Agregación temporal y ltro Hodrick-Prescott

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1 Agregación temporal y ltro Hodrick-Prescott Ana del Rio BBV Gestinova Tesina CEMFI No. 99 Septiembre 999 Este trabajo constituye una versión revisada de la tesina presentada al completar el Programa de Estudios de Postgrado delcentro deestudios Monetarios y Financieros (CEMFI). Quiero agradecer especialmente la colaboración de Agustín Maravall. También los comentarios de profesores y compañeros del CEMFI, la ayuda de Teresa Dabán con los datos y el apoyo de Marcos y de mi familia. (Correo electrónico: CEMFI, Casado del Alisal 5, 84 Madrid, Spain. Tel: , fax: ,

2 Resumen Esta tesina estudia la equivalencia de los ciclos obtenidos con el ltro Hodrick- Prescotta partir de datos condiferente periodicidadtemporal. Propongo dos criterios alternativos para hallar valores de equivalentes referidos a diferente periodicidad en los datos. Los denomino criterio / y criterio del máximo y resultan estar muy relacionados. La validez de estas equivalencias la compruebo empíricamente y la comparo con otras empleadas en la literatura de ciclos económicos. Además distingo entre agregación temporal y muestreo sistemático como dos alternativas de agregaciónsobre las que se encuentrandiferencias de graninterés.

3 Introducción El concepto de ciclo económico tiene un marcado carácter subjetivo, y en la práctica, esta subjetividad ha derivado en múltiples metodologías para su identi cación. Entre ellas, el ltro de Hodrick-Prescott (en adelante HP) destaca por su empleo de forma muy generalizada. Se trata de un ltro lineal y simétrico que requiere la eleccióna priori de un parámetro. Este parámetro, conocido como ; tiene asignados unos valores de uso estándar, lo que por un lado ha facilitado la utilización del ltro pero, por otro lado, ha dejado en un segundo plano la función de este parámetro en el ltro. El ltro HP es una herramienta fundamental en la literatura de los ciclos reales, aunque su utilización no tiene una justi cación clara: Kydland- Prescott (99) justi can el empleo del ltro HP por su linealidad, ser un ltro bien de nido, independiente de la serie a la que se aplica, exento de juicios subjetivos y fácil de replicar, que permite extraer la tendencia que uno podría dibujar a mano alzada. Sin embargo otros como King-Rebelo (993) opinan que no hay justi cación teórica para utilizar este tipo de ltro en el contexto de los ciclos reales. Si estos modelos postulan que el crecimiento y el ciclo económico son dos fenómenos interrelacionados, la descomposición que el ltro HP hace en tendencia y ciclo no tiene sentido. El ltro HP descompone la serie observada en dos componentes: la tendencia y el ciclo. El parámetro modula la suavidad de la tendencia y la elección apropiada de este parámetro depende de la longitud de los ciclos que se quieran extraer y la periodicidad temporal de los datos. La elección a priori del parámetro se puede interpretar como una ventaja adicional del ltro HP. La posibilidad de manipular la longitud de los ciclos re eja la subjetividad implícita en el concepto de ciclo económico. Sin En este sentido Canova (997) es muy ilustrativo.

4 embargo, ésta no ha sido una interpretación habitual y en este sentido encontramos comentarios delsiguiente tipo:...the primary drawbacks of the HP lter are (...) and the problems of choosing the smoothing parameter (...). This parameter does not have a very intuitive interpretation, and the di culties are compounded when we have to work with data that are sampled less frequently than quarterly... (Wynne y Koo (997))...Arbitrariness in the choice of is the main weakness of this method... (Dolado et al. (993)). En la literatura de los ciclos económicos aparece un uso generalizado del valor = 6 (HP6) para series trimestrales. Sin embargo, con series de periodicidad diferente a la trimestral no hay consenso. Por ejemplo, para datos anuales nos encontramos con HP4 (Englund-Persson-Svensson (99)), HP (Backus-Kehoe (99)) o HP (Baxter-King (995), Doménechet al. (997)). Todos estos ltros sonválidos pero cada uno caracteriza un comportamiento cíclico distinto; la elección depende del objetivo del estudio. Ahora bien, todos estos valores del parámetro para la frecuencia anual se han empleado como valores equivalentes del =6 para la frecuencia trimestral. Cual de ellos es preferible como el equivalente anual del HP6? Por otro lado, para la periodicidad mensual no es fácil encontrar una orientaciónsobre qué valor de emplear. Enel programa de análisis econométrico y de series temporales E-views se recomienda por defecto emplear = 4. En un Boletín mensual del Banco Central Europeo aparecen como valores por defecto =6 para datos trimestrales y =44 Boletín Mensual del BCE, Julio de 999.

5 para los mensuales. Sin embargo en el estudio realizado en esa publicación sobre variaciones cíclicas en la zona euro no se emplean dichos valores. Para obtener tendencias más suaves se utilizan valores mayores aunque no se hace referencia a cuáles son estos valores ni con qué criterio se eligen. El objetivo de esta tesina es comprobar si es posible obtener, en el contexto del ltro HP, caracterizaciones equivalentes de los ciclos utilizando diferente periodicidadtemporal enlos datos. Los ciclos de una misma serie obtenidos a partir de datos de distinta periodicidad son equivalentes si al expresarlos en la misma periodicidad son similares. Utilizaré dos criterios alternativos para hallar la equivalencia entre valores de asociados a diferente periodicidad. Estos dos criterios estarán relacionados con la ganancia del ltro y el espectro del ciclo respectivamente. Y una vez que tengamos relaciones que proporcionen valores de equivalentes procederé de la forma siguiente 3. A partir de una serie expresada en dos periodicidades diferentesiyj (i>j) 4 calculo el ciclo para el mayor nivel de agregación de forma directa e indirecta. De forma directa aplicando HP con un valor j sobre los datos de menor frecuencia: De forma indirecta aplicando HP con el valor supuestamente equivalente i; sobre los datos de mayor frecuencia y agregando posteriormente. Así, tenemos el ciclo de la serie calculado de dos formas y su comparación nos indicará en que medida hemos aplicado ltros equivalentes. Si los ciclos resultan ser similares sabremos qué valor de hay que utilizar en función de la periodicidad de los datos. Si por el contrario los ciclos di eren podremos obtener conclusiones bien sobre la elección del parámetro i equivalente, o bien acerca de los efectos de la agregacióntemporal sobre las características cíclicas. Para realizar estas comparaciones distinguiré entre dos tipos de agre- 3 Ver el esquema. 4 i y j indican el número de observaciones por año. 3

6 gación: la agregacióntemporalpropiamente dicha, yel muestreo sistemático. Cuando se emplea la agregación temporal una elección adecuada de permite obtener ciclos equivalentes sobre datos de diferente periodicidad. Sin embargo la agregación por muestreo sistemático introduce una distorsión que hace que los resultados no sean tan satisfactorios para este tipo de agregación. La tesina consta de los siguientes apartados. Primero describo el ltro HP desde dos perspectivas diferentes prestando especial atención a la interpretación del parámetro : Después comento brevemente una forma alternativa de emplear el ltro HP, propuesta por Kaiser-Maravall (998) y que consiste en aplicar el ltro HP sobre la serie de tendencia-ciclo extraída con el programa SEATS. A continuación, estudio dos criterios alternativos para relacionar con el periodo asociado al ciclo, los llamo criterio / y criterio del máximo. Estos dos criterios proporcionan unas relaciones que permiten hallar los valores de equivalentes para diferente periodicidad en los datos. En el apartado 7 analizo la validez de estas equivalencias sobre datos mensuales, trimestrales y anuales para dos tipos de agregación, agregación temporal y muestreo sistemático. Este apartado incluye una sección donde comparo el valor de equivalente óptimo de acuerdo con un problema de minimización, con el valor de equivalente que recomiendan los criterios anteriores. La tesina naliza con un último apartado de conclusiones. 4

7 El ltro Hodrick-Prescott El ltro HP es un ltro lineal y simétrico que se aplica sobre procesos discretos 5. Descompone una serie observada 6 x t ;t=;;:::t; en dos componentes, la tendencia,m t y el ciclo,c t : x t =m t +c t (.) Este ltro lo podemos describir desde dos perspectivas diferentes: como unproblema de minimizacióny a partir de un modelo estructural.. Filtro HP a partir de un problema de minimización Bajo la perspectiva de un problema de minimización el ltro HP identi ca el ciclo y la tendencia equilibrando un trade-o entre suavidad y ajuste en la tendencia: min fc tg;fm tg ( X T c T ) t + X [( B) m t ] t= s:a: t=3 x t =m t +c t (.) dondeb es el operador retardo tal quebz t =z t : El valor del parámetro se establece a priori y modula la suavidad de la tendenciam t. Cuanto mayor sea más suave será la tendencia. Cuando! tenemos el máximo suavizamiento y la tendencia es lineal. Y por el contrario cuando!el ajuste es máximo y la tendencia coincide con la serie observadax t. La solución (matricial) a este problema de minimización es la siguiente: ^m T = M x (.3) 5 El Apéndice A contiene un breve repaso de este tipo de ltros. 6 Cuando me re era a la serie observada x t ; se entenderá que está previamente desestacionalizada. Si no fuera así, el componente estacional quedaría incluído dentro del ciclo. La desestacionalización previa de la serie no va a tener in uencia sobre los resultados que vamos a tratar en este trabajo y en general no haremos referencia a este paso previo. 5

8 ^c T = x ^m donde M=[I+ K K] T T K = T T 6 4 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: El ltro HP como modelo estructural El ltro HP puede interpretarse a partir del siguiente modelo estructural: x t = m t +c t r m t = a mt (.4) c t = a ct dondea mt ya ct son dos ruidos blancos incorrelacionados con varianzas¾ m y ¾ c respectivamente. En este modelo los únicos parámetros desconocidos son las varianzas¾ m y¾ c. Y si de nimos: = ¾ c ¾ m (.5) el modelo queda totalmente determinado con la elección a priori de ; que en este contexto, no es más que un ratio de varianzas. El modelo (.4) tiene como forma reducida equivalente un modelo IMA(,): r x t =µ HP (B)a t (.6) dondeµ HP (B)=( µ B µ B ),a t son las innovaciones con varianza¾ a y los parámetrosµ,µ y¾ a son función de¾ m y¾ c ; es decir, de : 6

9 La estimación MMSE 7 del ciclo y la tendencia, ^m t y^c t ; se obtiene utilizando el ltro Wiener Kolmogorov (WK) sobrex t 8. Ambos ltros, el de la tendencia# m HP (B;F) y el del ciclo#c HP (B;F); son lineales, in nitos, simétricos y convergentes. Esta última propiedad de convergencia permite aplicar el ltro sobre una serie nita si la extendemos con predicciones hacia delante y hacia atrás 9. Las expresiones de estas estimaciones son las siguientes: ^m t =# m HP(B;F)x t = ¾ m ¾ a µ HP (B)µ HP (F) x t (.7) ^c t =# c HP (B;F)x t=[ # m HP (B;F)]x t= ¾ c( B) ( F) ¾ a µ HP (B)µ HP (F) x t que se pueden escribir en función del parámetro como: ^m t =# m HP (B;F)x t= + ( B) ( F) x t (.9) ^c t =# c HP(B;F)x t =[ # m HP(B;F)]x t = ( B) ( F) + ( B) ( F) x t (.) Si! (;¼) es la frecuencia en radianes, la función de ganancia del ltro para la tendencia y el ciclo son respectivamente: # m HP (!; )= +4 ( cos(!)) (.) # c HP(!; )= # m HP(!; )= 4 ( cos(!)) +4 ( cos(!)) (.) Los grá cos y del Anexo recogen la forma de estas ganancias para tres valores diferentes de (4, 6, 3). Cuanto mayor es ; menor 7 Error cuadrático medio mínimo. 8 Una explicación más detallada de este ltro aparece en Maravall (995). 9 Burman (98) muestra un algoritmo para la aplicación de este ltro. 7

10 es la contribución de las frecuencias más altas en la ganancia del ltro para la tendencia; lo que se traducirá en una tendencia más suave. Por otro lado, el grá co 3 recoge el ciclo del PIB trimestral de la economía española ( ) cuando aplicamos el ltro HP con los valores anteriores. Como podemos observar el crecimiento del parámetro produce ciclos con mayor amplitud. 3 Forma alternativa de emplear el ltro HP Normalmente el ltro HP se emplea sobre series desestacionalizadas. Kaiser- Maravall (998) proponen una forma alternativa de utilizar este ltro que mejora notablemente los resultados. Su propuesta es doble y queda resumida de la siguiente forma. Por un lado, para reducir las revisiones en la estimación del ciclo (en el principio y nal de la muestra) proponen extender previamente la serie con predicciones hacia delante y hacia atrás. De este modo el ltro se aplica de forma completa para todos los datos de la muestra y la aparición de nuevas observaciones sólo modi cará las estimaciones del ciclo como consecuencia de los errores de predicción. Por otro lado, Kaiser-Maravall (998) proponen la aplicación del ltro HP sobre la serie de tendencia-ciclo obtenida con el programa SEATS, ya que la eliminación del componente irregular permite obtener una señal del ciclo más clara. En esta tesina siempre se realizan predicciones previas de la serie a la que se le aplica el ltro HP y se trabaja con las dos alternativas, la serie original y la serie de tendencia-ciclo. Me referiré siempre a la serie observada y sólo cuando sea relevante haré la distinción sobre si el ltro se aplica a la serie desestacionalizada o a la tendencia-ciclo. La serie tendencia-ciclo es p t = x t s t u t ; donde s t es el componente estacional y u t es el componente irregular, ruido blanco. Desestacionalizada con el programa SEATS. 8

11 4 Equivalencia en valores de asociados a diferente periodicidadenlos datos Parece haber un acuerdo general en utilizar = 6 para series trimestrales. Esta elección se suele justi car, bien por ser el valor que recomendaron Hodrick y Prescott (98), o bien por haberse convertido en un valor convencional que permite hacer comparaciones entre trabajos empíricos. Para periodicidad diferente a la trimestral no hay acuerdo. Así para series anuales se emplean tres valores diferentes de,, y 4, como valores equivalentes a = 6 para series trimestrales. Baxter-King (995) recomiendan la utilización de =; ya que la ganancia del ltro HP es parecida a la de un ltro pasa-banda ideal que extrae ciclos de 8 años. Pero que relación hay entre =6 y =? Por otro lado, la elección de =4 es el resultado de dividir 6 entre 4, donde el 4 representa la relación entre el número de observaciones al año con datos trimestrales y anuales. Entonces, dada esta relación Deberíamos emplear =48 para datos mensuales?. El valor de =4 es empleado por Dolado et al. (993) enel siguiente caso. Los autores estudianlas características cíclicas de la economía española utilizando la Contabilidad Nacional Trimestral y aplicando HP6. Encuentran que la serie de consumo es más volátil que la del PIB (que determina el ciclo de referencia). Este resultado contradice la teoría tradicional del consumo, y lo atribuyen a la construcción de la serie de consumo, que incluye el Consumo Duradero. Entonces, recurren a la serie de Consumo de Bienes y Servicios No Duraderos de periodicidad anual y aplican un HP4. Pero, Han aplicado de forma homogénea Hodrick-Prescott(997) recuerdan que interpretando el ltro HP en el marco de un modelo estructural la elección de = 6 se justi ca del siguiente modo: Our prior view is that a 5 percent cyclical component is moderately large, as is a one-eight of percent change in the growth rate in a quarter. This led us to select p = 5 =8 = 4 o = 6 : 9

12 el ltro? Tiene sentido comparar ciclos obtenidos con datos trimestrales y HP6 con ciclos obtenidos con series anuales y HP4? Como vamos a ver más adelante la aplicación de HP4 en series anuales aumenta la longitud de los ciclos respecto a los que obtendríamos agregando a periodicidad anual el ciclo trimestral HP6. El efecto sobre la volatilidadtiene el mismo sentido. Pero el efecto sobre la volatilidad relativa entre PIB y consumo, que es lo que a los autores les interesa, es en principio indeterminado. En cualquier caso este efecto será reducido, puesto que el aumento de la volatilidad al aplicar HP4 afecta tanto al PIB como al consumo. Para analizar la equivalencia entre valores de referidos a periodicidades diferentes presento dos criterios alternativos que asocian valores de al periodo de referencia del ciclo, es decir, dos criterios que permitenasociar valores de ala longitud de los ciclos: Criterio (criterio /): el periodo asociado al ciclo es aquel para el que la ganancia del ltro toma el valor=: Este criterio es independiente del tipo de proceso sobre el que se aplica el ltro 3. Criterio (criterio del máximo): el periodo asociado al ciclo es aquel correspondiente al pico espectral del ciclo. Este criterio depende del proceso estocástico al que se aplica el ltro. A partir de estos criterios de no la equivalencia entre dos valores de de la siguiente forma: De nición (equivalencia): i y j son equivalentes para datos de periodicidadiyj, si el periodo asociado al ciclo estimado con i para datos 3 Esta forma de asociar el valor de a la longitud de los ciclos es muy habitual. Ver por ejemplo Kaiser-Maravall (998) o Doménech et al. (998). También se emplea en otras metodologías íntimamente relacionadas con el ltro HP, en este sentido es interesante el trabajo de García-Ferrer-Queralt (998).

13 de periodicidadi, y el periodo asociado al ciclo estimado con j para datos de periodicidadj son iguales cuando estos periodos se expresan enla misma unidad de tiempo. En principio esperamos que las equivalencias derivadas de estos dos criterios di eran y tengamos que discriminar entre una u otra. Pero como luego veremos, no es así. Para algunos procesos los dos criterios van a coincidir, y para el resto la diferencia no va a ser tan grande como para afectar a las características cíclicas. En la práctica esto nos permite emplear ambos criterios indistintamente aunque será más útil emplear el criterio /, ya que no depende deltipo de proceso al que se aplica el ltro. 5 Equivalencia segúnel criterio / Según este criterio el periodo asociado al ciclo se corresponde con el de la ganancia del ltro igual a /. De esta forma obtenemos las expresiones: =f(!)= 4[ cos(!)] (5.) 8 s 9 <!=f ( )=arccos : = 4 ; Si la relación entre la frecuencia y el periodo es (5.) = ¼! (5.3) entonces dado i; el periodo asociado al ciclo será i = ¼=! i donde! i se calcula a partir de (5.). Por ejemplo, si 4=6 la frecuencia! 4 son:6 radianes y el periodo 4 son39 trimestres.

14 El grá co 4 y las tablas y muestran la relación entre yel periodo asociado al ciclo, 4. A mayor valor de, mayor es el periodo asociado al ciclo, ya que si la tendencia es más suave, las desviaciones de la serie respecto a la tendencia serán mayores y por tanto los ciclos seránmás largos. Con estas relaciones es muy sencillo hallar valores de equivalentes para diferentes periodicidades. Por ejemplo si aplicamos 4=6 a datos trimestrales, sabemos que el periodo asociado al ciclo es 4 =39 trimestres, es decir 9.9 años. Para obtener el ciclo equivalente sobre datos anuales jaremos un periodo asociado al ciclo de =9:9, y a través de (5.) obtenemos el valor = 6:65 como equivalente a 4 = 6. Si realizamos los mismos pasos para buscar el valor mensual obtendremos que =99: Para hallar los valores de equivalentes hay que seguir estos pasos:. Dado un valor i inicial, (5.3) y (5.) nos dan el periodo asociado al ciclo i expresado en unidades de la periodicidad de partidai 5.. El periodo 6 expresado en la periodicidad alternatvaj es: j = i j i. 3. Aplicando (5.3) y (5.) hallamos el valor equivalente j: 6 Equivalencia segúnel criteriodel máximo Con este criterio el periodo asociado al ciclo es aquel que maximiza la función del espectro del ciclo. En principio parece más adecuado porque toma como referencia la frecuencia que tiene mayor contribución en la varianza del ciclo. Pero no es un criterio tan directo como el anterior, ya que requiere el cálculo 4 La relación no depende de la desestacionalización de la serie (Kaiser-Maravall (998)). 5 La periodicidad se expresa como el número de datos al año. 6 En la práctica no se calcula el periodo y esta transformación se hace directamente sobre las frecuencias:! j = i j! i.

15 previo del espectro de la serie: g c (!)=[# c HP (!; )] g x (!) (6.) dondeg c (!) es el espectro del ciclo, yg x (!) es el espectro de la serie. Calculando la forma analítica de g c (!) y su máximo para varios procesos estocásticos vamos a ver como este criterio se puede simpli car. En la práctica, la única información necesaria para relacionar los valores de yla longitud de los ciclos va a ser el orden de integración de la serie. Los ejemplos que presento son relevantes para ver cómo funciona y cómo se puede simpli car el criterio del máximo aunque no incluyen la totalidad de procesos. Concretamente voy a distinguir procesos integrados de orden uno y dos con medias móviles de hasta orden dos. No obstante, las conclusiones se re eren a un conjunto más amplio de procesos que incluyen autorregresivos 7 y medias móviles de mayor longitud sobre los que también se ha trabajado aunque no se presentenresultados. Al igual que con el criterio / para hallar las equivalencias necesitamos relaciones del tipo =h(! max ) y! max =g( ) de forma que, dado i;i;j:. La frecuencia asociada al máximo se calcula como! max i =g( i):. La frecuencia en términos de la periodicidadj es:! max j = i j!max i : 3. Por último, j=h(! max j ): 6. Procesos integrados de ordenuno 6.. Paseo aleatorio Seax t un paseo aleatorio: 7 Este hecho es lógico teniendo en cuenta que los procesos autoregresivos (estacionarios) siempre se pueden expresar como medias móviles de orden su entemente largo. 3

16 ( B)x t =a t a t»r:b:(;¾ a ) (6.) donder:b:= ruido blanco, con espectro: g x (!)= [ cos(!)] El espectro del ciclo, aplicando (6.) es: (6.3) g c (!)= 8 [ cos(!)] 3 f+4 [ cos(!)] g ¾ a (6.4) y de la maximización de esta función respecto a!se obtiene: =h(!)= 3 4[ cos(!)] (6.5) 8 s 9 < 3 =!=g( )=arcos : 4 ; (6.6) El grá co 5 muestra el espectro del ciclo del paseo aleatorio para varios valores de. A mayor menor es la frecuencia que maximiza el espectro y mayor el periodo asociado al ciclo. 6.. IMA(,) Seax t un proceso IMA(,): con espectro: ( B)x t =(+µ B)a t a t»r:b:(;¾ a) (6.7) g x (!)= +µ +µ cos(!) [ cos(!)] El espectro del ciclo, aplicando (6.) es: (6.8) 4

17 g c (!)= 8 [ cos(!)] 3 h +µ f+4 [ cos(!)] g +µ cos(!) i ¾ a (6.9) y de la maximización de esta función respecto a!se obtiene: 3 µ =h(!)= 4[ cos(!)] (+µ ) [ cos(!)] {z } {z } I() MA() 8 v < 9!=g( )=arcos : + µ (+µ ) u t µ = (+µ ) 4 ; (6.) (6.) donde claramente podemos ver las diferencias respecto a las relaciones halladas con el paseo aleatorio. El grá co 6 muestra el espectro del ciclo calculado con = 6 para tres procesos IMA(,) de parámetroµ = :;:; y:6: 6..3 IMA(,) Seax t un IMA(,): con espectro: ( B)x t =(+µ B+µ B )a t a t»r:b:(;¾ a) (6.) g x (!)= +µ +µ cos(!)+µ +µ µ cos(!)+µ cos(!) [ cos(!)] (6.3) El espectro del ciclo, aplicando (6.) es: 8 [ n cos(!)] 3 +µ +µ cos(!)+µ +µ [µ cos(!)+cos(!)] o ¾ a g c (!)= f+4 [ cos(!)] g (6.4) y de la maximización de esta función respecto a!se obtiene: 5

18 = 3 (6.5) 4( cos(!)) {z } I() µ +µ µ +8µ cos(!) f(+µ +µ ) 4µ ( cos(!)) g( cos(!)) {z } MA() En este caso despejar! max de las condiciones de primer orden es difícil por lo que habría que calcularlo numéricamente. El grá co 7 muestra el espectro del ciclo calculado con = 6 para diferentes procesos IMA(,). Observando estas expresiones y los grá cos 5, 6 y 7 nos damos cuenta de que para los procesos I() estudiados, dado un valor de ; la frecuencia que se corresponde con el máximo se mantiene casi constante. Este hecho se mantiene con procesos I() que incluyen parte autorregresiva, de forma que en la práctica el criterio del máximo para procesos I() se puede aproximar utilizando las expresiones (6.5) y (6.6) en los pasos y 3 descritos anteriormente. Además, jándonos enesas relaciones y enla de la ganancia del ltro para el ciclo (.) se puede comprobar que el máximo se encuentra donde la ganancia toma el valor.75 y por tanto podemos decir que el criterio del máximo para procesos I() equivale a un criterio que llamaríamos criterio 3/4 Bajo este criterio el valor anual equivalente al 4=6 es =6:94 que se corresponde con un periodo de 3. trimestres o 7.5 años. Aunque la longitud de los ciclos que indica este criterio es menor que la correspondiente al criterio de /, los valores de equivalentes para periodicidad trimestral y anual son muy parecidos. Para datos mensuales el valor equivalente es =88 que a pesar de diferir cerca de puntos del = 99; da lugar a diferencias entre 6

19 los ciclos que seráninsigni cantes. El grá co 8 muestra cual es la relación entre yel periodo asociado al ciclo de acuerdo a este criterio para procesos I(). Además se ha superpuesto el grá co 4 anterior para hacer notar las diferencias con el criterio /. 6. Procesos integrados de ordendos 6.. I() Seax t un proceso I(): con espectro: ( B) x t =a t a t»r:b:(;¾ a ) (6.6) g x (!)= El espectro del ciclo, aplicando (6.) es: 4[ cos(!)] (6.7) g c (!)= 4 [ cos(!)] f+4 [ cos(!)] g ¾ a (6.8) y de la maximización de esta función respecto a!se obtiene: =h(!)= 4[ cos(!)] (6.9) 8 s 9 <!=g( )=arcos : = 4 ; (6.) El grá co 9 muestra el espectro del ciclo de este proceso para varios valores de. A mayor menor es la frecuencia que maximiza el espectro y mayor es el periodo asociado al ciclo. 7

20 6.. IMA(,) Seax t un IMA(,): con espectro: ( B) x t =(+µ B)a t a t»r:b:(;¾ a) (6.) El espectro del ciclo, aplicando (6.) es: g x (!)= +µ +µ cos(!) 4[ cos(!)] (6.) g c (!)= 4 [ cos(!)] f+4 [ cos(!)] g h +µ +µ cos(!) i ¾ a (6.3) y de la maximización de esta función respecto a!se obtiene: µ =h(!)= 4[ cos(!)] [+µ {z } +µ +µ cos(!)][ cos(!)] {z } I() MA() (6.4) En este caso despejar! max de las condiciones de primer orden es complicado y se tendría que hallar numéricamente. De nuevo podemos ver la diferencia respecto a las relación hallada con el proceso anterior. El grá co muestra el espectro del ciclo calculado con =6 para tres procesos IMA(,) de parámetroµ = :;:; y:6: 6..3 IMA(,) Seax t un IMA(,): ( B) x t =(+µ B+µ B )a t a t»r:b:(;¾ a) (6.5) 8

21 con espectro: g x (!)= +µ +µ cos(!)+µ +µ µ cos(!)+µ cos(!) 4[ cos(!)] (6.6) El espectro del ciclo, aplicando (6.) es: 4 [ n cos(!)] +µ g c (!)= +µ cos(!)+µ +µ [µ cos(!)+cos(!)] o ¾ a f+4 [ cos(!)] g (6.7) y de la maximización de esta función respecto a!se obtiene: = (6.8) 4( cos(!)) {z } I() µ +µ µ +4µ cos(!) f+µ [µ ++cos(!)]+µ [µ +cos(!)(+µ )]g[ cos(!)] {z } MA() Como en el caso anterior! max hay que hallarlo numéricamente a partir de las condiciones de primer orden. Con las expresiones anteriores y los grá cos 9, y vemos como a lo largo de los procesos I() estudiados la frecuencia correspondiente al máximo del espectro del ciclo se mantiene aproximadamente constante. Este hecho se generaliza a otros procesos I() que incluyen parte autorregresiva y por eso en la práctica podemos utilizar las expresiones (6.9) y (6.) para los procesos I(). Además, estas expresiones coinciden con las del criterio /, lo que nos permite concluir que para los procesos I() las relaciones obtenidas conambos criterios sonlas mismas. En resumen, para hallar el equivalente hay que seguir estos pasos. Dado i;i;j: 9

22 . La frecuencia asociada al máximo se calcula como! max i =g( i):. La frecuencia en términos de la periodicidadj es:! max j = i j!max i : 3. Por último, j=h(! max j ): Las relaciones entre! y se pueden simpli car a dos casos. Para pocesos I() son aquellas que se obtienen igualando la ganancia del ltro para ciclo a 3/4, es decir, las expresiones (6.9) y (6.). Para procesos I() son las mismas que las del criterio /, es decir, las expresiones (6.5) y (6.6) 8. Para aquellos procesos cercanos a ambos ordenes de integración hay que decidir el orden de integración para utilizar unas expresiones u otras y en cualquier caso siempre se podrá calcular el espectro del ciclo y la frecuencia correspondiente a su máximo para realizar los cálculos de forma exacta. Tras este análisis podemos concluir que ambos criterios son muy parecidos y en algunos casos idénticos. Lo hemos comprobado al calcular el valor para datos anuales y mensuales equivalente al 6 trimestral, y ahora lo veremos sobre algunos ejemplos más concretos. Esto me permite hacer una recomendaciónpráctica: utilizar las relaciones derivadas del criterio / para hallar los valores de equivalentes. Como veremos a continuación este criterio funciona satisfactoriamente. 7 Validez de las equivalencias al calcular el ciclo de una serie sobre datos de diferente periodicidad En este apartado voy a ilustrar como funcionan las equivalencias recomendadas anteriormente frente a las que se emplean en la práctica. Comenzamos 8 La agregación de procesos mantiene el orden de integración (Wei-Stram (986)) si no fuera así habría que utilizar con un poco más de cuidado las expresiones.

23 con unos procesos simulados y después emplearemos algunas series económicas. La forma de proceder es la siguiente 9 : tenemos una serie expresada en dos periodicidades diferentes i y j (i > j) y calculo el ciclo para el mayor nivel de agregación de forma directa e indirecta. La forma directa consiste en aplicar HP con j sobre los datos de menor frecuencia. Este valor j se asocia a una longitud determinada de los ciclos y tendrá un valor equivalente i asociado a la periodicidadi. La forma indirecta consiste en agregar el ciclo que obtenemos tras aplicar HP con i a los datos de mayor frecuencia. La comparación de los ciclos directo e indirecto nos informará sobre la equivalencia del ltro HP al aplicarlo a datos de diferente periodicidad. Si los ciclos comparados resultan ser similares sabremos qué valores de hay que utilizar en función de la periodicidad. Si por el contrario los ciclos di eren, entonces su comparación nos indicará, o bien que hemos hecho una mala elección del valor i equivalente, o bien en qué medida la agregación temporal a afectado a las características cíclicas de la serie en cuestión. Para facilitar la exposiciónparto del valor convencional =6 como eje principal del análisis y estudio ciclos con periodicidades mensuales, trimestrales y anuales. Me centro envarios procesos que me parecen signi cativos, estos son, IMA(,) trimestral, IMA(,) trimestral, líneas aéreas mensual, y líneas aéreas trimestral. Por último se diferencia entre la agregación temporal propiamente dicha (suma no solapada de datos) y muestreo sistemático (para variables stock). Con la agregación temporal veremos como una elección adecuada de permite obtener ciclos equivalentes sobre datos de diferente periodicidad. Sin embargo con la agregación por muestreo sistemático se produce una pequeña distorsión en la señal del ciclo como consecuencia 9 Ver el esquema, que ilustra el caso trimestral-anual.

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