Maximización del espacio de trabajo en un robot manipulador paralelo tipo Delta con actuadores lineales

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1 Maximización del espacio de trabajo en un robot manipulador paralelo tipo Delta con actuadores lineales Gilberto Reynoso, Antonio Favela Programa de Graduados ITESM, Departamento de Mecatrónica y Automatización ITESM Campus Monterrey, antonio.favela@itesm.mx Resumen En éste trabajo se presentan resultados preliminares de la influencia que tiene la distancia angular que sostienen entre sí los brazos de un manipulador Delta con actuadores lineales en su espacio de trabajo teórico. Los resultados obtenidos muestran diferentes alternativas a considerar en aplicaciones diversas basadas en arreglos diferentes para incrementar el espacio de trabajo en este tipo de manipuladores. Palabras Clave Manipulador paralelo, Robot Delta, espacio de trabajo. I. INTRODUCCIÓN Un robot manipulador de arquitectura paralela es considerado como aquél en donde su actuador final se encuentra conectado a la base del mismo por medio de varias cadenas cinemáticas independientes ([10]). Dicha topología conlleva una serie de ventajas y desventajas cuando se les compara con los manipuladores de arquitectura serial ([1], [2], [3], [9], [10], [6]), ampliamente conocidos en el sector industrial y académico. Una de las principales desventajas es que para cumplir con la cobertura de un espacio de trabajo dado, se requieren manipuladores paralelos de mayores dimensiones a las que requeriría un manipulador serial. Se dice entonces que los manipuladores paralelos presentan una razón sistema/espacio-de-trabajo menor al de los manipuladores seriales. El manipulador Delta pertenece a la familia de manipuladores paralelos y representa tal vez el mayor caso de éxito de los mismos. Fue concebido y diseñado por R.Clavel en 1988 y se describe en la patente 4,976,582 del gobierno estadounidense (vid. figura 1). Se le ha empleado principalmente para operaciones conocidas como Pick-and-Place, aunque existen referencias de su aplicación en máquinas-herramientas ([1], [7]). Siendo el robot Delta un manipulador paralelo, sufre también de la desventaja de presentar un disminuido espacio de trabajo en relación a su tamaño. En [12] se presenta una alternativa para la maximización del espacio de trabajo del Delta que se logra al orientar los actuadores del robot en planos distintos en lugar Fig. 1. Esquema del Manipulador Delta.[4] de disponerlos coplanares. Con una idea similar, se expondrán resultados preliminares para lograr una mayor cobertura para el manipulador Delta. El siguiente trabajo se organiza como sigue: en la sección II se describen las diferentes configuraciones para un manipulador Delta, en la sección III se presenta la forma usual del espacio de trabajo de los manipuladores Delta. En la sección IV se expone el arreglo propuesto para la maximización del espacio de trabajo teórico en un manipulador Delta con actuadores lineales y se expondrán resultados preliminares para este caso particular. II. CONFIGURACIONES DEL MANIPULADOR DELTA En su contexto más general, el manipulador Delta consta de una plataforma fija, una plataforma móvil y de tres cadenas cinemáticas que unen a los mismos. Cada cadena cinemática está compuesta por un brazo y un antebrazo. El primero de ellos está conectado a la base fija y es quién transmite el movimiento de los actuadores; el segundo va conectado a la plataforma

2 móvil. Ésta última consta de dos eslabones que en todo momento forman un paralelogramo, evitando así que el actuador final cambie su orientación ([8]). Tres son las principales configuraciones del manipulador Delta: Delta con actuadores rotacionales: el manipulador que diseñara en primera instancia R. Clavel (vid. figura 1). En dicho arreglo, la plataforma móvil se mantiene siempre paralela a la plataforma fija. Delta con actuadores lineales: un manipulador Delta el cual, en vez de utilizar actuadores rotacionales, emplea actuadores lineales para llevar a cabo el movimiento de la base móvil del mismo (vid. figura 2). La base móvil siempre se encuentra en un plano ortogonal a las guías del robot. Delta Lineal: un manipulador Delta que emplea también actuadores lineales, sin embargo, la base móvil se desplaza en planos siempre paralelos a las guías del robot (vid. figura 3) Para motivos de este trabajo sólo son de interés las primeras dos arquitecturas del manipulador Delta. III. CARACTERIZACIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO DEL DELTA En términos generales, es posible decir que el espacio de trabajo del manipulador Delta se basa en la intersección de las esferas que, teóricamente, describen el lugar geométrico de puntos donde se unen los antebrazos del robot con la plataforma en movimiento. Fig. 4. Parametrización del Delta con actuadores rotacionales. En el caso del Delta con actuadores rotacionales, se observa que dicha esfera tiene como radio la longitud del antebrazo BC y centro en B (vid. figura 4). La parametrización de tal esfera se muestra en la ecuación 1, donde B xi, B yi, B zi representan las coordenadas cartesianas de B. Fig. 2. Esquema del Manipulador Delta con actuadores lineales [5]. (X B xi ) 2 + (Y B yi ) 2 + (Z B zi ) 2 = BC 2 (1) El punto B se encuentra sujeto al movimiento del actuador situado en A, por lo que su ubicación en el espacio se describe por la ecuación 2, donde α i es el movimiento angular generado por el actudor con respecto a la horizontal, y a = A i B i. Fig. 3. Esquema del Manipulador Delta lineal [11]. B = [B xi B yi B zi ] T = [0 a cos α i a sin α i ] T (2) El mismo planteamiento matemático es válido para todos los brazos del manipulador. Basta con definir una rotación en los mismos. Sea tal matriz de rotación la descrita es la ecuación 3, donde θ i representa el ángulo que debe rotarse para obtener lograr parametrizar a los restantes brazos. Los valores usuales para θ i son de 0 o, 120 o y 240 o para i = 1, 2, 3 respectivamente. Para lograr el espacio de trabajo teórico del manipulador, basta con

3 determinar la cobertura de cada uno de los brazos y determinar el espacio que tienen en común. R i = cos θ i sin θ i 0 sin θ i cos θ i 0 (3) de la orientación de los tres actuadores rotacionales del manipulador Delta, los cuales usualmente, se encuentran compartiendo el mismo plano. En ese caso, la maximización varió dos parámetros, ángulos en este caso, de manera que se evaluó el impacto de tener a los actuadores en orientaciones distintas y dejando así de ser coplanares (vid. figura 6). Los resultados pueden ser revisados en la misma referencia, y basta decir que se logró un incremento aproximado al 9% del volumen de trabajo. Es de interés para los autores de este artículo el generar un incremento mayor en el espacio de trabajo del manipulador. (a) Fig. 6. Proyecto Nuwar para la optimización del espacio de trabajo de manipuladores Delta. Fig. 5. Parametrización del Delta con actuadores lineales. En el caso del Delta con actuadores lineales, el procedimiento es muy similar. Se puede hablar de la misma esfera con radio BC y centro en B (vid. figura 5), pero ahora el punto B describe una línea recta como lugar geométrico. Se logran las mismas ecuaciones 1 y 3 que en el modelo anterior, y cambia la ecuación 2 que en este caso tiene la forma de la ecuación 4, donde d i está en función de los actuadores lineales del manipulador. B = [B xi B yi B zi ] T = [0 0 d i ] T (4) Cabe mencionar que, en función de ciertos parámetros de forma, estos espacios de trabajo pueden ser no continuos, queriendo con ello decir que albergan regiones no alcanzables para el manipulador. Para el manipulador con actuadores rotacionales, se sabe que las condiciones necesarias para evitar singularidades dentro del espacio de trabajo son ([8]): OA AB > BC AB > 1.75 En el caso del manipulador con actuadores lineales, la condición única para evitar singularidades es que la carrera máxima de los actuadores lineales sea mayor a 2 BC ([5]). Una propuesta de maximización del espacio de trabajo se presenta en [12], la cual consiste en una reevaluación IV. MAXIMIZACIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO DEL MANIPULADOR DELTA CON ACTUADORES LINEALES Para el caso del manipulador Delta con actuadores lineales y rotacionales, se aprecia que el concepto de mantener equidistante la variación angular entre los tres brazos siempre se sostiene. En otras palabras, los valores para θ i en la ecuación 3 suelen ser 0 o, 120 o, 240 o o sus equivalentes. La maximización que aquí se propone consiste en la variación de la distancia angular que sostienen los tres actuadores del manipulador entre sí, es decir, considerar valores diferentes para θ i. Dicho cambio apenas modifica los algoritmos conocidos para el desarrollo de la cinemática y dinámica del manipualdor Delta empleados en el Control del mismo, ya que solo implica el cambio en la matriz de rotación de la ecuación 3 y no en los parámetros de forma del robot. Para mostrar la conveniencia de variar dicha distancia angular, se analiza tal variación en un manipulador delta con actuadores lineales. Se emplearán los mismos parámetros de forma detallados en [5]: BC = 1000, OA = 811. Las configuraciones analizadas mantienen constante la distancia al centro de la plataforma fija, de modo que la región de configuraciones para explorar consiste en ubicar los brazos del robot sobre una circunferencia. Se mantendrá fijo uno de los actuadores del manipulador y se variará la distancia angular de los dos restantes.

4 Cada reconfiguración será identificada por el par ordenado (φ 1, φ 2 ) que representan la distancia angular con respecto al brazo fijo de los dos restantes, el primero en sentido antihorario, el segundo en sentido horario. De tal forma, el arreglo usual (los tres actuadores equidistantes entre sí) se identificará como (120, 120) (vid. figura 5). Por tratarse de un trabajo preliminar, se eligieron valores para φ i dentro del conjunto 60 o, 90 o, 120 o, 150 o de manera que se desarrolló un total de 16 evaluaciones, contenida entre ellas la (120, 120). En la tabla IV se muestran los resultados de tales evaluaciones, presentando en la misma el cociente resultante de V olumen (φ1,φ 2)/V olumen (120,120). TABLA I INCREMENTO EN EL VOLUMEN DE TRABAJO DEL MANIPULADOR DELTA CON ACTUADORES LINEALES CON BASE EN EL (120,120). φ 1 60 o 90 o 120 o 150 o 60 o φ 2 90 o o o REFERENCIAS [1] Ilian Bonev. What is going on with paralell robots. Robotics Online. Disponible en [2] Ilian Bonev. Delta parallel robot: the story of success. The parallel mechanisms information center, Mayo Disponible en [3] Bennett Brumson. Parallel kinematic robots. Robotics Online. Disponible en [4] Reymond Clavel. Device for the movement and positioning of an element in space. U.S. Patent 4,976,582, Diciembre [5] Xin-Jun Liu et. al. A new approach to the design of a delta robot with a desired workspace. Journal of Intelligent and Robotic Systems, (39): , [6] H.K. Tonshoff & H.Grendel. A systematic comparison of parallel kinematics. Advanced Manufacturing Series: , [7] Gloria J. Weins Irene Fassi. Multiaxis machining: Pkms and traditional machining centers. Journal of Manufacturing Processes, 2(1), [8] R. Clavel L. Rey. The delta parallel robot. Advanced Manufacturing Series: , [9] Jean-Pierre Merlet. Parallel robots: open problems. Disponible en [10] Jean-Pierre Merlet. Parallel Robots. Kluwer Academic Publishers, [11] Karol Miller Michael Stock. Optimal kinematics design of spatial parallel manipulators: application to linear delta robot. Transactions of the ASME, 125, [12] Karol Miller. Maximization of workspace volume of 3-dof spatial parallel manipulators. Journal of Mechanical Design, 124, Se observa que todos los valores en la tabla son mayores a Lo anterior es debido a que, en realidad, la disposición equidistante de los actuadores es la que minimiza el espacio de trabajo teórico del manipulador Delta. El mismo se irá incrementando conforme (φ 1, φ 2 ) se aproxime a (0, 0). En la figura 7 se muestra el espacio de trabajo para la configuración (60,120), que es la mayor obtenida que no entra en conflicto con la guía del actuador fijo, ya que otras envolventes cubren regiones por detrás de la misma, lo cual es una reestricción espacial en la configuración. El arreglo no simétrico de las distancias angulares de los brazos del robot, aunque conduce a espacios de trabajos no simétricos, logra una maximización en los mismos, que puede ser conveniente en aplicaciones particulares y específicas. V. CONCLUSIONES Se ha presentado una altervativa para maximizar el espacio de trabajo en robots manipuladores tipo Delta que funcionan con actuadores lineales mediante la variación de las distancias angulares de los brazos del mismo. Dicha maximización conduce a espacios de trabajo no simétricos, sin embargo, para aplicaciones específicas, donde sea requerido, puede ser conveniente considerarlos desde la etapa de diseño.

5 (a) (a) Fig. 8. Forma del espacio de trabajo para la configuración (120,120): isométrica (a) y superior. Fig. 7. Forma del espacio de trabajo para la configuración (60,120): isométrica (a) y superior.