Magister Edgard Vidalon Vidalon

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE CIENCIAS Movimiento Lunar Magister Edgard Vidalon Vidalon LIMA PERU 2010

2 0.1 Introducción Se dice que el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra es una circunferencia. Esta trayectoria es una idealización de su movimiento. Si estudiamos en forma rigurosa se puede demostrar que su trayectoria es una elipse al considerar interacción gravitatoria TIERRA- LUNA. Pero si hacemos mediciones de su movimiento a un intervalo de decadas de años se observa que tal elipse se distorsiona y el plano que contiene a la trayectoria de la luna no está fija. La recta de intersección(linea de los nodos) de este plano con el plano XY(que contiene a la órbita de la tierra) rota cada 18.6 años. Es decir la trayectoria es más complicada de lo que se piensa. Para estudiar este movimiento complicado de la luna se hará un estudio de un caso general que es analizar el movimiento de un sistema mecánico formado por una estrella(fija en el origen de coordenadas), un planeta, y un satélite (que se mueve alrededor del planeta). Estos cuerpos serán considerados como 3 partículas de masam e, M p, M sa respectivamente. Se darán valores a las masas y las condiciones iniciales del sistema estrella-planeta-satélite iguales al caso del sistema Sol-Tierra-Luna. Luego los valores serán diferentes para observar el efecto de estas nuevos valores en el movimiento. En las primeras ecuaciones de movimiento se consideran coordenadas cartesianas, que es un método diferente al ordinario que consiste en usar ángulos para describir el sistema mecánico. Para facilitar el análisis de movimiento se introduce las magnitudes adimencionales x x D (0.1) y y D z z D R r D (0.2) (0.3) (0.4) donde x, y, z, son las coordenadas del planeta, ó satélite, r es la distancia entre los cuerpos celestes. D es una distancia de referencia que en este caso se tomará como D = 1U.A. También se define t t T (0.5) 2

3 donde T es un tiempo de referencia. En este caso T = 1 año. Además se consideran las constantes: K e G M e T 2 D 3 (0.6) K p G M p T 2 D 3 (0.7) K sa G M sa T 2 D 3 (0.8) 0.2 Ecuaciones Diferenciales de Movimiento para un sistema formado por una Estrella, Planeta, y Satélite. En la siguiente figura se tiene un sistema mecánico aislado formado por una Estrella, Planeta, y Satélite. La única interación es la gravitatoria. Fig. 1 Sea F p, F sa fuerza total sobre el planeta y el satélite respectivamente, luego: F p = F p,s + F p,e (0.9) 3

4 donde las fuerzas gravitatorias son: F p,s :actua en el planeta debido al satélite. F p,e :actua en el planeta debido al estrella. F s,p :actua en el satélite debido al planeta. F s,e :actua en el satélite debido a la estrella. Usando la ley de gravitación tenemos F p = G M p M s F s = G M s M p F s = F s,p + F s,e (0.10) r s r p r s r p 3 G M p M e r p r p 3 (0.11) r s r p r s p p 3 G M e M s r s r s 3 (0.12) Sean x p, y p, z p, x s, y s, z s las coordenadas del planeta y satélite respectivamente según el sistema de referencia inercial XY Z. Apliquemos la segunda ley de Newton a estos cuerpos celestes, luego de (0.11), (0.12) se consigue: donde r s, p = ẍ p = G M s (x s x p ) r 3 s,p ÿ p = G M s (y s y p ) r 3 s,p z p = G M s (z s z p ) r 3 s,p ẍ s = G M p (x s x p ) r 3 s, p ÿ s = G M p (y s y p ) r 3 s, p z s = G M p (z s z p ) r 3 s, p G M e x p r 3 p G M e y p r 3 p G M S y p r 3 p G M S x s r 3 s G M S y s r 3 s G M S z s r 3 s (0.13) (0.14) (0.15) (0.16) (0.17) (0.18) (x s x p ) 2 + (y s x p ) 2 + (z s z p ) 2 (0.19) r s = (x sa ) 2 + (y sa ) 2 + (z sa ) 2 (0.20) r p = (x p ) 2 + (y p ) 2 + (z p ) 2 (0.21) 4

5 Las ecuaciones (0.13) al (0.18) son ecuaciones diferenciales no lineales que si son resueltas (numericamente) tendremos la posición de cada cuerpo celeste. Usando las magnitudes adimensionales tenemos de (0.13), (0.14), (0.15), (0.16), (0.17), (0.18), ẍ p = K sa (x sa x p) K e x p p (0.22) ÿ p = K sa (y sa y p) z p = K sa (z sa z p) ẍ sa = K p (x sa x p) ÿ sa = K p (y sa y e) z sa = K p (z sa z p) K e y p p K S y p p K e x sa sa K e y sa sa K e z sa sa (0.23) (0.24) (0.25) (0.26) (0.27) Estas ecuaciones diferenciales de segundo orden se puede transformar en ecuaciones diferenciales de primer orden con los siguientes cambios de variables: x 1 = x p (0.28) x 2 = y p (0.29) x 3 = z p (0.30) x 4 = x sa (0.31) x 5 = y sa (0.32) x 6 = z sa (0.33) x 7 = ẋ p (0.34) x 8 = ẏ p (0.35) X 9 = ż p (0.36) x 10 = ẋ s (0.37) x 11 = ẏ s (0.38) x 12 = ẋ s (0.39) 5

6 obteniendo: ẋ 1 = x 7 (0.40) ẋ 7 = K sa (x 4 x 1 ) ẋ 8 = K sa (x 5 x 2 ) ẋ 9 = K sa (x 6 x 3 ) s,p ẋ 10 = K p (x 4 x 1 ) s,p ẋ 11 = K p (x 5 x 2 ) ẋ 12 = K p (x 6 x 3 ) ẋ 2 = x 8 (0.41) ẋ 3 = x 9 (0.42) ẋ 4 = x 10 (0.43) ẋ 5 = x 11 (0.44) ẋ 6 = x 12 (0.45) K e x 1 p K e x 2 p K e x 3 p K e x 4 sa K e x 5 sa K e x 6 sa (0.46) (0.47) (0.48) (0.49) (0.50) (0.51) Estas ecuaciones fueron resueltas numéricamente aplicando el método de Runge Kutta. Luego podemos hallar la trayectoria relativa del satélite considerando las coordenadas X R = x s x p (0.52) Y R = y s y p (0.53) Z R = z s z p (0.54) que son las coordenadas del satélite con respecto a un sistema de referencia no inercial X p Y p Z p con origen en el planeta pero siempre es paralelo al sistemas de ejes inercial. 6

7 Condiciones Iniciales. Fig. 2 Aplicaremos el sistema Sol T ierra Luna. Comenzaremos considerando condiciones iniciales apropiadas de tal modo que al resolver numéricamente las ecuaciones diferenciales anteriores de primer orden se obtengan para M sol = 0 una trayectoria casi circular de la luna con periodo aproximado de 1 mes. Mencionamos que se considera un movimiento tridimensional relativo y recordemos que el plano de orbita (con respecto a un sistema de referencia en la tierra) forma un ángulo de 5 grados. Luego la velocidad inicial de la Luna es como se muestra en la Fig.3 Fig. 3 Recordemos que la velocidad de la tierra es 2π rad y la velocidad de luna respecto a la año tierra es de 1.02 Km. seg Considerando la posiciones iniciales de la Fig.3 y usando la transformación de Galileo tenemos: x p(0) = 1 (0.55) 7

8 y p(0) = 0 (0.56) z p(0) = 0 (0.57) x sa(0) = (0.58) y sa(0) = 0 (0.59) z sa(0) = 0 (0.60) ẋ p = 0 (0.61) ẏ p(0) = 2π (0.62) ż p = 0 (0.63) ẋ sa(0) = 0 (0.64) ẏ sa(0) = 2π cos5 (0.65) z p (0) = sen5 (0.66) Al resolver las ecuaciones se obtiene resultados consistentes con las observaciones, manteniendose constante el ángulo de la linea de los nodos con el eje X p. 8

9 0.3 Análisis del Movimiento de la linea de los nodos Cuando la masa de la estrella es diferente de cero el estudio del movimiento del satélite respecto al planeta ya no es un problema de dos cuerpos, pero para ciertos valores de la masa estrella y condiciones iniciales la trayectoria es ligeramente diferente de la elipse(que es para el caso del sistema tierra-luna).es decir podemos considerar que la trayectoria está contenida en un plano para un intervalo menor de un año. El ángulo φ (ver Fig.4) cambia lentamente. Fig. 4 Pero para otros valores de las condiciones iniciales o parámetros del sistema ya la trayectoria ya no está contenida en un plano. Sin embargo podemos definir un plano instantaneo(ver Fig.5) que contiene a la satélite. Este plano se define con el vector momento angular para un instante t o. La ecuación del plano es: L (0) rr = 0 (0.67) 9

10 Fig. 5 Se puede demostrar que para cualquier instante que la pendiente del ángulo φ es tanφ = m = Y R ŻR Z R Ẏ R X R Ż R Z R Ẋ R (0.68) luego si ángulo φ fuera de la forma mostrada en la Fig.6 podemos hallar en que tiempo demora en rotar la linea de los nodos. Fig. 6 Pero debido a que la pendiente tiene asintotas puede haber problemas al graficar el ángulo con las coordenadas halladas numericamente. Por eso es preferible graficar el numerador de la ecuación (0.68): N = Y R Ż R Z R Ẏ R (0.69) Si es de la forma mostrada en la Fig.7 podemos interpretar que la linea de los nodos rota y hallar su periodo de rotación. 10

11 . Fig Resolución Numérica de las ecuaciones de Movimiento para diferentes valores de la masa de la estrella Los primeros cálculos fueron para un sistema aislado tierra-luna obteniendo una trayectoria relativa eliptica para la luna y manteniendose el ángulo φ = 0 para todo tiempo. Luego se dan valores a la masa de la estrella de 0.9Msol hasta 1.33Msol resolviendo las ecuaciones diferenciales de primer orden con las condiciones iniciales mencionadas. Los gráficos más importantes se muestran a partir de la pag.11.a continuación presentamos las observacioness de estas simulaciones de movimiento. A medida que la masa de la estrella aumenta observamos: Para los Gráficos Distancia Relativa del planeta al satélite en función del tiempo. -La distancia máxima y minima, aumenta y disminuye respectivamente. -Hay una cierta periocidad en estos gráficos cuyo periodo disminuye. Para los Gráficos Proyección de la Trayectoria del satélite en el plano XY. Que la región anular que contiene a la trayectoria aumenta y el satélite se acerca cada vez más al planeta. Para los Gráficos Numerador de la pendiente en función del tiempo. El tiempo en que la linea de los nodos gira disminuye de 32 años a 6 años aproximadamente. 11

12 Conclusiones. Podemos concluir: -Que a medida que la masa de la estrella fuera mayor la trayectoria del satélite relativa al planeta se aleja de una trayectoria eliptica.esto se debe a una mayor interación gravitatoria del satélite con el planeta. Podemos afirma además que si la masa de la estrella es mayor la trayectoria relativa no tendria ninguna relación con la trayectoria familiar(ver pagina posterior a la pagina de presentación del informe). Estos cálculos no se pueden obtener con los métodos ordinarios por que se consideran las trayectorias nuevas como una perturbación de una trayectoria eliptica. -Que es debido a la interacción del sol con la luna que la linea de los nodos rota. 0.5 Analisis Propuestos del Movimiento Lunar Podemos sugerir los siguientes casos: -Masas de la estrella mucho mayores que las del sol. -Velocidades iniciales del sat telite diferente al considerado. -Angulo del plano de la orbita lunar diferentes a 5 grados. -Considerar el achatamiento del planeta. El objetivo de las nuevas simulaciones es observar las trayectoria del satélite con los nuevos parámetros y condiciones iniciales asi como influye estos cambios en el periodo de rotación de la linea de los nodos. -Considerar las ecuaciones de Hamilton para anlizar el espacio de fases de este sistema mecánico. 12