto de atacción paa que loge escapa del campo de fueza. b) distancia máxima (o mínima) ente el punto de atacción y la patícula, si ésta se mueve a lo lago de la ecta definida po ambas posiciones, de modo que pasa po el punto donde = o con la mitad de la apidez especificada en a). D.4.- Un sátelite se encuenta en óbita cicula alededo de la Tiea a un a altua h o sobe la supeficie. Calcule el incemento mínimo de velocidad del satélite paa que escape del campo gavitacional teeste. D.5.- Una patícula de masa m está sometida a una fueza de atacción definida como: k F( ) = ˆ a) encuente una expesión paa el potencial efectivo asociado a esa fueza. Gafique b) discuta los posibles movimientos de la patícula. c) encuente el adio y la apidez coespondiente a la óbita cicula. d) calcule la fecuencia de las pequeñas oscilaciones adiales en tono a la óbita cicula. ˆ

2 Cuso Mecánica (FI-1A), Listado de ejecicios. Edito: P. Aceituno 35 Escuela de Ingenieía. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Univesidad de Chile. D.6.- Una nave espacial, con sus cohetes apagados, está descibiendo una óbita cicula de adio R alededo del cento de la Tiea. Su capitán enciende los cohetes duante un tiempo muy beve, dando a la nave un impulso en la diección tangencial al movimiento. Si el peíodo obital esultante es igual a 7/8 del peiodo que tenía la nave en la óbita oiginal, detemine la apidez de la nave cuando pasa po el punto en que se encuenta más alejada del cento de la tiea. D.7.- Un sátelite es colocado en óbita alededo de la Tiea desde una altua de 600 kms sobe la supeficie con una velocidad inicial de km/h paalela a ésta. Asumiendo que el adio de la Tiea es 6378 km y que su masa es de 5,976*10 4 kg, detemine la excenticidad de la óbita esultante y la velocidad del sátelite en su apogeo. D.8.- Se lanza una patícula de masa m con una apidez inicial en una diección tal que, de mantenese el movimiento en línea ecta, pasaía a una distancia b del oigen de un campo de fueza de epulsión definido como: cm f ( ) = c > 0 a) calcule la distancia min ente el cento del campo de fuezas y la tayectoia de la masa. b) sugiea una metodología paa calcula el ángulo de dispesión α. D.9.- Se coloca en óbita un satélite alededo de la Tiea, con las condiciones iniciales siguientes (ve figua): 0 =8R θ=30 v 0 = 1 GM 8R donde R y M son espectivamente el adio y la masa de la Tiea y G es la constante gavitacional, detemine: a) ecuación de la tayectoia =(θ) b) la excenticidad de la óbita esultante. c) peigeo y apogeo d) choca el satélite con la Tiea? b R 8R (Pob. D.9) 30 min α (Pob. D.10) D.10.- Un satélite se encuenta en óbita cicula de adio 3R alededo de la Tiea, donde R es el adio teeste. La apidez del satélite decece buscamente en v, dando luga a una óbita elíptica que oza la supeficie de la Tiea en un cieto punto. Detemine: a) magnitud de v b) la ecuación de la tayectoia elíptica ρ = ρ(θ) c) la apidez del satélite cuando pasa ozando la supeficie de la Tiea (no considee el oce con la atmósfea) d) el tiempo tanscuido desde que fena hasta que llega a la supeficie de la Tiea. D.11.- La distancia ente el cento de la Tiea y el cento de la Luna es igual a 60 veces el adio R de la Tiea, y la masa de la luna es 1/81 la masa M de la Tiea. El adio de la luna es 7/5 veces el adio de la Tiea. A pati de esta infomación, y suponiendo que la Tiea y la Luna están fijas, a) detemine la aceleación de gavedad en la supeficie de la Luna, en función de la aceleación de gavedad en la supeficie de la Tiea.

3 Cuso Mecánica (FI-1A), Listado de ejecicios. Edito: P. Aceituno 36 Escuela de Ingenieía. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Univesidad de Chile. b) encuente una expesión paa la fueza neta que se ejece sobe una patícula de masa m que se mueve en línea ecta ente el cento de la Tiea y el cento de la Luna, y una expesión paa la enegía potencial asociada. Gafique la función de enegía potencial en función de la distancia de la patícula al cento de la tiea. c) si una patícula sale desde la supeficie de la Tiea hacia la Luna con apidez inicial, detemine con que. apidez llega a la supeficie luna (si es que llega). D.1.- Dos satélites, de masa m cada uno, están descibiendo óbitas ceadas alededo de la Tiea, moviéndose en un mismo plano y en el mismo sentido. El satélite 1 está descibiendo una cicunfeencia de adio R y el satélite una elipse tal que sus distancias mínima y máxima al cento de la Tiea son R y 8R, espectivamente. Si los dos satélites se acoplan en un choque inelástico de muy cota duación, cuando el satélite está pasando a la distancia mínima de la Tiea, detemine: a) el cuociente ente la enegía cinética del conjunto inmediatamente antes del choque y la enegía cinética después del choque. b) las caacteísticas de la óbita del satélite compuesto esultante. D.13.- El objetivo de este poblema es deduci la ley de gavitación de Newton: a) pimea ley de Keple las óbitas de los planetas son elipses con el sol en uno de sus focos, aceptando k F( ) = esto como hipótesis y que el sol ejece una fueza cental, demueste que (k > 0) b) considee dos óbitas ciculaes y suponiendo válida la tecea ley de Keple demueste que la constante k es popocional a la masa del planeta. D.14.- Considee una patícula que se mueve bajo la acción de una fueza cental cuya magnitud es popocional a su distancia al oigen del campo de fueza (F=- K) a) analice si es posible que esta patícula escape de este campo de atacción. b) detemine el peiodo obital si la patícula se encuenta giando en una óbita cicula a una distancia o del oigen c) si en la condición especificada en el punto anteio se da un pequeño impulso a la patícula en la diección adial, detemine el peiodo de las pequeñas oscilaciones en tono a la óbita cicula. d) epita los cálculos anteioes, si la fueza es del tipo F = -F o (constante). D.15.-Una nave espacial se está moviendo con apidez en el momento que una fueza de atacción empieza a actua sobe ella, povocada po un objeto lejano no identificado.la fueza está definida po la siguiente expesión f() =-cm/(4 3 ) donde es la distancia al cento de atacción. Si la nave no fuea afectada po esta fueza pasaía a una distancia D del cento de atacción: a) detemine la apidez máxima que alcanza la nave. b) detemine la distancia mínima que alcanza al cento de atacción. D.16.- Una patícula se mueve únicamente bajo la acción de una fueza cental cuyo potencial esta dado po la expesión V( )=mk 3, con k > 0. a) detemine la velocidad de la patícula si se mueve en una óbita cicula de adio R. b) si la patícula es desviada de su tayectoia como esultado de un pequeño impulso adial, detemine el peiodo de las pequeñas oscilaciones en la distancia al cento de atacción. D.17.- Considee una cápsula espacial que descibe una óbita cicula de adio R o moviéndose con apidez alededo de un cuepo no especificado. Súbitamente su cohete impulso se enciende momentáneamente de modo que su velocidad aumenta hasta un valo α,con α > 1.

4 Cuso Mecánica (FI-1A), Listado de ejecicios. Edito: P. Aceituno 37 Escuela de Ingenieía. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Univesidad de Chile. a) detemine el máximo valo de α paa que la cápsula no escape de la atacción gavitacional del cuepo que la atae. b) demueste que la distancia máxima alcanzada po la cápsula veifica la elación R max /R o =α / ( α ) D.18.- Considee un satélite de masa m que óbita la Tiea con un peiodo T a) si la óbita es cicula, encuente expesiones paa el adio de la óbita con especto al cento de la Tiea (R o ) y la apidez del movimiento ( ).Especifique estos valoes en téminos del peiodo T, del adio de la Tiea (R T ) y de la gavedad g en la supeficie de la Tiea. b) considee que el satélite óbita la Tiea con el mismo peiodo anteio T, peo con una tayectoia elíptica de excenticidad e. Detemine la distancia del satélite al cento de la Tiea en el peigeo y en el apogeo de la óbita. Entegue sus esultados en función de la excenticidad e de la óbita elíptica y del adio R o de la óbita cicula especificada en a) c) paa el caso especificado en b) detemine la apidez del satélite en el peigeo y en el apogeo, en téminos de la excenticidad e de la óbita elíptica y de la apidez de la óbita cicula especificada en a) D.19.- Se coloca en óbita un satélite de modo que a una altua h sobe la supeficie teeste se le deja libe con una velocidad en una diección que foma un ángulo β con el vecto de posición definido desde el cento de la Tiea. Encuente la ecuación de la tayectoia en téminos de los paámetos del poblema, y también en función del adio de la Tiea R, de la constante gavitacional G y de la masa de la tiea M. h m β M R o v 1 π/3 R (Pob. D.19) (Pob. D.0) D.0.- Un satélite de masa m se encuenta en óbita cicula de adio R o, sometido a una fueza cental cuya función de enegía potencial es V() = -k/. En un cieto instante el satélite ecibe un impacto que altea su velocidad (no su apidez) en un ángulo π/3, como se indica en la figua.. Detemine las distancias máxima y mínima al cento de atacción en la nueva óbita del satélite. D.1.- Un satélite de masa m gia en una óbita cicula a una distancia D del cento de la Tiea. En un cieto instante se da un impulso al satélite que esulta en un cambio δv en su velocidad. a) suponiendo que el impulso se da en la diección de movimiento del satélite detemine la magnitud de δv paa que el satélite escape de la atacción gavitacional teeste. b) epita el cálculo suponiendo que el impulso es adial c) suponga de nuevo el impulso es tangencial (como en a) y que el satélite pemanece en óbita elíptica. Detemine los adios máximo y mínimo de la óbita esultante. D..- Suponga que la Tiea (M T ) gia en tono al Sol (M S ) en una óbita cicula de peiodo T (365 días) po efecto gavitacional. a) demueste la tecea ley de Keple, es deci que T es popocional a R o 3, donde R o es el adio de la óbita cicula. Calcule explícitamente la constante de popocionalidad.

5 Cuso Mecánica (FI-1A), Listado de ejecicios. Edito: P. Aceituno 38 Escuela de Ingenieía. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Univesidad de Chile. b) suponga que se detiene abuptamente el movimiento de la Tiea alededo del Sol. Calcule el tiempo que tadaía la Tiea en choca con el Sol (despecie el tamaño adial de ambos cuepos). Expese el esultado en función del peiodo de la óbita cicula T y evalúe explicitamente. son minutos, días, meses? D.3.- Una patícula de masa m se encuenta a una distancia a de un cento de atacción gavitatacional epesentado po una patícula de masa M, fija en el espacio. En el instante inicial, la patícula de masa m es impulsada con una velocidad pependicula a la ecta ente las dos patículas. Detemine: a) el valo mínimo de paa que la patícula escape del campo de atacción gavitacional. b) detemine el valo de paa que la patícula pemanezca en una óbita cicula. c) si la velocidad inicial es igual a la mitad de aquella calculada en el punto a), desciba la tayectoia de la patícula y detemine su distancia mínima al cento de atacción.

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