Tema 3 : CUERPO ELÁSTICO

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1 Tema : Cuerpo lástico Tema : CURP LÁSTIC L L i L f Prof: Jaime Santo Domingo Santillana PS-Zamora (USAL) - 008

2 Tema : Cuerpo lástico - INTRDUCCIÓN La eperiencia nos enseña que todo cuerpo bajo la acción de las fueras aplicadas, se deforma que al suprimir éstas, el cuerpo tiende a recuperar su forma inicial sta propiedad que poseen todos los cuerpos, en maor o menor grado, se denomina LASTICIDAD Dependiendo del material del que estén hechos los cuerpos, se tendrá que unos cuerpos se comportarán más elásticos que otros a su ve, para un cuerpo de un material determinado, dependiendo de la magnitud de las fueras aplicadas, se comportará total o parcialmente elástico Se dirá que se comporta totalmente elástico si al retirar la fuera a la que está sometido recupera totalmente su forma inicial parcialmente elástico en caso contrario, es decir que al retirar la fuera aplicada no recupera totalmente la forma inicial, dejando en él una deformación permanente L L L L L L L L deformación elástica deformación permanente deformación elástica ig Así mismo, en nuestro análisis, admitiremos que los cuerpos son ISÓTRPS, es decir, que sus propiedades elásticas son iguales en cualquier dirección sto no ocurre eactamente por ejemplo en materiales fibrosos como la madera, ni en materiales formados por laminación n estos materiales habrá que hacer un estudio específico de los mismos, aunque en muchos casos, los resultados que se obtienen con esta hipótesis son satisfactorios - RLACINS NTR TNSINS Y DRMACINS LY D HK NRALIZADA Se ha visto en los temas º º que en un cuerpo sometido a fueras eteriores, a cada punto del mismo, le corresponde un estado de tensiones un estado de deformaciones Siendo unas, consecuencia de las otras, es evidente que ha de eistir una relación entre ambos estados ue Hooke el que dedujo dichas relaciones

3 Sección : Relaciones entre tensiones deformaciones Le de Hooke generaliada LY D HK iste proporcionalidad entre las componentes del estado de tensiones las componentes del estado de deformaciones Los coeficientes que regulan dicha proporcionalidad dependen de las constantes físicas del material no de las particularidades geométricas del cuerpo Para estudiar la deformación del paralelepípedo elemental debida a la acción de las tensiones, utiliaremos el Principio de Superposición ig Deformaciones debidas a : perimentalmente se ha demostrado que las tensiones normales, actuando sobre las caras opuestas del paralelepípedo sólo originan deformaciones longitudinales según las aristas del paralelepípedo no producen ninguna deformación angular C D C D A A B B ig Según la Le de Hooke: las deformaciones longitudinales, son proporcionales a las tensiones normales que las producen: L A B AB Cte proporcionalidad L AB

4 Tema : Cuerpo lástico 4 Siendo MÓDUL D LASTICIDAD LNITUDINAL s una constante física de cada material se obtiene eperimentalmente Sus dimensiones son: N/mm Según se observa en la figura (), el alargamiento longitudinal debido a la tensión normal, va acompañado de acortamientos longitudinales en dirección de los ejes, que según la le de Hooke vienen dados por: siendo υ CICINT D PISSN s también una constante física de cada material es adimensional De igual forma que hemos obtenidos las deformaciones debidas a la tensión normal, se obtendrían las deformaciones debidas a las tensiones normales : Deformaciones debidas a : Deformaciones debidas a : aplicando el Principio de Superposición, las deformaciones debidas a las tensiones normales:,, serán: cuaciones que nos relacionan las deformaciones longitudinales, con las tensiones normales AD AD A D L L AC AC A C L L ()

5 Sección : Relaciones entre tensiones deformaciones Le de Hooke generaliada Deformaciones debidas a : También se ha demostrado eperimentalmente que las tensiones cortantes, actuando sobre las caras del paralelepípedo, originan deformaciones angulares B / B A / A ig4 Según la le de Hooke: las deformaciones angulares son proporcionales a las tensiones cortantes : tag AA A Cte proporcionalidad siendo MÓDUL D LASTICIDAD ANULAR s una constante física de cada material se obtiene eperimentalmente Sus dimensiones son: N/mm De igual forma que hemos obtenidos las deformaciones debidas a la tensión cortante, se obtendrían las deformaciones debidas a las tensiones cortantes : Deformaciones debidas a a : aplicando el Principio de Superposición, las deformaciones debidas a las tensiones cortantes:,, serán: () cuaciones que nos relacionan las deformaciones angulares, con las tensiones cortantes 5

6 Tema : Cuerpo lástico 6 Así pues el resumen de ecuaciones que relacionan las tensiones deformaciones obtenidas en () (), dadas por la Le de Hooke generaliada son: Las relaciones inversas son: siendo: bservación: Las constantes físicas:, υ, están relacionadas entre ellas mediante la siguiente ecuación: Valores de, υ, para diversos materiales: MATRIAL (N/mm ) (N/mm ) υ acero, , aluminio (aleacción) 0, , cobre, ,6 () e e e λ λ λ (4) e ( )( ) λ (5) (6) ( ) (7)

7 Sección : Trabajo de las fueras eternas - TRABAJ D LAS URZAS XTRNAS Sea un cuerpo elástico con los vínculos eternos suficientes para que no pueda moverse apliquemos sobre él, de forma lenta gradual, las fueras:,, i, n, que originarán los desplaamientos:,, i, n, de sus puntos de aplicación Sean: δ, δ, δ i, δ n, las componentes de dichos desplaamientos en la dirección de las fueras respectivas δ i R R n δ ig 5 δ i i δ n i i i n n n Tengamos a continuación las siguientes consideraciones: La aplicación lenta gradual de las fueras hace que los desplaamientos de las partículas del cuerpo, los hagan con velocidades mu pequeñas por consiguiente puede despreciarse la energía cinética producida (Téngase en cuenta, por ejemplo, que la carga que recibe un pilar de un edificio desde que se construe el pilar hasta que se termina el edificio, al cabo de varios meses, va a ir aumentando de forma mu lenta gradual) Se supone despreciable el roamiento con los enlaces eternos Debido a estas consideraciones se podrá admitir que: todo el trabajo que realian las fueras eternas: T e, se invierte totalmente en deformar al cuerpo, transformándose en nergía de Deformación:U s decir: T e U (8) al no eistir disipación de energía, estaremos en el caso de un sistema conservativo en consecuencia: el trabajo que realian las fueras eteriores depende únicamente de sus valores iniciales finales no del orden en que son aplicadas Cálculo de T e : Al aplicarse las fueras eternas de un modo gradual, sus valores en un estado intermedio, valdrán: α, α, α, α i n siendo : 0 α 7

8 Tema : Cuerpo lástico según la le de Hooke, en ese instante intermedio, las componentes δ de los desplaamientos de sus puntos de aplicación serán: α δ, α δ, α δ i, α δ n siendo : 0 α Con lo cual, el trabajo elemental que realiarán las fueras eternas será: dt e α d ( α δ ) α d( α δ ) α d ( α δ ) α d ( α ( δ δ δ δ ) α dα i i n n i i n n ) int egrando : finalmente: T e ( δ δ δ δ ) α dα n T e i δ i (9) i i i n n 0 queda bservación: Si en lugar de las fueras i aplicadas, aplicásemos momentos M i, que produjeran giros θ i en su misma dirección, la epresión del trabajo sería: n T e M i θ (0) i i 4- NRÍA D DRMACIÓN La energía de deformación de un cuerpo elástico, la podremos obtener sumando las energías de deformación de cada uno de los paralelepípedos elementales que lo forman Aislemos pues, de un cuerpo elástico, uno paralelepípedo elemental de lados: d, d, d d d d ig6 l trabajo que realiarán las diferentes fueras elásticas que actúan sobre el paralelepípedo serán: 8

9 Sección 4: nergía de deformación Sobre las dos caras perpendiculares al eje X: d d d d d d d d d d d d Y repitiendo lo mismo sobre las dos caras perpendiculares al eje Y las dos caras perpendiculares al eje Z, quedará: dt e du ( ) d d d La energía de deformación por unidad de volumen será: u du dvol ( ) () Si sustituimos las deformaciones en función de las tensiones, según las ecuaciones de la le de Hooke generaliada quedará finalmente como epresión de la nergía de Deformación por unidad de volumen: u [ ( )] ( ) () La nergía de Deformación U del cuerpo elástico total será: U u d( Vol) vol () bservación: n las fórmulas obtenidas no hemos considerado el Trabajo debido a las ueras de ravedad que actuarían sobre el paralelepípedo, debido a que obtendríamos un infinitésimo de 4º orden, que se despreciaría frente al Trabajo de las ueras lásticas que es de º orden, como se ha visto 9

10 Tema : Cuerpo lástico 5- DIARAMAS D TNSINS DRMACINS Las propiedades mecánicas de los materiales, tales como: RSISTNCIA, RIIDZ, DUCTILIDAD,, se obtienen de los Diagramas Tensiones - Deformaciones stos diagramas se obtienen a partir de una probeta de dimensiones normaliadas del material a ensaar sometiéndola a esfueros crecientes de Tracción (o en su caso de Compresión) hasta llegar a romperla Durante el proceso se irán midiendo en cada instante los valores de la tensión a la que esté sometida: /A o las correspondientes deformaciones que se van produciendo: L/L A o : área inicial de la sección transversal L ig7 Si en unos ejes coordenados llevamos las deformaciones al eje de abcisas las tensiones al de ordenadas se obtendrá un gráfico que es el Diagrama de tensiones deformaciones Cada material tendrá su propio Diagrama l Diagrama tensiones deformaciones para el caso de un acero estructural, conocido también como acero dulce de construcción, uno de los metales mas usados en edificios, puentes, grúas, etc, es el siguiente: L L i L f ig8 bservación: ste diagrama no está dibujado a escala, pero se representa así, para destacar con más claridad los puntos partes mas significativas del mismo Analicemos pues dicho Diagrama: 0

11 Sección 5: Diagramas de tensiones-deformaciones Tramo : ste tramo inicial es una recta eistirá por tanto proporcionalidad entre tensiones deformaciones, se cumple pues la Le de Hooke: L L i L f P : Límite de Proporcionalidad P : Tensión de proporcionalidad tag α / (Módulo de lasticidad longitudinal) α ig9 La pendiente de la recta de proporcionalidad nos proporciona el Módulo de lasticidad longitudinal del material Y nos va a medir la RIIDZ de un material Rigide de un material es la maor o menor resistencia que opone dicho material a dejarse deformar jemplo: Supongamos que tenemos los gráficos de dos materiales representados en la figura 0 α α Material Material ig0 Se observa que la recta de proporcionalidad del material tiene maor pendiente que la del material : α > α tag α > tag α > el material es más rígido que el material fectivamente: se observa que sometidos los dos materiales a la misma tensión:, el material se deforma menos que el material : <

12 Tema : Cuerpo lástico Tramo - L: A partir de el diagrama deja de ser una recta comiena a ser una curva l punto L límite elástico, representa la máima tensión que puede alcanar el material para comportarse elásticamente, es decir, sin que se producan en él deformaciones permanentes L L i L f L : Límite lástico : Tensión elástica Campo lástico α ig Así pues, si una ve alcanado el punto L descargamos la probeta, la línea de descarga se hará recorriendo en sentido contrario la de carga la probeta volvería a su estado inicial en el punto L L i L f Carga Descarga α ig

13 Sección 5: Diagramas de tensiones-deformaciones Tramo L L i L f : Una ve alcanado el punto L, si seguimos aumentando la carga sobre la probeta, el diagrama continua curvándose con una pendiente cada ve menor, hasta alcanar el punto L i a partir de dicho punto el material se deforma de forma apreciable (puede observarse a simple vista) sin necesidad de un aumento de carga, con lo cual aparece una línea horiontal en el gráfico hasta llegar al punto L f l material se dice que ha entrado en fluencia se vuelve perfectamente plástico L L i L f L i : Límite luencia inicial L f : Límite luencia final : Tensión de fluencia α ig Las deformaciones que sufre la probeta en este tramo son del orden de 0 a 5 veces la producida hasta el tramo anterior

14 Tema : Cuerpo lástico Tramo L f - : Después de las grandes deformaciones producidas en el material durante el tramo de fluencia anterior, el material sufre cambios en su estructura cristalina empiea a endurecerse por deformación, así pues, para seguir deformando la probeta se requiere de nuevo aumentar la carga que actúa sobre ella Y así hasta llegar al punto más alto del diagrama, que representará la máima carga que es capa de aguantar el material hasta romperse R L L i L f : Límite de Rotura R : Tensión de rotura Resistencia a la rotura del material α ig4 Resistencia a la rotura de un material es la máima tensión capa de soportar hasta romperse (También se la denomina: resistencia última del material ) Hasta llegar al punto L f, la probeta se va alargando uniformemente en toda su longitud este alargamiento va acompañado de una contracción lateral, pero esta contracción lateral es mu pequeña apenas significa variación en el valor del área de la sección transversal inicial A o, con lo cual no va a suponer un efecto significativo sobre los valores obtenidos de las tensiones: /A o Pero a partir de L f, la reducción del área empiea a ser significativa llega a ser visible, produciéndose el fenómeno de estricción en una ona concreta de la probeta produciéndose finalmente la rotura en el punto del diagrama región de fractura región de estricción ig5 4

15 Sección 5: Diagramas de tensiones-deformaciones Si a partir de L f, en lugar de obtener las tensiones tomando como referencia el área inicial de la sección de la probeta: /A o, tomásemos el área verdadera de la sección de la probeta en cada instante: /A, el diagrama, por lo dicho antes, se mantendría prácticamente igual hasta L f, a partir de él, al empear a ser significativas las reducciones de la sección transversal, el diagrama tomaría la línea aul que se indica en la figura siguiente en lugar de decrecer la curva de a, seguiría creciendo e iría de a este sería el verdadero diagrama de tensiones-deformaciones No obstante este cambio no se considera R L L i L f : Límite de Rotura R : Tensión de rotura Resistencia a la rotura del material α ig6 Del Diagrama se observa las grandes deformaciones permanentes que ha sufrido el material antes de romperse Pues bien la propiedad que define esto se denomina: Ductilidad Ductilidad de un material es la capacidad que tiene para sufrir deformaciones permanentes antes de romperse Se puede obtener midiendo la longitud de la probeta antes después del ensao ( una ve rota), mediante la siguiente fórmula: L L L ig7 ductilidad : L 00 L (4) 5

16 Tema : Cuerpo lástico Si representásemos el Diagrama a escala natural, se observarán las grandes deformaciones que se producen hasta la rotura final comparadas con las deformaciones apenas apreciables que se producen hasta el límite elástico L L i L f ig8 Se observa que los puntos, L L están todos ellos mu próimos Así pues en el caso que nos ocupa del acero dulce, a efectos prácticos, se suelen tomar los tres puntos en uno solo, de tal forma que: L L n consecuencia el diagrama a efectos prácticos se podrá simplificar de la siguiente manera: f u f L L P f resistencia elástica del material o tensión del límite elástico R f u resistencia a la rotura del material o tensión de rotura ig9 sta situación no se da en otros materiales 6

17 Sección 5: Diagramas de tensiones-deformaciones tras consideraciones sobre el Diagrama lasticidad - Plasticidad Supongamos que sobrepasamos el punto L (límite elástico) nos encontramos en el punto A del diagrama una ve en él, descargamos la probeta Durante la descarga se sigue la línea recta AA, paralela a la recta de proporcionalidad - Cuando se alcana el punto A, se ha suprimido por completo la carga, pero el material queda con una Deformación Permanente: A n este caso se dice que el material es parcialmente elástico L L i L f A Descarga Carga Z ZP α A Deformación permanente Deformación total A Deformación elástica ig0 Así se tendrá: A : Deformación total que tendrá la probeta al alcanar el punto A del diagrama A : Deformación permanente o residual con la que quedará la probeta al descargarla A A :Deformación elástica, parte de la deformación total que recupera al descargarla La característica de un material por la cual sufre deformaciones inelásticas más allá de la deformación en el límite elástico (L), se conoce como: plasticidad Así pues en el diagrama distinguiremos dos onas: la ona elástica (Z) la ona plástica (ZP) 7

18 Tema : Cuerpo lástico Si el material permanece dentro de la ona elástica, puede cargarse, descargarse volverse a cargar sin un cambio significativo en su comportamiento; sin embargo, cuando se carga en la ona plástica, la estructura interna del material se altera sus propiedades cambian Por ejemplo, supongamos como en el caso anterior que hemos cargado la probeta hasta el punto A al llegar a dicho punto la descargamos Ya hemos visto que el material en la descarga alcana el punto A ha quedado con una deformación permanente Pues bien, si ahora le volvemos a cargar de nuevo, la línea de carga es de nuevo la A A al llegar de nuevo al punto A sigue el diagrama original de tensión-deformación hasta el punto L L i L f A Descarga Carga Z ZP α A Deformación permanente Deformación total A Deformación elástica ig Se observa que en la nueva carga el material se comporta de manera linealmente elástica hasta el punto A (superior al punto L), con lo cual el material mejora su comportamiento elástico, pero por el contrario su ona plástica se reduce ste nuevo comportamiento encuentra aplicaciones por ejemplo en los cables de los ascensores Diagramas de otros materiales l diagrama tensiones-deformaciones, visto anteriormente, es el correspondiente a un acero estructural, conocido también como acero dulce de construcción tros materiales darán lugar a otros diagramas Veamos a continuación los diagramas correspondientes a tres prototipos de materiales: el acero dulce de construcción (a visto), las aleaciones de aluminio el hormigón destaquemos las diferencias principales que ha entre ellos 8

19 Sección 5: Diagramas de tensiones-deformaciones Acero dulce de construcción Li Lf L material mu dúctil (sufre grandes deformaciones permanentes antes de romperse) bservación: este acero es de bajo contenido en carbono Si aumentamos el contenido en carbono se vuelve menos dúctil pero mas resistente ig presenta un punto de fluencia bien definido Aleacciones de aluminio L material dúctil L 0,00 ig no presenta un punto de fluencia definido bservación: en estos casos se suele definir un punto de fluencia en el diagrama se obtiene traando una línea paralela a la recta de proporcionalidad para una deformación de 0,00 (0, %) Hormigón, Vidrio, Cerámicas material frágil ( mu poco dúctil) Los materiales frágiles se rompen con poco alargamiento después de que se ha ecedido el límite de proporcionalidad Por lo tanto la rotura aparece bruscamente, sin previo aviso ig4 9

20 Tema : Cuerpo lástico nsao de Compresión l ensao a compresión se realia colocando una probeta cilíndrica o prismática entre los platos de una prensa ig5 Las curvas tensión-deformación para el ensao a compresión difieren de las del ensao a tracción Así, en los materiales dúctiles, las partes iniciales de ambos diagramas son parecidas, pero a partir de la fluencia difieren bastante n el ensao a tracción la probeta se va alargando termina por romper, en cambio en el ensao a compresión, la probeta se va acortando abombando lateralmente se aplana, sin producirse la rotura ig6 l prototipo de diagrama a compresión de un material dúctil sería pues: (compresión) L (tracción) L 0,00 ig7 ig8 n los materiales frágiles, el diagrama correspondiente al ensao a compresión presenta, una parte inicial igual que el de tracción, pero la tensión de rotura se suele alcanar para valores más elevados 0

21 Sección 6: Coeficientes de seguridad 6- CICINTS D SURIDAD Según la normativa CT se deberán aplicar dos coeficientes de seguridad, uno para minimiar las tensiones límites del material otro para maorar las cargas aplicadas Coeficiente de minoración de la tensión límite del material Ya hemos visto que al aumentar las cargas que actúan sobre un cuerpo aumentan las tensiones en los puntos de su interior, debiendo evitar que las mismas alcancen los valores correspondientes a las tensiones límites del material n el caso de los materiales dúctiles, como es el caso del acero, para el valor de dicha tensión límite se suele adoptar la tensión del límite elástico (resistencia elástica): f en el caso de los materiales frágiles, como sería el caso del hormigón, se tomará como valor de la tensión límite, la tensión límite de rotura (resistencia a la rotura): f u Con el objeto de tener en cuenta la maor o menor precisión de las tensiones límites marcadas por los fabricantes, valores característicos para los distintos materiales, se introduce un coeficiente de seguridad que minimia dichos valores Así por ejemplo en el caso del acero, al ser un material homogéneo, los valores de las tensiones límites indicadas por los fabricantes suelen ser bastante precisas, con lo cual se usan unos coeficientes de seguridad pequeños para minorar las tensiones límites: f L L f d f f d (5) M siendo: f f d : tensión del límite elástico para el cálculo : tensión del límite elástico indicado por los fabricantes (ver tabla ) coeficiente de seguridad del material, 05;,;, 5;, 4 M material dúctil ig9 Tabla de las características mecánicas mínimas de los aceros spesor nominal t (mm) Designación del tipo de acero Tensión del límite elástico f (N/mm ) Tensión de rotura f u (N/mm ) t 6 6 t t 6 t 00 S S S S

22 Tema : Cuerpo lástico Para el caso de los hormigones, al ser un material heterogéneo, los coeficientes de minoración de las tensiones límites son más grandes, al ser éstas más imprecisas f u f ud f f u ud (6) M material frágil siendo: f f u ud : tensión del límite de rotura para el cálculo : tensión del límite de rotura indicado por los fabricantes : coeficiente de seguridad del material,7; ;,;,5; M (este coeficiente dependerá de la categoría del control de su fabricación de su ejecución) Ver normativa CT-S- ig0 Coeficiente de maoración para las cargas aplicadas Dado que en la determinación de las cargas que actúan sobre una determinada barra o estructura, no se pueden obtener muchas veces sus valores eactos, es conveniente maorar éstas, multiplicándolas por un coeficiente de seguridad, trabajar con valores maores para suplir esas posibles diferencias entre el valor real que tendrá una carga el valor que nosotros haamos obtenido Así por ejemplo, en la carga que transmite la nieve o el viento sobre una edificación, nosotros trabajaremos con valores estadísticos, que se obtienen según la ona geográfica donde nos encontremos, su altitud su ubicación dentro de esa ona Dichos valores están recogidos en las Normativas (CT-S-A) Pero es evidente que nos podremos encontrar en casos ocasionales en que se puedan superar los valores indicados en las Normativas De ahí esa necesidad de maorar los valores característicos de las cargas que nos dan las Normativas tro caso que ocurre con frecuencia es por ejemplo, en los casos de impactos o de vibraciones transmitidas por maquinaria o bien por terremotos, tampoco se dispone de unos cálculos demasiado precisos para determinar con eactitud las cargas que como consecuencia de ellos se transmiten a la barra o estructura s evidente que cuanto maor sea la incertidumbre en el conocimiento del valor de una carga, maor debe de ser el coeficiente de seguridad con el que maoremos la carga No obstante en las cargas que se transmiten a las edificaciones en general, las Normativas a fijan los coeficientes de seguridad para la maoración de las cargas que debemos aplicar

23 Sección 6: Coeficientes de seguridad Así pues las cargas a considerar en los cálculos serán las cargas maoradas: P * P (7) siendo : P * : Carga maorada (con la que se trabajará en los cálculos) P : Carga aplicada (valor característico) : Coeficiente de seguridad para las cargas (ver tabla ) bservaciones: ) n la normativa CT-S se indican los coeficientes de seguridad a emplear en las edificaciones: Tabla de coeficientes parciales de seguridad () para las acciones (cargas) Tipo de verificación Tipo de acción Situación persistente o transitoria avorable Desfavorable Resistencia Permanente -Peso propio, peso del terreno -mpuje del terreno -Presión del agua,5,5, 0,8 0,7 0,9 Variable: viento, nieve,,5 0 Tipo de verificación Tipo de acción Situación persistente o transitoria Desestabiliadora stabiliadora stabilidad Permanente -Peso propio, peso del terreno -mpuje del terreno -Presión del agua,,5,05 Variable: viento, nieve,,5 0 0,9 0,8 0,95 ) Cuando sobre una barra o estructura actúan varias acciones (cargas) simultáneamente, los coeficientes de seguridad de las mismas pueden sufrir reducciones en sus valores Ver normativas CT-S Y CT-A ) La maoración de cargas se empleará para las comprobaciones de resistencia de estabilidad n cambio para las comprobaciones de las deformaciones se emplearán las cargas sin maorar

24 Tema : Cuerpo lástico 7- CRITRIS PARA L DIMNSINAMINT D SCCINS A RSISTNCIA -Criterio elástico de dimensionamiento: La resistencia elástica de una sección se obtendrá cuando en un punto de la misma se alcance la tensión del límite elástico f (ste criterio se desarrollará en los siguientes temas) 4 S f ig -Criterio plástico de dimensionamiento: La resistencia plástica de una sección se obtendrá cuando en todos los puntos de la misma se alcance la tensión del límite elástico f (ste criterio se desarrollará en los siguientes temas) 4 S f f f ig 4

25 Sección 7: Criterios para el dimensionamiento de secciones a resistencia -Criterio de Von Mises de dimensionamiento: ste criterio era el que se venía aplicando con la Normativa anterior sta teoría esta basada en lo siguiente: La energía de deformación que absorbe un cuerpo se emplea en producir en él un cambio de volumen unas deformaciones angulares en las caras de los paralelepípedos elementales que lo forman Y esta teoría dice: Un cuerpo falla elásticamente cuando la energía que se emplea en las deformaciones angulares, alcana el valor de ésta obtenido en el ensao a tracción, cuando en la probeta se alcana la tensión del límite elástico f Para ver la fórmula que epresa esta teoría partimos de un paralelepípedo sometido a sus tres tensiones principales: > > m - m m - m (a) m (b) ig - m (c) l paralelepípedo de la figa, absorberá una energía de deformación U, que se invertirá, por lo anteriormente dicho, en un incremento de volumen del paralelepípedo U vol en una deformación angular de sus caras: U d Así pues resultará: U U U vol d (8) Si sometemos al paralelepípedo a una tensión media m dada por: m (9) este estado de tensiones, (ver figb), tan sólo proporcionará al paralelepípedo un cambio de volumen: U vol, con lo cual el estado de tensiones de la figc, será el que proporcionará la energía de deformación necesaria para las deformaciones angulares de sus caras: U d Por la ecuación () para obtener la energía de deformación, vista en la sección 4, tendremos que: U [ ( )] ( ) 5

26 Tema : Cuerpo lástico Para el estado de tensiones del paralelepípedo planteado en la figa, sería: con lo cual la ecuación () quedaría: U ( ) (0) Para el caso del paralelepípedo de la figb, sería: con lo cual la ecuación () quedaría ahora: m m m U m ( ) vol m m m ( m m m m m m ) m ( m U sustituendo m por su valor: dado en la ecuación (9) operando queda: vol () 6 inalmente de la ecuación 8: U U vol U d U d U U vol sustituendo las epresiones obtenidas para U para U vol, (ecuaciones 0 respectivamente), quedará: ( ) ( ) ( ) U d U U vol () 6

27 Sección 7: Criterios para el dimensionamiento de secciones a resistencia Por otra parte el estado de tensiones de un paralelepípedo elemental para el caso del ensao a tracción, cuando la probeta haa alcanado la tensión del límite elástico será: f d f d 0 0 f d ig4 sustituendo en la ecuación la energía de deformación angular para este caso sería: U d f d () inalmente si aplicamos esta teoría, se tendrán que igualar las dos epresiones obtenidas para U d (ecuaciones ): ( ) ( ) ( ) f d operando si ( ) ( ) ( ) f d falla Para dimensionar a resistencia con este criterio, según lo visto anteriormente, será: ( ) ( ) ( ) f d (4) Caso particular: Tensiones planas Para el caso de tensiones planas si hacemos 0 se tendrá: f d (5) 7

28 Tema : Cuerpo lástico por último sustituendo las tensiones principales en función de las componentes del estado de tensiones (ecuaciones 9): la ecuación 5 resultará: ( ) 4 ( ) 4 f (6) d bservación: Cuando las tensiones normales sean cero, la fórmula de Von Mises quedará: f f * * d d d (7) A esta tensión cortante se la denomina tensión cortante en el límite elástico : d 8