UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Departameto de Igeiería Eléctrica, Electróica y Computació Programa de Maestría e Igeiería - Automatizació Idustrial Armóicos: Cálculo de la Potecia Reactiva para la Implemetació de Bacos de Codesadores e Cargas Aisladas. Giovai Oswaldo Jiméez Molao Profesor Director: Armado Jaime Ustariz Farfá

2 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Departameto de Igeiería Eléctrica, Electróica y Computació Programa de Maestría e Igeiería - Automatizació Idustrial Armóicos: Cálculo de la Potecia Reactiva para la Implemetació de Bacos de Codesadores e Cargas Aisladas. Giovai Oswaldo Jiméez Molao Memoria para optar por el Título de Magíster e Igeiería co éfasis e Automatizació Idustrial Profesor Director: Armado Jaime Ustariz Farfá Maizales, febrero de 008

3 Aprobada por la Facultad de Igeiería y Arquitectura, e cumplimieto de los Requisitos exigidos para otorgar el título de: Magíster e Igeiería - Automatizació Idustrial Armado Jaime Ustariz Farfá Director de la Tesis Gerard Olivar Tost, Ph.D. Jurado Fabiola Agulo García Jurado Eduardo Atoio Cao Plata Jurado Uiversidad Nacioal de Colombia Sede Maizales, 007

4 Toma Cosejo del hombre sabio y de buea cociecia, ya que apetece más ser eseñado de otro mejor, que seguir tu parecer. Tomás de Kempis

5 DEDICATORIA A Dios y a mi familia

6 AGRADECIMIENTOS Quiero agradecer a mi director de proyecto al Igeiero Msc. Armado Jaime Ustariz por su paciecia y apoyo e la realizació de este trabajo. Tambié agradezco a Felipe y Alejadro egresados de Igeiería Eléctrica de la Uiversidad Nacioal de Colombia sede Maizales por su colaboració, y de la misma maera a la empresa Cemetos Argos S.A. quiees me permitiero realizar las respectivas medicioes y pruebas e las istalacioes de la plata de Paz de Río Sogamoso. Fialmete, quiero recordar a quiees co su compañía e el trascurso por la uiversidad hiciero que su estacia fuera agradable: Chucho, Herma, Liliaa, Marja, Leoardo, Mauricio, Rigoberto, Heriberto, Milto, Prospero, Jaime, Miguel, Adolfo, Gustavo, Ivá, Wilso y los demás compañeros que e el camio se quedaro.

7 RESUMEN ARMÓNICOS: CÁLCULO DE LA POTENCIA REACTIVA PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE BANCOS DE CONDENSADORES EN CARGAS AISLADAS. Por GIOVANNI OSWALDO JIMENEZ MOLANO Magíster e Igeiería líea de Automatizació Idustrial UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Director: Ig. Msc. Armado Jaime Ustariz Farfá E el coteido de esté documeto se preseta ua metodología para evaluar el codesador como elemeto compesador y seleccioar de maera óptima el dimesioamieto de esté dispositivo e cargas aisladas utilizado dos métodos: el primero que cosiste e evaluar los postulados sobre el cálculo de la potecia reactiva aalizado y comparado las teorías de mayor trascedecia como ha sido las propuestas por Fryze, Budeau y Czarecki co respecto a otras existetes utilizadas para el diseño típico del baco de codesadores, co el objeto de defiir si algua de ellas es la más adecuada, y el segudo método muestra ua técica de optimizació utilizado como herramieta el GAMS (Geeral Algebraic Modelig System), ambos procedimietos fuero aalizados detro de u ambiete eléctrico cotamiado por ua carga putual o lieal a fi de reducir las pérdidas geerales por trasporte debido tato a la fudametal de corriete como a los armóicos presetes, y de mejorar el factor de potecia e el sistema. Ua vez realizados los aálisis pertietes se desarrollaro los algoritmos para la evaluació del codesador, estos algoritmos fuero probados co ua serie de casos críticos para evaluació y fialmete para validar sus resultados se experimetó co u caso real, para ello se tomaro los datos del circuito eléctrico de ua paletizadora de ua cemetera deomiada Cemetos ARGOS S.A. (Plata Paz de Río - Sogamoso). Luego se realizó la respectiva simulació para poder adquirir la dimesioalidad del codesador ideal sugerido por los algoritmos y de esta maera verificar su comportamieto ua vez istalado el baco de codesadores e el circuito eléctrico y observar la viabilidad del compesador e cuato a la dismiució de pérdidas y mejoramieto del factor de potecia.

8 ABSTRAC HARMONIC: CALCULATION OF THE POWER REACTIVATES FOR THE IMPLEMENTATION OF BANKS OF CONDENSERS IN ISOLATED LOADS. For GIOVANNI OSWALDO JIMENEZ MOLANO Master i Egieerig lie of Idustrial Automatio UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Advisor: Egieer Msc. Armado Jaime Ustariz Farfá I the cotet of it is documet a methodology it is preseted to evaluate the codeser like elemet compesator ad to select i a good way the size of it is device i isolated loads usig two methods: the first oe that cosists o evaluatig the postulates o the calculatio of the power reactivates aalyzig ad comparig the theories of more trascedecy like they have bee the proposals for Fryze, Budeau ad Czarecki with regard to other existet oes used for the typical desig of the bak of codesers, i order to defiig if some of them is the most appropriate, ad the secod method shows a techique of optimizatio usig as tool the GAMS (Geeral Algebraic Modelig System), both procedures were aalyzed iside a electric atmosphere ot cotamiated by a puctual load lieal i order to reduce the geeral losses for trasport so much to the fudametal of curret as to the preset harmoic, ad of improvig the factor of power i the system. Oce carried out the pertiet aalyses the algorithms were developed for the evaluatio of the codeser, these algorithms were prove with a series of critical cases for evaluatio ad fially to validate their results it was experieced with a real case, for they took it the data of the electric circuit of a packer of budles of a cemet plat of the area deomiated Cemets ARGUS CORP. (it Plats Peace of River - Sogamoso). The he/she was carried out the respective simulatio to be able to acquire the size of the ideal codeser suggested by the algorithms ad this way to verify their behavior oce istalled the bak of codesers i the electric circuit ad to observe the compesator's viability as for the decrease of losses ad improvemet of the factor of power.

9 CONTENIDO Pág INTRODUCCIÓN. CONCEPTOS BASICOS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 3.. Itroducció 3.. Coceptos básicos 3... Valor RMS 4... Potecia istatáea Potecia activa Potecia aparete Potecia reactiva Factor de potecia Distorsió Armóica Total 8.3. Plateamieto del problema 9.4. Resume del capitulo 0.5. Referecias 0. DEFINICIONES DE LA POTENCIA REACTIVA.. Itroducció... Postulados para el cálculo de la potecia reactiva 3... Postulado de Steimetz 3... Postulado de Iliovici Postulado de Lieard Postulado de Budeau Postulado de Fryze Postulado de Buchholz Postulado de Shepherd y Zakikhai Postulado de Sharo...9. Postulado de Emmauel...0. Postulado de Kusters Y Moore... Postulado de Akagi, Kaasawa Y Nabae 5... Postulado de Esli Y Va Wyk Postulado de Emmauel Postulado de Ferrero Y Superti-Furga Postulado de Filipski Postulado de Willems Postulado de Depebrock Postulado de Czarecki Postulado de Cavallai Y Motaari Postulado de Aredes Y Wataabe 38

10 Pág... Postulado de Peg y Lai Postulado de Grupo IEEE Resume del capitulo Referecias COMPENSACIÓN DE LA CARGA COMO ELEMENTO AISLADO Itroducció Compesació utilizado los postulados Compesació óptima Técica de optimizació Aplicada Resume del capitulo Referecias COMPORTAMIENTO DE LA COMPENSACIÓN Itroducció Aálisis de casos críticos Aálisis para u factor de potecia bajo (0,) Aálisis para u factor de potecia ideal (0,985) Resume del capitulo Referecias APLICACIÓN A UN CASO DE PRUEBA 8 5. Itroducció Aplicacioes del primer método al caso de prueba Aplicacioes del segudo método al caso de prueba Resume del capitulo Referecias CONCLUSIONES RECOMENDACIONES TRABAJOS FUTUROS 07 BIBLIOGRAFIA DE APOYO 08 ANEXOS 0

11 INDICE DE FIGURAS Pág Figura.. Triagulo de potecias para el caso seoidal 7 Figura.. Represetació vectorial de la potecia reactiva defiida por Budeau 6 Figura.. Modelo geeral de carga para u sistema moofásico 4 Figura.3. Diagrama fasorial de corrietes. 4 Figura.4. Represetació espacial de la potecia imagiaria istatáea 6 Figura.5 Potecias Istatáeas e u circuito trifásico 39 Figura.6 Diagrama fasorial de potecias expresadas por el grupo de la IEEE 4 Figura 3. Esquema de compesació de cargas iductivas 48 Figura 3.. Represetació esquemática de la visió de los postulados 5 Figura 3.3. Fuete o siusoidal co carga o lieal 55 Figura 3.4. Equivalete de la fuete del sistema 56 Figura 3.5 Modelo del coductor de alimetació de la carga 58 Figura 3.6 Modelo de la carga aislada o lieal 58 Figura 3.7 Modelo del baco de codesadores 59 Figura 4.. a) Señales de tesió y corriete co u FP=0., b) señal de corriete i T (t) y c) espectro de la señal de corriete (THD I =9,8%) d) señal de tesió v T (t) y e) espectro de la señal de tesió (THD V =6.%) 69 Figura 4. a) Señales de tesió y corriete co u FP=0.985, b) señal de corriete i T (t) y c) espectro de la señal de corriete (THD I =65,%) d) señal de tesió v T (t) y e) espectro de la señal de tesió (THD V =5.5%) 70 Figura 4.3 a) Señales de tesió y corriete co u FP=0.985, b) señal de corriete i T (t) y c) espectro de la señal de corriete (THD I =9,%) d) señal de tesió v T (t) y e) espectro de la señal de tesió (THD V =7,%) 7 Figura 4.4. a) Señales de tesió y corriete co u FP=0.985, b) señal de corriete i T (t) y c) espectro de la señal de corriete (THD I =5%) d) señal de tesió v T (t) y e) espectro de la señal de tesió (THD V =.%) 75 Figura 4.5 a) Señales de tesió y corriete co u FP=0., b) señal de corriete i T (t) y c) espectro de la señal de corriete (THD I =64,9%) d) señal de tesió v T (t) y e) espectro de la señal de tesió (THD V =6.8%) 76 Figura 4.6 a) Señales de tesió y corriete co u FP=0.985, b) señal de corriete i T (t) y c) espectro de la señal de corriete (THD I =4,7%) d) señal de tesió v T (t) y e) espectro de la señal de tesió (THD V =4,%) 78 Figura 5.. Fotografías de la paletizadora de la Cemetera Argos S.A. (plata Paz de Río- Sogamoso) 8 Figura 5. Diagrama uifilar de la carga trifásica de prueba 83 Figura 5.3. Modelo del sistema implemetado e simulik. 84 Figura 5.4. Diagrama esquemático del ciclo del proceso de simulació del primer método. 84 Figura 5.5. Grafica de la señal que proporcioa el aalizador CIRCUTOR 85 Figura 5.6. a) Señal de tesió de la paletizadora e el PCC b) Espectro de la señal de tesió THDV=.6% c) Señal de corriete de la paletizadora e el PCC d) Espectro de la señal de corriete THDI=3.5% 86

12 Pag. Figura 5.7. a) Señal de tesió de la paletizadora e el PCC simulada e simulik b) Espectro de la señal de tesió THDV=.0% simulada e simulik c) Señal de corriete de la paletizadora e el PCC simulada e simulik d) Espectro de la señal de corriete THDI=30.9% simulada e simulik. 87 Figura 5.8. Factor de potecia de cada postulado teiedo e cueta ua sola fase. 89 Figura 5.9. Factor de potecia para los postulados de aálisis trifásico. 90 Figura 5.0. Resultados del THD de corriete para el aálisis de ua sola fase. 9 Figura 5.. Resultados del THD de tesió para el aálisis de ua sola fase. 9 Figura 5.. Resultados del THD de corriete para el aálisis trifásico. 93 Figura 5.3. Resultados del THD de tesió para el aálisis trifásico. 93 Figura 5.4. Resultados de las perdidas ates y después de compesado el sistema. (postulados utilizados para el aálisis de sistemas moofásicos) 95 Figura 5.5. Resultados de las perdidas ates y después de compesado el sistema. (postulados utilizados para el aálisis de sistemas trifásicos) 95 Figura 5.6. Resultados de la tesió e PCC después de coectado el codesador. Para el aálisis moofásico. 96 Figura 5.7. Resultados de la tesió e PCC después de coectado el codesador. Para el aálisis trifásico. 96 Figura 5.8. Resultados de la tesió e PCC después de coectado el codesador. Para el aálisis moofásico. 97 Figura 5.9. Resultados de la tesió e PCC después de coectado el codesador. Para el aálisis trifásico. 97 Figura 5.0. a) Señales de tesió y corriete ates de coectado el codesador, b) señales de tesió y corriete después de coectado el codesador c) señal de tesió ates de coectado el codesador d) espectro de tesió ates de coectado el codesador e) señal de después de coectado el codesador f) espectro de tesió después de coectado el codesador g) señal de corriete ates de coectado el codesador h) espectro de corriete ates de coectado el codesador i) señal de corriete después de coectado el codesador j) espectro de corriete después de coectado el codesador. 99 Figura 5. Diagrama de iteracció etre los software utilizados 99 Figura 5.. Datos del modelo del circuito co carga o seoidal 00 Figura 5.3. a) señal de tesió después de compesado el sistema IEEE b) espectro de tesió de compesado el sistema IEEE. c) señal de tesió después de compesado el sistema GAMS d) espectro de tesió de compesado el sistema GAMS e) señal de corriete después de compesado el sistema IEEE f) espectro de corriete después de compesado el sistema IEEE. g) señal de corriete después de compesado el sistema GAMS h) espectro de corriete después de compesado el sistema GAMS 0

13 ÍNDICE DE TABLAS Pág. Tabla. Límites de THD de tesió segú la IEEE 59/9 8 Tabla.. Límites para las corrietes armóicas e el PCC para tesioes de 0 V a 69 9 Tabla. Cuadro resume sobre postulados de potecia reactiva 44 Tabla. Caracterizació de postulados por el umero de fase 45 Tabla 3. Diferecias de cálculo de la potecia aparete 53 Tabla 4. Datos de las señales de prueba para la situació del caso 68 Tabla 4. Datos de la potecia reactiva y del codesador por postulado, factor de potecia, THD I y THD V ua vez compesada la señal de prueba de la situació del caso. 69 Tabla 4.3 Datos de las señales de prueba para la situació del caso 70 Tabla 4.4 Datos de la potecia reactiva y del codesador por postulado, factor de potecia, THD I y THD V ua vez compesada la señal de prueba de la situació del caso. 7 Tabla 4.5 Datos de las señales de prueba para la situació 3 del caso 7 Tabla 4.6 Datos de la potecia reactiva y del codesador por postulado, factor de potecia, THD I y THD V ua vez compesada la señal de prueba de la situació 3 del caso. 7 Tabla 4.7 Datos de las señales de prueba para la situació del caso 74 Tabla 4.8 Datos de la potecia reactiva y del codesador por postulado, factor de potecia, THD I y THD V ua vez compesada la señal de prueba de la situació del caso. 75 Tabla 4.9 Datos de las señales de prueba para la situació del caso 76 Tabla 4.0 Datos de la potecia reactiva y del codesador por postulado, factor de potecia, THD I y THD V ua vez compesada la señal de prueba de la situació del caso. 77 Tabla 4. Datos de las señales de prueba para la situació 3 del caso 77 Tabla 4. Datos de la potecia reactiva y del codesador por postulado, factor de potecia, THD I y THD V ua vez compesada la señal de prueba de la situació 3 del caso. 78 Tabla 5. Comparacioes de los datos de THDv y THDi del Aalizador, Matlab y Simulik 87 Tabla 5. Codesadores obteidos por el plateamieto de cada postulado y factor de potecia del sistema ates y después ubicar el codesador e u sistema moofásico simulado. 88 Tabla 5.3 Codesadores obteidos por el plateamieto de cada postulado y factor de potecia del sistema ates y después ubicar el codesador e u sistema trifásico simulado. 90 Tabla 5.4 Valores del THD de corriete y tesió ates y después de istalados los codesadores obteidos por el plateamieto de cada postulado que trabaja co sistemas moofásicos 9 Tabla 5.5 Valores del THD de corriete y tesió ates y después de istalados los codesadores obteidos por el plateamieto de cada postulado que trabaja co sistemas trifásicos 9 Tabla 5.6 Datos de las perdidas después de istalados los codesadores obteidos por el plateamieto de cada postulado que trabaja co sistemas moofásicos. 94 Tabla 5.7 Datos de las perdidas después de istalados los codesadores obteidos por el plateamieto de cada postulado que trabaja co sistemas trifásicos. 94 Tabla 5.8 Datos obteidos ua vez compesado el sistema mediate el codesador calculado por el método de optimizació. 0

14 INTRODUCCIÓN E u sistema de potecia ideal, la tesió sumiistrada al equipo del cosumidor y la corriete de carga resultate so odas seo perfectas. Si embargo, e la práctica, las codicioes uca so ideales, así que estas formas de oda so co frecuecia distorsioadas. Ates se pesaba que las máquias rotativas, los trasformadores e los sistemas de sumiistro y las lámparas de arco eléctrico úicamete empeoraba el factor de potecia e u circuito, pero co el tiempo se verificó que estos equipos o solo geeraba dicho problema, sio que tambié distorsioaba las odas de tesió y de corriete. Hoy e día co la gra expasió que ha teido e el mudo la electróica de potecia, e codicioes ormales de fucioamieto estas máquias y los moderos trasformadores o causa iveles sigificativos de distorsió e comparació co dispositivos tales como variadores de velocidad, rectificadores, computadores, PLC s etc., los cuales se ecuetra ítimamete ligados a procesos de cotrol e la automatizació de muchas empresas idustriales icremetado cosiderablemete los iveles de tesió y corriete co frecuecias proporcioales a la fudametal, este hecho colleva al deterioro técico de sus propios equipos, perdidas de eergía y por ede desbalace ecoómico para el empresario. E este documeto se preseta ua metodología para evaluar el codesador como elemeto compesador y seleccioar de maera óptima el dimesioamieto de esté dispositivo e cargas aisladas utilizado dos métodos: el primero que cosiste e evaluar los postulados sobre el cálculo de la potecia reactiva y el segudo que muestra ua técica de optimizació, ambos métodos aalizados detro de u ambiete eléctrico cotamiado por ua carga putual o lieal a fi de reducir las pérdidas geerales por trasporte debido tato a la fudametal de corriete como a los armóicos presetes, y de mejorar el factor

15 de potecia e el sistema. A cotiuació se describe brevemete el coteido de cada capitulo: E el primer capitulo se describe los coceptos básicos relacioados co el tema de compesació y el plateamieto del problema. E el segudo capitulo de este documeto, se da a coocer las defiicioes que mayor relevacia ha teido e la historia del cálculo de la potecia reactiva e situacioes o seoidales (utilizadas para la compesació por el primer método). E el tercer capitulo se detalla la forma de aplicació de los dos métodos. E el cuarto capitulo se preseta el aálisis del comportamieto de la compesació utilizado dos casos críticos para evaluar los métodos descritos e el capitulo aterior. E el quito capitulo se muestra las experiecias obteidas de la aplicació de los dos métodos a u caso de prueba, comparado sus resultados y realizado las respectivas observacioes. E el sexto capitulo se expoe las coclusioes de la ivestigació. E el séptimo capitulo se expresa las recomedacioes que se debe teer e cueta para futuros proyectos relacioados co el tema. E el octavo capitulo se formula ua serie de ideas para trabajos futuros y Como complemeto del proyecto de ivestigació al fial se eucia ua bibliografía que sirvió de apoyo e el desarrollo metodológico del proyecto, y los aexos dode se ecuetra las demostracioes, el coteido teórico del software de optimizació (GAMS), los diagramas represetativos de los algoritmos implemetados e los dos métodos juto co las líeas de programació de la técica de optimizació.

16 . CONCEPTOS BASICOS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.. Itroducció Cuado se tiee úicamete cargas resistivas e u sistema eléctrico, la corriete se ecuetra e fase co la tesió aplicada, por lo tato, toda la eergía se covierte e trabajo efectivo, a este tipo de potecia co la que se produce este trabajo se cooce como potecia activa; pero cuado la carga es de tipo reactivo iductivo, o toda la eergía se covierte e trabajo ya que ua parte se almacea e forma de campo magético oscilado de maera permaete etre la fuete y la carga, a esta potecia se le cooce co el ombre de potecia reactiva ó o activa y cumple u papel idispesable e la magetizació de este tipo de cargas. Por otro lado, es coocido que e istalacioes eléctricas que ivolucra cargas o lieales, se preseta corrietes armóicas geeradas por las mismas, éstas corrietes se ecuetra ligadas a la operació de equipos como PCs, PLC, lámparas fluorescetes, horos de arco, equipos de soldadura etc., y fluye a través del sistema geerado pérdidas de potecia, distorsió de la oda de tesió y corriete, dismiució del factor de potecia, etre otros problemas. E esta secció se describe los coceptos básicos que tiee ua gra relació co el tema cetral del proyecto, juto co el plateamieto del problema... Coceptos básicos E las defiicioes siguietes se tedrá e cueta las situacioes seoidales y las o seoidales para la descripció de cada uo de ellos:

17 ... Valor RMS El valor RMS (Root Mea Square) de ua forma de oda es ua determiació de la distribució de amplitud de la forma de oda. Todas las señales eléctricas si importar su forma de oda tiee u valor RMS. Para cualquier señal periódica el valor RMS se defie como []: Srms T 0 () = S t T dt (-) para el caso particular de las señales de tesió y corriete a frecuecia fudametal está defiido como Vm V RMS = (-) Im I RMS = (-3) y para frecuecias armóicas: V I RMS RMS h h ( V ) RMS = (-4) h h ( I ) RMS = (-5)... Potecia Istatáea La potecia es la razó de cambio de la eergía co respecto al tiempo. La uidad de potecia es el watt. La potecia istatáea e watt absorbida por ua carga eléctrica es el producto de la tesió istatáea etre los extremos de la carga e volts, y la corriete istatáea hacia la carga e amperes [] defiida así para caso siusoidal []: pt () = vt ().() it (-6) siedo ( ) cos( ω ) vt = V t (-7) m

18 ( ) cos( ω θ ) i t = I t (-8) m VI m m VI m m p() t = cosθ ( + cos( ωt) ) + siθ si ( ω t) (-9) Aálogamete, para caso o siusoidal h ( ) cos( ω ) v t = V h t (-0) h m i t I h t (-) h h ( ) = m cos( ω θ ) h h h h () = cos( ω m ) mcos( ω θ ) (-) p t V h t I h t h de modo que para el caso particular de dos armóicos (p.e h = y 5) se tiee: VI m m VI m m p() t = cosθ ( + cos( ωt) ) + siθ si ( ωt) VI m m 5 5 ( cos( 6ωt θ ) + cos( 4 ωt θ )) +... (-3) 5 VmIm ( cos( 6ωt θ ) + cos( 4 ωt θ )) VmIm 5 VmIm cosθ ( + cos( 0ωt) ) + siθ si ( 0ωt) h..3. Potecia Activa Es la potecia asociada co el trabajo que e circuitos eléctricos equivale a la cosumida por la resistecia y correspode al valor medio de la potecia istatáea [3] y está defiida como []: T P = p() t T dt (-4) 0 Para el caso siusoidal P= V I cos( θ ) (-5) RMS RMS Para el caso o siusoidal

19 h h h P = VRMS IRMS cos( θ ) (-6) h..4. Potecia Aparete La potecia aparete determia el dimesioamieto del sistema, aislamieto y capacidad amperimétrica. Tato para el caso siusoidal como o siusoidal se defie e fució de sus respectivas variables [4]: S = V I (-7) RMS RMS Para casos o seoidales segú [5] la potecia aparete equivale a: V I S = V + * I + V I (-8)..5. Potecia Reactiva Esta potecia recibe este ombre puesto que esta asociada co la reactacia de la carga [6], es decir ésta potecia cuatifica el efecto magetizate de los equipos iductivos o el efecto del campo eléctrico para equipos capacitivos y se defie para el caso siusoidal como: Q= S P (-9) ó Q= V I θ (-0) RMS RMS si ( ) Para el caso o siusoidal las diferetes defiicioes y expresioes matemáticas para el cálculo de potecia reactiva se ecuetra descritas e el segudo capitulo de este documeto.

20 ..6. Factor de Potecia El llamado triágulo de potecias (figura.) es la mejor forma de ver y compreder de forma gráfica qué es el factor de potecia o coseo de fi (Cos ) y su estrecha relació co los restates tipos de potecia presetes e u circuito eléctrico de corriete altera de tipo seoidal. Tato para el caso siusoidal, se defie como la relació etre la potecia activa y la potecia aparete. P F. P = = Cosϕ (-) S Figura.. Triagulo de potecias para el caso seoidal E dode φ es el desfasaje etre la oda de tesió y la de corriete. E situacioes o seoidales el factor de potecia esta defiido como: Dode el valor de k equivale a: Dode VI cosϕ P FP. = = S kvi ( V) *( I ) (-) k = + THD + THD (-3) THD V THD I Distorsió Armóica Total de Tesió Distorsió Armóica Total de Corriete

21 ..7. Distorsió Armóica Total (THD) Los armóicos e los sistemas de potecia eléctrica se combia co la frecuecia fudametal para crear la distorsió. El ivel de distorsió esta directamete relacioado a las frecuecias y amplitudes de las corrietes armóicas. La cotribució de todas las frecuecias armóicas de corrietes a la frecuecia fudametal es coocida como Total harmoic Distortio (THD) e español: Distorsió Armóica Total. El THD es expresado como u porcetaje de la corriete fudametal. Todos los valores de THD sobre 0% so motivo de preocupació. El THD es calculado como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de todos los armóicos dividido por la señal fudametal. Este cálculo da el valor de distorsió como porcetaje de la fudametal [7]. Matemáticamete, el %THD es la relació de la suma de la raíz media de los cuadrados (RMS) del coteido de armóicos co el valor cuadrático medio (RMS) de la señal fudametal y expresado e porcetaje como se muestra e las siguietes ecuacioes: THD THD V h h V = V I h h I = I 00% 00% (-4) (-5) Los límites de distorsió de tesió recomedados por la IEEE 59 so los que se muestra e las tabla.. y. [8] Tesió omial Distorsió Idividual de Tesió (%) THDV Máximo (%) V 69kV kV < V 6kV.5.5 V > 6kV.0.5 Tabla. Límites de THD de tesió segú la IEEE 59/9

22 Máxima corriete armóica e porcetaje de la fudametal Orde del armóico (impares) I sc /I L < <7 7 <3 3 <35 35 TDD < > Tabla.. Límites para las corrietes armóicas e el PCC para tesioes de 0 V a 69 La I SC es la corriete de cortocircuito e el PCC, e I L es la corriete de carga a la frecuecia fudametal e el mismo (ambas dadas e amperios). Estos valores puede ser usados como valores de diseño para el peor caso de iyecció armóica e operació ormal. Para períodos más cortos, durate arraques o e codicioes iusuales los límites puede exceder el 50% [4]..3. Plateamieto del problema Debido a la proliferació de cargas o lieales e los sistemas de distribució eléctrica, las formas de las odas tato de tesió como de corriete ya o so seoidales, es por ello que las teorías sobre el flujo de potecias alcaza gra importacia e aplicacioes como compesació del factor de potecia, idetificació de la carga armóica y reducció de la distorsió de las señales, etre las más comues. La evaluació del método de compesació utilizado la potecia reactiva e presecia de armóicos ha sido u dilema que hasta la fecha o ha sido resuelto como se hizo co el caso seoidal. Está forma de cómputo puede ser valedera para alguas teorías como la de Budeau [9] que ha sido tomada como referecia para la solució de este problema, pero debido a que dicha teoría o cumple co el cocepto de ortogoalidad además que su represetació física o ha sido demostrada [0], se ha ecotrado que muchas veces la istalació de codesadores utilizado este criterio ha empeorado el comportamieto de los sistemas, acarreado

23 problemas irreparables, es por ello que existe la ecesidad de evaluar las teorías más sigificativas e el cálculo de la potecia reactiva para poder ecotrar u resultado que defia los plateamietos más eficietes para juzgar la viabilidad del codesador como elemeto compesador de la potecia reactiva e el mejoramieto del factor de potecia, ó sí utilizado otro método como la optimizació se podría llegar a ecotrar mejores resultados que los que hasta el mometo se ha plateado..4. Resume del capitulo El avace tecológico trae cosigo problemas que ha cambiado muchos de los pareceres que hasta el mometo se pesaba que mateía ua úica solució como es el caso del plateamieto de cálculo para hallar la potecia reactiva e situacioes seoidales y que se esperaba que la solució fuese similar e situacioes o seoidales, pero co las experiecias ecotradas se demostró que dicho parecer era erróeo, por lo tato a lo largo de la historia de la igeiería eléctrica se ha desarrollado muchas técicas para atacar el problema de la compesació e presecia de armóicos coociedo la potecia reactiva etre ellas tomado como base las formulacioes matemáticas clásicas que iicialmete se ajustaro a los parámetros de la época de su iveció pero que para la actualidad debe ser modificadas y ajustadas, de ahí la ecesidad de este coocimieto hacia la ueva tedecia del problema de compesació e el cual se propoe resolverlo ya sea evaluado las teorías plateadas o usado u método opcioal como la optimizació..5. Referecias [] GRAINGER Joh J., William D. Steveso, Jr, Aálisis de Sistemas de Potecia, McGraw-Hill ic., 996. [] DUNCAN Glover ad Mulukutla S. Sarma Sistemas de Potecia: Aalisis y Diseño, edit. Thomso. 3ra edició [3] USTARIZ Armado" Aálisis Geeral de Armóicos: Revisió de las Defiicioes de Potecia ", Tesis de pregrado e igeiería eléctrica, Uiversidad Idustrial de Satader, Bucaramaga, Colombia, 997. [4] CONTENTO Castaño Arley Mario Armóicos: Compesació de Potecia No Activa e Sistemas de Distribució, Tesis de Maestría e Igeiería Eléctrica, Uiversidad acioal de Maizales, 005 [5] ORDONEZ Gabriel, Plata José Gabriel, Carillo Gilberto. Aálisis Geeral de Armóicos Documeto UIS-ESSA, 996

24 [6] RIZZONI Giorgio. Pricipios y Aplicacioes de Igeiería Eléctrica. Mc GrawHill. 3ra edició, 00 [7] CHAUVIN Aroux G. Etediedo la potecia y la medició de la calidad de la potecia. AEMC Istrumets, 005 [8] CÁRDENAS Galido Víctor Mauel Distribució eléctrica e sistemas idustriales co cargas electróicas. Facultad de Igeiería, Uiversidad Autóoma Potosia, Facultad de Igeiería Agosto 004. [9] BUDEANU C. "Reactive ad Fictitious Powers", Publ. No. of the Rumaia Natioal Ist. Bucuresti, 97, p [0] CZARNECKI, L.S. Budeau ad Fryze: two frameworks for iterrpretig power properties of circuits with osiusoidal voltages ad currets. Electrical Egieerig Nº 80 (December.997).

25 . DEFINICIONES DE LA POTENCIA REACTIVA..Itroducció Las teorías sobre la divisió de la potecia e redes eléctricas e diversas compoetes y la defiició de la potecia segú esas compoetes, así como el sigificado físico de las mismas cuado las formas de oda o so seoidales se remota a.888 co Steimetz [,], luego viiero los estudios de la importacia del factor de potecia de Staley y Shalleberg e 89 [3,4], más adelate e los años veite se destacaro las iterpretacioes sobre el flujo de potecia para circuitos moofásicos dados por: Housto y Keedy [5], Ede [6], Kowlto [7] y Fortescue [8] quiees recoociero totalmete y aceptaro la importacia del factor de potecia y la potecia reactiva, luego de ellos siguiero los postulados de Budeau [3] e 97 y Fryze [8] e 93. Estas teorías, auque iteresates, carecía de valor práctico e aquella época, puesto que la presecia de armóicos e las redes y los efectos ocivos de estos era prácticamete iexistetes. Hubo que esperar cuareta años para que a estas teorías se les diera la importacia que merecía por la cosecuete cotamiació armóica e las redes y la búsqueda de la compesació del factor de potecia, por lo que muchos autores retomaro los postulados descritos ateriormete, y otros a partir de ellos desarrollaro uevos plateamietos como lo hiciero muchos de los cietíficos que se describirá e el coteido de este capitulo. Las primeras defiicioes de la potecia o activa implicaba valores eficaces o valores medios, siedo reciete la aparició e la literatura de expresioes para la potecia o activa istatáea. La mayor parte de las teorías ha elegido la tesió como ua referecia y descompoe la corriete e ua compoete activa que es resposable de la trasmisió de la potecia activa, y ua compoete o activa oscilate e el sistema. Estas teorías so formuladas co el objetivo de idetificar la potecia o activa o la corriete o activa para mejorar el factor de potecia del sistema eléctrico. Mietras alguos autores restrige sus

26 aálisis al domiio del tiempo o de la frecuecia, otros formula u cocepto más uificado utilizado ambos [9]. Las teorías basadas e el domiio del tiempo ha teido como pricipal objetivo el filtrado activo de potecia o activa, mietras que las teorías basadas e el domiio de la frecuecia fuero desarrolladas para medida del coteido armóico pricipalmete [0]. E el presete capitulo se da a coocer las teorías más relevates e el cálculo de la potecia reactiva e régime o seoidal...postulados para el cálculo de la potecia reactiva... Postulado de Steimetz Steimetz e.888 [], tomo las siguietes expresioes para la tesió y la corriete istatáea respectivamete: vt () = V se( ωt φ) (-) rms it () = I se( ωt) (-) rms Él, descompuso la tesió mediate fucioes trigoométricas, y luego realizó la proyecció de ésta sobre la corriete, lo cual cumplía co la Ley de Joule, caso que o ocurría al realizar lo cotrario ya que se perdería la señal de corriete origial. Luego efectúo el producto etre la tesió y la corriete para hallar la potecia istatáea trasferida por la fuete y llegó a la siguiete expresió: [ ω φ ] [ ω ] pt ( ) = P cos( t+ ) + Q se( t+ φ) (-3) Siedo P la potecia activa y Q la potecia reactiva, la cual es ua compoete que úicamete teía e cueta la tesió y la corriete fudametal rms para su cálculo así: Q = V I seϕ (-4) rms rms

27 ... Postulado de Iliovici. E 98, Iliovici [] iicio sus estudios basado e la ley de Faraday, teiedo e dϕ cueta la fuerza electromotriz f.e.m. equivalete a: v = (-5) dt siedo d ϕ la variació del flujo co respecto al tiempo. dt Tomado como base este flujo, propuso la siguiete ecuació para calcular la potecia reactiva e régime o seoidal: T ω Q = ϕidt T (-6) 0 E dode i es la itesidad de la corriete eléctrica cosumida por la carga, ω es la frecuecia agular y T es el período de la compoete fudametal. Iliovici defiió la maera de calcular la potecia reactiva para sistemas o siusoidales utilizado el desarrollo de Fourier, llegado a la siguiete ecuació: h Q = VIseϕ (-7) = Pasados seis años, e 94, Iliovici reevaluó el plateamieto aterior, propoiedo ua ueva ecuació para el cálculo de la potecia reactiva, si teer e cueta el flujo detro de su expresió dejado como tal la siguiete ecuació: T Q= idv ωt (-8) 0 Y de la misma maera utilizado el desarrollo de Fourier, propuso la ecuació para el cálculo de la potecia reactiva e situacioes o seoidales equivalete a: h Q = V. I seϕ (-9) = Se puede observar co las ecuacioes (-7) y (-9) que estos plateamietos coduce a diferetes respuestas e el cálculo de la potecia reactiva, lo que demuestra la debilidad e el desarrollo de los postulados iiciales tratado de buscar ua cocordacia del sigificado físico co las expresioes matemáticas.

28 ..3. Postulado de Lierard E 96, Lierard [] apoyádose e los estudios hechos por Iliovici, partió de la defiició básica de la corriete eléctrica i = dq, equivalete a la variació de la carga dt co respecto al tiempo. De ahí surgió ua ueva ecuació para el cálculo de la potecia reactiva dada mediate la expresió: T ω Q = vqdt T (-0) e la que v es la tesió aplicada por la fuete, ω es la frecuecia agular, T es el período de la compoete fudametal y q la carga trasmitida. Lierard, tambié utilizó el desarrollo de Fourier para calcular la potecia reactiva, dado como resultado: = 0 h Q = VIseϕ (-) Si se compara las ecuacioes (-7) y (-), es evidete que so similares, pero lametablemete auque sus plateamietos matemáticos cotaba co ua gra base teórica, o existía hasta el mometo la maera de comprobar físicamete su respuesta...4. Postulado de Budeau E 97, Budeau [,3,4] presetó la primera expresió valida para el cálculo de la potecia reactiva e sistemas o seoidales (Ver ANEXO I Demostracioes): Q h = V I seϕ (-) B = Muy similar a como lo había hecho los autores ateriores, pero co la diferecia que esta expresió se acercaba mas a la realidad física, por ello fue aceptada y figura au e el Diccioario de Térmios Eléctricos y Electróicos de IEEE [5]. Si embargo o fue la úica expresió e el cálculo de la potecia aparete S, ya que adicioo otro térmio que deomió potecia de distorsió D, esta expresió egañosamete cumple co el pricipio de ortogoalidad, pero lametablemete carece de sigificado físico, ya que el autor busca

29 mediate esta expresió cuatificar el grado de distorsió de las odas, y esto o es posible, debido a que esta cuatía o correspode a ua medida de la distorsió de las odas como él lo expresa, por lo tato esta potecia o puede ser ortogoal al resto de las compoetes de la potecia aparete, tal como lo cocluye co la siguiete ecuació: D S P QB = (-3) Los aspectos mas importates que tiee esta teoría co respecto a la imposibilidad de desarrollar u compesador efectivo so [6]: El flujo reciproco de eergía puede existir e circuitos dode Q B = 0. La forma de oda de la corriete puede estar distorsioada respecto a la oda de tesió e circuitos dode D = 0. Ua forma de aclarar como Budeau plateo el desarrollo de éste postulado es mediate la represetació vectorial de las potecias e los ejes coordeados. Figura.. Represetació vectorial de la potecia reactiva defiida por Budeau Sí, ip es el vector que represeta la potecia activa, jq B la potecia reactiva y kd la potecia de distorsió [], las resultates etre estos tres vectores se deomia:. La Potecia fasor Sf: es la potecia aparete compleja correspodiete a u régime siusoidal co carga lieal, equivalete a: Sf = ip + jq (-4) B siedo su módulo: Sf = P + Q B (-5)

30 . La potecia o-reactiva N: es aquélla que o tiee compoete reactiva, y se expresa vectorialmete como: N = i P+ kd (-6) siedo su módulo: N = P + D = S Q B (-7) 3. La potecia ficticia F: es la potecia que carece de compoete activa, es decir, es el cojuto de las compoetes o deseadas y equivale a: F = jq + kd (-8) B siedo su módulo: F = Q + D = S P (-9) B Ua vez coocidas estas tres potecias, se puede calcular la potecia aparete (o potecia vector S ), expresada por la ecuació: S = ip+ jq + kd (-0) B siedo su módulo S = P + Q + D (-) B Dode P es la potecia activa, atribuida al cosumo de la carga, Q B la potecia reactiva, atribuida al feómeo origiado por el flujo recíproco de eergía magetizate y D la potecia de Distorsió, atribuida a la distorsió de la forma de oda de la corriete co respecto a la tesió [6]...5. Postulado de Fryze E 93, Fryze [,7,8,9] para poder defiir la potecia reactiva e el domiio del tiempo, partió co la descomposició de la corriete istatáea e dos compoetes ortogoales a las que llamo corriete activa y corriete o activa dadas por las siguietes expresioes: a ( θ ) i () t = Icos se( ωt) (-) q ( θ ) i () t = Ise cos( ωt) (-3) Luego tomo ua tesió seoidal, expresada como: vt () = Vse( ωt) (-4) Y co estas fucioes calculó la potecia istatáea, mediate el producto de v(t) por i(t) dado como resultado (Ver ANEXO II Demostracioes): pt () = vtit ()() = VIcos θ ( cos( ωt)) + VIseθ( se( ω t)) (-5)

31 De esta ecuació dedujo las dos potecias así: La potecia activa como: P= VIcosθ (-6) Y la potecia o activa como: Q = VIseθ (-7) Segú Fryze si se realiza el producto etre la tesió y la corriete o activa se obtiee la potecia Ficticia (F), tambié llamada potecia o activa ó potecia reactiva total de Fryze (Q F ), la cual se puede expresar como: Q = VI = v() t i () t (-8) F q q De acuerdo co esto la potecia reactiva de Fryze Q F e circuitos co formas de odas o seoidales es idética a la potecia ficticia defiida e el diccioario estádar de potecia del IEEE [0]. Si embargo, el valor de esta potecia o proporcioó igú dato para el diseño de compesadores co el fi de cotrolar la potecia reactiva, debido a que existe circuitos co cargas diferetes y co el mismo cosumo de potecia reactiva de Fryze. Por lo tato replateo su postulado, tomado ua tesió y ua corriete o seoidal expresadas así: vt () = Vse ( ωt+ α) (-9) it () = Ise ( ωt+ β) (-30) Luego descompuso la corriete istatáea total i(t), e dos compoetes a las que deomio corriete activa i a (t) y corriete o activa i q (t) y co ellas cálculo la potecia activa P a y la potecia o activa Q F expresadas respectivamete: P VI GV a = a = e (-3) QF = VI (-3) q E dode la potecia o activa segú Fryze debido a que cumple co el pricipio de ortogoalidad se puede expresar mediate la siguiete expresió: QF S P = (-33) a

32 ..6. Postulado de Buchholz E 950 Buchholz [] basado e la defiició de Fryze, trabajó e sistemas polifásicos co M fases, partiedo co las siguietes expresioes para la corriete y la tesió, co sus respectivas magitudes: M () () = i t = iσ t ; M i = i Σ = (-34) M () Σ () = v t = v t ; v M = v (-35) = Σ Tal como lo hizo Fryze, Buchholz tambié descompuso la corriete istatáea dos compoetes ortogoales defiidas así: i ( t) e M a() = Σa () = i t i t M i a = = i Σ a es la corriete activa (-36) M b() = Σb () = i t i t M i b i Σ = = b es la corriete o activa (-37) Co la diferecia que Buchholz cálculo la potecia aparete para sistemas polifásicos, utilizado la siguiete ecuació: S = P + Q (-38) Σ Σa Σb siedo P Σ a la compoete de potecia activa y Q Σ b la compoete de potecia o activa, la cual equivale a: O tambié: Q = S P (-39) Σb Σ Σa Q = D + Q (-40) Σb Σ ΣB E la que Buchholz, icluyo la potecia de distorsió D Σ tal como lo hizo Budeau y ua potecia reactiva Q equivalete a: ΣB Q = v () t i () t (-4) ΣB b Quedado fialmete la potecia aparete eficaz para u sistema polifásico como: M Σf = Σa + ΣB + = S P Q D Σ (-4)

33 Buchholz, además de haber llegado a la aterior expresió, dedujo otras dos formas de calcular la potecia aparete: ua que deomio potecia aparete vector (S ΣV ) y otra que deomio potecia aparete aritmética (S Σa ) represetadas mediate las siguietes ecuacioes: M M M SΣ v = PΣa + QΣB + D = = = Σ (-43) M ( ) ( ) ( ) S = P + Q + D Σa Σa ΣB = Σ (-44) siedo P Σa la potecia activa, Q ΣB la potecia o activa y D Σ la potecia de distorsió. De las expresioes ateriores para el cálculo de la potecia aparete, dedujo que de la potecia aparete vector (S ΣV ), se puede compesar la potecia reactiva y la potecia de distorsió, caso que o ocurre co las otras expresioes (la aritmética y la eficaz) las cuales so idéticas y mayores e magitud, por lo tato: S S = S (-45) Σv Σa Σf..7. W. Shepherd y P. Zakikhai E 97, W. Shepherd y P. Zakikhai [,], afirma que la expresió de Budeau es absurda y si setido físico, por lo tato propoe ua ueva descomposició de la Potecia Aparete así: S = SR + SX + S D (-46) Los autores deomia S R a la potecia aparete activa, S X a la potecia aparete reactiva y S D a la potecia aparete de distorsió y las expresa mediate las siguietes ecuacioes: h h R cos = = S V I ϕ = (-47) h h X = = S V I se ϕ = (-48)

34 S V I V I I h h h h h D = p + m + p = p= m= = p= siedo, el grupo de compoetes armóicos presetes e la alimetació y e la carga. m, las compoetes que sólo forma parte e la tesió. p, las compoetes que sólo circula por la carga. (-49) El presuto acierto de la descomposició propuesta por Shepherd y Zakikhai radica e que al coectar u elemeto pasivo lieal como u baco de codesadores e u circuito co u bajo factor de potecia, miimiza la potecia aparete reactiva S X, dado lugar a la optimizació de este factor de potecia, algo que o se puede verificar aplicado la potecia reactiva de Budeau debido a las coclusioes descritas ateriormete. Ua de las justificacioes de este postulado y que matiee su verdadero acierto es que fue demostrada e la descomposició de la potecia aparete, que la potecia activa coicide co el valor medio de la potecia istatáea e u período completo, hecho que o ocurre e ciertos casos aplicado el postulado de Budeau...8. Postulado de Sharo E 973, Sharo [3] de la misma forma que lo hiciero Shepherd y Zakikhai presetó ua descomposició de la potecia aparete e tres compoetes así: S = P + S + S (-50) C Q Siedo P la potecia activa, S C la potecia reactiva complemetaria y S Q la potecia reactiva e cuadratura, siedo esta última igual a: Q h S = V I seϕ (-5) = Sharo afirma, igual que lo hizo Shepherd y Zakikhai u año ates, que la miimizació de la potecia reactiva e cuadratura S Q tambié proporcioa u máximo

35 factor de potecia a través de la coexió de u elemeto pasivo lieal. Si embargo, Sharo cometa que, idepedietemete, del sigificado físico de la potecia reactiva sea e cuadratura o complemetaria S Q y S C, lo importate era miimizar sus valores hasta que la potecia aparete S fuera lo mas parecida a la potecia activa P. La publicació de los trabajos de Shepherd, Zakikhai y Sharo dio lugar a ua polémica etre los faáticos y partidarios de la descomposició de potecias propuesta por Budeau, etre los que estaba E. Micu [4] y V.N. Nedelcu [5], represetates de la Escuela Rumaa...9. Postulado de Emmauel E 977, Emmauel [6] apoyado del postulado de Sharo, dedujo que como e la mayoría de los casos el aporte pricipal a la potecia reactiva lo realizaba la compoete fudametal de la tesió, por lo tato esta potecia debería estar ligada a la compoete fudametal, tal como lo muestra la siguiete expresió: Siedo la potecia aparete igual a: Q = VI seϕ C (-5) S = P + Q + P (-53) Dode P es la potecia activa, Q la potecia reactiva fudametal y P C la potecia reactiva complemetaria. Su aálisis lo hizo basado e el postulado de Sharo co la diferecia que la potecia reactiva de cuadratura S Q fue reemplazada por Q...0. Postulados de Kusters y Moore E 980, Kusters y Moore [7], se basaro e la teoría de Fryze para propoer ua defiició de la potecia reactiva e el domiio temporal, ellos descompoe la itesidad e tres compoetes: la corriete activa i p (t), co ua forma de oda idética a la cosumida por ua resistecia ideal, la corriete reactiva iductiva i ql (t) correspodiete al cosumo que origiaría ua bobia ó la corriete reactiva capacitiva i qc (t), correspodiete al cosumo que origiaría u codesador, y la corriete reactiva iductiva residual i qlr (t) ó

36 la corriete reactiva capacitiva residual i qcr (t), que equivale al residuo que queda de suprimir de la itesidad total, la corriete activa y la corriete reactiva correspodiete es decir: i () t = i() t i () t i () t qlr p ql (-54) i () t = i() t i () t i () t (-55) qcr p qc Para poder llegar a calcular la corriete residual, Kusters y Moore partiero de la descomposició de la potecia istatáea como lo había hecho Fryze iicialmete y despejo de ella la potecia reactiva así: i () t = i() t i () t (-56) q a Luego ellos utilizaro la descomposició de la corriete istatáea para situacioes o seoidales dadas por Fryze quedado: it () = i() t + i() t (-57) Al reemplazar e la ecuació (-56) os queda que: ( ) ( ) ( ) i () t = i () t + i () t i () t = i () t + i () t i () t = i () t + i S () t q a a a (-58) Por lo tato la corriete residual equivale a la sustracció etre la corriete de fase armóica y la corriete activa así: y cuya expresió e el tiempo la deotaro como: h i () t = i () t i () t (-59) S S e = = h i () t = ( I cosθ ) seσ G V seσ (-60) Equivalete a: h is() t = [ seσ][ Icosθ GV e ] (-6) = Teiedo e cueta que la admitacia de ua carga lieal para el -esimo armóico equivale a: jθ Y = Ye = G + jb = Ycosθ jyseθ (-6) Se obtiee ua ueva expresió para i S (t):

37 ω + α i () t = V( G G ) se( t ) S e = p () t = i () t v () t + i () t v () t + i () t v () t (-64) a q s Equivalete a decir: p () t = p () t + q () t + q () t (-65) a q s (-63) Co esta expresió, Kusters y Moore completaro la formulació de las corrietes e el domiio del tiempo, y a partir de ello obtuviero las compoetes de potecia istatáea, dado como resultado: Segú Kusters & Moore, estas tres compoetes de corriete so utilizadas para el aálisis de Circuitos Moofásicos, y se puede expresar mediate el siguiete circuito: Figura.. Modelo geeral de carga para u sistema moofásico Ua maera de represetar la ortogoalidad (Ver ANEXO I Demostracioes) de las compoetes de las corrietes se puede llevar a cabo mediate el diagrama fasorial presetado a cotiuació. Figura.3. Diagrama fasorial de corrietes. Adicioalmete a los cálculos efectuados, Kusters y Moore se basaro tambié e los plateamietos de Sharo y Emmauel propoiedo la siguiete descomposició de la

38 potecia aparete teiedo e cueta el comportamieto de la carga como se puede evideciar: Sl Pa Qql Q sl = + + (-66) S = P + Q + Q (-67) sc c a qc siedo P = VI p la potecia activa y Q la potecia reactiva clasificada e dos térmios, depediedo si la carga es iductiva o capacitiva así: Cuado la carga es iductiva Q ql = VI ql equivale a la potecia reactiva iductiva eta y Q sl equivale a la potecia reactiva iductiva residual. Cuado la carga es capacitiva Q qc = VI qc equivale a la potecia reactiva capacitiva eta y Q sc equivale a la potecia reactiva capacitiva residual.... Postulados por Akagi, Kaasawa y Nabae E 983 Akagi, Kaasawa y Nabae [8,9], llegaro a uevas cocepcioes para el cálculo de la potecia activa y o activa, validas para régime permaete y trasitorio, que icluyero todo tipo de odas de voltaje y de corriete. Esta teoría fue desarrollada primeramete para sistemas trifásicos y luego la teoría se extedió para icluir el eutro. El postulado de Akagi y coautores, lo deomiaro teoría p-q, partiedo de los vectores espaciales expresados e dos coordeadas deotadas por los águlos (α β) como se observa e la figura.4. Akagi, Kaasawa y Nabae por lo que trabajaro iicialmete co sistemas trifásicos platearo las coordeadas de tesió por fase de la siguiete maera: v a, v b y v c. Luego mediate las diferetes experiecias ecotradas, presetaro tres vectores que relacioaba estas coordeadas de tesió por fase, y las deomiaro: v 0, v α y v β. (Ver ANEXO I Demostracioes).

39 Fig..4. Represetació espacial de la potecia imagiaria istatáea De lo aterior ellos dedujero que las coordeadas (α β) so ortogoales, ya que los vectores espaciales v α e i α está sobre el eje α y v β e i β está sobre el eje β, aclarado que su amplitud y direcció varía co el tiempo. Teiedo estas bases matemáticas calcularo la potecia istatáea covecioal trifásica, trasformado las corrietes y tesioes de líea al plao complejo estacioario, tal como se muestra e la siguiete expresió matricial: dode p vα vβ iα * q = vβ v α i β (-68) p = vα iα + vβ iβ (-69) q = vβ iα vα iβ (-70) Siedo p la potecia activa de Park, represetado la eergía total por uidad de tiempo de u sistema trifásico e térmios de las compoetes α β y q la potecia imagiaria istatáea defiida mediate el vector espacial dado como producto vectorial de tesioes y corrietes, del siguiete modo: qt () = v i + v i (-7) β α α β Segú Akagi, Kaasawa y Nabae, la potecia imagiaria q, o es ua catidad eléctrica covecioal, ésta correspode a ua potecia que existe e las fases y o cotribuye a la