Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm

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1 Problmas sultos.0 Un satélit dscrib una órbita circular n torno a la Tirra. Si s cambia d rpnt la dircción d su vlocidad, pro no su módulo, studiar l cambio n su órbita y n su príodo. Al cambiar sólo la dircción d la vlocidad, l momnto angular varía pro la nrgía total no. La órbita nuva corrspondrá a una trayctoria asociada a una nrgía ngativa, qu como hmos visto, pud sr una órbita circular o líptica. El nuvo valor dl momnto angular s L mvr0 sinα Lsinα sindo α l ángulo ntr la vlocidad y l radio vctor n l instant dl cambio, y r 0 l radio d la órbita circular, y la nrgía tin l valor m E E r 0 La furza cntral qu actúa ntr al satélit y la Tirra s invrsamnt proporcional al cuadrado d la distancia ntr llos. Para dicha furza s satisfacn las lys d Kplr. La trcra ly nos dic qu l príodo d una órbita sólo stá rlacionado con la nrgía total, d la forma siguint m E a y a T 4π dond a s l smij mayor d la nuva órbita, qu n st caso coincid con r 0. Es dcir, 4π m T E Al no variar la nrgía durant l cambio d la vlocidad, no varía l príodo orbital. La sgunda ly d Kplr s la ly d las áras y stablc qu L S m T sindo S l ára d la órbita y T l príodo orbital. Como l príodo no varía, T T, ms ms L L con lo cual, l ára d la nuva órbita s L S S S sinα L

2 Ya qu la nrgía no varía, la nuva órbita s una lips cntrada n O, con smij a, y nos falta calcular su xcntricidad. Tnmos y r 0 con lo cual S π r 0 πa S π ab πa S sinα S Es dcir, la xcntricidad d la nuva órbita vin dada por cosα.1 Un satélit d masa m dscrib una órbita circular a una distancia H d la suprfici trrstr. Otra partícula d masa m/ s muv sobr la misma órbita pro n sntido contrario, d modo qu choca con l satélit qudando unida a él. Calcular l apogo y l prigo d la órbita dl curpo compusto. La vlocidad d una masa m n una órbita circular d radio r pud obtnrs d la condición d quilibrio d las furzas n dircción radial m V m r r ó V r La vlocidad no dpnd d la masa n moviminto. Concluimos qu la vlocidad dl satélit y d la partícula ants dl choqu tin l mismo módulo y sntido contrario con l valor V i + H sindo l radio d la Tirra y M su masa. Durant l choqu sólo actúan furzas intriors, y l momnto angular rspcto a O s consrva constant. Ants dl choqu m m L mv ( + H ) V ( + H ) ( H ) i i + Est s l valor dl momnto angular para l moviminto dl curpo compusto, dspués dl choqu. Para dtrminar los puntos apsidals d la nuva órbita nos falta conocr la nrgía dl curpo compusto. Como la colisión no s lástica, la nrgía no s consrva n la colisión. Sin mbargo, si s consrva la vlocidad dl cntro d masas, qu corrspond a la vlocidad V dl curpo compusto dspués dl choqu. Tnmos

3 con lo cual m m + V m mv i V i 1 V Vi Justo dspués d la colisión, l curpo compusto llva una vlocidad V y s ncuntra a una distancia +H dl cntro d la Tirra. Por tanto, su nrgía total tin l valor 1 m m E m + V m + + H Introducindo l valor d la vlocidad, llgamos a 1 m E m m H + H 1 + H Una vz conocidos los valors L y E, hallamos los parámtros d la órbita a y, dl curpo compusto. Para l smij mayor obtnmos l valor m m 1 + H a 9 a ( + H ) La xcntricidad d la órbita satisfac la fórmula Dsarrollando l radicando ncontramos 16EL 7G M m EL G M m La distancia d máximo acrcaminto, prigo, stá dada por r P a 1 1 ( + H ) ( + H 9 y la distancia d máximo aljaminto, apogo, s 9 8 r A a( 1 + ) 1 + ( + H ) + H 9 ( ) )

4 . Un satélit artificial d masa m rcorr una órbita líptica, con príodo T. Las vlocidads máxima y mínima n su órbita son V,V max min rspctivamnt. Dtrminar los parámtros d la órbita. La cuación d la lips s a(1 ) r cosφ Las distancias al apogo y prigo son r a(1 ) r P A a(1 + ) Por consrvación dl momnto angular L n los puntos apsidals mv r mv min A maxr P con lo cual, d las cuacions antriors, liminando l smij mayor a obtnmos la xcntricidad d la órbita Vmax Vmin V + V max Para hallar l smij mayor, utilizamos la ly d las áras. Si T s l príodo, π ab l ára d la lips, la ly d las áras s scrib πab L 1 Vmina(1 + ) T m Como b a 1, dspjamos l valor dl smij mayor VminT a π Tnmos Vmax Vmin Por tanto, T a VminVmax π Finalmnt la nrgía total E s ncuntra a partir d la xprsión m E a obtnindo πm E V min min V max

5 . Un planta d masa M tin un satélit d masa m, dscribindo n torno a él una trayctoria circular d radio, con príodo T. Súbitamnt l satélit s para. Dtrminar l timpo d caída dl satélit sobr l planta. La nrgía dl satélit n su órbita circular s 1 m E mv Admás, hay quilibrio d las furzas n dircción radial. La furza gravitatoria s compnsa con la furza cntrífuga V m m con lo cual, la nrgía s m E Cuando l satélit s frna, su nrgía cinética s hac cro, y su nrgía s rduc a la nrgía potncial, con lo cual m E E Sgún la trcra ly d Kplr, xist la rlación ntr l príodo d una órbita y la nrgía dl sistma π T ( E) G M m El príodo d la nuva órbita satisfac / E T T T E' Cuando l satélit s frna, su vlocidad s hac cro, y así l momnto angular d la nuva órbita s cro. Esto quir dcir qu la órbita dl satélit pasará por l cntro dl planta. El punto d máximo aljaminto s produc n l momnto inicial, r, y l punto d máximo acrcaminto s r 0. Por tanto, l timpo qu tarda n car s igual al timpo qu tarda n ir d r a r 0, s dcir, l timpo qu tarda n ir dl máximo aljaminto al máximo acrcaminto, sto s, un smipríodo. El timpo d caída s, ntoncs T T t 4

6 Problmas Propustos.4 Un satélit artificial s lanza dsd la suprfici trrstr vrticalmnt hacia arriba con una vlocidad inicial U α. En l momnto n qu s para, s l da una vlocidad transvrsal V β. Hallar los parámtros d la órbita n función d α y β. Aquí, s l radio trrstr. Solución: a α β 4 ( α β ) ( α ) β.5 Una nav spacial d masa m llga con una vlocidad V 0 a las proximidads d la Luna siguindo una trayctoria hiprbólica cuya asíntota stá a una distancia b dl cntro d la Luna. Sa a la distancia d aproximación máxima d la nav al 10 cntro d la Luna. Calcular la vlocidad ncsaria V 0 para qu b, a, sindo l radio d la Luna, y la vlocidad n l punto d aproximación máxima n dicho caso. En l punto d máxima aproximación, la nav frna para dscribir una órbita circular d obsrvación d radio a. Calcular la nrgía prdida por la nav. V 0 4 Solución: V P 5 4 m b E a b + a a

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