Transformaciones geométricas

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1 Tranformacione geométrica Baado en: Capítulo 5 Del Libro: Introducción a la Graficación por Computador Fole Van Dam Feiner Hughe - Phillip

2 Reumen del capítulo Tranformacione bidimenionale Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale Tranformación ventana-área de vita Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale Tranformacione como un cambio en el itema de coordenada A lo largo de ete capítulo e preentarán la principale tranformacione geométrica bidimenionale tridimenionale que e emplean en la computación gráfica por computador.

3 Tranformacione geométrica Concepto báico referente a la tranformacione geométrica afine en D 3D utilizada en Computación Gráfica. La tralación ecalamiento rotación. Dicha tranformacione on utilizada directamente por aplicacione en mucho paquete de ubrutina gráfica.

4 Tranformacione bidimenionale

5 Tralación Se tralada cada punto P() d unidade paralelamente al eje d unidade paralelamente al eje hacia el nuevo punto P'(''). La ecuacione quedan: ' + d ' + Si e definen lo vectore columna queda: P P entonce la ecuación puede er epreada como: ' ' T d d d Ec. Ec. P P + T Ec. 3

6 Tralación Una forma de efectuar la tralación de un objeto e aplicándole a cada punto del mimo la ecuación. Para traladar todo lo punto de una línea implemente e tralada lo punto etremo. En la figura e muetra el efecto de traladar un objeto 3 unidade en -4 unidade en. (45) (75) Tralación de un objeto (7) () Eto e cumple también para el ecalamiento la rotación.

7 Ecalamiento El ecalamiento e hace con un factor en el eje en un factor en el eje. Ecalamiento uniforme Ecalamiento diferencial. La tranformación de ecalamiento puede epreare con la iguiente multiplicacione ' Ec. 4 ' En forma matricial ' ' P' S P Ec. 5 Matriz S

8 Ecalamiento Se ecala a ½ en el eje a ¼ en el eje. El ecalamiento e efectúa con repecto al origen; ( 5 ) 4 ( 7 5 ) 4 (45) (75) Ante del ecalamiento Depué del ecalamiento Ecalamiento no uniforme de un objeto con repecto al origen ()

9 Rotación Lo punto también pueden er rotado un ángulo θ con repecto al origen ' coθ enθ ' enθ + coθ Ec. 6 En forma matricial ' ' coθ enθ enθ coθ P' R P Ec.7 Matriz R

10 Rotación En la figura e muetra la rotación de la caa 45º con repecto al origen. ( ) Pregunta : Si e deea rotar la caa alrededor del punto (5) cómo lo haría i ólo conociera la operacione de rotación tralación? (5) (9) (. 4.9) Ante de la rotación Depué de la rotación

11 Rotación Derivación de la ecuación de rotación (Ec. 6) La rotación de un ángulo θ tranforma al punto P() en P'('') Por trigonometría tenemo r coφ r enφ Ec. 8 ' r co( θ + φ ) r coφ coθ r enφ enθ P ( ) ' r en( θ + φ ) r coφ enθ + r enφ coθ Ec. 9 r θ r P() φ r co (θ + φ ) r co φ Sutituendo la ecuacione 8 en la ecuación 9 obtenemo la ecuación 6

12 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale

13 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale La repreentacione matriciale obtenida hata ahora para tralación ecalamiento rotación on repectivamente P ' T + P' S P' R P P P Ec. 3 Ec. 5 Ec. 7 Problema: La tralación e tratada de forma diferente Solución: Utilizar un itema de coordenada homogénea En la coordenada homogénea cada punto e repreenta iguiendo la forma (W). Do vectore en coordenada homogénea (W) (''W') repreentan al mimo punto i ólo i uno e múltiplo del otro. Para W e obtiene lo punto / W / W a lo cuale e le llama coordenada carteiana del punto homogéneo.

14 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale La ecuacione de tralación (Ec. ) pueden epreare como una matriz 33 en coordenada homogénea. Eta ecuación puede er repreentada de la iguiente forma: donde ' ' d d ) ( ' P d d T P ) ( d d d d T Ec. Ec. Ec.

15 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale Supóngae que un punto P e traladado por T(d d ) al punto P' luego e traladado por T(d d ) al punto P''. Sutituendo la ecuación 3 en la ecuación 4 e obtiene: El producto matricial e ( ) ( ) P d d T d d T P d d T d d T P ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( P d d T P P d d T P ) ( Ec. 3 Ec. 4 Ec. 5 ) ( ) ( d d T d d T + + d d d d d d d d Ec. 6

16 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale Por lo tanto la tralación neta e T(d + d d + d ). El producto matricial efectuado no e má que la compoición de T(d d ) T(d d ). Por otro lado puede verificare con facilidad que la tranformación invera de una tralación T(dd) no e má que T - (dd) T(-d-d). Un procedimiento imilar al efectuado con la tralación puede aplicare al ecalamiento obteniendo una nueva repreentación matricial de la ecuación 4 de la forma iguiente: Ec. 7 ' '

17 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale Definiendo e tiene que Dado podemo utituir la ecuación en la ecuación obteniéndoe ) ( S Ec. 7 P S P ) ( Ec. 9 P S P ) ( P S P ) ( Ec. Ec. ( ) ( ) P S S P S S P ) ( ) ( ) ( ) ( Ec.

18 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale el producto matricial e la invera de un ecalamiento S( ) e S - ( ) S(/ / ) Similarmente la ecuacione de rotación (Ec. 6) pueden er repreentada como ) ( ) ( S S Ec. 3 co co ' ' en en θ θ θ θ Ec. 4

19 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale donde teniéndoe que coθ enθ R( θ ) enθ coθ P' R( θ ) P Puede demotrare que do rotacione uceiva on aditiva e decir que dado do ángulo θ θ e cumple la igualdad R( θ ) R( θ ) R( θ + θ ). Ec. 5 Ec. 6 Por otra parte e comprobable que la invera de una rotación R(θ) e R - (θ) R(-θ).

20 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale El producto de una ecuencia arbitraria de matrice de rotación tralación ecalamiento contituen tranformacione afíne teniendo la propiedad de conervar el paralelimo de la línea pero no longitude ni ángulo. Cubo Unitario 45º Ecalado en no ecalado en Un cubo unitario rotado 45º en entido horario luego ecalado no uniformemente. El reultado e una tranformación afín de la figura inicial donde e mantiene el paralelimo de la línea pero no la longitude ni ángulo originale.

21 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale Segado (hear). Eiten do tipo de egado en D con repecto al eje con repecto al eje. Cubo unitario etirado en Cubo unitario etirado en Un cubo unitario el efecto de aplicarle la tranformación de egado. En cada cao la longitud de la línea oblicua e maor a.

22 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale La matriz de tranformación para el egado en el eje e eprea como Análogamente la matriz de tranformación para el egado en el eje e eprea como a SH Ec. 8 b SH Ec. 9

23 Coordenada homogénea repreentación matricial de tranformacione bidimenionale El propóito báico de componer tranformacione e ganar eficiencia aplicando una ola tranformación compueta a un punto en vez de aplicar una erie de tranformacione una tra otra. Si e conidera la rotación de un objeto con repecto a un punto arbitrario P podemo ubdividir el problema aplicando tre tranformacione fundamentale: ) Traladar de forma que P coincida con el origen ) Rotar 3) Traladar de forma que el punto en el origen retorne a P La ecuencia propueta e ilutra en la iguiente figura en donde el objeto e rotado con repecto al punto P ( ). La primera tralación e T(- - ) haciéndoe por último la tralación invera T( ).

24 Compoición de tranformacione bidimenionale

25 Compoición de tranformacione bidimenionale P P θ Rotación de un objeto en un ángulo q con repecto al punto P

26 Compoición de tranformacione bidimenionale La tranformación neta aplicada e Un enfoque imilar puede uare para ecalar un objeto con repecto a un punto arbitrario P. Ec. 3 co co ) ( ) ( ) ( en en T R T θ θ θ θ θ + ) co ( co ) co ( co θ θ θ θ θ θ θ θ en en en en Ahora tenemo la repueta a la pregunta

27 Compoición de tranformacione bidimenionale E frecuente el deeo de realizar un ecalamiento o rotación con repecto al centro geométrico de una figura. Para lograr ete propóito e puede aplicar el método recientemente epueto de forma que el punto arbitrario P correponda ahora a la coordenada del centro P c ( c c ). Aí el ecalamiento in-itu no ería má que aplicar la rotación in-itu correpondería a La iguiente figura muetra un ecalamiento aplicado a un objeto que e aemeja a un OVNI. ) ( ) ( ) ( c c c c T S T Ec. 3 ) ( ) ( ) ( T S T ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( c c c c T R T θ

28 Compoición de tranformacione bidimenionale

29 Compoición de tranformacione bidimenionale Puede dare el cao de querer ecalar rotar luego poicionar un objeto como la caa motrada en la figura iguiente con P como centro de la rotación el ecalamiento. Traladar P al origen efectuar el ecalamiento la rotación luego traladar dede el origen a la nueva poición P. La matriz que repreente dicha tranformacione correponde a: T ( ) R( θ ) S( ) T ( ) Ec. 3

30 Compoición de tranformacione bidimenionale P P Rotación Ecalamiento rotación de un objeto con repecto al punto P poterior poicionamiento llevando P al punto final P

31 Compoición de tranformacione bidimenionale Se abe que en general la multiplicación de matrice no e conmutativa. Sin embargo al aplicar tranformacione fundamentale de tralación ecalamiento rotación e dan cao epeciale donde el producto de matrice e conmutativo. Una matriz de tralación eguida de otra matriz de tralación pueden conmutare in afectar el reultado. De forma emejante una matriz de ecalamiento eguida de otra matriz de ecalamiento pueden multiplicare en cualquier orden aí como una matriz de rotación eguida de otra matriz de rotación. Otro cao donde la multiplicación de ete tipo de matrice e conmutativa correponde a tener una matriz de rotación otra de ecalamiento uniforme ( ). En eto cao no e neceario preocupare por el orden en la manipulación de la matrice.

32 Tranformación ventana-área de vita

33 Tranformación ventana-área de vita Dada la primitiva de alida epecificada en coordenada del mundo debe epecificare como llevar dicha coordenada a coordenada de pantalla para que puedan er motrada. Se debe epecificar una región rectangular (ventana) en coordenada de mundo una correpondiente región rectangular en coordenada de la pantalla (viewport) en la cual e efectuará el mapeo de la ventana del mundo.

34 Tranformación ventana-área de vita Rango Máimo de Coordenada de la Pantalla Ventana Coordenada del Mundo Viewport Coordenada de la Pantalla La ventana en coordenada del mundo el viewport en coordenada de pantalla determinan el mapeo que e aplicado a toda la primitiva en coordenada del mundo

35 Tranformación ventana-área de vita Dado: - la ventana (en coordenada del mundo) - el viewport la matriz de tranformación que mapea la ventana a coordenada de pantalla puede er dearrollada mediante la compoición de tre tranformacione imple ugerida en la figura iguiente:

36 Tranformación ventana-área de vita (ma ma) (min min) Ventana en Coordenada del Mundo Ventana traladada al origen

37 Tranformación ventana-área de vita v v Rango Máimo de Coordenada de la Pantalla (uma vma) Ventana Ecalada al tamaño del Viewport u (umin vmin) Traladada en (umin vmin) a la poición final u Pao para tranformar una ventana en coordenada del mundo al Viewport en coordenada de pantalla

38 Tranformación ventana-área de vita Como e puede apreciar en lo anterior la ventana epecificada por u equina inferior izquierda u equina uperior derecha e primero traladada al origen de la coordenada del mundo. Luego la ventana e ecalada para coincidir con la dimenione del viewport. Poteriormente e utiliza una tralación para poicionar el viewport. La matriz que correponde a eta tranformacione Mwv e: M wv uma umin vma v min T ( umin vmin ) S T ( min min ) ma min ma min u v min min u ma ma u min min v ma ma v min min min min Ec. 33

39 Tranformación ventana-área de vita Ec min min ma min ma min min ma min ma min min ma min ma min min ma min ma v v v v v u u u u u

40 Tranformación ventana-área de vita Multiplicando P M wv [ ] T e conigue el reultado eperado: u ma umin vma vmin P ( min ) + umin ( min ) + vmin ma min ma min Ec. 34 Ete reultado correponde al punto P epreado en coordenada de la pantalla.

41 Tranformación ventana-área de vita La tranformación ventana-viewport también puede combinare con rutina de recorte (clipping) en relación al tamaño de la ventana. Ventana v Rango Máimo de Coordenada de la Pantalla Viewport Coordenada del Mundo Coordenada de la Pantalla u La primitiva de alida en coordenada del mundo on recortada en relación al marco de la ventana. El remanente e motrado en el viewport

42 Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale

43 Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale La repreentación de tranformacione bidimenionale como matrice de 33 tiene un equivalente para la tranformacione tridimenionale la cuale on repreentada como matrice de 44. Para permitir eto el punto (z) erá repreentado en coordenada homogénea como (W. W. W.z W) con W. Si W entonce W e dividido dentro de la tre primera coordenada homogénea para aí obtener el punto carteiano tridimenional (z). Eto implica que do punto homogéneo H H on el mimo punto tridimenional í olo í H c.h para cualquier contante c.

44 Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale Ete tipo de itema e el má conveniente cuando e piena en gráfico tridimenionale a que e puede dar una interpretación natural de lo aquello valore de z que e encuentran mu ditante del obervador. Ademá e má lógico uperponer ete tipo de itema obre la cara del plano de viualización (dipla). Tralación: La matriz de tralación tridimenional e una imple etenión de la bidimenional: D T ( D D Dz) D Dz

45 Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale Al multiplicar eta matriz por el vector de punto [ z] queda: + D T ( D D Dz) z z + + D Dz

46 Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale Ecalamiento: La matriz de ecalamiento e imilarmente etendida: S S ( S S Sz) S Sz al multiplicarla por el vector de punto queda: S S( S S Sz) z z S Sz

47 Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale Rotación: La rotación bidimenional e juto una rotación con repecto al eje z. En tre dimenione una rotación con repecto al eje z e: Rz( θ ) coθ in θ in θ coθ Eto e fácilmente verificable: una rotación de 9 grado del vector unitario produce el vector unitario. Al multiplicar R z (θ) con θ9 por el vector unitario : Rz(9)

48 Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale e obtiene el vector unitario. La matriz de rotación con repecto al eje e: R( θ ) coθ in θ in θ coθ La matriz de rotación con repecto al eje e coθ in θ R( θ ) in θ coθ

49 Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale La columna ( la fila) de la ubmatriz uperior de 3 3 de R (θ) R (θ) R z (θ) on vectore unitario mutuamente perpendiculare con la mima interpretación de lo bidimenionale. Toda eta matrice de tranformación tridimenionale tienen invera. La invera de T e obtenida negando D D D z ; para S reemplazando S S S z por u recíproco; para cada una de la matrice de rotación negando el ángulo de rotación.

50 Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale Haciendo la compoición de una ecuencia arbitraria de rotacione con repecto a lo eje z e creará una matriz A de la forma: r r r3 A r r3 r r3 r3 r33

51 Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale La ubmatriz de rotación de 3 3 de la matriz A e dice que e ortogonal porque u columna on vectore unitario mutuamente ortogonale. Eto vectore on rotado por la matriz con repecto a lo eje z. La matrice de rotación conervan la longitude lo ángulo mientra que la de tralación ecalamiento no. Para cualquier matriz ortogonal B u invera e juto u tranpueta: B - B T.

52 Repreentación matricial de tranformacione tridimenionale Un arbitrario número de matrice de rotación ecalamiento tralación pueden er multiplicada en conjunto. El reultado iempre erá de la forma: r r r3 t r r r3 t r3 r3 r33 tz

53 Compoición de tranformacione tridimenionale

54 Compoición de tranformacione tridimenionale La compoición de la tre tranformacione báica tridimenionale pueden generar diferente reultado. El objetivo e tranformar lo egmento de recta P P P P 3 de la figura que e encuentra a continuación dede la poición inicial a la poición final. P3 Y Z Y Z P3 P P X X P -Z -Z Poición inicial P Poición final

55 Compoición de tranformacione tridimenionale El punto P ha ido traladado al origen P P e encuentra en el lado poitivo del eje z P P 3 e encuentra en el plano (z). La longitude de la recta no on afectada por la tranformación. La tranformación puede er hecha en 4 pao: Pao : Traladar P al origen. T ( z) z Aplicando la matriz de tranformación T a P P P 3 e obtiene

56 Compoición de tranformacione tridimenionale T ( z) P P ' () T z) P z z ( P ' () 3 3 T z) P z3 z ( 3 P3 ' (3)

57 Compoición de tranformacione tridimenionale Pao : Rotar con repecto al eje. La rotación e con el ángulo poitivo θ por lo cual enθ z' D ( z z) D coθ ' D D donde D ( z z) + ( )

58 Compoición de tranformacione tridimenionale Sutituendo eto valore en la matriz R multiplicándola por el vector P ' e obtiene el vector: P '' R( θ 9) P ' D

59 Compoición de tranformacione tridimenionale Pao 3: Rotar con repecto al eje. La rotación e con el ángulo φ para el cual co( φ ) coφ z'' P '' P '' in( φ ) in φ '' P '' P '' donde P '' P '' ( ) + ( ) + ( z z).

60 Compoición de tranformacione tridimenionale Sutituendo la matriz de rotación R multiplicándola por el vector P '' e obtiene el vector: P''' P''' P''' R( φ ) R( φ ) R( φ ) P '' R( θ R( θ utituendo P '' por u valor 9) P 9) T ( ' al utituir z) P P ' por u valor reulta : PP De eta forma el egmento de recta P P coincide con el eje z poitivo.

61 Compoición de tranformacione tridimenionale Para el egmento de recta P P 3 ería algo imilar: P 3''' R( φ ) R( θ 9) T ( z) P3 3''' 3''' z3''' Pao 4: Rotar con repecto al eje z. La rotación e con el ángulo poitivo α con: coα in α 3''' D 3''' D donde D ( 3''') + ( 3''').

62 Compoición de tranformacione tridimenionale Sutituendo la matriz de rotación R z por lo valore de coα inα obtenido anteriormente multiplicándola por la matrice compueta anteriore e obtiene la matriz compueta de tranformación final: R z Al aplicar eta tranformación a cada uno de lo punto P P P 3 hace que: P e tralade al origen P e tranformado al eje poitivo z P 3 e tranformado al plano z. ( α ) R ( φ ) R ( θ 9) T ( z)

63 Compoición de tranformacione tridimenionale Una forma má imple para obtener la mima matriz R z (α).r (φ).r (θ-9) e uando la propiedade de la matrice ortogonale. Definimo lo vectore unitario R R z como e ve a continuación: R z P P P P r r r 3 z z z R PP PP PP PP 3 3 r r r 3

64 Compoición de tranformacione tridimenionale El vector unitario R z (perteneciente al egmento de recta P P ) rotará hacia el eje poitivo z. El vector unitario R (ortogonal al plano P P P 3 ) rotará hacia el eje poitivo. Finalmente para obtener el vector unitario R e hace el producto carteiano de lo vectore R z R como igue: R R z R r r r 3 Ete vector reultante rotará hacia el eje poitivo. Entonce la matriz compueta de tranformación viene dada por:

65 Compoición de tranformacione tridimenionale e llegó al mimo reultado que con el método de lo cuatro pao. Por lo tanto ete último e má rápido má encillo. ). ( 9) ( ) ( ) ( ) ( z T R R R z T r r r r r r r r r z z z z θ φ α

66 La tranformacione como un cambio en el itema de coordenada

67 Compoición de tranformacione tridimenionale Se ha vito tranformar un conjunto de punto de un objeto en otro conjunto de punto con ambo conjunto en el mimo itema de coordenada. El itema de coordenada permanece inalterado el objeto e tranformado con repecto al origen del itema para obtener el tamaño apropiado. Alternativa: hacer un cambio en el itema de coordenada. Ete tipo de tranformación e útil cuando e tienen múltiple objeto cada uno definido con u propio (local) itema de coordenada e deea eprear la coordenada de cada objeto en un imple global itema de coordenada.

68 La tranformacione como un cambio en el itema de coordenada Por ejemplo: el punto de la iguiente figura tiene coordenada (8) (66) (86) (4) en lo itema de coordenada 3 4 repectivamente. 3 4 P

69 La tranformacione como un cambio en el itema de coordenada La tranformación dede el itema de coordenada al e T T(-4- ); del itema al 3 T 3 T(--3).S(); del itema 3 al 4 T 34 T( ).R(-45 ). En general la tranformación T ij tranforma lo eje del itema de coordenada j al del itema de coordenada i con repecto al itema i. Si P i repreenta un punto cua coordenada vienen dada por el itema de coordenada i entonce podemo ecribir P i P j.t ij. Por ejemplo la tranformación T e T - T(4). Similarmente para T 3 e tiene que:

70 La tranformacione como un cambio en el itema de coordenada T 3 T 3 - (T(--3).S()) - S - ().T - (--3) S(.5.5).T(3). Ademá e tiene que T 3 T.T 3 Cuando enamblamo vario objeto en un olo objeto de alto nivel penamo en do tipo de tranformacione una conite en definir lo objeto de acuerdo a un itema de coordenada de mundo determinado luego lo tranformamo a nueva poicione orientacione en el mimo itema de coordenada:

71 La tranformacione como un cambio en el itema de coordenada Emplear el enfoque de definir todo lo objeto en el itema de coordenada de mundo luego tranformarlo da una vita irreal de todo lo objeto que e encuentran en dicho itema. Una forma má natural e penar que cada objeto tiene u propio itema de coordenada que cada uno de ello puede er rotado ecalado traladado con u propio itema de coordenada redefinido en el nuevo itema de coordenada de mundo. Matemáticamente ambo enfoque on eactamente iguale. El empleo de divero punto de vita e mu útil cuando e epecifica una información particular a cada uno de lo ubobjeto que e encuentran dentro del mundo. Veamo la iguiente bicicleta:

72 La tranformacione como un cambio en el itema de coordenada

73 La tranformacione como un cambio en el itema de coordenada Por ejemplo i e aplica un torque a la rueda delantera de la bicicleta la rueda traera tiene que rotar apropiadamente debemo encontrar como e mueve la bicicleta como un todo dentro de la coordenada del mundo. Primero la bicicleta el itema de coordenada de la rueda delantera tienen poicione iniciale en el itema de coordenada del mundo. Como la bicicleta e mueve hacia adelante la rueda delantera gira con repecto al eje z de u itema de coordenada local mientra imultáneamente lo itema de coordenada de la rueda traera la bicicleta e mueven relativo al itema de coordenada del mundo.

74 La tranformacione como un cambio en el itema de coordenada Aumamo que el itema de coordenada de la rueda la bicicleta on paralela al itema de coordenada del mundo que la rueda delantera e mueve en una línea recta paralela al eje del mundo. Como la rueda delantera rota con un ángulo α un punto obre eta rueda denotado como P rueda rota a lo largo de una ditancia αr donde r e el radio de la rueda. Como la rueda eta obre el uelo la bicicleta e mueve igualmente αr unidade. De eta forma P rueda tiene dentro del original itema de coordenada de la rueda la iguiente coordenada: P rueda T(αr). R z (α). P rueda dentro del nuevo itema de coordenada (depué de la tralación) de la rueda:

75 La tranformacione como un cambio en el itema de coordenada P' rueda' R z (α). P rueda Para encontrar lo punto anteriore dentro del itema original de coordenada del mundo tranformamo la coordenada de la rueda en coordenada del mundo: P world T worldrueda. P rueda T worldbicicleta. T bicicletarueda. P rueda dentro del nuevo itema de coordenada (depué de la tralación) de la rueda:

76 La tranformacione como un cambio en el itema de coordenada P' world T worldrueda. P' rueda T worldrueda. T(αr). R z (α). P rueda Ademá T worldrueda ha cambiado a T worldrueda' debido a la tralación del itema de coordenada de la rueda por lo tanto tenemo: P' world T worldrueda'. P' rueda' T worldrueda. T(αr). R z (α). P rueda obteniéndoe el mimo reultado.

77 FIN

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