Razones y Proporciones. Guía de Ejercicios

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1 . Módulo 2 Razones y Proporciones Guía de Ejercicios

2 Índice Unidad I. Razones y Proporciones Ejercicios Resueltos... pág. 2 Ejercicios Propuestos... pág. 5 Unidad II. Cálculo de Porcentajes Ejercicios Resueltos... pág. 6 Ejercicios Propuestos... pág. 9 Unidad III. Tasas de Interés Simple y Compuesto Ejercicios Resueltos... pág. 11 Ejercicios Propuestos... pág. 13 1

3 Unidad I. Razones y Proporciones Ejercicios Resueltos 1. Un padre tiene 42 años y su hijo 18 años. En qué razón están las edades del hijo y del padre? Las edades del hijo y del padre, respectivamente, están en la razón 18 : 42. Simplificando, es lo mismo que 3 : Las masas de dos personas están en la razón 2 : 3. Si una de ellas tiene 23 kilogramos más de masa que la otra, cuál es la masa de la más liviana? Sean a y b las masas de dos personas. Están en la razón a : b = 2 : 3 y una pesa 23 kilogramos más que la otra, b = a Tenemos entonces un sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas. Resolviendo obtenemos a = 46 y b = 69. Entonces la masa de la más liviana es 46 kilogramos. 3. Dos ángulos suplementarios están en la razón 3 : 5. Cuál es la diferencia positiva entre sus medidas? Sean α y β dos ángulos suplementarios, por lo tanto α + β = 180 o. Están en la razón α : β = 3 : 5. Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas. Resolviendolo obtenemos α = 67, 5 o y β = 112, 5 o. Entonces la diferencia positiva entre sus medidas es 112, 5 o 67, 5 o = 45 o. 4. Un kilógramo de una cierta clase de queso cuesta $ Cuánto se debe pagar por 125 gramos de este queso? Según el enunciado, mil gramos de queso es a pesos, como 125 gramos de queso es a lo que se debe pagar por ellos, cantidad que desconocemos. Planteando la razón esta queda 0 : 3600 = 125 : X. Entonces = 125 X X = = 450 Por lo tanto, por 125 gramos de este queso se deben pagar $450. 2

4 5. En un mapa a centímetros corresponden a metros. A cuántos metros corresponden b centímetros del mapa? Entonces a centímetros del mapa son a metros, como b centímetros del mapa son a X metros. Planteando la razón tendremos a : 3000 = b : X. Luego, a 3000 = b X X = 3000 b a 6. En un liceo mixto de 1540 alumnos, 880 son varones. Cuál es la razón entre el número de damas y el de varones? El número de damas corresponde a = 660. Entonces la razón entre el número de damas y el de varones es 660 : 880. Simplificando obtenemos que están en la razón 3 : Dos números enteros están en la razón 2 : 7. Si la suma de ellos es -36, cuáles son los números? Sean a y b dos números enteros que están en la razón 2 : 7. La suma de ambos es a + b = 36. Con este sistema de dos ecuaciones y dos incognitas podemos encontrar los números. Resolviendo obtenemos a = 8 y b = Sean a, b y c números enteros tales que c es la quinta parte de a y a es el doble de b. Cuál es la relación correcta entre b y c? c es la quinta parte de a, luego 5c = a, y a es el doble de b, entonces a = 2b. Igualando obtenemos 5c = 2b, lo que escrito de otro modo es c 2 = b 5 c : 2 = b : 5. 3

5 9. En un estante, los tarros de salsa de tomate con callampas y los de salsa de tomate con carne están en la razón 9 : 10. Si se retiran del estante 38 tarros de salsa con carne, la razón se invierte. Entonces, los tarros de salsa de tomate con carne que había en el estante, antes del retiro, cuántos eran? Sea X la cantidad de tarros de salsa de tomate con callampas, e Y la de salsa de tomate con carne. Estos están en la razón X : Y = 9 : 10. Luego del retiro de 38 tarros de salsa con carne, la razón se invierte, entonces tendremos X : (Y 38) = 10 : 9. Con estas dos ecuaciones resolvemos el problema, calculando los valores de X e Y. Resultan X = 180 e Y = 200. Entonces la cantidad de tarros de salsa de tomate con carne que había antes del retiro era de Qué número debe restarse de 9 y al mismo tiempo sumarse a 5, para obtener dos números que estén en la razón 3 : 4? Sea x el número desconocido. Se debe restar de 9, es decir (9 x) y sumarse a 5, (x + 5), para obtener dos números que están en la razón 3 : 4. Entonces (9 x) : (x + 5) = 3 : 4. Resolvemos para x: (9 x) (x + 5) = 3 4 4(9 x) = 3(x + 5) x = 3. 4

6 Ejercicios Propuestos 1. Elisa y Alvarito tienen estampillas cuyas cantidades se encuentran en la razón a : b. Si Alvarito tiene 15 estampillas más de las que tiene Elisa, y esta tiene a estampillas, entonces cuál es la cantidad de estampillas que tiene Alvarito? 2. Un pintor emplea 8 horas en pintar una habitación. Cuánto tiempo emplearán 2 pintores?. 3. Un curso de 36 estudiantes va de paseo a la playa y antes de irse deciden recoger la basura. Si 9 estudiantes limpian la playa en 2 horas, cuánto demorarían si cooperara en esta tarea todo el curso?. 4. Debido a la crecida de un río se destruye un puente en el sur de Chile, dejando aislada a una ciudad. Si hay antecedentes de que 6 hombres, trabajando 8 horas diarias construyen 3 de un puente en 9 días, Cuántos días faltan para terminar la obra?. En 8 cuántos días construyen el puente,si se agregan 4 hombres más y se disminuyen las horas de trabajo a 6?. Si se duplica el número de hombresy se disminuyen a la mitad las horas diarias de trabajo, en cuánto tiempo terminar de construir el puente?. 5. Para alfombrar una biblioteca se utilizaron 15 rollos de alfombra de 1,2 m de ancho y 40 m de largo. Cuántos rollos se habrían utilizados si el rollo hubiese tenido 2 m de ancho y 30 m de largo?. 6. Transportar 4 toneladas a 250 km de distancia cuesta $ Cuánto costará transportar 10 toneladas a doble de distancia?. 7. Tres amigos, Claudio, José y Gonzalo, se reparten 26 bolitas en la razón 3:4:6, cuántos bolitas recibe cada uno? personas disponen de $ para 18 días de vacaciones. Se agregan al grupo 6 personas más y deciden prolongar a 24 días. Cuánto dinero necesitan para mantener las mismas condiciones iniciales?. 9. Para imprimir 3 páginas de 55 líneas una impresora emplea 60 segundos. Cuántas páginas de 40 líneas entregará en 80 segundos?. 10. Para mantener a 6 investigadores en una misión durante 20 días se necesitan 240 litros de agua. Cuántos litros de agua se necesitan para mantener a 7 investigadores durante 10 días?. 5

7 Unidad II. Cálculo de Porcentajes Ejercicios Resueltos 1. Calcule la cantidad total, dado el porcentaje. El 50 % es 40. El 5 % es 45. El 99 % es 99. El 0,2 % es 3,6. El 50 % es 40, entonces x = 40. Luego la cantidad total es x = = El 5 % es 45, entonces x = 45. Luego x = = El 99 % es 99, entonces x = 99. Luego x = =. 99 El 0,2 % es 3,6, entonces 0,2 3,6 x = 3, 6. Luego x = = ,2 2. Calcule la pérdida al comercializar mercancías en: $ con 72 % de pérdida. $6.000 con 15 % de pérdida. El precio de venta es x = 42000, entonces el precio sin pérdida es x = = , por lo tanto la pérdida es de $ $42000 = $ El precio de venta es x = 6000, entonces sin pérdida es x = = 8000, por lo 75 tanto la pérdida es $8000 $6000 = $ Un video que cuesta $ se ofrece con un 7,5 % de descuento. A cuánto asciende el precio-oferta?. El precio oferta es , = , 5 pesos. 6

8 4. Suponga que un artículo regularmente cuesta $ y tiene un descuento del 10 %. Si luego se le aumenta 10 %, es $ el precio resultante?. Si no es así, cuál es?. No es $ El precio resultante es = = pesos. 5. Si hay un 40 % de posibilidades de que llueva mañana, qué fracción, en los términos más simples, representa la posibilidad de que no llueva mañana?. La posibilidad de que no llueva mañana es de un 60 % = 60 = La fuerza laboral de un país está compuesta por personas. Si el 48 % corresponde a mujeres, cuántos hombres trabajan en ese país?. Trabajan 52 % de hombres, lo que corresponde a = El dueño de una casa contrata un seguro contra incedios que cubre el 80 % de su valor total. Si la casa sufriera un incendio, el seguro le pagaría $ , cuál es el valor de la casa?. El 80 % del valor de la casa es 80 x = , luego el valor total de la casa es x = = La pensión de Juan aumentó de $4.000 semanales a $5.000 semanales. Cuál fue el porcentaje de aumento?. Aumentó en $1.000, que corresponde a un = 1 4 = 0, 25 = 25 %. 9. Por la compra de más de 10 metros de tela, el depósito de fábrica hace un descuento del 5 %. Cuánto pagará una persona que compra 14 metros de una tela a $3.500 el metro?. Pagará = menos un 5 % de descuento, = =

9 10. La edad de un papá es el 200 % de la de un hijo. Si el padre tiene 60 años, qué edad tiene el hijo?. Sea h la edad del hijo. Entonces según el enunciado 200 h = 60, por lo tanto el hijo tiene h = 60 = 30 años

10 Ejercicios Propuestos 1. Calcule el porcentaje entre los números dados. Qué porcentaje es 24 de 120. Qué porcentaje es 210 de En un kiosco se venden 580 periódicos por día. El dueño gana un 45 % por la distribución. Si en promedio los periódicos se venden en $350 cada uno, cuánto invierte diariamente el dueño?. 3. Calcule los siguientes pocentajes. El 10 % de 480 El 3 % de 72. El 50 % de Convierta cada fracción en pocerntaje. 1 5 = 3 8 = 1 50 = 5. El arriendo de una sala de teatro produce $500 de ganancia por asiento. Esta utilidad corresponde a un 40 % del costo. Qué precio pagó cada espectador?. 6. Se compran acciones eléctricas en $120 cada una. Después de 6 meses han subido un 20 %. Cuánto dinero se ha ganado?. A cuántas acciones al precio actual corresponde esa ganancia?. 7. En 1992, General Motors anunció que elevaría los precios de sus vehículos de 1993, en un promedio de 1.6 %. Si cierto vehículo tenía un precio en 1992 de US$10,526 y su precio se elevó 1.6 %, cuál sería e precio en

11 8. De acuedo con un informe de RAPB Copper Co., un posible cliente en Indonesia hizo un gran descubrimiento de cobre. Tiene al menos 50 millones de toneladas métricas de mineral con un nivel promedio de 1.4 % de cobre y 1.3 gramos de oro por tonelada. Suponiendo que realmente se tengan 50 millones de toneladas métricas de mineral, encuentre el número de toneladas métricas de cobre puro y encuentreel número de gramos de oro. 9. Calcule el precio al cual debe venderse un artículo, si su precio de costo es $1.200 y el comerciante desea tener un 20 % de ganancia. No olvidar que todo lo que se vende debe pagar además un 19 % de IVA. 10. En un hogar se consumen 360 kilowatt-hora de energía eléctrica mensulamente, por los que se pagan $ El porcentaje de energía desperdiciada es un 24 %. Cuánto dinero podrían ahorrar en un año?. Cuántos de esos kwh podrían haber sido utilizados en otros beneficios para la ciudad?. 10

12 Unidad III. Tasas de Interés Simple y Compuesto Ejercicios Resueltos 1. Se depositan $ a un 10 % de interés simple anual, cuánto se podrá retirar al cabo de 5 años? Tratándose de interés simple anual, el capital final al cabo de los 5 años será ( C F = ) = Un líquido se evapora a razón de un 5 % cada diez minutos. De 1 litro de este líquido, cuánto quedará al cabo de una hora? Este ejemplo se trata de interés compuesto. Entonces el capital final o cantidad final de líquido, al cabo de una hora, será de C F = 0 ( 1 5 ) 6 = 0 (0, 95) 6 cm 3 3. Qué capital se debe depositar a un 5 % de interés compuesto anual para que al cabo de 5 años se transforme en $66550? Tratandose de interés compuesto anual y de contar con $66550 como capital final, entonces ( = k ) 5 ( ) = k = k(1, 05) 5 k = (1, 05) 5 4. Calcular el interés simple cobrado por un préstamo de $.000 a una tasa del 6 % anual. A una tasa del 6 %, al final de un año se deberá C F = 000 Por lo tanto el interés cobrado es de $ ( ) =

13 5. Se invierte una suma de $5.000 a una tasa de interés de 9 % anual. Determine el tiempo necesario para que este dinero se duplique si se trata de un interés compuesto semestral. Utilizamos la fórmula del interés compuesto 00 = 5000 ( ) 2t 2 (1, 045) 2t = 2 2t log(1, 045) = log(2) t = log(2) 2 log(1, 045) 7, 9 Por lo tanto el dinero se duplicará en 7,9 años. 12

14 Ejercicios Propuestos 1. Se depositó en un banco, un millón de pesos al 9 % de interés. Pasado 300 días, el director de la sucursal de este banco dice que en la cuenta hay $ Es lo que se esperaba tener?. 2. A qué tipo de interés se debe depositar $ durante 6 meses y medio para tener al cabo de ellos $ en la cuenta?. 3. Se invierten $ a una tasa de interés de 8 % al año. Determine el capital final después de 3 años, si el interés se capitaliza trimestralmente. Repita el cálculo anterior para períodos de capitalización i) mensuales. ii) semanales. iii) diarios. 4. El 1 de enero de 1985 y el de cada siguiente año, se depositaron $500 en una cuenta de ahorro. Si la cuenta paga 6 % de interés compuesto anual, encuentre la cantidad de dinero en la cuenta al final de Se invierten $ a un 6 % anual. Calcule el capital que se habrá formado al cabo de 5 años si el interés es compuesto i) anual. ii) semestral. iii) trimestral. 6. Una población crece durante 15 años a una tasa de r % anual y en los 5 años siguientes a una tasa de s % anual. Si la población inicial es M, encuentre una expresión para la población después de transcurridos los 20 años. 7. Cuánto tiempo tardará en duplicarse el valor de una inversión si la tasa de interés es de 8,5 % anual compuesto semestralmente? 8. Una persona invierte $ en una cuenta que paga 8,5 % anual compuesto trimestralmente. a) Determine el monto después de 3 años. b) Cuánto tarda la inversión en duplicarse? 13

15 9. Determine el tiempo necesario para que una inversión de $5.000 crezca a $8.000 a una tasa de interés de 9,5 % anual trimestralmente. 10. Cuánto tardará una inversión de $1.000 en duplicar su valor si la tasa de interés es de 8,5 % anual continuamente compuesto? 14