Distribución de probabilidad de Maxwell transmutada

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1 Revista Integración Escuea de Matemáticas Universidad Industria de Santander Vo. 3, No., 014, pág Distribución de probabiidad de Maxwe transmutada Yuri A. Iriarte, Juan M. Astorga Universidad de Atacama, Instituto Tecnoógico, Copiapó, Chie. Resumen. En este artícuo introducimos una extensión de a distribución de probabiidad de Maxwe. Esta extensión se genera utiizando e mapa de transmutación de rango cuadrático, estudiado por Shaw y Buckey en [13], considerando como función base a función de distribución acumuada de modeo de Maxwe. Estudiamos propiedades probabiísticas, reaizamos inferencia estadística y estudiamos una apicación con datos reaes. Paabras cave: Distribución de Maxwe, distribución de Maxwe transmutada, mapa de transmutación de rango cuadrático. Transmuted Maxwe probabiity distribution Abstract. In this paper we introduce an extension of the Maxwe probabiity distribution. This extension is generated using the quadratic rank transmutation map studied by Shaw and Buckey in [13], considering as the basis function the cumuative distribution function of the Maxwe mode. We study probabiistic properties, we perform statistica inference and study an appication with rea data. Keywords: Maxwe distribution, transmuted Maxwe distribution, quadratic rank transmutation map. 1. Introducción La distribución de Maxwe es ampiamente utiizada en a mecánica estadística como una función de densidad de a magnitud de as veocidades de as moécuas de gas. Si X es a magnitud de a veocidad de una moécua (seeccionada a azar) de un gas encerrado en un contenedor, bajo e supuesto de que e gas no fuye y que a presión en e gas es a misma en todas as direcciones, entonces a variabe X sigue una distribución de Maxwe de veocidades, denotada como X M(θ), y queda especificada por a función de densidad de probabiidad 0 E-mai: yuri.iriarte@uda.c Recibido: 9 de enero de 014, Aceptado: 09 de juio de 014. Para citar este artícuo: Y.A. Iriarte, J.M. Astorga, Distribución de probabiidad de Maxwe transmutada, Rev. Integr. Temas Mat. 3 (014), no.,

2 1 Y.A. Iriarte & J.M. Astorga f X (x;θ) = donde x > 0 y θ > 0 es un parámetro de escaa. π θ3/ x e θ x, (1) La función de distribución acumuada de una variabe aeatoria X M(θ) está dada por x F X (x;θ) = π θ3/ t e θ t dt. Considerando e cambio de varibe u = θ x, a función de distribución acumuada de modeo de Maxwe puede ser escrita en términos de a función de distribución acumuada de modeo Gamma, como F X (x;θ) = θ x Γ ( 3 )u 3 1 e u du. () Tyagi y Bhattacharya [14] obtienen e estimador insesgado de varianza mínima y e estimador de Bayes para e parámetro de escaa de modeo de Maxwe; además, cacuan a función de confiabiidad de este modeo. Chaturvedi y Rani [5] generaizan e modeo de Maxwe y obtienen estimadores cásicos y bayesianos para este modeo. Bekker y Roux [4] reaizan un estudio de confiabiidad basado en a distribución de Maxwe. Shaki et a. [1] estudian a distribución de producto y de cociente de variabes aeatorias de Maxwe. Kazmi et a. [7] obtienen estimadores bayesianos para os parámetros de a distribución de una mezca de variabes aeatorias de Maxwe. Por otra parte, a revisar a iteratura estadística resutan evidentes os esfuerzos que han reaizado diversos investigadores por extender o generaizar distribuciones de probabiidad estándar. Estos esfuerzos han permitido fexibiizar en términos de forma, de asimetría y de curtosis, variados modeos probabiísticos estándar, entre eos e modeo de Maxwe, posibiitando mejorar os anáisis estadísticos reaizados en diferentes áreas apicadas. En este contexto, Shaw y Buckey [13] estudian e mapa de transmutación de rango cuadrático e introducen una case de distribuciones denominadas distribuciones transmutadas. Una variabe aeatoria X sigue una distribución transmutada si su función de distribución acumuada está dada por F(x) = (1+λ)G(x) λg(x), λ 1, (3) donde G(x) es a función de distribución acumuada de a distribución base. Se puede observar que cuando λ = 0 se obtiene a distribución de a variabe aeatoria base. Esta case de distribuciones tiene como característica principa ser más fexibe en términos de asimetría y curtosis que as distribuciones base, siendo un aporte importante a a modeización estadística. Arya y Tsokos [] utiizan a famiia de distribuciones transmutadas para introducir a distribución de Gumbe Transmutada. Arya y Tsokos [3] utiizan a famiia de distribuciones transmutadas para introducir a distribución de Weibu Transmutada. Merovci [8] utiiza a famiia de distribuciones transmutadas para introducir a distribución de Rayeigh Transmutada. Merovci [9] utiiza a famiia de distribuciones transmutadas para introducir a distribución de Rayeigh generaizada Transmutada. [Revista Integración

3 Distribución de probabiidad de Maxwe transmutada 13 Este artícuo es motivado por e trabajo de Shaw y Buckey [13]; nosotros utiizamos a famiia de distribuciones transmutadas para introducir una extensión de a distribución de Maxwe a a que amamos a distribución de Maxwe transmutada. Específicamente, generamos a función de distribución acumuada de a distribución de Maxwe transmutada considerando en a expresión (3) a función de distribución acumuada de modeo de Maxwe como función base. E resutado es una distribución de dos parámetros más fexibe en términos de asimetría y curtosis que e modeo de Maxwe estándar. Esta característica permite proponer a a distribución de Maxwe transmutada como un modeo aternativo de modeo de Maxwe. Si bien a extensión favorece a posibiidad de mejorar e ajuste de fenómenos aeatorios donde e modeo de Maxwe es comúnmente utiizado, también podría ser apropiada su utiización para a modeización de fenómenos aeatorios en a cua e modeo de Maxwe no es muy utiizado debido a que otros modeos presentan un mejor desempeño. E artícuo se desarroa de a siguiente manera. En a Sección estudiamos características generaes de a distribución de Maxwe transmutada. En a Sección 3 reaizamos inferencia estadística con e nuevo modeo. En a Sección 4 reaizamos un estudio de simuación. En a Sección 5 estudiamos una apicación con datos reaes. En a Sección 6 entregamos agunas concusiones.. Distribución de Maxwe transmutada En esta sección utiizamos as expresiones () y (3) para generar a función de distribución acumuada de modeo de Maxwe transmutado. La expresión resutante es derivada para obtener a función de densidad de Maxwe transmutada, y posteriormente cacuar os momentos, esperanza, varianza y coeficientes de asimetría y curtosis..1. Función de distribución y función de densidad Definición.1. Diremos que X sigue una distribución de Maxwe transmutada de parámetros θ y λ, que denotaremos como X TM(θ,λ), si su función de distribución acumuada está dada por ( θx F X (x;θ,λ) = (1+λ)G ; 3 ) ( θx,1 λg ; 3 ),1, (4) y su función de densidad de probabiidad está dada por f X (x;θ,λ) = [ ( θx π θ3/ x e θ x 1+λ λg ; 3 )],1, (5) donde x > 0, θ > 0 y λ 1, y G(x;α,β) = x β α 0 Γ(α) tα 1 e βt dt es a función de distribución acumuada de modeo Gamma. Observación.. Nótese que a distribución de Maxwe puede ser obtenida como caso particuar de a distribución de Maxwe transmutada, específicamente cuando λ = 0. La Figura 1 muestra agunas formas que puede tomar a función de densidad de Maxwe transmutada para diferentes vaores de os parámetros θ y λ. De a figura se puede Vo. 3, No., 014]

4 14 Y.A. Iriarte & J.M. Astorga observar que a distribución de Maxwe transmutada es más fexibe en términos de asimetría que e modeo de Maxwe estándar, o cua se debe a funcionamiento de parámetro λ. Density M(1) TM(1, 1.0) TM(1, 0.5) TM(1, 0.5) TM(1, 1.0) Density M(5) TM(5, 1.0) TM(5, 0.5) TM(5, 0.5) TM(5, 1.0) x x Figura 1. Gráfica de a función de densidad de Maxwe transmutada para distintos vaores de θ y λ... Momentos Proposición.3. Si X TM(θ,λ), entonces para r = 1,,... se tiene que e r-ésimo momento está dado por µ r = E(X r ) = π ( θ) r/ a r, (6) donde a r = (1 + λ)γ ( ) r+3 λi(r), Γ(α) = 0 u α 1 e u du es a función gamma, I(r) = u r+1 e u G(u,3/,1)du y G(u,α,θ) = β α 0 0 Γ(α) uα 1 e βu du es a función de distribución acumuada de modeo Gamma. Demostración. Utiizando a definición de momentos, e r-ésimo momento de a variabe aeatoria X TM(θ,λ) está dado por ( θx µ r = x r π θ3/ x e θ (1+λ λg x ; 3 )),1 dx; 0 reaizando e cambio de variabe u = θ x, se obtiene que µ r = E(X r ) = ( ) r/ ( (1+λ)Γ π θ finamente, considerando a r = (1+λ)Γ ( r+3 ( ) ) r+3 λi(r) ; ) λi(r) se obtiene e resutado. [Revista Integración

5 Distribución de probabiidad de Maxwe transmutada 15 Observación.4. Para e cácuo de a esperanza, a varianza y os coeficientes de asimetría y curtosis, determinamos as expresiones anaíticas de os primeros cuatro momentos distribucionaes de modeo de Maxwe transmutado; para eo cacuamos os vaores que toma a función I(r) cuando r = 1,, 3, 4, utiizando procedimientos numéricos. E Cuadro 1 muestra as expresiones anaíticas de os primeros cuatro momentos distribucionaes de modeo de Maxwe transmutados y os vaores que toma a función I(r) cuando r = 1,,3,4. Cuadro 1. Cuatro primeros momentos distribucionaes de modeo de Maxwe transmutado y vaores que toma a función I(r) cuando r = 1,, 3, 4. r E(X r ) I(r) 1 ( π 1/a1 θ) 0, πθ a 0, ( π 3/a3 θ) 1, πθ a 4, Coroario.5. Si X TM(θ,λ), entonces a esperanza E(X) y a varianza Var(X) están dados, respectivamente, por E(X) = π ( θ) 1/ a 1 (7) y Var(X) = 4 ( a ) a πθ π 1. (8) Coroario.6. Si X TM(θ,λ), entonces os coeficientes de asimetría ( β 1 ) y curtosis(β ) son respectivamente ) π 1/4( 1 a 3 3 π a 1 a + 4 π a3 1 β1 = ( ) 3/ (9) a π a 1 y β = 1 ) π (a 4 8 π a 1 a π a 1a 4 a 4 π 3/ 1 ( ). (10) a π a 1 Observación.7. La Figura muestra as gráficas de os coeficientes de asimetría y curtosis de a distribución de Maxwe transmutada. En a figura se puede observar que e modeo de Maxwe transmutado es más fexibe en términos de asimetría y curtosis que e modeo de Maxwe. Cuando λ = 0 os coeficientes de asimetría y curtosis de a distribución de Maxwe transmutada toman os vaores (16 5π) (3π 8) 3/ y 15π +16π 19 (3π 8), respectivamente, que son os coeficientes de asimetría y curtosis de a distribución de Maxwe. Vo. 3, No., 014]

6 16 Y.A. Iriarte & J.M. Astorga Asimetría Curtosis Lambda Lambda Figura. Gráficas de os coeficientes de asimetría y curtosis de os modeos de Maxwe y de Maxwe transmutado. Parte izquierda: a ínea sóida representa a asimetría de modeo de Maxwe transmutado, y e punto representa a asimetría de modeo de Maxwe. Parte derecha: a ínea sóida representa a curtosis de modeo de Maxwe transmutado, y e punto representa a curtosis de modeo de Maxwe. 3. Inferencia En esta sección estudiamos os estimadores de momentos y de máxima verosimitud para os parámetros θ y λ de a distribución de Maxwe transmutada. Proposición 3.1. Si X 1,...,X n es una muestra aeatoria de una distribución de a variabe aeatoria X T M(θ, λ), entonces os estimadores de momentos de θ = (θ, λ) son y θ M = 4 πx a (11) X X a 1 a = 0, (1) donde X es a media muestra, X es a media muestra de as observaciones a cuadrado, con a 1 y a según se definen en a Proposición.3. Demostración. Utiizando (6) se tiene que E(X) = ( ) 1/ a 1 π θ y E(X ) = 4 a, πθ y uego, sustituyendo E(X) por X y E(X ) por X, se obtiene un sistema de ecuaciones dos por dos. Despejando θ de cada ecuación se obtiene θ = 8 πx a 1 (a) y θ = 4 πx a (b). (13) La ecuación (13b) corresponde a resutado mostrado en (1); finamente, iguaando as expresiones (13a) y (13b) se obtiene e resutado mostrado en (11). [Revista Integración

7 Distribución de probabiidad de Maxwe transmutada Estimadores de máxima verosimiitud Para una muestra aeatoria X 1,...,X n que proviene de a distribución TM(θ,λ), a función og-verosimiitud puede ser escrita como: ogl(θ,λ) = n ( ) og + 3n n π og(θ)+ og(x i ) θ n n x i + og(1+λ λf(x;θ)). i=1 i=1 i=1 (14) Por o tanto, as ecuaciones de máxima verosimiitud son dadas por 1 n n x F 1 (x i ;θ) i +λ 1+λ λf(x i ;θ) = 3n θ, (15) i=1 i=1 n i=1 F(x i ;θ) = 0, (16) 1+λ λf(x i ;θ) donde F(x;θ) es a función de distribución de Maxwe y F 1 (x;θ) = d dθf(x;θ). Sin embargo, as ecuaciones (15) y (16) no conducen a souciones anaíticas expícitas para as estimaciones de os parámetros de modeo. Por o genera, es más conveniente utiizar agoritmos de optimización no ineaes, taes como e agoritmo cuasi-newton para maximizar numéricamente a función de og-verosimiitud dada en (14). Por ejempo, e programa R [10] posee a ibrería de optimización no inea optim para resover estos probemas. Observación 3.. Para e cácuo de os estimadores de máxima verosimiitud utiizando a ibrería optim, es conveniente usar como vaores iniciaes os estimadores de momentos de a distribución de Maxwe transmutada. Otra aternativa es, si ya se conoce e estimador de máxima verosimiitud de a distribución de Maxwe, considerar dicho estimador como vaor inicia teniendo en cuenta λ = Matriz de información En esta subsección discutimos a matriz de información observada de a distribución de Maxwe transmutada. Si X TM(θ,λ), entonces a matriz de información observada está dada por I n (θ,λ) = 3n n θ λg F 1 (x i ;θ) θ(x i ) 1+λ λf(x i=1 i ;θ) λg λ(x i ), G θ (x i ) G λ (x i ) donde G ν (x i ) = n anterior. i=1 d dν 4. Estudio de simuación F(x i;θ) 1+λ λf(x i;θ), ν = θ,λ con F y F 1 dadas en a subsección En esta sección se reaiza un estudio de simuación para iustrar e comportamiento de os estimadores MLE de os parámetros θ y λ. Generamos 1000 muestras aeatorias de Vo. 3, No., 014]

8 18 Y.A. Iriarte & J.M. Astorga tamaños n = 50, n = 100 y n = 00 desde a distribución T M(θ, λ) para vaores fijos de os parámetros. Los números aeatorios X T M(θ, λ) pueden ser generados computando X = F 1 ( 1+λ ) (1+λ) 4λU, (17) λ donde U u(0,1) y F 1 es a función de os cuanties de a distribución de Maxwe. Los estimadores se pueden obtener utiizando a ibería optim que utiiza e método L-BFGS- B en e paquete estadístico R [10]. Las medias y as desviaciones estándar empíricas se presentan en Cuadro ; aquí se puede observar que as medias empíricas son cercanas a os verdaderos vaores de os parámetros y as desviaciones estándar son pequeñas; esto se hace más evidente a medida que e tamaño muestra aumenta. Cuadro. Estimaciones de máxima verosimiitud de os parámetros θ y λ de a distribución TM para muestras simuadas de tamaño 50, 100 y 00. n = 50 n = 100 n = 00 θ λ θ (SD) λ (SD) θ (SD) λ (SD) θ (SD) λ (SD) 1,0 0,5 1,098 (0,6) 0,347 (0,45) 1,071 (0,) 0,389 (0,40) 1,046 (0,18) 0,48 (0,3) 0,01 1,044 (0,) -0,066 (0,43) 1,004 (0,17) 0,006 (0,36) 0,997 (0,14) 0,09 (0,30) -0,5 1,007 (0,15) -0,488 (0,35) 0,997 (0,1) -0,495 (0,8) 1,000 (0,07) -0,497 (0,16),0-1,0 1,969 (0,18) -0,940 (0,13) 1,977 (0,1) -0,966 (0,06) 1,987 (0,09) -0,975 (0,04) 0,01,114 (0,46) -0,084 (0,44),016 (0,35) 0,008 (0,36) 1,967 (0,9) 0,051 (0,3) 1,0,09 (0,4) 0,888 (0,3),165 (0,37) 0,896 (0,1),096 (0,7) 0,938 (0,16) 3,0 0, 3,7 (0,74) 0,063 (0,43) 3,104 (0,57) 0,14 (0,36) 3,044 (0,50) 0,185 (0,3) 0,5 3,70 (0,76) 0,351 (0,44) 3,183 (0,6) 0,399 (0,37) 3,145 (0,53) 0,40 (0,3) 0,8 3,164 (0,64) 0,750 (0,9) 3,110 (0,58) 0,755 (0,7) 3,118 (0,49) 0,747 (0,4) 5. Apicación Las compañias eéctricas necesitan información acerca de os hábitos de consumo de os cientes para obtener pronósticos exactos de as demandas de energía. Los datos,97; 4,00; 5,0; 5,56; 5,94; 5,98; 6,35; 6,6; 6,7; 6,78; 6,80; 6,85; 6,94; 7,15; 7,16; 7,3; 7,9; 7,6; 7,6; 7,69; 7,73; 7,87; 7,93; 8,00; 8,6; 8,9; 8,37; 8,47; 8,54; 8,58; 8,61; 8,67; 8,69; 8,81; 9,07; 9,7; 9,37; 9,43; 9,5; 9,58; 9,60; 9,76; 9,8; 9,83; 9,83; 9,84; 9,96; 10,04; 10,1; 10,8; 10,8; 10,30; 10,35; 10,36; 10,40; 10,49; 10,50; 10,64; 10,95; 11,09; 11,1; 11,1; 11,9; 11,43; 11,6; 11,70; 11,70; 1,16; 1,19; 1,8; 1,31; 1,6; 1,69; 1,71; 1,91; 1,9; 13,11; 13,38; 13,4; 13,43; 13,47; 13,60; 13,96; 14,4; 14,35; 15,1; 15,4; 16,06; 18,6; corresponden a consumo ajustado de energía (en BTU) durante cierto período para una muestra de 90 hogares con caefacción de gas. Estos datos pueden ser encontrados en Devore [6]. Cacuamos e estimador de máxima verosimiitud para e parámetro θ de modeo de Maxwe, e que fue θ = 5,970. Considerando λ = 0, utiizamos estos vaores como vaor [Revista Integración

9 Distribución de probabiidad de Maxwe transmutada 19 Frecuencia TM M Fn(x) TM M Consumo (BTU) x Figura 3. Parte izquierda: Histograma de consumo de energía ajustado con os modeos de Maxwe y de Maxwe transmutado provistos de as estimaciones de máxima verosimiitud. Parte derecha: Distribución empírica y distribuciones de Maxwe y de Maxwe transmutada provistas de as estimaciones de máxima verosimiitud. inicia para e cácuo de os estimadores de máxima verosimiitud para os parámetro θ y λ de modeo de Maxwe transmutado mediante procedimientos numéricos (ver Figura 3). La matriz de varianzas y covarianzas de Maxwe transmutada ( θ = 0,0397, λ = 1,0000) está dada por I( Θ) 1 = ( ) 8, , , , Así, a varianza de as estimaciones de máxima verosimiitud de θ y λ son Var( θ) = 8, y Var( λ) = 1, Para comparar e ajuste reaizado por as distribuciones de Maxwe y de Maxwe transmutada utiizamos os criterios de Komogórov-Smirnov (K-S), de información de Akaike AIC [1] y de información Bayesiano BIC [11]. Los criterios AIC y BIC están definidos como AIC = k og(l) y BIC = kog(n) og(l), donde k es e número de parámetros de modeo estadístico, n es e tamaño de a muestra y L es e máximo vaor de a función de verosimiitud para e modeo estimado. Para e cácuo de os vaores correspondientes a criterio K-S usamos as estimaciones de máxima verosimiitud para θ y λ mostradas en e Cuadro 3. E Cuadro 3 muestra as estimaciones de máxima verosimiitud para os parámetros de os modeos de Maxwe y de Maxwe transmutado. E Cuadro 4 muestra os vaores correspondientes a os criterios K-S, AIC y BIC asociados a os ajustes reaizados con os modeos de Maxwe y de Maxwe transmutado. De Cuadro 4 se puede observar que a distribución de Maxwe transmutada ajusta de mejor forma os datos asociados a consumo de energía. Vo. 3, No., 014]

10 0 Y.A. Iriarte & J.M. Astorga Cuadro 3. Estimaciones de máxima verosimiitud para os parámetros de os modeos M y TM para os datos de consumo de energía. Modeo Parámetros estimados I. C. 95 % M θ = 0,081 [0,03, 0,033] TM θ = 0,0397 [0,034, 0,045] λ =-1,0000 [-1,10, -0,789] Cuadro 4. Criterios de comparación. Modeo K-S AIC BIC M 0,0976 9,035 46,558 TM 0, , , Concusiones finaes En este estudio se ha presentado una generaización de a distribución de Maxwe a a que amamos distribución de Maxwe transmutada. Esta distribución se genera usando e mapa transmutación de rango cuadrático, considerando como función base a función de distribución acumuada de Maxwe. La distribución de Maxwe transmutada posee un parámetro θ de escaa y un parámetro λ que introduce fexibiidad en términos de asimetría y curtosis. Derivamos os momentos distribucionaes y cacuamos os coeficientes de asimetría y de curtosis. De anáisis de inferencia se obtuvieron os estimadores de momentos, as ecuaciones de máxima verosimiitud y a matriz de información observada. De estudio de simuación, se observa que e comportamiento de os estimadores de máxima verosimiitud de os parámetros θ y λ de a distribución Maxwe transmutada son consistente. De a apicación con datos reaes podemos señaar que a distribución de Maxwe transmutada puede presentar un mejor ajuste que e modeo de Maxwe estándar. Por o anterior, proponemos a a distribución de Maxwe transmutada como un modeo aternativo a modeo de Maxwe. Referencias [1] Akaike H., A new ook at the statistica mode identification, IEEE Trans. Automat. Contro 19 (1974), no. 6, [] Arya G. and Tsokos C., On the transmuted extreme vaue distribution with appication, Noninear Ana. 71 (009), [3] Arya G. and Tsokos C., Transmuted weibu distribution: a generaization of the weibu probabiity distribution, Eur. J. Pure and App. Math. 4 (011), no., [4] Bekker A. and Roux J., Reiabiity characteristics of the Maxwe distribution: a bayes estimation study. Comm. Statist. Theory Methods 34 (005), [5] Chaturvedi A. and Rani U., Cassica and Bayesian reiabiity estimation of the generaized Maxwe faiure distribution, J. Statist. Res. 3 (1998), [6] Devore J., Probabiidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias, Thomson. México, 005. [7] Kazmi S., Asam M. and Ai S., On the Bayesian Estimation for two Component Mixture of Maxwe Distribution, Assuming Type I Censored Data, SOURCE Internationa Journa of Appied Science & Technoogy (01), no. 1, 197. [Revista Integración

11 Distribución de probabiidad de Maxwe transmutada 1 [8] Merovci F., Transmuted Rayeigh distribution. Austrian Journa of Statistics 4 (013), no. 1, [9] Merovci F., Transmuted Generaized Rayeigh Distribution. J. of Stat. App. Prob. 3 (014), no. 1, 9-0. [10] R Deveopment Core Team R., A anguage and environment for statistica computing, R Foundation for Statistica Computing, Vienna, Austria. ISBN , [citado 9 juio 014]. [11] Schwarz G., Estimating the dimension of a mode, Ann. Statist. 6 (1978), [1] Shaki M., Goam B. and Chang k., Distributions of the product and ratio of Maxwe and Rayeigh random variabes, Statist. Papers 49 (008), [13] Shaw W. and Buckey I., The achemy of probabiity distributions: beyond gramcharier expansions, and a skew-kurtotic-norma distribution from a rank transmutation map, IMA, Primera Conferencia sobre Finanzas Computacionaes, Corne University, (007). [14] Tyagi R. and Bhattacharya S., A note on the MVU estimation of reiabiity for the Maxwe faiure distribution, Estadística 41 (1989), no Vo. 3, No., 014]

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