TEMA 2. CARACTERIZACIÓN DEL OLEAJE.

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1 TEMA. CARACTERIZACIÓN DEL OLEAJE. ENGINYERIA MARÍTIMA ETSECCPB

2 INDICE.INTRODUCCIÓN....FUENTES DE INFORMACIÓN DE OLEAJE OLEAJE A CORTO TÉRMINO O CARACTERIZACIÓN DEL OLEAJE IRREGULAR Descripción geométrico-estadística Descripción espectral DESCRIPCIÓN DEL OLEAJE A LARGO TÉRMINO Caracterización a medio plazo Clima de oleaje Rosas de oleaje Tablas de contingencia Caracterización extremal Definición del suceso extremo Funciones de distribución de probabilidad Métodos de Ajuste de las funciones de distribución de probabilidad La frecuencia de punteo La variable reducida de la función El Periodo de retorno y la altura de ola de diseño Bondad de los ajustes Fuentes de incertidumbre y intervalos de confianza El Método de los máximos anuales Los coeficientes de direccionalidad...38

3 .INTRODUCCIÓN El diseño de cualquier obra marítima, así como su proceso constructivo, requiere la correcta caracterización de las acciones hidrodinámicas actuantes a menudo expresadas en términos de altura de ola, periodo y dirección. Por ello, el resultado final del diseño y ejecución depende en gran medida de lo precisas que sean nuestras estimas. De forma general, la caracterización del oleaje es entendida como una descripción a largo término, en el que se incluye por un lado el régimen medio del oleaje y el régimen extremal o bien, una descripción a corto término entendida también como estudio del oleaje irregular. En la descripción del oleaje a corto término se asume que el proceso es estacionario, aleatorio y gausiano mientras que la descripción a largo término refleja las características climatológicas existentes..fuentes DE INFORMACIÓN DE OLEAJE Como puede verse el estudio del oleaje (tanto a corto término como a largo plazo) requiere de una información detallada del fenómeno. Existen distintas fuentes de datos sobre las que poder realizar el análisis y que pueden agruparse en 3 categorías: i) datos instrumentales, ii) datos visuales y iii) datos procedentes de simulaciones numéricas. Los datos instrumentales son adquiridos por sensores, principalmente boyas de oleaje (ver Figura ), pudiendo ser de tipos: i) direccionales y ii) escalares (solo se obtiene información sobre la altura y periodo del oleaje). La ventaja de estos sensores reside en la calidad de los datos que proporciona aunque desgraciadamente su instalación (fondeo) en nuestras costas es relativamente reciente. Figura. Boyas de oleaje

4 El Ministerio de Fomento, a través del programa REMRO (Red Española de Medida y Registro de Oleaje) gestiona un total de 7 boyas de oleaje a lo largo del litoral español (ver A su vez la Generalitat de Catalunya a través del programa XIOM (Xarxa de Instrumentació Oceanografica i Meteorológica) gestiona 5 boyas de oleaje a lo largo del litoral catalán (ver Los datos visuales provienen de observaciones realizadas por barcos en ruta a lo largo de todas las costas del mundo (World Meteorological Office) y son obtenidos de forma sistemática desde los años 50 de forma que un observador recoge (entre otras) información sobre la altura de ola, periodo y dirección de dos estados de mar, el mar de viento (SEA) y el mar de fondo (SWELL). Un estado de mar de viento se corresponde con el oleaje formado por la acción directa y continuada del viento existente y se caracteriza por presentar una gran irregularidad (aunque no siempre). Por el contrario, el oleaje de tipo SWELL es aquel que ya ha abandonado el área de generación (zona de desarrollo del mar de viento) y se propaga a través de la superficie, el resultado es un estado de mar más homogéneo y con menor dispersión direccional. Una de las grandes ventajas de este tipo de datos es el gran número de observaciones existentes y la completa caracterización del suceso oleaje (definido por altura, periodo y dirección). Sin embargo la información visual suele ser sesgada, no quedando suficientemente bien representados los episodios de mayor contenido energético puesto que los buques tienden a evitar la acción de grandes temporales por el consiguiente peligro para la navegación. En el caso de la costa española, el litoral es segmentado en cuadrantes de º de latitud y longitud (ver Figura ) Finalmente, cuando no es posible encontrar información ni visual ni instrumental, o bien alguna de ellas se encuentra incompleta (no existe información sobre la direccionalidad o existen grandes lagunas entre registros), es posible reproducir el oleaje a partir de información meteorológica mediante el uso de modelos numéricos de predicción de oleaje. El problema de este tipo de datos es la necesidad de calibrar los modelos utilizados y el coste computacional que suponen. Sin embargo en la actualidad son cada vez más utilizados puesto que cubren de forma más detallada la práctica totalidad de nuestras costas y empiezan a conformar una base de datos de más de 3 años en algunos casos, además la información es hasta la fecha pública por lo que su acceso es directo a través de las siguientes direcciones a nivel de predicción autonómica y, (surfeando por ahí) a nivel estatal.

5 Figura. Mapa de datos visuales de la costa española en sectores de º x º. 3. OLEAJE A CORTO TÉRMINO O CARACTERIZACIÓN DEL OLEAJE IRREGULAR Cuando observamos el oleaje en un punto determinado de la costa vemos como en la mayoría de ocasiones se trata de un proceso irregular, es decir, las alturas de ola, periodos y direcciones no son siempre los mismos, presentando una cierta variabilidad. Sin embargo, cuando tratamos de caracterizar el fenómeno observado (mediante una estima visual por ejemplo) simplificamos el proceso asumiendo un único valor para cada una de las variables mencionadas. Supongamos que somos capaces de determinar con una gran resolución (boyas de oleaje) las variaciones de la superficie libre (η) durante un periodo de tiempo 3

6 suficientemente largo como para representar el oleaje que queremos analizar (a menudo 0 o 30 minutos), en este caso obtendríamos un registro temporal tal como el de la Figura 3, donde se observa como para ese periodo de tiempo existe un gran variación en alturas y periodos. 50 superficie libre(η) en cm tiempo en segundos Figura 3. Registro de la variación de la superficie libre del mar obtenido por una boya de oleaje. 3.. Descripción geométrico-estadística El problema que se plantea ahora es como definir de forma general el suceso altura de ola ( i ) y periodo (T i ). En el primer caso, i es definida como el máximo y mínimo existente entre dos pasos descendentes por cero, siendo el tiempo transcurrido entre ambos episodios (paso descendente) el periodo T i (ver Figura 4). Este criterio permite caracterizar el registro (0 minutos) mediante un conjunto de N alturas de ola i y periodos T i sobre el que se puede realizar un análisis estadístico de forma que el proceso quede caracterizado por un único valor. En este sentido los parámetros representativos del oleaje más utilizados serían: i) altura de ola significante s o /3, ii) altura de ola media cuadrática rms, iii) altura de ola máxima max, iv) periodo medio T z, v) periodo significante T s. La altura de ola significante ( s o /3 ) es la media aritmética del tercio de olas más altas del conjunto de N olas del registro. La altura de ola media cuadrática rms queda definida como rms = N i= N i 4

7 La altura de ola máxima max es la altura mayor del conjunto de N i. El periodo medio T z es el periodo promedio de los periodos definidos como pasos ascendentes por cero. El periodo significante T s es la media aritmética de los periodos asociados al tercio de olas más altas superficie libre(η) en cm i T i tiempo en segundos Figura 4. Definición de altura de ola y periodo en un registro de una boya de oleaje. Conocidas las características del fenómeno en los términos estadísticos mencionados puede resultar interesante definir cualquier altura de ola (dentro del conjunto de N olas) en términos de probabilidad, es decir la probabilidad existente en que un cierto valor de sea superado dentro del conjunto registrado (0 minutos por ejemplo). Para ello es necesario conocer el modelo de distribución de probabilidad del suceso i. En este sentido Longuet-iggins (95) asume que el oleaje es un proceso aleatorio y que las alturas de ola pueden ser explicadas mediante una distribución gausiana, demostrando que una función de tipo Rayleigh es la que mejor representa el fenómeno (originalmente definido en estados de alta energía). La función de tipo Rayleigh o función de densidad queda definida como p ) = ( ) ( ( rms rms e ) siendo p() la probabilidad de aparición del suceso. La integración de la función resulta en la función de distribución de probabilidad P(), es decir el porcentaje 5

8 de olas que presentan una altura de ola menor o igual a y viene dada por la expresión P ) = ( ) ( ) rms e d = ( rms ( e o rms ) Sin embargo desde un punto de vista ingenieril resulta más conveniente hablar en términos de probabilidad de excedencia (porcentaje de olas que tienen una altura de ola mayor que un cierto valor ) es decir ( rms q = P( ) = e ) o bien rms = ln( ) q = ln n siendo el valor de altura de ola con una probabilidad de excedencia q (parte rallada de la Figura 5). probabilidad de aparición p() q Figura 5. Función de densidad de tipo Rayleigh sobre las alturas de ola. En este caso los valores de q representan valores a partir de los cuales la altura de ola es excedida con una cierta probabilidad q, y no valores promedio como podría ser el caso de /3. Así, la altura de ola media de cualquier probabilidad queda expresada por la relación 6

9 n = q P( ) d q P( ) d obteniéndose que para la altura de ola significante = rms. 4 rms = 3 Una de las grandes ventajas de esta aproximación al problema es el hecho de poder determinar cualquier valor de q a partir de un valor conocido de rms. Así, operando con las expresiones se obtienen las relaciones de la Tabla. Así por ejemplo, el valor promedio del % de las olas más altas resulta.67 veces la altura de ola significante (nótese que el valor de n=00 representa la media de la población). Longuet-iggins obtiene además la siguiente expresión para la altura de ola máxima de un registro de N olas max = ln( N) siendo 33 la altura de ola significante. Tabla. Relaciones entre n y s para una distribución de tipo Rayleigh n n / s Descripción espectral asta ahora, la descripción del oleaje a sido realizada en el dominio del tiempo utilizando para ello una aproximación estadística al problema. El registro de las variaciones de la superficie libre del mar puede ser tratado de una forma 7

10 espectral, es decir, la señal observada (oleaje irregular) puede se descompuesta en un número de ondas sinusoidales (regulares o de frecuencia conocida) la suma de las cuales dan la señal original (ver Figura 6). Esta descomposición de frecuencias es realizada mediante el algoritmo de la transformada rápida de Fourier (Fast Fourier Transform, FFT). Figura 6. Espectro de energía del oleaje Un espectro de energía S(ω) (ω=π/t) representa pues la energía asociada a cada una de las frecuencias del oleaje (irregular) estudiado, pudiéndose distinguir extremos: i) espectros de oleaje de banda ancha y ii) espectros de oleaje de banda estrecha. Un espectro de banda estrecha se caracteriza por presentar un rango de frecuencias con contenido energético limitado y es característico de estados de mar desarrollados (fuera de la zona de generación del oleaje) como por ejemplo el oleaje de tipo SWELL. Por el contrario, el espectro de banda ancha presenta una gran variedad de frecuencias y se corresponde con estados de mar más irregulares típicos de estados de mar de tipo SEA o fetch limitado. De forma general el espectro de energía será indicativo del estado de mar observado pudiéndose obtener espectros bimodales indicativos de estados de mar de tipo SEA y SWELL existentes de forma simultánea. Una forma de calcular el ancho espectral es mediante la ecuación ε = N olas N max donde N olas representa el número total de olas evaluado en el espectro y N max el número de máximos. 8

11 Puesto que la función de densidad espectral (S(ω)) indica el reparto de energías para distintas frecuencias, su integral en todo el dominio (momento de orden 0) determina la energía total del oleaje observado E total = S( ω ) dω = m 0 0 Para el caso de un oleaje de tipo SWELL puro (espectro de banda estrecha) y, asumiendo una función de densidad de tipo Rayleigh para la distribución de probabilidades de altura de ola, se obtiene que la altura de ola significante viene dada por la expresión = = s rms 8m0 4 m0 m0 definiendo así una altura de ola significante espectral, solo válida para los estados de mar descritos aunque ampliamente utilizada en cualquier tipo de espectro (a mayor ancho espectral la relación deja de ser válida). Por otro lado, el espectro muestra un pico en las frecuencias ( f = ) en el que la T energía es mayor (ver Figura 6) denominado periodo de pico (T p ) que indica el periodo de los distintos oleajes asociado con mayor contenido energético. Durante los últimos años los métodos de medida de la superficie libre han sido mejorados pudiéndose obtener además la componente de direccionalidad (boyas de oleaje direccionales). Esta nueva variable, la dirección (θ) pude incorporase en el análisis espectral obteniéndose un espectro completo (S(ω,θ)). 4. DESCRIPCIÓN DEL OLEAJE A LARGO TÉRMINO El resultado final del análisis a corto término (sobre datos de boyas de oleaje) resulta en la caracterización del fenómeno (oleaje) en términos de altura de ola, periodo y dirección. Al extender estos resultados en el tiempo (años) se obtiene una serie temporal de oleaje o curva de estados de mar que no es más que el reflejo histórico de las acciones que han tenido lugar en un punto de la costa determinado (ver Figura 7). 9

12 s /4/84 /9/87 0/5/89 7//9 4/7/95 //98 tiempo (mm/dd/aa) Figura 7.Curva de estados de mar. Los datos visuales, por su naturaleza (estimas subjetivas tomadas cada 6 o horas) no permiten una representación continua del estado de mar existente. Sobre este registro histórico de datos puede resultar interesante conocer cual es la distribución del oleaje en condiciones medias (año medio) o bien determinar las características del oleaje en condiciones extremas. En el primer caso hablamos de una caracterización del oleaje a medio plazo, régimen del oleaje o clima medio, mientras que en el segundo hablamos de régimen de temporales o clima extremal. En ambos casos, el estudio se realiza de una forma estadística. 4.. Caracterización a medio plazo El objetivo principal de este análisis es reproducir el oleaje en las condiciones reinantes o más frecuentes puesto que su resultado va a ser imprescindible para los estudios de dinámica litoral, explotación de puertos y planificación de obras. Así, el transporte de sedimentos esta estrechamente relacionado con el oleaje incidente existente en una costa. En referencia a la explotación portuaria, es necesario conocer por ejemplo el tiempo (en término medio) que una bocana o muelle puede estar operativa/o para las operaciones de entrada o atraque. Finalmente, la construcción de cualquier obra marítima se realizará en aquellos momentos del año en el que las condiciones de agitación sean las más favorables. El estudio estadístico a medio plazo se efectúa a través de: i) regímenes medios (escalares o direccionales), ii) rosas de oleaje (distribución direccional de alturas) y iii) tablas de contingencia (relaciones entre alturas de ola y periodos). 0

13 4.. Clima de oleaje En el régimen medio del oleaje se realiza un estudio de probabilidad de que un determinado valor de altura de ola no sea superado (no excedencia) en un periodo de tiempo igual a un año medio. Se trata pues de buscar una función de distribución estadística que determine el tiempo en el que en un año medio una altura de ola no exceda un valor. Las funciones de distribución de probabilidad de no excedencia más utilizadas son: x ln x A función Lognormal: F( x) = exp dx B π x B 0 función Exponencial: F( x) = exp[ B( x A) ] función Weibull: c x A F( x) = exp B donde x es el valor de la variable y A, B y C los parámetros de posición, escala y forma de la función. El cálculo del clima de oleaje va a depender del tipo de datos disponible, aunque evidentemente deberá ser el máximo posible para poder representar correctamente el fenómeno. En el caso de partir de datos de boyas de oleaje (instrumental), es decir a partir de la información de una curva de estados de mar, el periodo mínimo deberá ser de año con un nivel de valores válidos superior al 75% (74 días). A partir de estos datos se determina el tiempo de no excedencia de las alturas a intervalos de 0.5 m o 0.5 m (ver Figura 8) de forma que la probabilidad del suceso es simplemente P( i < ) = o T t total o donde para el caso de la Figura 8 o representa el umbral de m.

14 s t t t 3 t 4 5/4/84 5/7/84 5/0/84 5/3/84 5/6/84 5/9/84 5//84 tiempo (mm/dd/aa) Figura 8. Determinación de los tiempos de no excedencia para el umbral de m a partir de una curva de estados de mar. Si por el contrario se parte de una información visual la asignación de probabilidades debe realizarse a partir de un histograma acumulado de alturas de ola (la representación en el tiempo del fenómeno no es una función continua) a incrementos de 0.5 m (discretización de alturas original), es decir la probabilidad de no excedencia resulta tal y como la Tabla. En este caso se recomienda que la marca de clase escogida (semisuma de los intervalos del rango) coincida con los valores medidos. Tabla. Cálculo del clima de oleaje a partir de información visual intervalo No. Observaciones P no excdencia /Ntotal obs ( )/Ntotal obs ( )/Ntotal obs ( )/Ntotal obs ay que recordar que la información visual viene desglosada en tipos distintos de estados de mar: SEA y SWELL por lo que se recomienda reducir ambos tipos de datos a un único valor (Darbyshire y Drapper, 963) de forma que = max( ; ) siθ θ = SEA SEA + SWELL SWELL SEA SWELL < 45º en los demás casos en caso de no disponer de forma simultánea de ambos estados de mar, faltas de registro o fuentes de datos resumidas (es decir no se tenga la información original

15 sino que se disponga de información ya depurada), se recomienda calcular el producto de las probabilidades de ambos, puesto que son sucesos independientes y no excluyentes. Una vez determinada la muestra o conjunto de datos (altura de ola y probabilidad de no excedencia) el siguiente paso es determinar los parámetros de posición, escala y forma de la función de distribución elegida (factores A, B y C). No existe una norma sobre cual es la función que mejor ajuste a este tipo de datos, debiéndose realizar el análisis para todas ellas y quedarse finalmente con la que presente un mejor resultado. Sin embargo se conoce que no todas ellas explican de forma óptima y por igual todo el rango de probabilidades. La función lognormal presenta un buen ajuste en la zona media. La función exponencial muestra (para el litoral español) un buen ajuste en la zona medio-alta y menor en la zona baja. La función Weibull al ser tri-paramétrica debería presentar unos mejores ajustes aunque esto no es exactamente cierto, puesto que la función no queda definida para valores del suceso inferiores al parámetro A (restricción) y un mejor ajuste de A (aún en la banda de validez de la función) no representan obligatoriamente mejoras en su parte central o alta (que es a priori la zona de interés del ajuste). Dada esta indeterminación es muy común en este tipo de análisis convertir la función en biparamétrica dando a A un valor igual a 0. Existen 3 formas de determinar los parámetros A, B y C: i) método de los momentos muestrales, en el que los valores pueden ser determinados a partir de un determinado número de momentos de la muestra como la media, varianza o momentos superiores, ii) método de la máxima verosimilitud en el que se pretende encontrar valores de A, B y C de forma que la probabilidad de encontrar el valor muestral sea máxima y iii) método gráfico en el que se pretende ajustar las funciones (mediante el uso de variables reducidas) por mínimos cuadrados. Indistintamente de la aproximación utilizada para su cálculo el resultado final es uno tal y como el de la Figura 9, donde se presenta la función de distribución de probabilidad de no excedencia para el suceso altura de ola. Supongamos que se pretende evaluar el tiempo en el que una bocana de un determinado puerto deportivo puede estar operativa (días al año) de forma promedio, siendo el umbral máximo de agitación permitido de 3 m. La respuesta a esta pregunta pasa por conocer el clima de oleaje de la zona (Figura 9) y en este caso el resultado obtenido es de una operatividad del 98% del tiempo (358 días). 3

16 5 4 s (m) Probabilidad Figura 9. Clima medio de oleaje. En el ejemplo se ha asumido que el clima de oleaje queda definido a pie de obra, este aspecto en muchas ocasiones no será cierto, estando definido el oleaje en condiciones de aguas profundas, por lo que deberá refractarse hasta el punto de interés. Nótese que en este caso, la determinación inicial en aguas profundas de 3 m puede no ser una elección correcta puesto que se deberán considerar los efectos de posible mayoración de la altura que puedan existir en la propagación del oleaje hasta pie de obra. asta ahora la aproximación al cálculo ha sido meramente escalar, sin embargo el disponer de información direccional mejora en las estimas del suceso puesto que se incorporan en el cálculo aquellas direcciones que resulten de interés para el problema (direcciones efectivas). En este caso la forma de operar es muy similar a lo ya descrito aunque el análisis se realiza para cada sector, es decir P( i / sector) mientras que la probabilidad absoluta del suceso i viene condicionada por la aparición del sector en lo que resulta P( ;sector) = P( / sector) * P(sector) i i 4.. Rosas de oleaje Una forma muy interesante de presentar la información histórica de los registros de oleaje (tanto visuales como instrumentales) es mediante el uso de rosas de oleaje en los que se presenta la intensidad y frecuencia de aparición de la altura de 4

17 ola respecto a su dirección. Se debe recordar que el oleaje (al igual que el viento) queda definido por la dirección de donde vienen. En la Figura 0 se muestra, a modo de ejemplo, una rosa de oleaje en la que se observan 3 direcciones de oleaje características, siendo las alturas de ola más representadas las inferiores a m. escala de alturas (m) 0 m m m 3 m escala de frecuencias (%) 0 % 0 % No. Total Observaciones = 54 Figura 0. Ejemplo de rosa de oleaje. En una rosa de oleaje el ancho de cada elemento indica la altura de ola, mientras que su longitud la frecuencia con a que aparece, motivo por el cual este tipo de gráficas deben ir acompañadas por las respectivas relaciones de escala. En cuanto a las direcciones, lo más común es dividir el oleaje en sectores de.5º (6 direcciones) centrados en el norte. La utilidad práctica de este tipo de información reside en el grado de síntesis conseguido, obteniendo una idea rápida del tipo de oleaje existente (intensidad y frecuencia de aparición) y las direcciones de oleaje que a priori son relevantes (direcciones efectivas) en el estudio marítimo que nos ocupe Tablas de contingencia asta ahora el oleaje ha sido caracterizado mediante su altura de ola y dirección, sin embargo la completa determinación del fenómeno pasa inevitablemente por conocer el periodo asociado, puesto que interviene de forma fundamental en el proceso de la propagación del oleaje (Nota: recordar que en la mayoría de 5

18 ocasiones las características del oleaje están dadas en condiciones de aguas profundas debiéndose trasladar el oleaje a pie de obra). La aproximación más común para la definición del periodo asociado a un determinado oleaje es mediante el uso de las tablas de altura de ola y Periodo (/T) y que suelen ser representadas de forma gráfica. Las tablas cruzadas de altura de ola y periodo suelen ser de aplicación cuando se trata de resumir (para cada sector) la información visual sin embargo al contemplar (aunque de forma discreta) un gran número de combinaciones de alturas de ola, periodos y direcciones no sintetizan el oleaje analizado. Por ello a menudo se suele utilizar una altura de ola característica para cada periodo y dirección. Una forma de realizar este análisis es mediante la altura de ola morfológica mor de forma que mor = p i f i f i p siendo i las distintas alturas dentro de una marca de clase de periodos para una dirección y f i su frecuencia de observación asociada y P un parámetro especificado que según el CERC (USACE, 984) toma un valor de para aguas profundas y.5 para aguas someras (derivado a partir del flujo de energía del oleaje). 4.. Caracterización extremal En este caso el análisis se centra en la caracterización de los eventos extremos o temporales para la zona de estudio, es decir un subconjunto de datos dentro del total de los registros visuales o de la curva de estados de mar. El objetivo principal del análisis es poder determinar las acciones de diseño a soportar por una obra marítima determinada en función del riesgo asignado y su vida útil y que hasta la fecha se encuentran definidos en la ROM El clima extremal también es utilizado para determinar las acciones máximas a soportar durantes las distintas fases de ejecución de una obra y que por supuesto son menores que las acciones de servicio de la obra. Es una practica habitual el asegurar obras de gran valor económico durante la fase de ejecución puesto que resulta casi inevitable que ciertos tramos queden expuestos a la acción de temporales antes de poder ser finalizados produciéndose la destrucción del tramo y el retraso consiguiente en la finalización de la obra. Los métodos más utilizados en el análisis extremal del oleaje pueden clasificarse en grupos según la información que utilizan: 6

19 . Método de la muestra total: propuesto por Draper (963) revisado por Goda (979) y modificado por Medina y Aguilar (986). Inicialmente definido cuando de lo que se dispone es de pocos años de medida. El método parte de toda la información de oleaje (altura de ola) registrada en un periodo determinado y se apoya en la función de distribución de probabilidad de no excedencia de un año climático medio (régimen medio). Existen distintas aproximaciones en función del tipo de datos de partida (visual o instriumental). Así, si de lo que se dispone es de información instrumental se hace uso de la siguiente expresión Φ ( s ) = n( s) [ F( s) ] siendo Φ la ecuación extremal, F(hs) el régimen medio del oleaje y n(s) el número de pruebas estadísticas en un año medio y definido como Tn n ( s) = t( s) donde T es la duración real del año climático considerado t(s) es el tiempo total en que se supera un cierto valor de s y n es el número de veces que se excede ese valor.. Método de los valores de pico: es el más utilizado aunque requiere un conjunto de datos mucho mayor puesto que parte de valores máximos registrados en un periodo de tiempo determinado, que puede ser de un año o bien el máximo de una acción de temporal. Se diferencian por tanto dos grandes grupos: a. Método de los máximos anuales b. Método de la serie de duraciones parciales o método de los valores de pico (POT, Peak Over Threshold). De ahora en adelante nos centraremos en estos dos últimos métodos (máximos anuales y POT) por ser los más utilizados en la ingeniería marítima, por lo que se requiere definir las poblaciones de temporal de partida. 4.. Definición del suceso extremo Como se ha visto el régimen extremal requiere de la definición de un suceso extremo, o lo que es lo mismo un estado de oleaje con un cierto contenido energético y por tanto que se caracteriza por un cierto valor de altura de ola, por lo general altura de ola siginificante s. No existe un criterio universal que identifique para cualquier mar (geográfico) lo que puede ser considerado como temporal de olas, sin embargo se aceptan como válidos una serie de criterios para poder definirlos: 7

20 . los eventos extremos seleccionados deben ser independientes es decir la población de temporales no deben pertenecer a un mismo evento (ver Figura ). Ello pasa por determinar la duración de un temporal de forma genérica para la zona de estudio. A menudo un temporal de la costa catalana tiene una duración de unas a 8 horas s (m) evento evento evento 3 evento horas Figura. Caracterización de temporales a partir de una CEM.. Todos los eventos extremos deben corresponder a situaciones climatológicas similares. Por ejemplo no deberían mezclarse episodios de temporal producidos por un maremoto con aquellos generados por la acción continuada de un viento intenso (lo más común). 3. Debe cumplirse la condición de estacionalidad, es decir, el clima de oleaje observado de la zona no se encuentra afectado por tendencias (positivas o negativas) producidas por cambios climáticos (efecto invernadero que modifica los regímenes de viento). En la actualidad parece demostrado que esta condición no se cumple cuando nos encontramos en escalas de tiempo grandes, aunque sin embargo las variaciones observadas en las tendencias o bien cubren periodos de tiempo relativamente cortos (en el mar del Norte se ha observado un aumento de los valores medios de altura de ola en los últimos 0 años) o bien no representan cambios significativos. Una vez atendidas estas dos grandes premisas la definición de el suceso altura de ola como temporal de oleaje puede seguir grandes aproximaciones:. Máximo anual: Se determina el valor máximo de altura de ola para intervalos de año. 8

21 . Se define un valor mínimo o umbral (threshold) a partir del cual y siguiendo con las recomendaciones antes mencionadas se construye un subconjunto de datos de temporales. En este sentido la ROM 03.9 define para los distintos sectores de la costa española los valores mínimos a considerar como situaciones de temporal (ver Figura ). Figura. Valores mínimos de temporal según la ROM

22 4.. Funciones de distribución de probabilidad Una vez definido el conjunto de datos de lo que se trata es de ajustar una función de distribución de probabilidad de no excedencia sobre el conjunto de datos seleccionados. No existe una única función por lo que el análisis debe ser realizado sobre un conjunto de ellas quedándose el ingeniero con aquella que mejor represente los datos. De entre la gran variedad de funciones disponibles las más utilizadas son las que se muestran en la Figura 3. Distribución Función de Distribución Función de densidad Campo de definición x A B x Lognormal lnx A lnx A >0 - >0 exp dx B π exp x B xb π B Exponencial [ ] A - >0 exp [ Bx ( A) ] Bexp B( x A) Weibull 0 C x A exp B A x A exp exp A >Xmi n Gumbel(A. I) B B B B - - >0 C x exp Frechet(A. II) B B x x 0 - >0 C C C x A x A exp B A B A B A x A x A exp exp C+ C C B B exp >A Figura 3. Funciones de distribución de probabilidad para el análisis extremal. donde X representa el evento altura de ola ( s, /0 o max, según los datos de origen), x representa el valor del suceso y por tanto F equivale a la función de probabilidad de no excedencia, siendo A, B y k los parámetros de posición, escala y forma (a ajustar) y φ la distribución típica normal de la función. Liu y Burchart (999) proponen el uso de las funciones Gumbell (Asintoya I) y Weibull como aquellas que presentan los mejores ajustes. Como ya se ha mencionado en el apartado de régimen medio, la función Weibull resulta en lla determinación de 3 parámetros, en aquel caso este inconveniente se resolvía convirtiendo la función en biparámetrica (A=0), en el caso que nos ocupa, el problema se resuelve dando valores al parámetro C y que usualmente se corresponden con C=0.75, C=.0, C=.4 y C= Métodos de Ajuste de las funciones de distribución de probabilidad 0

23 Al igual que en el régimen medio del oleaje la determinación de los valores de las funciones puede realizarse según tres aproximaciones:. método de los momentos muestrales, en el que los valores pueden ser determinados a partir de un determinado número de momentos de la muestra como la media, varianza o momentos superiores. método de la máxima verosimilitud en el que se pretende encontrar valores de A, B y C de forma que la probabilidad de encontrar el valor muestral sea máxima. 3. método gráfico en el que se pretende ajustar las funciones (mediante el uso de variables reducidas) por mínimos cuadrados. Nosotros nos centraremos en esta última aproximación, es decir, el método de los mínimos cuadrados, lo que obliga a asignar un valor de probabilidad de no excedencia o posición de dibujo (en un gráfico F(s) vs s) La frecuencia de punteo Existen 3 grandes métodos para determinar la probabilidad de no excedencia del suceso extremo (Burchart, 994):. basados en la frecuencia de muestreo.. basados en la distribución de frecuencias. 3. basados en momentos estadísticos de la muestra. Probabilidad de no excedencia basada en la frecuencia de la muestra También llamada posición de punteo de California se basa exclusivamente en la frecuencia acumulada de la muestra y definiendo la probabilidad de no excedenia como i F ( s) = ; i =,,..., n N donde F(s) es la probabilidad de no excedencia de un suceso dado es decir F s) = P( s s ) ( i i representa el orden en el que se encuentra el suceso s ordenados de forma descendiente y N el tamaño de la muestra.

24 Ilustremos esto con un ejemplo: supongamos que partimos de una curva de estaos de mar (CEM) a partir de la cual y siguiendo las premisas expuestas hasta ahora hemos sido capaces de identificar una serie de temporales (aplicando la definición de suceso extremo) tal y como se expresa en la Figura, es decir, evento =3.5m, evento =4m, evento 3 =3m y evento 4 =m y por lo tanto nuestro tamaño de la muestra (N) es igual a 4 (Nótese lo absurdo del ejemplo puesto que el mínimo requerido para tener un cierto grado de representatividad estadística debería ser superior a 0 temporales, pero como ejemplo vale). La forma de operar sería:. Ordenar de mayor a menor los eventos registrados (descendiente).. Asignar un número de orden (i) de forma creciente a cada uno de ellos. 3. Determinar la posición de dibujo tal y como se ha visto. por lo que el resultado final sería como el de la Tabla 3. Como puede apreciarse esta forma de asignación de probabilidades deriva en la pérdida del último suceso extremo al que se la asigna una probabilidad nula por lo que no es muy utilizada. Tabla 3. Posición de dibujo según la frecuencia de muestreo s (m) i F(s) Probabilidad de no excedencia basada en la distribución de frecuencias Partiendo de que s es una variable aleatoria con función de distribución de probabilidad F(s), se asume que el valor s i, que ocupa la posición i en una muestra de N datos, es también una variable aleatoria. En consecuencia, su función de distribución o probabilidad de no excedencia P es también una variable aleatoria. La filosofía de este método consiste en determinar la frecuencia de muestreo correspondiente a i a través de la media, mediana o moda de la variable aleatoria P i distribución elegida.. Esta frecuencia de punteo es independiente de la función de i Weibull (939) determina la frecuencia de punteo (probabilidad de no excedencia) a partir de la media de F(s) como i F ( s) == ; i =,,..., n N + siendo la aproximación más utilizada en el método de los máximos anuales.

25 Aunque no existe una forma explicita para la aproximación de la mediana, Bernard (943) demostró que una buena aproximación era i 0.3 F ( s) ; i =,,..., n N Probabilidad de no excedencia basada en momentos estadísticos En este caso se determina la probabilidad de no excedencia del suceso s i a partir de la media, mediana y moda de la variable s y por tanto pasa por considerar a esta como una variable aleatoria. Sin embargo, en este caso las frecuencias de punteo si son dependientes de la función escogida y no presentan una ecuación explicita. Las mejores aproximaciones conocidas a partir de la media son: Blom F( s) = 3 i 8 N + 4 Normal Gringorten i 0.44 F( s) = N + 0. Gumbel Petrauskas 0.8 i 0.3 F( s) = c 0.3 N c Weibull Goda 0.7 i 0. F( s) = c 0.3 N c Weibull y que suelen ser utilizadas cuando el régimen extremal se realiza a partir del método POT (series parciales) La variable reducida de la función Una vez determinada la población de temporales y asignada su probabilidad de no excedencia (posición de dibujo) el siguiente paso es determinar los coeficientes de la función de distribución de probabilidad de no excedencia escogida (A, B, C, posición, escala y forma). Puesto que no existe una única función el análisis debe 3

26 realizarse sobre un grupo de ellas (ver Figura 3) y quedarse con la que presente un mejor ajuste. Por tanto de lo que se trata ahora es de realizar mínimos cuadrados sobre cada una de las función de probabilidad. La forma más simple de abordar el problema es trabajar sobre la variable reducida de la función deforma que lo que se ajusta en realidad es una recta de la forma y = ax + b Recordar que la función Weibull depende de tres parámetros A, B y C por lo que o bien se resuelve la función en su forma completa o bien (lo más usual) se resuelve la función fijándola constante C como C=0.75, C=.0, C=.4 y C=.0. La función de distribución lognormal La función presenta la siguiente forma F( x) = B π x 0 e x ln x A B dx se define la variable reducida como haciendo el cambio x A y = ln B t = ln x y substituyendo en la ecuación anterior obtenemos y = t A B por lo que la probabilidad asociada queda como F( x) = π x e y dy es decir la función de distribución se convierte en una recta con el sistema cartesiano de la Figura 4. 4

27 t y (variable reducida) Figura 4. Sistema cartesiano para la función lognormal La función de distribución exponencial La función presenta la siguiente forma F( x) = e B ( x A) tomando la variable reducida correspondiente y = B( x A) por lo que la función de distribución queda como F( x) = e y y convirtiéndolo a una recta y = ln( F( x)) es decir la función de distribución se convierte en una recta con el sistema cartesiano de la Figura 5. 5

28 x y (variable reducida) y=-ln[-f(x)] Figura 5 Sistema cartesiano para la función exponencial La función de distribución Weibull La función presenta la siguiente forma F( x) = e x A B A C x A se define la variable reducida como haciendo el cambio y = x B A A C x' = x A y substituyendo en la ecuación anterior obtenemos tomando logaritmos y = x' B A C ln y = C ln x C ln ( B A) haciendo los cambios z = ln y t = ln x' 6

29 se llega a la expresión z = Ct C ln ( B A) puesto que z y = e entonces la función de distribución F( x) = e y y por tanto z = ln y = ln [ ln( F( x) )] es decir la función de distribución se convierte en una recta con el sistema cartesiano de la Figura 6. t y (variable reducida) y=ln[-ln(-f(x))] Figura 6 Sistema cartesiano para la función Weibull. La función de distribución Gumbell La función presenta la siguiente forma F ( x) = e e x A B se define la variable reducida como 7

30 y = x A B la probabilidad asociada a la variable reducida es F( x) = e e y y por tanto y = ln [ ln( F( x) )] es decir la función de distribución se convierte en una recta con el sistema cartesiano de la Figura 7. x y (variable reducida) y=-ln[-ln(f(x))] Figura 7 Sistema cartesiano para la función Gumbell La función de distribución Fréchet (Asintota II) La función presenta la siguiente forma F( x) = e e C B x se define la variable reducida como B y = x C tomando logaritmos tenemos 8

31 ln y = C ln B C ln x y realizando el cambio de variable ln y = z ln x = t z = Ct C ln B por lo que la función toma la siguiente expresión y e z = F( x) = e y y por tanto z = ln ln [ ( F( x) )] es decir la función de distribución se convierte en una recta con el sistema cartesiano de la Figura 8. t y (variable reducida) y=-ln[-ln(f(x))] Figura 8 Sistema cartesiano para la función Frechet El Periodo de retorno y la altura de ola de diseño Se define el periodo de retorno de un suceso extremo como el tiempo promedio en años que debe ocurrir entre dos temporales cuya intensidad excede un determinado valor de altura de ola. 9

32 Puesto que el régimen extremal proporciona la distribución de probabilidades de excedencia de los sucesos extremos ambos (periodo de retorno y función de distribución) se encuentran relacionados, siendo muy común representar el régimen extremal no sólo con respecto la variable reducida o la probabilidad de no excedencia sino también con respecto al periodo de retorno del suceso. La relación entre periodo de retorno Tr y probabilidad de no excedencia F(s) viene dada por la siguiente ecuación Tr = ( F( s) )λ donde λ es el número de temporales medio al año y por tanto definido como λ = siendo Nt el número de temporales y N el número de años que cubre la muestra. Nótese que para el caso de partir de un régimen extremal de máximos anuales λ toma un valor de. Nt N El uso más directo del concepto de periodo de retorno lo encontramos al tener que elegir una acción de diseño (oleaje) al que debe ser resistente una determinada estructura marítima. Una primera aproximación al problema de seleccionar este valor de Tr sería hacerlo equivalente a la vida útil (L) que tiene asociada la obra (definida en la ROM 0.90), sin embargo, si determinamos la probabilidad de no excedencia de un determinado valor de s en los Nt temporales registrados en los N años = Nt e Nt [ F( s )] = 36.89% i observamos que existe una probabilidad muy elevada de que el suceso ocurra con el consecuente riesgo que ello supone para la obra. Borgman (963) propone el uso del concepto de riesgo para determinar las acciones de cálculo definido como la probabilidad de que por lo menos una vez exista un temporal mayor durante los L años de vida útil del proyecto L E = F( s) Nt substituyendo valores tenemos que E = Tr L 30

33 Este es el criterio escogida en la ROM 0.90 (ver Figura 9, Figura 0 y Figura ), donde definidos unos valores de riesgo admisible y vida útil de la obra se obtiene la acción de oleaje de temporal que tiene asociada un determinado periodo de retorno. Figura 9. Riesgos admisibles para obras de ingeniería marítima según ROM

34 Figura 0 Vida útil admisible para obras de ingeniería marítima según ROM Figura Riesgos admisibles en fase de construcción para obras de ingeniería marítima según ROM

35 Al seguir la metodología propuesta hasta ahora (y que se contempla en la ROM 0.90 y 03.9) nos damos cuenta que el valor de temporal escogido se corresponde con el de la función que mejor ajusta a nuestros datos. Sin embargo esto nos plantea varias incógnitas. En primer lugar debemos determinar la bondad del ajuste obtenido y segundo, a menudo nos encontramos en la parte alta de la distribución y en muchos de casos en condiciones de no-excedencia (altos periodos de retorno) elevados por lo que nos vemos obligados a extrapolar nuestros resultados. En este sentido una buena regla práctica sobre la fiabilidad de nuestra predicción extremal es que solo son fiables aquellos sucesos de altura de ola cuyo periodo de retorno asociado es del orden de 3 veces (como máximo) el tiempo cubierto por la población muestral de partida. Por ejemplo, si partimos de una serie de eventos extremos que cubren un periodo de 0 años en principio nuestras estimas serán fiables siempre que los periodos de retorno asociados a los sucesos no superen los 30 años. Como puede verse resulta necesario definir los criterios de bondad de los ajustes así como las fuentes de incertidumbre e intervalos de confianza de las funciones ajustadas Bondad de los ajustes Como ya se ha mencionado del grupo de funciones candidatas debe escogerse la que mejor ajuste. Es muy común utilizar el coeficiente de correlación lineal (r de Pearson) ρ = Cov( x, y) Var( x) Var( y) sin embargo ρ es definido en el domino lineal (y,x) donde la variable reducida y es dependiente de la función de distribución por lo que la interpretación de este criterio es menos evidente. Otra forma de evaluar la bondad del ajuste es mediante la estima del error E, obtenido por la función, es decir, las diferencias entre los valore medidos de altura y valores estimados por la función, en cualquiera de sus modalidades. Obviamente en este apartado pueden incluirse además todo tipo de pruebas estadísticas utilizadas para determinar la bondad de las funciones (una revisión puede verse en Goda et al. 990) Fuentes de incertidumbre y intervalos de confianza La definición de una altura de ola de diseño lleva asociada una serie de incertidumbres básicamente debidas a: 33

36 . Variabilidad de la muestra debido a una serie reducida de datos de partida.. Errores en la medida debidos al tipo de datos de origen (visuales o de predicción). 3. Elección de una función de distribución como representativa de un comportamiento a largo plazo desconocido. 4. Variabilidad de los algoritmos de cálculo. Elección del umbral de partida o tipo de ajuste realizado a la función. 5. Cambios climatológicos que invalidan las condiciones iniciales de definición del suceso extremo. Según la ROM 0.90 el proyectista deberá determinar la acción de diseño a la banda de confianza del 90% salvo justificación. Existen distintas formas de determinar las bandas de confianza de una función, pero una de las más usadas (por simplicidad) es la propuesta por Goda (988). Para ello es necesario definir la desviación típica normalizada como [.0 + a( y lnυ) ] σ nor = r c + ε N donde σ nor es la desviación típica de una altura de ola con un periodo de retorno r, N es el número de datos de altura de ola, y a resulta a = a e a N.3+ k lnυ donde a, a, C, k y ε son coeficientes empíricos (ver Tabla 4) y ν es el parámetro censor definido como υ = siendo Nt el número de temporales sobre el umbral inicial, siendo yr la variable reducida definida para las funciones Fisher-Tippet tipo I y Weibull como N Nt y y r r = lm ln FT I λtr = [ lnλtr] k Weibull donde Tr es el periodo de retorno (en años), K la longitud del registro (en años) y λ es el número de temporales medio al año. 34

37 Finalmente, el valor absoluto de la desviación típica para un suceso queda definido como σ = σ siendo σ s la desviación típica de las alturas de ola etremales. r nor σ s Tabla 4 Coeficientes empíricos a, a, C, k y ε para el cálculo de los intervalos de confianza según Goda (988). Los intervalos de confianza son calculados asumiendo que la altura de ola significante de cualquier periodo de retorno se encuentra nomalmente distriubuida sobre la función de distribución de probabilidad escogida (ver Tabla 5). Tabla 5. Bandas de confianza para alturas de ola extremales El Método de los máximos anuales Este apartado pretende ser una recopilación de todo lo visto hasta ahora por lo que debe ser entendido como guía para elaborar un régimen extremal de oleaje mediante los máximos anuales y aplicando mínimos cuadrados para determinar los coeficientes de las funciones a ajustar. Por ello nada mejor que un ejemplo. 35

38 Supongamos que partimos de un conjunto de observaciones visuales (previamente reducidas a un único valor de s) que cubre un periodo de 0 años tal y como el de la Tabla 6. Tabla 6. Alturas de ola máximas para el periodo de 980 a 999. año s (m) Los pasos a seguir para determinar el cálculo son:. Ordenar por orden decreciente (de mayor a menor) los registros de s asignándoles un número de orden i de forma creciente.. Determinar la probabilidad de no excedencia del suceso s según el orden que ocupen mediante la ecuación i F ( s) == ; i =,,..., n N + donde i es el número de orden que ocupa el suceso y N equivale al número de años registrados que en nuestro caso es igual a 0 (ver Tabla 7). Tabla 7. Probabilidades de no excedencia máximos anuales. 36

39 año s (m) i F(s) Ajustar a las distintas funciones de probabilidad. En ejemplo escogemos la función Gumbell. 4. Para el caso de la función Gumbel tenemos que F( s) = e t = F( s) = e t = ln y = B x A B e e x A B t [ ln( F( s) )] ( ln[ ln( F( s) )]) + A siendo el eje de ordenadas la variable s. Por tanto, la recta a minimizar resulta sobre la de datos de la Tabla 8 y los resultados del ajuste de la función pueden verse en la Figura. En los que el parámetro A=7.04 y B=0.73 siendo R =

40 Tabla 8. Variable reducida de la función Gumbell. año s (m) i F(s) y (reducida) s (m) Fit Results Fit : Linear Equation Y = * X Number of data points used = 0 Residual sum of squares = 0.5 Regression sum of squares =.89 Coef of determination, R-squared = Residual mean square, sigma-hat-sq'd = variable reducida Figura. Ajuste a una función Gumbell Los coeficientes de direccionalidad 38