DISEÑO Y APLICACIÓN DE INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS Y VALORACIÓN DE TEXTOS ESCOLARES DE MATEMÁTICAS

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1 DISEÑO Y APLICACIÓN DE INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS Y VALORACIÓN DE TEXTOS ESCOLARES DE MATEMÁTICAS Mí Consuelo Monteubio y Tomás Oteg Se pesent el poceso que h pemitido elbo distintos modelos de nálisis y vloción de tetos escoles de mtemátics y, tmbién, ejemplos de su puest en páctic. Se tt de fcilit l pofesodo de educción secundi l te de elegi un libo de teto decudo l conteto en el que se desoll l páctic eductiv. Los instumentos de vloción constuidos tmbién pueden constitui hemients impotntes en l elboción de mteiles cuicules po pte del pofesodo, e indicdoes de clidd pofesionl. Téminos clve: Aplicción; Instumento de evlución; Tetos escoles de mtemátics Design nd Implementtion of Instuments fo Anlyzing nd Assessing Mthemtics School Tetbooks We pesent the pocess tht llowed us to elbote diffeent nlysis nd evlution models of mthemtics school tets nd, lso, emples of thei ppliction. The im is to fcilitte to secondy eduction teches the tsk of choosing tetbook dpted to the contet in which the eductionl pctice is developed. The constucted evlution instuments cn constitute impotnt tools fo elboting cuicul mteils by teches s well s indictos of pofessionl qulity. Keywods: Appliction; Evlution instument; Mthemtics school tetbooks Es hbitul l utilizción de un libo de teto en el desollo del poceso de enseñnz y pendizje. De hecho, en muchos csos, como señl Henson (citdo en Ae, 1991), el teto escol detemin el cuículo el. Este hecho hce que l elección del teto escol se un te muy impotnte. Peo no se tt de un te sencill, y que, como señln divesos utoes (Del Cmen, 1994; Gcí, 1995; Monteubio, 000), son muchs ls vibles que se deben tene Monteubio, M. C. y Oteg, T. (011). Diseño y plicción de instumentos de nálisis y vloción de tetos escoles de mtemátics. PNA, 5(3),

2 106 M. C. Monteubio y T. Oteg en cuent. Po este motivo se tomó l decisión de busc un instumento que pemitie eliz un nálisis de los tetos de fom sistemátic. Hbiendo obsevdo que eistín instumentos de cácte genel, es deci, válidos p difeentes áes, nos popusimos ce un modelo de vloción de tetos escoles de mtemátics que pemit elegi el teto que mejo se dpte ls necesiddes pedgógics del lumndo l que se v destin. IDENTIFICACIÓN DEL OBJETO DE ESTUDIO: EL LIBRO DE TEXTO Con el fin de pecis l teminologí que se v utiliz, continución se pesent, de fom concet, lo que se entiende po libo de teto en este tbjo. Siguiendo Escudeo (1983), el libo de teto está constituido po tes dimensiones: () semántic, es deci, su contenido; (b) estuctul-sintáctic, que hce efeenci su fom de ognizción y sistem de símbolos; y (c) pgmátic, donde se tiene en cuent su uso, popósitos, etc. Est últim dimensión pone de mnifiesto que el nálisis de un teto escol no puede hcese de fom isld sino que, como señln Gimeno (1988) y Sntos (1991), es peciso tene en cuent el uso que se petende hce de dicho mteil en el ul y el modelo de enseñnz y pendizje que se dese desoll. Rodíguez (1983), siguiendo Ricudeu (1976), conside que el libo de teto es un mteil impeso, estuctudo, destindo se utilizdo en un poceso de pendizje y de fomción concetd (p. 59). Sty (citdo en Boe, 1996) conside que los libos de teto están diseñdos específicmente p se utilizdos en los pocesos de enseñnz y pendizje, mients que los libos escoles son mnules utilizdos tmbién en l páctic eductiv, peo que no hn sido diseñdos con este objetivo. Pestndo tención de fom específic l áe de mtemátics, Vn Domolen (1986) distingue tes tipos de libos de teto: () quellos que constn sólo de ejecicios y poblems, (b) los que se componen de teoí po un ldo y poblems y ejecicios po oto, y (c) los que constituyen un mezcl en l que se pesent l teoí, los ejecicios y poblems mezcldos. P este uto, este último tipo de libo se podí conside como un pofeso en sí mismo y señl que el uto de este tipo de mnules escoles petende escibi un libo pueb de pofesoes. Con est denominción se efiee un tipo de mnul elbodo con l intención de que el pofeso lo sig fielmente, pensndo que sí se gntiz l clidd de l páctic eductiv. De est fom se tnsmite l ide de que, con este pocedimiento, culquie pofeso podí impti ls clses de culquie mtei con bstnte soltu, lo que llev Toes (1994, p. 177) hbl de desculificción pofesionl. Sin embgo, estos mteiles no tuvieon el éito espedo y que, el pofesodo no estb dispuesto est l sevicio del libo de teto pues, como señl Gimeno (1989), el pofeso no es un consumido psivo.

3 Diseño y Aplicción 107 Mtínez (1991) pest tención los mteiles cuicules desde dos puntos de vist. Po un ldo, conside los denomindos mteiles pueb de pofesoes, quellos que ofecen tod l plnificción de l páctic eductiv sin necesidd de que el pofeso efleione l especto. Po oto ldo, tiene en cuent los mteiles como instumentos de fomción pofesionl en l medid que sitúen l pofeso de un modo ctivo nte dilems pácticos y le obliguen tom decisiones efleionds que debeá contst con ls de otos colegs (p. 64). Este specto se h tslddo l concepción del modelo de vloción que poponemos y, como se indicá posteiomente, se pesentn lguns oientciones de nálisis con el objetivo de yud l pofesodo efleion y nimlo p que enfoque el nálisis desde distintos puntos de vist, lo que, sin dud, contibuye un eniquecimiento pofesionl. En este tbjo, se conside como libo de teto, quel que coesponde un cuso y un mtei concet, en este cso, ls mtemátics. L pesenci del libo de teto en el ul v siempe unid l lbo pofesionl del pofesodo, como se pone de mnifiesto en ls conclusiones del III Encuento Ncionl sobe el Libo Escol y el Documento Didáctico, pesentds po el Gupo Alboán (1991), donde se señl que un libo, po bueno que se, seá un instumento ineficz en el ul, si no se cuent con l lbo del pofeso, fcto impescindible de l cción eductiv (p. 7). En el infome Cockoft (198/1985) se destc l impotnci del uso del libo de teto como yud inestimble p el pofeso en el tbjo diio del ul. Además, señl que no es fácil pende mtemátics con un libo y l cpcidd de hcelo puede eigi mucho tiempo. En l mism líne se ponunci Contes (1991) cundo señl l elevnci de l pesenci del pofeso como figu fundmentl en el desollo de l esttegi de enseñnz (p. 97). Love y Pimm (1996) considen que, unque los tetos escoles vn diigidos los lumnos, no se petende que éstos tbjen solos con los tetos, sino contndo con l intevención del pofeso. Vn Domolen (1986) lleg plntese l posibilidd de que eist un teto que pemit el tbjo utónomo po pte del lumno p conclui que est fom de tbjo puede empobece el poceso de enseñnz y pendizje, l pedese l intección ente los estudintes, y hce más difícil que se consig un nivel más pofundo de compensión. ANTECEDENTES En este ptdo, se pestá tención investigciones pecedentes sobe los libos de teto desde distints pespectivs. En pime lug, se considen lgunos tbjos que señln detemindos spectos que deben pece en un libo de teto p gntiz su clidd. Pensmos que es peciso nliz l pesenci de estos spectos en los mnules y que se podín clific como instumentos de inspección genel. Después, se tiende ls popuests de difeentes utoes p-

4 108 M. C. Monteubio y T. Oteg nliz libos de teto, distinguiendo ente los instumentos de nálisis de cácte genel, es deci, válidos p plic los mnules de culquie áe, y los modelos de vloción diseñdos específicmente p el nálisis de libos de teto de mtemátics. Son vios los utoes que pestn tención ls ccteístics geneles que deben tene los mnules escoles en genel o los efeentes l áe de mtemátics en pticul (Del Cmen, 1994; Fenández, 1989; Mchesi y Mtín, 1991; Ntionl Council of Teches of Mthemtics, 1989/1991; Otte, 1986). Todos ellos coinciden en señl l impotnci de foment l pticipción ctiv del lumno, dejndo espcios p l efleión; es deci, que el teto no debe se un instumento cedo que eplicite todo. Asimismo, destcn l impotnci de que los tetos: contemplen distintos tipos de contenidos, pemitn difeentes itmos de pendizje, popongn el estudio de ls áes estbleciendo elciones ente ells y tmbién ente ls distints ptes que componen un signtu y, finlmente, pesten tención l evlución. Tmbién se pesent un gn coincidenci l destc l impotnci de que los tetos escoles pesenten posibiliddes de dptción difeentes contetos po pte del pofesodo. Po ot pte considemos los instumentos de nálisis válidos p plic los libos de teto de tods ls áes, pesentdos po vios utoes (Bend, 1976; Del Cmen, 1994; Gcí, 1995; Gimeno, 1988; Mtínez, 199; Pceis, 1996; Pendes, 001; Sntos, 1991). Se puede obsev que todos estos modelos de vloción tienen oientciones difeentes y poponen tende distintos spectos. Algunos se fijn más en elementos de cácte muy genel, cuyo nálisis puede elizse desde difeentes puntos de vist, mients que otos poponen llev cbo un nálisis bstnte detlldo. L metodologí de plicción de los modelos tmbién es difeente. Mients que lgunos utoes se bsn sólo en un nálisis de cácte culittivo, como es el cso de Mtínez (199), otos, como Gcí (1995) o Pceis (1996), poponen un nálisis inicilmente culittivo que, posteiomente, puede tducise cuntittivmente p fcilit l obtención de un vloción finl numéic p cd uno de los libos de teto nlizdos. En el cso de modelos específicos p el áe de mtemátics tendemos un seie de estudios que ttn de vlo contenidos más concetos. Se pueden distingui difeentes tipos de tbjos tles como los que elizn nálisis de libos de teto con difeentes oientciones. Este es el cso de los tbjos elizdos con el enfoque semiótico-ntopológico (Godino, 1999), ente los que destcn los tbjos de Contes, Font, Luque y Odóñez (00) y Contes y Odóñez (003). Tmbién podemos conside el estudio de Sie, González y López (1999) sobe l evolución históic del ttmiento del concepto del límite funcionl en los libos de teto. Ente los tbjos de investigción sobe conceptos mtemáticos que llevn cbo un nálisis cuicul tvés de los tetos escoles, podemos destc el estudio de Gcí y Llines (1995) sobe ls distints popuests que figun en

5 Diseño y Aplicción 109 los mnules escoles p tbj el concepto de función, como un tópico conceto. Cubillo (1998), Blázquez (000) e Ibñes (001), ente otos, tmbién elizn estudios con este enfoque sobe los tópicos de fcciones, límite y demostción, espectivmente. González (00) hce un estudio del concepto de punto cítico en tetos históicos, pestndo especil tención los sistems simbólicos de epesentción. Sin embgo, estos utoes no elizn un nálisis sistemático y genel de estos mnules, y que no es su objetivo, como tmpoco lo es l constucción de un modelo de vloción de tetos. Rico (1997) eliz un tbjo sobe los ognizdoes del cuículo de mtemátics, considendo el libo de teto como elemento que, tdicionlmente, h estuctudo ls uniddes didáctics. En elidd, no pesent un modelo de vloción de tetos escoles sino un seie de consideciones que, en el estudio que se está elizndo, sugieen, po un ldo, ls ccteístics que deben tene los elementos ognizdoes del modelo de vloción que se dese ce y, po oto, lgunos indicdoes de nálisis, de cácte específico p el áe de mtemátics, cuy plicción en el nálisis de los libos de teto puede esult de inteés. Ente los estudios elizdos con el popósito de obtene un instumento de nálisis y vloción de tetos escoles de mtemátics se encuentn, ente otos, los tbjos de Bodí y Vlls (00), Ho y Toegos (00) y Mtín (00), que se bsn en el estudio de Rico (1997) sobe los ognizdoes del cuículo de mtemátics p constui modelos de vloción que, fundmentlmente, pestn tención l fom en que se pesentn y desolln los contenidos. Oteg (1996) pesent un modelo de vloción de tetos escoles de mtemátics estuctudo medinte diez ognizdoes: entono, sobe l teoí, ilustciones, enftizción, ejecicios, cuestiones y poblems, motivción, metodologí, ctividdes, nuevs tecnologís y otos. Este uto espe que el pofesodo pued eliz un vloción objetiv del libo de teto utilizndo este instumento de evlución y, p ello, popone l siguiente metodologí. En cd uno de los ognizdoes, se pesent un seie de inteogntes que deben se puntudos en un escl, ponded po unos pesos que ttn de eflej l impotnci de l cuestión plnted. L seie de cuestiones plnteds en cd ognizdo se puede nliz lo lgo de todo el teto, o bien, p un tópico conceto. A continución, se ttán de cuntific los esultdos de este nálisis siguiendo el pocedimiento siguiente: cd cuestión se puntú con númeos enteos del intevlo [5,10] y se le signn pesos con númeos enteos del intevlo [ 1, 5]. El uto tmbién conside que estos intevlos pueden se otos. Se intoducen pesos p destc l impotnci cuicul de unos indicdoes fente otos. L puntución de cd ptdo es el esultdo del poducto de estos dos númeos. Ls puntuciones de los distintos indicdoes y los pesos vendán ddos en función de lo que los nlists consideen más decudo.

6 110 M. C. Monteubio y T. Oteg PROCESO DE ELABORACIÓN DEL MODELO DE ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE TEXTOS ESCOLARES DE MATEMÁTICAS El objetivo de l investigción llevd cbo es constui un instumento de evlución de tetos escoles de mtemátics compuesto po un conjunto de indicdoes de nálisis, cuy plicción los libos de teto pemit vlo l decución de dicho mnul l conteto conceto en el que se v utiliz. El instumento de evlución constuido se estuctu en función de un seie de ognizdoes, siguiendo l denominción de Rico (1997), quien conside que, p que un elemento pued se considedo ognizdo, debe pode nlizse de fom objetiv. Cd ognizdo incluye un conjunto de indicdoes de nálisis en fom de ctegoís, lguns de ls cules se especificn medinte un conjunto de indicdoes de nálisis denomindos subctegoís. A continución, se detll el poceso medinte el cul se obtienen los distintos indicdoes de nálisis y se pocede clsificlos en los ognizdoes coespondientes. Tmbién se descibe el modo popuesto p vlid el instumento de evlución constuido, contndo con l opinión de un gupo de pofesoes en ctivo. Análisis de los Antecedentes y de Libos de Teto de Mtemátics: Integción de los Mcos Teóico y Metodológico En pime lug, con el fin de obtene los difeentes indicdoes de nálisis, se hizo un estudio detlldo de los tbjos considedos en el ptdo de ntecedentes, elizndo un nálisis del contenido de dichos documentos con el fin de busc ls uniddes de infomción que ibn constitui los indicdoes de nálisis. En l Figu 1 se pesent el esquem del poceso de constucción del modelo de nálisis y vloción de tetos escoles de mtemátics, ptiendo del nálisis de los modelos ntecedentes. Se tt de un poceso que pemite l integción de los mcos teóico y metodológico utilizdos en l investigción.

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8 11 M. C. Monteubio y T. Oteg lisis de cd modelo que se incopoó l nálisis, lo que nos llevó evis de nuevo los modelos nteioes. Además, l popi páctic en el nálisis de los distintos modelos de vloción considedos hizo que l búsqued esult cd vez más fuctífe y se loclizn indicdoes de nálisis que, en un pincipio, pudieon hbe psdo despecibidos. Este pime pso tení un función heuístic y su popósito e busc los elementos que, según los utoes de los modelos nlizdos, debín se tenidos en cuent p eliz l evlución de un teto escol. Un vez conseguidos los indicdoes de nálisis l i elizndo ls evisiones sucesivs de los modelos ntecedentes, fue peciso conside si se ttb de indicdoes nuevos. Si no e un elemento nuevo se desctó y, de est fom, se consiguió un conjunto de indicdoes de nálisis difeentes. A continución fue peciso vlo l utilidd del indicdo, considendo que un indicdo de nálisis e útil en l medid en que contibuí eplic el funcionmiento del libo de teto, de modo que, cd usuio del modelo, desde su popi pespectiv pofesionl, pued decidi si l fom en que el teto escol contempl ese specto es decud p ls necesiddes del conteto en el que tiene lug su páctic eductiv. Si el elemento no e útil, se descto y, si se consideó de utilidd, psó fom pte de un nuevo conjunto de indicdoes. Siguiendo de nuevo Bdin, se elizó el nálisis de contenido con un función de dministción de pueb en dos ocsiones: po un ldo, l i elizndo ls evisiones sucesivs de los modelos ntecedentes y considendo si se ttb de nuevos indicdoes de nálisis y, po oto, l vlo l utilidd del indicdo. Después de eliz todo el poceso nteio, medinte el cul se obtuvieon los indicdoes de nálisis que poceden de los modelos considedos como ntecedentes, se llevó cbo el nálisis de vios libos de teto de mtemátics con el fin de ñdi los indicdoes de nálisis que en necesios p gntiz que todo elemento pesente en un teto escol fue susceptible de se nlizdo si se utiliz el modelo de vloción constuido. Así se constuyó este nuevo conjunto de indicdoes de nálisis fomdo po todos los indicdoes selecciondos, tnto los pocedentes de los modelos ntecedentes como los obtenidos pti del nálisis de libos de teto de mtemátics. A pti de quí se pocedió clsificlos en los distintos ognizdoes considedos, tendiendo, po un pte, un pespectiv socio-cuicul, en l que se hizo un estudio de los mteiles en elción con el cuículo, es deci, con el conjunto de objetivos, competencis básics, contenidos, métodos pedgógicos y citeios de evlución, como señl l Ley de Odención Eductiv espñol, LOE (Ministeio de Educción y Cienci, 006) en el tículo 6, y tmbién, pestndo tención l elción que se estblece ente los lumnos y los tetos. Así, todo este estudio se sitú en el pdigm teóico-contetul, popuesto po Escudeo (1983b), quien señl l impotnci de estblece l elción de los mteiles con el cuículo y el conteto. De est fom, de cuedo con el objetivo popuesto en este estudio, el instumento constuido pemite vlo si el teto es decudo p un conteto detemindo. Además, en el nálisis de todos los dtos considedos intevino un

9 Diseño y Aplicción 113 componente cetiv que sugió de l popi epeienci de tbjo con lumnos y tetos escoles, y tmbién de l cultu dquiid lo lgo de l investigción. Así, se obtuvo un modelo inicil de nálisis y vloción de tetos escoles de mtemátics. Vloción del Pofesodo en Activo: Vlidción del Modelo y Apotciones Ddo que se consideó de especil impotnci el hecho de que el modelo obtenido fuese útil p el pofesodo, se optó po conoce l vloción de lgunos pofesoes en ctivo. P ello, se les pesentó el modelo constuido y se pidió que vlon l puest en páctic de dicho modelo y que ñdien los indicdoes que considen que no hbín sido contempldos. Se enconton intepetciones difeentes p lgunos de los indicdoes de nálisis y se decidió entevist dos pofesos en ctivo, que hbín elizdo el cuestionio, p tt de nliz con myo pofundidd ls efleiones obtenids del nálisis de los cuestionios. Dicho nálisis se utilizó p pep l entevist, que se elizó conjuntmente. El nálisis de est documentción pemitió obsev que no popusieon ningún indicdo de nálisis nuevo y que considebn que el modelo e útil p el objetivo popuesto, peo que se equeí mucho tiempo p su utilizción, lo que podí pone en dud que se llev l páctic cundo se tt de nliz vios tetos. Además, como y se h comentdo, se enconton intepetciones difeentes p lgunos de los indicdoes de nálisis. Un vez que se nlizon los cuestionios y l entevist, se concluyó que el modelo cedo podí considese y definitivo y, ddo su cácte, se denominó modelo ehustivo de nálisis y vloción de tetos escoles de mtemátics. Además, teniendo en cuent ls mnifestciones sobe el tiempo necesio p implement el modelo ehustivo, se decidió constui un modelo de evlución con el que se pudien vlo tetos escoles de mtemátics más ápidmente. Así, se ceó el denomindo modelo educido de nálisis y vloción de tetos escoles de mtemátics, que esult especilmente inteesnte cundo se tt de nliz vios mnules escoles p elegi uno de ellos como libo de teto. Po ot pte, en el modelo ehustivo se obsev que hy vios indicdoes que hn sido ttdos de fom tnsvesl y figun en distintos ognizdoes. P eliz el nálisis de estos spectos considedos de fom tnsvesl, se constuyó un modelo de vloción, denomindo modelo tnsvesl, que gup estos elementos en un conjunto de ognizdoes. Po ejemplo, éste es el cso de l esolución de poblems, cuyo ttmiento puede elizse como contenido, como ctividd y como metodologí. Este modelo tnsvesl tmbién popone pest tención l motivción tvés de un mco de esolución de poblems.

10 114 M. C. Monteubio y T. Oteg L obsevción de ls distints intepetciones que se hcín de lgunos indicdoes y l sugeenci de ls pofesos entevistds cec de l posibilidd de pesent lgún ejemplo de lo que se petende con cd indicdo de nálisis, puso de mnifiesto l impotnci de oto de los elementos que fomn pte de este tbjo: un diccionio de téminos de nálisis que petende yud l usuio p que enfoque el nálisis de los tetos desde distints pespectivs. Además de fcilit l puest en páctic del modelo de nálisis, l pemiti l usuio tene un visión más mpli de los distintos spectos considedos, es peciso destc l impotnci de este diccionio si se decide utiliz el instumento de evlución como guí p l constucción de mteiles cuicules. RESULTADOS Como se h señldo en el ptdo nteio, en est investigción se hn obtenido difeentes modelos de nálisis y vloción de tetos escoles de mtemátics y un diccionio de téminos. A continución se pesentn el modelo ehustivo y lgunos ejemplos p yud l intepetción de los indicdoes de nálisis. El Modelo de Análisis Ehustivo El modelo se compone de los siguientes indicdoes de nálisis gupdos en los ognizdoes que se pesentn: Objetivos: pesentción, pesenci, decución l nivel. Contenidos: pesentción, pesenci, selección, secuencición, ognizción, decución de los contenidos los objetivos y l nivel eductivo, pocedimientos teóicos, fundmentción, clidd de l eposición, teoí demostd, igo, ctulidd, ejemplos, zonmiento mtemático, tems tnsvesles, educción en l tención l divesidd, esolución de poblems como contenido. Coneiones: dento de ls mtemátics, con l histoi de ls mtemátics, con ots disciplins y con l vid el. Actividdes: decución de ls ctividdes los objetivos, los contenidos y l nivel eductivo, secuencición de ls ctividdes en oden de dificultd, tempolizción de l secuencición de ctividdes, ctividdes popuests, ejecicios popuestos, ejecicios esueltos, cuestiones popuests, uso de constucciones geométics, zonmiento mtemático, tems tnsvesles, educción en l tención l divesidd, esolución de poblems como ctividd. Metodologí: spectos metodológicos, justificción de l opción metodológic doptd, spectos sociles-fectivos, uso y constucción de mteiles didácticos, tempolizción de los contenidos y sus ctividdes coespondientes, metodologí de l evlución, enseñnz pesonlizd, estimul l cetividd, edu-

11 Diseño y Aplicción 115 cción en l tención l divesidd como metodologí, esolución de poblems como metodologí. Lenguje: uso del lenguje hbitul, lenguje motivdo, comunicción mtemátic, uso del lenguje simbólico específico, lenguje desciptivo, gumenttivo, eplictivo, impetivo e inteogtivo, lenguje coheente con un ttmiento en tems tnsvesles. Ilustciones: cntidd, coloes, tipologí, finlidd, clidd estétic, decución de ls ilustciones los lumnos, los objetivos, los contenidos, l conteto y l modelo, clidd, ilustciones motivdos, ilustciones coheentes con un ttmiento en tems tnsvesles. Motivción: motivción medinte el humo, el juego, ls coneiones de ls mtemátics y tvés de un mco de esolución de poblems, ilustciones y lenguje motivdoes. Tecnologís de l infomción y de l comunicción: popuest de tes con l clculdo, con el odendo y tvés de intenet; decución de ls tes l nivel, los objetivos y los contenidos. Evlución: evlución en función de los objetivos de l pogmción, momento, objetivos, contenidos evludos, instumentos, utoevlución, citeios, evlución de los spectos sociles y fectivos. Enftizción: empleo de ecusos gáficos, ptdo de esumen, síntesis, finzmiento de pendizjes. Aspectos fomles: pecio, encudención, fomto y ppel, númeo de coloes utilizdos en el teto. Recusos geneles: ots fuentes, mteil mnipultivo, mteil udiovisul. Entono: fleibilidd, destintio, decución, infomes etenos. Vocbulio de Téminos En el vocbulio de téminos se pesentn difeentes mnes de enfoc los spectos ttdos, con el fin de yud l pofesodo efleion sobe ls distints foms de contempl un specto detemindo. Como y se h señldo, tmbién tiene su utilidd si el objetivo es constui mteiles cuicules. Ls popuests que se pesentn tienen un cácte oientdo y, en modo lguno, petenden got tods ls posibiliddes de intepetción de los distintos indicdoes de nálisis, sino que se tt de oient l usuio del modelo fomentndo el estblecimiento de coneiones con su popio punto de vist, de fom que pued desoll nuevs ides susceptibles de se plicds l evlución o utilizds en l constucción de mteiles popios. A continución se pesentn lgunos ejemplos.

12 116 M. C. Monteubio y T. Oteg Popuest de Tes con l Clculdo No es fácil ponese de cuedo especto l uso de l clculdo en ls uls. En el infome Cockcoft (1985) se indic que ls investigciones elizds este especto ponen de mnifiesto que l utilizción de l clculdo no tiene efectos negtivos y que, pes de dispone de un clculdo, es necesio compende ls mtemátics p pode decidi l opeción que se debe eliz. Asimismo, el NCTM (1989/1991) y Tll (1996) ecomiendn el uso continudo de l clculdo y el odendo. Result especilmente inteesnte potenci el uso de l clculdo en el ul p eliz opeciones mnteniendo un ctitud cític con los esultdos, de modo que los lumnos elicen estimciones sobe lo que espen obtene y no se confomen con culquie esultdo que mueste l pntll de l clculdo. Po ot pte, tmbién es inteesnte que escibn sus zonmientos, lo que enlz con el indicdo de nálisis eltivo l uso del lenguje. Peo, demás, es inteesnte popone tes que pongn de mnifiesto l utilidd de l clculdo y que yuden entende los pocesos llevdos cbo. Es el cso de l utilizción de l clculdo p eliz cálculos estdísticos. Así, po ejemplo, p clcul l medi itmétic se sigue l siguiente secuenci, donde se intecl l itmétic con ls tecls M+ y MR: = 1 n 1 M + n M + M + q n q M + MR N = Siguiendo de nuevo con l estdístic, un vez clculd l medi itmétic, povechndo l cntidd que pece en l pntll p clcul cuddos, se pocede clcul l desvición típic como muest l siguiente secuenci: = 1 = n 1 M + = n M + M + q = n q M + MR : N " = Pocedimientos Teóicos Se obsevn los pocedimientos de l constucción de l teoí, que puede hcese de foms muy distints, lo que sin dud es un vlo ñdido. Po ejemplo, se puede obsev l fom en l que se popone el estudio de l ecución de l cicunfeenci. De ente ls muchs posibiliddes que eisten, continución se pesentn dos de ls más sencills, que pueden encontse en los tetos escoles de l educción secundi obligtoi. A pti de l definición de l cicunfeenci como lug geomético de los puntos que equidistn de un punto fijo llmdo cento, se puede estblece l ecución de l cicunfeenci imponiendo l condición d ( P, C) =, siendo el dio de l cicunfeenci (ve Figu ).

13 Diseño y Aplicción 117 P(, y) y-b 1 C(, b) - 1 Figu. Cicunfeenci de cento C y dio Con l notción empled en l Figu se obtiene: ( ) + ( y b) = ( ) + ( y b) = Aplicndo el teoem de Pitágos l tiángulo ectángulo de l Figu se obtiene: ( ) + ( y b) = Además, eisten otos pocedimientos como los que se pesentn continución, que se pueden encont en los tetos escoles de bchilleto. Considéense los puntos C = (, b) y P = (, y) epesentdos en l Figu 3. A pti de l nom vectoil se tiene: CP = CP = (, y b) CP = (, y b)(, y b) = ( ) + ( y b) =

14 118 M. C. Monteubio y T. Oteg P 1 1 C Figu 3. Ecución de l cicunfeenci de cento C y dio Se tomn los puntos P y C como fijos de los númeos complejos p y c, según se muest en l Figu 4. Considendo el módulo de un númeo complejo se tiene: p c = p c = + (y b)i p c = (( + (y b)i) ( (y b)i) = ( ) + (y b) Eje imginio Eje el C (+bi) P (+yi) Figu 4. Ecución de l cicunfeenci de cento C y dio utilizndo númeos complejos Teniendo en cuent el teoem del ángulo inscito se veific que los vectoes AP y BP de l Figu 5 son pependicules ente sí, es deci, su poducto escl es nulo ( AP BP = 0). Al conside los puntos C = (, b) y P = (, y), se obtienen ls coodends de A = (, b) y B = ( +, b). Se veific:

15 Diseño y Aplicción 119 ( ) ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ), ( ( ), ( b y b y b y b y = + = + = + " 1 1 A (-, b) B (+, b) P (, y) Figu 5. Cicunfeenci de cento ), ( b C = y dio Aplicndo el teoem de l ltu l tiángulo ectángulo APB de l Figu 5: y b + = + y b (y b) = ( ) ( ) + (y b) = Aplicndo el teoem del cteto l tiángulo ectángulo APB de l Figu 5 se obtiene: ) ( ), ( ), ( b y b y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, b y b y b y b y b y = + + = = + + = " A pti de l Figu 6 y utilizndo ls funciones tigonométics: = + cos(), y = b + sen() se obtiene:

16 10 M. C. Monteubio y T. Oteg ( ) + (y b) = ( cos ()+ sen ()) ( ) + ( y b) = Figu 6. Cicunfeenci de cento C y dio Popuest de Tes con el Odendo Cd vez está más etendido el uso del odendo en el ul. Se puede popone l utilizción de pogms específicos del áe de mtemátics, como Deive, Cbi o Geogeb. Ls tes popuests pueden se vids. Po ejemplo, se pueden plnte ctividdes diigids, donde se eplic cd pso que debe seguise p su elizción, o tes de investigción, como l que se pesent continución, donde los lumnos pueden povech el dinmismo que pemite el pogm Cbi p encont l solución l te plnted. Se tt de un te popuest po Gutiéez (005): ddos un tiángulo A0B0C0 y tes ects plels, constui oto tiángulo ABC, semejnte l de ptid, que teng un vétice sobe cd ect. Como muest l Figu 7, el pime tiángulo semejnte AB1C1 se constuye fijndo los vétices A y C1 en dos de ls ects dds. Al move C1 sobe l ect, se obtienen los otos tiángulos y el lug geomético del tece vétice (B1,B,B3), que es un ect, detemin B y con él l solución. L posibilidd de investigción que ofece Cbi, l pemiti el dinmismo de sus gáficos, estblece l vlidez del teoem de fom peceptiv.

17 Diseño y Aplicción 11 Figu 7. Constucción de tiángulos semejntes APLICACIÓN DE LOS MODELOS DE ANÁLISIS Como y se h indicdo, este tbjo se h plntedo con el objetivo de obtene un instumento de nálisis que pued se plicdo los tetos escoles ntes de se utilizdos en el ul, pecismente con el fin de hce un estudio detlldo y cuiddoso que pemit elegi el mnul más decudo p el desollo del poceso de enseñnz y pendizje. Sin embgo, como señln Fenández (1989) y Vn Domolen (1986), eiste l posibilidd de eliz un nálisis más pofundo, dunte el cuso, teniendo en cuent ls intecciones que se poducen ente los lumnos y de éstos con el pofeso l utiliz el libo de teto. A continución se pesentn ls difeentes modliddes de plicción de los instumentos de evlución cedos. Análisis desde l Pespectiv de los Docentes Eisten vis posibiliddes p que el pofesodo pong en páctic los modelos de nálisis de tetos diseñdos. Culquie de los instumentos de evlución cedos, puede plicse en su totlidd p nliz un teto escol, peo no es necesio, pudiendo pest tención sólo lgún ognizdo en pticul. Asimismo, es posible evlu el mnul escol completo o nliz lgun unidd didáctic concet o lgún tópico en pticul. El modelo ehustivo, plicdo completo, pemite nliz un teto en pofundidd y, po ot pte, puede se un instumento útil como guí p l elboción de mteiles cuicules. P eliz l vloción de un mnul escol se utiliz el pocedimiento siguiente, nálogo l popuesto po Oteg (1996): 1. P cd indicdo de nálisis se llev cbo un estudio, que puede se culittivo o cuntittivo, y se otog un puntución numéic, que indic l vloción que el usuio del modelo hce de l fom en que el teto tt ese indicdo de nálisis. Además, se conside un escl numéic p sign

18 1 M. C. Monteubio y T. Oteg pesos, que pondán de mnifiesto l impotnci que el nlist concede cd indicdo de nálisis.. Al hce el poducto de estos dos númeos, se obtiene l puntución del indicdo de nálisis coespondiente. 3. L vloción de cd ognizdo se obtiene sumndo ls puntuciones de todos los indicdoes que constituyen dicho ognizdo. 4. L clificción finl del teto se obtiene como esultdo de l sum de ls puntuciones de los ognizdoes. Si el instumento de evlución v utilizse en un deptmento didáctico es peciso fij los mismos intevlos de vloción y los mismos pesos p todos. 5. El consenso se consigue l hce l sum de tods ls vlociones elizds po los miembos del deptmento, o bien l medi itmétic de dichs vlociones, y que intevienen ls puntuciones de todos. Si el modelo de nálisis se plic l teto completo, es posible conclui que el mnul que consigue l myo puntución es el más decudo p se utilizdo como libo de teto en ese conteto. Además, si se hce un nálisis po tópicos o bloques de contenidos y, p lgún tópico conceto, lgún teto obtiene myo puntución que el que finlmente esult elegido, dicho mnul puede se utilizdo p tbj este contenido conceto. El modelo de vloción de tetos, plicdo desde est pespectiv, puede se un instumento útil p foment l efleión del pofesodo, en pticul, si se eliz un nálisis conjunto ente los miembos del deptmento didáctico y se debten difeentes popuests. Análisis desde l Pespectiv Conjunt Docentes-Discentes Ot posible plicción de los modelos consiste en eliz un tbjo en el que el pofesodo no hce el nálisis en solitio, sino que tiene en cuent ls potciones de los lumnos. Así, el pofeso, tvés de los lumnos, nliz lgunos spectos concetos, po ejemplo, el uso del lenguje, contemplndo su ttmiento en el libo de teto. Estos estudios se pueden llev cbo lo lgo del cuso, mients se está utilizndo el teto en el ul, y se puede obsev, de fom epeimentl, cómo funcion el teto con un gupo conceto de lumnos. Con est modlidd de nálisis se petende que el pofesodo no elice el nálisis bsándose sólo en lo que, po su popi epeienci, conside que puede funcion bien en el ul, sino que se tt de nliz l opinión de los lumnos, vlondo lgunos spectos de fom conjunt con ellos. En elidd, el modelo no popone un guí p eliz este tipo de nálisis conjunto, peo sí pesent lgunos indicdoes de evlución que invitn llev cbo un nálisis pofundo de los mnules que se están utilizndo en el ul. El tbjo conjunto de pofesoes y lumnos, evlundo un teto escol, puede esult muy fuctífeo, yud l

19 Diseño y Aplicción 13 pofeso en posteioes nálisis de libos de teto y, tmbién, si decide constui sus popios mteiles cuicules. CONCLUSIONES Ptiendo de l consideción del libo de teto como elemento de uso hbitul en el desollo del poceso de enseñnz y pendizje de ls mtemátics, y de l consttción de l eistenci de instumentos de evlución de tetos de cácte genel y l escsez de mteil eltivo l áe de mtemátics, se decidió ce un instumento de evlución que pemitie nliz el mnul escol de mtemátics, con el fin de yud l pofesodo elegi el que mejo se dpte ls necesiddes del conteto en el que v se utilizdo. P ello, se tuvieon en cuent ls potciones de distintos utoes, po un ldo, eltivs los spectos que debe contempl un libo de teto y, po oto, especto l fom de nliz los mnules escoles, tnto de cácte genel, es deci, válidos p culquie áe, como quellos que hn sido diseñdos específicmente p vlo tetos de mtemátics. Del estudio de todos los documentos señldos se obtuvo un seie de dtos que constituyeon los posibles indicdoes de nálisis, que, l se plicdos un libo de teto, pemitián vlo el ttmiento que hce el mnul de los spectos considedos. Además, se tuvo en cuent un conjunto de indicdoes de nálisis, futo de l epeienci docente con mnules escoles y de l puest en páctic de los sucesivos modelos de vloción constuidos, que pemitió detect los spectos que tenín un ttmiento deficitio en los modelos constuidos, hst lleg l modelo considedo como definitivo. Con todo ello se llegó l modelo ehustivo de nálisis y vloción de tetos escoles de mtemátics. L plicción de este modelo en su totlidd tiene l ventj de pemiti conoce el teto nlizdo en pofundidd sin necesidd de hce epeimentciones en el ul, y que se eliz un nálisis minucioso y detlldo del mismo. Además, puede se útil p elbo mteiles cuicules, y que, si se diseñn teniendo en cuent todos los spectos incluidos en el modelo ehustivo, se ttá de unos mteiles muy completos p l páctic eductiv. Con el fin de oient l usuio del modelo y fcilit su utilizción, tmbién se pesenton lguns de ls posibles intepetciones que pueden hcese l plic los distintos indicdoes de nálisis. Aunque no se h llegdo pone en páctic como elemento p el desollo pofesionl del pofesodo, considemos que el modelo ehustivo, junto con l intepetción de los distintos indicdoes de nálisis, puede se utilizdo p tl fin l foment l efleión sobe distintos spectos del cuículo. Ddo que l plicción del modelo ehustivo equiee mucho tiempo, se ceó un modelo educido, cuy puest en páctic puede fcilit l lbo de nálisis de tetos po pte del pofesodo. Además, hy un seie de spectos que se contempln de fom tnsvesl en el modelo ehustivo y que, po sí mis-

20 14 M. C. Monteubio y T. Oteg mos, constituyen el denomindo modelo tnsvesl, que pemite el nálisis de los tetos cundo se dese pest tención únicmente los ognizdoes considedos en él. Finlmente, se pestó tención ls difeentes foms de plic los modelos de vloción constuidos. Se plnteó l posibilidd de que el pofesodo elice el nálisis de los distintos indicdoes considedos, que pueden se los coespondientes sólo lgunos ognizdoes o bien, puede ttse del modelo completo. Asimismo, el nálisis se puede llev cbo sobe el teto completo, o bien, pestndo tención únicmente lgún tópico, unidd didáctic o bloque de contenidos en pticul. Este tipo de nálisis, incluye los elizdos individulmente po el pofesodo y los tbjos coopetivos que pueden llev cbo los miembos de un deptmento. Est modlidd de nálisis se llev cbo con el fin de elegi un mnul decudo p el desollo de l docenci. Además, se puede nliz el teto dunte su utilizción, pestndo tención detemindos spectos y nlizndo l influenci que tiene en los lumnos el ttmiento que hce el teto de los elementos considedos. REFERENCIAS Ae, M. (1991). Los medios, los pofesoes y el cuículo. Bcelon, Espñ: Sendi. Bdin, L. (1986). Análisis de contenido. Mdid, Espñ: Akl. Bend, J. (1976). Vloción didáctic y eductiv de los tetos escoles. Pime etp de EGB. Zgoz, Espñ: Instituto de Ciencis de l Educción, Univesidd de Zgoz. Blázquez, S. (000). Noción de límite en mtemátics plicds ls ciencis sociles. Tesis doctol. Univesidd de Vlldolid, Vlldolid, Espñ. Bodí, S. D. y Vlls, J. (00). Análisis del bloque cuicul de númeos en los libos de teto de mtemátics. En C. Penlv, G. Toegos y J. Vlls (Eds.), Apotciones de l Didáctic de l Mtemátic difeentes pefiles pofesionles (pp ). Muci, Espñ: Cmpobell. Boe, E. (1996). Libos de teto en el clidoscopio. Bcelon, Espñ: Pomes Coedo. Cockcoft, W. H. (1985). Ls mtemátics sí cuentn (MEC, Td.). Mdid, Espñ: Ministeio de Educción y Cienci. (Tbjo oiginl publicdo en 198) Contes, A., Font, V., Luque, L. y Odóñez, L. (00). Análisis semiótico de un mnul en tono l concepto de límite. En M. F. Moeno, F. Gil, M. Socs y J. D. Godino (Eds.), Acts del V Simposio de l Sociedd Espñol de Investigción en Educción Mtemátic (SEIEM) (p. 17). Almeí, Espñ: Univesidd de Almeí.

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