1. Principios Básicos de Resistencia de Materiales

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1 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL. Principio Báico de Reitencia de Materiale.. QULBRO STÁTCO Se define como aquella condición en la cual ometido el cuerpo a una erie de fuera momento eteriore e mantiene en repoo o con un movimiento uniforme: F F M M F F 0 M 0 ().. PRNCPO D CORT Si a un cuerpo en equilibrio e le corta por una ección cualquiera igue etando ometido a la fuera momento eteriore. Para que iga etando en equilibrio tenemo que colocar en la ección cortada una reultante de fuera una reultante de momento, que lo repreentaremo como R M. n dicha ección eiten una tenione, fuera por unidad de área, que dan como reultante R M. pear de que dicha fuera on interiore i e conidera todo el itema, on eteriore cuando e aplican obre el ubitema. l ubitema ailado con la fuera eteriore que actúan obre él la fuera reultante de la interacción con el itema total e denomina diagrama de ólido libre. - 5 DSÑO D MÁQUNS

2 004 V. BDOL F F M R M M F F M Dentro de cada ección de corte eitirán efuero momento para compenar lo eteriore. Lo tipo de olicitacione que encontraremo erán: M T T N M M fuero perpendiculare a la ección N (tracción o compreión) fuero contenido en la ección T (cortadura) Momento. n el eje M, fleión. n el eje M, fleión. n el eje M, torión.. CONCPTO D TNSÓN UNTR. COMPONNTS DL SFURZO La barra de la Figura etá ometida a un efuero de tracción FN. Si e corta la barra egún una ección BB perpendicular a u eje, la reultante de la tenione que actúan obre la ección de corte, de área c, erá igual a FN. Suponiendo una ditribución uniforme de FN a lo largo de la uperficie, puede introducire el concepto de fuera por unidad de uperficie, a, como: DSÑO D MÁQUNS - 6 -

3 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL F N a () c Figura - Barra ometida a efuero de tracción partir de la ecuación (), e define el concepto de tenión unitaria: F N lim r 0 c df d N c () que e el efuero por unidad de área que e ejerce entre la do parte de un cuerpo, dividido idealmente por un determinado plano BB, a travé de una uperficie de BB de tamaño infiniteimal, alrededor de un punto. La tenión unitaria e refiere a un punto a un plano (BB). Como e una fuera, la tenión unitaria e un vector, por lo que, por regla general, podremo coniderar componente, una normal do ituada en el plano - tenión normal tenione tangenciale - e uelen deignar τ, repectivamente. Por convenio, la tenión e identificará con do ubíndice: el primero identifica el plano donde etá aplicada la tenión (correponde a la normal a ete plano) el egundo correponde a la dirección de la tenión (Figura ). Figura - Convenio de notación para la tenione - 7 DSÑO D MÁQUNS

4 004 V. BDOL La convención cláica etablece que lo efuero normale, on poitivo i etán dirigido hacia el eterior del elemento (tracción). Lo efuero cortante actuante en cara poitiva τ, τ, τ, τ, τ τ on poitivo i e ejercen en la dirección poitiva de un eje de referencia. Como el elemento que e preenta etá en equilibrio etático, la cara negativa de dicho elemento tendrán efuero cortante que actúan en la dirección opueta, pero también e le conidera poitivo. Por otro lado, planteando el equilibrio de fuera en el elemento e deduce la imetría del tenor de tenione: τ τ τ τ τ τ Realicemo la demotración para el cao bidimenional: Conideremo ete elemento en equilibrio etático: τ M 0 ( dd) d τ ( dd) d 0 τ τ.4. HPÓTSS D RSSTNC Primera hipótei: elaticidad perfecta. laticidad e la propiedad del material tal que le permite recuperar u forma dimenione originale una ve quitada la carga. La elaticidad perfecta implica el cumplimiento de la Le de Hooke, que etablece una proporcionalidad entre la tenione la deformacione, iendo el Módulo de laticidad o Módulo de Young la contante de proporcionalidad. Un material elático no cumple neceariamente la le de Hooke. No obtante, todo material que cumple dicha le e elático. DSÑO D MÁQUNS - 8 -

5 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL n el cao del acero, e adopta un valor de 0Gpa, en el cao del cobre 05Gpa en el cao del aluminio 70Gpa. Una piea de longitud Lo ometida a una fuera tractiva, e alargará una cantidad δ que e denomina deformación. Se define como deformación unitaria la deformación por unidad de longitud: perimentalmente e demuetra que cuando un material e tracciona, eite no olo una deformación aial ino también una contracción lateral. Poion demotró que dicha deformacione eran proporcionale en el rango de elaticidad perfecta, iendo υ la contante de proporcionalidad que e denomina Módulo de Poion. n el cao de lo metale u valor e 0. lateral υ aial La elaticidad perfecta para tenione de cortadura implica que eite una proporcionalidad entre la tenione τ la deformación angular γ : donde δ L o τ G γ G. G e define como el Módulo de laticidad a Cortadura. ( + υ ) Segunda hipótei: homogeneidad. Toda la piea tienen la mima propiedade en toda u etenión Tercera hipótei: iotropía. Toda la piea tienen la mima propiedade en toda la direccione.5. SOLCTCONS.5.. TRCCÓN Se preenta cuando obre un elemento actúan do fuera iguale pero de entido contrario que tienden a alargar el material. Para tener únicamente tracción, el efuero de ituare en el centro de gravedad de la ección. La tenione e etudian en el entido del corte. Si cortamo una ección perpendicular al efuero a una ditancia lo eparamo del reto, el efuero P no dará tenione. Suponemo que la tenione on uniforme, e decir, iguale en todo lo punto de la ección: P P P Figura - Viga ometida a TRCCON - 9 DSÑO D MÁQUNS

6 004 V. BDOL P d P, luego (4) Por convenio e conidera que la tracción e poitiva. La deformacione e deducen a partir de la iguiente epreione: (5) δ (6) L o Luego, P δ L o PL δ o (7).5.. COMPRSÓN Se preenta cuando obre una piea actúan do fuera iguale pero de entido contrario que tienden a acortar el material. Suponemo la mima hipótei e idéntico dearrollo que en tracción, alvo por el convenio de igno, que aigna valor negativo a la compreión. P ( ) (8) P L δ o ( ) (9).5.. FLXÓN PUR la conecuencia de uno efuero o momento eteriore que no producen en la ección cortada ecluivamente un momento de fleión. Conideramo la iguiente hipótei de trabajo: La viga e originalmente recta con una ección tranveral contante en la longitud de la viga. La viga poee un eje de imetría en el plano de fleión de la viga. La proporcione de la viga on tale que falla por fleión ante que por pandeo, etc. La eccione tranverale permanece plana depué de la deformación Conideremo una viga deformada obre la cual tomamo un elemento diferencial: DSÑO D MÁQUNS - 0 -

7 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL Figura 4 - Viga ometida a FLXON PUR n la figura anterior e muetra una viga obre la que actúa un momento flector poitivo M. l eje Y e el eje de imetría de la viga. l eje X coincide con la fibra neutra de la viga, el plano XZ que contiene lo eje neutro de toda la eccione (paralelo al eje Z) recibe el nombre de uperficie neutra. Lo elemento de la viga que etén obre dicha uperficie tendrán deformación nula. l aplicar el momento M e produce una curvatura de la viga. í, la ección B (originalmente paralela a CD, pueto que la viga era recta) girará un ángulo dφ hata la poición B. Lo trao B B on recto, de forma que e verifica la hipótei de que la eccione plana permanecen aí durante fleión. Si e denota ρ como radio de curvatura del eje neutro de la viga, d la longitud de un elemento diferencial de dicho eje dφ para el ángulo entre la recta CD B, entonce e tiene que: dφ ρ d (0) l cambio de longitud de una fibra eparada del eje neutro una ditancia e: d dφ () La deformación e igual a la variación de longitud dividida por la longitud inicial: d () d Y utituendo la epreione () (), ρ í, la deformación e proporcional a la ditancia dede el eje neutro. hora bien, como, e tiene que: ρ La fuera que actúa obre un elemento de área d e d, pueto que dicho elemento etá en equilibrio, la uma de fuera debe er nula. Por coniguiente, () (4) d d 0 ρ (5) La ecuación anterior determina la localiación del eje neutro de la ección. - DSÑO D MÁQUNS

8 004 V. BDOL Por otro lado, el equilibrio requiere que el momento flector interno originado por el efuero ea igual al momento eterno M. to e, M d d ρ (6) ρ e define como el momento de inercia del área tranveral con repecto al eje : (). De la ecuación anterior, M ρ (7) Finalmente, depejando ρ de la epreión (4) utituendo en (7), M (8) La ecuación anterior etablece que la tenión e directamente proporcional a la ditancia dede el eje neutro al momento flector M. Figura 5 - Ditribución de tenione en FLXON PUR Si deignamo por c la ditancia máima a la fibra neutra, w, módulo reitente (9) c M c M ma (0) w Defleión debido a fleión Se ha dearrollado la epreión que relaciona el momento flector M con la curvatura de la viga a fleión epreión (7). De etudio matemático e tiene que la curvatura de un plano curvo e: ρ d d d + d n eta epreión, la pendiente de la viga en cualquier punto e eprea como: / d θ () d () DSÑO D MÁQUNS - -

9 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL n mucho problema en fleión, donde la pendiente e mu pequeña, e puede coniderar el denominador de la epreión () como la unidad. ntonce, dicha epreión e reecribe como: d ρ d () Y utituendo la epreión (7) en la epreión (), e obtiene: d d M (4) ta epreión e conoce como la ecuación de la elática en fleión. Cuando e conidera que el eje Y va en entido de vertical negativo, la epreión anterior e reecribe como: d d M (5).5.4. FLXÓN SMPL: CORTDUR Y FLXÓN una olicitación obre una ección que combina un momento flector un efuero cortante contenido en dicha ección. jemplo de fleión imple on lo iguiente: Viga cargada con carga repartida variable: q () T q () M L R R R R Viga cargada con carga repartida contante: q ()q T M L R R R R q L/ R - DSÑO D MÁQUNS

10 004 V. BDOL M L q q q ( L ) L L T q ( L ) q q Se define la cara poitiva aquella en la que el eje X ale de la cara. l convenio de igno para momento efuero cortante. Figura 6 - Convención de igno en fleión cortadura ite una relación entre lo efuero cortante lo momento flectore. Pueto que la viga etá en equilibrio e verifica: dt F v 0 T + T + dt + q d 0 q (6) d d dm M T (7) d 0 ( M + dm) + q d + M + ( T + dt) d 0 La concluione que e derivan de ete dearrollo on: Si eite un efuero cortante, e produce variación del momento flector. n lo punto donde q0 e produce el valor máimo o mínimo del efuero cortante T n lo punto donde T0 e produce el valor máimo o mínimo del momento flector M DSÑO D MÁQUNS - 4 -

11 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL.5.5. CORTDUR Lo efuero cortante o efuero de cortadura provocan la aparición de tenione de cortadura dentro de la ección en la que actúan. La tenione de cortadura e caracterian porque: No provocan cambio de volumen, ólo producen una deformación angular. La proporcionalidad entre el ángulo deformado la tenión viene dada por el módulo de elaticidad en cortadura o módulo de cortadura G: τ G γ donde G. + υ Son iguale do a do confluen en un mimo punto n el plano: d ( ) τ γ d τ τ τ La deformación angular e denomina γ. Cálculo de la tenione de cortadura en viga. fuero tangencial horiontal. La maoría de viga tienen fuera de cortadura momento flectore. Sólo ocaionalmente encontramo viga ometida a fleión pura. La fórmula de fleión e dearrolla aumiendo fleión pura. De hecho, la raón de dicha hipótei ha ido implemente eliminar lo complicado efecto de la tenione de cortadura. n ingeniería, la fórmula de fleión e válida etén preente o no fuera de cortadura. Por ello, emplearemo la ecuación (8) cuando etén preente fuera de cortadura. Conideremo una viga ometida a fuera de cortadura momento flectore. Conidéree un elemento d de la viga. Supóngae que la ección e arbitraria. Se traa un plano horiontal cortando a la ección paralelo al plano XZ. La eparamo no quedamo con la parte uperior. - 5 DSÑO D MÁQUNS

12 004 V. BDOL T+dT T M+dM M d N+dN N dr e d Donde: T: efuero cortante Figura 7 - lemento de viga ometido a cortadura dr: efuero tangencial horiontal, contenido en el plano horiontal del corte dado a la piea N: tenione debida a la fleión : momento de inercia de toda la ección S: momento etático del area : ditancia a la fibra neutra Debida a la fleión e producen tenione en cada punto d, que darán una reultante N en una cara otra en la cara opueta N+dN. Para que el elemento eté en equilibrio e neceario una olicitación dr en el plano horiontal que lo denotaremo como efuero tangencial horiontal. N ( N + dn) + dr 0 (8) ( M + dm) ( M + dm) ( M + dm) N + dn d d ( M + dm) N + dn S (9) M M M N d d d S S DSÑO D MÁQUNS - 6 -

13 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL M N S (0) Sutituendo en la epreión (8) la epreione (9) (0), e obtiene: De la ecuación de la elática e deduce que dm dr S () dm T, por lo tanto: d T S dr d () La epreión () e conoce como la fórmula del efuero tangencial horiontal. Una ve obtenido dr, e pueden deducir la tenione de cortadura aumiendo una ditribución uniforme de la mima en todo lo ancho de la ección. Figura 8 - lemento de viga ometido a cortadura dr T S d T S τ () e d e d e La hipótei de tenión uniforme e ólo válida cuando e trata de piea de ección delgada abierta. Debe tenere en cuenta que la tenione de cortadura llevan la dirección de la forma eterior de la piea. jemplo: cálculo de tenione de cortadura en viga de ección rectangular Deformacione debida a efuero cortante La fleión produce una deformacione llamada flecha e calculan por medio de la elática. Lo efuero cortante producen también flecha. Para calcularla e iguala el trabajo de deformación aportado a la viga por el efuero cortante a la energía elática en cortadura. - 7 DSÑO D MÁQUNS

14 004 V. BDOL Conidéree la iguiente viga cargada tal que: Se toma una rebanada de la viga para etudiar el movimiento producido por el efuero cortante. d γ B T B l centro de gravedad e mueve de B a B, e deigna d dicho movimiento (BB d). í, e verifica: d γ (4) d l trabajo realiado por el efuero cortante contra la piea e: dw T d T γ La energía de deformación por unidad de longitud e: T U G ℵ Donde ℵ e la ección equivalente en cortadura. í, la energía elática aborbida por el elemento d erá: T du d G ℵ l trabajo aportado debe er igual a la energía elática del efuero cortante: T dw T γ d du d G ℵ ntonce, la ecuación de la elática debido al efuero cortante reulta: d T (5) d ℵ G eta epreión debe añadírele una contante de integración C: d d T + C (6) d ℵ G DSÑO D MÁQUNS - 8 -

15 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL La ección equivalente en cortadura e: Sección rectangular de área : Sección circular de área : n general: ℵ S e d d ℵ 5 ℵ TORSÓN Cualquier vector colineal con un eje geométrico de un elemento mecánico e denomina toror. Conideremo la iguiente hipótei: Sobre el cilindro actúa un toror puro (mimo momento toror en cualquier ección), la eccione tranverale analiada etán lejo de cambio de ección lejo de punto de aplicación de carga. Seccione tranverale plana paralela ante de aplicación del toror permanecen aí depué de torión, línea de recta permanecen recta. Se cumple la le de Hooke Conidéree un cilindro empotrado ometido a un momento toror. Sobre un elemento d a una ditancia ρ del eje X, el toror provoca una deformación angular γ tal que τ G γ. Figura 9 - Barra circular ometida a TORSOR Por otro lado, aumiendo régimen elático lineal, la deformacione e aumen pequeña, por lo tanto: ρ θ tan( γ ) γ (7) L Y utituendo eta epreión en la ecuación de elaticidad perfecta: ρ θ τ G (8) L Tomando una ección cualquiera del cilindro: - 9 DSÑO D MÁQUNS

16 004 V. BDOL dt ρ df ρ τ d (9) integrando, ρ θ θ T ρ df ρ τ d ρ G d G ρ d G p (40) L L L donde p e define como el momento polar de inercia. Y depejando el ángulo de giro: T L θ (4) G p Con lo que la epreión (8) e reecribe: T ρ τ (4) p La concluione que e derivan on: l ángulo máimo de giro θ (cuación 4) e produce en el etremo del cilindro, en la ección empotrada el ángulo de giro e nulo (definición de empotramiento). La tenión a cortadura máima e produce en la periferia del cilindro, ρr, luego T R τ (R). n el eje del cilindro, ρ0, luego τ(0)0. p p e define como el momento polar de inercia: n eccione macia: p πd 4 4 π ( Det Dint ) n eccione hueca: p 4 n barra no circulare, el cálculo a torión reulta difícil, por lo que e emplea el método de elemento finito. La fórmula aproimada para calcular la tenión a cortadura máima en una ección rectangular de ancho w epeor t (e conidera la dimenión má corta) e preenta a continuación: T t τma +.8 (4) w t w θ DSÑO D MÁQUNS - 0 -

17 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL Cálculo del momento toror lemento giratorio que tranmiten potencia etán ometido a torión. Potencia Par ϖ H giro rad [ W] T[ N m ] n π T Lb in H[ hp].000 [ ] n[ rpm] T[ Lb in] n[ rpm] [ ] V[ ft / min] F Lb H[ hp] n la epreione anteriore F e la fuera aplicada en la periferia del elemento, V e la velocidad periférica..6. CÁLCULO D DFORMCONS N VGS.6.. DSRROLLO D L CUCÓN D L LÁSTC. PROCDMNTO D NTGRCÓN. Se parte de la ecuación de la elática mediante integración e obtienen lo ángulo (d/d) la flecha (), epreión (5). M te método no e iempre poible o recomendable (por ejemplo, cuando la ección e variable o la epreión del momento flector en función de e varía variable) d d.6.. TORMS D MOHR PR LS DFORMCONS, FLCHS Y ÁNGULOS N PUNTOS CONCRTOS. Primer teorema: Método de giro. Pueto que: M dφ M dφ d (44) d ntegrando la ecuación anterior entre do punto B, φ B φ B M d La diferencia entre lo ángulo de do punto o el giro total entre do punto e igual al área comprendida por la función entre eto do punto. to e el área que queda debajo de la curva del momento flector dividido por, entre lo punto B con igno negativo. (45) - DSÑO D MÁQUNS

18 004 V. BDOL Segundo teorema: Cálculo de flecha deformacione. Mediante ete teorema e calcula la flecha en el punto B en relación con la tangente en el punto denotaremo dicha flecha como B/. donde punto B. B M B / B d (46) B e la ditancia dede el centro de gravedad del área de momento entre B al Un valor poitivo de B/ ignifica que e hacia abajo, un valor negativo e mide dede la tangente en B hacia arriba. Figura 9 - Segundo Teorema de Mohr. jemplo: viga empotrada con carga en etremo, viga empotrada con momento en etremo, viga biapoada con momento en etremo MÉTODO D CSTGLNO te método e útil para obtener la deformacione o flecha debida a la fleión para reolver problema hiperetático. tablece que el movimiento en la dirección de un efuero e igual a la derivada parcial de la energía elática total repecto del efuero. U ξ F (47) F La energía elática e el reultado del trabajo originado por la olicitacione interna (tracción, compreión, fleión, torión, ) P nergía elática en tracción compreión: U d P P du δ d (48) nergía elática en fleión: U M d M du M dφ M d (49) DSÑO D MÁQUNS - -

19 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL nergía elática a cortadura: U Q d Gℵ Q du Q dγ Q d (50) Gℵ T nergía elática en torión: U G p d T du T dθ T d (5) G p Con todo, la ecuación generaliada de la energía elática e: P M Q T U d + d d d + + (5) Gℵ G Y la ecuación generaliada de Catigliano reulta por lo tanto: p ξ U P M Q T P d + M d + Q d + T d Gℵ G (5) p Mediante ete método e puede calcular también flecha o deformacione en punto de la viga donde no haa carga aplicada. Para ello, e coloca una fuera ficticia en el punto cua deformación e deea calcular. maginemo que deeamo calcular la flecha en el punto : P F Se coloca una fuera ficticia F en el punto. l momento flector total e el debido a la carga reale má a la carga virtual F. f f M M + F M (54) donde: í, M f : momento flector debido a la carga reale M f : momento flector debido a la carga unitaria ficticia U M ξ M d F (55) F Luego: M ( M + F M ) d ξ f f (56) F - DSÑO D MÁQUNS

20 004 V. BDOL Como F0 M F M f, aumiendo que e contante en la ección: ξ Mf Mf d (57) Principio de Superpoición Cuando en una ección ha tracción, torión, el efecto total de la tenione en ea ección e igual a la uma de lo efecto individuale MÉTODO D L VG CONJUGD Trata de utiliar una imilitud matemática entre una erie de fórmula. Conite en cargar una viga real con el diagrama de momento flectore dividido por. n eta viga conjugada lo efuero cortante coinciden con lo giro de la viga real, lo momento flectore coinciden con la deformacione o flecha de la viga real. jemplo: viga biapoada con momento en etremo..7. PROBLMS STÁTCMNT NDTRMNDOS Son aquello en lo que el número de reaccione o fuera eteriore e uperior al de la ecuacione que plantea la etática. Para reolver ete tipo de problema eiten do método: Compatibilidad geométrica: conite en plantear el deplaamiento compatible del itema. Método de Catigliano: conite en coniderar una reacción redundante como una fuera eterior plantear el cálculo del grado de libertad retringido por dicha reacción redundante mediante Catigliano. Dicho grado de libertad erá nulo, por lo que e obtiene una ecuación con una única incognita (la reacción redundante)..8. PROPDDS D SCCONS.8.. CNTRO D GRVDD. MOMNTO STÁTCO D PRMR ORDN. l centro de gravedad de una ección cualquiera e define mediante la coordenada tal forma que e cumplen la iguiente condicione.,, de ( ) d 0 ( ) d 0 d DSÑO D MÁQUNS - 4 -

21 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL to e el momento etático del área repecto al eje que paa por el centro de gravedad. De la epreione anteriore e deduce: d (58) d (59) Cuando el momento etático del área e cero, ignifica que el eje paa por el centro de gravedad de la ección, a que en la epreione anteriore el área no e nula con lo que el valor de la ordenada debe er cero. jemplo: Cálculo del c.d.g. de una viga en T.8.. MOMNTO D NRC. MOMNTO STÁTCO D SGUNDO ORDN. Se define como la uma de lo producto de la área por la ditancia al cuadrado. l momento de inercia repecto de un punto e: o r d (60) d l momento de inercia repecto de un eje e: d (6) d (6) Se verifica: + (6) o O r Para calcular el momento de inercia repecto de un eje que no paa por el dentro de gravedad, e uele plantear el Teorema de Steiner: cg + d (64) jemplo: Cálculo del momento de inercia de viga en U..9. STDO PLNO D TNSONS Se etudia a continuación el cao en el que el elemento diferencial etá ometido a tenione paralela a do de lo eje (X e Y en ete cao) como e repreentan en la Figura 0. n ete cao, tal como e deduce de la figura, e cumple que: τ τ 0 (65) Figura 0 - lemento en efuero plano - 5 DSÑO D MÁQUNS

22 004 V. BDOL, por lo tanto: τ τ 0. Supóngae conocido (,, τ) que e quiere calcular (,, τ). Lo eje (, ) e obtienen a partir de (, ) con un giro θ (en el entido indicado en la Figura ). Figura - lemento en efuero plano Para relacionar (,, τ) (,, τ) e útil acudir a la Figura, que permite etablecer lo efuero que actúan obre una cuña en efuero plano. Figura - lemento en forma de cuña en efuero plano (efuero fuera) l analiar el equilibrio de ete elemento e deducen la iguiente relacione: + + coθ + τ enθ (66) + coθ τ enθ (67) τ enθ + τ coθ (68) donde e cumple que ++ l cao má general de efuero plano e reduce a etado de efuero má imple bajo condicione epeciale tal como e equematia en la Figura. DSÑO D MÁQUNS - 6 -

23 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL Figura - Cao particulare de tenión plana (biaial, uniaial, cortante puro).9.. SFURZOS PRNCPLS Y SFURZOS CORTNTS MÁXMOS Suponiendo un etado plano de tenione utiliando por tanto la epreione anteriore, e quiere calcular el valor máimo. Pueto que: + + coθ + τ enθ (69) el máimo e obtendrá derivando la epreión anterior: d 0 ( ) enθ + τ co θ (70) dθ depejando e obtiene el ángulo θp que cumple la ecuación (7) tg τ θ p (7) ( ) Habrá do valore ditinto de θp que cumplen la ecuación (7) - que difieren en 90º -. lo valore de lo efuero que correponden a lo eje definido por θp lo llamaremo efuero (o tenione) principale tendrán lugar, por lo tanto, en plano perpendiculare entre í. Lo valore de ea tenione principale e pueden obtener utituendo (θp) (θp+90º) repectivamente en la ecuación (69) τ (7) + + τ (7) Si e conidera ahora la ecuación (68) que proporciona el efuero cortante: τ enθ + τ co θ (74) p p de donde e puede deducir que, utituendo el valor de tg(θp) que proporciona la ecuación (7) en la ecuación (74), τ 0. Por tanto, lo efuero cortante on nulo obre lo plano principale. - 7 DSÑO D MÁQUNS

24 004 V. BDOL De la mima forma que e ha hecho para, calcularemo ahora el valor de θ para el que τ e máimo. Recuérdee que: τ enθ + τ co θ (75) Derivando e igualando a cero la derivada, dτ dθ 0 ( )co θ + τ enθ (76) de donde depejando e obtiene el ángulo θ que cumple la ecuación (77) tg θ (77) τ ( ) La ecuación (77) proporciona también do valore de θ que difieren 90º. Comparando θ con θp e obtiene la iguiente relación tg θ θ θp ± 45 (78) tg ( ) ( θ ) p De la ecuación (78) e deduce que lo plano de efuero cortante máimo etán orientado a 45º de lo plano principale. Si ahora e calcula τma para θ θ a partir de la ecuacione (77) (74), e obtiene la iguiente epreión τ ma + τ (79) recordando la epreione de, (7) (7): τ ma (80).9.. CÍRCULO D MOHR Partiendo de la ecuacione a conocida en la que τ e obtienen en función de,, τ: + + co θ + τ enθ τ enθ + τ co θ La do ecuacione anteriore e pueden reordenar, elevando al cuadrado umando para obtener una epreión en la que lo ditinto valore (, τ), cuando varía θ, forman un círculo que en uno eje (, τ ): DSÑO D MÁQUNS - 8 -

25 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL tiene por centro el punto +,0 tiene un radio de valor igual a Luego conocido (,, τ) e útil una repreentación conocida por círculo de Mohr (Figura 4) en el que podemo reconocer la direccione principale, la tenione principale la tenione en cualquier otro plano de una forma gráfica encilla. La convención de igno que e adopta para la contrucción del círculo de Mohr e la iguiente: efuero cortante poitivo on aquello que etén de acuerdo al entido de giro de la manecilla del reloj. to ignifica que en dicha figura, τ e poitivo τ negativo. Lo efuero normale iguen el criterio de la convención cláica. La contrucción del circulo de Mohr e lleva a cabo teniendo en cuenta que: - para θ 0 τ τ - para θ 90º τ -τ n ete círculo e repreentan lo efuero normale en abcia lo efuero cortante en ordenada. Lo efuero normale poitivo (tracción) e marcan a la derecha del origen O, lo negativo (compreión) a la iquierda del origen O. Lo efuero cortante poitivo (entido del reloj) e traan en ordenada poitiva lo efuero cortante negativo (entido contrario del reloj) e traan en ordenada negativa. + τ Figura 4 - Círculo de Mohr para efuero plano - 9 DSÑO D MÁQUNS

26 004 V. BDOL conveniente coniderar lo ditinto etado tenionale poible en el cao de tenión plana: Cao : > > 0. La máima tenión de cortadura e τ ma Cao : 0 > >. La máima tenión de cortadura e τ ma Cao : > 0, < 0. La máima tenión de cortadura e τ ma La utilidad del dearrollo anterior puede vere en el ejemplo que igue. Supongamo que fuéramo capace de determinar la deformacione unitaria con algún elemento de medida quiiéramo determinar la tenione a la que etá ometido el material en un punto determinado, aí como la direccione principale la tenione en cualquier otra dirección. La pregunta e cuánto elemento de medida harían falta? Supóngae que e colocan tre elemento (, B, C) alrededor de un punto O tal como e indica en la Figura 5 egún una referencia (, ) que elegimo arbitrariamente. Si ahora e toman lo eje (, ), utiliando la ecuacione de tranformación para deformación plana particulariada para θ 45º: Figura 5 - Situación de lo eje de referencia ( a c) De igual forma que e ha obtenido el círculo de Mohr para tenione e puede realiar el dearrollo análogo para deformacione. í, e puede plantear para la deformación a 45º la iguiente epreión: a + c a γ c b + co 90º + en 90º (8) depejando e obtiene: γ (8) b a c De eta manera, obtenido,, γ e pueden hallar,, τ, poteriormente - con la auda del círculo de Mohr - la tenione principale, la direccione principale la tenione egún cualquier otro eje. Obérvee que la utiliación de la realcione del círculo de Mohr han ido necearia para calcular la deformación angular. n la realidad, lo elemento de medida que e emplean para medir deformacione on galga etenométrica pegada en la uperficie de la piea cua deformación puntual e quiera medir. n eto elemento, la variación relativa de reitencia que e produce en un hilo conductor cuando éte e deforma e proporcional mediante el factor de galga a la deformación. to elemento ólo pueden medir deformacione lineale, no angulare. De ahí la neceidad del empleo de la relacione del Círculo de Mohr para caracteriar completamente el etado de tenionedeformacione del elemento. DSÑO D MÁQUNS - 0 -

27 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL.0. STDO D SFURZO TRXL la generaliación de lo vito para etado de tenione biaial. Lo efuero principale e obtienen al calcular la tre raíce de la ecuación cúbica: ( + + ) + ( + + τ τ τ ) ( + τ τ τ τ τ τ ) 0 l traar lo círculo de Mohr para efuero triaial e ordenan lo efuero principale tal que > >. La coordenada de efuero N, τ N para un plano de localiación arbitraria etarán dentro del área ombreada de la figura iguiente: Figura 6 - Círculo de Mohr D. Lo efuero cortante principale on: τ / (8) τ / (84) τ / (85) í, para > >, el efuero cortante máimo e τ /. - DSÑO D MÁQUNS

28 004 V. BDOL. SFURZOS OCTÉDRCOS Conidéree un elemento de efuero que tienen uno efuero principale,,. Se corta dicho elemento por un plano que forme ángulo iguale con cada uno de lo tre efuero principale. Dicho plano e denomina plano octaédrico. La reultante, τ en dicho plano e denominan efuero normal octaédrico efuero cortante octaédrico. τ oct Figura 7 - fuero Octaédrico ( τ + τ + τ ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + 6 ( τ + τ + τ ) / / / (86) ( + + ) ( + + ) oct (87) DSÑO D MÁQUNS - -

29 DPTO. NGNRÍ MCÁNC, NRGÉTC Y D MTRLS 004 V. BDOL.. RLCÓN TNSÓN DFORMCÓN... TNSÓN PLN Supóngae que eite una relación lineal entre la deformación de un material la tenión a la que etá ometido. La epreión má encilla e la Le de Hooke que relaciona tenión deformación mediante el módulo de Young (). Si conideramo el cao del efuero plano (Figura 8), la deformación unitaria egún la dirección - - e provocada por - en una cantidad / - por - en una cantidad -υ/ (efecto Poion) - luego: ( ) ν (88) de igual forma pueden hallare epreione como (88) para. Figura8 - fuero plano, biaial u ve, el efuero cortante ocaiona una ditorión del elemento diferencial, en forma de deformación angular γ relacionada con τ a travé del módulo de cialladura G. Luego la relacione tenión/deformación pueden epreare - en el cao de tenión plana -: ( ) ν ( ) ν γ ( ) (89) (90) ν + (9) o bien; τ τ (9) G ( ν ) + (9) ν ( ν ) + (94) ν Gγ (95) - DSÑO D MÁQUNS

30 004 V. BDOL DSÑO D MÁQUNS GNRLZCÓN Tipo de efuero Deformacione principale fuero principale Uniaial υ υ 0 0 Biaial υ υ υ υ ( ) ( ) 0 υ + υ υ + υ Triaial υ υ υ υ υ υ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) υ υ + + υ υ υ υ + + υ υ υ υ + + υ υ

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