Aplicaciones de la distribución weibull en ingeniería

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1 COLMEME UAN Aplicacions d la distribución wibull n ingniría Raqul Salazar Morno 1 Abraham Rojano Aguilar 2 Esthr Figuroa Hrnándz Francisco Pérz Soto 1. INTRODUCCIÓN la salud n la vida d una prsona. La utilidad o la calidad d vida d una prsona la dtrminan muchas fall bajo condicions conocidas. d la NASA intrprtaron qu las navs spacials nviadas antriormnt con éxito ra indicación d sguridad. Gran part d los datos qu s utilizaron para stimar la probabilidad d falla furon a tmpraturas d incrtidumbrs rlacionadas con la calidad d los datos y la slcción dl modlo frcuntmnt tinn qu sr 148

2 Mmoria dl XXI Coloquio Mxicano d Economía Matmática y Economtría 2. TEORÍA DE FALLAS Curva Típica d Flujo d Fallas Es una curva qu rprsnta los difrnts tipos d falla qu un quipo o componnt dl mismo sufr durant l priodo d timpo dsd su pusta n opración hasta qu trmina su ciclo d vida útil. La Figura 1 Fallas Tmpranas Fallas Alatorias Fallas por dsgast u obsolscncia Tasa d falla I II III Timpo Fallas tmpranas pizas y unions. Fallas alatorias población d componnts tin la misma probabilidad d sufrir una falla. Fallas por dsgast u obsolscncia rparación. humana. 149

3 COLMEME UAN 3 DISTRIBUCIÓN WEIBULL distribución sobr todo mpzando por l mdio industrial; y ahora también ha habido un crciminto xplosivo d aplicacions n l ára d las cincias agrícolas. La vrsatilidad d dicha función radica n las difrnts formas qu adopta dpndindo d los valors qu qu gnran y dan lugar a una gran cantidad d trabajos divrsos. Caractrísticas gnrals d la Distribución Wibull 1 T T f ( T ) (1) - parámtro d forma s indicador dl mcanismo d falla - parámtro d scala vida caractrística - parámtro d localización la vida mínima forma. 150

4 Mmoria dl XXI Coloquio Mxicano d Economía Matmática y Economtría 1) Para 0 1 f (T ) dcrc monótonamnt y s convxa 2) Para 1 s obtin la función xponncial con 2 parámtros T 1 f T 1 ( ) dond ( T ) f ( T ) 0 t 0 1 f (T ) tasa d falla d componnts qu han sufrido dsgast Para 2.. s aproxima a la distribución normal simpr qu 1 0. tin l mismo fcto n la distribución qu un cambio d y s incrmnta la distribución s contra y si disminuy la distribución s xpand. sirv para ubicar l inicio d la distribución a lo largo dl j x. T s T (2) y tinn las mismas unidads qu T con valor ngativo indica fallas ants dl inicio d la pruba. T R ( T ) 151

5 COLMEME UAN 1- Para 1 la curva dcrc monótonamnt más rápido qu para 0 1. ( ) mpzando la misión a la dad cro s 1 R( ) 0. ( ) sobrvivirán. R R( t) ( t) R( t) R() t t horas d opración al iniciar la nuva misión. 152

6 como Mmoria dl XXI Coloquio Mxicano d Economía Matmática y Economtría TR T R ( T ) T In R(T ) T R 1 InRt 1 R(t) (8) T R In La cuación (8) rprsnta la vida para la unidad qu stará funcionando xitosamnt con probabilidad R( T R ) R s la vida mdia Función d tasa d falla Wibull 1 T f ( T ) ( t) (9) R( T ) 153

7 COLMEME UAN 0 1 s inicia n cuandot cuando T y 0 d fallas. Para 1 la función rprsnta la tasa d falla constant d la vida útil d las unidads qu corrspond (T ) 1 (10) Para 1 ( T ) crc cuando T s incrmnta y s pud utilizar para rprsntar la falla d unidads Para 1 2 Para 2 T 2 T (11) Para 2.. s aproxima a la tasa d falla normal simpr qu 1 0 modlar las fallas dbido a la dad u obsolscncia. 4. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN WEIBULL PARA UN CASO ESPECÍFICO El método d máxima vrosimilitud s uno d los más robustos y podrosos para obtnr una aproximación d los parámtros d una distribución d dnsidad d probabilidad para un conjunto d datos; Lo cual s logra ( 12 ) Dond x 1, 2,..., k son los parámtros qu s stiman y k l númro d parámtros a valuar. Para un conjunto d datos la función d vrosimilitud s un producto d la función d la i l iésimo 1, 2,..., k qu maximizan L xistn las solucions d forma crrada para las drivadas parcials la solución pud sr rlativamnt simpl. En 154

8 Mmoria dl XXI Coloquio Mxicano d Economía Matmática y Economtría El método d stimación d máxima vrosimilitud tin varias propidads qu hacn atractiva su aplicación: naturalza misma d la función d la dnsidad d probabilidad xponncial. ( 18 ) ( 19 ) complja para distribucions con múltipls parámtros n dond no xista una solución crrada. : Es una rprsntación tridimnsional d la función logarítmica Y parámtros qu maximizan la función d vrosimilitud. 155

9 COLMEME UAN Algoritmo d Nldr-Mad. industrialización. 156

10 Mmoria dl XXI Coloquio Mxicano d Economía Matmática y Economtría El Cuadro 1, mustra los datos obtnidos al mdir las dimnsions dl grano d avna Cuadro 1. Mustra d grano d avna. Dimnsions d grano d avna (mm) L A C L A C L A C L A C L A C Con función d probabilidad acumulada (20) f ( x) 1 x ( 20 ) Dond: indpndint rprsnta la longitud o ancho dl grano. i y ancho a i para los datos d longitud l i y otro para l ancho a i. f ( x) i f ( y) i 1 1 li ai ( 21 ) 157

11 COLMEME UAN y gnralmnt rfrida a una optimización no linal sin rstriccions. fminsarch usa l método simplx d Nldr- gradint numérico o analítico. Cuadro 2. Parámtros d la función Wibull Parámtros d la función Wibull Dimnsión Bta Eta Gama Longitud Ancho longitud y ancho dl grano d avna.. l. f ( l) t t. 8. l. f ( l) 0. ( 22 ) 8.. a1. f ( a) t1. 1. a1. f ( a) t1. 1. l y ancho máximo a, dl grano avna. f ( l) 1 f ( a) 1. l. 8.. a

12 Mmoria dl XXI Coloquio Mxicano d Economía Matmática y Economtría Figura 8. Distribución d probabilidad acumulada Wibull Figura 9 Comportaminto dl modlo Wibull y normal 159

13 COLMEME UAN simultáno d la longitud y ancho dl grano d avna. f ( la) f ( l) f ( a) b c 1 f ( la) 1 avna s: f. ( la) 1.. m. n. b c Dond: l. b 8. a1. c 1. l. m 8. a1. n

14 Mmoria dl XXI Coloquio Mxicano d Economía Matmática y Economtría Figura 10. Función d probabilidad conjunta. rsultados acptabls al modlar l comportaminto dimnsional dl grano d avna con una función d dnsidad paramétricas. l comportaminto dimnsional d las distintas varidads d grano d avna. Igualmnt s pud rcomndar la implmntación d stos métodos numéricos y hrramintas d cálculo para caractrizar l comportaminto caractrizan a las funcions d dnsidad d probabilidad. BIBLIOGRAFIA 161

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