MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009

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1 1 MARTINGALAS Rosario Romera Febrero Nocioes básicas De ició: Sea (; F; P ) u espacio de probabilidad y T 6= ; y sea (F t ) t2t ua ltració e F. Ua familia fx t g t2t de v.a. reales de idas sobre (; F; P ) se llama ua Martigala (resp, super, sub-) co respecto a ff t g t0 si: (i) Para cada t 2 T, X t es medible co respecto a F t (ii) E[jX t j] < 1 para todo t. (iii) E[X t j F s ] = X s c.s. para todo s; t co s < t (respectivamete "", ""). (iii ) La codició (iii) es equivalete a R D E[X t j F s ]dp = R D X sdp (respectivamete ", "). Para todo D 2 F s ; s < t. Nota: E el caso especial T = N se habla de martigalas co parámetro de tiempo discreto. E tal caso, la martigala fx g 2N co respecto a ff g puede ser iterpretada como u modelo de \juego equilibrado", dode la v.a. X deota la fortua del jugador después de jugadas y F describe la historia del juego e los primeros juegos. La codició (iii) es etoces equivalete a E[X +1 j F ] = X (dode supoemos F = (X 1 ; : : : ; X )) y estaría idicado que la competecia es justa. Observació 1: Si T = N etoces fx g 2N es ua martigala (respectivamete supermartigala o submartigala) si y sólo si E[X +1 j F ] = X (" "; " ") para todo 2 N. Observació 2: Al tomar D =, obteemos que para cada supermartigala (respectivamete submartigala) se satisface que: E[X t ] E[X s ] (resp. E[X t ] E[X s ]). Observació 3: Si T es totalmete ordeado y fx t ; t 2 T g es ua martigala etoces los valores esperados E[X t ] o depede de t. Observació 4: Si costa de u úico puto etoces ua supermartigala fx g 2N o es otra cosa que ua sucesió decreciete de úmeros reales. (aalogamete: submartigala correspode a sucesió creciete de úmeros reales)

2 2 Desigualdad de Jese: Sea ' ua fució covexa sobre u itervalo I R, es decir que: etoces: ' (x + (1 )y) '(x) + (1 )'(y); 8x; y 2 I; 8 2 [0; 1] Si Y es ua v.a. itegrable de ida sobre (; F; P ) co valores e I y si ' Y es itegrable etoces: i) E[Y j ] 2 I c.s para toda sub--álgebra de F. ii) E particular: '(E[Y ]) E[' Y ] Observació a) Si X = fx t ; t 2 T g y Y = fy t ; t 2 T g so martigalas (resp. super-, submartigalas) co respecto a ff t g t y a; b 2 R (resp. a; b 2 [0; +1)) etoces fax t + by t g t es ua martigala co respecto a ff t g t (resp. super-, submartigala). b) Si X = fx t ; t 2 T g es ua martigala etoces X = fx 2 t ; t 2 T g (si las v.a. so dos veces itegrables), X = fx + t ; t 2 T g, X = fx t ; t 2 T g, X = fjx t j; t 2 T g so submartigalas. c) X = fx t ; t 2 T g es ua supermartigala etoces X = fx t ; t 2 T g es ua submartigala. 2. Martigalas co parámetro discreto E la secció aterior hemos de ido e geeral el cocepto de martigala y hemos dado alguas de sus propiedades más importates. E este capítulo cetraremos uestra ateció e el estudio de las martigalas co parámetro discreto, esto es, aquellas para las cuales T = N. Retomado la de ició dada e la secció aterior teemos: De icio 1: U proceso estocástico fx g 2N es ua martigala (respectivamete super-,sub-martigala) co respecto a la ltració ff g si se satisface las siguietes codicioes: (1) X es F -medible (2) E[jX j] < +1 (3) E[X +1 j F ] = X c.s. (respectivamete "", "") De icio 2: Si fx g 2N y fy g 2N so dos procesos estocásticos etoces decimos que fx g 2N es ua martigala (respec. super-, submartigala) co respecto a fy g si fx g es ua martigala (respec. super-, submartigala) co respecto a ff g dode F = (Y 1 ; : : : ; Y ). Observació Si fx g es ua submartigala co respecto a ff g etoces f X g es ua supermartigala co respecto a ff g. Por lo tato, se obtiee, e geeral, co muy pocas modi cacioes, que todo lo que se demuestra para submartigalas es válido para supermartigalas y viceversa.

3 3 3. Ejemplos Ejemplo 1 Sea X 1 ; X 2 ; : : : ua sucesió de variables aleatorias idepedietes co E[X ] = 1 para todo. Sea Y = Q i=1 X i etoces fy : 1g es ua martigala co respecto a fx g. E efecto: E[Y +1 j X 1 ; X 2 ; : : : ; X ] = E[Y X +1 j X 1 ; X 2 ; : : : X ] = Y E[X +1 j X 1 ; : : : ; X ] = Y E[X +1 ] = Y Ejemplo : Martigala de Doob Sea X; Y 1 ; Y 2 ; : : : variables aleatorias arbitrarias tales que E[jXj] < 1 y sea X = E(X j Y 1 ; Y 2 ; : : : ; Y ) Etoces fx ; 1g es ua martigala co respecto a fy g. E efecto: E[jX j] = E [je[x j Y 1 ; Y 2 ; : : : ; Y ]j] E [E[jXj j Y 1 ; Y 2 ; : : : ; Y ]] = E[jXj] < +1 E[X +1 j Y 1 ; : : : ; Y ] = E[(X j Y 1 ; Y 2 ; : : : ; Y +1 ) j Y 1 ; : : : ; Y ] = E[X j Y 1 ; : : : ; Y ] = X 4. Propiedades Elemetales 1. Si fx g es ua martigala (super-martigala) co respecto a fy g etoces E[X +k j Y 0 ; : : : ; Y ] = X ( " ") para todo k Si fx g es ua martigala (supermartigala) co respecto a fy g etoces para 0 k se satisface E[X ] = E[X k ] (resp: E[X ] E[X k ]) 3. Si fx g es ua martigala co respecto a fy g y f es ua fució covexa etoces ff(x ) : 1g es ua submartigala co respecto a fy g. Demostracioes Propiedad 1. (Por iducció)

4 4 Para k = 0 se tiee ya que X es medible co respecto a F = (Y 0 ; : : : ; Y ). Supogamos válido para k y demostremos para k + 1: E[X +k+1 j Y 0 ; : : : ; Y ] = E[E(X +k+1 j Y 0 ; : : : ; Y ; : : : ; Y +k ) j Y 0 ; : : : ; Y ] Propiedad 2. E[X j Y 0 ; : : : ; Y k ] = X k = E[X +k j Y 0 ; : : : ; Y ] = X Por lo tato E[X ] = E [E[X j Y 0 ; : : : ; Y k ]] = E[X k ] Propiedad 3. E[f(X +1 ) j Y 1 ; Y 2 ; : : : ; Y ] f(e[x +1 j Y 1 ; : : : ; Y ]) (desigualdad de Jese) = f(x ) Observacio: Si se cosidera ua martigala fx g si especi car la ltració se etederá que se trata de ua martigala co respecto a F = (X 2 ; X 2 ; : : : ; X ). 5. Tiempo de Parada Teorema 1: Si N es u tiempo de parada para la martigala fx g proceso parado fx g de ido por: etoces el X = X si N X N si N < Es tambié ua martigala Observació Como N es u tiempo de paro etoces P (N < 1) = 1. Por lo tato, para su - cietemete grade se tiee que X = X N. Por lo tato, co probabilidad 1, X!X cuado! 1. Si N es acotado etoces se puede demostrar que lo aterior implica que E[X ]!E[X N ] cuado! 1. Puesto que E[X ] = E[X 1 ] para todo etoces E[X N ] = E[X 1 ] Es decir, si u jugador está participado e u juego equilibrado y decide salir del juego usado u tiempo de parada etoces su fortua esperada al será igual a su fortua esperada iicial. Aálogamete se tiee que: Teorema 2: Si N es u tiempo de paro para fx : 1g y N es acotado etoces: E[X N ] E[X 1 ] si fx : 1g es ua submartigala E[X N ] E[X 1 ] si fx : 1g es ua supermartigala

5 5 Teorema 3 Si fx : 1g es ua submartigala y N es u tiempo de parada para fx : 1g tal que P (N k) = 1 para algú k etoces E[X 1 ] E[X N ] E[X k ] Teorema 4 Si fx : 1g es ua submartigala o-egativa etoces para todo a > 0, se tiee que: P (max(x 1 ; X 2 ; : : : ; X k ) > a) E[X k] a Corolario 1 Sea fx : 1g ua martigala. Etoces para a > 0 se satisface que: P (max (jx 1 j; : : : ; jx k j) > a) E[jX kj] a P (max (jx 1 j; : : : ; jx k j) > a) E[jX kj 2 ] a 2 Demostracioes Teorema 1 Sea I = 1 si N 0 si N < Teemos: Si N etoces X = X, X 1 = X 1, I = 1 y por lo tato X = X 1 + I (X X 1 ) () Si N < etoces X 1 = X = X N, I = 0 y de uevo () es válido. Por lo tato, E[X j X 1 ; X 2 ; : : : ; X 1 ] = E[X 1 + I (X X 1 ) j X 1 ; : : : ; X 1 ] = E[X 1 j X 1 ; : : : ; X 1 ] + I E[X X 1 j X 1 ; : : : ; X 1 ] = X 1 + I (E[X j X 1 ; : : : ; X 1 ] E[X 1 j X 1 ; : : : ; X 1 ]) = X 1 + I (X 1 X 1 ) = X 1 2 Teorema 2 Como N es acotado y X!X N, co probabilidad 1 cuado! 1 etoces X!X N cuado! 1, puesto que fx : 1g es ua submartigala (resp. ua supermartigala) etoces E[X ] E[X 1 ] para todo y por lo tato E[X N ] E[X 1 ] (respectivamete E[X ] E[X 1 ] para todo ). Teorema 3 Como N es acotado etoces por el teorema aterior (Teorema 2) E[X N ] E[X 1 ]. Por otra parte, E[X k j X 1 ; X 2 ; : : : ; X N = l; N = l] = E[X k j X 1 ; X 2 ; : : : ; X l = l; N = l] = E[X k j X 1 ; X 2 ; : : : ; X l ] Por ser N tiempo de paro co respecto a fx g X l = X N por ser fx g ua submartigala

6 6 Tomado valores esperados se obtiee: E[X k ] E[X N ] 2 Teorema 4 Sea N el meor valor de i co i k tal que X i > a. Si X i a para todo i = 1; : : : ; k etoces de imos N = k. N es u tiempo de paro co respecto a fx : 1g. Además max (X 1 ; X 2 ; : : : ; X k > a) si y sólo si X N > a, por lo tato pues N k 2 P (max (X 1 ; X 2 ; : : : ; X K ) > a) = P (X N > a) = E[1 fxn >ag] 1 E a :X N = 1 a E[X N] 1 a E[X K] Corolario 1 Como '(x) = jxj es ua fució covexa y fx : 1g es ua martigala, se sigue de la desigualdad de Jese que fjx j : 1g es ua submartigala o egativa. Por el teorema aterior obteemos que: P (max(jx 1 j ; : : : ; jx k j) > a) E[jX kj] a Por otra parte, como (x) = x 2 es ua fució covexa y fx : 1g es ua martigala obteemos de uevo por la desigualdad de Jese que fx 2 : 1g es ua submartigala o-egativa, por lo tato, Esto es: P (max (X 2 1; : : : ; X 2 k) > a 2 ) E[X2 k ] a 2 P (max (jx 1 j ; : : : ; jx k j) > a) E[X2 k ] a Teorema de Covergecia El siguiete teorema es básico e la teoría de martigalas Teorema 1: Si fx g 1 es ua martigala tal que para algú M < 1 se satisface que E[jX j] M para todo etoces co probabilidad 1, lm!1 X existe y es ito. Para la demostració, ver Ross págia 315. Corolario 1: Si fx : 0g es ua martigala o egativa, etoces, co probabilidad 1, lm!1 X existe y es ito.

7 7 Vamos a dar a cotiuació dos aplicacioes del teorema de covergecia para martigalas, para hacerlo itroduciremos el siguiete cocepto: De ició: U proceso de Galto-Watso fz g 2N es ua cadea de Markov homogéea co cojuto de estados S los eteros o egativos. Sus probabilidades de trasició ij co i; j 2 S está expresadas e térmios de ua sucesió dada fp k ; X k = 0; 1; 2; : : :g, p k 0 y P p k = 1 mediate p i j = 1; i 1; j 0 ij = P (Z +1 = j j Z = i) = 0j ; i = 0; j 0 dode ij es el símbolo de Kroecker y p i j ; j = 0; 1; 2; : : : es la j-ésima compoete de la i-ésima covolució de fp k ; k = 0; 1; 2; : : :g. Para evitar trivialidades se supoe que p 0 + p 1 < 1 y que p j 6= 1 para todo j, pues e caso cotrario el proceso se extigue co probabilidad 1. El proceso de Galto-Watso fz g es u modelo matemático que permite describir el desarrollo de ua població que se comporta de la siguiete maera: Supogamos que e el tiempo t = 0 hay Z 0 idividuos cada uo de los cuales, al cabo de ua uidad de tiempo, es reemplazado por u úmero aleatorio de uevos idividuos (sus hijos) de acuerdo a ua distribució comú de descedecia fp k ; k = 0; 1; 2; : : :g e idepedietemete de los demás idividuos. El úmero de idividuos e la primera geeració es etoces ua suma de Z 0 variables aleatorias cada ua co distribució fp k ; k = 0; 1; 2; : : :g. Los idividuos de la primera geeració so reemplazados, de maera aáloga, por uevos idividuos los cuales costituye la seguda geeració y así sucesivamete. El úmero de hijos que cada idividuo tiee es idepediete de su historia familiar y de los demás idividuos. La variable aleatoria Z represeta el úmero de idividuos e la -ésima geeració. Si pérdida de geeralidad podemos supoer Z 0 = 1. Teorema 2: Sea fz g u proceso de Galto-Watso, m = E[Z 1 ] W := Z y m F = (Z 0 ; Z 1 ; : : : ; Z ). Si 0 < m < 1 etoces fw g es ua martigala co respecto a ff g. Más aú como W 0 etoces existe ua variable aleatoria o egativa W tal que co probabilidad 1, lm W = W!1 Teorema 3: Sea fx g ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e igualmete distribuidas co = E[X 1 ] < +1. Sea S = P i=1 X i etoces: S P lm!1 = = 1 Demostracioes

8 8 Corolario 1 Como X es o egativo, E[jX j] = E[X ] = E[X 1 ] Por lo tato, del teorema 1 se cocluye la existecia co probabilidad 1, del lm!1 X : 2 Teorema 2 Por el Corolario 1, teemos que sólo ecesitamos probar que fw g es ua martigala. E efecto: Z+1 E [W +1 j F ] = E m j F +1 = 1 m E [Z j F ] = 1 m E[Z j Z ] por ser fz g ua cadea de Markov = 1 m :mz +1 = W 2 La seguda aplicació que presetamos del teorema de covergecia para martigalas, es ua demostració de la ley fuerte de lo grades úmeros. Teorema 3 Supodremos que la fució geeradora de mometos de las variables aleatorias X existe. Sea " > 0 jo pero arbitrario y cosideremos la fució dode m(t) = E[e tx 1 ]. Es claro que: g(0) = 1 g(t) = e t(+") =m(t) g 0 (0) = m(t):( + ")et(+") e t(+") :m 0 (t) [m(t)] 2 = " > 0 t=0 Por lo tato existe t 0 > 0 tal que g(t 0 ) > 1. Vamos a probar que: S P > + " para u úmero i ito de = 0 y que P S " para u úmero i ito de = 0 Co lo cual se tedría que P ( " S + " para todos, salvo u úmero ito de )= 1. Teemos S () + "! et0s e t m (t 0 ) 0 (+") = [g(t 0 )] m(t 0 )

9 9 Es fácil veri car (ejercicio!) que M := et 0S m (t 0 ) es ua martigala o egativa por lo tato, por el teorema de covergecia para martigalas se tiee que, co probabilidad 1, lm!1 M existe y esto es ito: Puesto que g(t 0 ) > 1 se sigue de () que S P > + " para u úmero i ito de = 0 De maera aáloga se prueba que S P + " para u úmero i ito de = 0: 2

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