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1 COLEGIO COLOMBO BRITÁNICO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PROGRESIONES/ SECUENCIAS/ SUCESIONES PROFESORES: RAÚL MARTÍNEZ Y JESÚS VARGAS Problema Jua Guillermo ivierte milloe de peo durate año, le pagará a u iteré imple del 0% aual (a Halle el capital acumulado al fial de cada año, (b ecribe ua fórmula e térmio de ( úmero de año, (c i llamamo u el capital acumulado al fial del año, ecribe u e térmio de u y d, dode d e la diferecia de capital acumulado etre u año y el iguiete, (di Jua Guillermo ivirtiera milloe de peo má al pricipio de cada año, calcule el capital total al fial del quito año (eecribe ua fórmula para el cao (d e térmio de u y la diferecia d, llámela, (fecribe ua cocluió completa obre el ejercicio Solució:(a al fial del primer año = %x = al fial del egudo año = x0%x = al fial del tercer año = x0%x = al fial del cuarto año = x0%x = al fial del quito año = x0%x = (bobervamo como e calcula el capital al fial de cada año, e decir, el capital al fial del año e igual a %x = ( + 0% (cprimero hallamo d = = 00000, luego = d, e decir u = u + d; tambié u = u + d, luego u = u + d + d = u + d, etoce u = u + d = u + d = u + d = u + d (d Obervado la olució dearrollada e (a podemo calcular el capital acumulado al fial de cada año: al fial del primer año = al fial del egudo año = al fial del tercer año = al fial del cuarto año = al fial del quito año = = (eayudádoo co lo dearrollado e (c podemo umar todo lo térmio, luego lo expreamo e térmio de u y d, como igue: = u + u + u + u + u = u + (u + d + (u + d + (u + d + (u + d= u + 0d (fcuado lo térmio de ua ecuecia tiee la mima diferecia, etoce e llama uceió o ecuecia aritmética Como podemo obervar e todo el proceo el térmio -éimo u e puede exprear como u = u i + (-id, e la fórmula del IBO aparece úicamete u = u + (-d Adoptamo el iguiete algoritmo propueto por Gau para hallar la uma térmio de ua uceió aritmética Se explota el hecho obervado e lo cao ateriore de que u + u = u + u = u + u, como igue: = u + u + u + + u - + u = u + u - + u u + u = (u +u +(u +u + (u +u ++ (u +u, de lo cual reulta

2 = (u +u, luego ( u u ( u u ( d (u que ua de la fórmula que aparece e el IBO, pero tambié aparece ( d, pue u = u + (-d U reume importate para etudiar la uceioe aritmética e el motrado e la fórmula del IBO u = u + (-d, ( u u = ( u ( d Problema Jua Guillermo ivierte ahora lo mimo milloe de peo durate año, pero le pagará a u iteré compueto del 0% aual (a Halle el capital acumulado al fial de cada año, (becribe ua fórmula e térmio de ( úmero de año, (c i llamamo u el capital acumulado al fial del año, ecribe u e térmio de u y r, dode r e la razó de capital acumulado etre el año iguiete y el aterior, (di Jua Guillermo ivirtiera milloe de peo má al pricipio de cada año, calcule el capital total al fial del quito año (eecribe ua fórmula para el cao (d e térmio de u y la razó r, llámela, (fecribe ua cocluió completa obre el ejercicio Solució:(a al fial del primer año = %x = al fial del egudo año = %x00000 = al fial del tercer año = %x80000 = al fial del cuarto año = %x06000 = 8800 al fial del quito año = %x8800 = (bteiedo e cueta que 0% = 0, etoce %x = (, luego al fial del quito año teemo ((((( = (, por último el capital al fial del año e igual a ( (cprimero hallamo la razó r = /00000 =, luego i coideramo a u = 00000, queda u = 00000(, e decir u = u r (dobervado la olució dearrollada e (a podemo calcular el capital acumulado al fial de cada año: al fial del primer año = al fial del egudo año = ( al fial del tercer año = ( ( al fial del cuarto año = ( ( ( al fial del quito año = ( ( ( ( = 0900 (e Del cao (d podemo extraer ua primera idea: =00000( , luego umemo , oberve bie lo iguiete pao: uma = , multiplicado por, reulta, uma = , retado térmio a termio, queda 0uma =, depejado uma, obteemo, uma =, etoce 0 r = 00000( = u( 0 r

3 (fcuado lo térmio de ua ecuecia tiee la mima razó, etoce e llama uceió o ecuecia geométrica Como podemo obervar e todo el proceo el térmio -éimo u e puede exprear como u = u ir -i, e la fórmula del IBO aparece úicamete u = u r - La uma de lo primero térmio e u r ( r u ( r r, que o la fórmula propueta por el IBO, la cual tambié e puede exprear como, Problema La paradoja de Zeó: Ua tortuga e propoe recorrer u gra trayecto e mucho día, el primer día recorre la mitad del trayecto, el egudo día la mitad de lo que le falta, y aí uceivamete, i la tortuga iite e recorrer cada uevo día la mitad de lo que le falta Logrará la tortuga u objetivo? Solució: e ua uma ifiita de lo térmio a ifiito, teemo u = ½, r = ½, Suma = lím lím u ( r r 8 ( lím lím (, e decir e calcula la uma cuado tiede La uma geométrica ifiita coverge a u úmero úicamete cuado el valor aboluto de la razó ( r e meor que, eto e / r / < La uma ifiita coverge al úmero IBO u r, que e la fórmula propueta por el EJERCICIOS Ue el teorema del biomio para completar ete dearrollo: E ua uceió aritmética, el primer térmio e y el cuarto térmio e 0 Halle el egudo térmio Halle la uma de lo ifiito térmio de la erie geométrica: x y 8x Halle el coeficiete de e el dearrollo de a b Halle la uma de lo térmio poitivo de la uceió aritmética 8, 8,, a b 6 El coeficiete de x e el dearrollo de x ax La uceió geométrica idefiida coverge hacia e 6x Halle el valor poible de a y, y la uma de u tre primero térmio e Halle el primer térmio 8 Halle la uma de la progreió aritmética: 8 9 Halle el coeficiete de x e el dearrollo x 0 Ua erie aritmética cota de cico térmio el primer térmio e y el último e Halle la uma de la erie Halle el coeficiete de a b e el dearrollo de a b Ecuetre el úmero de térmio e la erie geométrica: 9, luego, calcula la uma de la erie Ue el Teorema del Biomio para exprear e la forma p q dode p y q o etero (o dé la repueta co decimale x x ax bx a x 6 halle lo valore de a y b Dado que,

4 Sea A Halle S 8 S 0 B Halle el meor valor de de modo que S A Ue el teorema del biomio para completar el iguiete dearrollo:,0, x x x B Para el etero, co ua preciió de decimale Halle el valor exacto de Expree el decimal periódico 000 e forma de fracció implificada 9 A partir de la progreió geométrica Calcule: A el úmero de térmio de la progreió B La uma de la erie 0 E la iguiete uma de térmio de ua progreió geométrica S,, S,, y r 0 Halle a y r S a ar ar ar,0, dode Si, halle lo valore de A y de B E ua erie aritmética, Ecuetre S 6 Lo tre primero térmio de ua progreió aritmética o 00, 96, 9 A Halle la razó o diferecia d B Halle lo do valore de para lo cuale ( repreeta la uma de lo primero térmio El primer térmio e 9 A Halle la diferecia de la progreió B Halle el valor de la uma Ua uceió de veite pago auale etá idexada egú la iflació de modo que cada pago e u % mayor que el pago aterior Si el primer pago e de 00 dólare, halle A la catidad del octavo pago, aproximado al cetavo; B la uma de lo veite pago, aproximado al dólar 6 Se abe que, para valore pequeño de x, A Utilice el teorema del biomio para hallar lo valore de A y B B Ua calculadora da el valor de,0 8 e la forma,0886 Ecriba lo decimale retate de,0 8 Ecriba el térmio que cotiee e la expaió de a b Dé la repueta implificada x x 0x S 0x Ax 0 y S8 Bx 0 S N 06 t de ua progreió aritmética e, y el éptimo térmio S t a 8 t 9 t S x 8 E ua erie geométrica el egudo térmio e A Ecuetre la razó comú, r B Ecuetre la uma de lo primero 0 térmio, S 0 9 E ua progreió aritmética, el primer térmio e A Halle la diferecia comú d B Halle el quito térmio 9 8 8x Ax Bx y el quito térmio e 6 y la uma de lo primero veite térmio e 60 0 La uma de lo primero térmio de ua progreió aritmética queda repreetada por Halle lo valore de A el primer térmio; B la diferecia comú t S La uma de lo do primero térmio de ua progreió geométrica e y el producto de lo primero tre térmio e 000 A Halle el primer térmio B Ecuetre la razó comú Auma que, b, c, o lo primero térmio de ua progreió aritmética, de diferecia ditita de cero, y que, c, b, o lo tre primero térmio de ua progreió geométrica, halle b y c E ua erie geométrica el primer térmio e y la razó comú e ½

5 A Ecuetre lo cuatro primero térmio de la erie y dé la repueta e fracció implificada B Ecuetre la uma de lo primero diez térmio de la erie, dado la repueta correcta a do decimale C a qué valor tiede la uma de lo térmio de la erie ifiita? Muetre el proceo aalíticamete Expree el decimal periódico 066, e forma de fracció reducida A Halle aalíticamete el úmero de térmio e la iguiete progreió aritmética: B Calcule la uma de la erie aterior 0 6 Ecuetre el valor de A x, B 0 x, C RESPONDA LAS PREGUNTAS A DEACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Se realizaro ua prueba co efera de u metal experimetal Se decubrió que i e deja caer a ua determiada altura ua efera de volume V e divide e do efera de volume V/ y luego eta efera, al caer dede la mima altura, e divide e cuatro efera de volume V/ y aí uceivamete Al lado e muetra u dibujo que repreeta la prueba plateada, D 0 0 Co bae e la variació o aumeto de efera por ecaló e puede afirmar que A e tedrá iempre el doble de efera de u ecaló a otro B el úmero de efera e u ecaló e repreeta por medio de ua potecia de uo C del ecaló 0 al, al, al, al,aumeta,, 8, 6, efera repectivamete D del ecaló 0 al, al, al, al, aumeta,,, 8, efera repectivamete 8 Al practicar eta prueba, e afirma que el úmero de efera que e tedrá e el ecaló 6 e 6, eto e debido a que A el úmero de efera de u ecaló determiado e u úmero par B ecaló a ecaló e duplica la efera y éta e la exta duplicació C el úmero de efera e obtiee elevado al úmero del ecaló deeado D ecaló a ecaló e aumeta e u úmero par de efera 9 Se ecotró ua regularidad frete al aumeto de efera por ecaló, la expreió que muetra el úmero de efera e u ecaló a partir del úmero del ecaló e A porque i e el úmero del ecaló e logra,,, 8, 6efera, empezado dede el ecaló cero B, debido a que e logra el úmero de efera eperada e lo ecaloe y i repreeta el úmero del ecaló C -, ya que repreeta el úmero de efera de u ecaló, iedo el úmero del ecaló iguiete al deeado D, porque repreeta el úmero de efera e el ecaló do 0 Al empezar el experimeto co tre efera e el ecaló cero y comparado co la caracterítica del experimeto aterior, puede uceder que A frete a la prueba aterior el úmero de efera e u ecaló aumeta e efera

6 B e el experimeto actual el úmero de efera que e tiee e u ecaló e tre vece el úmero de efera del ecaló aterior C e cada ecaló habrá el triple de efera que había e el mimo ecaló e la prueba aterior D e el experimeto actual el úmero de efera que e tiee e u ecaló e el doble de lo que e teía e el ecaló aterior Lo ecargado de realizar la prueba deea cotruir ua repreetació que muetre el úmero de efera por ecaló y la uma de lo volúmee de la efera por ecaló, Cuál coidera uted que e la repreetació adecuada? RESPONDA LAS PREGUNTAS A DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Camilo gaó $ e ua rifa y o ha decidido i gatar ee diero o ivertirlo e ua etidad fiaciera que paga 0% de iteré aual obre el diero que tega ivertido Si Camilo decide guardar el diero e u caa y gatar cada emaa la mitad de lo que le queda La expreió que repreeta el diero que le queda al fializar la éptima emaa e A ( B (600000x C 6 ( D ( a Si Camilo decide ivertir todo el diero que gaó e la etidad fiaciera y o hace retiro, tracurrido año la catidad de diero que Camilo tiee e el baco eta repreetada por la expreió A (600000( 0 B (600000( 0 C D x 0 Cada año durate lo paado cico año la població de cierto paí ha aumetado co ua taa cotate del,% aual Actualmete la població e de, milloe (a Qué població había hace u año? (b Qué població había hace cico año? U teatro tiee 0 fila de butaca E la fila hay butaca, e la fila hay butaca, y cada fila uceiva tiee do butaca má que la aterior (a Calcule el úmero de butaca que hay e la fila 0 (b Calcule el úmero total de butaca 6

7 Se ivierte ua uma de $ 000 a ua taa de iteré (tipo de iteré compueto del 6, % aual (a Ecriba ua expreió para el valor de la iverió depué de año completo (b Cuál erá el valor de la iverió al cabo de cico año? (c El valor de la iverió uperará lo $ depué de año completo (i Ecriba ua iecuació que repreete eta iformació (ii Calcule el valor míimo de 6 E ua ciudad exitía 0 médico trabajado al de eero de 99 Depué de año, el úmero de médico, D, que trabaja e la ciudad viee dado por D = (a (i Cuáto médico trabajaba e la ciudad a comiezo del año 00? (ii E qué año hubo por primera vez má de 000 médico trabajado e la ciudad? A comiezo del año 99, la ciudad teía ua població de, milloe de habitate Paado año, la població de la ciudad, P, viee dada por P = (,0 (b (i Halle la població P a comiezo de 00 (ii Calcule el porcetaje de crecimieto de la població etre el de eero de 99 y el de eero de 00 (iii E qué año la població erá por primera vez mayor que milloe de habitate? RESPONDA LAS PREGUNTAS A 0 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACION Ua emprea ecargada de dieñar y veder modelo de embaldoado, lazó al mercado u ueva líea llamada "cuadrícula", la cual e caracteriza por u ditribució de baldoa cuadrada blaca y egra coformado diferete tamaño y dieño La iguiete gráfica repreeta alguo de lo modelo que dipoe la emprea El patio de la caa de u cliete tiee el tamaño, y quiere que el dieño ea tambié el mimo, aí que debe comprar A baldoa blaca y 66 egra B 6 baldoa blaca y 8 egra C 8 baldoa blaca y 8 egra D baldoa blaca y 0 egra 8 El admiitrador del puto de veta pricipal, olicita a alguo de u empleado que elabore ua gráfica que idique la catidad de baldoa de cada color e cada tamaño de embaldoado La gráfica que le debe etregar lo empleado e

8 9 Peado e lo diferete modelo que e puede obteer coervado la ditribució de la baldoa blaca y egra, el dieñador de ete embaldoado ecuetra que la expreió r( = le permite determiar A el úmero de baldoa blaca que hay e u modelo determiado, al coiderar ( como el úmero de baldoa egra que compoe dicho modelo B el úmero de baldoa blaca que falta o obra, para que cualquier tamaño ( de embaldoado tega la mima catidad de baldoa de cada color C el tamaño de u modelo de embaldoado determiado, al reemplazar ( por u correpodiete úmero de baldoa blaca D la dimeioe de cualquier embaldoado, al reemplazar ( por u úmero determiado de baldoa egra 0 El gerete quiere dar a u empleado idicacioe obre la catidad de baldoa blaca (B y egra (N que compoe cada dieño, éto lo puede lograr mediate A B C D B( y N( 9 B( 6 y B( B( y N( ( N(, para embaldoado de tamaño mayor o igual a 6 6 ( y N(, para embaldoado co tamaño e adelate, para embaldoado de todo lo tamaño, para embaldoado co tamaño e adelate RESPONDA LAS PREGUNTAS A DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACION E ua embotelladora, u taque llea al mimo tiempo varia botella de agua de forma cilídrica, que tiee de radio cm y altura 0 cm; co ua velocidad de umiitro repreetada por la fució V(t = (t - t + cm /mi, coiderado t como miuto tracurrido Ete taque hace que la profudidad del agua e cada botella aumete a razó de cm/ Para evitar el deperdicio de agua e quiere italar e el taque de umiitro, u dipoitivo que lo detega E eta codicioe ha de deteere el umiitro cada B egudo aproximadamete, pue A el volume de agua e la botella cambia a razó de 60 cm/ y 0 B cm e lo que tiee éta por volume B la profudidad de agua e la botella cambia a razó de cm/ y el volume de agua e la botella cambia a razó de 0 cm/ C la altura de la botella e 0 cm y la altura de agua e ella cambia a razó de 0B cm/ D el volume de agua e la botella cambia a razó de 60 cm / y 0 cm, e lo que tiee por volume El Gerete de producció exige a lo empleado ua meta míima de cm de agua embotellada por hora, por lo que uo de lo operario e queja, y tiee razó, ya que A o e alcaza i iquiera a lo 00 cm por hora B apea e upera el % de lo exigido C e upera apea el 0% de lo que el gerete exige D e alcaza apea a embotellar 00 litro e ete tiempo U operario uevo, e preocupa al obervar que e el tablero de velocidad del taque e preeta ua dimiució e la velocidad de umiitro cuado el taque comieza a fucioar; aí que decide iformar de la ituació a u igeiero El igeiero le repode que o e debe alarmar pue A la profudidad de agua e la botella iempre va a aumetar a razó de cm/ 8

9 B e igú mometo e pierde agua, por el cotrario, iempre e icremeta co el tracuro del tiempo C eo dejará de uceder a lo 0 egudo de haber ecedido el taque D tracurrido 6 egudo dede que el taque comiece a fucioar, la velocidad aumetará Se preeta u cambio e la velocidad de umiitro de agua e el taque, y éto hace que la razó a la cual e aumeta la profudidad de agua e la botella e modifique, de tal maera que el volume de agua e ella cambie a razó de 0 cm/ Eto colleva a que la producció e haga A mayor, porque la razó a la cual cambia la profudidad de agua e la botella aumeta B meor, porque la razó a la cual cambia la profudidad de agua e la botella dimiuye C meor, auque la razó a la cual cambia la profudidad de agua e la botella e icremete D mayor, auque la razó a la cual cambia la profudidad de agua e la botella dimiuya RESPONDA LAS PREGUNTAS A DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Lo iguiete modelo de embaldoado, e cotruye uceivamete Tiee baldoa egra colocada e forma rectagular, y u borde de baldoa blaca, como e muetra e la figura Cada modelo tiee u área ditita, y la baldoa blaca y egra que e uaro tiee forma cuadrada de cm de lado De acuerdo co la uceió de modelo de embaldoado preetada, cuál de lo iguiete modelo correpode al embaldoado que tiee u área de 66 cm? 6 El cambio de área que correpode a la baldoa blaca etre u modelo y el iguiete, e iempre de8 cm? A í, porque la catidad de baldoa de la bae del rectágulo, excede e ua a la catidad de baldoa de la altura B o, porque el cambio de área de la baldoa blaca e cada uo de lo modelo varía de uo a cie cetímetro cuadrado C í, porque la catidad de baldoa blaca aumeta e cuatro para cada modelo D o, porque el aumeto del úmero de baldoa egra y blaca o e cotate de poició a poició La expreió que idica el úmero de baldoa egra e el -éimo modelo de embaldoado e A 6 B ( + C ( + D 9

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