Optimización, Solemne 2. Semestre Otoño 2012 Profesores: Paul Bosch, Rodrigo López, Fernando Paredes, Pablo Rey Tiempo: 110 min.

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1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES. FACULTAD DE INGENIERIA. ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL. Optimización, Solemne. Semestre Otoño Profesores: Paul Bosch, Rodrigo López, Fernando Paredes, Pablo Rey Tiempo: min. Problema Un inversionista está analizando las diferentes opciones para invertir un presupuesto que dispone por el periodo fijo de un mes. Para esto debe seleccionar algunos de los N activos disponibles (n =,..., N para armar su portafolio y elegir cuánto invertir en cada uno de los activos seleccionados. Para cada uno de estos activos se conoce su rentabilidad (beneficio por peso invertido en el plazo estipulado y el máximo disponible para adquirir en el mercado. Específicamente, el activo n tendrá una rentabilidad R n y se puede adquirir un máximo de S n millones de pesos de este activo. El inversionista tiene un presupuesto de B millones de pesos para invertir. La composición del portafolio deseado debe cumplir con una condición de diversificación del riesgo que implica no invertir en ninguno de los activos más de un % del total invertido. (a [,7 puntos] Formule un modelo de programación lineal que permita construir un portfolio que maximice la rentabilidad total. (b [,7 puntos] Considere ahora que adicionalmente a los bienes del mercado bursátil nacional, el inversionista puede adquirir moneda extranjera. Existen E tipos de monedas extranjeras (e =,..., E que se pueden adquirir y no hay límites en la cantidad disponible. Sin embargo, si se incluye cierta cantidad de la moneda e, se deberá abonar un costo fijo F e, independiente de la cantidad comprada. La moneda e tiene rentabilidad U e y la condición de diversificación de riesgo, en este caso, implica adicionalmente que no más del % del total del portafolio puede ser en moneda extranjera. Modifique el modelo de la parte (a para incluir la alternativa de incluir monedas extrajeras a la hora de conformar el portafolio. (c [,6 puntos] Finalmente, analizando las características de las diferentes opciones de inversión se han definido reglas adicionales para la conformación del portafolio: El portafolio debe estar compuesto por un mínimo de K y un máximo de L activos diferentes (incluidas las monedas extranjeras. Si se invierte en el activo, no se puede invertir en ningún activo del conjunto P {,,..., N}. Si se invierte en los activos y, se debe invertir, al menos, un millón de pesos en el activo 4. Modifique el modelo de la parte (b para incluir estas nuevas condiciones que debe satisfacer el portafolio.

2 Problema Dado el problema de optimización: min (x + x + x x + x + x = x i, i =,, (P (a [,4 puntos] Compruebe que la función objetivo es convexa y que el conjunto de factibilidad es un conjunto convexo. (b [, punto] Encuentre un punto que cumpla las condiciones de optimalidad de KKT. Analice la optimalidad global del punto encontrado. (c [,6 puntos] Para el caso general: min (x + + x n x + + x n = x i, i =,..., n (P n y usando los resultados de los ítems anteriores, postule cuál podría ser una solución óptima para este problema, y justifique la optimalidad de ésta a partir del teorema de KKT. Problema Considere el siguiente modelo de programación lineal de minimización: min x + x + x + x 4 + x x x + x + x 4 + x = 6 x + x x + x 4 x i, i =,..., (PL (a ([,7 puntos] Suponga que la solución optima del dual de (PL es y = (y, y =,. Encuentre la solución óptima de (PL. (b [,7 puntos] Verifique la optimalidad de la solución óptima de (PL usando las condiciones de optimalidad del método Simplex. (c [,6 puntos] En forma alternativa, justifique la optimalidad de la solución óptima de (PL usando las condiciones de optimalidad del Teorema de KKT.

3 SOLUCION Pregunta (a A continuación, se muestra un modelo que cumple con lo solicitado. Variables Para plantear el modelo definimos un conjunto de variables continuas no negativas: x n : millones de pesos a invertir en el activo n. Función objetivo La función objetivo consiste en maximizar la rentabilidad total: Restricciones Incluimos las siguientes restricciones: Presupuesto: x n B. n= max R n x n. n= Disponibilidad en mercado: x n s n, para todo activo n =,..., N. Diversificación de riesgo: x n, x m, para todo activo n =,..., N. m= Naturaleza de las variables: x n, para todo activo n =,..., N. (b Para incluir la opción de la compra de moneda extranjera, se realizan las siguientes modificaciones. Variables Se agregan dos conjuntos de variables: y e : millones de pesos a invertir en la moneda e. z e : si se invierte en la moneda e (i.e. se paga el costo fijo;, en caso contrario. Función objetivo A la función objetivo del punto anterior se le agregan dos términos: Se suma la rentabilidad de las inversiones en moneda extranjera: U e y e. e

4 Se restan los costos fijos por las inversiones en moneda extranjera: F e z e. e Restricciones Se mantienen las restricciones de disponibilidad de mercado y naturaleza de las variables x n. Se modifican las restricciones: Presupuesto: x n + n= y e B. e= Diversificación de riesgo: x n, Se agregan las restricciones: x m + m= y e, para todo activo n =,..., N. Relación entre las variables y e y z e : y e Bz n, para toda moneda extranjera e =,..., E. ( N Condición adicional de diversificación de riesgo: y e, x n + y e. Naturaleza de las variables y e y z e : y e, z e {, }, para toda moneda extranjera e =,..., E. (c Para incluir las condiciones adicionales indicadas, se realizan las siguientes modificaciones. Variables Se agrega un conjunto de variables binarias para indicar si se invierte o no en el activo n (similar a las z e de las monedas, pero para los activos: e= e= w n : si se invierte en el activo n;, en caso contrario. Además, se agrega una variable binaria v que toma valor si se invierte en ambos activos y (entonces se debe invertir en 4,, si no. Función objetivo La función objetivo no se modifica. Restricciones Se mantienen todas las restricciones del punto (b Se agregan las restricciones: Relación entre las variables x n y w n : x n Bw n o x n y w n : x n S n w n, para todo activo n =,..., N. 4 n= e=

5 Cantidad de activos diferentes: K w n + n= z e L. Si se invierte en, no se puede invertir en los activos en P : w + w n, para todo activo n P. Definición de variable v: w + w v +. Si se invierte en y, se debe invertir un millón en 4: x 4 v. Naturaleza de las variables w n y v: w n {, }, para todo activo n =,..., N y v {, }. Pregunta (a Se comprueba fácilmente que la Hessiana de la función objetivo es la matriz identidad la que evidentemente es una matriz definida positiva y por tanto, la función es estrictamente convexa. Respecto al conjunto de factibilidad es suficiente ver que este está formado por una restricción lineal y restricciones de no negatividad de las variables, y por resultados del curso, este conjunto es convexo. (b Analicemos el caso donde el conjunto de índices activos es el vacio, es decir I( x =. Esto implica que los multiplicadores asociados a las restricciones de no negatividad son todos nulos, y por tanto, se tiene que: donde h(x = x + x + x x x x e= f(x + λ h(x = + λ = y por tanto, obtenemos que x = x = x = λ. Evaluando en la función h(x, x, x llegamos finalmente a que x = x = x = y λ =. El punto encontrado es un mínimo global dado que nuestro problema de optimización es convexo. (c Para el caso general, y viendo los resultados de los item anteriores, un buen postulante para óptimo es x = = x n =. Por otro lado, este punto es regular y cumple la n condición f(x + λ h(x = donde h(x = x + + x n. Evaluando en el punto se tiene: x. + λ. =. x n es decir, existe λ =. Finalmente, el punto encontrado es un mínimo global dado n que nuestro problema de optimización sigue siendo convexo.

6 Pregunta (a El problema dual de (PL se escribe como: max 6u + 4u u + u u + u u u u u + u u irrestricta u Las restricciones, y 4 del dual son inactivas en el óptimo. Luego por el teorema de holgura complementaria las variables x, x y x 4 en el primal deben ser iguales a cero. Luego las variables básicas en el primal son las variables x y x. En consecuencia, la base óptima es : B = Luego en el óptimo se tiene: ( x B = y la solución del problema es: ( x x ( = B = = B b = ( 4 x = ( 4 (Sol. (PL (b El vector de variables duales óptimas es: ( π T = = c BB Luego se tiene que el vector ( fila de costos reducidos de las variables no básicas es: c N = c N c BB N = ( ( = ( 4 4 ( En consecuencia, se satisface la condición de optimalidad del método Simplex para minimización. 6

7 (c Como todo modelo de programación lineal es un modelo convexo entonces las condiciones necesarias de optimalidad del teorema de KKT se convierten en suficientes, sin importar regularidad. Estas condiciones se satisfacen para la solución óptima encontrada en el ítem anterior. En Efecto, existen multiplicadores λ R, ν y µ = (µ,..., µ R donde µ i, i =,..., tales que: + λ + ν donde e i representa el i-ésimo vector canónico, por tanto + λ + ν µ i e i = i= = Además, se tienen las condiciones de holgura complementarias: ν (4 x x + x x = µ µ µ µ 4 µ µ i x i =, i =,..., y evaluando en la solución (Sol. (PL se tiene que la restricción de desigualdad es activa. Además, viendo las restricciones de no negatividad tenemos que µ = µ =. Sustituyendo todo esto en ( obtenemos: + λ + ν = De la tercera y de la quinta ecuación obtenemos inmediatamente que { λ + ν = λ ν = y por tanto λ = y ν =. Finalmente, sustituyendo estos valores tenemos que µ =, µ = 4 y µ 4 = 4, es decir, existen multiplicadores λ R, ν y µ = (µ,..., µ R donde µ i, i =,..., que cumplen las condiciones del Teorema de KKT. µ µ µ 4 ( 7

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