Álgebra II. Queremos encontrar una formalización matemática de algunos problemas clásicos de la geometría plana y espacial, como son los siguientes.

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1 Apuntes Álgebra II 1. Construcciones con regla y compás Queremos encontrar una formalización matemática de algunos problemas clásicos de la geometría plana y espacial, como son los siguientes. Trisección del ángulo: dado un ángulo θ, es posible construir, con regla y compás, un ángulo de medida θ/3? Cuadratura del círculo: dado un círculo de área A, es posible construir, con regla y compás, un cuadrado con el mismo área? Duplicación del cubo: dado un cubo de volumen V, es posible construir, con regla y compás, un cubo de volumen 2V? Definición 1.1. Sea S R 2 un conjunto. Se dice que un punto x R 2 es constructible en un paso de S si se obtiene de una de las siguientes maneras: como intersección de dos rectas, p 1 p 2 y q 1 q 2, con p i,q i S; como intersección de una recta, p 1 p 2, y una circunferencia, C(q 1,q 2 ), con centro en q 1 y que pasa por q 2, con p i,q i S; o como intersección de dos circunferencias, C(p 1,p 2 ) y C(q 1,q 2 ), con p i,q i S. Se dice que un punto x R 2 es constructible de S si existe una sucesión finita de puntos, {x 1,x 2,...,x n = x} tal que x i es constructible en un paso de S i 1 j=1 {x j}. Evidentemente, las rectas p 1 p 2 y q 1 q 2 del primer apartado, así como las circunferencias C(p 1,p 2 ) y C(q 1,q 2 ) del tercero, deben ser distintas. En caso contrario, todo punto de R 2 sería constructible (ejercicio: convencerse de ello), lo cual haría inútil este concepto. El problema de la trisección del ángulo viene dado por dos semirrectas, que definen el ángulo θ. En el marco de la definición anterior, podemos definir un conjunto S dado por tres puntos: la intersección de las semirrectas que forman el ángulo, y dos puntos que determinan éstas. En particular, podemos tomar S = {(0, 0),(1, 0),(cos θ, sin θ)}. Lema 1.2. El problema de la trisección del ángulo tiene una respuesta positiva si y sólo si el punto (cos ϕ, sin ϕ) es constructible del conjunto {(0, 0),(1, 0),(cos 3ϕ, sin 3ϕ)}. Demostración. Por un lado, basta observar que el punto (cos ϕ,sin ϕ) es la intersección de la circunferencia C((0,0),(1,0)) con la semirrecta que trisecta el ángulo 3ϕ. Recíprocamente, esta semirrecta viene determinada por los puntos (0,0) y (cos ϕ,sin ϕ). Podemos razonar análogamente en los otros dos problemas. Las demostraciones de los lemas siguientes quedan como ejercicios. 1

2 Lema 1.3. El problema de la cuadratura del círculo tiene una respuesta positiva si y sólo si el punto ( π,0) es constructible de {(0,0),(1,0)}. Lema 1.4. El problema de la duplicación del cubo tiene una respuesta positiva si y sólo si el punto ( 3 2,0) es constructible de {(0,0),(1,0)}. El resultado que sigue nos da una idea de lo que hemos ganado con esta formulación formal de los problemas planteados al principio del capítulo. Lema 1.5. Sea S = {s i = (a i,b i )} n i=1 R2 (n 2). Si s = (a,b) es constructible de S, podemos expresar a y b en función de {a i,b i } n i=1 utilizando operaciones algebraicas y raíces cuadradas. Demostración. Por inducción, basta comprobar que el resultado es cierto para puntos constructibles en un paso. La demostración, en este caso, se reduce a la inspección de cada uno de las tres maneras de obtener constructibles en un paso. Por ejemplo, en el segundo caso, sea la recta s 1 s 2, de ecuación y b 1 b 2 b 1 = x a 1 a 2 a 1, y C(s 3,s 4 ) la circunferencia, de ecuación (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 = (a 4 a 3 ) 2 + (b 4 b 3 ) 2. Los puntos de intersección se obtienen de la solución del sistema de segundo grado formado por las dos ecuaciones, por lo que sus coordenadas son expresables mediante operaciones algebraicas y raíces cuadradas. Los otros dos casos se demuestran análogamente (ejercicio). La Teoría de Galois, que desarrollaremos de aquí en adelante, nos permitirá estudiar, entre otras cosas, la resolubilidad del problema algebraico al que hemos reducido la trisección del ángulo, la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo. 2

3 2. Conceptos básicos de anillos En teoría de grupos, disponemos de un conjunto con una única operación. Sin embargo, estamos acostumbrados a trabajar con números enteros, racionales, reales y complejos, en los cuales existen dos operaciones. La estructura de anillo es una abstracción de las propiedades, intuitivamente evidentes, de estos números. Definición 2.1. Un anillo (R,+, ) es un conjunto R dotado de dos operaciones binarias, llamadas suma (+) y producto ( ), tales que (R,+) es un grupo abeliano, (R, ) es un monoide (i.e., la operación es cerrada y asociativa), y se cumplen las siguientes propiedades distributivas a (b + c) = a b + a c, (a + b) c = a c + b c, a,b,c R. Denotaremos por 0 el elemento neutro respecto de la suma, y por r al inverso de r R respecto de la misma operación. Si existe elemento neutro para el producto, denotado por 1 y llamado elemento unidad, el anillo se dice unitario. Si el producto es conmutativo, el anillo se dice conmutativo. De hecho, son las propiedades distributivas, a través de las cuales ambas operaciones interactúan, las que dotan a Z, Q, R, C y a otros anillos de su riqueza de propiedades. Ejemplos. 1. Z con las operaciones usuales de suma y producto es un anillo conmutativo unitario. 2. 2Z = {2n : n Z}, de nuevo con las operaciones habituales, es un anillo conmutativo, pero no posee elemento unidad. {( ) } a b 3. Dado un anillo R, el conjunto M 2 (R) = : a,b,c,d R con las operaciones c d conocidas de suma y multiplicación ( de ) matrices, es un anillo no conmutativo (y unitario 1 0 si R lo es, con elemento unidad ) Dado un anillo R, el conjunto R[X] de polinomios en la indeterminada X con coeficientes en R es un anillo. De igual manera, podemos considerar polinomios en más indeterminadas, definiendo R[X, Y ] = R[X][Y ]. Definición 2.2. Sea R un anillo. Se dice que S R es un subanillo de R si (S,+) < (R,+) y el producto es cerrado en S. Alternativamente, se dice que S R es un subanillo de R si S satisface, por sí mismo, los axiomas de anillo. Ejemplos. 1. 2Z < Z. 2. R < R[X]. 3

4 Lema 2.3. Sea R un anillo, r,s R. Entonces, 1. r0 = 0r = 0, r R, 2. ( r)s = (rs). Demostración. Ambas propiedades son consecuencias sencillas de la propiedad distributiva. 1. r0 = r(0 + 0) = r0 + r0, y la estructura de grupo de R con respecto a la suma nos permite restar miembro a mienbro, para obtener r0 = 0. Análogamente se demuestra 0r = rs+( r)s = [r+( r)]s = 0s = 0, y la afirmación del enunciado se deduce de la unicidad del elemento inverso. Un papel similar al que jugaban los subgrupos normales en la teoría de grupos es el que van a desempeñar los ideales en la teoría de anillos. Definición 2.4. Sea R un anillo. Un ideal de R es un subconjunto I R tal que (I,+) < (R,+), y r R, m I, mr I,rm I. Denotaremos I R. Evidentemente, todo ideal es subanillo. Ejemplos. 1. R = Z, I = 2Z. 2. R = C[X], I = {P C[X] : P(1) = 0}. {( ) 0 a Ejercicio. Sean R = M 2 (C), I = 0 b pero no un ideal, de R. } M 2 (C). Demostrar que I es un subanillo, Ejercicio. Demostrar que la intersección de una colección arbitraria de ideales de un anillo R es, de nuevo, un ideal de R. Definición 2.5. Sea S un subconjunto de un anillo R. El menor ideal de R que contiene a S se llama ideal generado por S, denotando (S). Así, (S) es la intersección de todos los ideales que contienen a S. Lema 2.6. Sea R un anillo unitario. Entonces, (1) = R. Demostración. Sea r R. Como 1 (1), se debe tener r1 = r (1) para todo r R. Por tanto, (1) = R. Lema 2.7. Para todo anillo R, {0} R. 4

5 Los ideales de un anillo R son subgrupos normales del grupo (R,+), ya que éste es abeliano. Así, podemos considerar el conjunto cociente R/I. De la teoría de grupos, sabemos que la operación de suma de clases de equivalencia (r + I) + (s + I) = (r + s) + I está bien definida, y que, con ella, (R/I,+) es un grupo abeliano. Para poder considerar el anillo cociente R/I, definimos el producto de clases de equivalencia según (r + I)(s + I) = rs + I. Teorema El producto de clases de equivalencia dado arriba está bien definido, i.e., no depende de la elección de representantes. 2. R/I con estas operaciones es un anillo. Demostración. 1. Sean r+i = r +I, s+i = s +I. Entonces, existen a,b I tales que r = r+a, s = s+b. Utilizando la definición de ideal, se tiene r s + I = (r + a)(s + b) + I = rs + as + rb + ab + I = rs + I. 2. (R/I, +) es un grupo abeliano, y la asociatividad del producto es evidente. Queda como ejercicio la demostración de la validez de las propiedades distributivas. Al igual que los homomorfismos de grupos conservaban la operación de éste, los homomorfismos de anillos habrán de conservar las operaciones de suma y producto. Definición 2.9. Sean R,S dos anillos. Un homomorfismo de anillos es una aplicación ϕ : R S tal que para todos r,s R se cumple ϕ(r + s) = ϕ(r) + ϕ(s), y ϕ(rs) = ϕ(r)ϕ(s). Es importante notar que todo homomorfismo de anillos f : (R,+, ) (S,+, ) es también un homomorfismo de grupos f : (R, +) (S, +). Definición Sea ϕ : R S un homomorfismo de anillos. Se definen la imagen y el núcleo de ϕ: im ϕ = {s S : r R,ϕ(r) = s} ker ϕ = {r R : ϕ(r) = 0} Existen análogos en anillos de los importantes teoremas de correspondencia e isomorfía de la teoría de grupos. Teorema 2.11 (Teorema de correspondencia). Sea R un anillo, I R. 5

6 1. Si J es un ideal de R con I J, entonces J/I es un ideal de R/I. Además, si K es otro ideal de R conteniendo a I, J = K si y sólo si J/I = K/I. 2. Sea L un ideal de R/I. Entonces, J = {x R : x + I L} R, I J, y L = J/I. Demostración. 1. Queda como ejercicio demostrar que J/I R/I. De la unicidad, la implicación directa es evidente. Para comprobar la inversa, veamos que K < J, J < K. En efecto, para cada k K, se tiene j J : k + I = j + I k j I a I : k = j + a J. Recíprocamente, para cada j J, k K : j + I = k + I j k I b I : j = k + b J. 2. Es también un ejercicio demostrar que J es un ideal de R. Es claro que I J, ya que para todo i I se tiene i+i = I L. Veamos que L = J/I. Por un lado, si l = a+i L, se tiene a J por definición, de donde a + I J/I. Recíprocamente, para todo j J, es j + I J/I, y, de nuevo por la definición de J, se tiene j + I L. Teorema 2.12 (Primer teorema de isomorfía de anillos). Sean R, S dos anillos, y f : R S un homomorfismo entre ellos. Entonces, 1. ker f R, 2. im f < S, y 3. R/ker f = im f. Demostración. 1. Sean r R,a ker f. Entonces, f(ra) = f(r)f(a) = f(r)0 = 0, luego ra ker f. Análogamente, f(ar) = f(a)f(r) = 0f(r) = 0 y ar ker f. Que (ker f,+) < (R,+) se deduce del primer teorema de isomorfía de grupos. 2. Ejercicio. 3. Sea g : R/ker f im f definido según g(r + ker f) = f(r). Esta aplicación está bien definida, pues, si r + ker f = s + ker f, a ker f tal que r = s + a, de donde g(r + ker f) = f(r) = f(s + a) = f(s) + f(a) = f(s) + 0 = f(s) = g(s + ker f). Además, g es homomorfismo, pues f lo es. Es inyectivo, por el mismo argumento que asegura que está bien definido. Por último, es sobreyectivo, ya que todo s im f es s = f(r) = g(r + ker f) para algún r R. 6

7 3. Conceptos básicos de cuerpos En anillos, no existen, en general, inversos multiplicativos, y, por tanto, no disponemos de la operación de división. Debemos extender la estructura de anillo para asegurar su existencia. Definición 3.1. Sea R un anillo unitario. Un elemento r R se llama unidad si existe otro elemento s R tal que rs = sr = 1. Se denota U(R) al conjunto de unidades de R. Ejemplos. 1. U(Z) = {1, 1}. 2. U(Q) = Q = Q\{0}. Lema 3.2. Sea R un anillo unitario. (U(R), ) posee estructura de grupo. Demostración. Es evidente que el inverso multiplicativo de un elemento r R pertenece a R, ya que la definición de unidad es simétrica. Por otro lado, sean r, s U(R), de modo que existen r 1,s 1 R. Entonces, (rs)(s 1 r 1 ) = r(ss 1 )r 1 = r1r 1 = rr 1 = 1, i.e., rs U(R) y (rs) 1 = s 1 r 1. (s 1 r 1 )(rs) = s(rr 1 )s 1 = s1s 1 = ss 1 = 1, Ejemplo. Sea R = Z[i] = {a + bi : a,b Z}, el anillo de los enteros gaussianos. Como (a+bi) 1 = a bi sobre los complejos, se tiene que (a+bi) 1 U(Z[i]) si y sólo si a 2 +b 2 = 1, a 2 +b 2 por lo que U(R) = {1, 1,i, i}. Definición 3.3. Un cuerpo es un anillo conmutativo unitario K tal que U(K) = K\{0}. Conocemos ya algunos ejemplos de cuerpos: Q, R y C. Otros menos triviales son los Z p, con p primo (recordar que U(Z p ) = Z p si y sólo si p es primo). Teorema 3.4. Sea R un anillo conmutativo unitario. Entonces, R es un cuerpo si y sólo si posee únicamente los ideales {0} y R. Demostración. ( ) Supongamos que R es cuerpo, y sea {0} I R. Si 0 r I, existe r 1 R, de modo que rr 1 = r 1 r = 1 R. Pero (1) I implica (1) = R. ( ) Supongamos que R posee únicamente los ideales impropios. Sea 0 r R, e I = rr = {rs : s R} (es un ejercicio demostrar que rr R si R es conmutativo). Pero I {0}, ya que r = r1 I, por lo que debe ser I = R. En particular, 1 I, luego existe s R tal que rr rs = 1, por lo que r U(R). Ejercicio. Sea R un anillo conmutativo unitario. Demostrar que 0 r R es una unidad de R si y sólo si (r) = rr = R. En el tema anterior, vimos que si R es un anillo e I un ideal suyo, el conjunto cociente R/I es un anillo. Veamos bajo qué condiciones este anillo cociente posee estructura de cuerpo. Definición 3.5. Sea R un anillo, I R. Se dice que I es un ideal maximal de R si I R y no existe J R tal que I J R. 7

8 Corolario 3.6. Sea R un anillo conmutativo unitario, I R. Entonces, I es un ideal maximal de R si y sólo si I/R es un cuerpo. Demostración. ( ) Si I es maximal, el teorema de correspondencia asegura que los únicos ideales de R/I son {0} y R, por lo que éste es un cuerpo. ( ) Si R/I es cuerpo, posee únicamente los ideales {0} y R, por lo que, por el teorema de correspondencia, no existe ningún ideal J como en la definición de ideal maximal. El paso al cociente es una técnica muy poderosa para conseguir demostraciones, pues podemos pasar de trabajar en un anillo a trabajar en un cuerpo, en el cual disponemos de inversos multiplicativos. Ejercicio. (Pequeño teorema de Fermat) Demostrar que x p x (mód p), con x Z y p primo. Desearíamos que si rs = rt, se tuviera s = t. Sin embargo, esto no siempre es cierto. Por ejemplo, en el anillo Z 6, tenemos 3 2 = 0 = 3 0, pero 2 0 evidentemente. Definición 3.7. Sea R un anillo. Un elemento 0 r R es un divisor de cero si existe 0 s R tal que rs = 0 ó sr = 0. Lema 3.8. Sea R un anillo unitario. Si r U(R), entonces r no es divisor de cero. Demostración. Supongamos que r U(R), y que existe 0 s R tal que sr = 0. Entonces, 0 = (sr)r 1 = s, en contradicción con las hipótesis. Corolario 3.9. Un cuerpo no tiene divisores de cero. Ejemplo. Sea p un número primo, p > 2. Veamos que (p 1)! 1 (mód p). Pasando al cociente, Z p, esta igualdad se escribe p 1 p = 1. (*) Como primer paso, resolvamos la ecuación a 2 = 1 en Z p, utilizando que es un cuerpo y no tiene divisores de cero. a 2 = 1 a 2 1 = 0 (a 1)(a + 1) = 0 a = 1 ó a = 1. Entonces, si a Z p, se tiene a = a 1 si y sólo si a {1, 1}. De esta manera, podemos escribir Z p = {1, 1} a Z p\{1, 1} {a,a 1 }. Reagrupando el producto en ( ), (p 1)! = = 1 1 = 1. Definición Sea K un cuerpo. Se dice que un subconjunto F K es un subcuerpo de K si se cumple que: F es un subanillo de K, y f F, f 0, se tiene f 1 F. 8

9 Ejemplo. Q < R < C. Ejercicio. Demostrar que la intersección de una colección arbitraria de subcuerpos de un cuerpo K es de nuevo un subcuerpo de K. Definición Sea S un subconjunto de un cuerpo K. El menor subcuerpo de R que contiene a S se llama subcuerpo generado por S, denotando (S). Así, (S) es la intersección de todos los subcuerpos que contienen a S. Existen ejemplos importantes de anillos, que tienen la propiedad, también importante, de no poseer divisores de cero, pero que no llegan a ser cuerpos, al no disponer de inversos multiplicativos. Definición Un dominio de integridad es un anillo conmutativo unitario sin divisores de cero. Ejemplos. 1. Todo cuerpo es dominio de integridad. 2. Z. 3. R[X]. Lema Sea R un dominio de integridad, y F un cuerpo con R F. Se tiene (R) = {rs 1 : r,s R,s 0}. Demostración. La inclusión T = {rs 1 : r,s R,s 0} (R) es trivial, pues (R) es un cuerpo. Para probar la recíproca, basta ver que T es un cuerpo (ejercicio). Ejemplo. (Z) = Q, tanto si consideramos Z R como Z C. Esta construcción puede hacerse sin necesidad del cuerpo F. En particular, dado un dominio de integridad R, consideramos el conjunto T = {(r,s) : r,s R,s 0}, y en él la relación de equivalencia dada por (r 1,s 1 ) (r 2,s 2 ) si r 1 s 2 = r 2 s 1. Denotamos por r s la clase de equivalencia del elemento (r, s). Definiendo las operaciones suma y producto en K = T/ según r s + a rb + sa r =, b sb s a b = ra sb, obtenemos un cuerpo, según asegura el siguiente teorema. A este cuerpo se le denomina cuerpo de cocientes de R. Teorema Las operaciones recién definidas no dependen de la elección de representantes. 2. (K, +, ) posee estructura de cuerpo. 3. Existe un homomorfismo inyectivo ϕ : R K. 4. (ϕ(r)) = K. 5. Si F es un cuerpo y R F, el menor subcuerpo de F que contiene a R es isomorfo a K. 9

10 Demostración. Los dos primeros apartados son un ejercicio. Para demostrar el tercero, sea ϕ(r) = r 1 (que es evidentemente un homomorfismo). Veamos que es inyectivo. En efecto, supongamos que ϕ(r) = 0, con r 0. Entonces, r 1 = 0 s implica rs = 0, y, por ser R dominio de integridad y s 0, se tiene r = 0, en contra de las hipótesis. s Además, si 1 (ϕ(r)), entonces ( ) s 1 1 = 1 s (ϕ(r)), luego r 1 1 s = r s (ϕ(r)), luego K (ϕ(r)). La desigualdad contraria se deduce de la misma definición de (ϕ(r)). Por último, supongamos que R F, con F cuerpo. Entonces, el homomorfismo r s K rs 1 (R) es un isomorfismo de anillos, y, por tanto, también de cuerpos (ejercicio). Q.E.D. Ejemplo. Sea R = K[X] el anillo de polinomios sobre un cuerpo K. El cuerpo de cocientes de R es { P(x) Q(x) : P(x),Q(x) K[X],Q(X) 0}, el cuerpo de funciones racionales sobre K. Con el concepto del cuerpo de cocientes en la mano, podemos empezar a comprender la estructura de un cuerpo cualquiera. Definición Sea K un cuerpo. La característica de K, char K, es el menor número natural tal que } {{ + 1 } = 0. Si no existe tal n, se dice que char K = 0. n veces Ejemplos. 1. Los cuerpos Q, R, C son de característica char Z p = p. Definición Sea K un cuerpo. Se define el subcuerpo primo de K, ( ), como el mínimo subcuerpo contenido en K. Ejemplos. 1. En el cuerpo de los números reales, se tiene ( ) = Q. 2. En Z p, donde p es primo, se tiene ( ) = Z p. El siguiente teorema afirma que estos ejemplos copan todas las posibilidades, de modo que, en realidad, son los ejemplos. Teorema Sea K un cuerpo. 1. Si char K = 0, el subcuerpo primo de K es isomorfo a Q. 2. Si char K = p, entonces p es primo, y el subcuerpo primo de K es isomorfo a Z p. Demostración. 1. Si char K = 0, no existe n N tal que n 1 = 0, ni n( 1) = 0, de modo que K contiene un subanillo isomorfo a Z. Entonces, el subcuerpo primo de K es isomorfo al cuerpo de fracciones de Z, que es Q. 2. Supongamos que la característica de K no es un número primo, de modo que p = p 1 p 2, con p 1 1, p 2 1. Entonces, (p 1 1)(p 2 1) = p 1 = 0, y, por ser K cuerpo, p 1 1 = 0 ó p 2 1 = 0, en contradicción con las hipótesis. Razonando como en el apartado anterior, K contiene un subanillo isomorfo a Z p. Por tanto, el subcuerpo primo de K es isomorfo al cuerpo de fracciones de Z p, que coincide con sí mismo. 10

11 4. Dominios euclídeos Una propiedad importante del anillo de los números enteros es que todo z Z se puede descomponer, esencialmente de manera única, en un producto de números primos. Además, sabemos realizar divisiones en Z. Veamos bajo qué condiciones podemos encontrar estas propiedades. Definición 4.1. Sea R un anillo, I R. Se dice que I es un ideal principal de R si existe un elemento a R tal que I = (a). Definición 4.2. Un dominio de ideales principales es un dominio de integridad en el cual todos los ideales son principales. Definición 4.3. Un dominio euclídeo es un dominio de integridad, junto con una aplicación g : R N que cumple las siguientes propiedades: 1. g(ab) g(a) para todos a,b R, y 2. (algoritmo de división) para todos a,b R, a 0 existen q,r R tales que b = qa + r, con r = 0 ó g(r) < g(a). Ejemplos. 1. Si K es un cuerpo, K[x] es un dominio euclídeo, con g(p(x)) = P, el grado del polinomio, y el algoritmo de división conocido (veremos la demostración en el capítulo siguiente). 2. Veamos que el anillo de los enteros gaussianos, Z[i] es un dominio euclídeo, con la función g : (Z[i]) N definida según g(a + bi) = a + bi 2 = a 2 + b 2. El primer axioma se reduce a pues c + di 2 1. g((a + bi)(c + di)) = a + bi 2 c + di 2 a + bi 2 = g(a + bi), Veamos el algoritmo de la división. Dados x,y Z[i], x 0, busquemos q,r Z[i] tales que y = qx + r, con r = 0 ó g(r) < g(x). Sea q = a + b i = yx 1 Q[i]. Es claro que existen a,b Z tales que a a 1 2 y b b 1 2. Tomemos q = a + bi. Entonces, r = y qx = q x qx = (q q)x = ((a a) + (b b)i)x. Considerando la extensión de g al cuerpo Q[i], dada por la misma expresión analítica, obtenemos g(r) = g((a a) + (b b)i)g(x) 1 g(x) < g(x), 2 como queríamos demostrar. Ejercicio. Demostrar que Z[ 2] es un dominio euclídeo. Teorema 4.4. Todo dominio euclídeo es dominio de ideales principales. Demostración. Sea R un dominio euclídeo, e I R. Si I = {0}, es claro que es un ideal principal. Supongamos, entonces, que I contiene al menos un elemento distinto de cero. Sea 11

12 a I tal que g(a) g(c) para cualquier otro c I. Entonces, utilizando el algoritmo de división, existen q,r R tales que c = qa + r con r = 0 ó g(r) < g(a). Pero r = c qa I,r 0 implicaría g(r) g(a), por la definición de a, en contra de las hipótesis. Por tanto, r = 0, y todo elemento c I es de la forma c = qa, i.e., I = (a). Corolario 4.5. Z es un dominio de ideales principales. Demostración. Basta ver que Z es un dominio euclídeo con g(z) = z. Definición 4.6. Sea R un dominio de ideales principales, a,b R, a 0, b 0. Se dice que un elemento d R es un máximo común divisor de a y b si (d) = (a,b). También denotaremos d = (a,b). Es importante notar que el máximo común divisor no tiene por qué ser único. Sin embargo, veremos que dos máximos comunes divisores difieren en una unidad. Definición 4.7. Sea R un dominio de integridad. Se dice que dos elementos e,d R\{0} están asociados si existe r U(R) tal que e = rd, en cuyo caso denotamos d e. Ejemplo. En Z, todo n está asociado con n, pues n = ( 1)n y 1 U(R). Lema 4.8. Sea R un dominio de integridad, e,d R, d 0, e 0. Entonces, (d) = (e) si y sólo si d y e están asociados. Demostración. ( ) Como (d) < (e), existe r R tal que e = rd. Análogamente, (e) < (d), luego d = se con s R. Así, d = srd, por lo que sr = 1, r U(R) y d e. ( ) Recíprocamente, si d e, existen r,s U(R) tales que e = rd y d = se, de lo cual es evidente que (d) < (e) y (e) < (d). Existe un algoritmo, llamado de Euclides, que permite encontrar un máximo común divisor de dos elementos cualesquiera a 0,a 1 de un dominio euclídeo. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que g(a 1 ) < g(a 0 ). Utilizando el algoritmo de división en R, hacemos a 0 = q 1 a 1 + a 2, g(a 2 ) < g(a 1 ), a 1 = q 2 a 2 + a 3, g(a 3 ) < g(a 2 ),. a n 1 = q n a n. Observemos que este proceso concluye en un número finito de pasos, ya que g(a i ) < g(a i 1 ), y la imagen de g está contenida en los números naturales. Es un ejercicio sencillo comprobar que a n es un máximo común divisor de a 0 y a 1. Además, el algoritmo de Euclides ha producido n 1 ecuaciones (útiles; la última únicamente nos indica cuándo terminamos). Si consideramos la sucesión {a i } n i=0 como incógnitas (hay n + 1), y sustituyendo hacia adelante a i+1 = a i 1 q i a i podemos encontrar a n = Aa 0 + Ba 1, demostrando la conocida propiedad lineal del máximo común divisor. 12

13 Ejemplos. 1. (15,35) = 5, pues el algoritmo de Euclides produce 35 = = 3 5. Para encontrar A y B, hacemos 5 = , i.e., A = 1, B = (15, 40) = 5. En efecto, 40 = = = 2 5. Además, 5 = = 15 1( ) = , de modo que A = 1 y B = El algoritmo de Euclides es muy útil para encontrar inversos en cuerpos Z p. Por ejemplo, consideremos p = 11. El elemento 3 es invertible, pues (3, 11) = 1. Por el algoritmo de Euclides, 11 = = = 2 1. Entonces, 1 = = 3 1(11 3 3) = , i.e., 1 = 4 3 y 4 = 3 1. Definición 4.9. Sea R un dominio de integridad. a = bc es una descomposición trivial si a U(R) ó b U(R). Se dice que 0 r R es un elemento primo de R si r / U(R) y sólo posee descomposiciones triviales. El siguiente lema justifica la denominación de elementos primos recién dada (aplíquese al anillo de los enteros y recuérdese 3.6). Lema Sea R un dominio de ideales principales. Entonces, un elemento 0 a R es primo si y sólo si (a) es un ideal maximal de R. Demostración. ( ) Puesto que a es primo, a / U(R), por lo que (a) R. Supongamos que (a) < (b), de modo que a = cb. Como a posee únicamente descomposiciones triviales, se tiene c U(R) (en cuyo caso (a) = (b)) ó b U(R) (y (b) = R), por lo que (a) es maximal. ( ) Si (a) es maximal, se tiene a / U(R), pues, en caso contrario, se tendría (a) = R. Sea a = bc, de modo que (a) < (b). Puesto que (a) es maximal, existen dos únicas posibilidades: si (b) = R, entonces b U(R); si (b) = (a), entonces b a y c U(R). Por tanto, a no tiene descomposiciones no triviales. Evidentemente, decimos que a divide a b, y denotamos a b si existe c tal que b = ca, i.e., si b (a). Corolario Sea R un dominio de ideales principales, y p un elemento primo de R. Si a = bc y p a, entonces p b ó p c. 13

14 Demostración. Consideremos el conjunto cociente R/(p), que es cuerpo por ser (p) maximal. Como p a, se tiene a (p). Por tanto, bc = 0, de donde b = 0 ó c = 0. Este resultado se generaliza de forma obvia a cualquier producto con un número finito de elementos. Lema Sea R un dominio euclídeo. Supongamos que a c pero a c (a es un divisor propio de c). Entonces, g(a) < g(c). Demostración. Por un lado, existe d R, d / U(R) tal que c = da. Por otro, utilizando el algoritmo de división, obtenemos q, r R tales que a = qc + r, con r = 0 ó g(r) < g(c). Supongamos que r = 0. Entonces, a (c), (a) < (c), luego (a) = (c) y se tendría a c, en contra de las hipótesis. Por tanto, g(r) < g(c). Pero r = a qc = a qda = a(1 qd) y g(a) g(r). Teorema Sea R un dominio euclídeo, a R. Entonces, existe una única descomposición de a como producto de elementos primos de R. Aquí, única significa que si a = p 1 p 2...p n = q 1 q 2...q m, entonces n = m y existe una permutación σ S n tal que p i q σ(i). Demostración. Si g(a) = 1, a no puede tener descomposiciones no triviales. En efecto, si a = bc, b es un divisor propio de a, por lo que 1 g(b) < g(a) = 1. Por tanto, a U(R) ó a es un elemento primo. Supongamos cierto el enunciado para todo a R tal que g(a) < n. Si g(a) = n y a no es un elemento primo de R, existe una descomposición no trivial a = bc, y se tiene g(b) < n, g(c) < n, por lo que, aplicando la hipótesis de inducción, existen descomposiciones b = p 1 p 2...p k, c = q 1 q 2... q l. Entonces, a = p 1 p 2...p k q 1 q 2...q l, lo cual prueba la existencia de tal descomposición. Veamos la unicidad. Supongamos que a = αp 1 p 2...p n = βq 1 q 2...q m, con α,β U(R). Entonces, p 1 q 1 q 2...q m, por lo que existe i {1,2,...,m} tal que p 1 q i, y, por ser elementos primos, existe γ U(R) tal que p 1 = γq i. Así, se tiene αγp 2 p 3...p n = βq 1 q 2... q i 1 q i+1...q m, y la hipótesis de inducción asegura que n 1 = m 1, y que cada p j, 1 < j n está asociado con un q k, 1 k m, k i. Un dominio de integridad conmutativo en el cual se cumplen las conclusiones de este teorema recibe el nombre de dominio de factorización única. Podemos reformular el teorema diciendo que todo dominio euclídeo es dominio de factorización única. Ejemplos = ( 3)( 2)2 = 2 2 3, pero 2 2 y 3 3, y podemos tomar σ = (1 3). 2. Z[i] es un dominio euclídeo, y, por tanto, las descomposiciones son únicas en él. Contraejemplo. Veamos que en Z[ 3], las descomposiciones no tienen por qué ser únicas, de donde deducimos que no es un dominio euclídeo. Si p 1 = 2, p 2 = 1 + 3, p 3 = 1 3, tenemos p 2 1 = p 2p 3. Basta comprobar, por tanto, que p 1,p 2,p 3 son elementos primos, y que p 1 no está asociado con p 2 ni p 3. En efecto, consideremos g : (Z[ 3]) N dado por g(a + b 3) = a 2 + 3b 2. De ésta, notamos que si g(r) = 1, entonces r U(R), ya que g(r) = rr. Además, no existe ningún 14

15 elemento a+b 3 Z[ 3] tal que g(a+b 3) = 2, pues la ecuación a 2 +3b 2 = 2 no tiene solución sobre los enteros. Es evidente que p 1,p 2,p 3 / U(R) (ejercicio). Supongamos que p i = ab es una descomposición no trivial de p i. Entonces, 4 = g(p i ) = g(a)g(b). Por tanto, g(a) = 1 (luego a U(R)) ó g(b) = 1 (y b U(R)), en contra de las hipótesis. Por tanto, p 1,p 2,p 3 son primos. Veamos que p 1 no está asociado con p 2 ni p 3. Supongamos lo contrario, p 1 = ap 2, p 1 = bp 3, con a, b U(R). Entonces, trabajando en el cuerpo de los números complejos (que contiene a Z[ 3]), obtenemos a = p 1 p 1 2 = / Z[ 3] b = p 1 p 1 3 = / Z[ 3]. 15

16 5. Anillos de polinomios El caso más importante de aplicación de los conceptos del capítulo anterior son los anillos de polinomios. Definición 5.1. Sea R un anillo. Se dice que el polinomio P = a 0 + a 1 X + + a n X n R[X], a n 0 tiene grado n, y se denota P = n, con el convenio 0 =. Lema 5.2. Sea R un dominio de integridad. Entonces, R[X] es un dominio de integridad. Además, para todos P, Q R[X] se cumple 1. (PQ) = P + Q, y 2. (P + Q) = máx{ P, Q}. Demostración. En el caso en que P = 0 ó Q = 0, las dos igualdades del enunciado son evidentes. Sean, entonces, con a n 0, b m 0. P = a 0 + a 1 X + + a n X n, Q = b 0 + b 1 X + + b m X m, 1. Se tiene PQ = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )X + + a n b m X n+m. Como R es un dominio de integridad, a n b m 0, por lo que (PQ) = n + m = P + Q >, lo cual demuestra también que R[X] no tiene divisores de cero, y es, por tanto, un dominio de integridad. 2. Demasiado sencillo para que la demostración sea siquiera un ejercicio. El ejercicio es convencerse de ello. Teorema 5.3. Si K es un cuerpo, entonces K[X] es un dominio euclídeo. En particular, para todos P,Q K[X], P 0 existen R,C K[X] tales que Q = CP + R y R < P. Demostración. Sean con a n 0, b m 0. P = a 0 + a 1 X + + a n X n, Q = b 0 + b 1 X + + b m X m, Si m < n, basta tomar C = 0, R = Q. Supongamos, entonces, que m n. Utilizaremos inducción sobre el grado de Q. Fijo n, tomemos como base de inducción el caso m < n y supongamos el enunciado cierto para todo Q con Q < m. Sea C 1 = b m a 1 n xm n. Entonces, Q 1 = Q C 1 P es un polinomio de grado m 1, y, por la hipótesis de inducción, existen C 2,R 1 K[X] tales que Q 1 = C 2 P + R 1 y R 1 < P. Basta, por tanto, tomar C = C 1 + C 2 y R = R 1. La función g : (K[X]) N necesaria viene dada por la expresión g(p) = 2 P. Q.E.D. Corolario 5.4. Sea K un cuerpo. K[X] es un dominio de ideales principales, y un dominio de factorización única. 16

17 Los anillos de polinomios poseen una nomenclatura particular: en ellos, los elementos primos reciben el nombre de polinomios irreducibles. Ejercicio. Sea K un cuerpo. Probar que X a K[X] es un polinomio irreducible para todo a K. Además, demostrar que K[X]/(X a) = K. Hasta ahora, hemos considerado los polinomios como elementos de ciertos anillos, P = a 0 +a 1 X+ +a n X n. Sin embargo, también podemos asociar a cada polinomio una aplicación P : K K que a cada elemento a K le asocia P(a) = a 0 + a 1 a + + a n a n, obtenido por sustitución formal de X por a. Tiene, entonces, sentido, decir que P(a) = 0, en cuyo caso decimos que a es una raíz del polinomio P. Teorema 5.5 (Ruffini). Sean P K[X] y a K. Entonces, P(a) = 0 si y sólo si P (X a). Equivalentemente, a es raíz del polinomio P si y sólo si P es divisible por X a. Demostración. Por el algoritmo de división, existen C,R K[X] tales que P = C(X a) + R, con R < (X a) = 1. Por tanto, R = 0 ó R =, i.e., R K. Entonces, P(a) = 0 implica R = 0, y viceversa. Proposición 5.6. Sean a,b K. Entonces, (X a) = (X b) si y sólo si a = b. Demostración. La implicación inversa es evidente. Para probar la directa, observemos que los polinomios de la forma X c con c K son irreducibles, de donde (X a) < (X b) implica X b X a y a = b. Corolario 5.7. Sea P K[X], P = n. Entonces, P tiene a lo sumo n raíces. Demostración. Puesto que K[X] es un dominio de factorización única, podemos descomponer P como producto de elementos primos (i.e, polinomios irreducibles) P = P 1 P 2...P k. Como U(K[X]) = K, se tiene P i 1. Así, n = P = k i=1 P i, por lo que k n. Ahora bien, si a j es raíz de P, el teorema de Ruffini asegura que X a j es un divisor de P, por lo que debe estar asociado a algún P i. Lema 5.8 (Gauss). Sea P Z[X]. P es irreducible sobre Z si y sólo si lo es sobre Q. Demostración. Supongamos que P es irreducible sobre Z, pero que P = (a 0 + a 1 X + + a n X n )(b 0 +b 1 X + +b m X m ) es una descomposición sobre Q. Como existe un número finito de coeficientes racionales, existe n N, que tomaremos mínimo, tal que np = (c 0 + c 1 X + + c n X n )(d 0 + d 1 X + + d m X m ) es una descomposición sobre Z. Sea p un divisor primo de n. Es claro que p no puede dividir a un tiempo a todos los c i ó a todos los b j, pues entraría en contradicción con la definición de n. Pasando al cociente, Z p [X], tenemos np = 0, lo cual implica que alguno de los factores es 0, por ser Z p [X] un dominio de integridad, en contradicción con la observación anterior. La implicación recíproca es evidente, pues toda descomposición sobre Q es una descomposición sobre Z. Esta demostración puede extenderse fácilmente a otros dominios euclídeos. 17

18 Ejercicio. Sea R un dominio euclídeo, y K su cuerpo de cocientes. Entonces, P R[X] es irreducible sobre R si y sólo si lo es sobre K. Teorema 5.9 (Criterio de irreducibilidad de Eisenstein). Sea P Z[X], P = a 0 + a 1 X + + a n X n, a n 0. Supongamos que existe un primo p tal p a n, p a i i < n, p 2 a 0. Entonces, P es irreducible sobre Q. Demostración. Por el lema de Gauss, basta demostrar que P es irreducible sobre Z. Supongamos que P no es irreducible, sino que existen P 1,P 2 Z[X] tales que P = P 1 P 2. Pasando al cociente, Z p [X], se tiene P = a n X n, con a n 0. Entonces, X n = a n 1 P 1 P 2, de modo que P 1 = αx i, P 2 = βx j con i + j = n. Pero, si P 1 = c 0 + c 1 X + c i X i, P 2 = d 0 + d 1 X + + d j X j, se tiene que p c 0 y p d 0, de donde p 2 c 0 d 0 = a 0, en contradicción con las hipótesis. El lema de Gauss y el criterio de Eisenstein nos proporcionan una poderosa herramienta para decidir la irreducibilidad sobre Q de un polinomio con coeficientes en el mismo cuerpo. Ejemplos. 1. Sea P = X 3 + 2X + 2. El criterio de Eisenstein con p = 2 asegura que éste es irreducible sobre Q. Recuérdese que z 0 para todo z Z, pues 0 (z) Z. 2. Sea p un número primo, y P = X p 1 +X p 2 + +X +1 = Xp 1 X 1, el p-ésimo polinomio ciclotómico. Es claro que P(X) es irreducible si y sólo si lo es P(X + 1), pues si P(X + 1) = Q 1 (X)Q 2 (X), entonces P(X) = Q 1 (X 1)Q 2 (X 1). Pero P(X + 1) = (X + 1)p 1 p ( p (X + 1) 1 = = X p 1 + px p 2 + k=1 ( p 2 ) X k 1 p k ) X p ( ) p X + p, p 2 por lo que el criterio de irreducibilidad de Eisenstein nos asegura el resultado. Teorema Sea p un número primo, P Z un polinomio mónico ( P = n, a n = 1), y P la imagen de P bajo el homomorfismo canónico ϕ : Z[X] Z p [X]. Si P = P y P es irreducible en Z p [X], entonces P es irreducible en Q[X]. Demostración. Ejercicio. 18

19 6. Extensiones de cuerpos Polinomios que no tienen raíces sobre los números racionales, sí las tienen en los reales o los complejos. Por tanto, estaremos interesados en encontrar nuevos cuerpos que contengan a los antiguos como subcuerpos, y tales que contienen las raíces de algún polinomio. Definición 6.1. Sean K,F dos cuerpos. Se dice que F es una extensión de K si contiene algún subcuerpo isomorfo a K. En este caso, denotaremos F/K. Una definición más elegante (y equivalente a la anterior) es decir que un cuerpo F es una extensión de otro cuerpo K si existe un monomorfismo σ : K F. Ejemplos. 1. R/Q. 2. Q[ 2]/Q. Si K es cuerpo, el mínimo subcuerpo contenido en él es el subcuerpo primo, que debe ser isomorfo a Q ó a Z p. Por tanto, podemos considerar todo cuerpo como extensión de un subcuerpo primo. Definición 6.2. Sea F/K una extensión de cuerpos, y S F un subconjunto. Denotamos K(S) al menor subcuerpo de F que contiene a K y S. Ejemplos. 1. Q(i) C. 2. Q( 2) C. 3. Q( 2,i) = {a + b 2 + ci + di 2 : a,b,c,d Q} C. Lema 6.3. Dados dos subconjuntos S, T F, se tiene K(S T) = K(S)(T). Demostración. Ejercicio. Lema 6.4. Sea S = {u 1,u 2,...,u n } F. Entonces, K(u 1,u 2,...,u n ) es el cuerpo de cocientes de K[u 1,u 2,...,u n ]. Demostración. Ejercicio. Ejemplo. Q( 2) = Q[ 2], puesto que Q[ 2] es cuerpo. Definición 6.5. Se dice que F/K es una extensión finitamente generada si existe un subconjunto finito S F tal que F = K(S). Ejemplo. Q( 2,i)/Q es una extensión finitamente generada. Ejercicio. Comprobar que si K F es numerable y u F, entonces K(u) es numerable. Utilizar este resultado para probar que R/Q es una extensión no finitamente generada. Definición 6.6. Una extensión F/K se llama simple si existe algún elemento u F tal que F = K(u). Ejemplo. C/R es una extensión simple, ya que C = R(i). 19

20 Ejercicio. Sea F/K una extensión de cuerpos. Demostrar que F posee estructura de K- espacio vectorial, i.e., (F,+) es un grupo abeliano, y k K, f F, kf F, cumpliendo (k 1 + k 2 )f = k 1 f + k 2 f, k 1,k 2 K, f F, k(f 1 + f 2 ) = kf 1 + kf 2, k K, f 1,f 2 F. Definición 6.7. Se dice que la extensión F/K es finita si la dimensión de F como K-espacio vectorial es finita. En tal caso, F : K = dim K F recibe el nombre de grado de la extensión. Ejemplos. 1. C : R = 2, pues {1, i} es R-base de C. 2. K : K = K(X) : K = + ; una base es {1,X,X 2,...}. Ejercicio. Demostrar que F/K es finitamente generada si es finita, pero no necesariamente a la inversa (el contraejemplo lo acabamos de dar). Teorema 6.8. Sea K un cuerpo, y P K[X] un polinomio irreducible. La extensión F = K[X]/(P) es finita, y F : K = P. Demostración. Sea P = a 0 +a 1 X + +a n X n, n 0. Notemos que si 0 a K, entonces a 0, por lo que K es isomorfo al cuerpo K = {a : a K}. Identificando ambos, tenemos, para todo Q K[X], Q = b 0 + b 1 X + + b k X k + (P) = b 0 + b 1 X + + b k X k. (1) Por tanto, podemos caracterizar F = K[X]. Veamos que B = {1,X,...,X n 1 } es una base de F como K-espacio vectorial. B es un sistema generador de F, pues todo monomio X m es combinación lineal de elementos de B. Si m < n, esto es evidente. Si m n, por el algoritmo de división, existen polinomios R,C K[X] tales que X m = CP + R, con R < P = n. Sobre el cociente, X m = R. B es un conjunto linealmente independiente. En efecto, si existiesen α 0,α 1,...,α n 1 K no todos cero tales que n 1 i=0 α ix i = 0, se tendría n 1 n 1 α i X i (P) C K[X] : α i X i = CP i=0 Pero n 1 = ( n 1 i=0 α ix i ) = P + C n, lo cual es absurdo. Teorema 6.9. Sean F/E, E/K extensiones de cuerpos. Entonces, F/K es una extensión finita si y sólo si lo son F/E y E/K. Además, F : K = F : E E : K. Demostración. Supongamos que la extensión F/K es finita. Entonces, dim K F = r < +, y dim K E r, por ser E K-subespacio vectorial de F, lo cual demuestra que E/K es finita. i=0 20

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