Funciones. 1. Definición de función. Imágenes y antiimágenes página Representación gráfica de una función página 188

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1 Funciones E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Definición de función. Imágenes y antiimágenes página 8. Representación gráfica de una función página 88.. Funciones polinómicas página 9.. Funciones racionales página 9.. Funciones irracionales página 9.. Funciones definidas gráficamente página 9.. Funciones definidas a trozos página Adición de funciones página Multiplicación de funciones página División de funciones página Composición de funciones página 0. Cálculo del dominio de una función página 9. Cálculo del recorrido de una función página 9. Características de una función página peraciones con funciones página 0 7. Función inversa respecto de la composición de funciones página 0 8. Transformaciones de funciones página 06.. Signo de una función página 96.. Monotonía página 97.. Simetrías página 98.. Acotación página 99.. Periodicidad página Representación de g() f() a: desplazamiento vertical página Representación de g() f( a): desplazamiento horizontal página Representación de g() a f(): dilatación o contracción vertical página Representación de g() f(a ): dilatación o contracción horizontal página Funciones 0

2 SLUCINES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBR DEL ALUMN Cuestiones previas (página 8). Dada la igualdad y, averigua el valor de y cuando = 0, y el valor de cuando y 7. Si 0, entonces y. Si y 7, entonces.. Escribe los intervalos [, ), (, ) y (/, ) de la recta real como desigualdades. El intervalo [, ) es el conjunto de números reales que cumplen. El intervalo (, ) es el conjunto de números reales que cumplen. El intervalo, es el conjunto de números reales que cumplen.. Escribe los conjuntos {, 0}, [, ) y { /} en forma de intervalo o unión de intervalos. {, 0} (, ) (, 0) (0, ) [, ) (, ) [, ) { / } [, ). Halla las soluciones de las siguientes inecuaciones: o Un coche ha estado circulando a 70 km/h hasta el kilómetro 0 de una carretera comarcal. En ese mismo instante, y en el kilómetro 0 de dicha carretera, otro coche circula a 90 km/h. Si ambos vehículos mantienen su velocidad constante, epresa cómo varía la distancia que los separa en función del tiempo. Cuando el segundo coche vaya 0 km por delante del primero, qué tiempo habrá transcurrido? a) d 0t 0 ; h A partir de las gráficas, halla los valores de las imágenes y antiimágenes: a) f(), f(6), f(7), f(/), f(9/), f (0), f (), f () b) g(), g(/), g(0), g (), g (), g (0) c) h(), h(), h(), h(0), h(), h(), h (), h (), h () f() g() Actividades (páginas 87/07) Epresa mediante una función: a) El precio, en función del peso, de una cierta cantidad de café que vale /kg. b) El coste de una llamada telefónica, si el establecimiento de llamada es de 0, y la tarifa por minuto, de 0,. c) La relación entre la altura y la base de un triángulo cualquiera de 6 cm de área, si la base es la variable dependiente. a) P(), donde es el peso del café, en kilogramos. b) C(t) 0, 0,t, donde t es la duración de la llamada, en minutos. c) b(h),donde h es la altura del triángulo, en centímetros. h En la siguiente tabla se muestran algunos pares ordenados de una aplicación, f(n), de en. n f(n) a) Halla su epresión analítica. b) Calcula f(8). a) f(n) n b) f(8) h() a) f(), f(6) 0, f(7), f, f 9, f (0) {6,, 0, 6}, f (),, f () 9,,8 b) g(), / g, g(0), g () {, 0, }, / g (), g (0),,, c) h(), h(), h() 0, h(0), / h(), h(), h () (, ], / h (), h () {0} U (, ] 0 Análisis

3 Halla el dominio de las siguientes funciones: a) f() g) f() b) f() h) f() si 0 si 0 c) f() i) f() 7 0 d) f() j) f() e) f() k) f() f) f() l) f() 7 a) {0} b) c) {0,, } d) (, ) e), f), (, ) g) {0} h) {0, } i) [0, ] j) {0} k) [, ) l), 6 Calcula la epresión analítica de la función representada en la figura, e indica su dominio / si 6 f() si si Dom f [6, ) (, ) Calcula el recorrido de las siguientes funciones: a) f() c) f() b) f() d) f() 7 a) [, ) b) [/, ) c) [, 0) d) 7 Fíjate en las representaciones gráficas de las siguientes funciones. a) Determina los intervalos de signo constante. b) Estudia su monotonía. c) Cuál de las tres funciones está acotada? a) Figura 8.6.a: En [, ), f() 0 y en (, ), f() 0. Figura 8.6.b: En (, 0),f() 0 y en (0, ), f() 0. Figura 8.6.c: En (, ) 7, (0, ), f() 0 y en, 7,0, f() 0. Figura 8.6.d. En (6, ) (, ) (, 6), f() 0 y en (,) (, ), f() 0. b) Figura 8.6.a: f() es estrictamente creciente en [, ). Figura 8.6.b: f() es estrictamente creciente en su dominio. Figura 8.6.c: f() es estrictamente creciente en, y estrictamente decreciente en,0. Figura 8.6.d: f() es estrictamente decreciente en (6, ) (0, ) y estrictamente creciente en (, 0) (, 6). c) Figura 8.6.a: No está acotada superiormente, pero sí inferiormente por. Figura 8.6.b: No está acotada. Figura 8.6.c: Está acotada superiormente por e inferiormente por. Figura 8.6.d: Está acotada superiormente por e inferiormente por. 8. Funciones 0

4 9 De las funciones representadas en las figuras, determina: Si f () y g(), averigua (g/f )() y su dominio: a) Cuál está acotada. b) Si son pares o impares. g f () Dom g f (, ) Dadas las funciones f() y g(), calcula las composiciones f g y g f, y el dominio de cada una. (f g)(), Dom (f g), (g f)(),dom (g f),, 6 Indica qué tipo de funciones representan las gráficas de las figuras 8.: inyectivas, suprayectivas o biyectivas. 0 a) La figura 8.7.a está acotada, f(). La figura 8.7.b no está acotada. b) La figura 8.7.a es par y la figura 8.7.b es impar. Determina el período de la función representada en la figura 8.. (Ver página 99 del libro del alumno) T 6 Determina los intervalos de signo constante de la función f(). Cuadro de signos: f() 7 La función representada en la figura 8..a no es inyectiva, pero sí suprayectiva, por tanto, no es biyectiva. La función de la figura 8..b es inyectiva y suprayectiva y, en consecuencia, biyectiva. La función de la figura 8..c es inyectiva, pero no suprayectiva, por tanto, no es biyectiva. Indica cuáles de estas funciones son inyectivas: a) f() f() 0 (, ) f() 0 (, ) f() 0 (, ) Determina el tipo de simetría de la función f() /. f() (/) (/) ( (/)) f() Por tanto, la function f() es impar. A partir de las funciones f() y g(), realiza 6 las siguientes operaciones e indica sus respectivos dominios: a) (f g)() b) (f g)() c) (f/g)() a) (f g)(), Dom (f g) {} b) (f g)(), Dom (f g) {} b) f() c) f() d) f() e) f() 7 f) f() Son inyectivas las funciones correspondientes a los siguientes apartados: a), c), d), f ). a) a b a b c) a b a b d) a b a b c) (f/g)(), Dom (f/g) {} f) a b a b 0 Análisis

5 8 Calcula la función inversa, f (), de las siguientes funciones: Queremos alquilar un apartamento en verano. Una agencia, A, pide 00 de entrada por costes diversos y 0 a) f() diarios. tra agencia, B, pide 00 de entrada y 0 diarios. Dibuja en un mismo sistema de referencia las gráficas 6 que representan el precio del apartamento en función de b) f() los días, y determina a partir de cuántos días de alquiler resulta más económica la oferta de la agencia A. c) f() 7 d) f() A partir de los 0 días. precio ( ) (0, 600) e) f() a) f () 6 0 n.º de días de alquiler b) f () De entre las siguientes relaciones entre variables que sean 7 funciones indica el dominio y recorrido: c) f () a) A todo número real,, se le asigna su inverso. d) f () b) A cada número real,, se le asigna un número entero, z, e) f () tal que 0 z. c) A cada número real,, se le asigna otro número real, y, 9 A partir de la gráfica de f(), identifica las funciones representadas. de tal manera que se cumpla y. d) 0 8 g() f() ; h() f(); i() f( ) Ejercicios y problemas (páginas /) 6 h() i() f() g() Funciones. Modelización Averigua la función que permite obtener el volumen de un cubo en función de su diagonal, d. Siendo la arista del cubo, su volumen es V. Como la diagonal de un cubo, d, es,en función de la arista, d, se obtiene que el volumen de un cubo, en función d de su diagonal: V d 9 En un triángulo isósceles se inscribe un rectángulo como se muestra en la figura 8.. Halla 6 cm la función que proporciona la superficie del rectángulo en b función de su base, b. Cuál es 8 cm el dominio de esta función? su recorrido? De la semejanza de triángulos se puede obtener la siguiente 6 6 h b proporción:, de donde h 6 8 b A(b) b b 6 b 6b Función polinómica de grado. Para b, S(b), que corresponde a la superficie máima que puede tener el rectángulo. Por lo tanto, Dom A (0, 8), Rec A (0, ] e) f) g) y y y 00 0 y f() 6 7 a) Es una función. Su dominio y recorrido es {0}. b) Es una función que se denomina parte entera de, E(). Su dominio son todos los reales, y su recorrido los enteros. c) Es una función de dominio y recorrido [, ]. d) La tabla corresponde a una función constante. Como no se dan más indicaciones, hemos de suponer que es una función de dominio discreto. f(), Dom f{z z }, Rec f{} e) La tabla no corresponde a una función: para un mismo valor de eisten varias imágenes posibles. f) La gráfica no corresponde a una función: para un mismo valor de eisten varias imágenes posibles. g) La gráfica corresponde a una función. Su dominio es (, ). Su recorrido es (, ). 8. Funciones 0

6 Un fabricante de latas de refresco necesita producir latas cilíndricas de cm de volumen. Epresa: a) La relación entre la altura de la lata y el radio de su base. b) El área total de la lata en función del radio de la base. a) V r h, por tanto, la relación entre la altura y el radio es: 8 En un círculo de cm de radio se inscribe un triángulo isósceles. Halla su área en función de su base, b. r h r a b) A r rh Así, el área de la lata es: b A r πr 66 r b h r El área de un triángulo es: r 6 7 Averigua la función que relaciona el área de un rectángulo con uno de sus lados, sabiendo que su perímetro mide cm. Qué tipo de función es? Represéntala. Halla su dominio y su recorrido. Para qué valores es creciente? Suponemos un rectángulo de lados a y b, por lo tanto: a b 6 Como A a b: A(b) (6 b) b b 6b Es una función cuadrática. Su dominio es (0, 6). Su recorrido es (0, 9]. Es una función creciente b (0, ). Un centro de estudios alquila un autocar de 60 plazas para realizar una ecursión. El alquiler es de 900. Por cada alumno que asista, la asociación de padres de la escuela subvenciona la salida con,. El número mínimo de asistentes a la salida es de alumnos. Qué función relaciona el precio de la ecursión por alumno con el número de alumnos que asistan? Realiza una gráfica que muestre esa relación y determina el dominio de dicha función. La función que proporciona el coste por alumno, siendo 60 su dominio, es: A (cm ) coste ( ) 6 b (cm) C() 90 0, número de alumnos 0 Según muestra la figura, la altura del triángulo, h, se puede descomponer como h r a, siendo a: a r b Puesto que el radio vale cm, tenemos que: A(b) cm b r r b b b El dominio de A es (0, 0] 9 Halla la epresión que pasa grados centígrados: a) A grados Kelvin, sabiendo que 0 K corresponden a 7 C, y 7 K, a 00 C. b) A grados Fahrenheit, sabiendo que F corresponden a 0 C,y F, a 00 C. a) Si corresponde a los grados centígrados que se desean transformar y K a sus equivalentes en grados kelvin, tenemos que: K 7 b) Si corresponde a los grados centígrados que se desean transformar y F a sus equivalentes en Farenheit, tenemos que: F La cantidad de calor que hay que suministrar a un gramo de una sustancia para que esta aumente C se llama calor específico. Sabiendo que cuando se suministran calorías a un gramo de cinc a 0 C, la temperatura sube a, C, averigua su calor específico y escribe una función que proporcione el incremento de temperatura de una masa cualquiera de cinc en función del aporte de calor. Dado que se trata de un gramo de sustancia, dividiendo el calor entre el incremento de temperatura se obtiene el calor específico del cinc: cal 0,09 cal/ C, C Mediante la definición de calor específico, c e,se puede deducir que c e calor/(masa incremento de temperatura). Llamando Q al calor suministrado, y despejando de la fórmula anterior el incremento de temperatura, t, que se produce para un gramo de cinc es: Q t 0,8 Q 0,0 9 Para una masa de cinc cualquiera, m: t 0, 8 Q m 06 Análisis

7 En la siguiente tabla se detalla el ahorro que se produce en el intercambio de bombillas, en función de la diferencia de potencia que consumen: Una empresa realiza un estudio comparativo sobre el coste que suponen dos piezas distintas. Estima que el coste en euros de la pieza tipo A, en función del número de miles de Intercambio de bombillas Ahorro ( ) piezas,, si el pedido no sobrepasa las 000 piezas, viene dado por la epresión: W W C A () 0 W 7 W 6,6 el coste de la pieza tipo B en las mismas condiciones es: 60 W W 9,8 C B () 7 W W a) Para qué número de piezas es menor el coste de la producción de la pieza tipo A? 00 W 0 W 6 b) Para un pedido de 000 piezas, qué tipo de pieza 0 W W 9, produce menor coste a la empresa? Qué tipo de función relaciona el ahorro, A, con la diferencia de potencia consumida, D? La relación es directamente proporcional. Es una función lineal. Se observa que: 6, 0 6 9, , 9 El ahorro que se estima por vatio de potencia consumida es de 0,,por tanto, por un kilovatio será de 00. La longitud de una varilla de metal varía en función de la temperatura a la que se somete. La tabla muestra la relación entre la temperatura y la longitud de dicha varilla, que inicialmente está a 0 C y mide m de longitud: Temperatura ( C) Longitud (cm) 0 00 Sabiendo que la relación entre la longitud de la varilla y el incremento de temperatura es afín, halla la epresión analítica L(t). Cuánto medirá la varilla a 80 C? La relación es lineal: l(t) at b Sustituyendo los datos que proporciona la tabla, se puede obtener y comprobar que: l(t) 0,088 t 98,8 l(80) 0,8 cm La varilla a 80 C medirá 0,8 cm. La facturación que hace una compañía eléctrica cada dos meses a uno de sus usuarios engloba tres conceptos: Facturación de la potencia: por cada kw contratado y por cada mes, la tarifa es de,8. Consumo: por cada kwh consumido, la tarifa es de 0,6. Concepto fijo:, por mes en concepto de equipo de medida. Finalmente, al importe se le aplica un 6 % de IVA. Si llamamos P a la potencia contratada y C al consumo en kwh de dos meses, halla la función que proporciona el importe de la factura bimestral. Cuántas variables engloba? Calcula el total de una factura para una potencia contratada de, kw y un consumo bimestral de 7 kwh. Como son dos meses el concepto fijo será, y la facturación de la potencia,8 P.Hay que aplicar el IVA para saber cuánto se paga realmente: I (,8 P 0,6 C,),6 Esta función engloba dos variables, P y C. El usuario que tiene contratada una potencia de, kw y un consumo bimestral de 7 kwh, debe pagar a la compañía eléctrica: I (,8, 0,6 7,),6 8,7 0 0, , c) El coste de mecanización que la empresa está dispuesta a asumir es de 0,0 /pieza. Cuántas piezas puede suministrar de cada tipo? d) Cuántas piezas del tipo B producen menor coste? y = 6 y = Debemos calcular los puntos de intersección de las dos gráficas, es decir, el número de piezas de un tipo u otro que producen a la empresa el mismo coste: C A () C B () si Resolviendo obtenemos: 0,9 y,707 Como viene dado en miles de piezas, la solución será 9 piezas y 707 piezas. a) La pieza tipo A tiene menor coste para un pedido menor de 9 unidades o para un pedido de entre 707 y 000 unidades (el enunciado especifica que el pedido no sobrepase las 000 piezas). b) Para un pedido de 000 piezas es menor el coste de la pieza tipo A. c) Si el coste por pieza no puede sobrepasar los 0,0, la empresa puede mecanizar hasta un máimo de 00 piezas del tipo B, mientras que del tipo A no sobrepasa las 9 piezas o mecaniza eactamente 000 piezas. d) El mínimo de la función C B () se produce en 70 piezas. Un granjero va cerrar un terreno rectangular de 80 m con una valla. Uno de los lados linda con la carretera, por lo que la valla de este lado es más resistente y cuesta /m, y el resto de valla está a 0 /m. Epresa, en función del lado que linda con la carretera,, el precio total de la valla. En primer lugar, y 80, por lo que y 8 0. Los dos lados y, y un lado cuestan 0 /m y el otro lado, /m. Por tanto: C() Funciones 07

8 6 7 En el aparcamiento de unos grandes almacenes se debe abonar, por cada hora o fracción de hora, hasta un máimo de, siendo las dos primeras horas gratuitas. Representa gráficamente la función que epresa el importe del aparcamiento en función del tiempo transcurrido. Se trata de una función escalonada en la que durante las dos primeras horas hay un valor constante, luego para cada intervalo entre una hora y otra toma otro valor constante, hasta las 9 horas y a partir de ahí es constante de valor., 0, 9 7, 6,, importe del aparcamiento ( ) horas transcurridas El servicio de correos de un cierto país tiene las siguientes tarifas para el envío de cartas: Hasta 0 g de peso, se paga 0,. Por cada 0 g o fracción de 0 g de eceso de peso, se añaden 0,07 más. a) Epresa la relación entre el precio del envío, y, y el peso de la carta,, hasta 0 g. b) Representa gráficamente la función. a) Se trata de una función definida a trozos: 9 cantidad ganada ( ) y = y = número de respuestas correctas b) Su dominio es el conjunto de enteros no negativos, n, tal que 0 n 00. Su recorrido está formado por los números n enteros no negativos, 00n, si 0 n y el conjunto de números 000n si n 00. c) Si ha ganado 6 08,76 ha acertado 7 respuestas. Una lancha circula, cuando se ha alejado 60 kilómetros del muelle, a una media de 60 km/h. En ese mismo instante, desde el muelle sale otra lancha a una velocidad media de 7 km/h. Ambas mantienen la velocidad media constante. Epresa cómo varía la distancia que las separa en función del tiempo. Cuando la segunda lancha haya adelantado en km a la primera, qué tiempo habrá transcurrido? La distancia será: d(t) t 60. Transcurren 7 horas para que la segunda lancha adelante en km a la primera. 8 b) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0, si 0 0 0, si 0 0 f() 0,9 si 0 0 0,6 si 0 0 tarifa ( ) peso del paquete (g) En un concurso, los participantes deben contestar 00 preguntas. En las primeras, se ganan 00 por cada una que se acierte. A partir de aquí, el premio es, en miles de euros, la raíz cuadrada del número de preguntas acertadas. a) Epresa, mediante una función, la relación entre respuestas correctas y cantidad ganada, y represéntala. b) Cuál es su dominio? su recorrido? c) Cuántas respuestas ha debido acertar un participante que ha ganado 6 08,76? a) 00 si 0 f() 0 si 00 0 El beneficio mensual de un artesano epresado en euros, cuando fabrica y vende objetos, se ajusta a la función B() 0, 0 800, donde a) Determina el beneficio que obtiene cuando fabrica y vende 0 objetos y 60 objetos, respectivamente. b) Cuántos objetos debe fabricar y vender para obtener el máimo beneficio?, a cuánto asciende? a) B(0) 0 ; B(60) 00 b b) La función beneficio tiene su valor máimo en a 0 0, es decir, cuando fabrica y vende 0 objetos su beneficio es máimo y es de B(0) 0. Si el precio de la entrada al cine es de 6, van 0 personas. Se sabe que si aumenta el precio en 0,, hay 0 espectadores menos. Halla: a) La función que determina el número de espectadores en función del precio de la entrada. b) La función que determina los ingresos del cine en función del precio de la entrada. c) El precio de la entrada para obtener el máimo ingreso. a) La función es una recta que pasa por el punto (6, 0) y 0 tiene pendiente 0, por tanto, siendo e el número de espectadores y el precio de la entrada: 0, e() 0 0( 6) 60 0 b) Multiplicando espectadores por precio: I() 60 0 c) I() es una función polinómica de segundo grado, con un 60 máimo en 7,es decir, los ingresos son máimos cuando el precio de la entrada es de Análisis

9 El beneficio (en miles de euros) de una empresa por la venta de unidades de un producto, lo da por la función: i) Dom f h) Dom f {, } B() , 0 0. j) Dom f [, ] a) Cuántas unidades habrá vendido si el beneficio que ha obtenido es de 900 miles de euros? k) Dom f b) Cuántas unidades debe vender para obtener el máimo beneficio? A cuánto asciende este beneficio? l) Dom f 0, c) Cuántas unidades debe vender para no tener pérdidas? m) Dom f (, ] a) n) Dom f (, ) (, ] [, ) 00 o 00, puede haber vendido 00 o 00 unidades del producto. ñ) Dom f (, ) b) Valor máimo en 00 o) Dom f (0, ) 0 unidades del producto. p) Dom f {0} B(0) 600 miles de euros es el beneficio máimo. q) Dom f (, ) {} [, 0) (0, ) c) B() ( 70) ( 0) Averigua el recorrido de cada una de estas funciones: Realizamos un cuadro de signos: a) ( 70) ( 0) La empresa no tendrá pérdidas si 70 0 Dominio y recorrido b) Halla el dominio de estas funciones: a) f() j) f() b) f() k) f() c) f() l) f() d) f() c) m) f() 6 e) f() 6 f) f() 7 g) f() 6 h) f() ( 7 ) i) f() a) Dom f [, ) b) Dom f (, ] c) Dom f [0, ) d) Dom f e) Dom f [0, ) f) Dom f [0, ) (, ) g) Dom f {} n) f() ñ) f() o) f() p) f() si q) f() 7 si si 0 a) Rec f {} b) Rec f (, ] [, ) c) Rec f (, ) [,, ) {} Averigua el recorrido de estas funciones: a) f() b) f() c) f() d) f() e) f() E() f) f() si si a) Rec f, 8 d) Rec f [, ) b) Rec f, 8 e) Rec f c) Rec f {} f) Rec f (, ] 8. Funciones 09

10 6 Son iguales f() y g()? Por qué? No son iguales porque su dominio no es el mismo. Dom f y Dom g {} 8 A partir de la función representada en la figura, halla: a) f(0), f(), f(), f (), f (), f b) Dom f y Rec f Representación de funciones 7 Representa las siguientes funciones: a) f() b) g() c) f() d) f() e) f() f) f() Gráficas adjuntas. a), b) a) f(0) 0, / f(), f(), f (),,, f () [, ) {}, f 6 g() b) Dom f (, ) [, ), Rec f (, ] {} [0, ) f() 9 Representa las siguientes funciones e indica sus dominios y recorridos: a) f() si si ( ) si b) f() si 6 si c), d) e), f) f() f() c) f() a) b) y = Dom f, Rec f [, ) 6 6 y = ( ) y = y = y = 6 Dom f {}, Rec f (, ) { } 0 Análisis

11 c) y = Estudia en las funciones que muestran las figuras, los intervalos de signo constante y la monotonía. Está acotada alguna de las funciones? Hay alguna que presente simetría? periodicidad? a) Dom f, Rec f [0, ) La función f() E() es la función que a cada número real, comprendido en un intervalo [z, z ), le hace corresponder z. Por ejemplo, f(,), 0,, f(,), 0,7, f(0,) 0, 0 0,, f(0,) 0, 0,. Haz una tabla de valores y realiza su representación gráfica. Características de las funciones f() 0 0 0, 0,,7 0,7 0,,,7 0, 0 0, 0, Dom f { } y f() 0 en 0, por lo tanto, intervalos de signo constante son: (, ), (, 0) y (0, ) Dada la función f(),determina sus intervalos de signo constante. f() 0 (, ), f() 0 f 0, 0 (, 0), f()0 0, f() 0 (0, ), f() 0 Dada la función f(), determina sus intervalos de signo constante. Dom f {0} y f() 0 en y en, por lo tanto, los intervalos de signo constante son los siguientes: (, ), (, 0), (0, ) y (, ) f() 0 (, ), f() 0 f() 0 (, 0), f() 0 f() 0 (0, ), f() 0 f() 0 (, ), f() 0 f() E() b) c) Figura a) Intervalos de signo constante: f() 0 en (,,,) (,, 9) (9, 0] f() 0 en [,,) (,,,) Monotonía: f() es estrictamente creciente en (, 0), en (, 7) y en (9, 0). f() es estrictamente decreciente en (0, ) y en (7, 9). Función acotada, f(), no es simétrica ni periódica. Figura b) Intervalos de signo constante: f() 0 en (6, ) (, 0) (, ) (6, ) f() 0 en (, 6) (, ) (0, ) (, 6) Monotonía: f() es estrictamente creciente en (,,), en (,, 0), en (0,,), y en (,, ). f() es estrictamente decreciente en (,,,), y en (,,,). Es una función no acotada, sí es simétrica respecto al origen de coordenadas, y por tanto, impar, y tampoco es periódica. Figura c) Intervalos de signo constante: Dado que es una función periódica de período T : f()0 en (0 k, k) (, k, k), para todo k. f() 0 en ( k,, k), para todo k. Monotonía: f() es estrictamente creciente en ( k, k), k. f() es estrictamente decreciente en (0, k,, k), k. f() es constante en (0 k, 0, k) en (, k, k), para todo k. Es una función no acotada. 8. Funciones

12 peraciones con funciones Calcula, en cada caso, (f g)() y su dominio: a) f(), g() b) f(), g() a) (f g) () Dom (f g) (, ] [, ) b) (f g) () 8 Dom (f g), Calcula (f g)() y (f g)(), y sus respectivos dominios, siendo f() y g(). (f g () Dom (f g) {, 0} (f g) () Dom (f g) {, 0} 6 Dadas las siguientes funciones definidas a trozos, calcula (f g)() y su dominio: f() si si g() si si 8 La función suma queda determinada en tres intervalos, que son: (, 0),[0, ] y (, ) si (,) (, 0) (f g) () si [0, ) (, ] si (, ) Dom (f g) {, } 7 Calcula, en cada caso, (f g)() y su dominio: a) f(), g() b) f() 6, g() 6 a) (f g) () b) (f g) Dom (f g) (, ) Halla (f g)(), (f g)(), g f (), y sus respectivos domi- nios, a partir de las funciones: f() y g() (f g) () (f g) () Dom (f g) {0,, } Dom (fg) {0,, } (fg) () Dom (fg) 0,,, 9 0 Dadas las funciones definidas a trozos: f() si 0 y g() si 0 si 0 si 0 encuentra la epresión de (f g)() y su dominio. si 0 (f g)() 0 si 0 si 0 Dom (f g) A partir de los siguientes pares de funciones, halla (f g)() y (g f)(), indicando su dominio: a) f(), g() b) f(), g() c) f(), g() a) (f g) () Dom (f g) {0} (g f) () 9 Dom (g f) {0} b) (f g) () f () 0 Dom (f g) (g f) () Dom (g f) c) (f g) () ( ) Dom f g {} (g f) () Dom g f 7, 7 Dadas las funciones f() y g(), calcula la función compuesta de f() y g() y su dominio. (g f)() Dom (g f) (, ] A partir de las funciones f() y g(), halla (f g)() y (g f)() y sus respectivos dominios. Qué se observa? Es siempre posible la composición? (f g)(), Dom (f g) [, ) (g f)(), Dom (g f) (g f)() no eiste, puesto que el recorrido de f() (, ] no está incluido en el dominio de g(), que es [, ) La función h() se puede entender como la composición de las funciones f() y g() de este modo: (g f)() g(f()) g() h(). Epresa las siguientes funciones como composición de funciones, indicando estas últimas: a) h() b) h() 6 a) f() y g() h() (f g) () b) f() 6 y g() h() (f g) () Análisis

13 Función inversa Eiste función inversa respecto de la composición para las siguientes funciones? Si es así, halla su epresión. a) f() e) f() b) f() f) f() c) f() 8 g) f() d) f() h) f() a) f() es biyectiva, por tanto, tiene inversa: f () b) f()es inyectiva:f () c) f () 8 e) f() es inyectiva: f () h) f () Las funciones de los apartados d), f ) y g) no son inyectivas y por tanto no eiste su función inversa. Representa la función f() y su inversa. f () y b) Dom f {} Rec f {} c) f() - y = f() 7 Dom f 0 Rec f 0 A partir de la gráfica de la función f() de la figura, representa: f(), f(), f( ), f() y f() Transformaciones de funciones 6 A partir de la función f(),representa las siguientes funciones e indica sus dominios y recorridos: a) f() b) f() c) f() a) y = f( ) f() 6 6 f() f() Dom f {} Rec f {0} f() f() 8. Funciones

14 Ejercicios de aplicación 8 Considera las siguientes funciones: f() g() ( ) h() i() a) Represéntalas gráficamente, indicando sus ceros, sus vértices y sus ejes de simetría. b) Estudia su signo. c) Indica sus intervalos de monotonía y sus recorridos. d) Escribe las funciones valor absoluto correspondientes a cada una como funciones a trozos, y represéntalas. f() es una función polinómica de segundo grado, con a 0, por tanto, su representación corresponde a una parábola con las ramas hacia arriba, y su vértice es el punto que separa un intervalo de decrecimiento de otro de crecimiento. Dado que el vértice es el punto cuya abscisa es: b a En,, f() es estrictamente decreciente. En, f() es estrictamente creciente. Su eje de simetría es la recta. Sus ceros son y,por lo que f() 0 en, (, ) y f() 0 en,. Su recorrido es 8,. En (, ), g() es estrictamente creciente. En (, ), g() es estrictamente decreciente. Su eje de simetría es la recta. Tiene un cero,, por lo que g() 0 en { }. Su recorrido es (,0]. h() es una función polinómica de segundo grado, con a 0, por tanto, su representación corresponde a una parábola con las ramas hacia arriba, y su vértice es el punto que separa un intervalo de decrecimiento de otro de crecimiento. Dado que el vértice es el punto cuya abscisa es: b a En,, h()es estrictamente decreciente. En,, h() es estrictamente creciente. Su eje de simetría es la recta. No tiene ceros. Es siempre positiva. Su recorrido es, g() ( ) g() ( ) 7 f() f() 6 en, [, ) en, g() ( ) es una función polinómica de segundo grado, con a 0, por tanto, su representación corresponde a una parábola con la ramas hacia abajo, y su vértice es el punto que separa un intervalo de crecimiento de otro de decrecimiento. Dado que el vértice es el punto cuya abscisa es: b a y y i() es una función polinómica de segundo grado, con a 0, por tanto, su representación corresponde a una parábola invertida, y su vértice es el punto que separa un intervalo de crecimiento de otro de decrecimiento. Análisis

15 Dado que el vértice es el punto cuya abscisa es b a 6 c) f() En, 6, i() es estrictamente creciente. Escala deformada f() 9 En, 6, i() es estrictamente decreciente. 0 Su eje de simetría es la recta. 6 0 Tiene dos ceros, y, por lo que i() 0 en:,, y i() 0 en, Su recorrido es,. 0 0 f() 0 La tarifa del transporte en tai en cierta localidad depende linealmente de la longitud del trayecto que se efectúe. A un usuario de este servicio, una carrera de,6 km le cuesta 7,, y a otro,8,8 un trayecto de km. Cuánto vale la bajada de bandera? La bajada de bandera cuesta,8. f() De una función afín se conocen los puntos (, /) y (/, ). Halla su epresión analítica. Es una función creciente? f() 9. Es una función decreciente. 0 9 Dada la función f() 9: a) Averigua sus ceros. b) Determina sus intervalos de signo constante. c) Esboza una gráfica, completando previamente la siguiente tabla de valores: f () El porcentaje destinado de ID del PIB de un determinado país en los años 00, 00 y 007 es la que se indica en la siguiente tabla: Año % ID del PIB 00 0,8 00 0, 007 0,7 Mediante interpolación lineal, calcula el porcentaje del PIB destinado de ID en el año 00 y realiza una etrapolación para estimar cuánto se destinará en el año 0. Con los puntos etremos de la tabla se obtiene la recta y 0,8 0,0( 00) a) f() 0 ( 9) 0 Resolvemos la ecuación de segundo grado: 9 0: 9 6,8 y,8 Por tanto, las soluciones serán: 0,,8 y,8 b) Dom f y los ceros de la función son los valores hallados en el apartado anterior, por lo tanto, los intervalos de signo constante son los siguientes: (,,8), (,8, 0), (0,,8) y (,8, ) f(6) 0, (,,8 ), f() 0 f() 0, (,8, 0), f() 0 f() 0, (0,,8), f() 0 f() 0, (, 8, ), f() 0 En el año 00, el PIB destinado a ID fue: y 0,8 0,0 0, % En el año 0 podemos suponer que el PIB destinado a ID será y 0,8 0,0 8 0,68 %. El precio de un viaje en tren es función, entre otras cosas, de los kilómetros recorridos. Recorrer 7 km cuesta, y recorrer 68 km vale,. Averigua: a) La función afín que epresa el coste del billete en función de los kilómetros recorridos. b) Por etrapolación, el precio del billete cuando la distancia recorrida sea de 00 km. c) Si un billete cuesta,9, cuántos kilómetros tiene el recorrido? a) es la distancia recorrida, el precio del billete en función de la distancia es: p() 0,0 0, b) p(00),0 c) 8 km 8. Funciones

16 Encuentra una función cuadrática f() que tome los valores que muestra la tabla: 7 El perímetro de un triángulo isósceles es 6 cm. Epresa el área del triángulo en función de la base, b, y determina su dominio. 0 f(), 0,7 6,7 A(b) = b 9, b Dom A (0, ) f(),, Epresa el volumen de un cono cualquiera de generatriz dm en función de su altura. Entre qué valores puede oscilar la altura? Indica el dominio de esta función. V(h) ( h )h. La altura oscila entre 0 y dm. Dom V (0, ) 6 Si un juguete se vende a 0 lo compran 000 personas. Por cada euro que aumenta (o disminuye) este precio, disminuye (o aumenta), respectivamente, el número de compradores en 0. a) Epresa la función que proporciona el número de juguetes que se venden en función del precio de venta. b) Si el precio de coste de un juguete es de 80, calcula el precio, p, que proporciona el beneficio total máimo. c) Halla el número de juguetes que se venden si el precio es p, y calcula el beneficio máimo. a) La función que proporciona el número de juguetes que se venden en función del precio de venta es una recta dependiente 0 que pasa por le punto (0, 000): n(p) 000 0(p 0) p b) El beneficio total es el producto de los juguetes vendidos por el beneficio de cada juguete que es p 80: B(p) (7 00 0p)(p 80) 0 p 00p B(p) tiene su valor máimo en p c) Para p se venden n() 70 juguetes, y el beneficio que proporcionan es de B() Epresa el área de un pentágono regular en función de su lado, l, y determina su dominio. l A(l), Dom A tg ( /) El área de un contenedor formado por una semiesfera de radio r y un cilindro abierto de altura h es de m.epresa su volumen en función del radio, y determina su dominio. V(r) 6 r r,dom V (0, ) En un cubo se instala un depósito en forma de pirámide invertida con la misma base que la cara superior del cubo. Determina el área de la cuatro caras del depósito, en función de su volumen. A(V) 9V,Dom A Un almacén tiene forma de prisma recto de base cuadrada y su volumen es 768 m.se sabe que la pérdida de calor a través de las paredes laterales es de 00 unidades por m, mientras que por el techo es de 00 unidades por m.la pérdida de calor a través del suelo es despreciable. Epresa la pérdida de calor del almacén en función del lado de su base. Si es el lado de la base e y la altura del almacén: Calor perdido a través de las paredes: 00y Calor perdido a través del techo: 00 Calor total perdido: 00y 00 Dado que V 768 m y 7 68, con lo que el calor perdido en función de será: C() r h a 6 Análisis

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