Notas para un Curso de Álgebra Avanzada. Luis M. Pardo, Luis F. Tabera Alonso

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1 Notas para un Curso de Álgebra Avanzada Luis M. Pardo, Luis F. Tabera Alonso

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3 Índice general Capítulo 1. Nociones básicas: anillos, módulos, variedades, ejemplos Introducción Anillos, Ideales, Morfismos de Anillos Las Nociones Elementales Ejemplo: Anillos de Polinomios y Anillos de Series de Potencias Formales Ejemplo: Anillos de Funciones en estructuras topológicas o diferenciables Ejemplo: Funciones Booleanas Módulos, Submódulos, Morfismos de Módulos Las Nociones Elementales Algunas Propiedades Básicas Dominios, Primos, Maximales, Variedades Variedades, no manifolds Divisores de Cero. Ideales Primos y Maximales Cuestiones y Problemas 27 Capítulo 2. El Teorema Chino de los Restos Introducción El anillo producto y el TCR Interpretación del Teorema Chino de los Restos en el caso R = Z En relación con el problema de Sun Tzu Una Aplicación en computación: Cálculo del Determinante por Algoritmos Modulares La Búsqueda de un Buen Número Primo Test de Primalidad Combinando el Teorema de Densidad de los Número Primos y los Tests de Primalidad La Estrategia Final Secretos Compartidos El teorema Chino de los Restos en el caso R := k[x] Eliminación Univariada Clásica Mutiplicar por un polinomio El Teorema Chino de los Restos en R = k[x] y la Forma Canónica de Jordan El álgebra k[x]/(f) Teoría del Endomorfismo y el Máximo Común Divisor en k[x]. 47 Capítulo 3. Nociones un poco más avanzadas: localización, radicales, categorías Introducción Local, Localización Anillos Locales y Semi-locales: Gérmenes de Funciones Localización Ideal asociado a una variedad: radical y radical de Jacobson Ideal de un Objeto Geométrico Radical y Radical de Jacobson 56 3

4 4 Índice general 3.4. Funciones vs Objetos El Lenguaje de las Categorías Categorías Functores y Equivalencias Naturales Variación de un primer tema clásico: El Teorema de Stone Cech Variación de un segundo tema clásico: El Lema de Urysohn y el Teorema de Extensión de Tietze Variación de un tercer tema clásico: Extensión de funciones en Variedades Diferenciables Cuestiones y Problemas 64 Capítulo 4. Anillos y Módulos Noetherianos: Primeras propiedades Introducción Diagramas Conmutativos, Complejos y Sucesiones Exactas El Bi functor Hom R (, ), localización, y propiedades locales Anillos y Módulos Noetherianos Condición de cadena ascendente para submódulos e ideales El Teorema de la Base de Hilbert Descomposición Primaria Un par de resultados técnios peliminares: NAK y otros Descomposicón Primaria: Teorema de Lasker Noether Temas Opcionales Snake Lemma Libres, Proyectivos, Inyectivos y Planos (Opcional) Cuestiones y Problemas 87 Bibliografía 89

5 Capítulo 1 Nociones básicas: anillos, módulos, variedades, ejemplos Contents 1.1. Introducción Anillos, Ideales, Morfismos de Anillos Las Nociones Elementales Ejemplo: Anillos de Polinomios y Anillos de Series de Potencias Formales Ejemplo: Anillos de Funciones en estructuras topológicas o diferenciables Ejemplo: Funciones Booleanas Módulos, Submódulos, Morfismos de Módulos Las Nociones Elementales Algunas Propiedades Básicas Dominios, Primos, Maximales, Variedades Variedades, no manifolds Divisores de Cero. Ideales Primos y Maximales Cuestiones y Problemas Introducción Este Capítulo está dedicado a introducir las nociones más elementales, que se le suponen o se le deben suponer al alumno, así como las notaciones más habituales. Adicionalmente, aprovechamos el Capítulo para derezarlo con ejemplos provenientes de los contextos menos habituales en las asignaturas de Álgebra, mirando con especial atención a aquellos casos con interpretación geométrica (Geometría Algebraic o Analítica). El resultado es una abundante colección de ejemplos que podrán aparecer más adelante durante el curso. La única conclusión relevante que se le pide al alumno es que observe que las nociones de anillo, cuerpo, ideal o módulo no constituyen una extravaganza algebrística. Son nociones demasiado habituales en Geometría y/o Teoría de Números como para considerarlas aisladamente Anillos, Ideales, Morfismos de Anillos Las Nociones Elementales. Definición (Anillo). Un anillo es una terna (R, +, ), donde (1). (R, +) es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro se suele denotar por 0 R, (2). (R, ) es un monoide conmutativo, cuyo elemento neutro se suele denotar por 1 R, (3). se verifica la propiedad distributiva siguiente: a, b, c R, a (b + c) = a b + a c. Como es habitual se omite el subíndice R cuando no genera confusión. Supondremos en adelante que 1 R 0 R para descartar el anillo trivial R = (0). 5

6 6 1. NOCIONES BÁSICAS Definición (Subanillos, ideales, morfismos, unidades). Dado un anillo (R, +, ), llamaremos: (1). Subanillo: a todo subgrupo (S, +) de (R, +) tal que 1 R S y S es cerrado para la operación producto, esto es, a, b S, a b S. (2). Ideal: a todo subgrupo (a, +) de (R, +) tal que se verifica: a R, b a, a b S. Los ideales (0) y R se denominan ideales impropios de R. Los demás se denominan propios. (3). Morfismo de anillos: Dados dos anillos (R, +, ) y (T, +, ), llamamos morfismo entre los anillos R y T a todo morfismo de grupos f : (R, +) (T, +) tal que: f(1 R ) = 1 T, a, b R, f(a b) = f(a) f(b). (4). Unidades en el anillo: A todos los elemenos a R tales que existe a R, con aa = a a = 1 R. Denotamos por R al conjunto de las unidades del anillo R y forma un grupo abeliano con la operación producto (R, ) llamado grupo de las unidades del anillo R. Proposición (Propiedades elementales). Se tienen las siguientes propiedades elementales: (1). Los subanillos T de un anillo S son ideales si y solamente si R = T. (2). Los morfismos de anillos transforman subanillos en subanillos en ambas direcciones. Es decir, si f : R T es un morfismo de anillos, se tiene: Si S es subanillo de R, entonces f(s) := {f(x) : x S} es un subanillo de T, Si U es un subanillo de T, entonces f 1 (U) := {x R : f(x) U} es un subanillo de R. (3). Las imágenes inversas de ideales son ideales, pero no necesariamente lo son las imágenes directas. Es decir, si f : R T es un morfismo de anillos, se tiene: Si b es un ideal de T, entonces f 1 (b) := {x R : f(x) a} es un ideal de R. Si b es un ideal de R, en general no es cierto que f(a) sea ideal de T. Cuando no hay confusión sobre el morfismo f, al ideal f 1 (b) se le denota mediante b c y se le denomina contracción del ideal b de T. (4). Un subgrupo a del grupo aditivo de un anillo (R, +, ) es ideal si y solamente si, el grupo cociente (R/a, +) es anillo con la operación siguiente: dada mediante : R/a R/a R/a, (x + a)(y + a) := xy + a, x + a, y + a R/a. Al anillo A/a se le denomina anillo cociente de R por el ideal a. (5). Un anillo es cuerpo si y solamente si R = R \ {0}. (6). Un anillo es cuerpo si y solamente si los únicos ideales son los impropios. En particular, si K es un cuerpo y f : K R es un morfismo de anillos, entonces f es inyectivo (monomorfismo) y K se puede identificar con un subanillo de R.

7 1.2. ANILLOS, IDEALES, MORFISMOS DE ANILLOS 7 Demostración. mayor discusión. La mayoría de estas propiedades son evidentes y no necesitan de Ejemplo Los ejemplos más elementales de anillos son obviamente los cuerpos, como Q, R, C, o anillos como Z. También son ejemplos de anillo los cocientes de Z por sus ideales. Veremos, sin embargo, que hay muchos más ejemplos Ejemplo: Anillos de Polinomios y Anillos de Series de Potencias Formales. Sea X un conjunto cualquiera y sea R un anillo. El conjunto Ap(X, R) de las aplicaciones de X en R es claramente un anillo con las operaciones naturales de suma y producto de aplicaciones. El caso de los polinomios es una reinterpretación de Ap(X, R) que definiremos a continuación. Proposición El conjunto (N n, +) es un monoide conmutativo con la operación: dada mediante: + : N n N n N n, (µ 1,..., µ n ) + (θ 1,..., θ n ) := (µ 1 + θ 1,..., µ 1 + θ 1 ). Más aún, la siguiente aplicación es un morfismo de monoides entre (N n, +) y (N, +), llamada grado: : N n N, dada mediante (µ 1,..., µ n ) = µ µ n. A los elementos de N n, en este contexto, se les suele llamar exponentes o exponentes monomiales. Demostración. Es evidente. Observación (Grado + lexicográfico). Recordemos que podemos identificar (vía biyección) N n con N de varias formas distintas. Cada una de esas biyecciones supone la introducción de un orden en N n. Lo que haremos ahora es el proceso inverso: destacar un orden en N n (que defina una biyección con N) que es, además un orden monomial (un orden monomial es un buen orden en N n tal que verifica: µ, θ, τ N n, si µ τ, entonces µ + θ τ + θ.) Un ejemplo de orden monomial es el grado + lexicográfico ( deglex ), que se define del modo siguiente. Sea lex el orden lexicográfico en N n. Obsérves que lex no es un orden que permita biyectar N n con N. Entonces, definimos: para µ, θ N n, diremos que µ deglex θ si se verifica: [ µ < θ ] [( µ = θ ) (µ lex θ)]. Consideremos el grupo aditivo (Ap(N n, R), +) y definamos la función producto siguiente: : Ap(N n, R) Ap(N n, R) Ap(N n, R), dada mediante: Dadas f, g Ap(N n, R), definamos: f g : N n R, mediante: f g(µ) := f(θ)g(τ). θ,τ N n,θ+τ=µ Obsérvese que esta operación producto es la versión discreta de la convocluaicón de funciones medibles. Finalmente, definamos Ap 0 (N n, R) como aquellas aplicaciones que se anulan salvo en un número finito de índices, Esto es, Ap 0 (N n, R) := {f : N n R : I N n, I finito, f(µ) = 0, µ I}. Proposición Con las anteriores notaciones:

8 8 1. NOCIONES BÁSICAS (1). La terna (Ap 0 (N n, R), +, ) es un anillo conmutativo con unidad que se denomina anillo de polinomios en n variables con coeficientes en R y se denota mediante R[X 1,..., X n ] (2). La terna (Ap(N n, R), +, ) es un anillo conmutativo con unidad que se denomina anillo de series de potencias formales en n variables con coeficientes en R y se denota mediante R[[X 1,..., X n ]] En particular, R[X 1,..., X n ] es un subanillo de R[[X 1,..., X n ]]. Demostración. Es un ejercicio de mera comprobación. Notación Hay una notación estandarizada de estos objetos. Supongamos dado µ := (µ 1,..., µ n ) N n un exponente monomial. Se define el monomio X µ := X µ 1 1 Xµ 2 2 Xµn n R[X 1,..., X n ] = Ap 0 (N n, R) como la transformación X µ : N n R, dada mediante: { X µ 1, si θ = µ, (θ) := 0, en caso contrario. Dado a R, se define el el término ax µ R[X 1,..., X n ] como como la transformación ax µ : N n R, dada mediante: { ax µ a, si θ = µ, (θ) := 0, en caso contrario. Se dice que a es el coeficiente de ax µ, que µ es su exponente y que µ N es el grado del término. Lema Con estas notaciones, R es un subanillo de R[X 1,..., X n ], identificando R con el conjunto de términos: {λx (0) : λ R}, donde (0) = (0,..., 0) N n es el elemento neutro de N n como monoide. Demostración. Obvio. Proposición Sea K un cuerpo y K[X 1,..., X n ] el anillo de polinomios en n variables con coeficientes en K. Entonces, (1). K[X 1,..., X n ] es un K espacio vectorial, con base dada por los monomios {X µ : µ N n }. (2). Dado un polinomio f K[X 1,..., X n ], tenemos una representación: f := µ I a µ X µ, donde I N n es un conjunto finito, {a µ : µ I} K. Definiremos grado de f como el máximo de los grados de los términos no nulos en una descomposición como la anterior. Es una noción bien definida. (3). Dado un entero d N, denotaremos por H d (X 1,..., X n ) al K subespacio vectorial de K[X 1,..., X n ] generado por los monomios de grado d, es decir, generado por: {X µ : µ = d, µ N n }. Entonces, H d (X 1,..., X n ) es un espacio vectorial de dimensión finita e igual a ( ) d + n 1 dim K H d (X 1,..., X n ) =. n 1

9 1.2. ANILLOS, IDEALES, MORFISMOS DE ANILLOS 9 Más aún, tenemos la descomposición de K[X 1,..., X n ] en suma directa de subespacios siguiente: K[X 1,..., X n ] := d N H d (X 1,..., X n ). Demostración. Las afirmaciones son de mera comprobación. Observación En el caso de series de potencias formales también se admite una representación de la forma siguiente: Dada f K[[X 1,..., X n ]], escribiremos: f := µ N n a µ X µ, aunque, obviamente, por ser una suma infinita es un límite y require de varias discusiones adicionales como la introducción de una topología y de una métrica. Observación (Polinomios y Series de Laurent). Si en las definiciones anteriores hubiéramos tomado como punto de partida el grupo (Z n, +) en lugar del monoide (N n, +) tendríamos similares conjuntos de aplicaciones Ap 0 (Z n, R) y Ap(Z n, R). En este caso se habla de polinomios y series de Laurent y se denotan, en ocasiones, mediante R[X 1, X1 1, X 2, X2 1,..., X n, Xn 1 ], y R[[X 1, X1 1, X 2, X2 1,..., X n, Xn 1 ]]. Pero no discutiremos sobre estos anillos aquí Ejemplo: Anillos de Funciones en estructuras topológicas o diferenciables. En un contexto distinto, podemos condierar directamente anillos de funciones Ap(X, R), donde X es un conjunto cualquiera. Lo que sigue es la presentación de varios subanillos de Ap(X, K), donde K = R C, según el caso. Ejemplo (Funciones a valores reales). Los siguientes son ejemplos de anillos: (1). Sea X un espacio topológico, el conjunto de las funciones continuas C 0 (X, R) := C 0 (X) es un anillo. (2). Sea X un abierto de una veriedad diferenciable (C ), el conjunto C (X) de las funciones infinitamente diferenciables definidas en X es también un anillo conmutativo con unidad con las operaciones usuales de suma y producto de funciones. (3). Sea X un abierto en R n, la familia de funciones analíticas reales C ω (X) es también un anillo. Nótese que tenemos la siguiente cadena (propia, todos los contenidos son estrictos) de subanillos, cuando X R n es un abierto. R C ω (X) C (X) C 2 (X) C 1 (X) C 0 (X). Ejemplo (Funciones a valores complejos). Los siguientes son ejemplos de anillos: (1). Sea X un espacio topológico, el conjunto de las funciones continuas C 0 (X, C) es un anillo. (2). Sea X un abierto en C n, el conjunto de las funciones analíticas complejas (tambi én llamadas holomorfas) definidas en X H(X) es un anillo.

10 10 1. NOCIONES BÁSICAS Ejemplo: Funciones Booleanas. Son funciones básicas en Lógica y en diseño de Circuitos Digitales. Por ahora nos vamos a coformar con definirlas. Comenzamos observando la identificación {0, 1} = Z/2Z que identifica los valores boooleanos {0, 1} (o también en su versiones verdadero/falso: {V, F}) con el cuerpo primo de característica 2. Se denomina función booleana de n variables a toda aplicación: f : {0, 1} n {0, 1}. Se define el conjunto de funciones booleanas B n := {f : {0, 1} n {0, 1} : f es aplicación}. Es fácil de observar que podemos indetificar B n = P({0, 1} n ), es decir, el conjunto de funciones booleanas con el conjunto de todos los subconjuntos de {0, 1} n. La biyección entre ambos conjuntos es dada por las funciones características: Dado un subconjunto L P({0, 1} n ), definimos la función booleana χ L B n dada mediante: x {0, 1} n, χ L (x) = 1 x X. Recíprocamente, dada una función booleana f B n, definimos el lenguaje aceptado por f como L := f 1 ({1}) P({0, 1} n ). Ahora, identificando {0, 1} con Z/2Z, observamos que B n := Ap({0, 1} n, Z/2Z) y tiene una estructura de anillo natural a través de las operaciones del cuerpo Z/2Z. Podemos concluir: Proposición El conjunto de funciones booleanas B n tiene una estructura natural de anillo conmutativo con unidad, es biyectable al conjunto P({0, 1} n ) y tiene, por tanto, cardinal dado por la siguiente identidad: (B n ) = 2 2n. Demostración. Es lo discutido en párrafos previos Módulos, Submódulos, Morfismos de Módulos Las Nociones Elementales. Definición (Módulo). Dea (R, +, ) un anillo. Llamaremos R módulo a toda terna (M, +, R) donde: (1). (M, +) es un grupo abeliano, (2). R : R M M es una aplicación, que se representa mediante R(x, m) := xm, verificando: a) Propiedad Distributiva I: x R, m, n M, x(m + n) = xm + xn. b) Propiedad Distributiva II: x, y R, m M, (x + y)m = xm + ym. c) Propiedad Asociativa: x, y R, m N, (xy)m = x(ym). d) Elemento Neutro: m M, 1m = m. Ejemplo Los siguientes son ejemplos básicos de módulos: (1). Los ejemplos más evidentes de módulos son los espacios vectoriales: Un espacio vectorial V sobre un cuerpo K no es otra cosa que un K módulo (ambas nociones son equivalentes). (2). Los grupos abelianos no son otra cosa que Z módulos (ambas nociones son equivalentes). (3). Los anillos son módulos sobre sí mismos.

11 1.3. MÓDULOS, SUBMÓDULOS, MORFISMOS DE MÓDULOS 11 (4). También son R módulos Ap(X, R) y Ap 0 (X, R). Los R módulos de la forma Ap 0 (X, R), se denominan R módulos libres. En el caso de que X sea finito, Ap 0 (X, R) = Ap(X, R) y si X es de cardinal n escribiremos simplemente Ap 0 (X, R) = Ap(X, R) = R n, y diremos que es un R módulo libre de rango n. (5). Usualmente, se tienen las notaciones siguiente paras los módulos Ap(X, R) y Ap 0 (X, R): Ap(X, R) = R X := R, Ap 0 (X, R) := R. X X En un sentido general se habla de módulo producto y módulo suma. Dada una familia de módulos {M i : i I}, denotaremos : ϕ(i) M i, i I}. i I M i := {ϕ : I i I M i M i : J I, J finito, ϕ(i) = 0, i J}. M i := {ϕ i I i I (6). Sea f : R S un morfismo de anillos. Entonces podemos definir sobre S una estructura de R módulo: R : R S S, dada mediante: x R s := f(x) s, x R, s S. Se dice que S es una R álgebra. Esto incluye el caso de subanillos (f será la inclusión) y, por tanto, son R álgebras C 0 (X), C 1 (X),..., C,... y son C álgebras C 0 (X, C) y H(X). (7). Los anillos R[X 1,..., X n ] y R[[X 1,..., X n ]] tienen una estructura natural de R módulo y son R álgebras. Más aún, si consideramos los polinomios homogéneos de grado fijado con coeficientes en R (el conjunto H d (X 1,..., X n )) tendremos un R módulo libre de rango ( ) d + n 1. n 1 (8). Los conjuntos de matrices M n m (R) tienen una estructura natural de R módulo libre de rango nm. Ejemplo (Teoría del Endomorfismo). Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, ϕ : V V una aplicación lineal. Podemos definir una estructura de K[X] módulo sobre V que se conoce como Teoría del Endomorfismo. Se define del modo siguiente: Definamos recursivamente: ϕ 0 = Id V (la identidad), ϕ 1 = ϕ, Para n 2, ϕ n := ϕ ϕ n 1, donde es la composición. Dado p K[X], de la forma: definimos p(ϕ) : V V mediante: p := a o + a 1 X + a 2 X 2 + a n X n, p(ϕ) := a 0 Id V + a 1 ϕ + a 2 ϕ ϕ + + a n ϕ n. Finalmente, definimos K[X] V V como (p(x), v) p(ϕ)(v) V. Definición (Submódulos, morfismos). Sea R un anillo y sean M, M dos R módulos.

12 12 1. NOCIONES BÁSICAS (1). Un subgrupo (N, +) del grupo aditivo (M, +) se dice submódulo de M si, además, verifica: x R, n N, xn N. (2). Un morfismo de grupos f : (M, +) (M, +) se dice morfismo de R módulos si verifica: x R, m M, f(xm) = xf(m). El conjunto de todos los morfismos de R módulo entre M y M se denota mediante Hom R (M, M ). Ejemplo (1). Los submódulos de un anillo, como módulo sobre sí mismo, son, precisamente, los ideales. (2). Los submódulos de los espacios vectoriales son los subespacios. (3). Los submódulos de los grupos abelianos son los subgrupos. (4). Obviamente los subgrupos impropios (0) y M de M son submódulos. Ejemplo (1). En el caso de espacios vectoriales, Hom K (V, W ) son las aplicaciones lineales. (2). En el caso de grupos abelianos, Hom Z (A, B) son los morfismos de grupos entre A y B. Observación Obsérvese que los morfismos de R módulos f : M N, preservan el anillo R. En cambio, si f : R S es un morfismo de anillos, entonces definimos una estructura de R módulo sobre S. Para esa estructura, se tiene que f es morfismo de R módulos, aunque no sea la identidad sobre R. Observación Usaremos la terminología al uso y hablaremos de monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos para referirnos, respectivamente, a morfismos de R módulos inyectivos, suprayectivos y biyectivos Proposición Sean M y N dos módulos sobre un anillo R. (1). Un subgrupo N de (M, +) es submódulo si y solamente el grupo cociente (M/N, +) es R módulo con la operación R : R M/N M/N dada mediante: x R (m + N) := xm + N, x R, m + N M/N. (2). Para cada morfismo f : M N se verifica: a) Para cada submódulo S de M, f(s) := {f(m) : m S} es submódulo de N. Un caso particular es el submódulo imagen Im(f) := f(m). b) Para cada submódulo T de N, f 1 (T ) := {m M ; f(m) T } es un submódulo de M. Un caso particular es el núcleo ker(f) := f 1 ((0)). (3). El conjunto Hom R (M, N) es un R módulo con las operaciones: y + : Hom R (M, N) Hom R (M, N) Hom R (M, N), R : R Hom R (M, N) Hom R (M, N), dadas para cada f, g : M N, y x R, definimos f + g : M N y xf : M N, dadas por: y f + g(m) := f(m) + g(m), m M, (xf)(m) := xf(m), m M.

13 1.3. MÓDULOS, SUBMÓDULOS, MORFISMOS DE MÓDULOS 13 Obviamente esta Proposición nos da toda una colección adicional de módulos a través de operaciones de cociente y tomar morfismos. Definición (R módulos libres de rango finito). Se denomina R módulo libre de rango finito a todo R módulo M tal que existe un conjunto finito X y u isomorfismo de R módulos ϕ : M Ap 0 (X, R). Se denomina rango de M al cardinal (X) del conjunto X (i.e. rank R (M) = (X)). Se denomina base de M como R módulo a cualquier subconjunto finito β := {ϕ 1 (e i ) : i X}, donde e i : X R, es la aplicación dada mediante: { 1, si x = i e i (x) := 0, en otro caso Proposición Sea M y N dos R módulos libres de rango finito, con rangos respectivos m y n. Entonces, existe un isomorfismo de R módulos entre Hom R (M, N) y M n m (R). En particular, cuando M y B son R módulos libres de rango finito, Hom R (M, n) también lo es y su rango coincide con rank R (M)rank R (N). Demostración. Sin pérdida de la generalidad podemos suponer que M = R m y N = R n. Podemos, además, fijar dos bases ordenadas β 1 en M y β 2 en N. Sin pérdida de la generalidad, podemos suponer que son las llamadas bases canónicas. Ahora, para cada ϕ Hom R (M, N), definamos la matrix M(ϕ) M n m (R) cuyas columnas sean las imágenes (en R n ) de los elementos de la base β 1. M(ϕ) es una matriz con n filas y m columnas. Queda como ejercicio comprobar que M : Hom R (M, N) M n m (R) es un isomorfismo de R módulos. Es el mismo arfgumento obvio ya hecho en el caso del Álgebra Lineal. Definición (Co Núcleo). Dado un morfismo de R módulos f : M N, se denomina co núcleo al R módulo N/Im(f) Algunas Propiedades Básicas. Teorema (Primer Teorema de Isomorfía). Dado f : M N un morfismo de R módulos, f induce un isomorfismo dado mediante f(m + ker(f)) = f(m). f : M/ ker(f) Im(f) N, Demostración. Es la misma desmotración de lo ya hecho para grupos abelianos. Corollario Todo grupo abeliano finitamente generado es el co núcleo de un morfismo entre grupos abelianos libres de rango finito. Demostración. Recuérdese que un grupo abeliano G se dice finitamente generado si existe n N y existe un epimorfismo de grupos π : Z n G. Como π es morfismo de grupos abelianos, también se tiene π Hom Z (Z n, G). Consideremos ahora K Z n el núcleo del morfismo π. Ahora recordamos una propiedad crucial de los Z módulos: Hecho Probado Todo submódulo de Z n es un Z módulo libre de rango finito. No demostraremos aquí esta propiedad que los alumnos ya han visto en el curso de Teoría de Grupos. Entonces, K es libre y existe m N y existe ψ : Z m K tal que ψ es epimorfismo de Z módulos. En particular, tenemos φ : Z m Z n un morfismo de

14 14 1. NOCIONES BÁSICAS Z módulos libres de rango finito y la imagen verifica Im(ψ) = K. Aplicando el Primer Teorema de ISomorfía tendremos: G = Z n /K = Z n /Im(ψ) = Co ker(ψ). Proposición La intersección de una familia cualquiera de submódulos es un submódulo. Del mismo modo, la intersección de una familia cualquiera de ideales es un ideal. Demostración. Mero ejercicio de comprobación formal. Proposición (Definición de Submódulo Generado por un conjunto). Dado un subconjunto F M de un R módulo M. Llamaremos submódulo generado por F al menor submódulo que le contiene. Es decir, R F := {N : F N, N es submódulo de M}. La siguiente expresión también caracteriza el submódulo generado por F : R F := { g G x g g : G F es finito, x g R}. En particular, se aplica a los ideales de un anillo R (que son sus submódulos como módulo sobre sí mismo) Notación (Módulos, submódulos e ideales finitamente generados). Módulos y submódulos finitamente generados serán aquellos generados por un conjunto finito de elementos. Escribiremos Rm para denotar al submódulo generador por {m} En ocasiones escribiremos Rm Rm r para denotar al módulo R m 1,..., m r generado por el conjunto finito {m 1,..., m r }. Para ideales, sin embargo, escribiremos (a 1,..., a m ) para denotar el ideal generado por la familia {a 1,..., a m }. Nótese que, en el caso de un conjunto de generadores finito se tiene: (Para submódulos) dado m M, se tiene m R m 1,..., m r si y solamente si existen x 1,..., x r R tales que: r m = x i m i. i=1 (Para ideales) dado x R, se tiene x (a 1,..., a r ) si y solamente si existen x 1,..., x r R tales que: r x = x i a i. i=1 Proposición Todo R módulo finitamente generado es el cociente de un R módulo libre de rango finito por uno de sus submódulos. No es cierto, en general, que todo R módulo finitamente generado sea libre. Demostración. La prueba de la afirmación positiva es obvia, mientras que los ejemplos de Z módulos con torsión (ya vistos por los alumnos) son buenos ejemplos de módulos finitamente generados que no son libres: por ejemplo, como Z módulos. Z/2Z Z/3Z, Definición (R álgebras finitas y finitamente generadas) Con estas notaciones:

15 1.3. MÓDULOS, SUBMÓDULOS, MORFISMOS DE MÓDULOS 15 Una R álgebra B se llama finitamente generada si es isomorfa a un cociente de algún anillo de polinomios R[X 1,..., X n ] por alguno de sus ideales a. Una R álgebra B se dice finita si B es un R módulo finitamente generado. Definición (Suma de Submódulos e Ideales). Dada una familia {N i : i I} de submódulos de un R módulo M, llamaremos submódulo suma de los submódulos de esta familia al submódulo generador por la unión de todos ellos. N i := R i I N i. i I Del mismo modo dada una familia de ideales {a i ideal suma de esa familia. : i I}, denotaremos por i I a i al Definición (Ideales y Anillos Principales). Un ideal generado por un sólo elemento se llama ideal principal y el anillo se dice principal si todos sus ideales son principales. Ejemplo (1). Los ideales impropios son principales (0) y (1). En particular, los cuerpos son anillos pricipales. (2). Los anillos Z y K[X] son pricipales. (3). El anillo Z[X] no es principal. El ideal a := (2, X) no puede ser generado por un solo elemento de Z[X]. Definición (Producto de ideales y de ideales por submódulos). Se trata de las nociones siguientes: (1). Dados dos ideales a y b de un anillo R, definimos el ideal producto como el ideal ab generado por {xy : x a, y b}. (2). Dado un ideal a de un anillo R y un submódulo N de un R módulo M, escribiremos an para designar al submódulo generado por: {xm : x a, m N}. Proposición (Producto y generadores). Sea a y b dos ideales en un anillo R, respetivamente generados por conjuntos finitos a = (f 1,..., f r ), b = (g 1,..., g s ). Entonces, el ideal producto ab está generado del modo siguiente: ab = ({f i g j : 1 i r, 1 j s}). Una propiedad análoga se verifica para el producto de ideales por submódulos. Demostración. Ejercicio de comprobación. Afirmaciones análogos son obvias para ideales y módulso generados por familias cualesquiera. Proposición (Propiedades Elementales para ideales). Las operaciones intersección, suma y producto de ideales verifican las usuales propiedades asociativas, conmutativa, existencia de elemento neutro. Además: Se verifica la Ley Modular de la intersección con respecto al la suma (por ser simplemente subgrupos) la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma. a.(b + c) = a.b + a.b.

16 16 1. NOCIONES BÁSICAS Retomamos el ejemplo y observamos que: Proposición (Teoría del Endomorfismo). Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K, ϕ : V V una aplicación lineal. Entonces, V es un K[X] módulo finitamente generado. Más aún, V es isomorfo como K[X] módulo a una descomposición V r = K[X]/(f i (X)), donde f 1,..., f r son los factores invariantes de ϕ como endomorfismo. i=1 Demostración. Sin pérdida de la generalidad podemos suponer que ϕ viene dado, en una cierta base β := {v 1,..., v n }, por su forma de Frobenius. Es decir: C(f 1 ) C(f 2 ) 0 0 M(ϕ) :=......, C(f r ) C(f i ) es la matriz compañera de un polinomio f i K[X] y f 1,..., f r son los factores invariantes de ϕ. En particular, todos ellos son polinomios mónicos y, tomando d i = deg(f i ), verifican: d 1 d 2 d r, f 1 es el polinomio mínimo de ϕ, f i+1 f i, d 1 + d d r = n. Supongamos, además, d i 1 f i := X d i + a (i) k Xk. Obsérvese que se tienen las propiedades siguientes en la operación de K[X] módulo: Para 1 i d 1 1, Xv i = v i+1 Para i = d 1 tendremos d 1 1 Xv d1 = X d 1 v 1 = k=0 k=0 d a (1) 1 1 k Xk v 1 = k=0 a (1) k v k+1. En general, para d 1 + d d s + 1 i d 1 + d d s + d s+1 1, tendremos Xv i = v i+1. Para i = d d s + d s+1, tendremos d s+1 1 Xv d1 + +d s+d s+1 = X d s+1 v d1 + +d s+1 = a (d s+1) k X k v d1 + +d s+1, y, por tanto, k=0 d s+1 1 Xv d1 + +d s+d s+1 = a (d s+1) k v d1 + +d s+k+1. Estas identidades nos permiten definir el isomorfismo de K[X] módulos siguiente: r Φ : (K[X]/(f i (X))) V, i=1 k=0

17 1.3. MÓDULOS, SUBMÓDULOS, MORFISMOS DE MÓDULOS 17 definido del modo siguiente: dado Q := (q 1 + (f 1 ), q 2 + (f 2 ),..., q r + (f r )) definimos r (K[X]/(f i (X))), Φ(Q) := q 1 (X)v 1 + q 2 (X)v d q r (X)v d1 + d r 1 +1, y comprobar que Φ es un isomorfismo de K[X] módulos. i=1 Proposición (Teoremas de Isomorfía). Sean N M L R módulos, entonces se tiene un isomorfismo (L/N) /(M/N) = L/N. De otro lado, dados M 1 y M 2 submódulos de un R módulo M, se tiene el isomorfismo canónico: (M 1 + M 2 ) /M 1 = M2 / (M 1 M 2 ). Demostración. Es la misma prueba de siempre. Observación (Ideales y Submódulos del Cociente). Dentro de la prueba de los Teoremas de Isomorfía, tendremos las siguientes propiedades: (1). Los ideales del anillo cociente R/a son de la forma b/a, donde b es un ideal de R que contiene al ideal a. (2). Los submódulos del módulo cociente M/N son de la forma L/N, donde L es un submódulo de M que contiene al submódulo N. Además esa relación es biyectiva y preserva el orden. Insistamos un poco más en la descripción de estas ideas. En el caso de anillos. Sea a R un ideal en el anillo R. Por ser ideal R/a posee una estructura natural de anillo ya discutida anteriormente. Tenemos, además, un epi morfismo de anillos dado por la proyección canónica: π : R R/a x x + a. Para un ideal b de R, uno puede observar que la imagen por π de b es dada por: π(b) := {x + a : x b}. Es fácil observar que π(b) = π(b+a) y que b+a es un ideal de R que contiene a a. Por eso, si b es un ideal de R que contiene a a, entonces, π(b) es un ideal de R/a que denotaremos mediante b/a. De otro lado, para un ideal i de R/a, la anti imagen por π es dada por π 1 (i) = {x R : x + a i}. Por lo visto anteriormente, π 1 (i) es ideal en R y dado que 0 + a i, uno concluye que a π 1 (i). Con estas observaciones, es claro que la siguiente define una biyección entre ideales: {b R : b a, b es ideal} {i R/a : i es ideal} b π(b) = b/a, cuya inversa es dada por i π 1 (i).

18 18 1. NOCIONES BÁSICAS En el caso de R módulos. Se trata esencialmente del mismo tipo de argumento. Sea N subseteqm un submódulo del R módulo M. El cociente M/N posee una estructura natural de R módulo anillo ya discutida. Tenemos, además, un epi morfismo de R módulos dado por la proyección canónica: π : M M/N x x + N. Para un Submódulo L de M, uno puede observar que la imagen por π de L es dada por: π(l) := {x + N : x L}. Es fácil observar que π(l) = π(l + N) y que L + N es un submódulo de M que contiene a N. Por eso, si L es un submódulo de M que contiene a N, entonces, π(l) es un submódulo de M/N que denotaremos mediante L/N. De otro lado, para un submódulo K de M/N, la anti imagen por π es dada por π 1 (K) = {x M : x + N K}. Por lo visto anteriormente, π 1 (K) es submódulo de M y dado que 0+N K, uno concluye que N π 1 (K). Con estas observaciones, es, de nuevo, claro que la siguiente define una biyección entre submódulos: {L submódulo de M : L N} {K submódulo de M/N} L π(l) = L/N, cuya inversa es dada por K π 1 (K) Dominios, Primos, Maximales, Variedades Variedades, no manifolds. Ejemplo (Ceros de una función a valores reales). A partir de una función continua f C 0 (X) sobre un espacio to0pológico X podemos definir el conjunto de sus ceros comunes en X: V X (f) := {x X : f(x) = 0} := f 1 ({0}). El conjunto V X (f) es obviamente un cerrado en X y resulta fácil observar algunas identidades elementales como las siguientes: V X (f) V X (g) := V X (f.g), V X (f) V X (g) := V X (f 2 + g 2 ). Igualmente, para cualquier abierto X R n, se usa la misma notación para los anillos C ω (X) C (X) C 0 (X). Análogamente para el caso de abiertos X de variedades diferenciables y los anillos C (X) C 0 (X). Para una lista finita de funiones f 1,..., f m C k (X), podemos denotar por V X (f 1,..., f m ) sus ceros comunes, es decir, V X (f 1,..., f m ) := V X (f 1 ) V X (f 2 ) V X (f m ). Cuando no haya confusión, omitiremos en subíndice X. Podemos mostrar algunas propiedades como las siguientes (que no demostraremos). Teorema (Withney). Dado cualquier subconjunto cerrado F R n, existe una función f C (R n ) tal que F = V R n(f).

19 1.4. DOMINIOS, PRIMOS, MAXIMALES, VARIEDADES 19 Demostración. Se trata de una adaptación del Lema de Morse-Sard. Este enunciado significa simplemente que los cerrados de R n son los objetos que se estudian estudiando los conjuntos dados implícitamente por funciones C. Dadas dos variedades diferencibles M y una función f : M N, para cada punto a M denotaremos por T a f la función tangente alrededor del punto a. Es decir, T a f : T a M T f(a) N. Teorema (Caracterización de subvariedades). Sea M una variedad de dimensiń m y N un subconjunto. Entonces, N es subvariedad de M si y solamente si para cada punto a N existe un entorno abierto U de a en M y existen funciones f 1,..., f m n C (U) tales que N U = V U (f 1 ),, f m n ). Dada la aplicación f := (f 1,..., f m n ) : M R m n, la aplicación tangente asociada T a f : T a M T 0 R m n es suprayectiva (submersión), donde 0 R n m es el origen de coordenadas. Demostración. Aunque no lo demostraremos, la prueba se basa en el Teorema del Rango Constante. Ejemplo (Ceros de una función a valores complejos). A partir de una función continua f C 0 (X, C) podemos definir el conjunto de sus ceros comunes en X: V X (f) := {x X : f(x) = 0} := f 1 ({0}). El conjunto V X (f) es, de nuevo, cerrado en X y resulta fácil observar algunas identidades elementales como V X (f) V X (g) := V X (f.g). No es cierto, en general, que V X (f) V X (g) = V X (f 2 + g 2 ). De manera análoga consideraremos los ceros de una familia finita V X (f 1,..., f m ). A estos conjuntos se les denomina conjuntos C analíticos ( à la Bruhat Cartan ). Del mismo modo se puede hacer con funciones en cualquiera de los subanillos; pero ya no se puede escribir siempre V X (f) V X (g) := V X (h) para una sola función h en H(X). Es decir, intersección de hipersuperficies C analíticas complejas no es necesariamente una hipersuperficie de la misma clase. Ejemplo (Funciones polinomiales). Sea K un cuerpo y K un cuerpo algebraicamente cerrado que le contiene. En muchos casos supondremos que K es la clausura algebraica de K, pero dejamos abierta la posibilidad de que sea un cuerpo algebraicamente cerrado más amplio. Retomemos la noción del anillo K[X 1,..., X n ] vista en Subsección anterior. Ahora consideremos aplicaciones Ap(K n, K) A sus elementos se les denomina funciones polinomiales afines definidas en K n. Podemos empezar considerando las más elementales, las proyecciones canńonicas: π i : K n K, 1 i n, donde π i es la proyección en la i ésima coordenada. En lugar de denotarlas por π i pasaremos a denotarlas mediante X i. Consideremos ahora el anillo K[K n ] := K[π 1,..., π n ] dado como el menor subanillo de Ap(K n, K) que contiene a K y a las proyecciones (a este aniilo se le denomina anillo de las funciones polinomiales definidas en K n y K definibles. Se tiene el siguiente resultado: Proposición Con las anteriores notaciones, K[K n ] = K[π 1,..., π n ] = K[X 1,..., X n ].

20 20 1. NOCIONES BÁSICAS Demostración. Como ya hemos dicho, vamos a identificar π i con X i. Por lo visto en la subsección todos los elementos f K[X 1,..., X n ] admiten una representación de la forma: f := a µ X µ 1 1, Xµn n. µ d Entonces, podemos asociar a cada f K[X 1,..., X n ] una aplicación mediante ϕ f : K n K, (1.4.1) ϕ f (x) := a µ π 1 (x) µ1 π n (x) µn. µ d Esto define una aplicación Φ : K[X 1,..., X n ] Ap(K n, K) dada mediante Φ(f) := ϕ f Ap(K n, K). Es claro también que Φ es un morfismo de anillos, por cuanto la imagen Φ(K[X 1,..., X n ]) es un subanillo de Ap(K n, K). Es claro también que esa imagen contiene al cuerpo K (funciones constantes en K dentro de Ap(K n, K)). También es obvio que contiene a las proyecciones π i := Φ(X i ). Pero, además, si un subanillo contiene a K y a las proyecciones π i, 1 i n, entonces también contiene a toda expresión de la forma dada en la Ecuación (1.4.1) anterior. Por tanto, Φ(K[X 1,..., X n ]) es el menor subanillo de Ap(K n, K) que contiene a K a las proyecciones π 1,..., π n. Es decir, Φ(K[X 1,..., X n ]) = K[K n ]. Para verificar la Proposición, sólo nos queda verificar que Φ es inyectiva. Para eso, recurrimos al Problema Como todo cuerpo algebraicamente cerrado es de cardinal infinito, dado f K[X 1,..., X n ], si ϕ f (x) = 0, x K n, entonces f = 0 en K[X 1,..., X n ] y Φ es inyectiva, con lo que concluimos el enunciado. Observación En muchos casos escribiremos f en lugar de ϕ f para denotar la función polinomial definida por un polinomio f K[X 1,..., X n ]. En esos casos, se debe tener en mente la dualidad entre los conceptos de función y polinomio. Nótese también que esta identidad depende fuertemente de la condición K es un cuerpo de cardinal infinito. Si hubiésemos considerado Ap(K n, K) con K cuerpo finito, no es cierto que K[X 1,..., X n ] sea isomorfo al menor subaniilo de Ap(K n, K) que contiene a K y a las proyecciones P i : K n K. Ejemplo (Variedades algebraicas afines). Sea K un cuerpo y K una extensión algebraicamente cerrada de K. Consideremos ahora f K[X 1,..., X n ] un polinomio con coeficientes en K y sea ϕ f : K n K la función polinomial que define. Denotaremos por V K (f) al conjunto: V K (f) := V K n(ϕ f ) := {x K n : ϕ f (x) = 0} = ϕ 1 f (0). De hecho, por simplicidad, escribiremos a partir de ahora f(x) = 0 en lugar de ϕ f (x) = 0 y f 1 (0) en lugar de ϕ 1 f (0). A todo conjunto de la forma V K(f) con f K[X 1,..., X n ] se le denomina hipersuperficie algebraica afín K definible. En el caso K = K, omitiremos el subíndice K (escribiremos simplemente V (f)) y diremos que V (f) es una hipersuperficie algebraica afín. Para un conjunto finito de polinomios f 1,..., f m K[X 1,..., X n ] escribiremos V K (f 1,..., f m ) = V K (f 1 ) V K (f m ). Todo subconjunto de K n de la forma V K (f 1,..., f m ), con f 1,..., f m K[X 1,..., X n ] se denoina variedad (o conjunto algebraico) afín K definible. En el caso K = K, diremos simplemente variedad algebraica afín.