Yamile Cardona Maya. Director: Ph.D., Pedro Ignacio Torres Trujillo

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1 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Yamile Cardona Maya Universidad Nacional de Colombia Faculad de Ciencias Escuela de Física Medellín Colombia 013

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3 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Yamile Cardona Maya Tesis presenada como requisio parcial para opar al íulo de: Magiser en Ciencias Física Direcor: Ph.D. Pedro Ignacio Torres Trujillo Líneas de Invesigación: Disposiivos foónicos compleamene a fibra ópica Grupo de Invesigación: Grupo de Foónica & Opoelecrónica Universidad Nacional de Colombia Faculad de Ciencias Escuela de Física Medellín Colombia 013

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5 A mi esposo César y mi familia

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7 Agradecimienos Gracias a odos los que de muchas maneras apoyaron la realización de esa esis. A mi familia y esposo. A mi uor Pedro Torres y compañeros de laboraorio: Caalina Hurado Naalia Múnera Maria Julia Nieo Nelson Gómez el profesor Rodrigo Acuña y Carlos Rodríguez. A mis amigos Marisela Salinas y Alex Lopera. Gracias a las enidades que apoyaron con sus recursos económicos: a la Universidad Nacional a Colciencias y a la fundación para la promoción de la invesigación y la ecnología.

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9 Resumen y Absrac IX Resumen Indudablemene la ransformación del mundo en los úlimos años se debe a las ecnologías de la información y la elecomunicación (TIC). Toda la información se ransmie a ravés de redes de comunicaciones basadas principalmene en ecnologías foónicas; y cada vez se hace más necesario buscar nuevas formas de saisfacer las necesidades de capacidad y fiabilidad de la ransmisión de la información. Es por esa necesidad que surge la moivación de rabajar en ecnologías compleamene a fibra ópica apas para ser usadas en disinas aplicaciones en elecomunicaciones. Esa esis de maesría aborda el diseño de un disposiivo mulifuncional compleamene a fibra ópica basada en fibras de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos (LCPCF). Los resulados muesran que la LCPCF diseñada sirve como acoplador ópico direccional y como filro ópico componenes fundamenales en sisemas de comunicaciones por fibra ópica y que ahora se pueden ener en un mismo disposiivo. El puno significaivo de la esis es el desarrollo de una herramiena compuacional robusa que acopla la muli-física de la elecroesáica la ermo/elecroópica de los crisales líquidos y la foónica de la propagación de la luz en guías de onda dielécricas anisorópicas. Palabras clave: Fibra de crisal foónico Crisal líquido Mulifuncionalidad Absrac Undoubedly he ransformaion of he world in recen years is due o informaion echnology and elecommunicaions. All informaion is ransmied hrough communicaion neworks based primarily on phoonic echnologies ; and i is becoming more necessary o find new ways o mee he needs of capaciy and reliabiliy of he ransmission of informaion. I is for his need ha arises moivaion o work in a compleely fiber opic echnologies suiable o be used in differen applicaions in elecommunicaions. This maser hesis deals wih he design of an all-fiber Mulifuncional Device Based On Selecively Liquid- Crysal-Infilraed Phoonic Crysal Fiber. The resuls show ha he design serves as a direcional opical coupler opical filer fundamenal device in communicaion sysems and fiber opic componens and now hey can be in one device. The significan poin of he hesis is o develop a robus compuaional ool ha couples he muliphysics of elecrosaic hermo / elecro - opics and liquid crysals phoonics propagaion of ligh in anisoropic dielecric waveguides. Keywords: Phoonic Crysal Fiber Liquid Crysal Mulifuncionaliy.

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11 Conenido Resumen... IX Lisa de figuras... XIII Lisa de ablas... XVII Lisa de Símbolos y abreviauras... XVIII 1. Inroducción Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos Infilraciones de diferenes maeriales en los agujeros de las PCF Fibras de crisal foónico con elecrodos inernos Crisales Líquidos (LC) Propiedades ópicas y birrefringencia Efeco de la emperaura en los LC Propiedades elásicas Propiedades elécricas y efeco elecroópico Liquid Crysal Phoonic Crysal Fiber (LCPCF) - Esado del are y anecedenes Fundameno Teórico Teoría elecromagnéica de la luz Méodo de Elemenos Finios FEM Análisis Supermodal Guías de onda de res núcleos Méodo de Euler-Lagrange Diseño del disposiivo y resulados Sinonización con emperaura Discreización de la geomería Funcionamieno como acoplador ópico direccional Funcionamieno como filro ópico Sinonización con Campo elécrico Geomería y discreización Campo elecrosáico y disribución de los vecores direcores de los LC Modo de operación como acoplador ópico direccional Modo de operación como filro ópico Funcionamieno con ambas funcionalidades Pág.

12 Conenido XII 5. Conclusiones y perspecivas Bibliografía

13 Conenido XIII Lisa de figuras Pág. Figura 1-1 Fibra ópica convencional... Figura 1- Fibra de crisal foónico (PCF)... 3 Figura 1-3 Variedad de fibras de crisal foónico [17]... 4 Figura 1-4 Foografías SEM. a) PCF con guiado de luz por medio de TIR b) PCF con guiado de la luz por medio de band gap. NKT Phoonics Figura 1-5 Esquema del procedimieno de fabricación sack and draw de fibras de crisal foónico [0]... 6 Figura 1-6 Proceso de fabricación Sack and draw en la Universidad de Bah [13]... 7 Figura 1-7 a) Preforma de una PCF con agujeros de diferenes amaños. OFS (Opical Fiber Soluions) b) Esquema de una PCF Helicoidal fabricada por [1]... 7 Figura -1 a) Esrucura e imágenes SEM de una PCF con núcleo hueco [30] b) Procedimieno de infilración seleciva. [30]... 1 Figura - PCF con el núcleo apado con NOA73 [31] Figura -3 Proceso de infilración seleciva por medio de un grabado de SU-8. [34] Figura -4 PCF con los agujeros del primer anillo sin bloquear. [34] Figura -5 a) Curado uno a uno de los agujeros con un haz enfocado de un láser en femosegundos b) Ejemplo de una esrucura con agujeros bloqueados. [36] Figura -6 a) Infilración seleciva por medio de una puna adelgazada de borosilicao un microscopio y un posicionador XYZ b) Ejemplos de configuraciones logradas por ese mecanismo de infilración [37] Figura -7 a) Diagrama esquemáico para la infilración de media esrucura b) Imagen SEM de la PCF sin infilración c) Imagen SEM de la PCF con la infilración d) Imágenes omadas con microscopio del perfil de la PCF durane el proceso. [41] Figura -8 Infilración seleciva para obener arreglos foónicos unidimensionales. a) Monaje experimenal b) Imágenes del proceso hasa obener finalmene el arreglo unidimensional [4]. 18 Figura -9 Imágenes SEM de la PCF. a) Sin descarga b) Con una descarga de corriene de 14.5 ma durane 0.3 s a un offse de 50 um. [44] Figura -10 Infilración seleciva por medio del bloqueo de los agujeros del revesimieno de la PCF. [45] Figura -11 Técnica de infilración seleciva por pasos. 1) Empalme y clivaje ) Perforación del agujero 3) Infilración Figura -1 Diagrama esquemáico para la infilración seleciva usando esferas. a) posicionamieno de las microesferas b) deposición de la capa de polímero y exposición a radiación UV c) Exracción de las microesferas d) infilración por capilaridad. [48]... 0

14 Conenido XIV Figura -13 a) Foografía de fibra con macro-huecos [50] b) Foografía de fibra con macrohuecos infilrados con maerial conducor [49] Figura -14 a) Proceso de infilración con aleaciones meálicas bc) elecrodos inserados por diferenes mecanismos.... Figura -15 PCF con elecrodos inernos [59]... 3 Figura -16 Forma de los LC. Calamíicos a) esrucura química c) modelo esrucural e) modelo físico. Discóicos b) esrucura química c) modelo esrucural f) modelo físico Figura -17 Ordenamieno de las moléculas de LC según su fase a) fase isorópica b) fase nemáica c) fase esmécica. Tomado de [67]... 5 Figura -18 Ondas incidenes ordinaria y exraordinaria en una molécula de LC. [68]... 6 Figura -19 Diferenes fases en los crisales líquidos al incremenar la emperaura. Tomado de []... 7 Figura -0 Modos de disorsión en crisales líquidos: Exensión orsión y flexión. Tomado de [71] Figura -1 Alineación de las moléculas de LC a) con posiivo b) con negaivo c) Componenes ransversales del campo elécrico exerno Figura - Dependencia de la anisoropía con la frecuencia. a) phenylbenzoaes [7] b) MDA de Merck del ipo dual-frequency [70] Figura -3 Diferenes esrucuras de disposiivos foónicos basados con LC. a) planares b) Crisales foónicos c) guías de onda d) nanoesrucuras plasmónicas Figura -4 a) LCPCF funcionando como una PBG b) PCF con infilraciones selecivas de LC Figura -5 Filro ópico propueso por Saioh y colaboradores [96] Figura 3-1 Elemeno curvilíneo usado en [114] Figura 3- Geomería del problema [115] Figura 3-3 Elemeno riangular [115] Figura 3-4 Elemenos de borde [115] Figura 3-5 Geomería de una PCF doble núcleo Figura 3-6 Modos par e impar enconrados para la PCF mosrada en la Figura Figura 3-7 Longiud de acoplamieno en función de. Tomado de [114] Figura 3-8 Supermodos enconrados en la PCF mosrada en la Figura 3-5. a) Modo par polarización x b) Modo impar polarización x c) Modo par polarización y b) Modo impar polarización y Figura 3-9 Supermodos A B y C que pueden guiarse en guías de onda de res núcleos monomodo Figura 3-10 Esquema de una guía de onda ópica de res núcleos: a) longiud de acoplamieno cuando los res modos son exciados; b) exise una porción de la poencia que no se acopla al núcleo laeral opueso Figura 3-11 Ángulos y que deerminan la posición de las moléculas de crisal líquido.. 67 Figura 4-1 Esquema inicial del disposiivo Figura 4- Esrucura de la PCF diseñada Figura 4-3 Discreización de la geomería Figura 4-4 LCPCF con infilraciones en los agujeros y 4 para su funcionamieno como acoplador... 77

15 Figura 4-5 Dispersión de los modos de propagación fundamenal en el núcleo cenral 3 y los agujeros y 4 llenos de LC (exremos) a dos emperauras diferenes para luz con polarización horizonal Figura 4-6 Supermodos A B y C del acoplador ópico direccional a 55ºC y a una longiud de onda de um Figura 4-7 Eficiencia de la ransferencia de la poencia ópica enre los dos núcleos de LC a 55 C Figura 4-8 Longiud de acoplamieno de la polarización horizonal en función de la longiud de onda para una emperaura de 55 C Figura 4-9 LCPCF con infilraciones en los agujeros 1 y 5 para su funcionamieno como filro Figura 4-10 Cambio del índice de refracción con respeco a la longiud de onda del núcleo sólido (cenral) y los agujeros de LC (exremos) a res emperauras diferenes para el filro ópico Figura 4-11 Supermodos A B y C del acoplador ópico direccional a 30ºC y a una longiud de onda de 1.49 um Figura 4-1 Eficiencia de la ransferencia de la poencia enre los dos núcleos de LC a 30 C.. 84 Figura 4-13 Longiud de acoplamieno para el funcionamieno como filro a res diferenes emperauras Figura 4-14 Esquema del modelamieno compuacional Figura 4-15 Capilar infilrado con LC enre una diferencia de poencial Figura 4-16 Comparación del méodo de ieración en [131] con el méodo usado en esa esis 89 Figura 4-17 Diseño del disposiivo con infilraciones de crisal líquido y elecrodos inegrados90 Figura 4-18 Discreización de la geomería Figura 4-19 Disribución del campo elécrico en oda la esrucura. a) E x b) E y c) E... 9 Figura 4-0 Disribución de campo elécrico en el agujero 1 con LC de la esrucura. a) E x b) E y Figura 4-1 Disribución del ángulo de inclinación de las moléculas de LC a diferenes volajes Figura 4- Disribución del ángulo de las moléculas de LC para 00 V Figura 4-3 Ángulo para varios valores de volaje Figura 4-4 Elemenos xx yy y xy del ensor de permiividad en el agujero 1 a diferenes volajes Figura 4-5 Índice de refracción efecivo de los agujeros 1 y 5 en función del volaje para ambas polarizaciones a λ=1550 nm Figura 4-6 Esrucura con elecrodos exernos a la fibra Figura 4-7 Comparación energéica según la ubicación de los elecrodos Figura 4-8 LCPCF con infilraciones en los agujeros y 4 para su funcionamieno como acoplador

16 Conenido XVI Figura 4-9 Dispersión de los modos de propagación fundamenal en el núcleo cenral 3 y los agujeros y 4 llenos de LC (exremos) a dos volajes diferenes para luz con polarización horizonal Figura 4-30 Eficiencia de la ransferencia de la poencia ópica enre los dos núcleos de LC a 55 C Figura 4-31 Longiud de acoplamieno de la polarización horizonal en función de la longiud de onda para una emperaura de 55 C Figura 4-3 LCPCF con infilraciones en los agujeros 1 y 5 para su funcionamieno como filro sinonizable elécricamene Figura 4-33 Dispersión del núcleo sólido (cenral) y los agujeros de LC (exremos) a res volajess diferenes para el filro ópico Figura 4-34 Eficiencia de la ransferencia de la poencia enre los dos núcleos de LC diferenes volajes Figura 4-35 Poencia normalizada para ambas funcionalidades filro ópico a la izquierda y acoplador ópico direccional a la derecha Figura 5-1 Redes de Bragg conroladas elécricamene Figura 5- PCF con núcleo hueco infilrado con LC Figura 5-3 Esquema de un demuliplexador Figura 5-4 Guías de onda ransversales... 11

17 Conenido XVII Lisa de ablas Pág. Tabla -1 Índices de refracción ordinarios medidos a diferenes emperauras del crisal líquido MLC-6884 de Merck. [67]... 8 Tabla - Índices de refracción exraordinarios medidos a diferenes emperauras del crisal líquido MLC-6884 de Merck. [67]... 9 Tabla -3 Referencias del esado del are y anecedenes de los disposiivos basados en la ecnología LCPCF Tabla 4-1 Coeficienes para la Ecuación de Sellmeier del sílice puro Tabla 4- Coeficienes de Cauchy para el MLC-6884 de Merck Tabla 4-3 Parámeros del enmallado Tabla 4-4 Propiedades usadas en la simulación de los maeriales involucrados en el disposiivo diseñado Tabla 4-5 Parámeros del enmallado... 90

18 Conenido XVIII Lisa de Símbolos y abreviauras Símbolos con leras lainas Símbolo Término Unidad Definición B Densidad de flujo magnéico T c Velocidad de la luz en el vacío m/s 3x10 8 m/s D Densidad de flujo elécrico C/m d Diámero um E Campo elécrico V/m H Campo magnéico A/m K Consane elásica N L c Longiud de acoplamieno m n Índice de refracción 1 P Poencia ópica W T Temperaura C V Parámero V 1 V n co n cl Símbolos con leras griegas Símbolo Término Unidad SI Definición β Consane de propagación Rad/m ɛ Permiividad 1

19 Conenido XIX Símbolo Término Unidad SI Definición θ Ángulo de inclinación Figura 3-11 Λ Consane de red m λ Longiud de onda m μ Permeabilidad ρ Radio del núcleo m φ Ángulo de inclinación Figura 3-11 ω Frecuencia angular rad/s Subíndices Subíndice A B C c co cl e eff IN o OUT r Término Correspondien al modo A Correspondien al modo B Correspondien al modo C Críico Núcleo (Core) Revesimieno (Cladding) Exraordinario Efecivo Enrada Ordinario Salida Relaivo Transversal Superíndices

20 Conenido XX Superíndice n Término Exponene poencia Abreviauras Abreviaura IR LC MOF PBG PCF TIR TIC UV Término Infrarrojo Crisal Líquido (Liquid Crysal) Fibras Micro-esrucuradas (Microesrucured Opic Fiber) Phoonic Bandgap Fibra de Crisal Foónico (Phoonic Crysal Fiber) Reflexión Toal Inerna (Toal inernal reflecion) Tecnología de la Información y la comunicación Ulraviolea

21 1. Inroducción La precipiada ransformación del mundo en los úlimos años es aribuida sin duda alguna a las ecnologías de la información y la elecomunicación (TIC). Toda la información se ransmie a ravés de redes de comunicaciones basadas principalmene en ecnologías foónicas; y cada vez se hace más necesario buscar nuevas formas de saisfacer las necesidades de capacidad y fiabilidad de la ransmisión de la información. Es por esa necesidad que surge la moivación de rabajar en un disposiivo compleamene a fibra ópica sinonizable y mulifuncional apo para ser usado en variadas aplicaciones en elecomunicaciones. Juno con el desarrollo de disposiivos basados en fibras ópicas convencionales ha crecido el inerés en rabajar con las llamadas fibras ópicas especiales que por sus caracerísicas permien incorporar múliples funciones [1 ]. Enre las fibras especiales se desacan las fibras de crisal foónico (PCF por sus siglas en inglés) ambién llamadas fibras micro-esrucuradas (MOF por sus siglas en inglés) o simplemene fibras con micro huecos [3]; las fibras mulinúcleos [4 5] y; las fibras con elecrodos inernos [6-8]. El inerés en rabajar con las PCF para el desarrollo de disposiivos se debe a la posibilidad de incorporar diferenes maeriales en los agujeros que van paralelos al núcleo de esas fibras. En la lieraura mundial se encuenran repores de aplicaciones usando las PCF ya sea inroduciendo gases líquidos o aleaciones meálicas en los agujeros [9]. Los crisales líquidos (LC por sus siglas en inglés) por oro lado son de gran inerés en diferenes áreas por sus inconables usos que van desde disposiivos elecrónicos panallas memorias ópicas debido a su impresionane capacidad de almacenar información y sensores ulrasensibles debido a su capacidad de formar diferenes fases [10]. En esa esis se combinan ambas ecnologías fibras especiales y crisales líquidos esudiando el comporamieno de la luz al infilrar selecivamene con LC algunos de los agujeros de la micro-esrucura de una PCF con elecrodos inegrados aprovechando las propiedades elecro-ópicas y ermo-ópicas de los LC.

22 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Vale señalar que la fibra ópica ha sido el pilar de las ecnologías de la comunicación y la información desde que fue desarrollada en los años 70. Sus múliples venajas sobre los radicionales cables de cobre la han converido rápidamene en el medio favorio para ransmiir información; y han sido esas mismas venajas las que han llevado a la fibra ópica a servir en oras aplicaciones como sensores y fuenes de luz especiales. Las fibras ópicas convencionales son fabricadas de sílice pura y esán consiuidas por un núcleo y un revesimieno ver Figura 1-1. El núcleo iene un índice de refracción levemene diferene al del revesimieno debido a un dopaje que radicionalmene es de Berilio Germanio o Fósforo [11]. Ese dopaje que en la mayoría de casos aumena el índice de refracción del núcleo es necesario para que ocurra el efeco de reflexión oal inerna (TIR por sus siglas en inglés) y la luz quede confinada en el núcleo de la fibra. Figura 1-1 Fibra ópica convencional Una PCF es una fibra con una disribución periódica o cuasi-periódica de agujeros de aire que se exienden a lo largo de oda su longiud. Como se muesra en la Figura 1- las propiedades del guiado de la luz en las PCF se caracerizan por la disribución de los agujeros el diámero de los agujeros d y el paso enre los agujeros Λ; además la exisencia de un defeco en la esrucura regular permie la localización ransversal de la luz permiiendo el guiado axial de la luz. Después de casi 0 años de ese descubrimieno [1] las PCF se uilizan en varias aplicaciones como amplificadores ópicos [13 14] en ransmisión de daos [13] escáneres ópicos disposiivos láser [13] múliples sensores [ ] y fuenes de luz especiales (láseres y superconinuos) [14].

23 1. Inroducción 3 Figura 1- Fibra de crisal foónico (PCF) Una de las principales caracerísicas de las PCF es que pueden ener geomerías variadas se pueden fabricar y pos-procesar con diversos maeriales incluyendo sílice puro vidrios dopados y polímeros; infilrar sus micro-huecos con líquidos meales semiconducores oros maeriales víreos y diferenes gases [13]. Todas esas posibilidades permien fabricar y diseñar esrucuras foónicas con propiedades de propagación de la luz definidas de acuerdo con las necesidades (Ver Figura 1-3). Las PCF saisfacen las demandas del mercado global las cuales se basan básicamene en disposiivos relaivamene pequeños bajo peso y bajo consumo de energía. Es al el auge de las PCF que se pronosica que en poco iempo las fibras convencionales serán obsoleas [13].

24 4 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 1-3 Variedad de fibras de crisal foónico [17]. Exisen dos ipos de PCF principales: las que operan por el principio del TIR y las que operan con el efeco de bandas prohibidas foónicas PBG. Cada uno de esos ipos puede ser dividido en subipos los cuales dependen de la esrucura y las propiedades. Las PCF que ienen un defeco sólido en su esrucura (Ver Figura 1-4a) guían la luz por el principio del TIR dado que el núcleo en promedio iene un índice de refracción que es mayor al de la esrucura agujerada de la fibra. De esa manera se logra confinar la luz en el núcleo sólido efeco similar al ocurrido en una fibra ópica convencional. Las PCF que operan por PBG guían la luz por medio del efeco bandgap en el cual la luz se propaga en la región cenral (defeco) de índice de refracción menor al promedio del revesimieno (Ver Figura 1-4b); así sólo cieras longiudes de onda son permiidas en el defeco por lo que ese ipo de fibras sólo pueden guiar modos en cieras venanas de ransmisión deerminadas por el defeco y la red periódica que lo rodea. Una de las venajas más imporanes de las fibras por PBG frene a las fibras por TIR incluido las fibras convencionales es que las pérdidas debidas a la dispersión del maerial se ven disminuidas por lo que se puede usar en aplicaciones de ala poencia ópica [18 19]. Exisen diferencias imporanes enre las PCF y las fibras convencionales. La diferencia más imporane radica en que las PCF no requieren de un dopaje para guiar la luz lo que las hace más resisenes a la emperaura y a algunos compuesos químicos []. Ora diferencia desacable es que

25 1. Inroducción 5 el índice de refracción del revesimieno de las PCF es fueremene dependiene de la longiud de onda mienras que en las fibras convencionales no ocurre ese fenómeno. Figura 1-4 Foografías SEM. a) PCF con guiado de luz por medio de TIR b) PCF con guiado de la luz por medio de band gap. NKT Phoonics. En una fibra convencional con un núcleo de radio e índices de refracción n co y n cl para el núcleo y el revesimieno respecivamene el número de modos guiados esá deerminado por el parámero V : V n co n cl (1.1) donde es la longiud de onda en el vacío. Si el valor del parámero V es menor a.405 la fibra es monomodo; con ello a longiudes de onda coras las fibras convencionales son mulimodo debido a que V aumena a medida que disminuye. Para las PCF el índice de refracción del revesimieno puede ser enendido como el índice de refracción promedio en el revesimieno ponderado por la disribución de la inensidad de la luz []; enonces a longiudes de onda coras el campo se confina más en las regiones de la mariz de sílice y evade los agujeros por lo que el índice de refracción del revesimieno aumena. De esa manera la diferencia enre los índices de refracción del núcleo y el revesimieno decrece a medida que decrece la longiud de onda y conrarresa el efeco debido a en el denominador de la ecuación (1.1). Esa caracerísica permie la operación monomodo desde longiudes de onda en el ulraviolea (UV) hasa longiudes de onda en el infrarrojo (IR). Enre oras propiedades imporanes vale desacar que las PCF son más resisenes a la flexión y poseen propiedades únicas de dispersión que las fibras convencionales no poseen [].

26 6 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Uno de los méodos más comunes para fabricar las PCF es por la écnica Sack and draw (Ver Figura 1-5 y Figura 1-6) que consise en apilar una serie de barras sólidas y capilares formando la esrucura deseada; esa esrucura se inroduce en un ubo de sílice pura y se caliena hasa su consolidación para conformar lo que se conoce como preforma la cual inicialmene iene un diámero de aproximadamene 10 mm. Poseriormene la preforma se caliena a una emperaura cercana a los 000 C y se va adelgazando a pasos hasa obener el diámero requerido (usualmene 15 um). Finalmene se enrolla y se almacena. Ese procedimieno es basane versáil y facilia la fabricación de geomerías complejas con zonas sólidas zonas con micro-huecos y zonas sólidas dopadas (Ver Figura 1-7ab). Figura 1-5 foónico [0] Esquema del procedimieno de fabricación sack and draw de fibras de crisal

27 1. Inroducción 7 Figura 1-6 Proceso de fabricación Sack and draw en la Universidad de Bah [13]. Figura 1-7 a) Preforma de una PCF con agujeros de diferenes amaños. OFS (Opical Fiber Soluions) b) Esquema de una PCF Helicoidal fabricada por [1].

28 8 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Esa esis es una primera apuesa por una mayor inegración y funcionalidad en esa ecnología. Se propone un nuevo ipo de PCF con dos elecrodos inegrados en su esrucura para la cual adicionalmene se considera infilrar selecivamene algunos de los agujeros de esa fibra especial con LC que por ser un ipo especial de agregación ienen propiedades de las fases líquida y sólida de la maeria enre oras su índice de refracción depende de la emperaura y de campos elécricos exernos. Esas caracerísicas son las que se quieren explorar para desarrollar un disposiivo compleamene a fibra ópica. El disposiivo diseñado en esa esis no iene anecedenes a nivel mundial pues lo que se busca al infilrar alguno(s) de (los) agujero(s) de la PCF con LC es generar una fibra muli-núcleo de al manera que la luz puede pasar de un núcleo a oro o en érminos más precisos la energía de la señal ópica se acopla de una región del guía de onda a ora. El conrol del acoplamieno será efecivo mienras se conrole el comporamieno del LC con emperaura y campo elécrico. La generación del campo elécrico se hará por medio de los elecrodos de la fibra que esarán a una diferencia de poencial elécrico (volaje) sinonizable. Es claro enonces que se esá aposando a una mayor inegración en esa ecnología: los elecrodos esán incorporados en la fibra se incluye el problema de modos acoplados cuando se infilra selecivamene con LC la micro-esrucura de la fibra y se induce el conrol del disposiivo mediane efeco ermo/elecro-ópico. Para ello fue necesario desarrollar un esquema de análisis que acopla la muli-física de la elecroesáica ermo/elecro-ópica y la foónica de la propagación de la luz en guías de onda dielécrica. Por la nauraleza compleamene inhomogénea del problema enre manos se requiere solucionar la ecuación de onda vecorial para poder enender la física que hay derás de esa fibra ópica aciva. Es claro enonces que el abordaje no puede ser oro que el numérico en la que fue fundamenal como se mosrará más adelane rabajar con versiones avanzadas del méodo de elemenos finios [ 3]. La meodología desarrollada para alcanzar el objeivo general de esudiar la viabilidad de un disposiivo compleamene a fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos consisió en cuaro eapas básicas. La primera eapa consisió en esudiar la eoría de la propagación de la luz en las PCF y el modelo físico de los crisales líquidos para esablecer fundamenalmene cómo es el valor del índice de refracción de esos maeriales bajo los efecos ano del campo elécrico como érmicos. La

29 1. Inroducción 9 segunda eapa consisió en esudiar la eoría de modos acoplados y filros ópicos para comprender como se compora la luz denro de la fibra microesrucurada cuando se encuenre con más de un núcleo (Infilraciones de LC). La ercera eapa consisió en el desarrollo del esquema de análisis compleamene anisóropo con el méodo de los elemenos finios vecorial el cual permie acoplar el problema de la elecroesáica inducida por el volaje aplicado a los elecrodos inernos de la PCF la ermo/elecro-ópica de los LC infilrados en los micro-huecos y la foónica de la propagación de la luz en una fibra muli-núcleo. Por úlimo y como agregado para fuuras invesigaciones se esudiaron posibles mecanismos de infilración seleciva de los micro-huecos de las PCF como pare del esudio de viabilidad del disposiivo. En concordancia con esa meodología esa esis iene la siguiene esrucura. El capíulo es una revisión sobre la infilración e incorporación de diferenes maeriales en la micro-esrucura de las PCF; de esa manera conocer el esado de are en esa maeria alrededor del mundo permie sopesar el apore alcanzado en esa esis. Adicionalmene en ese capíulo se encuenra una inroducción a la eoría de los crisales líquidos y su comporamieno frene a cambios de emperaura y campos elécricos exernos. El capíulo 3 muesra el fundameno eórico que sirvió de base para resolver el problema de la mulifísica presenado en esa esis. Comienza con la eoría elecromagnéica de la luz y el méodo de elemenos finios enfocado a solucionar el problema de una guía de onda inhomogénea al como lo es la esrucura que se propone en esa esis. Luego de ello sigue la descripción de la propagación de la luz en guías de onda muli-núcleo por el méodo de los supermodos méodo por el cual se calcula la eficiencia de la poencia ópica ransmiida en el disposiivo. Finalmene se muesra el méodo de Euler-Lagrange que es el méodo elegido para resolver las ecuaciones fundamenales que rige la física de los LC bajo el efeco de un campo elécrico. El capíulo 4 muesra el diseño y desempeño de un disposiivo mulifuncional compleamene a fibra ópica resulado desacado de esa esis de maesría. Inicialmene se muesra la esrucura de la PCF diseñada y se señalan los parámeros más relevanes. Luego como una primera fase se muesra su funcionamieno como acoplador ópico direccional y como filro ópico sinonizables aprovechando la sensibilidad de los LC a la emperaura. Seguidamene se aplica el méodo deallado en el capíulo anerior para resolver la mulifísica cuando los elecrodos inernos de la PCF se conecan a una fuene de volaje con la PCF bajo condiciones ambienales normales (T~5 C); para ello se muesra en érminos prácicos la venaja de ener los elecrodos inernos

30 10 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos en la mariz de la PCF y se obienen los resulados de la eficiencia de la poencia ransmiida para explicar su funcionamieno como filro ópico y como acoplador ópico direccional sinonizables. Los resulados obenidos ponen de manifieso la inegración alcanzada y dejan en firme el concepo de las fibras ópicas mulifuncionales. Finalmene el capíulo 5 muesra las conclusiones y las perspecivas de esa esis de maesría.

31 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos.1 Infilraciones de diferenes maeriales en los agujeros de las PCF Como se dijo aneriormene las propiedades de propagación de la luz en las PCF se caracerizan por la geomería y disribución de los micro-huecos al igual que el amaño y la separación enre ellos. La variación de ales parámeros ofrece una gran variedad de aplicaciones de inerés ano para la indusria de las elecomunicaciones como para la ecnología de los sensores de fibra ópica [ ]. Sin embargo la presencia de esos agujeros en la esrucura de la fibra ofrece la oporunidad adicional de incorporar diferenes maeriales lo que aumena aún más la gama de aplicaciones ya que se pude converir una esrucura pasiva en una esrucura compleamene aciva; es decir se aprovechan los agujeros de la esrucura en funciones adicionales a las convencionales. Exisen diferenes méodos para la incorporación de maeriales en los agujeros de las PCF. En el caso de la infilración de líquidos se hace por dos méodos: el primero consise en ejercer presión del líquido hacia los agujeros con el cual usualmene se usa una cámara presurizada o de manera más prácica con una jeringa [30]; el oro méodo aprovecha la capilaridad un proceso de los fluidos que depende de su ensión superficial y le confiere la capacidad de subir o de bajar por un ubo capilar [31]. Vale decir que aunque muchos auores han logrado variadas caracerísicas infilrando compleamene la esrucura de las PCF [3 33] oros han opado por infilrar selecivamene algunos de los agujeros. A coninuación se describen los rabajos reporados más significaivos para esa esis.

32 1 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Un primer rabajo a desacar por su simplicidad es el reporado por Huang y colaboradores [30] que muesran un procedimieno para infilrar selecivamene el núcleo de la fibra que consise en un agujero de diámero mayor al de los agujeros de la esrucura (Ver Figura -1a). Esos auores inyecan con una jeringa un polímero (NOA73) en oda la esrucura de la fibra; debido a que el agujero cenral de la PCF usada iene un diámero mayor se infilra una longiud mayor de polímero que en los demás agujeros de la esrucura [30]. En esa condición el polímero se cura con radiación UV y se cliva la fibra en el puno mosrado en la Figura -1 1b. Se repie de nuevo la infilración esa vez sabiendo que sólo la esrucura del revesimieno será infilrada ya que el núcleo esá apado con el polímero curado. Cuando el revesimieno de la PCF es quien esá infilrada con el polímero curado se cliva la PCF en el puno mosrado en la Figura -1 b obeniendo una PCF en la que sólo su núcleo esá expueso al exerior (Figura -1 3b); en ese puno ya se puede infilrar por medio de una jeringa o por medio de capilaridad el núcleo de la PCF con cualquier líquido (Figura -1 4b). Figura -1 a) Esrucura e imágenes SEM de una PCF con núcleo hueco [30] b) Procedimieno de infilración seleciva. [30] La Figura - muesra la imagen obenida por microscopio de una PCF en la que se sigue el procedimieno mosrado [30]. En la figura se ve la PCF clivada por primera vez (Figura -1 1b). En ese rabajo se obuvo un modelo para calcular el iempo necesario para infilrar los agujeros de la esrucura [31].

33 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 13 Figura - PCF con el núcleo apado con NOA73 [31]. Por oro lado Shu-Ming Kuo y colaboradores [34] lograron infilrar el primer anillo de una PCF con crisal líquido al bloquear con SU-8 (polímero curable con radiación UV) odos los demás agujeros de la esrucura. El procedimieno se esquemaiza en la Inicialmene un susrao de vidrio es cubiero por una capa de SU-8 (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.a) la cual se expone a radiación UV excepo en los lugares donde no se quiere curar el SU-8. Para ello se fabrica una máscara con la misma forma del parón requerido (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.b). Los dealles que involucran la fabricación de la máscara son explicados en [35]. En un paso poserior oro susrao de vidrio se recubre con una película delgada de Ti que sirve como capa de absorción IR (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.c) quien se une al susrao donde esá el grabado de SU-8 hexagonal por medio de presión y emperaura. Al separar los dos susraos preparados el grabado sin curar queda unido a la película de Ti (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.d). La PCF es alineada y unida con el grabado de la película de Ti (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.e) y calenada con radiación IR (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.f). Debido a ese calenamieno localizado los agujeros que conenían SU-8 son bloqueados. Los agujeros que no fueron expuesos al SU-8 son infilrados por medio de capilaridad con crisales líquidos (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.g). Figura -3.

34 14 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Inicialmene un susrao de vidrio es cubiero por una capa de SU-8 (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.a) la cual se expone a radiación UV excepo en los lugares donde no se quiere curar el SU-8. Para ello se fabrica una máscara con la misma forma del parón requerido (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.b). Los dealles que involucran la fabricación de la máscara son explicados en [35]. En un paso poserior oro susrao de vidrio se recubre con una película delgada de Ti que sirve como capa de absorción IR (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.c) quien se une al susrao donde esá el grabado de SU-8 hexagonal por medio de presión y emperaura. Al separar los dos susraos preparados el grabado sin curar queda unido a la película de Ti (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.d). La PCF es alineada y unida con el grabado de la película de Ti (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.e) y calenada con radiación IR (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.f). Debido a ese calenamieno localizado los agujeros que conenían SU-8 son bloqueados. Los agujeros que no fueron expuesos al SU-8 son infilrados por medio de capilaridad con crisales líquidos (Ver Error! La auoreferencia al marcador no es válida.g). Figura -3 Proceso de infilración seleciva por medio de un grabado de SU-8. [34]

35 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 15 Figura -4 PCF con los agujeros del primer anillo sin bloquear. [34] Un méodo más oneroso pero perinene cuando se requiere bloquear pocos agujeros consise en cubrir odos los agujeros de la esrucura de la PCF con el polímero curable e iluminar uno a uno los agujeros en los que se desea curar el polímero por medio de un láser de Tianio-Zafira (Ver Figura -5). Ese méodo requiere que el láser enga un buen conrol de la posición [36]. Figura -5 a) Curado uno a uno de los agujeros con un haz enfocado de un láser en femosegundos b) Ejemplo de una esrucura con agujeros bloqueados. [36] Un procedimieno alerno usó Kuhlmey y colaboradores [37]. Por medio de un microscopio un posicionador XYZ y una puna de borosilicao adelgazada se fueron colocando goas de un polímero curable en los agujeros que se deseaba bloquear para finalmene infilrar los agujeros sin bloquear con el líquido de inerés por medio de capilaridad y/o presión (Ver Figura -6a). Con ese mecanismo esos invesigadores lograron infilrar diferenes configuraciones (Ver Figura -6b).

36 16 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura -6 a) Infilración seleciva por medio de una puna adelgazada de borosilicao un microscopio y un posicionador XYZ b) Ejemplos de configuraciones logradas por ese mecanismo de infilración [37]. Como en los casos aneriores oros rabajos [38-40] usan ambién radiación sobre polímero para bloquear los agujeros que no se quieren infilrar de líquido. Esa écnica es basane usada y ha funcionado bien cuando se cuena con microscopio y un posicionador XYZ de buena resolución submicromérica. Yiping Wang y colaboradores [41] enconraron que infilrar la miad de una PCF mejora las propiedades de flexión de la PCF. El méodo de la infilración consise en abrir una incisión de 30 m de ancho con una profundidad de 55 m por un lado de la fibra usando un sisema microposicionador un láser de femosegundos y un microscopio; la incisión cubre la miad de los agujeros (Ver Figura -7). Luego de colapsar los agujeros al final de la PCF con una empalmadora comercial de fibra ópica la PCF con la incisión fue sumergida en el líquido de inerés (Cargille Labs n = hermo-opic coefficien: / C) e infilrada por capilaridad.

37 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 17 Figura -7 a) Diagrama esquemáico para la infilración de media esrucura b) Imagen SEM de la PCF sin infilración c) Imagen SEM de la PCF con la infilración d) Imágenes omadas con microscopio del perfil de la PCF durane el proceso. [41] F. H. Benne y J. Farnell [4] lograron obener un crisal foónico unidimensional a parir de una PCF. La idea principal fue bloquear odos los agujeros de la esrucura excepo los de inerés es decir los agujeros del arreglo unidimensional (Ver Figura -8b). Para bloquear los agujeros se usó aceie de ricino y como aplicador se usó una fibra adelgazada conrolada por un microposicionador XYZ (Ver Figura -8a).

38 18 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura -8 Infilración seleciva para obener arreglos foónicos unidimensionales. a) Monaje experimenal b) Imágenes del proceso hasa obener finalmene el arreglo unidimensional [4]. En [43 44] sus auores usaron un méodo muy simple para infilrar el agujero cenral de una PCF con el uso exclusivo de una empalmadora comercial de fibra ópica. Con el conrol de las condiciones de operación del empalme corriene de operación duración de la descargar elécrica y el offse (la disancia enre la PCF y los elecrodos de la empalmadora) del empalme lograron bloquear odos los agujeros de la esrucura excepo la del agujero cenral. Ver Figura -9. Figura -9 Imágenes SEM de la PCF. a) Sin descarga b) Con una descarga de corriene de 14.5 ma durane 0.3 s a un offse de 50 um. [44] Oro méodo en el que se usa una empalmadora fue propuesa en [44] pero en ese caso el bloqueo de los agujeros se logra por medio del empalme de dos fibras una de las cuales iene un agujero en el cenro el cual sirve de canal para la infilración de líquidos. Noe que el revesimieno de la PCF

39 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 19 es bloqueada debido al empalme y sólo el agujero del cenro esá expuesa a la infilración (Ver Figura -10) Figura -10 PCF. [45] Infilración seleciva por medio del bloqueo de los agujeros del revesimieno de la Una écnica similar a la anerior pero que permie infilrar cualquier agujero de la esrucura fue logrado por Wang y colaboradores [46 47]. La écnica consise en res pasos básicos: 1) Empalmar una SMF con la PCF y clivar; ) perforar un agujero en la SMF con un láser de pulsos ulracoros (10 fs con una longiud de onda de 800 nm y una energía de 1 mj) y; 3) infilrar el agujero por medio de capilaridad así sólo el agujero de la PCF que coincida con el agujero perforado será infilrado (Ver Figura -11). Figura -11 del agujero 3) Infilración. Técnica de infilración seleciva por pasos. 1) Empalme y clivaje ) Perforación Ora de las écnicas de infilración seleciva de inerés es la que proponen Li y colaboradores [48] que bloquean los agujeros con microesferas posicionadas con una fibra adelgazada y un adhesivo (Ver Figura -1a); luego se deposia el polímero curable sobre la superficie de la PCF (Ver Figura -1b) consecuenemene se quian las microesferas (Ver Figura -1c) para finalmene exponer la superficie a radiación UV e infilrar la esrucura (Ver Figura -1d).

40 0 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura -1 Diagrama esquemáico para la infilración seleciva usando esferas. a) posicionamieno de las microesferas b) deposición de la capa de polímero y exposición a radiación UV c) Exracción de las microesferas d) infilración por capilaridad. [48] En resumen los méodos de infilración descrios pueden caalogarse en res grupos: 1) Los que buscan infilrar sólo un agujero que iene un diámero mayor a los demás de la esrucura de la PCF; ) los que buscan infilrar pare de la esrucura de la PCF y; 3) los que buscan infilrar sólo un agujero de la PCF sin imporar su amaño y/o posición. Para los inereses de esa esis el grupo 3 es quién más ineresa ya que se quieren desarrollar disposiivos funcionales apenas infilrando con LC algunos de los agujeros de la esrucura de una PCF por lo que será necesario para esudios fuuros ener en cuena la viabilidad de los diferenes méodos acuales. Además de la infilración de diferenes líquidos en algunos de los agujeros de la esrucura de las PCF exisen écnicas para la infilración de meales en los agujeros de algunas fibras no necesariamene PCF. Una de las caracerísicas más imporanes es que generalmene esos meales se infilran en agujeros considerablemene más grandes de los agujeros de la esrucura de una PCF llamados de macro-huecos ; mienras los agujeros de una PCF son del orden de 1 m las fibras con macro-huecos ienen agujeros con diámeros del orden de 0 m. Los dealles de esa ecnología de las fibras con elecrodos inernos se presenan en la siguiene sección.

41 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos Fibras de crisal foónico con elecrodos inernos Las primeras fibras con elecrodos inernos fueron fabricadas en 1986 [49] pocos meses después de que se reporara la primera fibra con macro-huecos desarrollada con la inención de usarla como sensor de presión de fluidos [50] (Ver Figura -13a). Ese primer prooipo con elecrodos inernos que fue logrado mediane el bombeo de una aleación líquida de Indio y Galio (Ver Figura -13b) fue pensado para aplicaciones en sensores y en elecomunicaciones por su capacidad de modular la fase del efeco Kerr [49]. Figura -13 a) Foografía de fibra con macro-huecos [50] b) Foografía de fibra con macrohuecos infilrados con maerial conducor [49]. En [51-54] los auores usaron fibras con elecrodos inernos para diferenes aplicaciones de inerés como la medición del efeco Pockels moduladores elecro-ópicos inerrupores sensores de campo elécrico enre oros. Sin embargo a diferencia del caso mencionado aneriormene los conducores no son infilrados en esado líquido sino que alambres conducores son inserados por los agujeros con lo cual no se garaniza que el elecrodo llene complemene el macro-hueco generando un espacio de aire enre la sílice de la fibra y el conducor como muesra la Figura -14c. Enre las desvenajas más visibles de ese méodo esá dado que los elecrodos deben ser mucho más delgados que los agujeros para lograr su inserción a lo largo de la fibra que el campo elécrico no es uniforme a lo largo de la fibra; además exise una pérdida grande de energía elécrica debida al salo de aire enre el conducor y la sílice. En algunas aplicaciones [54] ese salo de aire es

42 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos conveniene debido a que cuando el conducor esá muy cercano a la luz puede generar grandes pérdidas debido a la inerfaz sílice-conducor. En [55-58] los macro-huecos son infilrados con la aleación meálica en esado líquido por lo que se logra que el conducor llene compleamene los agujeros de la fibra como muesra la Figura -14b. El procedimieno para la infilración del conducor en los agujeros se esquemaiza en la Figura -14a. Inicialmene la aleación y un exremo de la fibra se encuenran denro de una celda presurizada mienras el oro exremo de la fibra esá por fuera de la celda a emperaura y presión normales (T~5 C y P~1 am). La celda se caliena en un horno hasa conseguir el puno de fundición de la aleación y se somee a presión. Finalmene debido a la diferencia de presión de los exremos de la fibra la aleación meálica fluye por los agujeros de la fibra hacia el exerior es decir hacia el exremo de menor presión. Figura -14 diferenes mecanismos. a) Proceso de infilración con aleaciones meálicas bc) elecrodos inserados por Con ese mismo mecanismo se ha logrado infilrar con aleaciones de Bi-Sn y Au-Sn los macrohuecos de PCF [59]. La Figura -15 muesra un ejemplo de PCF con elecrodos inernos que el grupo de invesigación viene rabajando para el desarrollo de disposiivos elecro-ópicos [60 61].

43 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 3 Figura -15 PCF con elecrodos inernos [59].. Crisales Líquidos (LC) Los crisales líquidos son maeriales con propiedades físicas muy ineresanes. Poseen alos coeficienes ermo-ópicos elecro-ópicos y opo-ópicos [6 63]. Enre las caracerísicas más imporanes esán que pueden fluir como un líquido y al mismo iempo ener la birrefringencia propia de una esrucura crisalina. Los LC se uilizan ampliamene en aplicaciones comerciales como displays moniores eléfonos móviles elevisores de ala definición; y en oras aplicaciones menos comerciales como beam seerers lenes de foco sinonizable polarizadores filros sinonizable para el área de elecomunicaciones y como guías de onda no lineales para soliones [64-66]. Las formas más usuales de las moléculas de LC son discos y cilindros comúnmene llamados discóicos y calamíicos respecivamene. Las Figura -16ace muesran la esrucura molecular modelo esrucural y modelo físico respecivamene de un LC calamíico usual (5CB). Análogamene las Figura -16bdf muesran la esrucura y modelos de un LC discóico. Por conveniencia debido a su esrucura en esa esis se rabaja con LC calamíicos con lo cual la elecro-ópica eso es la aleración del índice de refracción con un campo elécrico esá represenada por la orienación del eje molecular del LC.

44 4 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura -16 Forma de los LC. Calamíicos a) esrucura química c) modelo esrucural e) modelo físico. Discóicos b) esrucura química c) modelo esrucural f) modelo físico. Los LC se pueden enconrar en diferenes fases las cuales van desde un maerial sólido crisalino a un líquido compleamene isorópico. En las fases inermedias se encuenra que sus moléculas no esán compleamene alineadas unas con oras; sin embargo en promedio esán alineadas en una dirección definida al dirección se le conoce como vecor direcor n. Las moléculas de LC calamíicas miden algunos nanómeros y debido a su esrucura química y a su posicionamieno espacial son menos rígidas que las discóicas. Esa flexibilidad permie la presencia de diversas fases que se aprovechan en las disinas aplicaciones con LC. La Figura -17 muesra la simulación compuacional de res fases caracerísicas de los LC [64]. En la fase isorópica las moléculas esán orienadas de manera aleaoria al y como sucede en un líquido (Ver Figura -17a); en la fase nemáica las moléculas ienen en promedio una alineación en una dirección la cual es la de mayor inerés en las aplicaciones en las que se quiere aprovechar la capacidad de los crisales líquidos de fluír pero además de poseer birrefringencia (Ver Figura

45 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 5-17b); aumenando el grado del orden de los LC se obienen las fases esmécicas en las cuales las moléculas se disribuyen en planos donde el orden local es nemáico (Figura -17c). Figura -17 Ordenamieno de las moléculas de LC según su fase a) fase isorópica b) fase nemáica c) fase esmécica. Tomado de [67]..1 Propiedades ópicas y birrefringencia Es bien conocido que las ondas ópicas involucran campos elécricos y magnéicos y en principio podrían orienar las moléculas de crisal líquido como la haría un campo elécrico exerno. Sin embargo la inensidad de los campos ópicos es mucho más bajo y su frecuencia mucho más ala que la de los campos exernos por lo que su efeco puede despreciarse [68] como se mosrará más adelane. Las moléculas de LC poseen anisoropía dielécrica II siendo permiividades elécricas a lo largo y perpendicular al vecor direcor respecivamene. Como consecuencia poseen anisoropía ópica o birrefringencia n n II n donde n II II y y n las son los índices de refracción para luz polarizada perpendicular y paralela al vecor direcor respecivamene. La onda ordinaria esará sujea al índice de refracción ordinario n o o lo que es igual al índice perpendicular n y la velocidad de la propagación será c n independiene de α (ver Figura -18). Por oro lado la onda exraordinaria esará sujea al índice n e (Índice exraordinario para la onda exraordinaria) que variará enre n y n II dependiene de α.

46 6 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura -18 Ondas incidenes ordinaria y exraordinaria en una molécula de LC. [68] Se ha demosrado experimenalmene que la dispersión de los crisales líquidos se puede expresar por medio de la ecuación exendida de Cauchy [69]: n n e o T T A e A o T T T Be T Bo T Ce 4 T Co 4 (.1) (.) donde A e B e C e A o B o y C o fabricane y/o laboraorios de invesigación. son los coeficienes de Cauchy usualmene reporados por el.. Efeco de la emperaura en los LC El efeco érmico es imporane en los disposiivos basados en LC. Por ejemplo el índice de refracción de esa moléculas iene una sensibilidad a la emperaura significaivamene mayor en comparación a la de los vidrios con que se fabrican las fibras ópicas lo cual ha sido exploado para el diseño de disposiivos sinonizables como se mosrará más adelane. A alas emperauras las moléculas de LC ienen un comporamieno isorópico. A medida que decrece la emperaura el maerial pasa a la fase nemáica en la cual las moléculas ienen orden orienacional pero no orden posicional. Disminuyendo aún más la emperaura pueden enconrarse las fases esmécicas que ienen orden orienacional y se comienza a disinguir

47 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 7 además un orden posicional (formación de capas); finalmene a bajas emperauras las moléculas de LC forman una fase crisalina (Ver Figura -19). Figura -19 [] Diferenes fases en los crisales líquidos al incremenar la emperaura. Tomado de Por oro lado el índice de refracción promedio esá dado por []: n n e n 3 o. (.3) Así n o y n e se pueden expresar como: n e n n 3 (.4) n o n 1 n 3. (.5) La dependencia con la emperaura de los índices de refracción promedio ordinario y exraordinario pueden escribirse de la siguiene forma []:

48 8 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos n A BT (.6) ( n) no ( T) A BT 3 ( n) o no ( T) A BT 3 o (1 (1 T T T T c c ) ) (.7) (.8) donde A B y son consanes del maerial reporadas por el fabricane y/o laboraorios de invesigación n o es la birrefringencia en el esado crisalino (T= 0K) y T c es la emperaura críica (emperaura a la cual las moléculas de LC pasan de la fase nemáica a la fase isorópica). A manera de ejemplo las Tablas -1 y - muesran los índices de refracción ordinarios y exraordinarios reporados en la referencia [70] a diferenes longiudes de onda y a diferenes emperauras del crisal líquido MLC-6884 fabricado por Merck. Tabla -1 Índices de refracción ordinarios medidos a diferenes emperauras del crisal líquido MLC-6884 de Merck. [70] T (ºC) 486 nm 546 nm 589 nm 633 nm 656 nm 15 * * * * * * * * * * * * * *

49 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 9 Tabla - Índices de refracción exraordinarios medidos a diferenes emperauras del crisal líquido MLC-6884 de Merck. [70] T (ºC) 486 nm 546 nm 589 nm 633 nm 656 nm Propiedades elásicas Las moléculas de LC exhiben un comporamieno elásico lo que indica que exise una fuerza resauradora que se opone a las deformaciones al y como sucede en un crisal. En ese caso el vecor direcor n juega un papel análogo a las posiciones aómicas en el crisal: en el esado perurbado puede adopar diversas formas dependiendo de una combinación de facores pero sea cual sea dicha forma se puede represenar como una combinación de res modos de disorsión [71]: exensión (splay) orsión (wis) y flexión (bend) [6]. La Figura -0 muesra la represenación de cada uno de esos modos de disorsión.

50 30 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura -0 [71]. Modos de disorsión en crisales líquidos: Exensión orsión y flexión. Tomado de Las consanes de exensión orsión y flexión esán presenes en la expresión para la densidad de energía libre de los LC o ambién conocida como la ecuación de Oseen-Frank [6]: K F K K ( n) ( n n) ( n n) (.9) donde K 11 K y K 33 son las consanes elásicas de exensión orsión y flexión respecivamene. Esa canidad es muy imporane debido a que la alineación de los crisales líquidos esá deerminada por su minimización...4 Propiedades elécricas y efeco elecroópico Las moléculas de crisal líquido responden a campos elécricos debido a que la consane dielécrica a lo largo del eje molecular II y a lo largo del eje perpendicular son diferenes. Si es posiiva el dipolo esá orienado a lo largo de la molécula como se muesra en la Figura -1a. Si es negaivo el momeno dipolar esá orienado en dirección perpendicular a la molécula como se muesra en la Figura -1b.

51 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 31 Figura -1 Alineación de las moléculas de LC a) con Componenes ransversales del campo elécrico exerno posiivo b) con negaivo c) Como muesra la Figura -1c el campo elécrico se puede descomponer en sus componenes paralelo y perpendicular al vecor direcor n. Así el vecor de desplazamieno D es igual a: D E II II E De esa misma Figura se puede observar que D E E II II E ( n E) n E n( n E).. por lo que: (.10) (.11) Cuando se aplica un campo elécrico exerno ese conribuirá a la densidad de energía libre con el siguiene érmino: F E E D de 0 (.1) Siendo α el ángulo enre E 1 1 F E E ( n E) y n la conribución se expresa como:. (.13)

52 3 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos F E E 1 E 1 cos ( ). (.14) La energía elécrica más baja se logra minimizando la anerior expresión así: Si > 0 el mínimo de energía se logra cuando dirección del campo elécrico exerno). Si < 0 el mínimo de energía se logra cuando 0 (el vecor direcor se alinea en la dirección perpendicular a la del campo elécrico exerno). (el vecor direcor se alinea en la Además de la dependencia de los crisales líquidos con la inensidad de campo elécrico su anisoropía dielécrica es fueremene dependiene de la frecuencia del campo elécrico. A bajas frecuencias la anisoropía es casi consane pero para frecuencias alas decrece rápidamene. Es por eso que los campos elecromagnéicos ópicos producen un efeco despreciable comparado con el causado por campos exernos DC ya que además de ser menor (~0 veces menor) poseen alas frecuencias. La Figura -a muesra la dependencia de phenylbenzoaes [7]. La frecuencia que es la frecuencia a la cual la anisoropía fo II y con la frecuencia de las moléculas de es la frecuencia de ransición o crossover frequency cambia de signo. Algunos crisales líquidos poseen la propiedad de no necesiar frecuencias muy alas para la inversión de signo de la anisoropía (frecuencias menores a 0 khz) a esos crisales líquidos se les conoce como dual-frequency liquid crisals [73]. La Figura -b muesra la dependencia de II MDA de Merck del ipo dual-frequency [70]. y con la frecuencia del crisal líquido

53 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 33 Figura - Dependencia de la anisoropía con la frecuencia. a) phenylbenzoaes [7] b) MDA de Merck del ipo dual-frequency [70] Por oro lado la orienación de las moléculas de crisal líquido no es perfeca ya que exisen fuerzas recuperadoras que inenan manener las moléculas en ciera dirección esablecida por las consanes elásicas. Cuando aparece el campo elécrico exerno aparece un orque inenando mover el vecor direcor pero las fuerzas recuperadoras elásicas manendrán los direcores en su posición. Sin embargo para ciero campo elécrico umbral el orque será mayor que la fuerza recuperadora y los vecores direcores comenzarán a alinearse según la dirección del campo. Esa condición umbral es conocida como ransiciones de Frederick []..3 Liquid Crysal Phoonic Crysal Fiber (LCPCF) - Esado del are y anecedenes Como ya se mencionó la mayoría de los disposiivos basados en LC consisen en celdas planares (Figura -3a) úiles en una gran variedad de aplicaciones como beam seering [66] filros [74] displays e inerrupores [73 75]. En los úlimos años ha crecido el inerés por rabajar esrucuras foónicas no planares como crisales foónicos [76] diferenes guías de onda [77 78] y nanoesrucuras plasmónicas [75 79] (Figura -3 b-d respecivamene).

54 34 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura -3 Diferenes esrucuras de disposiivos foónicos basados con LC. a) planares b) Crisales foónicos c) guías de onda d) nanoesrucuras plasmónicas. Enre las aplicaciones más ineresanes de esas esrucuras no planares esán los inerrupores [ ] variedad de sensores [8] microlenes [83] moduladores de esrucuras complejas para aplicaciones en ópica no lineal [84] enruadores [85] microresonadores [86 87] beam searing [88] plasmones [89] enre oros. Las siglas LCPCF son usadas por algunos auores para referirse a Liquid Core Phoonic Crysal Fibersˮ algunos oros la usan para referirse a Liquid Crysal Phoonic Crysal Fibersˮ. En esa esis se usan las siglas LCPCF para referirse al segundo caso es decir a la ecnología de fibras ópicas que combina las PCF con LC. El primer rabajo reporado en la lieraura en la cual se combina las ecnologías de las PCF con LC daa de 003 [3] en el cual los invesigadores llenan compleamene la esrucura de una PCF de núcleo sólido logrando converir la PCF de núcleo sólido en una PCF ipo PBG lo que indica que el núcleo iene un índice de refracción menor al promedio del índice de refracción del

55 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 35 revesimieno (Ver Figura -4a). En el 004 y 005 se coninúa esudiando el efeco PBG por medio de la sinonización de la emperaura [90-9] y se comienza infilrar sólo uno de los agujeros de la esrucura [30]. La Figura -4b muesra una PCF en la cual se ha infilrado de LC los agujeros de la esrucura que poseen un diámero mayor. Figura -4 LC. a) LCPCF funcionando como una PBG b) PCF con infilraciones selecivas de Enre el año 006 y 008 se avanza con los disposiivos basados en ecnología LCPCF en aplicaciones sinonizables con emperaura [93 94] y se comienza a proponer disposiivos sinonizables con campo elécrico por medio de placas exernas a la PCF [95]. En el 008 Saioh y colaboradores enienden la imporancia de ineracuar con los agujeros de la microesrucura de manera más individual y seleciva y proponen un filro ópico basado en el efeco de resonancia [96] ver Figura -5. El filro propueso consa de una guía de onda de res núcleos en el cual el núcleo del cenro es infilrado con un LC.

56 36 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura -5 Filro ópico propueso por Saioh y colaboradores [96]. Desde el año 009 hasa el momeno los disposiivos propuesos en la lieraura se fundamenan en la sinonización de la emperaura o del campo elécrico por medio de placas exernas para diferenes aplicaciones como acopladores [97 98] y conroladores o manenedores de la polarización [99-10] enre oros. A pesar de exisir variados mecanismos para infilrar selecivamene agujeros de la PCF con LC (Ver Capíulo ) esa ecnología aún esá en su eapa primigenia. En esa esis se quiere precisamene exploar esa área y usar las infilraciones selecivas de LC en PCF con elecrodos inernos (Ver Figura -15) y no por fuera a la fibra como hasa el momeno se ha reporado en la lieraura y que hace que el disposiivo sea inegrado compleamene a fibra ópica faciliando su inegración en redes de comunicaciones acuales mediane un simple empalme por fusión con una fibra esándar. La Tabla -3 muesra de manera resumida los repores de inerés publicados a la fecha y su aplicación fundamenal en la ecnología de las LCPCF.

57 . Esado del are de las fibras de Crisal Foónico con infilraciones y fundamenos de los crisales líquidos 37 Tabla -3 Referencias del esado del are y anecedenes de los disposiivos basados en la ecnología LCPCF. Sinonización Aplicación Referencias Año Redes de Bragg [94] 008 Acopladores [97 98] 009 Birrefringencia [103] 007 Temperaura Sensores [93] 007 Filros [95 96] Polarización [95] 007 Efeco PBG [3 90-9] Acopladores [104] 011 [ Sensores Campo elécrico 106] Filros [95] 007 Polarización [95 100] Campo ópico Transformación de fase [107] 008 Plasmones [108] 01 Polarización [ ] Sin sinonización Compensadores de 01 [109] dispersión Disminución de pérdidas [110] 010 Birrefringencia [111 11]

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59 3. Fundameno Teórico Como previamene se discuió para alcanzar los objeivos de esa esis se debe abordar un problema que involucra por un lado la eoría elecromagnéica de la propagación de la luz en guías de onda anisorópicas y por el oro lado acoplar la elecrosáica inducida por el volaje aplicado a los elecrodos inernos de la PCF y la física de los crisales líquidos. Es imporane esudiar cada uno de esos ópicos por separado para luego enender cómo se acoplan enre ellos y enender la écnica para resolver la mulifísica. Primero se comenzará con un resumen sobre la eoría elecromagnéica de la luz la cual se empaa con la manera de resolver la ecuación de onda por medio del méodo de elemenos finios écnica que se usó en esa esis para resolver la física de la propagación de la luz en guías de onda anisorópicas. Luego se explica la eoría de supermodos eoría que se usó como pilar para esudiar las aplicaciones del disposiivo diseñado. Finalmene se reoma la ecuación de energía libre de Oseen-Frank explicada en el capíulo anerior y se muesra la écnica usada para su solución en esa esis. 3.1 Teoría elecromagnéica de la luz Las ecuaciones de Maxwell se resumen en las siguienes cuaro expresiones:

60 40 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos B E D H J B 0 D (3.1) (3.) (3.3) (3.4) donde J es la densidad de corriene y esá relacionada con la densidad carga líbre siguiene manera: de la J Los campos elécrico E y magnéico H esán relacionados con la densidad de flujo elécrico D y la densidad de flujo magnéico B mediane las siguienes relaciones: donde definen como: D E B H. (3.5) (3.6) (3.7) y son la permiividad y la permeabilidad del medio respecivamene las cuales se 0 r 0 r (3.8) (3.9) 1 7 donde F / m es la permiividad en el vacío y 4 10 H / m es la 0 permeabilidad en el vacío. Para maeriales dielécricos la permeabilidad relaiva es aproximadamene uno ( r 1) y la permiividad relaiva r es un ensor propio de cada maerial. Asumiendo que los campos elecromagnéicos oscilan con una frecuencia w se pueden represenar como las siguienes expresiones fasoriales: 0

61 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 41 E( r ) Re E( r)exp( jw ) H( r ) Re H( r)exp( jw ) D( r ) ReD ( r)exp( jw ) B( r ) Re B( r)exp( jw ). (3.10) (3.11) (3.1) (3.13) Con esa represenación las ecuaciones de Maxwell (3.1)-(3.4) se pueden represenar de la siguiene manera: E jwb jwh H jwd jwe (3.14) (3.15) H 0 (3.16) ( r E) 0 (3.17) donde se asume que r 1 y 0. Aplicando el roacional a la Ecuación (3.14) se obiene E jw H. (3.18) Usando la relación vecorial A A A (3.19) se puede reescribir el lado izquierdo de la Ecuación (3.18) como. E E (3.0) Por oro lado la Ecuación (3.17) se puede reescribir como

62 4 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos ( E) E E 0 r r r. (3.1) Y despejando el érmino E de la Ecuación (3.1) se obiene r E E r. (3.) De esa manera el lado izquierdo de la Ecuación (3.18) se conviere en: r E r Tomando la Ecuación (3.15) se puede obener el lado derecho de la Ecuación (3.18) k E 0 r E. (3.3) (3.4) donde k 0 es el número de onda en el vacío. Finalmene en un medio con permiividad relaiva r la ecuación de onda vecorial inhomogénea para el campo elécrico es: r E E k r E 0 (3.5) donde k k n 0 k 0 r. Nóese que cuando el medio iene una permiividad relaiva r homogénea enonces la ecuación de onda para el campo elécrico es la ecuación de Helmonz: E k E 0. (3.6) Un procedimieno muy similar se debe seguir para obener la ecuación vecorial de onda inhomogénea para el campo magnéico [113] obeniéndose la siguiene ecuación:

63 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 43 r H r H k H 0 Igual que en el caso elécrico cuando el maerial iene una permiividad relaiva. r (3.7) consane enonces la ecuación vecorial de onda se reduce a la ecuación de Helmonz escalar: H k H 0. (3.8) Si la guía de onda es invariane en la dirección z como es usual en las fibras ópicas enonces la derivada con respeco a la coordenada z es una consane al que: z j (3.9) donde es la consane de propagación en el eje z. La razón enre la consane de propagación en el medio y el número de onda en el vacío se conoce como índice de refracción efecivo: n eff k 0 (3.30) 3. Méodo de Elemenos Finios FEM El méodo de elemenos finios soluciona problemas con geomerías complicadas susiuyendo el problema diferencial en un problema algebraico aproximadamene equivalene. Su caracerísica principal es que divide o discreiza el problema en elemenos y raa cada uno por separado; la solución del problema de cada elemeno se da en érminos de los valores en las esquinas de los elemenos o ambién llamados nodos. Por facilidad para la descripción de ese méodo se usarán elemenos riangulares de primer orden pero en el sofware usado para resolver el problema de esa esis se usan elemenos de segundo orden en aención al iempo de cómpuo por el problema de la mulifísica a enfrenar. Vale decir que exisen elemenos poligonales de mayor orden e inclusive curvilíneos (Figura 3-1) reporados en la lieraura [114] pero su programación se hace más compleja.

64 44 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 3-1 Elemeno curvilíneo usado en [114]. El méodo de elemenos finios ha sido de gran uilidad en diferenes disciplinas ingenieriles. Hoy en día juno con los avances compuacionales alcanzados es un méodo aracivo en el área del elecromagneismo y la mulifísica. Por considerarlo de inerés para el lecor en ese capíulo se describe el méodo de elemenos finios aplicado a problemas de elecrodinámica de dos dimensiones basado en el documeno Finie Elemen Mehod for Eingevalue Problems in Elecromagneics de C. J Reddy [115]. Para comenzar se obiene la ecuación de onda vecorial en su forma roacional. Primero se oma la ecuación (3.18) y se reemplaza el lado derecho por (3.15): Teniendo en cuena que k 0 0 E E 0. la Ecuación (3.31) se puede escribir como 1 ( E) k r 0 r E 0. (3.31) (3.3) Guías de Onda Homogéneas Formulación escalar La geomería del problema se muesra en la Figura 3- en la que se muesra una región delimiada por una fronera d.

65 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 45 Figura 3- Geomería del problema [115]. En el caso homogéneo la ecuación de onda es la ecuación de Helmonz escalar y para un campo escalar saisface k 0 0. (3.33) Si se muliplica esa función de Helmonz a ambos lados por una función prueba odo el espacio se obiene: T s y se inegra en T k T ds 0 s 0 s. (3.34) El primer érmino de la Ecuación (3.34) puede reemplazarse según (3.35) y usando las idenidades (3.36) y (3.37) se logra finalmene expresar (3.33) en su forma débil (3.38). Aquí n normal de T s ds ds T s T T T s ds s d s ndl Ts ds k Tsds es el vecor normal a lo largo de la fronera a lo largo de la fronera d. s d T dl n d y la expresión (3.35) (3.36). n (3.37) (3.38) es la derivada El úlimo érmino de la Ecuación (3.38) se va a cero cuando se analizan las condiciones de Newmann o Dirichle. La Ecuación (3.38) resula en:

66 46 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Ts ds k0 Tsds. (3.39) Obenida la forma débil del problema a resolver sigue la discreización. Para ello la región del problema es dividida en elemenos riangulares de primer orden (Ver Figura 3-3) los elemenos de segundo orden ienen 6 nodos los 3 en vérices del elemenos riangular y 3 más en los puno medio de las líneas que une los vérices. En cada elemeno riangular se propone una solución del ipo Figura 3-3 Elemeno riangular [115]. a bx cy. (3.40) Con ello la solución en los vérices 1 y 3 se puede ser expresar como: 1 a bx cy a bx cy 3 a bx3 cy3 1 1 (3.41) (3.4) (3.43) Es decir la función se puede escribir maricialmene de la siguiene forma: donde a i b i y ci son respecivamene: i 3 i1 i i x y x y a b x c y 1 A i i i i 13 (3.44). (3.45)

67 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 47 i j k son cíclicos y la mariz A es: a x y i i j k b y i j c x k x k y k y x j. j (3.46) (3.47) (3.48) A x x x 1 3 y y y 1 3. (3.49) Por oro lado la función de prueba T s usualmene se elige de manera que T x s j y. (3.50) La represenación de la ecuación (3.44) queda por lo ano para cada uno de los elemenos riangulares en: donde como: donde i j dxdy k i i1 i1 i jdxdy represena el elemeno riangular. Maricialmene esa ecuación se puede represenar S k T el S el dxdy A i j T el i jdxdy el A 1 i 1 j (3.51) (3.5) (3.53) (3.54). Como lo recuerda Reddy el úlimo érmino de la ecuación (3.54) es la mariz T hallada por S el Silveser [116]. Las marices y T el el son evaluadas para cada elemeno y luego reunidas sobre oda la región dependiendo del número de modos y así se obiene la ecuación global: Ese resulado esá compueso por marices S k T n n donde n. (3.55) es el número de nodos.

68 48 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Los modos TE ( E z 0 ) y TM ( H z 0 esá resuela para cada nodo es decir se iene resuelo (3.44): ) se pueden calcular luego de que la solución del poencial 3 i1 x y Esos poenciales escalares pueden ser diferenciados con respeco a i i. E x y E y (3.56) obeniéndose las siguienes expresiones: 3 1 x A 1 y A i1 3 i1 i b i i c i. (3.57) (3.58) Para los modos TE las componenes del campo elécrico ransversal E x y E y son obenidos de E x x E y y. (3.59) (3.60) Una vez conocido el poencial escalar los campos elécricos para el caso de los modos TM son obenidos de donde E E x y Z Z TM o TM o x y. es la impedancia de onda caracerísica para el modo TM. (3.61) (3.6) Guias de onda inhomogeneas formulación vecorial El méodo aneriormene descrio a parir de la écnica de Galerkin es válido para cualquier guía de onda hecho de un maerial compleamene homogéneo. La precisión del méodo depende del número de elemenos escogidos para algún caso específico. Para problemas de guías de onda inhomogéneos la aproximación del poencial escalar ya no es válido. Desaforunadamene el méodo de elemenos finios basados en nodos cuando es aplicado

69 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 49 a una ecuación de onda vecorial da como resulado soluciones espurias o físicamene incorrecas aribuidos principalmene a la fala de la aplicación de la condición de divergencia [115]. Aforunadamene la écnica de asignarle grados de liberad a los bordes de los elemenos y no a los nodos ha resuelo ese problema. Para mosrar la complejidad del problema en esa sección se describe la formulación del méodo de elemenos finios usando elemenos de borde. El procedimieno que se sigue esá basada en la formulación de Lee Sun y Cendes [117]. En lugar de resolver el problema de la dispersión de inmediao primero se muesra la solución para el problema de guía de onda homogéneo usando las dos componenes de los campos vecoriales ransversales luego se muesra cómo resolver el problema de guía de onda generalizado usando las res componenes del campo vecorial para resolver la consane de propagación. Solución del problema de la guía de onda homogénea con dos componenes vecoriales ransversales del campo Como en el caso anerior de guías de onda homogéneas los modos de propagación se separan en modos elécricos ransversales TE y modos magnéicos ransversales TM; cada uno de ellos se resuelve separadamene. Para el caso TE E z 0 el campo elécrico vecorial ransversal E saisface la ecuación de onda vecorial (3.3): 1 ( r E ) k 0 r E 0. (3.63) Para el caso TM H z 0 el campo magnéico vecorial ransversal H saisface ambién la misma ecuación vecorial de onda: 1 ( H r ) k 0 r H 0. (3.64) Se ilusrará el procedimieno para el caso de los modos TE para los modos TM el procedimieno es exacamene igual excepo las condiciones de fronera que se aplican.

70 50 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Lo primero es reomar la ecuación (3.3). Se incluye en cada érmino la función prueba por medio del produco puno y se inegra sobre oda la región. ds E T k E T r r 0 ) 1 (. (3.65) A parir de las idenidades vecoriales (3.66) y (3.67) y del eorema de divergencia (3.68) es posible reescribir la ecuación anerior como (3.69): A T A T A T (3.66) A n T n A T (3.67) d dl n A T A ds T (3.68) d r r r dl E n T E ds T k ds E T (3.69) Debido a las condiciones de fronera el úlimo érmino se va a cero [115] por lo ano la ecuación (3.3) queda de la forma: ds E T k ds E T r r 0 1. (3.70) Los elemenos finios uilizados en la sección anerior son escalares y los valores de los campos escalares en los nodos son inicialmene desconocidos. El méodo de elemenos finios basados en nodos no es adecuado para represenar campos vecoriales en elecrodinámica. La más simple aproximación para solucionar ese ipo de problemas vecoriales oma como base los elemenos el borde no los nodos.

71 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 51 Figura 3-4 Elemenos de borde [115]. Con ese raamieno los elemenos de borde imponen la coninuidad de sólo las componenes angenciales del campo elécrico y el magnéico. Además la condición de fronera de Dirichle se puede imponer fácilmene a lo largo del borde de los elemenos y las soluciones espurias desaparecen. Para el elemeno de borde mosrado en la Figura 3-4 el campo elécrico ransversal se puede expresar como la superposición de elemenos de borde. Los elemenos de borde permien una componene angencial consane de la función base a lo largo de un borde riangular res funciones base sobre cada celda riangular provee la expansión complea: donde: W E m L m 3 e m m1 W m i j j i. (3.71) (3.7) es la función de forma de primer orden asociada a los nodos 1 y 3 definidos por la ecuación (3.45); L m es la longiud del borde conecando los nodos y que es explíciamene la función base que represena el borde 1 y 3 con coeficienes e 1 e y e 3 escrias como:

72 5 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos W W W 1 L L L (3.73) (3.74) (3.75) Los res parámeros desconocidos son. Se puede mosrar [115] que: m E e m (en el borde m) (3.76) donde m es un vecor uniario del borde m a lo largo de la dirección del borde; por ejemplo para los nodos 1 y conecando el borde 1: 1 x x x y y 1 L 1 1 y. (3.77) e m W E conrola el campo angencial en el borde. m 0 0 se verifica y así se demuesra que se saisface la ecuación de la divergencia debido a la ecuación (3.71) y por lo ano la solución es libre de soluciones espurias. Susiuyendo la ecuación (3.71) en la ecuación (3.70) se obiene que ds Wn Wn emds k0 r Wm W r m 1 m 1 n e m n 13 (3.78) donde indica la inegración sobre odo el elemeno riangular. Por medio del inercambio enre la inegral y la sumaoria la anerior ecuación se puede escribir como: donde: S e k T e el 0 el (3.79)

73 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 53 S W W ds el 1 r 3 m 1 W ds T r m n el W n. n (3.80) (3.81) Esas marices de elemenos pueden ser ensambladas sobre odos los riángulos en la sección ransversal de la guía de onda para obener la ecuación global de valores propios (3.55): S k T 0. Solución del problema de la guía de onda inhomogénea con las res componenes vecoriales del campo para la deerminación de la consane de propagación cuando el número de onda se conoce El mismo procedimieno es aplicado para procedimieno sólo para E. E y para H. En esa sección se mosrará el Se pare de la ecuación vecorial (3.3) de guía de onda: donde E 1 ( E) k r 0 r E E x E y E zexp jz x y z 0. (3.8) (3.83) Haciendo la operación roacional y separando las componenes longiudinales de las ransversales la ecuación (3.3) se puede dividir en dos como: 1 1 ( E ) r 1 r r j Ez E k0 re z E z je k E 0 r (3.84) (3.85) donde

74 54 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos y E x E E y x. (3.86) Se separan de k 0 y para obener marices con valores reales se inroduce el siguiene ajuse: E E (3.87) j E E z z. (3.88) Así las ecuaciones (3.84) y (3.85) se pueden escribir como: r z r r E k E E E 0 1 ) 1 ( (3.89) z r z r E k E E 0 1. (3.90) Para aplicar el méodo de Galerkin [115] se debe muliplicar la ecuación (3.89) con la función prueba y la ecuación (3.90) con la función prueba e inegrar ambas ecuaciones sobre una región Γ. Así: ds E T k ds E T E T E T r z r r 0 ) 1 ( (3.91) ds E T k E E T z z r z z r 0 1. (3.9) Con las siguienes idenidades vecoriales: B A B A B A (3.93) d d dl B n A ndl B A B ds A (3.94) A f f A A f (3.95) d dl n A Ads (3.96) las ecuaciones (3.91) y (3.9) pueden ser escrias en su forma débil así:

75 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 55 dl E n T E ds T k ds E T E T E T d r r z r 1 ) ( ) ( 1 0 (3.97) d z z z r z z r z z z r dl E n T n E T ds E T k ds E T E T (3.98) El úlimo érmino de ambas ecuaciones puede ser despreciado debido a que las funciones pruebas son cero en (condiciones de fronera). La ecuación (3.98) es muliplicada por por moivos de simería y las ecuaciones (3.97) y (3.98) quedan respecivamene: ds E T k ds E T E T E T r z r 0 ) ( ) ( 1 (3.99) ds E T k ds E T E T z z r z z z r 0. (3.100) Las ecuaciones son re-arregladas para obener cuando el número de onda es conocido. Las ecuaciones (3.99) y (3.100) se pueden reescribir como: ds E T ds E T E ds T k E T z r r r 0 ) ( ) ( 1 (3.101) ds E T k E ds T ds E T z z r z r z z r 0. (3.10) En ese caso para la discreización la ecuación vecorial de Helmonz es dividida en dos pares la primera basada en elemenos de borde para la aproximación de los campos ransversales y la segunda basada en elemenos nodales de primero orden para la aproximación de la componene z de los campos. De la ecuación (3.71):

76 56 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos E 3 e m m1 W m donde m indica el borde m-ésimo del riángulo y W m es el elemeno de borde para m. La forma de la función prueba La componene z T es elegida similar a la función base mosrada aneriormene es decir: T W m del campo elécrico se puede escribir como: E 3 z e zi i1 donde i indica el nodo del elemeno riangular y caso la función de prueba T z. es ambién elegida de forma que i (3.103) (3.104) se obiene a parir de la ecuación (3.45). En ese Tz j. Susiuyendo (3.71) y (3.104) en las ecuaciones (3.101) y (3.10) e inegrando sobre odo el riángulo se obiene: 1 r ( W 1 r 3 m1 m ) ( W ) e ds k 3 0 m1 r 3 1 W e ds W W e ds m n j m zj r m1 W m m W n n e m m ds (3.105) r 3 i1 3 i1 3 e ds W k 0 r i i j e j zi zi ds r i1 i n e n ds (3.106) donde Esas dos úlimas ecuaciones se pueden escribir maricialmene como: 0e T 0 e T Sel ( ) 0 En donde los elemenos de las marices esán dados por: z el el Tel ze z T zz e el z (3.107)

77 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 57 S el 1 ( W ) ( W ) ds k W W T el r T T 1 m n W W ds el r m 1 z W ds r m el T n z W ds el i zz i j ds k0 r r n j 0 r m ds i j. n ds (3.108) (3.109) (3.110) (3.111) (3.11) Si se ensamblan odas las marices de odos los elemenos pueden obenerse la ecuación de marices globales: 0 0e T 0 e T S z z T T z zz e e z. (3.113) El sofware usado para resolver el problema planeado en esa esis se llama COMSOL MULTIPHYSICS que ayuda a resolver problemas que involucran problemas físicos acoplados. 3.3 Análisis Supermodal El mayor inerés de esa esis es el desarrollo de disposiivos foónicos que puedan usarse en aplicaciones en el área de las elecomunicaciones. El diseño del disposiivo logrado en esa esis y que será mosrado en dealle más adelane requiere esudiar el efeco del acoplamieno de la luz en una esrucura que coniene múliples núcleos. Es por eso que surgió la necesidad de enconrar un méodo adecuado para esudiar el acoplamieno de la luz en guías de onda de varios núcleos. Si se ienen dos guías de onda muy cercanas enre sí y los campos evanescenes de la disribución modal logran ocar la ora guía de onda enonces ocurre una ransferencia de energía enre las dos guías de onda. En una fibra ópica de dos núcleos convencionales (núcleo 1 y núcleo ) que se encuenran muy cerca enre sí la ransferencia de energía se produce de manera periódica. De la eoría de modos acoplados (CTM por sus siglas en inglés) [118] se puede mosrar que cuando se ilumina uno de los núcleos por ejemplo el núcleo 1 con una unidad de poencia ópica la poencia en los dos núcleos a una disancia z es de la forma:

78 58 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos donde P 1 z P 1 F z F C sen C sen F 1 4 C1 F C1 F C C 1 1 1/ 1/. z z (3.114) (3.115) (3.116) (3.117) Los coeficienes de acoplamieno C ij son inegrales que involucran la superposición de las disribuciones de los modos en los núcleos 1 y calculadas de forma aislada uno del oro [118]; 1 y frecuencia angular. son las consanes de propagación asociadas a los modos en cada núcleo y la De las expresiones (3.114) y (3.115) es claro que la disancia requerida para que la poencia ópica sea ransferida compleamene de un núcleo al oro llamada longiud de acoplamieno iene la forma. L c F C 1 1 C 1. (3.118) Para fibras con núcleos idénicos es decir 1 = y C 1 =C 1 =C la expresión (3.118) se reduce a c L. C Un esudio que se basa en el análisis de oda la esrucura complea llamado análisis supermodal es ora alernaiva para esudiar las guías de onda. Para guías de onda infiniamene largas y uniformes en la dirección de la propagación de la luz los modos de oda la esrucura son llamados supermodos. Cuando más de un supermodo es exciado por la radiación incidene el campo oal a diferenes posiciones longiudinales será el resulado de la suma de los supermodos exciados. Ese análisis es diferene del análisis de modos acoplados

79 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 59 anerior debido a que ese no asume que los modos de las guías de onda individuales son sólo perurbados por sus vecinos más cercanos. De esa manera el análisis supermodal es más preciso que el análisis de modos acoplados cuando la disancia enre los núcleos es muy pequeña [66] o cuando la longiud de onda es comparable con el amaño de los núcleos [119] como es el caso de las fibras microesrucuradas en las cuales usualmene los dos núcleos esán muy cercanos enre sí y pueden ener diámeros menores a 1 μm. Por oro lado la eoría de modos acoplados es válida para guías de onda que no engan esrucuras complejas como una fibra convencional; para PCF se hace necesario buscar eóricamene una fibra convencional equivalene de dos núcleos para que el cálculo sea válido [39 119]. Cuando los núcleos de la guía de onda son monomodo el número de supermodos por esado de polarización es igual al número de núcleos que coniene la guía; así por ejemplo por una fibra de dos núcleos pueden propagarse dos supermodos llamados de modos pares E par y ( x y) y modos impares E par y ( x y) y E impar y ( x y) modos propagados para cada una de las polarizaciones [10]: E ( x y z) a E x E ( x y z) a E y par x par y par impar ix z impar i z x ye a E x ye x par i y z impar x ye a E x y x y E par x ( x y). El campo oal será la suma de los e i impar y z (3.119) y (3.10) donde las ampliudes a y a dan cuana del peso de cada supermodo de la luz acoplada en la guía de onda ópica y par i y impar i son las consanes de propagación respecivas. En general las consanes de propagación de los supermodos pares e impares para cada polarización son diferenes [10]. La diferencia de fase enre los supermodos pares e impares puede ser obenida como: par impar x y kz nx y nx y (3.11) donde n y par x y impar n x y son los índices de refracción efecivos de los modos par e impar para cada polarización respecivamene y cumplen la siguiene relación con las consanes de propagación:

80 60 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos par par x y n x y impar impar x y n x y.. (3.1) (3.13) De (3.11) se puede ver que x y varía con la disancia de propagación. Cuando el valor de la variación de la diferencia de fase sea enonces la correspondiene disancia de propagación es la longiud de acoplamieno que se puede obener direcamene con la relación (3.11): L c par i impar i n par i n impar i. (3.14) En [11] Nicolas Mohe and Philippe Di Bin compararon varios méodos numéricos para el cálculo de la longiud de acoplamieno de una PCF. Enconraron que con los méodos de supermodos el CTM y el BPM (Beam Propagaion Mehod) se obienen resulados confiables por encima de oros como el EFM (Equivalen Fiber Model). Los valores de los primeros res méodos difieren sólo en 5% [11]. La venaja más imporane del méodo de supermodos es que no requiere ano iempo de cálculo como el méodo del BPM. Saioh y colaboradores calcularon en [114] la longiud de acoplamieno en función del periodo de una PCF doble núcleo con la esrucura mosrada en la Figura 3-5 por medio del BPM. La longiud de onda usada es 1.55um el parámero d 0.5 y la disancia enre los dos núcleos es 3. Para comprobar y comparar el análisis supermodal se ha calculado la L c con el méodo de elemenos finios cuando para esa fibra. Para ello se calcularon los índices efecivos de los supermodos de propagación para cada una de las polarizaciones (ver Figura 3-6) y aplicando (3.14) se calcularon las respecivas longiudes de acoplamieno para cada una de las polarizaciones.

81 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 61 Figura 3-5 Geomería de una PCF doble núcleo Figura 3-6 Modos par e impar enconrados para la PCF mosrada en la Figura 3-5.

82 6 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 3-7 Longiud de acoplamieno en función de. Tomado de [114]. Cuando para las polarizaciones x y la Figura 3-7 indica que la longiud de acoplamieno es um y um y respecivamene. La Figura 3-8 muesra los supermodos pares e impares enconrados para cada una de las polarizaciones x y y. Los vecores indican la dirección del campo elécrico y los colores y su inensidad indican la inensidad de campo elécrico. Para cada una de las polarizaciones se resulados fueron: enconraron los índices de refracción efecivos los par n x (3.15) n (3.16) impar x n (3.17) par y impar n y (3.18) Por lo ano las longiudes de acoplamienos para cada una de las polarizaciones son: L um (3.19) x c y L c um (3.130) Los resulados obenidos por medio del análisis supermodal difieren con respeco al BPM usado por Saioh sólo en 1.3% y 0.8% para las polarizaciones x y y respecivamene. Como se puede

83 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 63 ver el procedimieno implemenado en el sofware COMSOL para analizar acoplamieno en fibras PCF es alamene confiable. Figura 3-8 Supermodos enconrados en la PCF mosrada en la Figura 3-5. a) Modo par polarización x b) Modo impar polarización x c) Modo par polarización y b) Modo impar polarización y Guías de onda de res núcleos Es claro que las consanes de acoplamieno de una guía de onda de dos núcleos son dependienes de la disancia enre los núcleos; enre más lejanos enre sí es más difícil o imposible la ransferencia de la poencia ópica. Sin embargo por medio del efeco de unelamieno resonane es posible la rasferencia de energía enre dos núcleos sin imporar que an lejanos se encuenren enre sí.

84 64 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos El efeco de unelamieno resonane se basa en la inclusión de un ercer núcleo que sirva de puene o resonador y permia la ransferencia de energía enre los núcleos más lejanos. La manera de esudiar ese fenómeno es por medio del esudio de una guía de onda de res núcleos. Cuando las guías de onda ienen res núcleos monomodo pueden propagarse res supermodos dos pares llamados Modo A y Modo B y uno impar llamado Modo C como se esquemaiza en la Figura 3-9. Es imporane mencionar que si la poencia ópica enra por uno de los núcleos laerales se logran exciar los res modos; pero si la poencia ópica enra por el núcleo cenral sólo se exciarán los Modos A y B. Figura 3-9 monomodo. Supermodos A B y C que pueden guiarse en guías de onda de res núcleos Cuando los res modos son exciados la longiud de acoplamieno se define como la longiud necesaria para que la poencia ópica de enrada P IN pase desde uno de los núcleos laerales al

85 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 65 núcleo laeral opueso como muesra la Figura 3-10a gracias al efeco de unelamieno resonane. La expresión para calcular la longiud de acoplamieno es [1]: L c A C (3.131) donde A y C son las consanes de acoplamieno de los Modos A y C respecivamene. La eficiencia de esa ransferencia depende de diferenes facores como las caracerísicas de cada núcleo y la forma de la poencia a la enrada y a la salida [13]; es por eso que generalmene P o IN P OUT y habrá ciera poencia i P OUT que no se acopla (Figura 3-10b). Figura 3-10 Esquema de una guía de onda ópica de res núcleos: a) longiud de acoplamieno cuando los res modos son exciados; b) exise una porción de la poencia que no se acopla al núcleo laeral opueso. Se puede mosrar [13 14] que la razón de la rasferencia de la poencia esrucura de la Figura 3-10 viene dada por: P OUT / P IN en oda la P P M OUT IN A M B M C M A M B cos Z M M cos Z M M cos Z A B A C A C B C C B (3.13)

86 66 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos donde P OUT puede ser o P OUT o i P OUT supermodos A B y C respecivamene y M j E j A B dx x E IN x dx C E j son las consanes de propagación para los x E OUT x (3.133) con j A B C. E x j E IN x y E OUT x j del campo a la enrada y del campo a la salida respecivamene. son las formas de los campos normalizados del modo 3.4 Méodo de Euler-Lagrange Es bien conocido que si se quiere conocer el valor de f (x) es suficiene con resolver la ecuación df ( x) 0 dx Para el caso en el que se quiere enconrar una función. x que minimiza o maximiza una función (3.134) f (x) que minimice una inegral se debe resolver una ecuación diferencial al que la solución es una función que hace que la inegral ome su valor mínimo. En el caso de esa esis se quiere resolver la ecuación de Oseen-Frank (.9) adicionándole el érmino de la energía elécrica es decir: K K K 1 1 F ( n) ( n n) ( n n) E ( n E ) (3.135) donde como se recordará n es el vecor direcor es decir el vecor uniario que indica la dirección de la molécula de LC. n x n y y n z son las proyecciones de en el eje coordenado mosrado en la Figura 3-11: n n x y ziˆ n x y zj n x y zk (3.136) x y Noe que el problema a resolver es un problema en res dimensiones; sin embargo para comodidad numérica se represena el mismo problema en dos dimensiones con dos ángulos y como se esquemaiza en la Figura Así: z n

87 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 67 n n x iˆ n j n k y z (3.137) Figura 3-11 Ángulos y que deerminan la posición de las moléculas de crisal líquido Para obener la ecuación diferencial que se debe resolver para minimizar la energía de (3.135) se comienza inicialmene con un ejemplo sencillo para obener la ecuación de Euler- Lagrange que busca minimizar una inegral S. F en Desde la mecánica clásica es conocida esá écnica y en la lieraura mundial se pueden enconrar muchos exo que abordan su formulación [ ]. Considere una función y suponga que se quiere enconrar una función S 1 q L q q d Se asume que la función que minimiza S es una rayecoria que va desde forma donde q q q 0 1 q q q ) L( q al que la expresión (3.138) sea mínima. q 1 1 hasa (3.138) q de la (3.139) es una función arbiraria. En las froneras la desviación desaparece es decir:. Además se sabe que la derivada en el iempo cumple que

88 68 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos d d q q q q. (3.140) Ahora consideremos un pequeño cambio en S cuando se mueve de una rayecoria mínima a ora muy cercana: S 1 Así se ha hecho la suposición de que y de poencias más alas. L q q q q d Lq q q 1. (3.141) q es pequeño y se pueden despreciar los érminos Usando el hecho de que f df dq q f q q f enonces la ecuación (3.141) se puede aproximar a: Ahora es necesario que S S 0 1 q L L q qd q q. para alguna función L q La cual es la ecuación de Euler-Lagrange. d d L q. x. Así es necesario que: (3.14) (3.143) (3.144) Generalizando ese procedimieno la ecuación de Euler-Lagrange se puede expresar de diferenes maneras según funciones y variables se engan. Si se ienen varias funciones de una sola variable: Si el problema involucra varias funciones q q q q... q ) de una sola variable (x) la ( n inegral S a minimizar en una región y la respeciva ecuación de Euler-Lagrange son: donde q i dqi dx. S L q q... q q q... q xdx 1 n 1 L q d dx i q i L 0 n (3.145) (3.146)

89 3. Fundameno Teórico Fundameno Teórico 69 Si se iene una sola función de una sola variables: Si el problema involucra una sola función (q) de varias variables ( x1 x x3... xn minimizar en una región y la respeciva ecuación de Euler-Lagrange son: ) la inegral S a donde q dq xi dxi S L q q q q q x1 x x3... xn x1 x x3... xn dx. L q n i1 x i L qxi 0 (3.147) (3.148) Si se ienen varias funciones de varias variables: Si el problema involucra varias funciones ( q1 q q3 q4... qn) de varias variables ( x1 x x3... xn la inegral S a minimizar en una región y el respecivo sisema de ecuaciones a resolver de Euler-Lagrange son: S L q q q... q q q... q q q... q x x x... x 1 3 m n m1 m m n 1 3 L q 1 L q L q j n d dx L q i1 i 1 i n d dx L q i1 i i n d dx L q i1 i j i n dx. ) (3.149) (3.150) q j i q j xi. Para el caso de inerés en el que se quiere minimizar la energía líbre de los LC en la ecuación(3.135) se iene un problema de dos funciones y (Suponiendo el problema invariane en Lagrange a resolver es: z con dos variables x y y ). De esa manera el sisema de ecuaciones de Euler-

90 70 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos dx y x y x y x F F T (3.151) 0 y F dy d x F dx d F 0 y F dy d x F dx d F. (3.15)

91 4. Diseño del disposiivo y resulados La invesigación del acoplamieno enre guías de onda es imporane para muchos disposiivos basados en acopladores direccionales ales como inerrupores ópicos moduladores divisores de poencia filros conversores de polarización conversores modales divisores de haz de ondas guiadas y muliplexores [16-18]. Por oro lado la posibilidad de sinonizar la condición de operación de los disposiivos los hace más aracivos ya que aumena su funcionalidad en diferenes aplicaciones en el área de la invesigación y de la ingeniería. Inicialmene nuesro mayor inerés en esa esis era el diseño de un acoplador direccional sinonizable por medio de campo elécrico; el disposiivo debía ser compleamene a fibra ópica por lo que los elecrodos que conrolaban la elecro-ópica de los LC esaban inserados en la misma PCF lo que hacía que el disposiivo fuera aún más inegrado. Ese ipo de disposiivos con infilraciones selecivas y elecrodos inegrados aún no ha sido reporado en la lieraura. En esa esis se ha logrado además de ener la operación de un acoplador direccional sinonizable la operación de un filro ópico sinonizable en el mismo disposiivo. Ambos modos de operación se pueden usar simuláneamene dado que como se mosrará más adelane el rango de operación especral de los dos disposiivos no coinciden y por ende no se iene inerferencia enre los dos modos de operación. Ese hecho lleva a hablar por primera vez en el mundo del concepo de mulifuncionalidad es decir la inegración de múliples funcionalidades en una sola fibra. El grupo de invesigación de Foónica y Opoelecrónica de la Universidad Nacional de Colombia ha esado rabajando eórica y experimenalmene con una PCF que iene elecrodos inegrados para inducir birrefringencia por medio de emperaura ver Figura -15 [60 61]. Como una primera aproximación al objeivo general de esa esis se esudió el efeco de la infilración en uno de los agujeros con LC de la misma PCF como muesra la Figura 4-1. El esudio mosró que infilrando solo un agujero de esa esrucura se obiene un acoplador direccional de dos núcleos con muy baja

92 7 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos eficiencia en el especro de inerés (300 nm nm) eso es debido a la gran diferencia que exise enra las consanes de acoplamieno del agujero con LC y del núcleo sólido. Figura 4-1 Esquema inicial del disposiivo. Por oro lado en el ranscurso de la elaboración de esa esis nos ineresamos en los acopladores de res núcleos como una primera visión a los circuios ransversales [ ] área que se quiere esudiar en el grupo de invesigación en el fuuro. Esos resulados y los nuevos inereses obligaron al diseño de una nueva esrucura que cumpliera por un lado con el requerimieno de la similiud de los diferenes núcleos en el especro de inerés y por el oro lado en que exisieran más de dos núcleos en el diseño. El diseño de la sección ransversal de la PCF se ilusra en la Figura 4-. Los micro-huecos esán dispuesos en una esrucura con simería riangular fabricada de sílice pura donde la consane de red =3.0 µm es uniforme sobre la sección ransversal de la fibra y el diámero de los microhuecos es d=.6 µm. Los micro-huecos del anillo más inerno al igual que la pareja de microhuecos eiqueada como y 4 ienen un diámero micro-huecos eiqueada como 1 y iene un diámero d d 1. um 4 d d 1. 1um 1 5. Por oro lado la pareja de.

93 Diseño del disposiivo y resulados 73 Esa esrucura novedosa es una guía de onda de cinco núcleos: un núcleo cenral de sílice pura y cuaro núcleo laerales de LC en la que cada modo de operación acoplador direccional o filro sinonizable se puede esudiar como un guía de onda de res núcleos al y como se mosró en la Sección Aquí el núcleo sólido hace las veces de resonador o puene para que la luz pueda ransferirse desde uno de los núcleos laerales al oro ubicado en el exremo opueso. Como se mosrará más adelane con la infilración de los agujeros 1 y 5 se iene el modo de operación como filro y la infilración de los agujeros y 4 para el modo de operación como acoplador ópico. Figura 4- Esrucura de la PCF diseñada.

94 74 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos 4.1 Sinonización con emperaura Como ya se señaló en el capíulo anerior para analizar los modos de propagación de la LCPCF se uiliza el méodo de elemenos finios vecorial compleamene anisóropo para solucionar la ecuación de onda vecorial para el campo elécrico (3.3): 1 ( E) k r 0 r E. El índice de refracción ano de la sílice pura como del crisal líquido propueso para ese diseño MLC-6884 de Merck dependen de la longiud de onda. El índice de refracción de la sílice pura se puede evaluar de la ecuación de Sellmeier [18] n B 3 j 1 j C 1 j 0 (4.1) donde los coeficienes B j y C j se muesran en la Tabla 4-1. Tabla 4-1 Coeficienes para la Ecuación de Sellmeier de la sílice pura. B C um B C um B C um Por oro lado el índice de refracción del LC iene una sensibilidad a la emperaura significaivamene mayor en comparación con la del vidrio de sílice pura. El LC propueso en el diseño del disposiivo es un maerial anisóropo que si bien se caraceriza por sus índices de refracción ordinario (n o ) y exraordinario (n e ) el efeco de la emperaura se puede expresar sobre el índice de refracción promedio (.3): n n e T no T 3 donde n o y n e se pueden evaluar con el modelo de Cauchy exendido (.1) y (.):

95 Diseño del disposiivo y resulados 75 n n e o T T A e A o T T Be T T Bo Ce T 4 T Co 4. ( 4.) ( 4.3) A parir de los daos proporcionados por [] se exrajeron los coeficienes de Cauchy para el LC escogido (Ver Tabla 4-). Tabla 4- Coeficienes de Cauchy para el MLC-6884 de Merck Temperaura Ae Be Ce Ao Bo Co 15 C C C Discreización de la geomería La simulación se realizó con elemenos riangulares de segundo orden. El enmallado o discreización de la geomería complea se muesra en la Figura 4-3. Noe que el enmallado es más fino en el área de mayor inerés y grueso en las pares lejanas de ese lo que hace un balance adecuado para obener resulados precisos y rápidos. La Tabla 4-3 muesra los parámeros definidos en el enmallado para ambas regiones las cercanas y las lejanas al área de mayor inerés.

96 76 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 4-3 Discreización de la geomería Tabla 4-3 Parámeros del enmallado Parámero Tamaño máximo del elemeno Tamaño mínimo del elemeno Máxima asa de crecimieno del amaño del elemeno Resolución de la curvaura Resolución en las regiones esrechas Descripción Es el amaño máximo que endrá un elemeno en el enmallado Es el amaño mínimo que endrá un elemeno en el enmallado Deermina qué an rápido crecen los elemenos. El valor de 1 no obiene crecimieno. Deermina el número de elemenos en las froneras curvas. Valores pequeños obienen enmallados finos. Deermina el número de elemenos en las regiones muy esrechas. Valores pequeños obienen enmallados finos. Cerca al área Lejos al área de mayor de mayor inerés inerés 4.E-7 m 8.4E-7 m 8.4E-10 m 3.15E-9 m

97 Diseño del disposiivo y resulados Funcionamieno como acoplador ópico direccional Para esudiar la viabilidad del disposiivo como acoplador ópico direccional y sinonizable por efeco érmico se simuló el diseño mosrado en la Figura 4-4. En ese modo de operación los agujeros eiqueados como y 4 se infilran con LC. Figura 4-4 acoplador LCPCF con infilraciones en los agujeros y 4 para su funcionamieno como Las curvas de dispersión de los modos de propagación fundamenales con polarización horizonal de los núcleos infilrados de LC y del núcleo sólido 3 para dos emperauras diferenes se muesran en la Figura 4-5. Los punos de cruce de esas curvas corresponden a las longiudes de onda en que los res núcleos ienen el mismo índice de refracción efecivo lo cual indica que se alcanza la condición de ajuse de fase y será a esas longiudes de onda cuando la ransferencia de luz del núcleo al 4 es más eficiene. Los resulados en la Figura 4-5 indican que a T=45C el pico de acoplamieno será en =1406 nm y para T=55C el pico será en =1585 nm.

98 78 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 4-5 Dispersión de los modos de propagación fundamenal en el núcleo cenral 3 y los agujeros y 4 llenos de LC (exremos) a dos emperauras diferenes para luz con polarización horizonal. Para esimar la eficiencia de la ransferencia de energía se usan las expresiones (3.13) y (3.133) generalizadas a dos dimensiones. Los campos E j x y para cada uno de los supermodos j A B C fueron obenidos por medio del sofware compuacional de elemenos finios COMSOL Muliphysics ver Figura 4-6. Las consanes M A M B y M C fueron calculadas resolviendo la inegral de solapamieno (3.133) para cada uno de los supermodos A B y C con polarización horizonal por medio de MATLAB.

99 Diseño del disposiivo y resulados 79 Figura 4-6 onda de um. Supermodos A B y C del acoplador ópico direccional a 55ºC y a una longiud de La eficiencia de la ransferencia de poencia en el rango enre 1350 nm y 1500 nm se muesra en la Figura 4-7 en donde se puede ver que el ancho de banda a -3dB es de 40 nm. La longiud de onda en el cual exise la mayor ransferencia de poencia es en λ=1406 nm como se pudo evidenciar de la curva de dispersión (Figura 4-5).

100 80 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura C. Eficiencia de la ransferencia de la poencia ópica enre los dos núcleos de LC a La Figura 4-8 muesra la longiud de acoplamieno de la polarización horizonal para un rango de longiudes de onda enre 1350 nm a 1500 nm a una emperaura de 55 C. Los daos se calcularon por medio de la expresión (3.131). El valor máximo de acoplamieno ocurre cuando =1406 nm es decir cuando los res núcleos esán en fase y la eficiencia de la ransferencia de poencia es máxima. El disposiivo ideal sería por lo ano de un poco más de 3 mm de longiud. Figura 4-8 Longiud de acoplamieno de la polarización horizonal en función de la longiud de onda para una emperaura de 55 C

101 Diseño del disposiivo y resulados Funcionamieno como filro ópico Para esudiar la viabilidad del disposiivo como filro ópico sinonizable por medio de emperaura se simuló el diseño mosrado en la Figura 4-9. Para ese modo de operación se infilran con LC los agujeros eiqueados como 1 y 5. Al igual que en el caso anerior las consanes M j se calcularon resolviendo la inegral de solapamieno (3.133) para cada uno de los supermodos A B y C. Como se recodará los supermodos A B y C se calculan por medio del sofware compuacional de elemenos finios COMSOL Muliphysics.

102 8 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 4-9 filro. LCPCF con infilraciones en los agujeros 1 y 5 para su funcionamieno como Las curvas de dispersión para luz con polarización horizonal de los modos de propagación fundamenales de los núcleos 1 y 5 de LC y del núcleo sólido cenral 3 a res emperauras diferenes se muesra en la Figura Al igual que en el caso anerior los punos de cruce de esas curvas corresponden a las longiudes de onda en que los res núcleos ienen el mismo índice de refracción efecivo que como ya se sabe indica que se alcanza la condición de ajuse de fase y será a esas longiudes de onda cuando la ransferencia de luz del núcleo 1 al 5 es más eficiene. Los resulados en la Figura 4-10 indican que a T=15C el pico de mayor acoplamieno será en =1376 nm para T=30C el pico será en =149 nm y para T=15C el pico será en =1579 nm. La Figura 4-11 muesra los res supermodos con polarización horizonal enconrados a una longiud de onda 1.49 um y a una emperaura de 30 C. Esos res supermodos son calculados para diferenes longiudes de onda y usados para calcular la eficiencia de la ransferencia de poencia enre los núcleos.

103 Diseño del disposiivo y resulados 83 Figura 4-10 Cambio del índice de refracción con respeco a la longiud de onda del núcleo sólido (cenral) y los agujeros de LC (exremos) a res emperauras diferenes para el filro ópico. Figura 4-11 onda de 1.49 um. Supermodos A B y C del acoplador ópico direccional a 30ºC y a una longiud de La eficiencia de la ransferencia de poencia para diferenes longiudes de onda a las mismas emperauras analizadas en la curvas de dispersión (Figura 4-10) se muesra en la Figura 4-1.

104 84 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Como se puede ver el ancho de banda a -3dB es menor a 1 nm en los res casos. A diferencia de los resulados obenidos para el modo de operación como acoplador ópico ahora el ancho de banda es muy esrecho aún más que en algunas referencias enconradas [96 1]. En la indusria (Newpor y DiCon como ejemplos) se encuenran filros a fibra ópica de úlima generación con anchos de bandas similares; sin embargo el rango de sinonización abarca sólo 30 nm mienras que los resulados mosrados en la Figura 4-1 muesran que hay una sinonización de 00 nm con un rango de an sólo 30 C. Figura 4-1 Eficiencia de la ransferencia de la poencia enre los dos núcleos de LC a 30 C. La Figura 4-13 muesra las longiudes de acoplamieno para cada una de las res emperauras esudiadas. Noe que a medida que aumena la longiud de onda la longiud de acoplamieno en el cual ocurre la mayor ransferencia de poencia disminuye hecho de esperar debido a que las longiudes coras ven los núcleos más disanciados que las longiudes largas y requieren más disancia para ransferirse desde uno de los núcleos hacia el oro.

105 Diseño del disposiivo y resulados 85 Figura 4-13 emperauras. Longiud de acoplamieno para el funcionamieno como filro a res diferenes 4. Sinonización con Campo elécrico El esudio de la viabilidad del disposiivo diseñado ahora sinonizado con campo elécrico es algo más complicado que el esudio mosrado en la sección anerior en la cual se realiza la sinonización por medio de emperaura. Ese esudio involucra no sólo la ecuación de onda vecorial para conocer los modos de propagación (3.3) sino que ambién involucra la ecuación de Poisson y la ecuación de energía libre de los LC que rige la disribución del direcor en los crisales líquidos (3.135). La Figura 4-14 muesra el esquema de cálculo. Como se puede ver el primer paso es resolver el problema acoplado de la elecrosáica solución de la ecuación de Poisson de acuerdo a las propiedades dielécricas de los maeriales presenes y las condiciones de fronera definidas por la geomería de los elecrodos con el proceso de minimización de la energía libre de los LC. Para ello como se recordará se hace uso del méodo de Euler Lagrange implemenado desde méodo de elemenos finios que se usa en esa esis.

106 86 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Los daos de salida resulanes del proceso anerior son la disribución espacial sobre la sección ransversal de la PCF de los ángulos de inclinación (xy) y orsión (xy) de los LC (ver Figura 3-11) o equivalenemene la orienación de los vecores n n n n ). Una vez que se ( x y z calcula la disribución de vecores n se puede obener la disribución espacial del ensor de permiividad relaiva r de la ecuación de onda vecorial para realizar el análisis modal. Figura 4-14 Esquema del modelamieno compuacional. El campo elécrico y el campo elecrosáico son diferenciados como E op y E el respecivamene. Por oro lado el disposiivo mulifuncional basado en PCF con elecrodos e infilrada selecivamene con LC se diseñó con un crisal líquido referencia MLC-6884 de Merck ; sin embargo en eoría cualquier crisal líquido podría ser usado en el disposiivo obeniendo resulados similares pero en rangos especrales diferenes.

107 Diseño del disposiivo y resulados 87 Muchas empresas fabrican y comercializan crisales líquidos y exisen cienos de esos con propiedades diferenes. Cuando un comprador requiere un crisal líquido no lo pide por su referencia sino por las propiedades que requiere. Los siguienes links son algunos de las empresas que comercializan crisales líquidos: hp:// hp:// hp:// hp:// hp:// hp:// La Tabla 4-4 muesra las propiedades elécricas y ópicas de cada uno de los maeriales usados en la simulación. Tabla 4-4 Propiedades usadas en la simulación de los maeriales involucrados en el disposiivo diseñado. El índice de refracción para el LC corresponde a una emperaura de 5C. Maerial Permiividad esáica Índice de refracción Consanes elásicas Sílice r 4.5 n B 3 j 1 j C 1 j Aire r 1 n 1 Crisal líquido II n e n o K pN K 14. 8pN 33 El primer paso como es naural es validar el esquema de cálculo aneriormene descrio. Para ello se simuló las propiedades de la guía de onda ópica de un ubo capilar infilrado con LC referencia E7 sujeo a un campo elecrosáico inducido por un par de placas paralelas ver Figura Esa esrucura ya había sido esudiada por Lægsgaard minimizando la energía libre de los LC a ravés de un procedimieno de ieración y calculando los modos de propagación del guía de onda

108 88 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos mediane una expansión de ondas planas del campo elecromagnéico de la luz [131] cuando las moléculas de LC ienen un anclaje paralelo a las superficies. Figura 4-15 Capilar infilrado con LC enre una diferencia de poencial La Figura 4-16 muesra el índice de refracción efecivo para diferenes volajes obenidos por Lægsgaard y los obenidos en esa esis para la misma configuración. Por la ubicación de los elecrodos la polarización x no sufre cambio alguno por la aplicación del volaje mienras para la polarización y el índice de refracción efecivo aumena con el volaje aplicado. Los valores obenidos por Lægsgaard mediane el méodo de ieración y los obenidos mediane el procedimieno de modelamieno expresado en la Figura 4-14 implemenado y usado en esa esis difieren sólo en 0.3% lo que nos da la confianza para simular nuesro problema de inerés bajo ese mismo procedimieno de modelamieno compuacional.

109 Diseño del disposiivo y resulados 89 Figura 4-16 Comparación del méodo de ieración en [131] con el méodo usado en esa esis 4..1 Geomería y discreización La geomería analizada se muesra en la Figura Noe que a la esrucura de la sección anerior se le ha adicionado un par de elecrodos circulares con un diámero de 50 um de esa manera se le esá aposando a una mayor inegración en esa ecnología: los elecrodos esán incorporados en la fibra se incluye el problema de modos acoplados cuando se infilra selecivamene con LC la micro-esrucura de la fibra y se induce el conrol del disposiivo mediane efeco elecro-ópico. Vale decir que con ese diseño se cumple uno de requisios más imporanes para un disposiivo sinonizable complemene a fibra ópica: su fácil inegración a fibras convencionales usadas en inerconexiones ópicas. Nuevamene el análisis del disposiivo se realizó con elemenos riangulares de segundo orden en el FEM. El enmallado o discreización de la geomería complea se muesra en la Figura 4-18 en la cual las áreas de mayor inerés ienen un enmallado más fino. La Tabla 4-5 muesra los parámeros del enmallado.

110 90 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 4-17 Diseño del disposiivo con infilraciones de crisal líquido y elecrodos inegrados Tabla 4-5 Parámeros del enmallado Parámero Tamaño máximo del elemeno Tamaño mínimo del elemeno Máxima asa de crecimieno del amaño del elemeno Resolución de la curvaura Descripción Es el amaño máximo que endrá un elemeno en el enmallado Es el amaño mínimo que endrá un elemeno en el enmallado Deermina qué an rápido crecen los elemenos. El valor de 1 no obiene crecimieno. Deermina el número de elemenos en las froneras curvas. Valores pequeños obienen enmallados Cerca al área Lejos al área de mayor de mayor inerés inerés 1.6E-6 m 8.48E-6 m 3.E-9 m 4.8E-8 m

111 Diseño del disposiivo y resulados 91 Resolución en las regiones esrechas finos. Deermina el número de elemenos en las regiones muy esrechas. Valores pequeños obienen enmallados finos. 1 1 Figura 4-18 Discreización de la geomería 4.. Campo elecrosáico y disribución de los vecores direcores de los LC Las Error! No se encuenra el origen de la referencia.abc muesran la disribución del campo lécrico campo E x E x E y y E respecivamene mienras que la Figura 4-0 muesra la disribución del E y en una de las dos infilraciones de LC. Noe que debido a la posición de los

112 9 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos elecrodos E x en la infilración es considerablemene menor a E y por lo que se endrá el mayor efeco en esa dirección considerando que las moléculas de LC se alinearán en la misma dirección del campo elécrico. Figura 4-19 Disribución del campo elécrico en oda la esrucura. a) E x b) E y c) E

113 Diseño del disposiivo y resulados 93 Figura 4-0 Disribución de campo elécrico en el agujero 1 con LC de la esrucura. a) E x b) E y Como se dijo aneriormene se esá considerando un LC que se alinea con la superficie paralelamene es decir 0 y 0 en las froneras del agujero. Por convergencia numérica y para obener soluciones no espurias se rabaja considerando Esa aproximación es usual en la lieraura [77]. 4 y 0. 1 en las froneras. La Figura 4-1 muesra la disribución del ángulo de inclinación de las moléculas de LC en el agujero denoado como 1 a diferenes volajes. Mienras que para volajes de 0 V y 50 V no hay un cambio considerable en la disribución puede noarse que a 00 V iende a achaarse y los valores del ángulo de inclinación ienden a aumenar. La disribución del ángulo de orsión para 00 V se muesra en la Figura 4-; al igual que en repores aneriores ese es considerablemene menor al ángulo de inclinación y su efeco sobre la disribución de los LC es muy pequeño [77].

114 94 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 4-1 Disribución del ángulo de inclinación de las moléculas de LC a diferenes volajes. Figura 4- Disribución del ángulo de las moléculas de LC para 00 V. La Figura 4-3 muesra el cambio del ángulo a medida que aumena el volaje a lo largo del eje y del agujero con LC denoado como 1 en la esrucura. Noe que el ángulo se hace cada vez más imporane a medida que se aumena el volaje.

115 Diseño del disposiivo y resulados 95 Figura 4-3 Ángulo para varios valores de volaje. Con la disribución de los ángulos y sobre la sección de la PCF se puede obener la disribución del índice de refracción y el ensor de permiividad para analizar los modos de propagación de la esrucura. Como un ejemplo de ello en la Figura 4-4 se muesra la disribución de los elemenos xx yy y xy ver (4.4). Puede noarse que el efeco del campo elécrico sobre el eje x es despreciable con respeco al efeco sobre el eje y. Para el elemeno xy los valores máximos esán alrededor de 0.0 para V =400 V y alrededor de ± para V = 0 V. Para efecos físicos podría decirse que los elemenos xy a V=0V es igual a 0. xx yx zx xy yy zy xz yz zz (4.4)

116 96 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 4-4 volajes Elemenos xx yy y xy del ensor de permiividad en el agujero 1 a diferenes 4..3 Modos de propagación Luego de obener las disribuciones de los índices de refracción sigue el cálculo de los modos de propagación de la luz además de sus índices de refracción efecivos por medio de la solución de la ecuación vecorial (3.3). La Figura 4-5 muesra cómo cambia el índice de refracción efecivo para ambas polarizaciones a medida que aumena el volaje para los agujeros 1 y 5 infilrados con LC; la polarización x no sufre efeco alguno debido a la aplicación del campo elécrico mienras que la polarización y aumena a medida que sube el volaje a parir del volaje umbral que es alrededor de 100 V (ransición de Frederick).

117 Diseño del disposiivo y resulados 97 Figura 4-5 Índice de refracción efecivo de los agujeros 1 y 5 en función del volaje para ambas polarizaciones a λ=1550 nm. Noe además que el crecimieno es lineal para volajes bajos pero iende a esabilizarse para volajes alos comenzando a saurar a parir de 800 V. Como se recordará el disposiivo propueso en esa esis iene los elecrodos inegrados. Para comprobar el beneficio energéico se ha calculado el cambio del índice de refracción efecivo para luz con polarización y de la misma configuración mosrada aneriormene pero con los elecrodos exernos a la PCF como se muesra en la Figura 4-6. El revesimieno de la PCF iene un diámero de 160 m las placas exernas esán disanciadas 165 m enre sí y el medio enre las placas es aire.

118 98 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 4-6 Esrucura con elecrodos exernos a la fibra La Figura 4-7 muesra el cambio del índice de refracción efecivo con el volaje para ambos casos. Puede noarse que el volaje necesario para comenzar a cambiar el índice de refracción cuando los elecrodos son exernos a la PCF es más de res veces el volaje requerido cuando los elecrodos esán inegrados a la mariz vírea de la PCF. Eso hace nuesra propuesa de inegrar los elecrodos a la PCF muy acerada.

119 Diseño del disposiivo y resulados 99 Figura 4-7 Comparación energéica según la ubicación de los elecrodos 4..4 Modo de operación como acoplador ópico direccional Para esudiar la viabilidad del disposiivo como acoplador ópico direccional sinonizable por efeco elécro-ópico se simuló el diseño mosrado en la Figura 4-8. En el diseño los agujeros eiqueados como y 4 se infilran con LC.

120 100 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 4-8 acoplador. LCPCF con infilraciones en los agujeros y 4 para su funcionamieno como Las curvas de dispersión de los modos de propagación fundamenales con polarización horizonal de los núcleos infilrados de LC y del núcleo sólido 3 para dos volajes diferenes se muesran en la Figura 4-9. Como se recordará los punos de cruce de esas curvas corresponden a la condición de ajuse de fase y será a esas longiudes de onda cuando la ransferencia de luz del núcleo al 4 es más eficiene. Los resulados en la Figura 4-9 indican que a V=50V el pico de acoplamieno será en =1461 nm y para V=150V el pico será en =1598 nm.

121 Diseño del disposiivo y resulados 101 Figura 4-9 Dispersión de los modos de propagación fundamenal en el núcleo cenral 3 y los agujeros y 4 llenos de LC (exremos) a dos volajes diferenes para luz con polarización horizonal. Al igual que en el caso de sinonización con emperaura para esimar la eficiencia de la ransferencia de energía se usan las expresiones (3.13) y (3.133) generalizadas a dos dimensiones. La eficiencia de la ransferencia de poencia para V=50 V se muesra en la Figura 4-30 el ancho de banda a -3dB es mayor a 30 nm. El valor en el cual la eficiencia de la ransferencia de poencia es máxima ocurre cuando =1461 nm.

122 10 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura C. Eficiencia de la ransferencia de la poencia ópica enre los dos núcleos de LC a La Figura 4-31 muesra la longiud de acoplamieno para luz con polarización horizonal para un rango de longiudes de onda enre 1350 nm a 1600 nm a un volaje de 50V. Los daos se calcularon por medio de la expresión (3.131) la cual requiere conocer las consanes de acoplamieno de los supermodos A y C. El valor máximo de acoplamieno ocurre cuando =1461 nm es decir cuando los res núcleos esán en fase. El disposiivo ideal sería por lo ano de alrededor de 3.5 mm de longiud.

123 Diseño del disposiivo y resulados 103 Figura 4-31 Longiud de acoplamieno de la polarización horizonal en función de la longiud de onda para una emperaura de 55 C 4..5 Modo de operación como filro ópico Para esudiar la viabilidad del disposiivo como filro ópico sinonizable elécricamene se simuló el diseño mosrado en la Figura 4-3. En ese caso como ya esaba definido los agujeros 1 y 5 son los que se infilran con LC. Al igual que en los casos aneriores las consanes M j fueron calculadas resolviendo la inegral de solapamieno (3.133) para cada uno de los supermodos A B y C.

124 104 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 4-3 sinonizable elécricamene. LCPCF con infilraciones en los agujeros 1 y 5 para su funcionamieno como filro Las curvas de dispersión para luz con polarización horizonal de los modos de propagación fundamenales de los núcleos 1 y 5 de LC y del núcleo sólido cenral 3 a res volajes diferenes se muesra en la Figura Se observa que a V=50V el pico de mayor acoplamieno será en =194 nm para V=150V el pico será en =1445 nm y para V=00V el pico será en =1640 nm.

125 Diseño del disposiivo y resulados 105 Figura 4-33 Dispersión del núcleo sólido (cenral) y los agujeros de LC (exremos) a res volajess diferenes para el filro ópico. La eficiencia de la ransferencia de poencia para diferenes longiudes de onda en los mismos volajes analizados en la curvas de dispersión se muesra en la Figura Como se proyecó el ancho de banda a -3dB es menor a 1 nm en los res casos mucho menor al modo de operación como acoplador direccional. Figura 4-34 volajes. Eficiencia de la ransferencia de la poencia enre los dos núcleos de LC diferenes

126 106 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos 4..6 Funcionamieno con ambas funcionalidades Como se explicó en la Figura 4- cada par de agujeros infilrados con LC ienen amaños ligeramene diferenes esa propiedad geomérica repercue en la curva de dispersión ya que según el amaño de la guía de onda aumena o disminuye los valores de los índices efecivos. La Figura 4-35 muesra la eficiencia de la ransferencia de poencia para cada modo de operación a 50V. Noe que las curvas esán en regiones especrales diferenes por lo que se pueden operar simuláneamene sin que haya inerferencia enre ellas. Ese resulado conviere nuesro diseño en un disposiivo mulifuncional ya que se ienen dos funcionalidades diferenes en una misma PCF. Propiedad que aún no se ha enconrado repores en la lieraura.

127 Diseño del disposiivo y resulados 107 Figura 4-35 Poencia normalizada para ambas funcionalidades filro ópico a la izquierda y acoplador ópico direccional a la derecha

128

129 5. Conclusiones y perspecivas Las PCF con elecrodos inegrados e infilraciones con LC son una ecnología que promee grandes avances ecnológicos a coro plazo y juno con el desarrollo de disposiivos cada vez más inegrados y funcionales ofrece saisfacer las necesidades cada vez más exigenes en el área de las ecnologías de la información y la comunicación. En esa esis de maesría se diseñó un disposiivo compleamene a fibra ópica con elecrodos inegrados e infilraciones selecivas de LC mulifuncional sinonizable y apo para aplicaciones en el área de las elecomunicaciones. Además juno con su desarrollo se inició una nueva línea de invesigación en el grupo de Foónica & Opoelecrónica de la Universidad Nacional al implemenar un procedimieno compuacional capaz de solucionar problemas mulifísicos involucrando la física de los LC y la propagación de la luz. Para ello fue necesario profundizar en la écnica de elemenos finios a la hora de implemenar la herramiena compuacional para acoplar el problema de la elecrosáica con la ermo/elecro-ópica y de foónica de la propagación de la luz en guía de onda. Los dos disposiivos en los cuales se cenraron los objeivos de esa esis son el filro ópico y el acoplador ópico elemenos fundamenales en el área de los circuios ópicos para la indusria de las elecomunicaciones por fibra ópica. El diseño de la geomería de la PCF es una esrucura compleja en el cual el diámero de los agujeros infilrados para el caso del filro ópico difiere del diámero de los agujeros infilrados para el acoplador ópico lográndose de esa manera que sus rangos de operación no coincidan y no ocurra inerferencia enre los dos modos de operación. Mienras que en el caso del filro ópico se logró un ancho de banda a 3dB menor a 1 nm en el modo de operación como acoplador direccional se logra un ancho de banda 3 db de más de 50 nm. En el rango de inerés la emperaura puede sinonizarse enre 15C y 50C mienras que los valores de volaje máximos necesarios llegan hasa 00V.

130 110 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Los resulados de esa esis proponen por primera vez en el mundo la condición de mulifuncionalidad en las LCPCF es decir varias funciones en una misma fibra. Además es la primera propuesa enconrada en la lieraura que involucra la infilración de crisales líquidos para ser manipulados bajo el efeco de elecrodos que esán inegrados a la PCF lo que disminuye el amaño y mejora como se mosró la eficiencia energéica. El desarrollo de esa esis rajo consigo una serie de avances imporanes para el desarrollo de nuevos diseños y aplicaciones en la ecnología de LCPCF y se quiere seguir rabajando con miras a esablecer una línea de invesigación foralecida con impaco mundial. Algunas ideas que surgieron a parir del desarrollo de esa esis y que se quieren explorar es por ejemplo el diseño de redes de difracción en fibra ópica sinonizables en la cual el cambio de índice de refracción es generado por placas que se encuenran ubicadas periódicamene y que son conroladas elécricamene. La Figura 5-1 muesra cómo cambiaría la componene del vecor direcor a lo largo de un capilar infilrado con LC. Figura 5-1 Redes de Bragg conroladas elécricamene. La Figura 5- por ejemplo es una PCF con núcleo hueco en la cual el núcleo ha sido infilrado con LC. Ésa sencilla PCF puede generar varias aplicaciones en la ópica no lineal como el efeco

131 Diseño del disposiivo y resulados 111 de auoenfoque y/o la sinonización de la dispersión bajo los efecos de emperaura y/o campo elécrico. Figura 5- PCF con núcleo hueco infilrado con LC La Figura 5-3 muesra el esquema de lo que podría ser un demuliplexador. Consisiría en seis pares de filros con agujeros de amaños diferenes por lo cual filrarían la luz como se mosró aneriormene en rangos del especro diferenes al y como sucede en un demuliplexador. Figura 5-3 Esquema de un demuliplexador La Figura 5-4 muesra el esquema de lo que podrían ser una guía de onda ransversal o circuio ransversal. Funciona con el mismo principio de unelamieno resonane usado en esa esis pero ya no se aprovecharía la condición de fase para acoplar la luz enre dos núcleos sino para ransporar la luz desde un núcleo a oro que se encuenra muy lejano.

132 11 Disposiivo compleamene de fibra ópica basado en fibra de crisal foónico con elecrodos inegrados e infilrada selecivamene con crisales líquidos Figura 5-4 Guías de onda ransversales En fin es un sinnúmero de aplicaciones por explorar y que se comenzarán seguramene a rabajar a parir de los resulados logrados en esa esis.

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