Profesional Técnico-Bachiller. Manual Teórico Práctico del Módulo Autocontenido Integrador: MATEMÁTICAS II: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

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1 Profesional Técnico-Bachiller Manual Teórico Práctico del Módulo Autocontenido Integrador: MATEMÁTICAS II: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Capacitado por: e-cbcc Educación-Capacitación Basadas en Competencias Contextualizadas I

2 Carreras y Claves del Módulo de (I-MATE-00) 1 01 Electricidad y electrónica Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Electricidad Industrial Electrónica Industrial Mecatrónica Redes de Distribución Eléctrica Sistemas Electrónicos de Aviación Clave I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 0 Mantenimiento e Instalación Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Automotriz Electromecánica Mantenimiento de Motores y Planeadores Motores a Diesel Mantenimiento de Sistemas Automáticos Refrigeración y Aire Acondicionado Clave I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 1 Un mismo siglema para un módulo, significa que tiene el mismo programa de estudios, la clave cambia en otros dígitos de acuerdo a la carrera, semestre en que se imparte y posición del módulo en el plan de estudios. II

3 03 Procesos de Producción y Transformación Física Carrera de Profesional Técnico- Bachiller en Construcción Control de Calidad Industria del Vestido Máquinas Herramienta Metalmecánica Producción de Calzado Productividad Industrial Textil Clave I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 04 Procesos de Producción y Transformación Químico Biológicos Carrera de Profesional Técnico-Bachiller Artes Gráficas Control de la Contaminación Ambiental Curtiduría Metalurgia Minero Metalurgista Plásticos Procesamiento Industrial de Alimentos Producción y Transformación de Productos Acuícolas Químico Industrial Clave I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 I MATE00 05 Tecnologías de la Información Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Informática Clave I MATE00 III

4 Mantenimiento de Equipo de Cómputo y Control Digital Telecomunicaciones I MATE00 I MATE00 06 Contaduría y Administración Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Administración Asistente Directivo Contaduría Clave I MATE00 I MATE00 I MATE00 07 Turismo Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Clave 01 Alimentos y Bebidas I MATE00 0 Hospitalidad Turística I MATE00 08 Salud Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Clave 01 Dental I MATE00 0 Enfermería General I MATE00 03 Optometría I MATE00 04 Salud Comunitaria I MATE00 05 Terapia Respiratoria I MATE00 IV

5 PARTICIPANTES Coordinadores Suplente del Director General Secretario Académico Director de Diseño Curricular de la Formación Ocupacional Coordinadores de Área Revisor Contenidos Revisor Pedagógico Revisores de la Contextualización Joaquín Ruiz Nando Marco Antonio Norzagaray Gustavo Flores Fernández Ma. Cristina Martínez Mercado Rubén Ramírez Arce Jaime Gustavo Ayala Arellano Ana Elizabeth García Hernández Patricia Toledo Márquez Agustín Valerio Armando Guillermo Prieto Becerril Centro de Procuración y de Servicios, S.C. Directora General Ma. del Carmen Padilla Longoria Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Manual Teórico-Práctico del Programa de Estudios de las Carreras de Técnico-Bachiller. D.R. 003 CONALEP. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, incluida la portada, por cualquier medio sin autorización por escrito del CONALEP. Lo contrario representa un acto de piratería intelectual perseguido por la ley penal. E-CBCC Av. Conalep n 5, Col. Lázaro Cárdenas, C.P Metepec, Estado de México. V

6 ÍNDICE PÁG. I Mensaje al Alumno 1 II Como utilizar este manual III Imágenes de referencia 4 IV Propósito del Módulo Integrador 5 V Normas Técnicas de Competencia Laboral 6 VI Especificaciones de evaluación 7 VII Mapa curricular del Módulo 8 Capítulo 1 Solución de problemas reales utilizando la geometría Elementos geométricos básicos 11 Segmento rectilíneo Rayo Ángulos Planos 1.1. Mediciones de ángulos 13 Grados Radianes Transformación de grados a radianes Tipos de ángulos 16 Ángulo recto Ángulo agudo Ángulo llano Rectas perpendiculares Ángulos suplementarios Ángulos complementarios Ángulos verticales Ángulos adyacentes Recta transversal Ángulos externos Ángulos internos Ángulos alternos Ángulos externos alternos Ángulos internos alternos Ángulos correspondientes Teorema de los ángulos 1..1 Triángulos Definición Clasificación propiedades de los triángulos Definición de igualdad de triángulos Mediana de un triángulo Centroide de un triángulo Fórmula de Herón de la altura de un triángulo Área de un triángulo VI

7 Teorema de Pitágoras PÁG. 1.. Polígonos 7 Cuadrilátero Definición y clasificación de cuadriláteros Áreas y perímetros de cuadriláteros Definición y clasificación de polígonos de más de 5 lados Propiedades de los ángulos en un polígono Ángulos exteriores Propiedades de los ángulos de los polígonos Área y perímetro de los polígonos 1..3 Círculos y circunferencias 33 Definición de circunferencia Elementos de la circunferencia Ángulos Arcos Relación entre dos circunferencias Circunferencia y área de un círculo Prismas y pirámides 37 Definición de prisma Clasificación de prismas Áreas y volúmenes de prismas Definición de pirámides Clasificación de pirámides Áreas y volúmenes de pirámides 1.3. Esferas cilindros y conos 40 Definición de cono Área y volumen del cono Definición de cilindro Área y volumen del cilindro Definición de la esfera Área y volumen del esfera Resultados de ejercicios 43 Prácticas y Listas de Cotejo 45 Resumen 69 Capítulo Solución de problemas de la vida cotidiana usando funciones trigonométricas Funciones definidas de un triangulo rectángulo 7 Razón Definición de las funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Funciones trigonométricas de ángulos complementarios Signos de las funciones trigonométricas Círculo trigonométrico VII

8 Resolución de triángulos rectángulos Gráficas de las funciones trigonométricas PÁG..1. Identidades trigonométricas 84 Del teorema de Pitágoras De la suma de ángulos De la diferencia de ángulos Del doble de un ángulo De la mitad de un ángulo Del triple de un ángulo Suma y diferencia de seno y coseno Cálculo de ángulos en función de ángulos conocidos Procedimiento para mostrar que una ecuación es una identidad..1 Ecuaciones trigonométricas 91 Solución de ecuaciones trigonométricas usando identidades Solución de ecuaciones trigonométricas usando calculadora.. Triángulos oblicuángulos 93 Ley de los senos Ley de los cosenos Resolución de triángulos oblicuángulos Resultados de los ejercicios 99 Prácticas y Listas De Cotejo 101 Resumen 114 Autoevaluación de Conocimientos 115 Respuestas de Autoevaluación de Conocimientos 118 Referencias Documentales 10 VIII

9 I. MENSAJE AL ALUMNO P T-Bachiller CONALEP TE DA LA BIENVENIDA AL CURSO-MÓDULO AUTOCONTENIDO INTEGRADOR MATEMÁTICAS II! EL CONALEP, a partir de la Reforma Académica 003, diseña y actualiza sus carreras, innovando sus perfiles, planes y programas de estudio, manuales teórico-prácticos, con los avances educativos, científicos, tecnológicos y humanísticos predominantes en el mundo globalizado, acordes a las necesidades del país para conferir una mayor competitividad a sus egresados, por lo que se crea la modalidad de Educación y Capacitación Basada en Competencias Contextualizadas, que considera las tendencias internacionales y nacionales de la educación tecnológica, lo que implica un reto permanente en la conjugación de esfuerzos. Este manual teórico práctico que apoya al módulo autocontenido integrador, ha sido diseñado bajo la Modalidad Educativa Basada en Competencias Contextualizadas, con el fin de ofrecerte una alternativa efectiva para el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que contribuyan a elevar tu potencial productivo y, a la vez que satisfagan las demandas actuales del sector laboral, te formen de manera integral con la oportunidad de realizar estudios a nivel superior. Esta modalidad requiere tu participación e involucramiento activo en ejercicios y prácticas con simuladores, vivencias y casos reales para promover un aprendizaje integral y significativo, a través de experiencias. Durante este proceso deberás mostrar evidencias que permitirán evaluar tu aprendizaje y el desarrollo de competencias laborales y complementarias requeridas. El conocimiento y la experiencia adquirida se verán reflejados a corto plazo en el mejoramiento de tu desempeño laboral y social, lo cual te permitirá llegar tan lejos como quieras en el ámbito profesional y laboral. 1

10 II. CÓMO UTILIZAR ESTE MANUAL P T-Bachiller Las instrucciones generales que a continuación se te pide que cumplas, tienen la intención de conducirte a vincular las competencias requeridas por el mundo de trabajo con tu formación de profesional técnico. Redacta cuáles serían tus objetivos personales al estudiar este cursomódulo autocontenido integrador. Analiza el Propósito del cursomódulo autocontenido integrador que se indica al principio del manual y contesta la pregunta Me queda claro hacia dónde me dirijo y qué es lo que voy a aprender a hacer al estudiar el contenido del manual? Si no lo tienes claro, pídele al docente te lo explique. Revisa el apartado Especificaciones de evaluación, son parte de los requisitos por cumplir para aprobar el curso-módulo. En él se indican las evidencias que debes mostrar durante el estudio del mismo para considerar que has alcanzado los resultados de aprendizaje de cada unidad. Es fundamental que antes de empezar a abordar los contenidos del manual tengas muy claros los conceptos que a continuación se mencionan: competencia laboral, competencia central, competencia básica, competencia clave, unidad de competencia (básica, genéricas específicas), elementos de competencia, criterio de desempeño, campo de aplicación, evidencias de desempeño, evidencias de conocimiento, evidencias por producto, norma técnica de institución educativa, formación ocupacional, módulo autocontenido integrador, módulo autocontenido integrador, unidad de aprendizaje, y resultado de aprendizaje. Si desconoces el significado de los componentes de la norma, te recomendamos que consultes el apartado Glosario, que encontrarás al final del manual. Analiza el apartado Normas Técnicas de Competencia Laboral, Norma Técnica de Institución Educativa. Revisa el Mapa Curricular del curso módulo autocontenido integrador. Esta diseñado para mostrarte esquemáticamente las unidades y los resultados de aprendizaje que te permitirán llegar a desarrollar paulatinamente las competencias laborales requeridas por la ocupación para la cual te estás formando. Revisa la Matriz de Competencias del curso-módulo autocontenido integrador. Describe las competencias laborales, básicas y claves que se contextualizan como parte de la metodología que refuerza el aprendiza lo integra y lo hace significativo

11 Analiza la Matriz de contextualización del curso-módulo autocontenido integrador. Puede ser entendida como la forma en que, al darse el proceso de aprendizaje, el sujeto establece una relación activa del conocimiento y sus habilidades sobre el objeto desde un contexto científico, tecnológico, social, cultural e histórico que le permite hacer significativo su aprendizaje, es decir, el sujeto aprende durante la interacción social, haciendo del conocimiento un acto individual y social. En el desarrollo del contenido de cada capítulo, encontrarás ayudas visuales como las siguientes, haz lo que ellas te sugieren. Si no lo haces no aprendes, no desarrollas habilidades, y te será difícil realizar los ejercicios de evidencias de conocimientos y los de desempeño. Realiza la lectura del contenido de cada capítulo y las actividades de aprendizaje que se te recomiendan. Recuerda que en la educación basada en normas de competencia laborales la responsabilidad del aprendizaje es tuya, pues eres quien desarrolla y orienta sus conocimientos y habilidades hacia el logro de algunas competencias en particular. 3

12 III. IMÁGENES DE REFERENCIA Estudio individual Investigación documental Consulta con el docente Redacción de trabajo Comparación de resultados con otros compañeros Repetición del ejercicio Trabajo en equipo Sugerencias o notas Realización del ejercicio Resumen Observación Consideraciones sobre seguridad e higiene Investigación de campo Portafolios de evidencias 4

13 IV. PROPÓSITO DEL CURSO-MÓDULO AUTOCONTENIDO INTEGRADOR Al finalizar el curso-módulo, el Alumno utilizará la geometría y la trigonometría, para la solución de problemas científicos, laborales y personales mediante procedimientos y estrategias matemáticas. 5

14 V. NORMAS TÉCNICAS DE COMPETENCIA LABORAL Para que analices la relación que guardan las partes o componentes de la NTCL o NIE con el contenido del programa del curso módulo autocontenido de la carrera que cursas, te recomendamos consultarla a través de las siguientes opciones: Acércate con el docente para que te permita revisar su programa de estudio del curso-módulo autocontenido de la carrera que cursas, para que consultes el apartado de la norma requerida. Visita la página WEB del CONOCER en en caso de que el programa de estudio del curso - módulo ocupacional esta diseñado con una NTCL. Consulta la página de Intranet del CONALEP en caso de que el programa de estudio del curso - módulo autocontenido está diseñado con una NIE 6

15 VI. ESPECIFICACIONES DE EVALUACIÓN Durante el desarrollo de las prácticas de ejercicio también se estará evaluando el desempeño. El docente, mediante la observación directa y con auxilio de una lista de cotejo, confrontará el cumplimiento de los requisitos en la ejecución de las actividades y el tiempo real en que se realizó. En éstas quedarán registradas las evidencias de desempeño. Las autoevaluaciones de conocimientos correspondientes a cada capítulo, además de ser un medio para reafirmar los conocimientos sobre los contenidos tratados, son también una forma de evaluar y recopilar evidencias de conocimiento. Al término del curso-módulo deberás presentar un Portafolios de Evidencias, el cual estará integrado por las listas de cotejo correspondientes a las prácticas de ejercicio, las autoevaluaciones de conocimientos que se encuentran al final de cada capítulo del manual y muestras de los trabajos realizados durante el desarrollo del curso-módulo, con esto se facilitará la evaluación del aprendizaje para determinar que se ha obtenido la competencia laboral. Deberás asentar datos básicos, tales como: nombre del Alumno, fecha de evaluación, nombre y firma del evaluador y plan de evaluación El portafolios de evidencias es una compilación de documentos que le permiten al evaluador, valorar los conocimientos, las habilidades y las destrezas con que cuenta el Alumno, y a éste le permite organizar la documentación que integra los registros y productos de sus competencias previas y otros materiales que demuestran su dominio en una función específica (CONALEP. Metodología para el diseño e instrumentación de la educación y capacitación basada en competencias, Pág. 180). 7

16 VII. MAPA CURRICULAR Módulo Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 7h Unidad de Aprendizaje 1. Solución de problemas usando la geometría. Solución de problemas de la vida cotidiana usando funciones trigonométricas 37 h 37 h Resultados de Aprendizaje 1.1. Manejar elementos geométricos básicos de acuerdo con sus propiedades 1.. Manejar elementos geométricos bidimensionales de acuerdo con sus propiedades 1.3 Manejar prismas, pirámides cilindros, conos y esferas, así como elementos geométricos relacionados de acuerdo con sus características y propiedades.1 Manejar funciones trigonométricas y sus identidades de acuerdo con sus características y propiedades. Solucionar ecuaciones trigonométricas y triángulos oblicuángulos usando funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y propiedades de los triángulos 15 h 15 h 7 h 0 h 17 h 8

17 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS REALES UTILIZANDO LA GEOMETRÍA Este capítulo se ha elaborado con la finalidad de manejar un lenguaje matemático- gráfico que permita al Alumno identificar el tipo de operación necesaria para resolver un problema abstracto 9

18 VII. MAPA CURRICULAR Módulo Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 7h Unidad de Aprendizaje 1. Solución de problemas usando la geometría. Solución de problemas de la vida cotidiana usando funciones trigonométricas 37 h 37 h Resultados de Aprendizaje 1.3. Manejar elementos geométricos básicos de acuerdo con sus propiedades 1.4. Manejar elementos geométricos bidimensionales de acuerdo con sus propiedades 1.3 Manejar prismas, pirámides cilindros, conos y esferas, así como elementos geométricos relacionados de acuerdo con sus características y propiedades.1 Manejar funciones trigonométricas y sus identidades de acuerdo con sus características y propiedades. Solucionar ecuaciones trigonométricas y triángulos oblicuángulos usando funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y propiedades de los triángulos 15 h 15 h 7 h 0 h 17 h 10

19 1.1.1 Elementos geométricos básicos. extremo o punto final. Punto Un punto indica el cruce de varias líneas, el punto no tiene dimensiones sólo indica posición. Al estar indicada la dirección por la ubicación de cada punto en el segmento, podemos deducir que la suma de un segmento AB a un segmento BC es igual al segmento. En la siguiente figura, cada uno de las dos rectas es un conjunto de puntos y su intersección contiene exactamente un punto. AB+ BC = AC Rayo o semirrecta A las rectas y a los planos se les considera un conjunto de puntos. De hecho, todas las figuras geométricas se consideran como un conjunto de puntos. Si en una recta, se determina un punto O, que se llama origen, al conjunto formado por este punto y todos los que le siguen se le llama rayo o semirrecta. Recta La línea recta no tiene límites, es decir no se conoce su punto inicial ni su punto final. Si los puntos están sobre una misma recta se dice que estos puntos son colineales, en la siguiente figura A, B y C son colineales. Segmento rectilíneo A la parte de una línea recta comprendida entre dos puntos se le llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. La longitud del segmento AB se representa por AB. El segmento AB esta dirigido de A hacia B ; el punto A se llama origen o punto inicial y al punto B se llama 11

20 Planos Tres puntos no colineales determinan un y sólo un plano. Su extensión es ilimitada La intersección entre dos planos es una recta. Rectas paralelas A dos rectas que están en un mismo plano y no se intersecan, se les llama rectas paralelas. En la siguiente figura se muestran a las rectas paralelas AB y MN, este hecho se expresa como: En la siguiente figura los puntos E, F y G determinan un plano Ángulos Un ángulo está formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Este origen común se llama vértice del ángulo y las dos semirrectas se llaman lados. 1

21 Los ángulos se miden usando diferentes sistemas. Las dos unidades más comunes son el grado y el radián. Grados Una forma de pensar en un ángulo es concebirlo como generado mediante el movimiento de una semirrecta de una posición inicial a una posición final. Si este ángulo generado estaba situado dentro de un círculo, con su origen en el centro del círculo. Este ángulo tiene varios nombres posibles: θ, AOD, DOA, donde el símbolo significa ángulo. 90º Estudio individual 180º lado final 0º (360º) Competencia lógica. lado inicial Identificar las figuras de los elementos geométricos básicos con su representación. El Alumno: 1. Realizará un plano donde esquematice el trayecto de su casa a la escuela.. Identificará los elementos geométricos que intervienen. 3. Los representará en el esquema. Estudio individual Competencia lógica. Identificar las figuras de los elementos geométricos básicos con su representación. El Alumno: 70º Un grado es el ángulo que corresponde a dividir la circunferencia en 360 partes y cada grado se divide en 60 partes llamadas minutos y el minuto en otras 60 partes que son los segundos. La herramienta para medir ángulos en forma manual es el transportador, el centro o referencia de inicio debe partir del punto de intersección y alinearse a algún segmento rectilíneo. Los grados se miden desde el punto de intersección de las dos rectas que forman el ángulo Para medir un ángulo mediante el uso del transportador se debe poner la marca central sobre el vértice. 1. Analizará la figura tridimensional de un refresco tetrapack.. Marcará puntos sobre sus caras, 3. Realizará un dibujo de la figura tridimensional donde indique las líneas y planos que se forman Mediciones de ángulos 13

22 Comparación de resultados con otros compañeros Competencia para la vida Identificar ángulos en su vida cotidiana y laboral El ángulo de una vuelta completa es igual a π rad; de manera que la medida en radianes del ángulo que subtiende una circunferencia es el número π. π es el valor resultante de dividir el valor de la circunferencia entre el valor de su diámetro. perímetro diámetro π =. El Alumno: 1. Realizará un plano de su plantel.. Medirá con ayuda de un transportador los ángulos que intervienen. 3. Los representará en el plano. Investigación de campo 180º= π 90º= π/ lado final lado inicial 0º (360º=π) Competencia emprendedora Graficará las devaluaciones de los 70º= 3π/ últimos 10 años. El Alumno: 1. Investigará las devaluaciones del peso en los últimos 10 años ( Trazará una gráfica, usando un par de ejes a 90, colocando en el eje horizontal x el año y en el eje vertical y, el valor del peso. 3. Indicará los puntos y los unirá con una línea. 4. Indicará si hay ángulos de elevación o de depresión y los medirá. 5. Comentará sus conclusiones. Radianes Radian: Es el ángulo central subtendido por un arco igual a la longitud del radio de una circunferencia. Transformación de grados a radianes y viceversa. Para cambiar de radianes a grados, multiplique el número de radianes por 180º π o sea, 180º 180º 1 rad = = 57.96º π Para cambiar de grados a radianes, multiplique π por 180º Es decir, 14

23 π º = = rad 180º 180º Ejemplo: Cambie 40º, 60º, 90º, 10º, 150º, 180º a radianes: π π 40º = 40º = rad 180º 9 π π 60º = 60º = rad 180º 3 π π 90º = 90º = rad 180º π π 10º = 10º = rad 180º 3 π 5π 150º = 150º = rad 180º 6 π 180º = 180º =π rad 180º Cambie 5 π 3π π,,, 1.8 radianes a grados: π 5π 180º rad = = 150º 6 6 π 3π 3π 180º rad = = 135º 4 4 π π π 180º rad = = 15º 1 1 π 180º 1.8 rad = 1.8 = º Realización del ejercicio Competencia Analítica Expresar ángulos en grados y en radianes El Alumno: 1. Escribirá la ecuación de conversión radianes a grados.. Convertirá a grados los ángulos siguientes: π a) rad 4 π b) rad 6 c) π rad 3. Realizará un dibujo, donde grafique cada uno de los ángulos anteriores expresándolos en grados y en radianes. 4. Escribirá la ecuación de conversión grados a radianes. 5. Convertirá a radianes los ángulos siguientes: a) 135 b) 70 c) Realizará un dibujo, donde grafique cada uno de los ángulos anteriores expresándolos en grados y en radianes. Realización del ejercicio calculadora. Competencia Tecnológica Convertir ángulos de radianes a grados y viceversa, usando la El Alumno: 1. Redactará la estrategía a seguir para convertir de grados a radianes en su calculadora, indicando las teclas que debe presionar para realizar las operaciones.. Usará su calculadora para cambiar: a) 10º y b) 83º a radianes. 3. Realizará un dibujo con los ángulos anteriores y su representación en grados y en radianes. 4. Redactará la estrategía a seguir para convertir de grados a radianes en su calculadora, indicando las teclas que debe presionar para realizar las operaciones. 5. Usará su calculadora para cambiar: a) 9π rad 8 y b) 3.98 rad a grados. 6. Realizará un dibujo con los ángulos 15

24 anteriores y su representación en grados y en radianes. 7. Redactará la estrategía a seguir para convertir de grados a radianes en la computadora usando el Softaware Excel. 8. Elaborará una tabla en una hoja de cálculo (Excel) de 0º a 360º con paso de 10º y sus conversiones a radianes, 9. Redactará la estrategía a seguir para convertir de radianes a grados en la computadora usando el Softaware Excel. 10. Elaborará una tabla en una hoja de cálculo (Excel) de 0 a π rad con paso de π rad 16 Investigación documental y sus conversiones a grados. Competencia tecnológica Identificar instrumentos que sirven para la medición ángulos con gran precisión. El Alumno: 1. Investigará en libros y en el Internet cómo esta constituido un teodolito.. Realizará un reporte ilustrado acerca del manejo del teodolito. 3. Indicará en que actividades se usa comúnmente el teodolito. 4. Realizará una exposición al grupo resultado de su investigación. Realización del ejercicio Competencia Científico teórica numérica. 5. Realizará un escrito breve donde señale la ayuda de la geometría en la solución de problemas. Problemas: a) Determinará la velocidad angular del cuerpo y la velocidad tangencial del cuerpo. Si se sabe que un cuerpo realiza un movimiento circular de 8 cm de radio, ejecuta rev/s, Nota: En un movimiento circular la velocidad la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial es v= ωr. b) Determinará la frecuencia angular si se sabe que la frecuencia es de 60 Hz. Nota: La frecuencia angular ω de una corriente alterna es ω = π f. c) Determinará la velocidad angular de una rueda de engrane que gira 85º en 10 s. Nota: La velocidad angular está relacionada con el desplazamiento angular a través de θ ω = la relación t, para un movimiento circular uniforme. d) Determinará la velocidad angular de una rueda de engrane que gira 3 π en 5 s TIPOS DE ÁNGULOS Los ángulos se clasifican y denominan en función de la medida de sus grados. Resolver problemas de física usando elementos geométricos.. El Alumno: 1. Identificará a que parte de la física se refiere cada uno de los problemas siguientes.. Realizará un esquema para cada uno de los problemas. 3. Usando sus conocimientos geométricos resolverá cada uno de los problemas. 4. Escribirá sus conclusiones para cada uno de los problemas, en base a su solución Ángulo agudo es un ángulo cuya medida está entre 0º y 90º. 16

25 Ángulo recto es un ángulo que mide 90º. Ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90º, pero menos de 180º Ángulo colineal o llano es un ángulo que mide 180º Ángulos consecutivos, complementarios, suplementarios y conjugados Consecutivos: Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado en común y están en un mismo plano. Ángulo cóncavo o entrante es un ángulo mayor de 180 y menor de 360 Complementarios: Son dos ángulos que suman 90º Ángulo perigonal es un ángulo que mide

26 Suplementarios: Son dos ángulos que suman 180º Conjugados: Son dos ángulos que suman 360º Adyacentes Son pares de ángulos consecutivos, cuya suma es igual a 180º, además estos ángulos son suplementarios. En la figura son consecutivos: α y γ γ y β β y θ θ y α Por tanto: α + γ = 180º γ + β = 180º β + θ = 180º θ + α = 180º Opuestos por el vértice Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice Si dos rectas de un plano se cruzan en un punto, se forman cuatro ángulos que de acuerdo con su posición reciben el nombre de adyacentes y opuestos por el vértice. Son los ángulos que comparten el vértice y quedan el uno frente al otro. Además estos ángulos son iguales. De la figura son opuestos por el vértice: Entonces: α y β θ y γ α = β θ = γ Demostración: Sabemos que: 18

27 α + γ = 180º γ + β = 180º Entonces: α + γ = γ + β α = β y γ + β = 180º β + θ = 180º Ángulos formados por dos rectas y una transversal que se cortan: Las paralelas y la transversal forman ocho ángulos. Cuatro son internos por estar situados en el espacio comprendido entre las paralelas: Entonces: γ + β = β + θ γ = θ Líneas perpendiculares Las líneas perpendiculares son dos líneas que se cortan en ángulo recto. El símbolo significa perpendicularidad. La perpendicular es la mediatriz de un segmento, es la perpendicular al segmento que pasa por el punto medio del segmento. Y cuatro son externos por estar situados en el espacio externo a las paralelas: Trabajo en equipo Competencia lógica Identificar las definiciones verbales con cada tipo de ángulo. El Alumno: 1. Realizará un recorrido por su escuela y medirá los ángulos de las tuberías y ventanas.. Realizará un esquema donde indique los ángulos. 3. Identificará el tipo de ángulo. Ángulos correspondientes: Son dos ángulos, uno interno y otro externo, que están situados de un mismo lado de la transversal y en distinta paralela: 19

28 Son correspondientes: β y φ, se puede ver que son iguales al efectuar una traslación rectilínea, tomando a la transversal como la directriz: β = φ entonces: δ = η Los ángulos correspondientes son iguales. Ángulos alternos internos: Son dos ángulos internos situados a uno y otro lado de la transversal y en distinta paralela. entonces: α = ε entonces: χ = γ Los ángulos alternos internos son iguales. χ = φ ε = δ Demostración de la igualdad: χ = φ 0

29 Por ser opuestos por el vértice: χ = β y por ser correspondientes entonces: β = φ χ = φ Ángulos alternos externos: Son dos ángulos externos situados a uno y otro lado de la transversal y en distinta paralela. Por ser opuestos por el vértice: α = δ y por ser correspondientes entonces: δ = η α = η Ángulos colaterales internos: Son dos ángulos internos situados en un mismo lado de la transversal y en distinta paralela. Ángulos colaterales externos son dos ángulos externos situados en un mismo lado de la transversal y en distinta paralela. Los ángulos alternos externos son iguales. α = η β = γ Demostración de la igualdad: α = η 1

30 Un soldador debe unir las piezas, como se muestra en la figura. Cuánto mide el ángulo x? Los ángulos paralelos son suplementarios Demostración de la igualdad: δ + φ = 180º 1..1 TRIÁNGULOS Polígonos El polígono es una figura geométrica limitada por una línea cerrada compuesta de varios segmentos. De la figura: Pero: por ser correspondientes entonces: β + δ = 180º β = φ δ + φ = 180º Realización del ejercicio Competencia de calidad Diseñar métodos y algoritmos para calcular variables. El Alumno: Ejemplo: 1. Identificará ángulos difíciles de medir.. Usará rectas paralelas y transversales. 3. Determinará ángulos desconocidos usando las propiedades de los ángulos. Clasificación: Los polígonos se pueden clasificar de acuerdo con su número de lados y de ángulos Triángulo: 3 ángulos y 3 lados Cuadrilátero: 4 ángulos y 4 lados Pentágono: 5 ángulos y 5 lados Hexágono: 6 ángulos y 6 lados Heptágono: 7 ángulos y 7 lados Octágono: 8 ángulos y 8 lados Eneágono: 9 ángulos y 9 lados Decágono:: 10 ángulos y 10 lados Examinemos como primer punto a los triángulos. Definición El triángulo es una figura geométrica limitada por una línea cerrada compuesta por tres segmentos.

31 Escaleno: los tres lados del triángulo tienen diferente longitud. AB, BC y AC son los lados de un triángulo ABC Δ ABC, â, ˆb y ĉ son los ángulos interiores del Δ ABC y ˆd, ê ˆf y son los ángulos exteriores del Δ ABC. Clasificación de los triángulos por la magnitud de sus lados: Clasificación de los triángulos por la magnitud de sus ángulos: Rectángulo: Uno de los ángulos del triangulo es recto. (Se denota por un pequeño rectángulo donde está el ángulo recto). Equilátero: los tres lados del triángulo tienen la misma magnitud. Isósceles: Dos de sus lados son iguales y el otro desigual. Oblicuángulo: El triángulo no tiene ningún ángulo recto. Los triángulos oblicuángulos pueden ser: Acutángulo: Si tiene tres ángulos agudos. Obtusángulo: Si tiene un ángulo agudo. 3

32 Baricentro o centroide: es el nombre del punto donde se intersecan las medianas. Rectas y puntos notables de un triángulo Alturas: La distancia que existe desde el vértice de un triángulo hasta la recta del lado opuesto se llama altura del triangulo correspondiente a ese lado. Mediatrices: La mediatriz correspondiente a un lado es la perpendicular de los lados que pasa por el punto medio del mismo. Ortocentro: es el punto donde se intersecan las alturas. Circuncentro: es el punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo y es el centro de la circunferencia cincunscrita. Bisectriz: La bisectriz correspondiente a un ángulo es la recta que une al vértice con un punto que indica la mitad del ángulo. En un triángulo obtusángulo es necesario prolongar los lados para obtener las alturas. Medianas: El segmento de recta que une a un vértice con el punto medio del lado opuesto se llama mediana correspondiente a ese lado. Incentro: es el punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. En un triángulo equilátero el centroide, el circuncentro y el ortocentro son el mismo punto. 4

33 En un triángulo isósceles la mediana, la mediatriz y la altura de A serán la misma línea. Comparación de resultados con otros compañeros Competencia Analítica. Los triángulos semejantes son los que tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados correspondientes proporcionales. En la siguiente figura los triángulos ACB y EDF son semejantes ya que sus lados correspondientes de los triángulos son proporcionales: 1 = 9 = 6 = Verificar propiedades de los triángulos. El Alumno: 1. Dibujará tres triángulos de la forma que desee y con medidas aleatorias.. Medirá sus tres ángulos con ayuda de un transportador y los sumará. 3. Comparará con sus compañeros y observará que no importa cuantos triángulos diferentes realicen siempre sus ángulos suman 180º. Realización del ejercicio Competencia Laboral Realización del ejercicio Competencia Laboral Usar la geometría para resolver problemas laborales. El Alumno: 1. Dibujará un plano de un terreno triangular de lados 140 m, 140 m y 140 m. Determinará geométricamente, el punto equistante a los tres vértices de con el fin colocar una antena. 3. Identificará a este punto por su nombre. Igualdad de triángulos Un triangulo es congruente o igual a otro, si tienen todos sus lados y ángulos respectivamente iguales a los lados y ángulos de otro. Usar la geometría para resolver problemas laborales. El Alumno: 1. Identificará un problema laboral a resolver.. Usando propiedades de los triángulos lo resolverá. 3. Realizará un escrito con sus conclusiones. Ejemplo: Calculará la altura de una torre de televisión que proyecta una sombra que tiene 150 m de longitud, sabiendo que a la misma hora, un poste vertical que tiene 1.5 m de altura proyecta una sombra de 1. m de longitud. Triángulos semejantes 5

34 1. Identificará terreno triangular en su comunidad.. Medirá sus lados con ayuda de un flexo metro. 3. Calculará su área, usando la fórmula de Herón. Ejemplo: Calculará el área de un terreno triangular cuyos lados son a = pies, b = 4.75 pies y c = 8.5 pies. Perímetro de un triángulo El perímetro de un triángulo de lados a, b y c es igual: P = a+ b+ c Área de un triángulo El área de un triángulo se determina mediante la siguiente fórmula: bh A = donde h es la altura del triangulo y b el lado opuesto, llamado la base del triángulo. Triángulos rectángulos Los lados del triangulo que forman el ángulo recto reciben el nombre de catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Fórmula de Herón Cuando no se conoce la altura. Se puede determinar el área de un triángulo usando la fórmula de Herón de Alejandría: A= s( s a)( s b)( s c) donde : a+ b+ c s = y a, b y c, son los lados del triangulo. Teorema de Pitágoras Pitágoras fue un político, filósofo y matemático griego que vivió en el siglo VI A. de C. El teorema de Pitágoras establece que: En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. c = a + b Demostración: Realización del ejercicio Competencia Laboral problemas laborales. El Alumno: Usar la geometría para resolver Por construcción CD AB 6

35 Puesto que son ACD y ACB son triángulos semejantes: c b = b x entonces: cx = b (1) Y como ACB y CDB son triángulos semejantes: c a = a y entonces: cy = a () Sumando las ecuaciones () y (1) cy + cx = a + b Factorizando a c : c y+ x = a + b ( ) Pero por construcción: c= x+ y Entonces c = a + b El teorema de Pitágoras también se puede expresar como: c= a + b A partir de esta ecuación se pueden determinar los catetos b = c a c = a + b a = c b Ejemplo: Usando el teorema de Pitágoras determinar el cateto b: b= c a Sustituyendo valores: El Alumno: 1. Identificará un problema laboral que involucre triángulos rectángulos.. Resolverá el problema usando el teorema de Pitágoras. 3. Realizará un reporte escrito del problema y sus resultados. Ejemplo: Una casa tiene 10 m de ancho y el caballete del tejado es 4 m más alto que las paredes laterales. Si las vigas, r, se extienden 0.5 m más allá de los costados de la casa, cuál es la longitud de las vigas? 1.. POLÍGONOS Cuadriláteros Es todo polígono de cuatro lados. Clasificación de cuadriláteros Los cuadriláteros se dividen en: PARALELOGRAMOS TRAPECIOS Los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos. Cuadrado: es un paralelogramo de lados iguales y ángulos rectos. b = 5 4 = 5 16 = 9 = 3 Realización del ejercicio Competencia Laboral Usar la geometría para resolver problemas laborales. Rectángulo: es un paralelogramo de contiguos desiguales y ángulos rectos. lados 7

36 Rombo: es un paralelogramo de ángulos oblicuos. lados iguales y Trapecio isósceles, es un trapecio en el cual los lados paralelos son iguales. Romboide: es un paralelogramo de contiguos desiguales y dos ángulos oblicuos. lados Trapezoide, es un trapecio que no tiene ningún lados paralelo a su opuesto. Los trapecios son cuadriláteros que sólo tienen dos lados paralelos. Trapecio: es un cuadrilátero de dos lados paralelos. Propiedades de los paralelogramos: 1. La suma de los ángulos de un cuadrilátero es igual a 360º. Demostración: Trapecio rectángulo, es un trapecio con dos ángulos rectos. Por construcción, se forman dos triángulos Δ ABC y Δ ACD. El segmento AC es común 8

37 para los triángulos Δ ABC y Δ ACD. La suma de cada uno de los ángulos interiores de un es de 180º entonces la suma de los ángulos de los triángulos Δ ABC y Δ ACD, es de 360º. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales Demostración: θ + φ = 180º 3. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en un punto medio Demostración: Por ser ángulos alternos internos: α = β γ = δ Por tener ángulos iguales, los triángulos Δ CDA son iguales, entonces: AB = DC AD = BC Puesto que: α = β γ δ Δ ABC y = En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales. Demostración: Por ser lados opuestos de un paralelogramo. AD = BC Por ser ángulos alternos internos: β = δ α = γ entonces Δ AOD =Δ BOC entonces OA = OC OD = OB 4. Las diagonales de un rectángulo son iguales θ = α + γ = β + δ = θ Los ángulos contiguos son suplementarios. Demostración: Por ser lados opuestos de un paralelogramo. AD = BC 9

38 entonces AB = DC Por la definición de un rectángulo DAB = ABC = 90º entonces los triángulos Δ ABC =Δ DAB por tanto: AC = BD Propiedades de los trapecios 1. Los lados contiguos a cada uno de los lados no paralelos de un trapecio son suplementarios. Demostración: α = β Y por ser los suplementos de α y β ADC = BCD Perímetros y áreas de cuadriláteros Paralelogramo El perímetro de un paralelogramo es igual a la suma de sus lados: P= l1+ l + l3 + l4 El área de un paralelogramo cualquiera es igual al producto de su base por su altura_ A= bh Por ser colaterales internos: α + δ = 180º χ + β = 180º. Los lados contiguos a una misma base de un trapecio isósceles son iguales. Demostración: Cuadrado: Por definición de trapecio isósceles: AD = BC y puesto que los puntos MDCN forman un rectángulo DM = CN Entonces por tener hipotenusa y un cateto respectivamente iguales Δ AMD =Δ BNC entonces Perímetro: P= 4l Área: A = l En términos de la diagonal, el área del cuadrado también se puede expresar como: d A = Rombo: Perímetro: P= 4l 30

39 Área: dd A = ' Trapecio: Perímetro: P= l+ b+ b' b+ b' Área: A= h Polígonos de cinco o más lados Polígonos regulares Un polígono es regular cuando todos sus lados son iguales. Centro El centro de un polígono regular es el punto interior del mismo en el que se intersecan las diagonales. El centro equidista de todos los vértices y de todos los lados. Apotema La apotema de un polígono regular es la perpendicular bajada desde el centro a uno cualquiera de los lados, es decir es la altura de uno de los triángulos iguales en que se puede descomponer el polígono considerando el lado como base. Área del polígono regular El área de un polígono regular es la igual a la mitad del producto de la apotema por el perímetro. anl A = Polígonos irregulares Un polígono es irregular, tiene lados desiguales. Área de un polígono irregular Para determinar el área de un polígono irregular, se divide el polígono en triángulos, se determina el área de cada triángulo y la suma de las áreas es igual al área del polígono. Propiedades de los ángulos en un polígono 1. A todo polígono regular corresponde una circunferencia circunscrita y otra inscrita que tienen el mismo centro. 31

40 . La suma de los ángulos centrales de un polígono regular es igual a 360º Por construcción AD y AC son diagonales En cualquier polígono se forman n triángulos. La suma de los ángulos del polígono es igual a la suma de los ángulos de los triángulos Δ ABC, Δ ACD y Δ ADE Y puesto que la suma de los ángulos de un triangulo es igual a 180º, en este caso se forman tres triángulos, entonces la suma de los ángulos de los triángulos será de 3(180º) = 540º, en general, se forman n- polígonos y la suma de los ángulos interiores de un polígono irregular es 180º(n-). También podemos afirmar que para un polígono regular de n lados, cada ángulo 180º ( n ) interior es igual a. n α α α α 4. La suma de los ángulos exteriores es 360º α 360º nα = 360º α = n 3. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º n ( ) Demostración: Cada ángulo exterior es suplemento de su correspondiente ángulo interior. Entonces la suma total de los ángulos interiores y exteriores es igual a n 180º. Pero ya hemos demostrado que la suma de los ángulos interiores es igual a 180º ( n ). Entonces la suma de los ángulos exteriores es igual a: ( n ) ( ) n180º 180º = 180º = 360º 5. El número de diagonales de un polígono de n lados es igual a la mitad del producto de n por n 3 Demostración: 3

41 . Realizará un reporte escrito de los problemas con los datos, las fórmulas empleadas, un esquema para cada problema y sus resultados CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA Demostración: De cada vértice del polígono se pueden trazar n 3 diagonales. Hay n vértices y las diagonales están repetidas veces, el total de diagonales es: n= n( n 3) n( n 3) n = Un polígono regular es equilátero y equiángulo a la vez. Circunferencia es una curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. Círculo es la superficie plana limitada por la circunferencia. Realización del ejercicio Competencia analítica. Elementos de la circunferencia Radio: es la recta que une el centro de un punto cualquiera de la circunferencia. Determinar áreas y perímetros de un polígono. El Alumno: 1. Aplicará las fórmulas del área y del perímetro de polígonos para resolver los siguientes problemas: a) Calculará el perímetro y área de un octágono, donde cada lado mide 1.5 cm y la apotema 15.1 cm. b) Obtendrá el perímetro y área de un rectángulo de 7 cm de largo por 5 cm de ancho. Diámetro: Recta que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia. 33

42 Cuerda: Recta que une dos puntos de la circunferencia. Secante: es una recta que interseca a la tangente en dos puntos. Arco: es una parte de la circunferencia en la figura. Ángulos en la circunferencia Los ángulos que se trazan en una circunferencia reciben diferentes nombres de cuerdo con la posición que presenta el vértice. Ángulo central: tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios. Tangente: es una recta que interseca a la circunferencia en un punto. 34

43 Ángulo inscrito: su vértice coincide con cualquier punto de la circunferencia y sus lados pasan por dos puntos de la circunferencia. Ángulo semi-inscrito: su vértice está sobre una tangente y una cuerda de la circunferencia. Ángulo excéntrico: esta dentro de la circunferencia pero su vértice no coincide con el centro. Arcos El arco es una sección de un círculo que con frecuencia se le describe en términos del tamaño de su ángulo central. Como ya hemos mencionado un arco de longitud igual al radio es 1 rad. Un ángulo central divide al arco en un arco menor y en un arco mayor. Ángulo exterior: su vértice se encuentra en la parte exterior a la circunferencia sus lados pueden ser secantes o tangentes. Longitud del arco Un arco formado por un círculo de radio r y un ángulo central de θ rad tiene una longitud de 35

44 arco: s = rθ Demostración: Propiedades de los círculos 1. Si una recta es perpendicular a un radio en el extremo de éste, la recta es tangente al círculo. Demostración: En C el segmento AD es perpendicular al segmento OD y OC es el radio del círculo. Por construcción B es un punto cualquiera de la recta AD distinto de C. Puesto que la perpendicular es la distancia más corta entre un punto y una recta OC < OB Y como la distancia desde el punto B al centro es mayor que la longitud del radio, el punto B es un punto externo al círculo. C es el único punto común de AD y el círculo, por tanto AD es tangente al círculo. Como consecuencia de esta propiedad podemos afirmar también que: Toda tangente a un círculo es perpendicular al radio en el punto de contacto. OA y OC son radios. Puesto que OA y OC son radios del mismo círculo. OA = OC Por construcción el segmento OE es lado común a los triángulos rectángulos Δ OEA y Δ OEC. Los triángulos Δ OEA y Δ OEC.son triángulos iguales, por tener lados hipotenusa y catetos iguales. Δ OEA =Δ OEC entonces AE = EC y AOB = BOC entonces concluimos que: En un mismo círculo, ángulos centrales iguales intersecan arcos iguales, entonces El arco AB es igual al arco BC. 3. En todo círculo, dos paralelas intersecan arcos iguales Demostración: La perpendicular a una tangente en el punto de contacto pasa por el centro del círculo.. La perpendicular trazada por el centro de un círculo a una cuerda, biseca la cuerda y los arcos subtendidos. CD, AB y EG son paralelas. Por construcción 36

45 F es tangente al círculo y FP es el diámetro. Y sabemos que la perpendicular trazada por el centro de una cuerda, biseca la cuerda y los arcos subtendidos entonces: FC = FD FA = FB Entonces: FC FA = FD FB Pero por construcción: FC FA = AC y FD FB = BD entonces: = AC BD Circunferencia y área de los círculos Las fórmulas para la circunferencia (perímetro de un círculo) y el área de un círculo implican el uso del número irracional π. La circunferencia C de un círculo es: C = π d = π r donde d es la longitud de un diámetro y r es la longitud del radio. El área de un círculo es: A r = π = π d 4 Realización del ejercicio Competencia Analítica Determinar áreas y perímetros del círculo. 1. Aplicará las fórmulas del área y del perímetro de polígonos para resolver los siguientes problemas: a) Calculará la cantidad de tela que se lleva un mantel circular de 1.5 m de diámetro. b) Calculará el perímetro de un anillo de 0.5 cm. de radio.. Realizará un reporte escrito de los problemas con los datos, las fórmulas empleadas, un esquema para cada problema y sus resultados PRISMAS Y PIRÁMIDES El espacio que ocupa un sólido se llama volumen y con frecuencia se obtiene usando fórmulas en las que intervienen sus dimensiones. Prismas Un prisma es un cuerpo geométrico cuyas bases son dos polígonos iguales y paralelos y sus caras laterales son paralelogramos. 37

46 Volumen: es el producto de su altura multiplicada por su base. Entonces si V representa el volumen, B el área de la base y h la altura : V = Bh Ejemplo: Calcular el volumen del prisma triangular anterior. ( )( ) V = Bh= 97.5 cm 0 cm = 1950 cm Repetición del ejercicio 3 Competencia Analítica Clasificación de los prismas Por la forma de su base los prismas pueden ser: Triangulares Cuadrangulares Pentagonales Hexagonales. Magnitudes de un prisma Altura: La altura de un prisma es la perpendicular bajada de una base a la otra o su prolongación en caso de que el prisma no sea recto. Área: es la suma de las áreas de todas las caras del prisma: De las dos bases. Y de las caras laterales. El área total es la suma de todas las áreas de las caras del prisma. Ejemplo: Determinar el volumen de un prisma recto triangular cuya altura es 0 cm; el lado del triangulo de la base es igual a 15 cm y la altura del triangulo es de 13 cm. 1. Determinamos el área de la base Determinar áreas y volúmenes de prismas. El Alumno: 1. Aplicará las fórmulas del área y del perímetro de polígonos para resolver los siguientes problemas: a) Determinará el área lateral, el área superficial total y el volumen de los sólidos de las siguientes figuras. ( )( ) bh 15 cm 13 cm A b = = = 97.5 cm. El área de cada una de las tres caras laterales es: Al = bh= ( 15 cm)( 0 cm) = 300 cm 3. El área total es entonces: A = A + 3A = 195 cm cm = 1095 cm t b l 38

47 Pirámides. Realizará un reporte escrito con los datos de cada figura, las fórmulas empleadas, un esquema para cada figura y sus resultados. Son cuerpos geométricos cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que concurren a un mismo punto llamado vértice de la pirámide. Se clasifican en función de la forma de la base y en consiguiente el número de caras. Triangulares Cuadrangulares Pentagonales Hexagonales. Magnitudes de una pirámide Altura: La altura de una pirámide es la perpendicular bajada desde el vértice de la pirámide a la base o su prolongación. Área: es la suma de las áreas de todas las caras de la pirámide: De la base y de las caras laterales. El área total es la suma de todas las áreas de las caras de la pirámide. Volumen: es un tercio del producto de su altura multiplicada por su base. Entonces si V representa el volumen, B el área de la base y h la altura : Bh V = 3 Trabajo en equipo Competencia lógica.. Identificar construcciones con formas de prismas y pirámides. Competencia Analítica Calcular áreas laterales y volúmenes de prismas y pirámides. El Alumno: Realizará un recorrido por su comunidad e identificará construcciones con formas de prismas y pirámides. Tomará medidas. Calculará el área lateral y volumen de dichas construcciones. Realización del ejercicio Clasificación de las pirámides Por su forma de su base las pirámides pueden ser: Competencia Tecnológica. Usar la calculadora o la computadora para la 39