Viga sobre Base Elastica

Transcripción

1 ees namentales e la mecánica el meio contino Viga sobre Base Elastica PRINCIPIO DE VAOR ESTACIONARIO DE A ENERGÍA POTENCIA TOTA a energía potencial total Π e n sistema elástico viene compesto por os partes: Energía potencial e los eseros internos energía e eormación U ; Energía potencial e las eras eternas Ω, one se cmple e: Π U Ω. Si la ecación. representa la conición e energía potencial total estacionaría el sistema, se pee emostrar e el valor e es n etremo e Π. Éste es el principio el valor estacionario e la energía potencial total. ego, bscamos los valores etremos mínimos máimos e la nción, es ecir, cano: Π Π. Π min Π Figra.: Mínimo e na nción.

2 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA NOTA: Si estamos en el régimen elástico lineal, la energía e eormación U siempre será Π positiva como consecencia > se cmple. En este caso, la nción energía potencial total será cóncava el valor estacionario correspone a n mínimo. En ésta sitación principio el valor estacionario e la energía potencial total se conoce como principio e la energía potencial mínima. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN - U a energía e eormación para n sistema elástico viene aa por: U σ ε V. o se tiliamos la notación ingenieril por: U σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ V V V ij Para nestro ejemplo en particlar la energía e eormación pee ser epresaa a través el esero: ij. U Para la emostración e la epresión anterior ver Elementos D. ENERGÍA POTENCIA REAIZADA POR AS CARGAS EXTERNAS - Ω M. En general la energía potencial e las eras eternas viene representao por: Ω P. one P pee representar n sistema e eras /o momentos, pee representar n sistema e esplaamientos /o rotaciones. Para los sigientes tipos e cargas tenemos e: Carga Concentraa: Ω P p, one P - Carga concentraa p - esplaamiento según irección e P. p eleión e la línea netra P Figra. Universia Castilla- a Mancha Cia Real Drat Por: Earo Chaves

3 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA Carga niormemente istribía: Ω - esplaamiento según irección e. p, one - Carga istribia, eleión e la línea netra Figra.: Carga niormemente istribia. En el caso e sea constante entro el ominio, es ecir no es na nción e, el potencial ea Ω v Momento concentrao: Ω A A M M A A M A A Figra.: Momento concentrao en el pnto A. EEMENTO FINITO VIGA Vamos consierar e a caa noo esté asociao a os esplaamientos : esplaamiento vertical na rotación. Universia Castilla- a Mancha Cia Real Drat Por: Earo Chaves

4 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA Para la emostración vamos consierar los sigientes graos e liberta en el elemento e viga: e { a Desplaamientos F M F M e { F M F M b Eseros Figra.: elemento inito tipo viga. Vamos aoptar como nción aproimaa para la eleión e la viga n polinomio e tercer grao: a b c.7 a primera erivaa viene aa por: a b c ego, para los etremos e la viga eamos con:.8 c.9 a a b c b c. Universia Castilla- a Mancha Cia Real Drat Por: Earo Chaves

5 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA Drat Por: Earo Chaves Universia Castilla- a Mancha Cia Real Resltano en el sistema e ecaciones: c b a c b a inversa. Con eso conclimos e: a. b. c.. Sstiteno los valores e a, b, c en la epresión e la eleión e la viga.7, obtenemos e:. Recorar e hemos aoptao como graos e liberta en los noos la rotación no la primera erivaa e la eleión '. Pero, ellas están relacionaas entre si a través e la epresión '. Con eso, la epresión e la eleión ea:.7 a primera erivaa viene aa por:.8 a segna erivaa ea:.9 Será e tilia obtener los sigientes valores.

6 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA Drat Por: Earo Chaves Universia Castilla- a Mancha Cia Real EJEMPOS Ejemplo Consieremos n elemento e viga, con la rigie a leión constante, sometio a na carga niormemente istribía e intensia. Figra.: Viga sometia a na carga niorme. a energía potencial total el sistema viene aa por: Ω Π U. Si estamos consierano e es inepeniente e, la energía potencial e las eras eternas reslta:

7 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA Drat Por: Earo Chaves 7 Universia Castilla- a Mancha Cia Real Ω. Sstiteno la ecación. en la ecación anterior obtenemos la epresión e Ω en nción e los parámetros noales,,, i.e.: Ω.7 Consierano e es constante entro el elemento, la energía potencial e las eras internas viene aa por: U.8 Utiliano la epresión obtenia en. la ecación anterior reslta: U.9 ego, la energía potencial. total ea: Π. Según el principio el valor estacionario e la energía potencial total ha e cmplir e: Π. 8 Π. Π. 8 Π. Reestrctrano las epresiones anteriores en orma e matri, obtenemos e:

8 8 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA o an e orma más compacta: con: [ ] { { e e. Ke. Ke.7 [ ] e ; { one [ Ke ] e la matri [ ] es la matri e rigie el elemento inito propesto. Es interesante estacar Ke no tiene inversa et[ Ke ], a e estamos tratano con na estrctra hipoestática, en este caso la estrctra tiene ininitas solciones a e no hemos restringio ningno e ss movimientos. Para e. tenga solción única tenemos e aplicar las coniciones e contorno. Poemos llegar al mismo resltao. por meio el teorema e los trabajos virtales, ver Chaves & Mínge pg. 9. Consierano el mismo ejemplo, ver Figra. con las sigientes coniciones e contorno tal como se mestran en la Figra.7. eleión Noo : Noo : Figra.7: Viga empotraa sometia a na carga niorme. Aplicano las coniciones e contorno a la ecación. reslta e: Universia Castilla- a Mancha Cia Real Drat Por: Earo Chaves

9 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA Drat Por: Earo Chaves 9 Universia Castilla- a Mancha Cia Real.8 Al resolver el sistema anterior obtenemos e: 8.9 El momento en el noo viene ao por M. Utiliano la ecación.9 obtenemos: 8 ego, el momento ea: M. Si comparamos con el valor eacto M eacto, veriicamos e ha n error e,%. Eseros en el Elemento Viga Una ve obtenio los esplaamientos.9 llega el momento e obtener los eseros en el elemento e viga. A través e los esplaamientos, calclamos las eras internas según la epresión., i.e.: { [ ] { e e Ke. resltano:

10 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA 8. e { Si estviéramos tratano con elemento inito traicional, los eseros en el elemento e viga serían el proporcionao por { e, ver Figra.8a. A meia e reinamos el error ismine. A través el Análisis e Estrctras, la solción eacta e este ejemplo viene aa por la Figra.8c, veriiemos e las reacciones en las etremiaes el elemento viga vienen aos por: ~ { { { { { e e e e e R. a { e M F M F b { ~ { e e M F M F c Solción eacta M M F F El vector { ~ { e e Figra.8: Reacciones en el elemento viga., ver ecación.7, en el Análisis e Estrctras, recibe el nombre e acciones e etremia para miembros restringios. Es ecir, la solción proporcionaa por la Figra.8b son las reacciones e srgen si la viga estviera Universia Castilla- a Mancha Cia Real Drat Por: Earo Chaves

11 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA Drat Por: Earo Chaves Universia Castilla- a Mancha Cia Real empotraa en las os etremiaes, Gere&Weaver 9, ver Figra.9. Y estas reacciones son las mismas obtenias para el vector e eras noales eivalentes, ver ecación.7. Figra.9: Reacciones en viga biempotraa. Ejemplo Figra.: Viga sometia a na carga trapeoial. Para la sitación e la Figra. tenemos e: [ ]{ { { { { e e e e e U ke Ω Ω. Como poemos ver la matri e rigie es la misma e para el ejemplo anterior a e no hemos cambiao la aproimación e la eleión. El único término e cambia es el vector e eras noales eivalentes a e la carga varía linealmente. Con eso tenemos e: Ω. Tenieno en centa las integrales.. obtenemos e: 7 7 Ω. Derivano con respecto a los valores noales, obtenemos e: M F M F

12 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA Observar e cano aa por e { recperamos el vector e eras noales eivalentes EEMENTO FINITO DE VIGA SOBRE BASE EÁSTICA Consieremos ahora e la viga está sobre na base elástica, ver Figra.. < < K Figra.: Viga sobre base elástica. En esta sitación, la energía potencial total el sistema viene aa por: Π U Ω U viga U Ω.8 Según el principio el valor estacionario e la energía potencial total ha e cmplir e: Π e o aún U viga e one [ ke ] término por: U e melle viga U melle Ω U U Ω viga melle U e e e U melle [ ]{ { e ke e.9 U melle Ω. e e e es la misma matri e rigie aa en.7. ego, solo alta eterminar el melle e. Para n mele, ver Figra., la energía e eormación viene aa Universia Castilla- a Mancha Cia Real Drat Por: Earo Chaves

13 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA U melle K. F K F F K energía almacenaa F K Figra.: Elemento tipo melle. Consierano e el coeiciente e melle epresión. ea: U melle K Aemás tiliano la ecación. obtenemos e: K es constante entro el elemento, la. U melle K 9 7. ego U K melle 9 U K melle 7 U K melle 9 U K melle 7 Reestrctrano las epresiones anteriores en orma e matri, obtenemos e:....7 Universia Castilla- a Mancha Cia Real Drat Por: Earo Chaves

14 VIGA SOBRE BASE EÁSTICA one U U melle e melle e K [ ] 9 7 e [ Ke ]{ Ke K REFERENCIA CHAVES, E.W.V. 7. Mecánica el meio contino: Conceptos básicos. Centro Internacional e Métoos Nméricos en Ingeniería - CIMNE - Barcelona. ISBN: ª Eición. GERE, J.M. & WEAVER JR., W. 9. Analsis o Frame Strctres. Van Nostran Reinhol, U.S. SECHER, E.E. 9. Elasticit in engineering. John Wile & Sons, Inc., Ne York. AIER, J.E.; BARRO, J.C., 98. Complemento e resistência os materiais. Pblicação 7/9 São Carlos - USP - EESC. UGURA, A.C.; FENSTER, S.K., 98. Avance strength an applie elasticit - The SI version. Elsevier Science Pblishing Co. Inc., Ne York. Universia Castilla- a Mancha Cia Real Drat Por: Earo Chaves