XII. Uso de la Estimación de la Distribución de Probabilidad para Muestras Pequeñas y de la Simulación en la Inferencia de Carteras de Seguros.

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1 Uso de la Estmacón de la Dstrbucón de Probabldad para Muestras Pequeñas y de la Smulacón en la Inferenca de Carteras de Seguros. Trabajo presentado para el XII Premo de Investgacón sobre Seguros y Fanzas 005, Mtro. Juan Carlos Vargas Agular Jaguar XII Premo de Investgacón sobre Seguros y Fanzas 005 Tercer Lugar Categoría de Seguros

2 ÍNDICE RESEÑA INTRODUCCIÓN 3 CAPÍTULO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. 5. Estadístca Descrptva e Inferenca Estadístca 5. Poblacón y Muestra 5.3 Tpo de Datos 6.4 Dstrbucón de Frecuencas 6.4. Tabla de Dstrbucón de Frecuencas 6.4. Intervalos de Clase Límtes Nomnales de Clase Fronteras de Clase Longtud de la Clase (c) Marca de Clase (x ) Frecuenca (f ) Frecuenca Acumulada (F ) Frecuenca Relatva (f *) Frecuenca Relatva Acumulada (F *) 9.5 Descrpcón Grafca de los Datos 9.5. Hstograma de Frecuencas 9.5. Polígono de Frecuencas Curvas de Frecuencas Ojva 9.6 Meddas Numércas Descrptvas 0.6. Meddas de Tendenca Central Meda Artmétca Medana.6..3 Moda.6. Meddas de Varabldad.6.. Rango.6.. Varanza.6..3 Desvacón Estándar Coefcente de Varacón (CV)

3 .7 Ejemplo de Estadístca Descrptva. CAPÍTULO DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 7. Defncones Báscas de Probabldad 7.. Defncón Clásca de Probabldad 7.. Defncón Empírca de Probabldad 8..3 Defncón Subjetva de Probabldad 8. Desarrollo Axomátco de la Probabldad 8.3 El Concepto de Varable Aleatora 3.4 Dstrbucones de Probabldad de Varables Aleatoras Dscretas 4.5 Dstrbucones de Probabldad de Varables Aleatoras Contnuas 5.6 Valor Medo y Varanza de Dstrbucón 7.6. Valor Medo de una Dstrbucón 7.6. Varanza de una Dstrbucón. 7.7 Algunas Dstrbucones de Probabldad 8.7. Dstrbucones Dscretas Dstrbucón Bnomal Dstrbucón de Posson Dstrbucón Hpergeométrca Dstrbucones Contnuas Dstrbucón Normal Dstrbucón Unforme Dstrbucón Gama Dstrbucón de Webull Dstrbucón Exponencal Negatva Dstrbucón Beta 38 CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA DATOS EMPÍRICOS Y LA DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA Estmacón de la Dstrbucón de Probabldad para Datos Empírcos Representacón de la Dstrbucón de Probabldad de los Datos Empírcos Método del Rango Medano para la Estmacón de la Dstrbucón de Probabldad para Muestras Pequeñas Método de Frecuencas Relevantes para la Estmacón de la

4 Dstrbucón de Probabldad Seleccón de la Dstrbucón de Probabldad Teórca Método de los Momentos para la Estmacón de Parámetros de una Dstrbucón de Probabldad Introduccón a las Pruebas de Hpótess Estadístcas Pruebas de Bondad de Ajuste Prueba de Bondad de Ajuste Ch Cuadrado Prueba de Bondad de Ajuste de Kolmogorov Determnacón del Tamaño de Muestra Determnacón del Tamaño de Muestra Requerdo para la Estmacón de la Meda Determnacón del Tamaño de Muestra Requerdo para la Estmacón de la Proporcón 53 CAPÍTULO 4 SIMULACIÓN Teoría General de Sstemas El Sstema y Otros Conceptos Relaconados con éste Smulacón Etapas de un Estudo de Smulacón Ejemplo de Smulacón Método Congruencal Mxto para la Generacón de Números Aleatoros con Dstrbucón Unforme en el Intervalo (0,) Método de la Transformada Inversa para la Generacón de Varables Aleatoras No Unformes Notacón Utlzada en Teoría de Colas 6 CAPÍTULO 5 CASO PRÁCTICO: DETERMINACIÓN DE LAS CUOTAS DE TARIFA PARA EL SEGURO DE RESPONSABILIDAD CIVIL AGENTES DE SEGUROS (PERSONAS FÍSICAS) 64. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL PLAN 67. Nombre Comercal del Plan 67. Descrpcón de la Cobertura Básca 67.3 Temporaldad del Plan 68.4 Operacón y Ramo en el que se Regstrará 68 Capítulo con numeracón especal.

5 . HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS Y FINANCIERAS 68. Hpótess Estadístcas 68. Hpótess Fnanceras 69.. Utldad Técnca 69. PROCEDIMIENTOS TÉCNICOS 69. Gastos de Admnstracón 69. Gastos de Adquscón 69.3 Gastos Totales 69.4 Procedmentos para la Generacón de Datos Medante Smulacón Estocástca Defncón del Sstema Análss de Datos Estmar la Dstrbucón de Probabldad del Volumen de Prma Intermedada por Agente Estmar la Dstrbucón de Probabldad Empírca de los Snestros Utlzando el Método del Rango Medano para Muestras Pequeñas Determnar las Probabldades de Snestro para Dferentes Montos de Prma Intermedada Formulacón del Modelo Implementar el Modelo en la Computadora Expermentacón Determnar el Tamaño de Muestra Generacón de Carteras del Seguro de Responsabldad Cvl Agentes de Seguros (Personas Físcas) Utlzando Smulacón Estocástca Interpretacón de los Resultados 78.5 Procedmentos para el Cálculo de Cuotas Cálculo de Cuotas sn Deducble Cálculo de Cuotas con Deducble 8 ANEXO DE NOTA TÉCNICA 85 ANEXO DE NOTA TÉCNICA 89 ANEXO ELECTRÓNICO 9 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 93 v

6 NOTA FINAL 95 BIBLIOGRAFÍA 96 v

7 RESEÑA Título: Estudo relaconado con: Uso de la Estmacón de la Dstrbucón de Probabldad para Muestras Pequeñas y de la Smulacón en la Inferenca de Carteras de Seguros. Factores para mpulsar el desarrollo de la ndustra del seguro en Méxco. Sn duda, el uso de nuevas tecnologías y técncas matemátcas han sdo algunos de los factores que han fomentado el desarrollo del seguro en Méxco en partcular y en el mundo en general. Por esta razón, se nscrbe este estudo que se relacona con el tema señalado en el párrafo anteror, ya que éste aporta una metodología novedosa que conjunta técncas de confabldad y de smulacón que a su vez permten trabajar con pocos datos y en base en estos realzar nferencas postvas. Para las entdades aseguradoras laborar con muestras pequeñas es una stuacón cada vez más común, ya que ante las nnovadoras necesdades de proteccón; planear, tomar decsones o calcular tarfas de resgos de los cuales se tene poca nformacón se vuelve una tarea compleja. Objetvos: Objetvo General Mostrar las ventajas del uso de las técncas de estmacón de dstrbucones empírcas para muestras pequeñas y de la smulacón en la nferenca de carteras de seguros. Aportando así, un método para hacer nferencas de la cartera a pesar de que los datos de ésta no cumplan el supuesto de provenr de una muestra sufcentemente grande. Fnalmente, lustrar la aplcacón de la metodología propuesta medante un ejemplo en el que se determna la cuota base para el seguro de Responsabldad Cvl Agentes de Seguros. Objetvos Partculares Presentar a los elementos necesaros que emplea la técnca propuesta por este trabajo: Estadístca descrptva. Dstrbucones de probabldad para varables aleatoras dscretas y contnuas. Construccón de dstrbucones empírcas para muestras pequeñas. Pruebas de bondad de ajuste. Determnacón del tamaño de muestra. Modelado de sstemas. Smulacón. Ilustrar la metodología propuesta medante un caso práctco.

8 Problemátca en el Sector Asegurador: Importanca para el Sector Asegurador: Observacón: La probabldad empírca o ley de los grandes números, uno de los conceptos más fuertes en la teoría del seguro, asume la exstenca de una muestra sufcentemente grande pero, cómo debe proceder el asegurador cuando su nformacón estadístca es nsufcente? o cómo corregr ésta defcenca para hacer nferencas que causen mpacto postvo en la toma de decsones o en la elaboracón de tarfas de seguros? El presente trabajo representa una alternatva de solucón a la problemátca detallada en el punto anteror, permtendo el desarrollo de nferencas postvas en la toma de decsones o en la elaboracón de tarfas de seguros. En este materal se ncluye un anexo electrónco el cual faclta al lector entender la metodología propuesta, este anexo contene el archvo que el autor empleó para determnar la cuota base para el seguro de Responsabldad Cvl Agentes de Seguros utlzando la técnca planteada por este trabajo. El uso de nuevos métodos, técncas y tecnologías, es sn duda el umbral de acceso futuro de la denomnada matemátca del seguro. El autor.

9 INTRODUCCIÓN Día a día en el campo del seguro surgen nuevas necesdades de proteccón, msmas que provocan que quenes laboran en esta ndustra tengan que trabajar con pocos datos y con base en éstos estudar los resgos a cubrr, tomar decsones, planear y calcular tarfas que permtan determnar el costo o la prma del seguro en cuestón. Sn embargo, s los profesonstas del seguro no utlzan bases técncas para obtener el mejor provecho de estos datos nsufcentes, el seguro se converte en un juego de azar que puede colapsar la establdad fnancera de la empresa y consecuentemente mpedr las oblgacones de ésta con el públco usuaro de estos servcos. En busca de dar solucón a la problemátca antes menconada se elabora la presente tess que conjunta el uso de dos técncas, la estmacón de la dstrbucón de probabldad para muestras pequeñas prmero, y la smulacón de eventos dscretos después, msmas que permten la elaboracón de nferencas de carteras de seguros que causen mpacto postvo a las entdades aseguradoras. Prevo a la realzacón de esta tess, se observó que en nuestro país no exsten escrtos acerca de la aplcacón de estos métodos en los campos del seguro, por lo que con el fn de hacer este trabajo accesble al mayor número de profesonstas del seguro, así como a los estudantes de este tpo de técncas, se decdó que este trabajo se desarrollara de manera gradual; tratando que los conceptos y los métodos sean claros y concsos, apoyándose en algunos casos en la exposcón de ejemplos. Este escrto se dvde en cnco capítulos, en el prmero se estudará la coleccón, la agrupacón y el análss prevo de datos, es decr lo que se conoce como estadístca descrptva. En el segundo capítulo se hablará de la probabldad, de las varables aleatoras y fnalmente de las dstrbucones de probabldad, ya que sería muy dfícl utlzarlas sn saber qué son. En el tercer capítulo se estudará el método del rango medano; ya que éste permte estmar una dstrbucón de probabldad a partr de un conjunto de datos pequeño o lmtado; y se mostrarán el uso de dos pruebas mportantes en estadístca que permten comprobar la bondad de los ajustes de las dstrbucones estmadas por este método; además se estudará cómo determnar el tamaño de muestra ya que la smulacón es una metodología que realza expermentos de muestreo medante un modelo del sstema. En el cuarto capítulo se hablará del modelado de sstemas y de la smulacón de eventos dscretos. En el qunto capítulo se ejemplfcará la metodología propuesta que además se conjunta con la matemátca del seguro medante la elaboracón de una nota técnca, en la que se determnarán las cuotas base para el seguro de responsabldad cvl agentes de seguros (personas físcas); producto del cual exste o exstía muy poca nformacón estadístca y que además que en años anterores a que se volvera un seguro oblgatoro se observaba la falta de homogenedad en el sector respecto a los precos calculados por dferentes compañías, lo que pone en tela de juco las metodologías utlzadas por éstas para calcular sus tarfas ante la carenca de datos. El lector que posea conocmentos prevos de los dos prmeros capítulos de este trabajo, podrá pasar al capítulo 3 sn pérdda de generaldad. 3

10 Fnalmente, se realzarán las conclusones de esta tess. Por lo tanto, este trabajo desea mostrar de manera gradual, clara y concsa las ventajas del uso de la estmacón de dstrbucones empírcas para muestras pequeñas y de la smulacón en carteras de seguros. Aportando así, un método para hacer nferencas de la cartera a pesar de que los datos de ésta no cumplan el supuesto de provenr de una muestra sufcentemente grande. 4

11 CAPÍTULO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA El estudo de la estadístca se puede dvdr en tres partes: reunr datos, analzarlos y, a partr de ellos, hacer nferencas. En este capítulo se tratará prncpalmente, el análss de datos, es decr, la organzacón y el reporte de los msmos; ya que la elaboracón de éste, es un requsto ndspensable para hacer nferencas del conjunto de datos estudado. El presente capítulo, se ntegra de sete subcapítulos, los ses prmeros explcan algunos conceptos y métodos de la estadístca descrptva; mentras que en el últmo se lustra medante un ejemplo lo estudado en los anterores.. Estadístca Descrptva e Inferenca Estadístca 3 La estadístca descrptva comprende las técncas que se emplean para resumr y descrbr datos numércos. 4 Estos métodos pueden ser gráfcos o mplcar el cálculo de meddas numércas. La nferenca estadístca trata de generalzacones basadas en muestras de datos. 5. Poblacón y Muestra Antes de estudar descrpcones estadístcas partculares, permtamos hacer la sguente dferenca. La poblacón es la coleccón de toda la posble nformacón que caracterza un fenómeno. En estadístca, la poblacón es un concepto mucho más general del que tene la acepcón común de esta palabra. En este sentdo, una poblacón es cualquer coleccón ya sea de un número fnto de medcones o una coleccón grande, vrtualmente nfnta, de datos acerca de algo de nterés. Por otro lado, la muestra es un subconjunto representatvo selecconado de una poblacón. 6 Poblacón Tamaño N Muestra Tamaño n n < N 3 Algunas técncas de nferenca estadístca serán estudadas en el capítulo 3. 4 KAZMIER, Leonard J., Estadístca Aplcada a la Admnstracón y a la Economía, p.. 5 MILLER, Irwn, John E. FREUD y Rchard A. JOHNSON, Probabldad y Estadístca para Ingeneros, p.. 6 CANAVOS C. George, Probabldad y Estadístca Aplcacones y Métodos, p.. 5

12 .3 Tpo de Datos Los datos pueden ser cuanttatvos, con valores expresados numércamente, o cualtatvos en cuyo caso se tabulan las característcas de las observacones. 7.4 Dstrbucón de Frecuencas Es una técnca usual en la estadístca que permte el análss de conjuntos grandes de datos Tabla de Dstrbucón de Frecuencas Una tabla de dstrbucón de frecuencas es una clasfcacón de los datos (numércos) en clases o categorías de acuerdo a sus valores. 9 Los datos organzados en una dstrbucón de frecuencas se llaman datos agrupados. En contraste con ello, en el caso de los datos no agrupados se enlstan todos los valores observados. 0 Un ejemplo típco de una tabla de dstrbucón de frecuencas es el que se muestra en el subcapítulo.7. El contendo de una tabla completa de dstrbucón de frecuencas, así como los elementos necesaros para su elaboracón se explcan en el sguente subcapítulo. S se acepta que en la construccón de una tabla de dstrbucón de frecuencas se realza una clasfcacón de datos, resulta ndspensable contar prmeramente con el crtero de clasfcacón a utlzar, msmo que se defne a través de los límtes de clase o medante las fronteras de la clase..4. Intervalos de Clase El ntervalo de clase dentfca el rango de valores ncludos dentro de una clase y puede determnarse restando el límte exacto de la clase superor el límte exacto de la clase nferor. Algunos autores manejan que el número, k, de ntervalos que se deben consderar en una tabla de dstrbucón de frecuencas, está dado por la fórmula empírca que a contnuacón se presenta: 7 KAZMIER, op. ct. p. 8 Cfr. AGUILAR Juárez, Isabel Patrca y Leonardo BAÑUELOS Saucedo, Notas del Curso Propedéutco de Probabldad y Estadístca, p.. 9 Ibd. p.. 0 KAZMIER, op. ct. p. 9. Idem. MARÍN Dazaraque, Juan Mguel, Apuntes de Estadístca Estadístca Descrptva, p. 8. 6

13 n s n no es muy grande. k () + 3.log( n) en otro caso. Para la construccón de una tabla de dstrbucón de frecuencas es convenente tomar en consderacón las sguentes recomendacones empírcas: 3. La tabla de dstrbucón de frecuencas constará de entre 5 y 0 clases.. Todas las clases serán de la msma longtud. Para efectos de cálculo, consderando la recomendacón, la sguente fórmula puede emplearse para determnar el ntervalo de clase aproxmado por usar: 4 [ mayor valor en datos no agrupados] [ menor valor en datos no agrupados] Intervalo aproxmado = () número de clases deseadas.4.. Límtes Nomnales de Clase Los límtes nomnales de clase nferor y superor ndcan los valores ncludos dentro de la clase. 5 Los límtes de clase nomnales o smplemente de clase tendrán la msma aproxmacón que los datos y el límte superor de una clase dferrá del límte nferor de la clase sguente, en una undad de aproxmacón, es decr: 6 Datos Límtes Dferenca (lm. nf. de la clase sguente lm. sup. de la clase) Enteros Enteros Décmas Décmas 0. Centésmas Centésmas Fronteras de Clase Las fronteras de clase o límtes exactos de clase, son los puntos específcos que srven para separar clases adyacentes en una escala de medcón de varables contnuas. Las fronteras de clase pueden determnarse dentfcando los puntos ntermedos entre los límtes nomnales de clase superor e nferor, respectvamente de clases adyacentes. 7 3 AGUILAR Juárez, Isabel Patrca y Leonardo BAÑUELOS Saucedo, op. ct. p KAZMIER, op. ct. p Cfr. AGUILAR Juárez, Isabel Patrca y Leonardo BAÑUELOS Saucedo, op. ct. p.. 6 AGUILAR Juárez, Isabel Patrca y Leonardo BAÑUELOS Saucedo, op. ct. p.. 7 Cfr. KAZMIER, op. ct. p. 9. 7

14 .4..3 Longtud de la Clase (c) Se denota por c y es la dferenca entre la frontera superor y la nferor de la clase Marca de Clase (x ) Las marcas de clase de una dstrbucón de frecuencas se obtenen promedando los límtes nomnales de clase consecutvos o las fronteras de clases sucesvas Frecuenca (f ) Es el número de datos de la muestra que corresponden a la clase en cuestón. Para determnar la frecuenca de una clase, basta con realzar un conteo del número de observacones en la muestra que se encuentra en ésta; ya sea por sus límtes nomnales o por sus fronteras, esto últmo es debdo a que ambos (límtes y fronteras) determnan exactamente la msma clasfcacón Frecuenca Acumulada (F ) Es el número de datos en la muestra cuyo valor no excede la frontera superor de la clase en cuestón. Para calcular F basta contablzar las frecuencas observadas en la clase de nterés y en las anterores..4.5 Frecuenca Relatva (f *) Es la proporcón de los datos en la muestra que pertenecen a la clase en cuestón. S denotamos por n al número de datos en la muestra y a como al número de la clase, la frecuenca relatva se expresa como sgue : f * = f n = f f (3) 8 AGUILAR Juárez, Isabel Patrca y Leonardo BAÑUELOS Saucedo, op. ct. p Cfr. MILLER, Irwn, John E. FREUD y Rchard A. JOHNSON, op. ct. p Cfr. AGUILAR Juárez, Isabel Patrca y Leonardo BAÑUELOS Saucedo, op. ct. p. 3. Idem. Idem. 8

15 .4.6 Frecuenca Relatva Acumulada (F *) Es la proporcón de datos en la muestra que no exceden la frontera de la clase en cuestón. 3 F F * = n = F f (4).5 Descrpcón Grafca de los Datos Las propedades de las dstrbucones de frecuencas relaconadas con su forma se hacen más evdentes por medo de grafcas, y en este subcapítulo ntroducremos algunas formas más comunes de representar gráfcamente la nformacón proporconada por los datos..5. Hstograma de Frecuencas El hstograma de frecuencas se construye con rectángulos adyacentes, las alturas de los rectángulos representan las frecuencas de la clase y sus bases se extenden en fronteras de clases sucesvas. 4 Las marcas sobre la escala horzontal pueden ser los límtes de la clase, las fronteras de la clase, las marcas de clase (que resulta ser lo más común) o valores claves arbtraros..5. Polígono de Frecuencas En el polígono de frecuencas las frecuencas de clase son trazadas sobre las marcas de clase, esto es, se dbujan los puntos ( x, f ) donde x es la marca de la clase de la ésma clase y f es la frecuenca correspondente y los puntos sucesvos se unen por medo de líneas rectas después de haber agregado clases con frecuenca cero en los puntos límte de la dstrbucón Curvas de Frecuenca Una curva de frecuenca es un polígono de frecuencas suavzado Ojva Las dstrbucones acumuladas por lo general se representan gráfcamente en forma de ojvas, 7 las cuales son smlares a los polígonos de frecuencas acumuladas sobre las fronteras de clase en lugar de dbujar las frecuencas ordnaras sobre las marcas de clase. 3 Idem. 4 MILLER, Irwn, John E. FREUD y Rchard A. JOHNSON, op. ct. p.. 5 Ibd. p KAZMIER, op. ct. p.. 9

16 .6 Meddas Numércas Descrptvas En los subcapítulos anterores se plantearon las técncas gráfcas para descrbr los patrones de dstrbucón ocultos en un conjunto de datos. En éste se defnen algunas meddas numércas que se emplean comúnmente para descrbr conjuntos de datos. En estadístca, una medda descrptva de una poblacón, o parámetros de poblacón, se representa por lo general con alguna de las letras del alfabeto grego, mentras que una medda descrptva de una muestra, o estadístca muestral, se representa por alguna de las letras del alfabeto latno. Esto lo notará el lector más adelante..6. Meddas de Tendenca Central 8 La tendenca central de un conjunto de datos es la dsposcón de éstos para agruparse ya sea alrededor del centro o de certos valores numércos. Exsten prncpalmente tres meddas de tendenca central: la meda artmétca, la medana y la moda. Msmas que a contnuacón se detallan..6.. Meda Artmétca 9 a) S x, x,..., xn son los datos contendos en la muestra y se encuentran sn agrupar, entonces la meda artmétca será: x = Donde n es el tamaño de la muestra. n = n x b) S los datos se encuentran agrupados en una tabla de dstrbucón de frecuencas, y se utlza el msmo concepto que para los datos sn agrupar, se defne la meda artmétca como: m Donde: m = Número de clases x = Marca de la clase f = Frecuenca de la clase n = Numero total de datos x f m = f x = = x f * puesto que = f * n n = (5) (6) 7 MILLER, Irwn, John E. FREUD y Rchard A. JOHNSON, op. ct. p CANAVOS, op. ct. p.. 9 AGUILAR Juárez, Isabel Patrca y Leonardo BAÑUELOS Saucedo, op. ct. p

17 .6.. Medana La medana de un conjunto de observacones es el valor para el cual, cuando todas las observacones se ordenan de manera crecente, la mtad de éstas es menor que este valor y la otra mtad mayor. S el número de observacones en el conjunto es mpar, la medana es el valor de la observacón que se encuentra a la mtad del conjunto ordenado. S el número es par se consdera la medana como el promedo artmétco de los valores de las dos observacones que se encuentran a la mtad del conjunto ordenado Moda La moda de un conjunto de observacones es el valor de la observacón que ocurre con mayor frecuenca en el conjunto..6. Meddas de Varabldad Las meddas de varabldad o dspersón, se ocupan de la descrpcón de la varabldad entre los valores. 30 Se dspone de dversas técncas para medr el grado de varabldad en un conjunto de datos. Las que descrbremos en este subcapítulo son el rango, la varanza, la desvacón estándar y el coefcente de varacón..6.. Rango El rango o R, es la dferenca entre los valores más alto y más bajo ncludos en el conjunto de datos. 3 Así, cuando My representa el mayor valor del grupo y Mn al menor, el rango de datos no agrupados es: R = My Mn (7).6.. Varanza La varanza de las observacones x, x,..., xn es, en esenca, el promedo del cuadrado de las dstancas entre cada observacón y la meda del conjunto de observacones. 3 La varanza se denota por: KAZMIER, Leonard J., op. ct. p Idem. 3 CANAVOS, op. ct. p Estas fórmulas son aplcables a poblacones fntas.

18 Varanza de la poblacón: Varanza de la muestra: σ s = = n = n = ( x x) N ( x x) n - (8) (9).6..3 Desvacón Estándar La raíz cuadrada postva de la varanza recbe el nombre de desvacón estándar 34 y se denota por: 35 Desvacón estándar de la poblacón: σ = n = ( x x) N (0) Desvacón estándar de la muestra: s = n = ( x x) n - ().6..4 Coefcente de Varacón (CV) El coefcente de varacón ndca la magntud relatva de la desvacón estándar en comparacón con la meda de la dstrbucón de las meddas, expresada como porcentaje. 36 Así, las fórmulas son: Coefcente de Varacón de la Poblacón: σ 00 μ () Coefcente de Varacón de la Muestra: s 00 x (3).7 Ejemplo de Estadístca Descrptva Un gmnaso durante los 4 prmeros meses del año recolectó datos de 55 clentes referentes a la frecuenca con que se presentaron a realzar algún tpo actvdad físca, el número de días que cada uno de ellos se presentó se lsta a contnuacón: 34 Idem. 35 Estas formulas son aplcables a poblacones fntas. 36 KAZMIER, op. ct. p.57.

19 4, 7, 00, 33, 3, 57, 77, 3, 45, 79, 0, 80, 4, 47, 35, 5, 90, 38, 6, 68, 57, 46, 40, 47, 87, 67, 66, 78, 80, 9, 68, 79, 78, 00, 76, 88, 89, 94, 48, 34, 90, 90,, 78, 56, 00, 9, 5, 80, 3, 5, 93, 30, 90 y 45. Se pde lo sguente:. Elaborar la tabla de dstrbucón de frecuencas.. Elaborar la descrpcón grafca de los datos. 3. Calcular las meddas numércas descrptvas. Solucón:. Elaborar la tabla de dstrbucón de frecuencas. a) Determnar el número k de ntervalos: Para esto se utlzará la ecuacón ; además el número de datos n, es de 55. k + 3.log( n) = k = + 3.log(55) = 6.60 = 7 7 es un número de ntervalos aceptable ya que se encuentra ente 5 y 0. b) Determnar el ntervalo de clase aproxmado: Para esto se utlzará la ecuacón ; además en los datos en la muestra se observa que el menor es 3 y el mayor 00. [ mayor valor en datos no agrupados] [ menor valor en datos no agrupados] Intervalo aproxmado = número de clases deseadas entonces, 00 3 Intervalo aproxmado = = c) Una vez lo anteror, se sgueron las defncones proporconadas en los subcapítulos.4.. al.4..4 para calcular a las clases los límtes nomnales, las fronteras, su longtud y sus marca de clase; los conceptos.4.3 y.4.4 para calcular las frecuencas y las frecuencas absolutas, en cada una de las clases; mentras que las ecuacones 3 y 4 se utlzaron para calcularles su frecuenca relatva y su frecuenca relatva acumulada, respectvamente. Obtenéndose fnalmente, la sguente tabla de dstrbucón de frecuencas: TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Frecuenca Marcas Frecuenca Frecuenca Relatva Intervalos de Clase de Clase Frecuenca Acumulada Relatva Acumulada Límtes Fronteras x f F f* F * Elaborar la descrpcón grafca de los datos. a) Hstograma de frecuencas 3

20 HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS Clentes Días de Asstenca al Gm naso b) Polígono de frecuencas POLÍGONO DE FRECUENCIAS Clentes Días de Asstenca al Gm naso c) Curva de Frecuencas CURVA DE FRECUENCIAS Clentes Días de Asstenca al Gmnaso 4

21 d) Ojva OJIVA Clentes Días de Asstenca al Gmnaso 3. Calcular las meddas numércas descrptvas. a) Meda Artmétca Para calcularla se utlzó la ecuacón 6, obtenéndose el sguente resultado: x = n = x = n b) Medana Sguendo el concepto presentado en el subcapítulo.6.., se realza lo sguente: Se ordenan los datos en forma crecente, como se tene un número de datos mpar (55), la medana será el valor de la observacón que se encuentra a la mtad del conjunto ordenado es decr el dato 8: Por lo tanto, la medana es 66. Orden Dato Orden Dato Orden Dato Orden Dato Orden Dato c) Moda Sguendo el concepto presentado en el subcapítulo.6.., se obtuvo que ésta es 90, ya que es el dato con mayor frecuenca (4). 5

22 d) Rango Para calcularlo se utlzó la ecuacón 7, obtenéndose el sguente resultado: R = My Mn = 00 3 = 97 e) Varanza Para calcularla se utlzó la ecuacón 9, obtenéndose el sguente resultado: s = n = ( x x) = 898. n - f) Desvacón Estándar Para calcularla se utlzó la ecuacón, obtenéndose el sguente resultado: n ( x x) = s = = 9.97 n - g) Coefcente de Varacón Para calcularlo se utlzó la ecuacón 3, obtenéndose el sguente resultado: s 00 = 5.64% x Del ejercco anteror, se puede decr que la representacón gráfca de los datos es asmétrca, las meddas de tendenca central meda artmétca, medana y moda se calcularon en 58.04, 60 y 90, lo que confrma la carenca de smetría de los datos, además se observa dspersón alta en los datos, stuacón que se confrma con los resultados obtendos por el rango, la desvacón estándar y el coefcente de varacón. En este subcapítulo se ejemplfcó lo que se mostró de manera teórca en los anterores, esperando que el lector al fnal de este capítulo pueda efectuar el análss prevo a la realzacón de nferencas; sn embargo para que éstas sean desarrolladas, es necesaro profundzar en el conocmento de las dstrbucón de probabldad y; por lo tanto, éste será el objetvo del capítulo sguente. 6

23 CAPÍTULO DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD En este capítulo se estudará de manera breve qué es probabldad, sus enfoques y su defncón formal; esto porque la probabldad tene un papel crucal en la aplcacón de la nferenca estadístca. De gual modo, se examnará qué es una varable aleatora, concepto relaconado con eventos numércos cuyo valor se determna por medo de un proceso aleatoro; así msmo, se dferencará a las varables aleatoras: dscretas y contnuas; y a partr de estos conceptos se defnrán las dstrbucones de probabldad y se estudarán las característcas más mportantes de éstas. Fnalmente, se aprenderá sobre algunas dstrbucones específcas de probabldad: dscretas y contnuas; msmas que han demostrado empírcamente ser modelos útles para dversos problemas práctcos y se dscutrán algunas áreas de aplcacón de cada modelo, con lo que se pretende proporconar al lector una dea y comprensón sufcente para utlzar los modelos de manera apropada... Defncones Báscas de Probabldad 37 Hstórcamente se han desarrollado tres enfoques conceptuales para defnr la probabldad y determnar valores de probabldad: los enfoques clásco, empírco (de frecuenca relatva) y el subjetvo... Defncón Clásca de Probabldad Dado un expermento cualquera, que puede dar lugar a varos sucesos elementales «gualmente posbles» se defne como probabldad de un suceso, A, al cocente entre el número de sucesos favorables, m, y el número de sucesos elementales posbles n. 38 número de sucesos favorables A P ( A ) = = número de sucesos posbles Ejemplo.. Sea el expermento aleatoro consstente en lanzar al are una moneda legal, es decr que los sucesos elementales que salga sol y que salga águla son gualmente posbles. S se desgna medante la letra A, el suceso que salga sol, se tene que: P número de sucesos favorables A número de sucesos posbles m n ( A ) = = = En este subcapítulo se manejarán ntutvamente las palabras suceso y/o evento, pero estas serán defndas de manera formal en el subcapítulo.. 38 ENCICLOPEDIA CIENTÍFICA CULTURAL VOLUMEN ESTADÍSTICA p

24 .. Defncón Empírca de Probabldad Dado un expermento aleatoro cualquera, que puede dar lugar a varos sucesos elementales, se defne como probabldad empírca de un suceso, A, a la frecuenca relatva de aparcón de dcho suceso, cuando el número de observacones crece ndefndamente. 39 ( ) = lm f *( A) P A n Ejemplo.. Sea el expermento aleatoro del ejemplo anteror que consste en lanzar una moneda al are. Los dos sucesos posbles: son que salga sol y que salga águla. S en 500 lanzamentos ha saldo 63 veces sol, la probabldad del suceso: A = que salga sol, será: 63 P A = f * A = = 500 ( ) ( ) Defncón Subjetva de Probabldad La probabldad de un evento es el grado de certdumbre que un ndvduo concede a la ocurrenca del evento, con base de todas las evdencas de que dspone. 40 Ejemplo..3 Un comentarsta deportvo consdera que exste una probabldad de 0.7 de que el equpo X gane el campeonato... Desarrollo Axomátco de la Probabldad 4 Para formalzar la defncón de probabldad, a través de axomas, se repasarán brevemente las defncones de los conceptos sguentes: Defncón.. El conjunto de todos los posbles resultados de un expermento aleatoro recbe el nombre de espaco muestral. El conjunto de todos los posbles resultados puede ser fnto, nfnto numerable o nfnto no numerable. Por ejemplo, el número de reservacones sn cancelar de un vuelo comercal consttuye un espaco muestral fnto, dado que este número nunca excederá la capacdad del avón, que es fnta. El número de llegadas al servco consttuye un espaco muestral nfnto numerable porque es posble colocar los resultados en una correspondenca uno a uno con los enteros postvos. El peso del equpaje consttuye un espaco muestral nfnto nnumerable. A contnuacón se proporconan las sguentes defncones. Defncón.. Se dce que un espaco muestral es dscreto s sus resultados pueden ponerse en correspondenca uno a uno con el conjunto de los enteros postvos. 39 Cfr. Ibd, p Cfr. KAZMIER, Leonard J., Estadístca Aplcada a la Admnstracón y a la Economía, p CANAVOS C. George, Probabldad y Estadístca Aplcacones y Métodos, p

25 Defncón..3 Se dce que el espaco muestral es contnuo s sus resultados conssten en un ntervalo de números reales. Ejemplo.. Consderando la representacón de las fchas de un domno abajo mostrada, dga qué tpo de espaco muestral es éste Solucón: Dscreto. 6 6 Con respecto a los resultados de un espaco muestral, se puede estar nteresado en un subconjunto de éstos. De esta manera se tenen las sguentes defncones. Defncón..4 Un evento del espaco muestral es un grupo de resultados contendos en este espaco, cuyos membros tene una característca común. Por característca común debe entenderse que úncamente un grupo de resultados en partcular satsface la característca y los restantes, contendos en el espaco muestral, no; Se dce que un evento ha ocurrdo s los resultados del expermento aleatoro ncluyen a algunos de los que defnen al evento. En este contexto, el espaco muestral, evento en s msmo, puede entenderse como un evento seguro, puesto que se tene un 00% de certdumbre de que ocurrrá un resultado del espaco muestral cuando el expermento se lleve a cabo. Ejemplo..4 De cuántos resultados consta el evento de que al selecconar una fcha en el domnó del ejemplo.. aparezca un uno? Solucón: De sete y son los sguentes: Defncón..5 El evento que contene a nngún resultado del espaco muestral recbe el nombre de evento nulo o vacío. 9

26 El evento nulo o vacío se representa medante el sguente símbolo: Φ Ejemplo..5 De un ejemplo de un evento nulo, consderando el domno del ejemplo... Solucón: El vaco. Sean E y E cualesquera dos eventos que se encuentren en un espaco muestral dado denotado por S. Valéndose de estos se ndcan las sguentes defncones: Defncón..6 El evento formado por todos los posbles resultados en E o E o en ambos, recbe el nombre de la unón de E y E y se denota por E E. Ejemplo..6 Consdere el domno del ejemplo.., De cuántos elementos está formado E E s E es el conjunto de todas las fchas que tenen 0 y E las fchas que tenen? Solucón: De 3 elementos y son los sguentes: Defncón..7 El evento formado por todos los resultados comunes tanto a E como a E o en ambos, recbe el nombre de la nterseccón de E y E y se denota por E E. Ejemplo..7 De cuántos elementos está formado E E s E y E son los eventos que se descrben en el ejemplo anteror? Solucón: De un elemento. Defncón..8 Se dce que los eventos E y E son mutuamente excluyentes o dsjuntos s no tenen resultados en común; en otras palabras E E = Φ evento vacío. Ejemplo..8 Utlzando el domnó del ejemplo.., dga dos eventos mutuamente excluyentes. Solucón: E : El conjunto de todas las fchas con 0. E : El conjunto de fchas en las que los puntos de cada una suman por lo menos 7. 0

27 Defncón..9 S cualquer resultado de E tambén es un resultado de E, se dce que el evento E está contendo en E y se denota por E E. Ejemplo..9 Utlzando el domnó del ejemplo.., dé dos eventos en los que uno esté contendo en otro. Solucón: E : El conjunto de fchas en que los puntos de cada una suman por lo menos 7. E : El conjunto de fchas en las que los puntos de cada una suman exactamente

28 Defncón..0 El complemento de un evento E con respecto al espaco muestral S, es aquel que contene todos los resultados de S que no se encuentran en E, y se denota por E. Ejemplo..0 Utlzando el espaco muestral del ejemplo.., dé un evento y el complemento de éste. Solucón: E : El conjunto de fchas en las que los puntos de cada una suman por lo menos 7. E : El conjunto de fchas en las que los puntos de cada una suman menos de E S E Antes de formalzar la defncón de probabldad, se drá que ésta es un número real que mde la posbldad colectva, de ocurrenca, de los resultados del evento cuando se lleve a efecto el expermento. A contnuacón se da la defncón axomátca de la probabldad. Defncón.. Sea S cualquer espaco muestral y E cualquer evento de éste. Se P E s satsface los sguentes llamará funcón de probabldad sobre el espaco muestral S a ( ) axomas:. P ( E) 0. ( ) = P S 3. S para los eventos E, E, E 3, E E = Φ para toda j, entonces j ( E E ) = P( E ) + P( ) + L P... E.

29 Los sguentes teoremas 4 son consecuencas de estos tres axomas: P. Teorema. Para cualquer evento S Teorema. ( Φ) = 0 0 P. E, ( E) Teorema 3. Sea S un espaco muestral que contene a cualesquera dos eventos A y B ; entonces, P A B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ).3 El Concepto de Varable Aleatora 43 El propósto de una varable aleatora es transformar cada punto de un espaco muestral en un punto de un eje real, de tal manera que dcha transformacón sea una funcón. De manera formal, este concepto se defne en el sguente párrafo. Defncón.3. Sea S un espaco muestral sobre el que se encuentra defnda una funcón de probabldad. Sea X una funcón de valor real defnda sobre S, de manera que transforme los resultados de S en puntos sobre la recta de los reales. Se dce entonces que X es una varable aleatora. Ya que una varable aleatora es una caracterzacón cuanttatva de los resultados de un espaco muestral, ésta posee ntrínsecamente la naturaleza dscreta o contnua de este espaco. Defncón.3. Se dce que una varable aleatora X es dscreta s el número de valores que puede tomar es contable (ya sea fnto o nfnto), y s éstos pueden arreglarse en una secuenca que corresponde con los enteros postvos. Los sguentes son ejemplos típcos de varables aleatoras dscretas:. El número de tornllos defectuosos en una muestra de 0 extraída de una produccón ndustral.. El número de personas que esperan en la ofcna de un doctor. Defncón.3.3 Se dce que una varable aleatora X es contnua s sus valores conssten en uno o más ntervalos de la recta de los reales. Los sguentes son ejemplos típcos de varables aleatoras contnuas:. La estatura de una persona.. La cantdad de azúcar en una mandarna. 4 Las demostracones de estos teoremas pueden ser consultadas en la bblografía ctada para este subcapítulo. 43 CANAVOS, op. ct. p

30 .4 Dstrbucones de Probabldad de Varables Aleatoras Dscretas 44 En general, una varable aleatora dscreta X representa los resultados de un espaco muestral P X = x se entenderá la probabldad de que X tome el valor de x. De en forma tal que por ( ) esta forma, al consderar los valores de una varable aleatora es posble desarrollar una funcón matemátca que asgne una probabldad a cada realzacón x de la varable aleatora X. Esta funcón recbe el nombre de funcón de probabldad 45 de la varable aleatora X. El Térmno más general, dstrbucón de probabldad, se refere a la coleccón de valores de la varable aleatora y a la dstrbucón de probabldades entre éstos. Sn embargo, hacer referenca a la dstrbucón de probabldad de X no sólo mplca la exstenca de la funcón de probabldad, sno tambén la exstenca de la funcón de dstrbucón acumulatva de X. funcón de probabldad de la varable aleatora X, s satsface las sguentes propedades:. p ( x) 0 para todos los valores de x de X ; Defncón.4. Sea X una varable dscreta. Se llamará a p ( x) P( X = x) Defncón.4. x p x =. ( ). j 3. p ( x X x j ) = p( x) x X = x La funcón de dstrbucón acumulatva de la varable aleatora X es la probabldad de que X sea menor o gual a un valor específco x y está dada por: F ( x) P( X x) = p( x ) Por lo tanto, en el caso dscreto, una varable aleatora X está caracterzada por la funcón de p x, la cual determna la probabldad puntual de que X = x, y por la probabldad puntual ( ) funcón de dstrbucón acumulatva de F ( x), la que representa la suma de las probabldades puntuales hasta el valor de x de X nclusve. En general, la funcón de dstrbucón acumulatva F ( x) de una varable aleatora dscreta es x x una funcón no decrecente de los valores de X, de tal manera que. 0 F ( x) para cualquer x;. ( x ) F( ) F x j s x j P X > x = F x 3. ( ) ( ). x ; Además, puede establecerse que para varables aleatoras de valor entero se tene que: 4. P ( X = x) = F( x) F( x ) ; P x X x = F x F x 5. ( ) ( ) ( ) j j 44 Ibd, El nombre completo de esta funcón es el de funcón de masa de probabldad de una varable aleatora dscreta. 4

31 Ejemplo.4. El número de vagonetas solctadas en renta a una agenca de alquler en un período de 50 días se dentfca en la sguente tabla: Demanda posble X Número de Días p (x ) P(X x ) Dstrbucones de Probabldad de Varables Aleatoras Contnuas 46 En el caso contnuo, la probabldad de que una varable aleatora X tome un valor específco x es cero. La dstrbucón de probabldad de una varable aleatora contnua X está caracterzada por una funcón f ( x) que recbe el nombre de funcón de densdad de probabldad. Esta funcón f ( x) no es la msma funcón de probabldad que para el caso dscreto. Como la probabldad de que X tome el valor específco x es cero, la funcón de densdad de probabldad no representa la probabldad de que X = x. Más ben, ésta proporcona un medo para determnar la probabldad de un ntervalo a X b. La funcón de densdad de probabldad de una varable aleatora contnua X se defne formalmente de la sguente manera: S exste una funcón f ( x) tal que. ( ) 0,, f x. f ( x) dx =, y < x < 3. P( a X b) = f ( x)dx b a para cualesquera a y b, entonces f ( x) es la funcón de densdad de probabldad de la varable aleatora contnua X. 46 Ibd, p

32 Al gual que en el caso de una varable aleatora dscreta, la funcón de dstrbucón acumulatva F ( x) de una varable aleatora contnua X es la probabldad de que X tome un valor menor o gual a algún x especfco. Esto es, P x ( X x) = F( x) = f ( t) dt, en donde t es una varable artfcal de ntegracón. Dado que para cualquer varable aleatora contnua X, entonces: La dstrbucón acumulatva F ( x) P x ( X = x) = f ( t) dt = 0 x ( X x) = P( X < x) F( x) P =., es una funcón lsa no decrecente de los valores de la varable aleatora con las sguentes propedades:. F ( ) = 0 ;. F ( ) = ; 3. P( a < X < b) = F( b) F( a) ; df x dx = f x. 4. ( ) ( ) Ejemplo.5. El tempo requerdo por los estudantes para presentar un examen de una hora es una varable aleatora con funcón de densdad dada por f ( x) = 0 a) Determnar el valor de c que hace de ( x) b) Una vez calculada c, obtener F ( x) Solucón: a) ( cx + x) dx = 0, de donde c 3 + = c = 3 x 3 3 x x F x = t + t dt = +, 0 x b) ( ) 0 cx + x, 0 x en otro caso f una funcón de densdad. 6

33 Fnalmente, 0 x < 0 3 x x F( x) = + 0 x x >.6 Valor Medo y Varanza de Dstrbucón En lugar de usar la caracterzacón completa de una dstrbucón, por lo regular es sufcente con descrbrla (aunque ncompletamente), en térmnos de certas cantdades que caracterzan propedades generales de dcha dstrbucón. Las dos cantdades más mportantes son el valor medo o meda μ y la varanza σ ; y a contnuacón se defnen..6. Valor Medo de una Dstrbucón 47 El valor medo o meda de una dstrbucón se representará por μ. En el caso de una dstrbucón dscreta se defne como = μ = y en el caso de una dstrbucón contnua por E E ( x) x p( x ) ( x) = xf ( x)dx = μ..6. Varanza de una Dstrbucón 48 La varanza de una dstrbucón se representa por σ. En el caso dscreto se defne según la fórmula Var y en el caso contnuo medante la fórmula Var ( x) = σ = ( x μ) p( x ) ( x) = σ = ( x μ) f ( x) dx. 47 Cfr. KREYSZIG, Erwn, Introduccón a la Estadístca Aplcada Prncpos y Métodos, p Cfr. Ibd, p

34 .7 Algunas Dstrbucones de Probabldad Este subcapítulo está dedcado al conocmento de las prncpales dstrbucones de probabldad, tanto dscretas como contnuas..7. Dstrbucones Dscretas Se consderarán tres dstrbucones dscretas que tenen mucha mportanca en estadístca. Éstas son, la dstrbucón bnomal, la de Posson y la hpergeométrca..7.. Dstrbucón Bnomal Es una de las dstrbucones dscretas de probabldad más útles. Sus áreas de aplcacón ncluyen nspeccón de caldad, ventas, mercadotecna, medcna, nvestgacón de opnones y otras. 49 La dstrbucón bnomal es un modelo aplcable para stuacones de toma de decsones en las que puede suponerse que un proceso de muestreo responde a un proceso Bernoull. Un proceso Bernoull es un proceso de muestreo en el que:. En cada ensayo u observacón sólo son posbles dos resultados mutuamente excluyentes. Por convencón éstos resultados se llaman éxto y fracaso.. Los resultados de la sere de ensayos, u observacones, consttuyen eventos ndependentes. 3. La probabldad de éxto de cada ensayo, ndcada por p, es constante de un ensayo a otro. Esto es, el proceso es estaconaro. La dstrbucón bnomal puede servr para determnar la probabldad de obtener un número establecdo de éxtos en un proceso Bernoull. Se requere de tres valores: el número n, y la probabldad de establecdo de éxtos ( x ); el número de ensayos, u observacones ( ) éxto en cada ensayo ( p ). 50 Para resolver problemas que satsfacen las condcones enuncadas en el párrafo anteror, se utlzará una fórmula que se obtendrá de la sguente forma: s p y p son probabldades de éxto y fracaso en cada ensayo, entonces la probabldad de obtener x éxtos y n x fracasos x n x en algún orden específco es p ( p) ; claramente, en este producto de las p ' s y de las ( p) ' s hay un factor p para cada éxto, un factor p para cada fracaso, y los x factores p y los n x factores p son multplcados todos a la vez. En vsta de que esta probabldad se aplca a cualquer punto del espaco muestral que representa x éxtos y n x fracasos (en cualquer orden específco), sólo tenemos que contar cuántos puntos de esta clase exsten, y x n x multplcar entonces p ( p) por este número. Evdentemente, el número de formas en 49 CANAVOS op. ct. p KAZMIER op. ct. p

35 que podemos obtener x éxtos en n ensayos es el número de combnacones de x objetos n selecconados de un conjunto de n objetos así llegamos al sguente resultado. 5 x Funcón de Probabldad Parámetros n x n x p( x; n, p) = p ( p) n, entero postvo x p, 0 p x = 0,,,..., n Meda np Varanza npq FIGURA.. Gráfcas de la funcón bnomal de probabldad Dstrbucón de Posson La dstrbucón de Posson puede utlzarse para determnar la probabldad de ocurrenca de un número establecdo de eventos cuando éstos ocurren en un contnuum temporal o espacal. Este proceso se llama proceso de Posson; aunque semejante al proceso Bernoull, 53 se dstngue de él en que los eventos ocurren a lo largo de un contnuum (durante un ntervalo temporal, por ejemplo) y en que no se dan ensayos propamente dchos. Un ejemplo de un proceso de este tpo sería el número de personas que llegan a una tenda de autoservco en un tempo determnado, el número de bacteras en un cultvo, etcétera. Como en el caso del proceso Bernoull, se supone que los eventos son ndependentes y el proceso es estaconaro. Para determnar la probabldad de ocurrenca de un número establecdo de eventos en un proceso de Posson sólo se requere de un valor: el número medo de eventos a largo plazo en la dmensón temporal o espacal específca de nterés. Por lo general esta meda se representa como λ, o en ocasones como μ. La fórmula para determnar la probabldad de un número establecdo de éxtos x en una dstrbucón de Posson es: 54 5 MILLER, Irwn, John E. FREUND y Rchard A. JOHNSON, Probabldad y Estadístca para Ingeneros, p CANAVOS op. ct. p Vd KAZMIER op. ct. p

36 Funcón de Probabldad λ x e λ p( x; λ) = x! x = 0,,,... Meda λ Parámetro λ > 0 Varanza λ FIGURA. Gráfcas de la funcón de probabldad de Posson Dstrbucón Hpergeométrca Cuando el muestreo se realza sn reemplazo de cada elemento muestreado tomado de una poblacón fnta de elementos, no se aplca el proceso Bernoull, porque cuando se elmnan elementos de la poblacón exste un cambo sstemátco en la probabldad de éxto. Cuando en una stuacón que de otro modo correspondería a un proceso Bernoull, se hace uso del muestreo sn reemplazo, la dstrbucón dscreta adecuada es la dstrbucón hpergeométrca. Concedendo que x es el número establecdo de éxtos, N el número total de elementos de la poblacón, k el número total de éxtos ncludos en la poblacón y n el número de elementos de la muestra, la fórmula para determnar probabldades hpergeométrcas es: 56 Funcón de Probabldad k N k ( ) x n x p x; N, n, k = N n x = 0,,,..., n x k, n x N k Meda Parámetros N, n,, n N; k N; N =,,... k enteros postvos Varanza N k N n N N nk nk( )( ) N ( ) 55 CANAVOS op. ct. p KAZMIER op. ct. p

37 FIGURA.3 Gráfcas de la funcón hpergeométrca de probabldad Dstrbucones Contnuas De manera específca en este subcapítulo se estudarán los sguentes modelos de probabldad: normal, unforme, gama, de Webull, exponencal negatva y beta..7.. Dstrbucón Normal La dstrbucón normal de probabldad es una dstrbucón de probabldad contnua. La curva de probabldad que representa a la dstrbucón normal de probabldad tene forma de campana, como lo ejemplfcan las curvas de probabldad de la sguente fgura. FIGURA.4 Gráfcas de la funcón de densdad normal para dferentes valores de μ y σ CANAVOS op. ct. p CANAVOS op. ct. p. 3. 3

38 La dstrbucón normal de probabldad es mportante para la nferenca estadístca por tres razones:. Se sabe que las meddas obtendas por muchos procesos aleatoros sguen esta dstrbucón.. Las probabldades normales suelen servr para aproxmar otras dstrbucones de probabldad, como las dstrbucones bnomal y Posson. 3. Las dstrbucones estadístcas como la meda muestral y la proporcón muestral tene dstrbucón normal cuando el tamaño de muestra es grande, ndependentemente de la poblacón orgen. Como sucede en todas las dstrbucones contnuas de probabldad, un valor de probabldad de una varable aleatora contnua sólo puede determnarse para un ntervalo de valores. Se dce que una varable aleatora X se encuentra normalmente dstrbuda s su funcón de densdad de probabldad está dada por: Funcón de Densdad de Probabldad f [ ] σ ( x μ ) ( x; μ, σ ) = e πσ < x < Meda μ, σ, Parámetros Varanza μ σ < μ < σ > 0 Puesto que toda dferente combnacón de μ y σ generaría una dstrbucón normal de probabldad dferente, las tablas de probabldad normales se basan en una dstrbucón en partcular: la dstrbucón normal estándar. Ésta es la dstrbucón normal de probabldad con μ = 0 y σ =. Todo valor de x precedente de una poblacón con dstrbucón normal puede convertrse en el equvalente valor estándar de z medante la fórmula: z = x μ σ Un valor de z reformula el valor x orgnal en térmnos del número de undades de la desvacón estándar por las cuales el valor orgnal dfere de la meda de la dstrbucón. Un valor negatvo z ndcaría que el valor x orgnal estaba por debajo de la meda KAZMIER op. ct. p. 5. 3

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