TEMA I.7. Ondas en Tres Dimensiones. Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

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1 TEMA I.7 Ondas en Tres Dimensiones Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato DA-UG (México) División de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 20

2 Ondas en Tres Dimensiones En la Figura I.7.1 se ven ondas circulares bidimensionales sobre la superficie del agua. Estas ondas se generan mediante una fuente puntual que se mueve hacia arriba y hacia abajo con MAS. En este caso la longitud de onda es la distancia entre crestas de ondas sucesivas, que son concéntricas, denominadas frentes de onda. En el caso de un foco o fuente puntual de sonido, las ondas se miden en tres dimensiones. Se mueven alejándose del foco en todas direcciones y los frentes de onda son ahora superficies esféricas concéntricas. Para ondas circulares o esféricas, los rayos son ĺıneas radiales (ver Figura I.7.2). A una distancia grande de un foco puntual, una parte pequeña del frente de onda puede sustituirse aproximadamente por un plano y los rayos son aproximadamente ĺıneas paralelas; este tipo de onda se llama onda plana. TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 2 / 20

3 Ondas en fuentes puntuales Figura I.7.1: Frentes de onda circulares que divergen a partir de un foco puntual en una cubeta de ondas. TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 3 / 20

4 Ondas en fuentes puntuales Figura I.7.2: El movimiento de los frentes de onda pueden representarse mediante rayos que se dibujan perpendiculares a los frentes de onda. TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 4 / 20

5 Ondas en fuentes puntuales Un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones, la energía a una distancia r del mismo estará distribuida uniformemente sobre una corteza esférica de radio r y superficie 4πr 2. Si la potencia emitida por el foco es P, la potencia por unidad de área a una distancia r del foco será P/(4πr 2 ). La potencia media por unidad de área que esta incidiendo perpendicularmente a la dirección de propagación se denomina Intensidad: I = P m A Definición de Intensidad Las unidades de la intensidad son vatios o watts por metro cuadrado. A una distancia r de un foco puntual, la intensidad vale: I = P m 4πr 2 Intensidad debida a un foco puntual TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 5 / 20

6 Ondas en fuentes puntuales La intensidad varía inversamente con el cuadrado de la distancia. Existe una relación entre la intensidad de una onda y la energía por unidad de volumen del medio por el que se propaga la onda. Consideremos la onda esférica que acaba de alcanzar el radio r 1 (ver Figura I.7.3). El volumen interior al radio r 1 contiene energía debido a que las partículas en esta región están oscilando con MAS. La región exterior a r 1 no contiene energía porque las ondas todavía no han alcanzado dicha región. TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 6 / 20

7 Ondas en fuentes puntuales Figura I.7.3: Volumen de la corteza = V = A r = A ν t. TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 7 / 20

8 Ondas en fuentes puntuales Después de un intervalo de tiempo t, la onda, en su movimiento, sobrepasa r 1, en una distancia corta r = ν t. La energía total en el medio se ve incrementada en la energía contenida en la corteza esférica de superficie A, de espesor ν t y volumen V = A r = Aν t. La energía media de la corteza esférica es ( E) m = η m V = η m Aν t donde η m es la densidad de energía media. El incremento de energía por unidad de tiempo es la potencia que entra en la corteza. Así pues, la potencia media incidente es P m = ( E) m t = η m Aν TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 8 / 20

9 Ondas en fuentes puntuales Y la intensidad de las ondas es I = P m A = η mν Por lo tanto, la intensidad es igual al producto de la velocidad de la onda ν por la densidad de energía media η m. Sustituyendo η m = 1 2 ρω2 s0 2 en la expresión anterior resulta I = η m ν = 1 2 ρω2 s 2 0ν = 1 2 P 2 0 ρν en donde se ha tenido en cuenta que s 0 = P 0 /(ρων), o P 0 = ρωνs 0 máxima amplitud de presión - máxima amplitud de desplazamiento s 0. Este resultado es una propiedad general de las ondas armónicas. TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 9 / 20

10 Ondas Sonoras Armónicas Las ondas sonoras armónicas pueden generarse mediante un diapasón o un altavoz que vibre con movimiento armónico simple. La fuente vibrante hace que las moléculas de aire próximas oscilen con movimiento armónico simple alrededor de sus posiciones de equilibrio. Estas moléculas chocan con otras moléculas primas haciéndolas oscilar y, por lo tanto, propagan la onda sonora. La ecuación (y(x, t) = A sen(κx ωt)) describe una onda sonora armónica si la función de onda y(x, t) se reemplaza por s(x, t), el desplazamiento de las moléculas respecto a su posición de equilibrio. s(x, t) = s 0 sen(κx ωt) TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 10 / 20

11 Ondas Sonoras Armónicas Estos desplazamientos se verifican a lo largo de la dirección del movimiento de la onda y dan lugar a variaciones de densidad y presión del aire. Como la presión del gas es proporcional a su densidad, el cambio de presión es máximo cuando la variación de densidad es máxima. Cuando el desplazamiento es cero, los cambio de presión y densidad son máximos o mínimos. Cuando el desplazamiento es máximo o mínimo, los cambios de presión y densidad son nulos. Una onda de desplazamiento dada por la ecuación anterior implica un onda de presión dada por ( p = p 0 sen κx ωt π ) 2 donde p representa el cambio de presión respecto a la presión de equilibrio y p 0 es el valor máximo de este cambio. TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 11 / 20

12 Ondas Sonoras Armónicas Se puede demostrar que la máxima amplitud de presión p 0 está relacionada con la máxima amplitud de desplazamiento s 0 por p 0 = ρωνs 0 en donde ν es la velocidad de propagación y ρ la densidad de equilibrio del gas. Así, cuando una onda sonora se propaga con el tiempo, el desplazamiento de las moléculas del aire, la presión y la densidad varían todas ellas senosoidalmente con la frecuencia de la fuente vibrante. TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 12 / 20

13 Ondas en fuentes puntuales Ejemplo: Un altavoz El diafragma de un altavoz de 30 cm de diámetro vibra con una frecuencia de 1 khz y una amplitud de mm. Suponiendo que las moléculas de aire próximas al diafragma tienen esta misma amplitud de vibración, determinar (a) la amplitud de la presión justo enfrente del diafragma, (b) la intensidad de sonora en esta posición, (c) la potencia acústica irradiada, y (d) si el sonido se irradia uniformemente en la semiesfera anterior, determinar la intensidad a 5 m del altavoz. (a) P 0 = ρωνs 0 ( = 1.29 kg ) ( m 3 (2π[10 3 Hz]) 344 m ) ( m) = 55.1 N s m 2 TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 13 / 20

14 Velocidad de una Onda Longitudinal (b) I = 1 2 ρω2 s 2 0 ν = 1 2 ( 1.29 kg ) ( m 3 (2π[10 3 Hz]) 2 ( m) m ) = 3.46 W s m 2 (c) P = IA = (3.45 Wm ) 2 π (0.15 m) 2 = W (d) I = Pm 2πr 2 = P m 2π(5 m) 2 = W m 2 TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 14 / 20

15 Nivel de Intensidad Nuestra percepción de la sonoridad no es proporcional a la intensidad sino que varía logarítmicamente. Usaremos, por lo tanto, una escala logarítmica para describir el nivel de intensidad de una onda sonora β, el cual se mide en decibelios (db) y se define por β = 10 log I I 0 Definición - Nivel de intensidad db, en donde I es la intensidad física del sonido e I 0 es un nivel de referencia, que tomamos como umbral de audición: I 0 = W /m 2 En esta escala, el umbral de audición es β = 10 log( I I 0 ) = 0 db y el umbral de dolor (I = 1 W /m 2 1 ) es β = 10 log( ) = 10 log = db. Así pues, el intervalo de intensidades físicas de W /m 2 a 1 W /m 2 corresponden a un intervalo de niveles de sensación sonora de 0 db a 120 db. TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 15 / 20

16 Nivel de Intensidad Ejemplo: Pruebas de Sonido Un material absorbente del sonido atenúa el nivel de sonoridad en 30 db En que factor disminuye la intensidad? β = 10 log I I 0 30 db = 10 log( I I 0 ) I = 10 3 I 0 TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 16 / 20

17 Nivel de Intensidad Ejemplo: Ladrido de un perro El ladrido de un perro tiene una potencia de 1 mw. (a) Cuál es le nivel de intensidad a una distancia de 5 m? (b) Cuál será el nivel de intensidad de dos perros ladrando al mismo tiempo? Solución: (a) Sustituyendo en obtenemos I = 10 3 W 4π(5 m) 2 = W /m 2 β = 10 log I I o = 10 log W /m W /m 2 = 65 db TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 17 / 20

18 Nivel de Intensidad (b) Nótese que dos perros generaran 2I, sustituyendo β = 10 log I I o = 10 log 2 I I o β = 10 log(2) + 10 log I I o β = 10 log(2) + 10 log W /m W /m 2 β = 10 log(2) + 65 db = 3 db + 65 db = 68 db TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 18 / 20

19 Nivel de Intensidad Ejercicio: Y sí ahora tenemos cuatro perros ladrando al mismo tiempo. Qué parará? Ejercicio: Una fuente puntual radia el sonido uniformemente en todas direcciones, y a una distancia de 10 m se tiene una intensidad de I = 10 4 W /m 2. A qué distancia de la fuente la intensidad es de 10 6 W /m 2? Qué potencia está radiando dicha fuente? TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 19 / 20

20 Nivel de Intensidad Fuente I /I 0 db Descripción Umbral de audición Respiración normal Escasamente audible Rumor de hojas Conversación en voz muy Apenas ruidoso baja (a 5 m) Biblioteca Oficina tranquila Poco ruidoso Conversación normal (a 1 m) Tráfico denso Oficina ruidosa con máquinas; Fabrica de tipo medio Camión pesado (a 15 m); Exposición constante Cataratas del Niágra daña al oído Tren de metro antiguo Ruido de construcción (a 3 m) Umbral del dolor Concierto de rock con amplificadores (a 2 m) Remachadora neumática; Ametralladora Despegue de un reactor (cercano) Motor de cohete grande (cercano) TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 20 / 20

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