Modelación dinámica de

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1 Modelaión dinámia de distribuiones diamétrias en masas mezladas de Pinus en Durango, Méxio Dynami modeling for diameter distribution on Pinus mixed stands in Durango, Mexio Gerónimo Quiñonez Barraza 1, Hétor Manuel De los Santos Posadas 1 *, Franiso Cruz Cobos 2, Alejandro Velázquez Martínez 1, Gregorio Ángeles Pérez 1 y Gustavo Ramírez Valverde 3 1 Postgrado Forestal. Colegio de Postgraduados, Campus Monteillo. Estado de Méxio, Méxio. * Autor de orrespondenia: hmsantos@olpos.mx 2 Instituto Tenológio de El Salto. Mesa del Tenológio s/n. CP El Salto P.N., Durango, Méxio. 3 Postgrado de Estadístia. Colegio de Postgraduados, Campus Monteillo. Estado de Méxio, Méxio. Resumen La araterizaión de las distribuiones diamétrias proporiona informaión sobre la estrutura de un rodal y ayuda en la planeaión de los tratamientos silvíolas en masas forestales bajo manejo. Se presenta la evaluaión de la funión Weibull para araterizar las distribuiones diamétrias en masas mezladas de espeies del género Pinus. Se usaron 59 parelas permanentes (900 m 2 ) para el ajuste y 100 parelas temporales de inventario forestal (1000 m 2 ) para la validaión. El método de momentos resultó mejor para estimar los parámetros de la funión Weibull (menor error medio absoluto, menor error medio uadrátio y menor número de parelas rehazadas on la prueba de Kolmorogov-Smirnov) en omparaión on los métodos de máxima verosimilitud y perentiles. Los modelos de prediión de los parámetros on variables del rodal permiten araterizar y proyetar la distribuión teória de lases diamétrias de manera senilla y preisa. La urtosis (kurtosis) de la distribuión Weibull es menos apuntada on la proyeión del número de árboles por ategoría diamétria, la forma de la urva tiende a normalizarse, on una ligera asimetría positiva, mientras que para el área basal la forma de la distribuión teória es más apuntada. La proyeión de la distribuión Weibull puede ser utilizada para determinar regímenes de manejo forestal o para la regularizaión de las estruturas diamétrias en masas inoetáneas. Palabras lave: distribuión diamétria, funión Weibull, modelo dinámio, prediión de parámetros, reuperaión de parámetros. Abstrat The haraterization of the diameter distributions provides information on the struture of a stand and support in the planning of silviultural treatments in forests with management. We estimated the parameters of loation, sale and shape of the Weibull funtion to haraterize the diameter distribution of speies mixture of Pinus. We used 59 plots for model fitting (900 m 2 ) and 100 temporary forest inventory plots for validation (1000 m 2 ). The method of moments was better to estimate the parameters of the Weibull funtion as statistis used to measure the goodness of fit (lower mean absolute error, lower mean square error and fewer rejeted plots with Kolmorogov-Smirnov test) ompared with maximum likelihood and perentile methods. The predition models of the parameters with stand variables represent a flexible and simple way to haraterize and projet the theoretial distribution of diameter lasses easily and aurately. The kurtosis of the Weibull distribution has less peakedness with the projetion of the number of trees in diameter lasses, the shape of the urve tends to normalize and a slight positive skewness, while basal area in the form is more theoretial platykurti distribution. The projetion of the Weibull distribution an be used to determine forest management regimes or to regularize diameter strutures in uneven-aged stands. Key words: diameter distribution, Weibull funtion, dynami model, parameter predition, reovery parameters. 59

2 Quiñonez et al. Modelaión dinámia de distribuiones diamétrias Introduión La modelaión y araterizaión de las distribuiones diamétrias es de gran importania en el manejo forestal. El diámetro es una variable muy orrelaionada on la altura y el volumen y es onluyente para determinar los ostos de extraión y omerializaión de produtos forestales. La modelaión de las estruturas diamétrias y su relaión on la alidad de estaión, la omposiión de espeies, la edad y la densidad del rodal es una herramienta muy valiosa para el manejo de bosques (Bailey y Dell, 1973). La relaión de las distribuiones diamétrias on la distribuión en área basal y volumen permite la planeaión y regulaión de las estruturas diamétrias (Shiver, 1998; Zhang et al., 2001; Eerikäinen y Maltamo, 2003; Nor- Larsen y Cao, 2006; Gorgoso et al., 2007). El proeso de modelaión de estruturas diamétrias implia la seleión de una funión de densidad de probabilidades adeuada, el desarrollo de una metodología para la estimaión de los parámetros y la validaión del modelo seleionado (Reynolds et al., 1988). Bailey y Dell (1973) señalan que la seleión de una funión de densidad de probabilidad (fdp) debe onsiderar que la funión sea apaz de representar el intervalo ompleto de formas unimodales y ontinuas de las distribuiones diamétrias. Así, la fdp debe ubrir las diversas formas de las distribuiones reales on diversos grados de asimetría positiva o negativa. Los parámetros que araterizan la fdp deben variar de manera oherente on las araterístias del rodal (Shiver, 1988). Muhas funiones de distribuión ontinuas univariadas han sido usadas para desribir las distribuiones diamétrias de áreas forestales. Las más omunes en los últimos años se basan en la distribuión Normal (Nanang, 1998), la distribuión Weibull (Zhang et al., 2001; Maldonado y Návar, 2002; Gorgoso et al., 2007; Lei, 2008), la distribuión gamma (Álvarez y Ruiz, 1997), la distribuión Log-Normal (Nanang, 1998) y la distribuión S B de Jhonson (Kudus et al., 1999; Zhang et al., 2003; Fidalgo et al., 2009). De las funiones anteriormente menionadas la funión Weibull ha sido apliada extensivamente en la silviultura debido a: 1) la habilidad para desribir una variedad de distribuiones unimodales inluyendo la forma de j-invertida, la exponenial y la distribuión normal de freuenias, 2) la relativa simpliidad de la estimaión de los parámetros y 3) tiene una forma errada de la funión de densidad aumulada (Bailey y Dell, 1973; Torres-Rojo et al., 2000; Gorgoso et al., 2007; Lei, 2008). Por su flexibilidad y senillez se ha empleado freuentemente en la modelaión y araterizaión de las estruturas diamétrias de masas puras y mezladas. La funión Weibull puede araterizarse de manera dinámia a partir de la Prediión de sus Parámetros (PPE). Es deir, después de haber estimado los parámetros a, b y (parámetros de loalizaión esala y forma) on alguno de los métodos diseñados para ello (Torres-Rojo et al., 2000), se pueden relaionar on variables del rodal usando modelos lineales (o no lineales). De esta forma al ambiar las variables del rodal, automátiamente ambiarán los parámetros que araterizan la distribuión diamétria. En general este se onsidera un método débil para estimar los parámetros de la funión Weibull, sin embargo se han obtenido buenos resultados de ajuste que además permiten obtener diretamente los parámetros de las distribuiones futuras proyetadas y failitan la planeaión de los regímenes de ortas intermedias (Reynolds et al., 1988; Garía et al., 2002). Otra forma de estimar los parámetros de la funión Weibull representa una mezla entre métodos de estimaión de los parámetros y perentiles; omo es el método de Reuperaión de Parámetros (PRE) que onsiste en reobrar los parámetros de la distribuión a partir de sus momentos no-entrales y momentos entrales, teniendo omo base un onjunto de perentiles los uales son fáiles de modelar de manera dinámia (Hyink y Moser, 1983). Dada la mayor relaión entre momentos y/o perentiles on los atributos del rodal, esta ténia ha brindado buenos ajustes (Borders y Paterson, 1990; Torres-Rojo et al., 2000). En este estudio, la estimaión de los parámetros de la funión Weibull se realizó mediante los métodos momentos (ME), máxima verosimilitud (MLE) y perentiles (PE). 60

3 Para modelar de manera dinámia los parámetros de la funión Weibull se utilizó el método de prediión de parámetros (PPE) relaionando variables de la parela on los estimadores de los parámetros obtenidos on ME. Objetivos Ilustrar una estrategia de modelaión dinámia para las distribuiones diamétrias de masas mezladas del género Pinus vía Prediión de Parámetros (PPE). Materiales y métodos Desripión del área de estudio y araterizaión de la base de datos La informaión para desarrollar el presente estudio se oletó en masas mezladas del género Pinus en el Ejido San Diego de Tezains en el Noroeste del estado de Durango, entre las oordenadas extremas; 24º , 25º de latitud norte y 105º , 106º de longitud oeste (Fig. 1). Se utilizó una base de datos de 59 parelas permanentes de investigaión silvíola de forma retangular de 900 m 2. Estas se estableieron en el año 2003 y se remidieron en La distribuión de las parelas fue en forma aleatoria en las áreas forestales del predio. Para modelar los parámetros de la distribuión Weibull a las estruturas diamétrias, se agruparon las espeies de Pinus arizonia Engelmannii, Pinus durangensis Martínez, Pinus teoote Shleht. Cham, Pinus leiophylla Shleht. Cham, Pinus lumholtzii Rob. & Fer y Pinus ayaahuite Ehrenb. Var. brahypter omo género Pinus. Para la validaión de los métodos usados en el ajuste se utilizó una base de datos de 100 parelas temporales de inventario on forma irular de 1000 m 2, por ser informaión que siempre se usa para la formulaión de programas de manejo forestal. En la tabla 1 se presenta la desripión de diámetros, área basal y edad de los datos usados en el ajuste y validaión. Para el ajuste de los modelos de proyeión del diámetro normal y la estimaión de la edad en funión del diámetro normal se utilizó una base de datos de análisis tronales de 222 árboles (1622 pares de datos) agrupados omo género Pinus. Funión de distribuión Weibull La funión de densidad de probabilidad (fdp) Weibull derivada por Weibull (1939) en estudios de resistenia de materiales y por su flexibilidad y fáil integraión ha sido ampliamente utilizada en la modelaión de las estruturas diamétrias en bosques naturales y plantaiones por diferentes investigadores (Bailey y Dell, 1973; Nanang, 1998; Torres-Rojo et al., 2000; Eerikäinen y Maltamo, 2003; Nord-Larsen y Cao, 2006; Gorgoso et al., 2007). La expresión de la fdp Weibull (Weibull y Sweden, 1951; Tsu et al. 1952; Bailey y Dell, 1973; Lei, 2008), es la siguiente: -1 ( ) ( )( ) D-a F(D) = D-a e- b (1) b b Figura 1. Ubiaión del área de estudio. Con a D <, a 0, b > 0 y > 0. Donde D es el diámetro normal (variable aleatoria), a, b y son los parámetros de loalizaión, esala y forma de la funión Weibull respetivamente. 61

4 Quiñonez et al. Modelaión dinámia de distribuiones diamétrias Tabla 1. Estadístia desriptiva de las parelas usadas en el ajuste y validaión para estimar los parámetros de la funión Weibull. Variable Ajuste (n=59) Validaión (n=100) Mínimo Máximo Media SD Mínimo Máximo Media SD D min D D max D q AB E min E E max D min : diámetro mínimo (m); D : diámetro medio (m); D max : diámetro máximo (m); D q : diámetro uadrátio (m); AB: área basal (m 2 ); E min : edad mínima; E : edad media; E max : edad máxima y SD: desviaión estándar (m). Si < 1, la urva de la funión Weibull es de la forma j-invertida; si = 1, oinide on la funión exponenial; si 1 < < 3.6, la urva presenta asimetría positiva; si 3.6, la urva se aproxima a la distribuión normal; si > 3.6, presenta asimetría negativa; si 1, la funión Weibull es omún en masas irregulares de espeies tolerantes (Bailey y Dell, 1973). Con la integraión de la fdp por el método de sustituión o ambio de variable se obtiene la funión de distribuión aumulada Weibull (df) (Weibull y Sweden, 1951; Tsu et al., 1952) y evaluada de 0 a (D = la df aumula el total de la distribuión), se obtiene la expresión dada por (2) y la evaluaión de la integral entre dos ategorías diamétrias on (3). F(D) = ( )( ) ( ) (2) b D-a -1 D-a D-a e b d b D = 1 - e ( b ) - 0 Siendo F(D) la freuenia relativa aumulada de árboles on un diámetro menor o igual a D; L I y L S son los límites inferior y superior de la lase o intervalo de diámetro donde se desea onoer el número de árboles. Así para la obtenión del número de árboles aumulados por lase diamétria se debe multipliar el resultado de la fdp por la densidad del rodal y por el tamaño de la lase diamétria o multipliar el número de árboles por la df evaluada entre los límites inferior y superior de la ategoría diamétria en la que se quiere onoer el número de árboles. Estimaión de los parámetros de la distribuión Weibull Se utilizaron 3 proedimientos para la estimaión de los parámetros de la funión Weibull por parela, basados en el método de momentos (ME), máxima verosimilitud (MLE) y método de perentiles (PE). El parámetro de loalizaión (a) para ME, MLE y PE fue estimado on el método propuesto por Zanakis (1979). Este método usa los diámetros mínimos y el diámetro máximo (Bailey y Dell, 1973; Zarnoh y Dell, 1985; Shiver, 1988; Nanang, 1998), mediante la expresión (4). F(L 1 D L s ) L -1 D-a s D-a e( ) b d D = e - L ( 1 - a b ) (3) b - e ( L s - a - ) b L 1 ( b )( ) 62

5 { D1D M-D 2 2 a = D 1 +D M -2D 2 (4) en aso ontrario D 1 si(d 2 - D 1 ) < (D M - D 2 ) Donde n es igual al número de observaiones de la muestra en una distribuión Weibull y D i es el diámetro de ada árbol. Donde D 1, D 2 son los diámetros menores de la parela (m) y D M es el diámetro máximo de la parela (m). Método de momentos (ME) Este método relaiona los parámetros de esala y forma de la funión Weibull on el primero y segundo momento de la distribuión diamétria; diámetro medio y varianza respetivamente (Shiver, 1988; Nanang, 1998; Cao, 2004; Gorgoso et al., 2007). Las expresiones para estimar los parámetros bajo este método fueron (5 y 6). b = D (5) 1 Γ(1+ ) D 2 σ = Γ(1+ ) - Γ 2 (1+ (6) Γ 2 1 (1+ ) ) [ ] Donde D es el diámetro medio de la distribuión, σ 2 la varianza y Γ(i) es la funión Gamma para ada punto (D = i), dada por Γ(i) 0 D i-1 e -D d D. Método de máxima verosimilitud (MLE) Se basa en obtener una estimaión de los parámetros de la funión Weibull maximizando la probabilidad de obtener una muestra de diha distribuión teória que oinida on la distribuión observada (Bailey y Dell; 1973; Álvarez y Ruiz, 1998; Nanang, 1998; Gorgoso et al., 2007). Para estimar los parámetros de esala y forma para ada parela, de las euaiones 7 y 8, se utilizó el proedimiento LIFEREG en SAS/STAT TM (SAS Institute In., 2011). Método de perentiles (PE) Este método utiliza los perentiles para estimar los parámetros de la distribuión Weibull (Bailey y Dell, 1973; Zanakis, 1979; Shiver, 1988; Nanang, 1998; Gorgoso et al., 2007). Los parámetros de esala y forma fueron estimados on las siguientes expresiones: b = P 63 - a (9) In(1-r) In[ In(1-t) ] = (10) Pr - a In( Pt - a ) Donde P r y P t son los perentiles de orden 100r y 100t de la distribuión diamétria, on r = y t = , ln es el logaritmo natural. Modelos de prediión de parámetros (PPE) Para la prediión de los parámetros de loalizaión, esala y forma de la funión Weibull (a, b y, respetivamente), los parámetros estimados por ME fueron relaionados on variables de la parela; el diámetro mínimo, diámetro medio y diámetro uadrátio (proeso STE- PWISE en regresión lineal) y los estadístios de ajuste fueron redefinidos para los modelos sin interepto, así los parámetros fueron estimados on las expresiones siguientes: a = ß 1 D min (E1) n D InD -1 i i n 1 i=1 D = [ i=1 n n i=1 InD i i] (7) b = ß 1 D + ß 2 D min + ß 3 D q ß = ß 1 D + ß 2 D q D ß 4 D min (E2) (E3) [ ] 1 n b = 1 n i=1 D i (8) Donde β i es el parámetro regresión (i = 1, 2, 3, 4). 63

6 Quiñonez et al. Modelaión dinámia de distribuiones diamétrias Modelos de proyeión de variables del rodal Para la proyeión de los diámetros mínimo, medio y uadrátio se utilizó la euaión ADA (Algebrai Differene Algebrai Approah, por sus siglas en inglés) anamórfia basado en el modelo de Chapman Rihards (Amaro, 1998), para el diámetro normal se utilizó la euaión ADA anamórfia basado en el modelo de Korf. Para predeir la edad de los árboles en funión del diámetro normal para la fase de validaión se utilizó un modelo de potenia. Las expresiones usadas fueron las siguientes. D min2 = D 1-e min1 ( ß E ) ß3 2 min2 (E4) 1-e ß E 2 min1 D 2 = D 1 1-e ( ß E ) ß3 2 2 (E5) 1-e ß E 2 1 D q2 = D q1 1-e ( ß E ) ß3 2 2 (E6) 1-e ß E 2 1 D 2 = D 1 e E = ß 1 D ß 2 [-ß 2 (E 2 -ß3 -E 1 -ß3 )] (E7) (E8) Donde D, D min y D son el diámetro normal, mínimo y medio; E, E min y Ē son la edad observada, mínima y media; D q es el diámetro uadrátio; β i son los parámetros de los modelos y e es la funión exponenial. Estadístios para medir el ajuste La bondad de ajuste de los métodos estudiados para estimar los parámetros de loalizaión, esala y forma de la funión Weibull fue evaluada on el sesgo promedio (Bias), error medio absoluto (MAE) y el uadrado medio del error (MSE). Para los modelos de proyeión y estimaión de la edad se usó el oefiiente de determinaión ajustado (R 2 a ) (R 2 ɑ) y la raíz del error medio uadrátio (RMSE). Los estadístios son dados por las expresiones siguientes. Bias = n (y -y ˆ ) i=1 i i n (11) ˆ MAE = n y -y i=1 i i n (12) MSE = n (y -y ˆ i=1 i i )2 n (13) n i=1(yi-yi) 2 (n-p) 1=1(yi-y) n - 2 R 2 (n-1) ˆ a = 1 - (14) ( )1 n i=1 (yi-yi)2 n-p 2 ˆ RMSE = (15) Donde y i es el número de árboles observado por ategoría diamétria, ŷ i es el número de árboles prediho por ategoría, ӯ es la media por ategoría diamétria, n es el número de ategorías diamétrias y p es el número de parámetros. Para verifiar la hipótesis de que las distribuiones diamétrias de las parelas siguen una distribuión Weibull se utilizó el estadístio de Kolmogorov-Smirnov (K-S) que ompara las freuenias aumuladas teórias on las observadas. D n = Max F n (D i ) - F(D i ) (16) Donde D n es el valor del estadístio K-S, F n (D i ) es la distribuión de la freuenia aumulada observada para la parela i y F(D i ) es la probabilidad de la freuenia aumulada teória para la parela, se usó un nivel de signifiania α= 20%. También se utilizó el índie de error (EI) ponderado por el área basal (AB) de las ategorías diamétrias por parela (Reynolds et al., 1988; Cao, 2012). i j AB ij (n ij -nˆ ij ) EI = (17) n Donde n ij y n ij ˆ son el número de árboles observado y prediho en las lases diamétrias para la parela i, AB ij es el 64

7 área basal de la lase diámetria j para la parela i y n es el número de parelas. Resultados Los parámetros estimados por el método de momentos (ME), de auerdo on los estadístios de ajuste, fueron los más preisos y estos fueron usados para predeir los parámetros de la funión Weibull vía prediión de parámetros (PPE) on variables de la parela. En la tabla 2 se presentan los parámetros estimados, sus errores estándar y los estadístios de ajuste (raíz del error medio uadrátio (RMSE) y oefiiente de determinaión ajustado (R 2 a )) de los modelos utilizados para estimar los parámetros de loalizaión esala y forma de la funión Weibull por PPE; también se presentan los estadístios para los modelos de proyeión de las variables de la parela (diámetro normal, diámetro mínimo, diámetro medio y diámetro uadrátio) y para el modelo que estima la edad. En todos los asos los parámetros estimados fueron altamente signifiativos (valor de probabilidad de rehazo < 1%). En la tabla 3 se presentan las estadístias desriptivas de los parámetros estimados de la funión Weibull por ME, MLE y PE tanto para el ajuste omo para la validaión. El parámetro de loalizaión on ME, MLE y PE resultó igual, ya que se usa el mismo estimador (Zanakis, 1976). En la tabla 4 se presentan los estadístios de ajuste de los métodos usados para estimar los parámetros de la funión Weibull, también se puede apreiar el número parelas que siguen una distribuión Weibull y las rehazadas entre paréntesis on nivel de signifiania de α= 20% del el estadístio de Kolmogorov-Smirnov (K-S). La estimaión vía ME es la que arrojó un menor número absoluto de parelas rehazadas tanto en las de referenia omo en la muestra de validaión (2). MLE pareiera el menos efiiente sobre todo en la validaión on 19 rehazos en total mientras que PE tiene un total de 6. Tomando en uenta estos resultados, se deidió utilizar los parámetros estimados vía ME para ajustar los modelos de prediión de parámetros, los estadístios de ajuste también se pueden observar en la tabla 2. Las 59 parelas de referenia tanto para MLE y PE tendieron a sobreestimar las freuenias de árboles en las ategorías de diámetro mayores a 30 m (a1 y a2) (Fig. 2). En la validaión, PE sobreestimó por debajo de la ategoría de diámetro de 55 m mientras ME y PPE fueron los métodos que mejor predijeron las freuenias de número de árboles (b1 y b2). En la figura 3 se presentan la distribuión observada y estimada por ME, MLE, PE y PPE (asimetría positiva) para una parela muestra on 10.8 m, m y m de Tabla 2. Parámetros estimados y estadístios de ajuste de los modelos de prediión de parámetros y proyeión de variables de rodal. E n Parámetros β 1 β 1 e β 2 β 2 e β 3 β 3 e β 4 β 4 e RMSE (R 2 a) E E E E E E E E E: euaión; n: número de observaiones; β i : estimador del parámetro; β i e: error estándar del parámetro orrespondiente; RMSE: raíz del error medio uadrátio; (R 2 a ): oefiiente de determinaión ajustado. 65

8 Quiñonez et al. Modelaión dinámia de distribuiones diamétrias Figura 2. Error Medio Cuadrátio (MSE) por ategoría diamétria en el ajuste (a1) y validaión (b1) y Sesgo promedio (Bias) en freuenia relativa aumulada de número de árboles por ategoría diamétria en el ajuste (a2) y validaión (b2). diámetros mínimo, medio y máximo respetivamente y on edad media de 52 años. También se presentan las proyeiones de la distribuión de diámetro y área basal de la funión Weibull on PPE en intervalos de 5 años, 10 años y 15 años, proyetados on los modelos dinámios de variables de rodal. Se apreia omo disminuye la urtosis (kurtosis) en la forma de la distribuión Weibull a medida que los árboles ambian de ategoría diamétria. En la distribuión teória del área basal la urtosis (kurtosis) es más apuntada onforme aumenta la edad. Disusión y onlusiones La estimaión de los parámetros por los métodos usados presentó simpliidad y resultados deseables de auerdo on los estadístios de ajuste. Los porentajes 10% y 20% de las parelas en el proeso de ajuste y validaión, respe- 66

9 Tabla 3. Estadístias desriptivas de los parámetros estimados de la funión Weibull por los métodos analizados. Método Par Ajuste Validaión Mínimo Máximo Media SD Mínimo Máximo Media SD ME a MLE a PE a ME b MLE b PE b ME MLE PE Par: parámetro de la funión Weibull; SD: desviaión estándar; ME: método de momentos; MLE: método de máxima verosimilitud y PE: método de perentiles. Tabla 4. Estadístios de ajuste y validaión de los métodos de estimaión de los parámetros de la funión Weibull. Método Ajuste (n=1970) Validaión (n=5187) Bias MAE MSE EI K-S Bias MAE MSE EI K-S ME (0) (2) MLE (2) (17) PE (0) (6) PPE (0) (5) ME: método de momentos; MLE: método de máxima verosimilitud; PE: método de perentiles; PPE: método de prediión de parámetros; Bias: sesgo promedio; MAE: error medio absoluto; MSE: uadrado medio del error; EI: índie de error y K-S: estadístio de Kolmorogov-Smirnov. tivamente, sugieren un manejo de tipo inoetáneo, de auerdo on el parámetro de forma (Bailey y Dell, 1973) on una asimetría positiva. Sin embargo, la mayoría de los parámetros estimados de esala y forma sugieren asimetría positiva en la mayoría de las parelas, on menos árboles en las ategorías diamétrias de más de 40 m. Este mismo patrón fue enontrado por Nord-Larsen y Cao, (2006) en bosques oetáneos de Dinamara. Tanto en el ajuste omo en la validaión el método de PPE resultó asi equivalente a ME para estimar los parámetros de la funión Weibull de auerdo on la prueba K-S. Esta razón justifió la eleión para modelar los parámetros on variables de la parela (diámetro mínimo, diámetro medio y diámetro uadrátio). En este aso no se usaron modelos no lineales pero no se desarta su uso pues estos han produido resultados satisfatorios omo los enontrados por Gorgoso et al. (2007) en su estudio para Betula alba L. Sin embargo, los estadístios de ajuste de los modelos que predien los parámetros de la funión Weibull (PPE) fueron superiores a los publiados por Nanang (1998), on valores del oefiiente de determinaión de 0.91, 0.71 y

10 Quiñonez et al. Modelaión dinámia de distribuiones diamétrias Figura 3. Distribuiones diamétrias por los métodos usados para la estimaión de los parámetros de la funión Weibull (1) y proyeión de la distribuión de diámetros y área basal a 5, 10 y 15 años on PPE (d1). para los parámetros de loalizaión, esala y forma respetivamente. Los resultados aquí obtenidos son muy similares a los obtenidos por Torres-Rojo et al. (2000) en la metodología que plantea para estimar los parámetros de la funión Weibull. Para el parámetro de forma (expresión E3) on el uso del diámetro medio, diámetro uadrátio y diámetro mínimo, omo variables de la parela, se logró un ajuste on 90% de expliaión de la varianza, onsiderando que este parámetro se ha estimado on poa preisión on valores por abajo de 60% en otros estudios (Reynolds et al., 1985; Garía et al., 2002; Gorgoso et al. 2007). El método de MLE fue el menos sesgado, mientras que PE fue el más sesgado y on la mayor variabilidad en el ajuste, resultados similares a los enontrados por Shiver (1988). Para la validaión, PPE fue el menos sesgado y ME y PPE fueron los que menor variabilidad presentaron de auerdo on el MSE. La estimaión de los parámetros por PPE on variables de la parela en el proeso de validaión fue muy similar a los estimados por ME, el método PPE fue mejor que MLE y PE de auerdo on los estadístios usados (Bias, MAE, MSE, EI y K-S). El índie promedio de error (EI) ponderado por el área basal de las ategorías diamétrias de ada parela muestra que en el proeso de validaión PPE es mejor que los demás métodos analizados, lo que evidenia la apaidad de estimaión de los parámetros por prediión de parámetros. La estimaión de los parámetros por PPE a través de relaiones lineales on variables del rodal permiten obtener estimaiones efiientes de los valores de la funión Weibull, además los parámetros pueden ser proyetados on euaiones dinámias de las variables preditoras (Nanang, 1998; Lei, 2008). Los resultados de este estudio permiten difereniar que la estimaión de los parámetros de la funión Weibull por ME fue mejor que la estimaión por MLE (Nanang, 1998), ontrastando lo señalado por Shifley y Lentz (1985) que onsideran mejor a MLE por preisión y mínima varianza en los estadístios de ajuste. El método PE resultó inferior que ME, PPE y MLE, situaión similar a la enontrada por Zarnoh y Dell (1985) y Nanang, (1998). Lei (2008) también enontró que la estimaión por ME fue mejor que MLE y la obtenida por mínimos uadrados ordinarios para Pinus tabulaeformis basado en el menor MSE. Vallejos-Barra et al. (2009) enontraron que el mejor método de estimaión de los parámetros fue PE para Pinus taeda; mientras que Liu et al. (2004) menionan para Piea mariana que el método PE presenta ventajas ontra ME y PPE en términos de error, los resultados del estudio muestran que la funión Weibull puede ser usada para 68

11 modelar las distribuiones diamétrias de las masas inoetáneas on mezla de espeies. La prediión de parámetros (PPE) usando araterístias de rodal omo variables preditoras de los parámetros de loalizaión, esala y forma de la funión Weibull, representa una opión prátia, flexible y efiiente para modelar las estruturas diamétrias de las áreas estudiadas, la implementaión es senilla ya que las relaiones lineales de los parámetros onsideran variables que omúnmente se miden o alulan en los inventarios forestales y en la ejeuión de los programas de manejo forestal (Erikäinen y Maltamo, 2003). La reuperaión de los parámetros de la funión Weibull vía ME resultó ser el método más efiiente y sugiere que las estruturas diamétrias de las masas mezladas en términos generales tienen un omportamiento unimodal. El sistema onstruido es intrínseamente inoetáneo pues se asume que a ada árbol se le puede estimar su edad a partir del diámetro. Esto es relevante ya que la filosofía de la funión Weibull está entrada en la estimaión de distribuiones diamétrias en masas oetáneas. Para el presente estudio la funión Weibull se adaptó a las distribuiones de diámetros de las masas forestales bajo manejo irregular y que en poos asos sigue una tendenia de j invertida, aunque en la proyeión de las ategorías diamétrias no se onsidera el relutamiento ni la mortalidad, las formas de las urvas ejemplifian el ambio de las ategorías diamétrias. Con las euaiones dinámias en forma ADA se pueden proyetar las variables de rodal (variables preditoras de los parámetros de la funión Weibull) y la estimaión de los parámetros para araterizar las estruturas de diámetro y área basal futuras de forma dinámia. El presente trabajo se entró en ilustrar una estrategia de modelaión dinámia de las distribuiones diamétrias de masas mezladas, on los modelos dinámios de atributos de la parela o rodal y los modelos de prediión de los parámetros de la funión Weibull se pueden proyetar las estruturas diamétrias de auerdo on la dinámia de reimiento del rodal y la impliaión de tratamientos silvíolas, sin embargo, la limitante es que las proyeiones no onsideran la mortalidad y relutamiento. La onsideraión de funiones de distribuión bimodales para modelar las estruturas diamétrias de masas mezladas de Pinus y el uso de euaiones dinámias en diferenia algebraia generalizada (GADA) para la proyeión, representa una opión muy interesante para trabajos futuros. Reonoimientos El primer autor agradee al Consejo Naional de Cienia y Tenología (Bea No ) y al Programa Forestal del Colegio de Postgraduados para la realizaión de los estudios dotorales, así mismo se agradee al Ejido San Diego de Tezains, Durango. Méxio, por la disponibilidad para el uso de la informaión. Referenias Álvarez, J. G. y A. D. Ruiz Análisis y modelizaión de las distribuiones diamétrias de Pinus pinaster Ait. In Galiia. Investigaión Agraria. Sistemas y Reursos Forestales 7(1 y 2): Amaro, A., D. Reed, M. Tome y I. Themido Modeling dominant height growth: Eualyptus plantations in Portugal. Forest Siene 44(1): Bailey, R. L. y T. R. Dell Quantifying diameter distributions with the Weibull funtion. Forest Siene 19(2): Borders, B. E. y W. D. Patterson Projeting stands tables: A omparison of the Weibull diameter distribution method, a Perentile-Based projetion method, and a basal area growth projetion method. Forest Siene 36(2): Cao, Q.V Prediting parameters of Weibull funtion for modeling diameter distribution. Forest Siene 50(5): Cao, Q.V Use of the Weibull funtion to predit future diameter distributions from urrent plot data. In: J.R. Butnor, J. R. ed Proeedings of the 16th biennial southern silviultural researh onferene. e-gen. Teh. Rep. SRS-156. Asheville, NC: U.S. Department of Agriulture Forest Servie, Southern Researh Station. p:

12 Quiñonez et al. Modelaión dinámia de distribuiones diamétrias Eerikäinen, K. y M. Maltamo A perentile based basal area diameter distribution model for prediting the stand development of Pinus kesiya platations in Zambia and Zimbabwe. Forest Eology and Management 172(1): Fidalgo, T., C. Paheo y B. R. Parresol Desribing maritime pine diameter distribution with Jhonson s S B distribution using a new all-parameter reovery approah. Forest Siene 55(4): Garía, C., N. Cañadas y G. Montero Modelizaión de la distribuión diamétria de las masas de Pinus pinea L. de Valladolid (España) mediante la funtion Weibull. Investigaión Agraria. Sistemas y Reursos Forestales 11(2): Gorgoso, J.J., J.G. Álvarez, A. Rojo y J.A. Garandas-Arias Modeling diameter distributions of Betula alba L. stands in northwest Spain with the two-parameter Weibull funtion. Investigaión Agraria. Sistemas y Reursos Forestales 16(2): Hyink, D.M. y J.W. Moser A generalized framework for projeting forest yield and stand struture using diameter distributions. Forest Siene 29(1): Kudus, K.A., M. I. Ahmad y J. Lopongan Nonlinear regression approah to estimating Jhonson S B parameters for diameter data. Canadian Journal of Forest Researh 29(3): Lei, Y Evaluation of three methods for estimating the Weibull distribution parameters of Chinese pine (Pinus tabulaeformis). Journal of Forest Siene 54(12): Liu, Ch., S.Y. Zhang, Y.Lei, P.F. Newton y L. Zhang Evaluation of three methods for prediting diameter distributions of blak sprue (Piea mariana) plantations in entral Canada. Canadian Journal of Forest Researh 34(12): Maldonado, D. y J. Návar Ajuste y prediión de la distribuión Weibull a las estruturas diamétrias De plantaiones de pino de Durango, Méxio. Madera y Bosques 8(1): Nanang, D.M Suitability of the Normal, Log-normal and Weibull distributions for fitting diameter distributions of neem plantations in Northern Ghana. Forest Eology and Management 103(1):1-7. Nord-Larsen, T. y Q.V. Cao A diameter distribution model for even-aged beeh in Denmark. Forest Eology and Management 231(1-3): Reynolds, M.R., T.E. Burk y W. Huang Goodness-of-fit test and model seletion proedures for diameter distribution models. Forest Siene 34(2): SAS Institute In., SAS/ETS 9.3 User s Guide. Cary, NC:, SAS Institute In. Shifley, S. y Lentz E Quik estimation of the three parameters Weibull to desribe tree size distributions. Forest Eology and Management 13(3-4): Shiver, B. D Sample sizes and estimation methods for the Weibull distribution for unthinned Slash Pine plantation diameter distributions. Forest Siene 34(3): Torres-Rojo, J.M., O.S. Magaña-Torres, y M. Aosta-Mireles Metodología para mejorar la prediión de parámetros de la distribuiónes diamétrias (Ensayo). Agroienia 34(5): Tsu, T.C., R.A. Mugele y F.A. MClintok A disussion of A statistial distribution funtion of wide appliability by W. Weibull and S. Sweden. Journal of Applied Mehanis 19: Vallejos-Barra, O.S., D. Aedo-Ortiz, P.N. Izquierdo-Ossandon y M. Vázquez-Sandoval Evaluaión de proedimientos de ajuste óptimo de todos los parámetros de Weibull 3P para modelar la estrutura horizontal en plantaiones de Pinus taeda. Revista Chapingo Serie Cienias Forestales y del Ambiente. 15(2): Weibull, W The phenomenon of rupture in solids. Pro. Royal Swedish Institute of Engineering Researh (Ingeniorvetenskaps Akademiens Handlingar) 153:1-55 Weibull, W. y S. Sweden A statistial distribution funtion of wide appliability. Journal of Applied Mehanis 73: Zanakis, S.H A simulation study of some simple estimators for the three-parameters Weibull distribution. Journal of Statatistial Computation and Simulation 9(2):

13 Zhang, L., J.H. Gove, Ch. Liu y W.B. Leak A finite of two Weibull distributions for modeling the diameter distributions of rotated-sigmoid, uneven-aged stands. Canadian Journal of Forest Researh 31(9): Zhang, L., K.C. Pakard and Ch. Liu A omparison of estimation methods for fitting Weibull and Jhonson s S B distributions to mixed sprue-fir stands in northeastern North Ameria. Canadian Journal of Forest Researh 33(7): Zarnoh, S.J. y T.R. Dell An evaluation of perentile and maximum likelihood estimator of Weibull parameter. Forest Siene 31(1): Manusrito reibido el 10 de enero de Aeptado el 9 de febrero de Este doumento se debe itar omo: Quiñonez B., G., H.M. De los Santos P., F. Cruz C., A. Velázquez M., G. Ángeles P. y G. Ramírez V Modelaión dinámia de distribuiones diamétrias en masas mezladas de Pinus en Durango, Méxio. Madera y Bosques 21(2):